Jurnal Konvergensi Vol. 4, No. 1, April, 2014
Algoritma Penentuan Ukuran Sampel Eksak Untuk Distribusi … Dian Eka Wijayanti
29
Dan fungsi log likelihoodnya :
= log
Misalkan
w = h y
,
y
,
…y
,
dimanasetiapnilai w memaksimumkan
L
θ yakni
L w
≥
L
θ untuk semua
θ ≠
w
dinamakan maksimum likelihood estimation MLE untuk
θditulis
w =
θ
2. Negative Log Normed Likelihood dan Deviance
Definisi. 2. [Lindsey, 1995]
Misalkan Y, variabel random dengan distribusi probabilitas bergantung pada parameter tunggal
θdan θ suatu estimasi maksimum likelihood dari θ dan
f y;
θ adalah fungsi densitas dari Y. Misalkan
L
θ sebagai fungsi likelihood untuk
variabel θ dan
L
θ sebagai fungsi likelihood untuk estimasi maksimum likelihood
parameter θ. Negative log normed likelihood dinotasikan
l
didefinisikan sebagai :
=
−
log
Deviance dinotasikan dengan didefinisikan sebagai :
= 2 log =
−
2
Teorema 1. [Lindsey, 1997]
Misalkan Y variabel random dengan distribusi probabilitas bergantung pada parameter tunggal , dan
;
merupakan anggota keluarga eksponensial linier sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut :
; = exp[ + + ]
Bentuk umum fungsi negative log normed likelihood untuk satu observasi adalah :
; =
−
+
− dengan sebagai parameter kanonik, estimasi maksimum likelihood dari ,
sama dengan −
dan sama dengan
−
3. Penentuan ukuran sampel eksak untuk model keluarga eksponensial
Negatif normed log likelihood pada masing-masing model digunakan untuk membandingkan harga-harga parameter dugaan dengan estimasi maksimum
likelihood. Nilai besar dari negatif normed log likelihood mengindikasikan bahwa
Jurnal Konvergensi Vol. 4, No. 1, April, 2014
Algoritma Penentuan Ukuran Sampel Eksak Untuk Distribusi … Dian Eka Wijayanti
30
model dugaan tidak masuk akal. Misalkan N, ukuran sampel yang akan dihitung dan sebagai contoh misalkan µ dan µ dua harga parameter yang diselidiki. Jika diambil
suatu harga parameter dari suatu model, maka menurut J.K. Lindsey 1995 ada beberapa situasi yang mungkin terjadi ketika model-model tersebut dibandingkan :
i. Negative log normed likelihood salah satu model lebih kecil dari
ii. Negative log normed likelihood kedua model lebih besar dari dari pada
karenanya kedua model tersebut tidak dapat diterima iii.
Negative log normed likelihood kedua model lebih kecil dari karenanya kedua model tersebut dapat diterima
Dalam kasus pertama, kesimpulannya jelas. Dengan memilih ukuran sampel secara tepat, diharapkan kasus kedua yang disebabkan ukuran sampel lebih besar
dari yang diperlukan dan kasus ketiga, karena ukuran sampel tidak cukup besar untuk membandingkan kedua model dari interest dapat dihindari. Keadaan ditengah
kasus kedua dan kasus ketiga tersebut akan terjadi jika kita hanya mempunyai observasi cukup, dalam kasus terburuk, ketika kedua model sama jeleknya,
keduanya akan mempunyai Negative log normed likelihood yang sama yaitu
. Jika hal ini terjadi, hubungan maksimum likelihood estimation MLE akan berada
diantara kedua model dari yang diselidiki, keadaan dimana kedua model tersebut sama-sama tidak masuk akal. Karenanya pada keadaan terburuk, diharapkan masing-
masing model berada pada batas menjadi tidak serupa dan diperlukan observasi yang cukup untuk membandingkan kedua model dalam situasi ini.
Pemilihan ukuran sampel ini menjamin untuk dapat membandingkan kedua model. Dalam kasus terburuk, parameter kedua model akan dinyatakan tidak masuk
akal dengan nilai Negative log normed likelihood kedua model sama dengan .
Dengan pemilihan ukuran sampel yang tepat, akan diperoleh Negative log normed likelihood untuk salah satu model yang lebih besar daripada untuk model lainnya.
Jika ukuran sampel lebih besar, fungsi likelihood akan menjadi terbatas dan terjadilah kasus kedua. Pada saat menghitung ukuran sampel eksak tanda topi
pada parameter sebagai indikasi maksimum likelihood estimation MLE dalam situasi kasus yang terburuk, bukan pada observasi sesungguhnya.
Bagaimanapun, sebagaimana dimaksudkan diatas, nilai bisa saja dipilih
berdasarkan kriteria klasik, yaitu menggunakan deviance . Berdasarkan definisinya deviance juga merupakan rasio likelihood sehingga mempunyai distribusi asimtotis
p
dengan p merupakan jumlah parameter dan adalah setengah dari nilai
deviance. Sebagai contoh variabel acak berdistribusi asimtotis , dengan p-value
0.05 akan diperoleh nilai
=
,
= 1,92
4. Penentuan Ukuran Sampel Eksak untuk Keluarga Eksponensial
