Metode Rata-Rata Sampel Untuk Menyelesaikan Problema Investasi Aset

METODE RATA-RATA SAMPEL UNTUK
MENYELESAIKAN PROBLEMA
INVESTASI ASET

TESIS

Oleh

RUSMINI DEWI
087021018/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

METODE RATA-RATA SAMPEL UNTUK
MENYELESAIKAN PROBLEMA
INVESTASI ASET

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh

RUSMINI DEWI
087021018/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: METODE RATA-RATA SAMPEL UNTUK
MENYELESAIKAN PROBLEMA INVESTASI ASET
Nama Mahasiswa : Rusmini Dewi
Nomor Pokok
: 087021018
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua

(Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Anggota

Ketua Program Studi,

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 17 Pebruari 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 17 Pebruari 2011

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua

:

Prof. Dr. Herman Mawengkang

Anggota

:

1. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
3. Dra. Mardiningsih, M.Si

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Pendekatan persoalan yang berhubungan dengan stokastik programming dapat memuat metode sampling yang dapat digunakan dalam penyelesaian persoalan rata-rata
sampling dengan optimisasi. Penyelesaian permasalahan stokastik programming dengan menggunakan nilai rata-rata sampling diselesaikan dengan iterasi yang berulang
sampai diperoleh solusi optimal. Metode heuristik dan deterministik selanjutnya dipakai untuk memperolah solusi yang layak dengan melakukan iterasi, penomoran asset
secara kelompok sehingga diperoleh solusi optimal yang diinginkan. Setelah diperoleh
solusi optimal selanjutnya dilakukan evaluasi kelayakan dari solusi akhir yang telah
diperoleh dari tahap awal. Selanjutnya pada bagian akhir ditunjukkan bagaimana
penggunaan Metode Monte Carlo untuk menyelesaiakan permasalahan stokastik dengan model optimisasi.

Kata kunci : Program Stokastik, alokasi aset, Metode Monte Carlo

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

The proposed approach of real world stochastic programming instances requires sampling to make them practically solvable. In this paper we extend the understanding of
how sampling affects the solution quality of multistage stochastic programming problem. We present a new heuristic for determining good feasible solutions for a multistage decision problem. For power and log utility function we address the question
of how tree structures, number of stages, number of outcomes and number of assets
affect the solution quality. Finally, In this paper we showed that optimization by using
Monte Carlo Sampling to approach optimization problems in stochastic programming.
Keywords : Stochastic programming, asset location, Monte Carlo Sampling

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT, penulis panjatkan atas limpahan

Rahmat dan Karunia-Nya, karena terselesaikannya penulisan tesis ini yang berjudul:
”Metode Rata-rata Sampel untuk Menyelesaikan Problema Investasi Aset”.
Pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc. (CTM), Sp.A(K)
selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan kepada penulis
untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister
Matematika FMIPA USU, yang juga menjadi selaku Pembimbing utama yang telah
memberikan bimbingan kepada penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga selaku anggota komisi pembimbing yang telah memberikan saran dan bimbingan kepada penulis.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc. sebagai penguji tesis ini.
Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si. selaku penguji tesis ini.
Serta seluruh staf pengajar pada program studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang sudah membimbing dan membantu penulis selama mengenyam pendidikan.
Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan administrasi selama mengikuti pendidikan.
iii
Universitas Sumatera Utara

Tak lupa rekan-rekan mahasiswa program studi Magister Matematika FMIPA USU
tahun 2008. Khususnya rekan-rekan dari Politeknik Negeri Medan dan Jurusan Matematika FMIPA USU antara lain Bapak Ardianta, Bapak Makmur Tarigan,
Bapak Satriawan Taruna, Bapak Benar Surbakti, Bapak Bai Hotma Sitompul, Bapak Gim Tarigan, Bapak Djakaria Sebayang, dan Ibu Sinek Malem
Br. Pinem, semoga persahabatan kita tak lekang oleh waktu.
Teruntuk keluarga semuanya: Ibu tercinta, kakak dan adik-adik tersayang terima
kasih kepada semuanya yang senantiasa mendukung dan mendoakan untuk keberhasilan penulis dalam menyelesaikan pendidikan ini.
Kepada teman-teman serta semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, penulis mengucapkan banyak terima kasih atas bantuan dan dorongan yang telah
diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan dengan tepat waktu.
Akhir kata penulis ucapkan, kiranya kekurangan yang ada pada penulisan tesis ini
dapat disempurnakan bagi pihak yang memerlukan karena penulis sebagai manusia
yang tidak sempurna memeiliki keterbatasan dalam menyelesaikan tesis ini seperti
kata pepatah tak ada gading yang tak retak.
Medan, 17 Pebruari 2011
Penulis,

Rusmini Dewi

iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Medan pada tanggal 2 Maret 1958 , sebagai anak ke- 2
(dua) dari 5 (lima) bersaudara dari orang tua Soedirwan dan Maryam .Penulis menamatkan Sekolah Dasar (SD) , SD. Taman Siswan Medan. Lulus tahun 1970.Sekolah
Menengah Pertama (SMP), SMP Taman Siswa Medan .Lulus tahun 1973. Sekolah
Menengah Atas (SMA) , SMA Negeri 6 Medan. Lulus tahun 1976. Pada tahun 1977
penulis melanjutkan pendidikan Sarjana di Universitas Sumatera Utara pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Matematika dan Lulus pada
tahun 1985. Dari tahun 1986 hingga sekarang penulis dipercaya sebagai salah satu
Staf Pengajar pada Politeknik Negeri Medan.Tahun 2008 ,penulis berkesempatan untuk melanjutkan Program Master pada Program Studi Magister Matematika Sekolah
Pasca sarjana Universitas Sumatera Utara,Medan

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

3

1.4 Manfaat Penelitian

4

1.5 Metodologi Penelitian

4

BAB 2 PROGRAM STOKASTIK

5

2.1 Pengertian Program Stokastik

5

2.2 Program Stokastik Dua Tahap

7

BAB 3 MODEL INVESTASI ASET

14

3.1 Model Investasi Aset

14

3.2 Kebijakan Myopik

17

BAB 4 METODE RATA-RATA SAMPLE
4.1 Metode Monte Carlo

24
24

vi
Universitas Sumatera Utara

4.2 Sifat-sifat Statistik dari Batas Atas

26

BAB 5 KESIMPULAN

30

DAFTAR PUSTAKA

31

vii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Pendekatan persoalan yang berhubungan dengan stokastik programming dapat memuat metode sampling yang dapat digunakan dalam penyelesaian persoalan rata-rata
sampling dengan optimisasi. Penyelesaian permasalahan stokastik programming dengan menggunakan nilai rata-rata sampling diselesaikan dengan iterasi yang berulang
sampai diperoleh solusi optimal. Metode heuristik dan deterministik selanjutnya dipakai untuk memperolah solusi yang layak dengan melakukan iterasi, penomoran asset
secara kelompok sehingga diperoleh solusi optimal yang diinginkan. Setelah diperoleh
solusi optimal selanjutnya dilakukan evaluasi kelayakan dari solusi akhir yang telah
diperoleh dari tahap awal. Selanjutnya pada bagian akhir ditunjukkan bagaimana
penggunaan Metode Monte Carlo untuk menyelesaiakan permasalahan stokastik dengan model optimisasi.
Kata kunci : Program Stokastik, alokasi aset, Metode Monte Carlo

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

The proposed approach of real world stochastic programming instances requires sampling to make them practically solvable. In this paper we extend the understanding of
how sampling affects the solution quality of multistage stochastic programming problem. We present a new heuristic for determining good feasible solutions for a multistage decision problem. For power and log utility function we address the question
of how tree structures, number of stages, number of outcomes and number of assets
affect the solution quality. Finally, In this paper we showed that optimization by using
Monte Carlo Sampling to approach optimization problems in stochastic programming.
Keywords : Stochastic programming, asset location, Monte Carlo Sampling

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Dalam menyelesaikan permasalahan yang kompleks untuk mengambil keputusan, model optimisasi sering digunakan dan merupakan bagian yang sangat penting
dari persoalan stokastik. Banyak permasalahan matematika yang dapat diselesaikan
dengan program stokastik untuk menentukan model penyelesaian yang layak ketika
dalam permasalahan tersebut muncul masalah ketidakpastian.
Birge dan Louveaux serta Ruscynski (1997) memberikan contoh model-model
penyelesaian permasalahan stokastik yang berhubungan dengan ketidakpastian. Beberapa model yang dijelaskan meliputi program stokastik dengan dua tahap yang
selanjutnya dipakai untuk menentukan solusi permasalahan dengan dua tahap dan
bersifat non linear.
Permasalahan pengalokasian aset erat kaitannya dengan penggunaan model program stokastik. Dalam beberapa penelitian yang berhubungan dengan pengalokasian aset program stokastik sudah banyak dikembangkan, digunakan sebagai aplikasi
serta umumnya model stokastik dipakai sebagai model awal untuk menyelesaikan permasalahan.
Program stokastik menggunakan beberapa aspek-aspek yang penting yang digunakan dalam model stokastik programming terutama persoalan yang berhubungan
dengan pengalokasian aset. Secara umum model stokastik sebelumnya dicoba dengan
memodelkan persoalan yang kompleks sehingga dapat dimodelkan serta diselesaikan
dengan program stokastik tahap ganda. Umumnya program stokastik yang digunakan
adalah program stokastik yang linier dan fungsi eksponen, dengan penyelesaian menggunakan beberapa tahapan sehingga diperoleh solusi yang layak.
Untuk memperoleh model penyelesaian dari sebuah persoalan yang kompleks
yang membutuhkan analisis keputusan, model optimisasi harus digunakan sebagai
bagian dari stokastik programming. Penelitian secara intensif telah dilakukan untuk
menyelesaikan permasalahan stokastik programming dengan menyajikan berbagai je1
Universitas Sumatera Utara

2
nis penyelesaian untuk menyelesaikan persoalan ketidakpastian yang mengambarkan
struktur permasalahan dari sebuah persoalan stokastik.
Birge dan Louveaux, 1997 telah menggambarkan sebuah penyelesaian yang layak
dan baik dan telah menjelaskan secara lebih detail tentang stokastik programming.
Beberapa penyelesaian yang dikenalkan diantaranya adalah penyelesaian primal dan
primal-dual interior point yang dapat menyelesaiakan persoalan stokastik programming dengan 2 tahapan yang bersifat non linier objektif.
Stokastik programming adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan
menampilkan elemen stokastik pada data. Beberapa bagian yang penting tentang
pendekatan stokastik programming adalah persoalan yang berhubungan dengan pemodelan alokasi aset. Umumnya dilakukan test secara praktis dari pendekatan yang
rendah ataupun yang lebih tinggi sebagai bagian dari persoalan yang mungkin diselesaikan secara bertahap. Beberapa bagian yang perlu diperhatikan dalam persoalan
aset diantaranya adalah mendiskripsikan struktur dari persoalan asset, pengelompokan persoalan, faktor-faktor yang mempengaruhi aset serta solusi penyelesaian yang
berhubungan dengan aset.
Persoalan yang kompleks yang membutuhkan banyak keputusan dapat diselesaikan dengan model optimisasi yang juga mungkin menggunakan penyelesaian secara
stokastik. Penelitian menjelaskan bahwa model stokastik programming dapat digunakan sebagai model penyelesaian yang memuat faktor ketidakpastian. Pesoalan asset
serta alokasinya dapat merupakan sebuah model stokastik.
Problema investasi yang berhubungan dengan aset dimiliki oleh perusahaan dapat dikelompokkan menjadi beberapa sampel untuk selanjutnya dihitung rata-rata
sampel yang dipilih. Proses perhitungan rata-rata sampel dilakukan dengan memperhatikan beberapa variabel yang saling berinteraksi dengan banyak kemungkinan
pilihan ketidakpastian yang terjadi. (Victor DeMiguel, 2005), untuk mengevaluasi
aset dilakukan pengelompokan aset yang dibuat dalam satuan aset terdiri dari beberapa kelompok bagian aset dari seluruh kekayaan yang dimiliki perusahaan. Model
pengembangan investasi yang berhubungan dengan asset difokuskan pada mengumpulkan nilai aset dengan dikategorikan menjadi sebuah investasi. Kombinasi dari

Universitas Sumatera Utara

3
aset yang mempengaruhi perkembangan investasi aset biasanya dapat dihitung dan
dijabarkan menjadi sebuah model yang sederhana dengan menggunakan optimisasi
dari model dinamis serta statis dari keseluruhan data sampel aset yang dianalisis..
Salah satu hal yang penting adalah menambahkan variabel dalam investasi asset yang
secara umum yang menjabarkan bahwa semua harta yang dimiliki selanjutnya ditentukan sampel-sampel yang mewakili aset.
Ketidakpastian, estimasi serta sampling error merupakan model-model yang sudah dikembangkan untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan
problematika investasi aset. Pengembangan model investasi aset dilakukan dengan
tujuan untuk memenuhi target pasar dari sebuah produk. Pengembangan investasi
dibutuhkan tiga faktor yang utama yaitu aplikasi dari produk yang dibuat, nilai jual
dan peluang pasar secara kontinu.
Aset yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan merupakan penjualan yang berhubungan dengan persoalan ekonomi dengan produksi sebagai salahsatu bentuk kendala
(Arnaud Porchet, 2005). Konsep pemodelan lain yang berhasil dikembangkan adalah
aplikasi pengembangan investasi aset dengan metode deviasi dengan menggunakan
pendekatan karakteristik dari solusi yang diperoleh.
1.2 Perumusan Masalah
Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana memodelkan program stokastik untuk menyelesaikan problem investasi aset dengan metode rata-rata
sampel dengan metode Monte Carlo dalam kondisi ketidakpastian.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah menyelesaikan problem investasi aset
dengan metode rata-rata sampel. Untuk menghindari risiko kerugian terhadap modal
yang ditanam pada perusahaan. Investasi aset yang dimaksud adalah kekayaan yang
dimiliki oleh perusahaan. Setelah melakukan penelitian ini maka diharapkan diperoleh
model program stokastik untuk menyelesaikan problem investasi aset dan memperoleh
hasil yang optimal.

Universitas Sumatera Utara

4
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat pada masalah yang berhubungan dengan investasi aset terutama yang berhubungan dengan metode rata-rata
sampel, menentukan model dengan kondisi ketidakpastian, serta menjadi acuan bagi
peneliti lainnya dalam melakukan penelitian yang sama atau lebih kompleks.
1.5 Metodologi Penelitian
Penelitian ini bersifat studi literatur kepustakaan dan dilakukan dengan mengumpulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal internasional, memahami
penelitian tentang beberapa metode program stokastik yang pernah diteliti orang.
Tahapan yang dilakukan adalah :
1. Memahami penelitian yang telah pernah dilakukan oleh peneliti lain yang berhubungan dengan problem investasi aset.
2. Menjelaskan metoda rata-rata sampel sebagai penyelesaian problem investasi
aset dengan menggunakan metode Monte Carlo.
3. Memperoleh Model program stokastik untuk menyelesaikan problem investasi
aset.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
PROGRAM STOKASTIK

2.1 Pengertian Program Stokastik
Banyak persoalan keputusan yang dapat dimodelkan dengan menggunakan program stokastik dengan tujuan menentukan nilai maksimum atau minimum. Tujuan
dan kendala dari sebuah program stokastik adalah fungsi dari variabel, dan persoalan
data yang berasal dari permasalahan yang sebenarnya. Sebagai contoh dari persoalan
data termasuk biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas, investasi
aset.
Andaikan keputusan dinyatakan oleh variabel (x1, x2 , . . . , xn ). Sebagai contoh xi
menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program matematika adalah
:
Min f(x1, x2 , x3, . . . , xn )
Kendala g1 (x1 , x2, x3, . . . , xn ) ≤ 0
g1 (x1 , x2, x3, . . . , xn ) ≤ 0
..
.

(2.1)

g2 (x1 , x2, x3, . . . , xn ) ≤ 0
(x1 , x2, x3, . . . , xn ) ∈ X
dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif serta g1 , g2, . . . gn adalah
kendala yang dihadapi dalam program stokastik.
Program Stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan
menampilkan elemen stokastik pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa :
a. Pada program stokastik deterministik, data (koefisien) adalah bilangan-bilangan
yang diketahui (tertentu).
5
Universitas Sumatera Utara

6
b. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.

Program stokastik merupakan program matematika dengan situasi (yang mengandung) ketidakpastian. Program stokastik adalah merupakan program matematika,
dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya
diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digambarkan pada
elemen w ∈ W . Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan
optimal untuk masalah optimisasi juga acak.

Ada dua tipe permasalahan program stokastik, yaitu :

1. Recourse Models (Model Rekursif)
2. Probabilistically Constrained Models (model Kendala Berpeluang)

Suatu cara logis yang diperlukan dalam persoalan adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan (yang digunakan) sebagai konsekwensi dari keputusan. Paradigma ini dikenal sebagai model Recourse.
Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(w) adalah sebuah vektor
keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekwensi dari x. Himpunan berbeda
yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari w. Formulasi dua
tahapnya adalah
min f1 (x)+ nilai harapan [f2(y(w), w)]
kendala g1 (x) ≤ 0, . . . , gm (x) ≤ 0
h1 (x, y(w)) ≤ 0, untuk setiap w ∈ W
..
.

..
.

(2.2)

hk (x, y(w)) ≤ 0 untuk setiap w ∈ W

Universitas Sumatera Utara

7
x ∈ X, y(w) ∈ Y
Himpunan kendala h1 , h2, . . . , hk , menggambarkan hubungan antara keputusan
tahap pertama x dan keputusan tahap kedua y(w). Di catat bahwa dipersyaratkan
(diharuskan) tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap w ∈ W

yang mungkin. Fungsi f2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari persoalan

matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-ubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik.
Model Recourse dapat diperluas dengan banyak cara. Untuk persoalan tahap
ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa ketidakpastian
yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan keputusan yang lain
didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya
yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.
Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu metode yang lebih tepat untuk
mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh
himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model umum
dengan kendala berpeluang disebut sebagai probabilistically constrained models yang
dirumuskan sebagai berikut :
min f(x1 , x2 , x3, . . . , xn )
kendala P r[g1 (x1, x2 , x3, . . . , xn ) ≤ 0 . . .
gm (x1, x2, x3, . . . , xn ) ≤ 0] ≥ α
h1 (x1, x2 , x3, . . . , xn ) ≤ 0

(2.3)

h2 (x1, x2, x3, . . . , xn ) ≤ 0]
(x1, x2 , x3, . . . , xn ) ∈ X
2.2 Program Stokastik Dua Tahap
Banyak persoalan perencanaan dan manajemen yang mengandung resiko dan
ketidakpastian dibahas dan diselesaikan dengan program stokastik dua tahap. Persoalan stokastik dengan kompensasi dari divergensi pada sistem dengan kendala mem-

Universitas Sumatera Utara

8
punyai aplikasi yang lebih banyak dari pada model program yang lain. Penyelesaian
persoalan program stokastik dua tahap berisi vektor acak dan vektor deterministik. Pada tahap pertama, penyelesaian persoalan rencana awal deterministik akan
dibuat. Pembentukan rencana awal deterministik dilakukan sebelum kondisi acak
dari persoalan ditentukan. Sebuah vektor acak pada penyelesaian persoalan yang
sesuai digunakan untuk merencanakan kompensasi divergensi, spesifikasi parameter
dari persoalan akan muncul pada tahap kedua. Tujuan dari manager pada persoalan
di atas adalah meminimum nilai rata-rata biaya, yang mana tidak hanya termasuk
pengeluaran pada tahap perencanaan pendahuluan tetapi juga pada tahap kedua yang
diperlukan untuk mengkompensasi pada divergensi di dalam sistem kendala persoalan.
Jika persoalan program stokastik dengan model dua tahap dapat diselesaikan maka
pemilihan dari rencana awal deterministik akan menjamin keberadaan (eksistensi)
vektor acak di dalam kompensasi untuk sistem yang divergen.
Andaikan terdapat persoalan berikut:

Min(C, X)

(2.4)

A0 X = B 0

(2.5)

AX = B

(2.6)

X ≥0

(2.7)

dimana
C = {cj }, j = 1, 2, . . . , m
B = (bi ), i = 1, 2, . . . , m
B0 = (b0k ), k = 1, 2, . . . , m
A0 =|| a0kj ||, k = 1, 2, . . . , m : j = 1, 2, . . . , n
Universitas Sumatera Utara

9
A =|| aij ||, i = 1, 2, . . . , m : j = 1, 2, . . . , n
Andaikan elemen dari matriks A = A(ω), vektor B = B(ω) dan C = C(ω) bernilai acak. Maka untuk proses penyelesaian dari persoalan (2.4 - 2.7) akan dibagi menjadi dua tahapan, sebelum pengamatan dari parameter acak pada kondisi dari tahap
pertama dipilih rencana non-negatif deterministik X 0 yang memenuhi kondisi (2.5).
pada tahap kedua ditentukan spesifikasi ω 0 dari setiap kejadian acak yang bersamaan
(sesuai) dengan nilai A(ω 0) dan B(ω 0). Hitung divergensi B(ω 0 ) − A(ω 0)X 0 yang

muncul pada kondisi (2.6) setelah realisasi ω 0 ∈ Ω. Definisikan vektor kompensasi
divergensi Y ≥ 0 yang sesuai dengan hubungan berikut

D(ω 0 )Y (ω 0 ) = B(ω 0) − A(ω 0)X 0

(2.8)

dimana D =|| dil , i = 1, 2 . . . , m; l = 1, 2 . . . , n adalah sebuah matriks kompensasi yang berisi elemen acak. Sehingga diasumsikan bahwa realisasi acak ω yang
diamati pada tahap kedua tidak bergantung pada pemilihan rencana pendahuluan
X 0.
Perhatikan persoalan program matematika berikut :
Tentukan vektor X berdimensi n dan vektor Y (ω) berdimensi n1 , ω ∈ Ω. Yang
menghasilkan

min
X Eω {(C(ω), X)

+min
Y (H, Y (ω))}

(2.9)

dengan kendala

A0 X = B 0

(2.10)

A(ω)X + D(ω)Y (ω) = B(ω) = B(ω), ω ∈ Ω

(2.11)

X ≥), Y (ω) ≥ 0

(2.12)

Universitas Sumatera Utara

10
H adalah vektor penalty yang bergantung pada nilai kompoinen dari vektor
Y (ω) yang mana merupakan kompensasi divergensi. E adalah notasi ekspekstasi
matematika setelah ditentukan rencana awal X 0 , kita pilih komponen vektor Y (ω)
dengan cara menjamin penalty minimum untuk kompensasi divergensi pada kondisi
dari persoalan. Dengan kata lain, setelah ditentukan vektor X 0 , perlu menyelesaikan
persoalan

min(H, Y (ω)) | D(ω)Y (ω) = B(ω) − A(ω)X 0Y (ω) ≥ 0}
Y

(2.13)

Kebergantungan (keadaan) pada bermacam-macam proses aktual yang dapat dimodelkan, menyebabkan persoalan dinamik akan memiliki salah satu bentuk berikut
yaitu : tidak dapat dikondisikan, kondisi probabilistik atau kendala statistik. Untuk
persoalan dinamik dengan kendala tidak dapat dikondisikan, karakteristik keputusan
adalah membuat pada basis informasi mengenai distribusi yang dikombinasikan oleh
parameter acak dari kondisi pada semua tahapan. Pada persoalan dinamik dengan
kondisi dua kasus kendala dapat dibedakan menjadi : (a) jika oleh momen pembuatan keputusan hanya realisasi dari parameter acak pada tahap sebelumnya yang
diperkirakan diketahui dan (b) jika oleh momen pembuatan keputusan melengkapi
informasi yang tersedia mengenai realisasi parameter acak (termasuk kondisi) yang
dinyatakan tahapan, tetapi nilai dari parameter acak pada tahapan berurutan tidak
diketahui. Terdapat relasi tertentu antara persoalan tahap ganda dengan yang tidak
dapat dikondisikan dan kondisi kendala.
Penyelesaian optimal untuk persoalan program stokastik dinamik dapat diperoleh dengan strategi murni atau campuran. Pada komponen kasus akhir pada penyelesaian atau karakteristik statistik dari distribusi yang memberikan penyelesaian akan
bergantung pada nilai parameter acak di dalam kondisi persoalan, yang direalisasikan
oleh momen pembuatan keputusan.
Konstruksi model probabilistik dinamik dan melaksanakan metode untuk realisasi yang ditampilkan akan sangat sulit. Pada bagian ini akan diberikan beberapa
persoalan yang berisi model matematika untuk persoalan tahap ganda dan prosedur
untuk mengkonstruksi penyelesaiannya.

Universitas Sumatera Utara

11
Untuk mengoperasikan model program stokastik diuraikan dengan metode sebagai berikut:

a. Bootstrap Data Historis
b. Pemodelan statistika dengan pendekatan ”value at risk”
c. Model vektor Autoregressi

a. Bootstrap Data Historis
Pendekatan paling sederhana untuk membangun skenario hanya memakai data
yang ada tanpa pemodelan matematika. Setiap skenario merupakan sampel dari
perolehan aset yang diperoleh dengan mensampling perolehan yang diamati di masa
lalu. Waktu dari catatan historis yang tersedia dipilih secara acak dan untuk setiap
waktu dalam sampel dibawa perolehan dari semua kelas tersebut. Ini merupakan
skenario perolehan bulanan. Jika ingin dibangun skenario perolehan untuk horizon
waktu panjang misalnya 1 tahun, disampel perolehan 12 bulan dari titik waktu yang
berbeda. Susunan perolehan dari deretan yang disampel merupakan perolehan 1
tahun. Dengan pendekatan ini korelasi diantara kelas aset dipertahankan.
b. Model Statistika dari Konsep Value-at-Risk
Analisis deret waktu dari data historis dapat dipakai untuk mengestimasi perubahan dari matriks korelasi antara kelas aset. Matriks korelasi ini dipakai untuk
mengukur resiko dengan metode Value-at-Risk (VaR).
Nyatakan peubah acak dengan vektor acak k-dimensi w. Dimensi w sama dengan jumlah faktor resiko yang ingin dimodelkan. Dengan mengandaikan bahwa
peubah acak secara gabungan bersebaran normal dapat didefinisikan fungsi kepadatan peluang dari w sebagai
f(w) = (2π)−p′2 | Q |−1′2 exp [− 12 (w − w)
¯ Q−1 (w − w)]
¯
′

disini w adalah ekspektasi dari w dan Y matriks kovarian dan dapat dihitung
dari data historis.

Universitas Sumatera Utara

12
Setelah parameter dari sebaran normal multivarian diestimasi dapat memakainya
dalam simulasi Monte Carlo dengan menggunakan pendekatan faktorisasi Cholesky
atau prosedur pembentukan skenario yang didasarkan pada analisis komponen utama
yang diajukan oleh Jamshidian dan Zhu (1997).
Simulasi dapat diterapkan secara berulang pada status berbeda dari pohon kejadian. Segitupun, mungkin saja ingin dipersyaratkan nilai acak yang dibangun pada
nilai-nilai yang diperoleh oleh beberapa peubah acak.
Sampling bersyarat dari peubah normal multivariat dilakukan seperti berikut.
Peubah w dipartisi menjadi 2 subvektor w1 dan w2 dengan w1 vektor dimensi K,
dari peubah acak untuk nama beberapa informasi tambahan tersedia dan w2 adalah
vektor dimensi K2 − K − K1 dari peubah sisa. Vektor nilai ekspektasi dan matriks
kovarian dipartisi secara analog sebagai

w
¯=

"

w
¯1
w
¯2

#

dan

Q=

"

Q11 Q12
Q21 Q22

#

Fungsi kepadatan peluang marginal dari w2 dengan diketahui w1 = w1∗ diberikan
oleh
f(w | w1 = w1∗ ) = (2π)−p2 ′2 | Q22.1 |−1′2 exp [− 12 (w2 − w
¯2.1) Q−1
¯2.1)]
22.1(w1 − w
′

dimana nilai ekspektasi bersyarat dan matriks kovarian diberikan oleh
−1 ∗
w
¯2.1(w1∗ = (w
¯2 − Q21Q−1
11 µ1 ) + Q21 Q11 w1

dan
Q22.1 = Q22 − Q21Q111Q12
Skenario w2 untuk periode t dipersyaratkan pada nilai w1 diberikan oleh w1t
dapat dibangun dari peubah normal multivariat melalui pernyataan
√
t
0
w2i
= w2i
exp [σi tw2i ]
t
dengan w2i
nilai hari ini dan σi adalah perubahan periode tunggal dari komponen ke

i peubah acak w2 .

Universitas Sumatera Utara

13
c. Pembentukan Skenario Menggunakan Model Vektor Autoregressi
Model vektor Autoregressi dapat dipakai untuk membentuk skenario. Dalam hal
ini diambil ilustrasi etnang sistem simulasi Asset Liahlity Management (ALM) untuk
dana pensiun. Karena cakupan dari sistem ini selalu dibatasi pada keputusan strategis
jangka panjang model investasi hanya mempraktekkan kumpulan kecil dari kelas aset
yang besar yaitu deposito, bond, real estate dan saham. Terpisah dari perolehan atas
aset-aset ini, setiap skenario harus mengandung informasi tentang pertumbuhan gaji
masa datang untuk menghitung nilai masa datang pensiun.
Model vektor autoregresi untuk membentuk skenario perolehan aset dan pertumbuhan gaji adalah
Rt = c + V ht−1 + εt εtℜN(0, Q), t = 1, 2, . . . , T
Rit = ln(1 + πit), i = 1, 2, . . . , m, t = 1, 2, . . . , T
Dengan m jumlah deret waktu aset, πit laju perubahan diskrit dari peubah i
ditahun t, Rt vektor dimensi-m dari laju majemuk, c vektor koefisien berdimensi m, V
adalah matriks koefisien m × m, εt vektor dimensi m dari pencilan dan Q matriks

kovariansi m × m.

Spesifikasi model vektor autoregressi harus dipilih secara hati-hati, walaupun
beberapa hubungan inter-temporal diantara perolehan mungkin signifikan lemah yang
didasarkan pada data historis, tidak berakibat bahwa hubungan ini juga bermanfaat
untuk membentuk skenario.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
MODEL INVESTASI ASET

Pada bab ini akan dikaji masalah investasi dengan himpunan aset A, untuk
periode waktu t = 1, . . . , T , investor berkeinginan menentukan jumlah optimal untuk
Utα setiap aset aǫA yang akan dibeli/dijual. Total unit aαt dari aset a pada waktu t
a
a
diatur, oleh persamaan rekursif xat = xat−1 + Ut−1
, t = 2, . . . , T . Dimana Ut−1
bisa

positif atau negatif tergantung pada pembelian atau penjualan aset a. Dengan xat dan
cat dinotasikan masing-masing jumlah tunai dan harga dari aset a pada waktu t, dan
dengan R = 1 + r, dimana r adalah suku bunga. Diasumsikan bahwa suku bunga r
yang diterima dalam setiap tahap waktu adalah tetap.
3.1 Model Investasi Aset
Misalkan A merupakan kumpulan seluruh aset dengan periode t = 1, . . . , T
adalah proses memaksimumkan peluang yang mungkin terjadi selama perusahaan
menjalankan aktivitasnya. Persoalan investasi aset kemudian dapat dimodelkan ke
dalam optimisasi maksimum yaitu :
"

max E U

Kendala

xat +

X

caT xaT

a∈A

!#

xat = xat−1 uat−1 ,

xat xct−1 −

X

(3.1)

t = 2, . . . , T a ∈ A
!

cat−1 xat−1 , R t = 2, . . . , T

a∈A

(3.2)

(3.3)

xat ≥ 0, t = 2, . . . , T a ∈ A

(3.4)

xct ≥ 0, t = 2, . . . , T

(3.5)

14
Universitas Sumatera Utara

15
Dengan memasukkan nilai transaksi yaitu pembelian serta penjualan aset, dapat
dibedakan menjadi dua variabel yaitu variabel yang berhubungan dengan pembelian
aset serta variabel yang berhubungan dengan penjualan aset.
"

max E U

xat

+

X

caT xaT

a∈A

Kendala

!#

(3.6)

as
xat = xat−1 + uab
t−1 − ut−1 ,

xct =

xct−1 +

X
a∈A

t = 2, . . . , T a ∈ A

b a
ab
τ s cat−1 uas
t−1 − τ ct−1 ut−1

!

R,

(3.7)

t = 2, . . . , T

xat ≥ 0, t = 2, . . . , T a ∈ A

(3.8)

(3.9)

xct ≥ 0, t = 2, . . . , T

(3.10)

as
uab
t , ut ≥ 0, t = 2, . . . , T a ∈ A

(3.11)

Keterangan :
uat

= notasi keputusan jual′ beli

uab
t
uas
t

= notasi keputusan beli

T

= notasi biaya transaksi proposional

= notasi keputusan jual

(1 − T )Cta = notasi pendapatan dari penjualan aset sekarang
(1 − T )Cta = notasi biaya pembelian untuk T ∈ (0, 1)
Cta

= notasi realisasi tertentu dari variabel acak yang bersesuaian.

E

= Ekspektasi (nilai harapan)

uc−1

= tujuan memaksimalkan perkiraan utilitas kekayaan pada tahap waktu t

R

= 1 + r, dimana r = suku bunga

Universitas Sumatera Utara

16
xat

= notasi jumlah tunai dari aset a pada waktu t

xct

= notasi jumlah tunai dari aset c pada waktu t.

uat

= jumlah optimal setiap aset a ∈ A yang dibeli/dijual.

Model investasi aset dengan menggunakan nilai transaksi serta mengunakan variabel
random yang mempengaruhi penjualan serta pembelian aset dengan model markov
adalah sebagai berikut :
ℓi (xt = αct xct +

P

αci xct ,

a∈A

i∈I

Dengan menggunakan nilai markov kedalam fungsi dengan periode T − 1 diperoleh
model optimisasinya sebagai berikut :


 
P a a
c
cT xT | cT −1 = cT −1
max E U xT +
uT −1 ,xT

kendala

a∈A

as
xut = xaT −1 + uab
T −1 − uT −1 , a ∈ A

"

xcT = xcT −1 +

X
a∈A

#

b a ab
R
τ s caT −1 αas
t − τ xt αt

(3.12)

as
uab
T −1 ≥ 0, uT −1 ≥ 0, a ∈ A

ℓi (xT ) ≥ 0, i ∈ I
Jika dimuat nilai ekspektasi ct = ct, dengan tahapan T − 2, . . . , 1 dengan korespon-

densi yang menggunakan Qt(xt, ct) diperoleh model :
max E [Qt+1 (xt+1 , ct+1 ) | ct = ct ]

ut ,xt+1

kendala

as
xat = xat + uab
t − ut , a ∈ A

"

xct+1 = xct +

X
a∈A

b a
τ s cat uas
t − τ ct ut



ab

#

R

(3.13)

as
uab
t ≥ 0, ut ≥ 0, a ∈ A

ℓi (xt+1 ) ≥ 0, i ∈ I
Universitas Sumatera Utara

17


as
a ∈ A sebagai solusi penyeleModel keputusan optimal dengan vector u1 = uab
1 , u1
saian optimal dari persoalan optimisasi menjadi model:
max E [Q2 (x2, c2 )]
ut ,x2

kendala

as
xa2 = xa1 + uab
1 − u1 , a ∈ A

"

xc2 = xc1 +

X
a∈A



ab

b a
τ s ca1 uas
1 − τ x1 u 1

#

R

(3.14)

as
uab
1 ≥ 0, u1 ≥ 0, a ∈ A

ℓi (x2) ≥ 0, i ∈ I
Tahap penyederhaan awal dimulai dengan memuat vector x1 sebagai faktor yang
memperngaruhi nilai aset pada model tersebut menjadi bentuk numerik dengan model
bronian geometric adalah sebagai berikut:

lncat = lncat−1 + µa ∆t + σ a (∆t)1′2ζta ,

t = 2, . . . , T a ∈ A

(3.15)

3.2 Kebijakan Myopik
Dalam penerapan ilmu ekonomi yang berhubungan dengan investasi aset yang
praktis, bunga merupakan nilai yang mempengaruhi investor untuk melakukan investasi dengan nilai aset yang dimiliki oleh perusahaan. Model optimal dari investasi
asset dengan tahapan ganda merupakan model stokastik programming serta menjadi
bagian yang terpenting dalam menentukan investasi aset sebuah perusahaan. Untuk
investasi aset tersebut dapat ditentukan dengan menunjukkan persamaan dinamis
sebagai berikut:

uat = xct+1 − xct danℜ−1 xct+1 + Σa∈A cai xat+1 = Wt

(3.16)

Dimana Wt := xct + Σa∈A cat xat merupakan tahapan perhitungan aset dengan beberapa
penambahan variabel lain, model berkembang menjadi :

Universitas Sumatera Utara

18

a
a
a
:= cct xat+1, yt+1
:= ℜ−1 xct+1 danξt+1
:= cat+1 /ca1
yt+1

(3.17)

Perubahan nilai variabel tersebut dapat ditransformasikan menjadi model:

X


a
a
a
ℓi yt+1
ct := (Rαci ) yt+1
+
(αai /cat ) yt+1
, i∈I

(3.18)

a∈A

Sehingga model optimisasi berubah menjadi:


 
P a a
c
ξT yT | ξT −1 = ξT −1
max E U RyT +
yT

a∈A

kendala

yTc +

X

yTa = WT −1

(3.19)

a∈A

ℓi (yT , cT −1) ≥ 0, i ∈ I
˜ T −1(WT −1 , ξT −1 nilai optimal dari permasalahan (3.19). diperoleh bahwa
diberikan Q

˜ T −1 ca +
QT −1(xT −1, cT −1 = Q
T −1

X

caT −1 xaT −1, ξT −1

a∈A

!

(3.20)

Selanjutnya perhitungan dengan menggunakan waktu t = T − 2, . . . , 1 diperoleh:
˜ t xa +
Qt(xt , ct) = Q
t

X

cat xat, ξt

a∈A

!

(3.21)

Dengan nilai optimal :

max
yt+1

"

˜ t+1 Ry c +
E Q
t+1

kendala

X

a
a
ξt+1
yt+1
ξt+1

a∈A

c
yt+1
+

X

a
yt+1
= Wt

!

| ξt = ξt

#

(3.22)

(3.23)

a∈A

Universitas Sumatera Utara

19

ℓi (yt+ , ct ) ≥ 0, i ∈ I

(3.24)

Himpunan vektor-vektor Yt+1 yang memenuhi persamaan (3.23) dan (3.24),
diperoleh:

Ut (Wt , ξt ) =

(

yt+1 :

a
yt+1

X
a∈A

= Wt , ℓi (yt+1 , ct ) ≥ 0, i ∈ I

)

(3.25)

Persamaan (3.23) dan (3.24) adalah linier, himpunan Ut (Wt, ξt ), t = T − 1, . . . , 1

adalah homogen positif terhadap Wt , diperoleh:

Ut (αWt , ξt ) = αut (Wt , ξt )untuk setiap α > 0

(3.26)

Catat juga bahwa urutan masalah yang mungkin persamaan (3.22) - (3.24) sehingga
diperoleh:
"

˜ t+1 Ry c +
E Q
t+1

X

a
a
ξt+1
yt+1
ξt+1

a∈A

!

#

| ξt = ξt > −∞

(3.27)

Diperoleh fungsi logaritmanya menjadi:

U (αZ) = logα + U (z)

(3.28)

untuk setiap α > 0 dan z > 0. Sehingga UT −1 (WT −1, ξT −1 ) merupakan homogen
positif dengan pengaruh pada WT −1 dan karena dari (3.28), ini berpengaruh terhadap himpunan ST −1 (WT −1 , ξT −1 dari penyelesaian optimal pada (3.19) yang selalu
homogen positif dengan terhadap WT −1 , dan untuk setiap WT −1 > 0,

˜ T −1 (WT −1 , ξT −1) = Q
˜ T −1 (1, ξT −1 ) + logWT −1
Q

(3.29)

nilai tersebut ekivalen dengan model:

Universitas Sumatera Utara

20

i
h
˜
˜
QT −2 (WT −2 , ξT −2 ) = E Qt−1 (1, ξT −1 ) | ξT −2 = ξT −2 + QT −2 (WT −2 , ξT −2)

(3.30)

dimana QT −2 (WT −2, ξT −2 ) merupakan nilai optimal dari masalah


 
P a
a
c
ξT −1 yT −1 | ξT −2 = ξT −2
max E log RyT −1 +
yT −1

a∈A

kendala

yTc −1 +

X

yTa −1 = Wt−2

(3.31)

a∈A

ℓi (yT −1, cT −2 ) ≥ 0, i ∈ I
maka diperoleh

˜ T −2 (WT −2 , ξT −2 ) = Qt−2 (1, ξT −1 )logWT −2
Q

(3.32)

˜ T −1(WT −1 , ξT −1 ), dan Qt (Wt , ξt ) merupakan nilai op˜ T −1 (WT −1 , ξT −1 ) = Q
dimana Q
timal dari
max
yT −1



E log

kendala



c
Ryt+1

c
yt+1
+

+

P

a
a
ξt+1
yt+1

a∈A

X



| ξt = ξt

a
yt+1
= Wt


(3.33)

a∈A

ℓi (yt+1, ct ) ≥ 0, i ∈ I
untuk t = T − 2, . . . , 1. Catatan bahwa jika vektor ξt dan ξt+1 acak merupakan

independent maka Qt(Wt , ξt ) tidak independent pada ξt .

Bila nilai optimal v ∗ dari koreponden (benar) masalah multistage akan memberikan dengan (bila ξ1 = c1 dan tidak acak).

v ∗logW1 +

T −1
X

E[Qt(1, ξt )]

(3.34)

t=1

dan tahap pertama penyelesaian optimal akan memperoleh penyelesaian masalah

Universitas Sumatera Utara

21

max
y2





E log Ry2c +

kendala

y2c +

X

P

a∈A

ξ2a y2a



| ξ2a y2a



y2a = Wt

(3.35)

a∈A

ℓi (y2 , c1) ≥ 0, i ∈ I
Hasil akan memperoleh
Proporsi 1. Andaikan bahwa tidak ada biaya transaksi dan misalkan U (∗) merupakan fungsi log-utilitas. Maka: (i) nilai optimal v ∗, dari masalah multistage, diberikan
oleh persamaan (3.34), (ii) himpunan penyelesaian optimal dari masalah tahap pertama (3.32) hanya tergantung pada distribusi dari c2 (dan tak tergantung pada realisasi data acak pada tahap-tahap berikut t = 3, . . . , T ), dan bisa diperoleh dengan
menyelesaikan masalah (3.35).
Bukti, jika y¯2 − (¯
y2c , y¯2a)a ∈ A merupakan penyelesaian optimal dari masalah (3.35),
maka

u
˜a1 := (ca1 )−1 y˜a2 − x1a a ∈ A

(3.36)

Memberikan penyelesaian optimal yang bersesuaian dari masalah tahap pertama
(3.32). yang jelas himpunan penyelesaian optimal dari (3.35) tidak tergantung dari
pada c3 , . . . , cT .

∗

v = logW1 +

T −1
X

EQt(1)

(3.37)

t=1

Karena homogenitas positif dari UT −1 (., ξT −1) sehingga U (αz) = αγ dari α > 0, maka
diperoleh bahwa WT −1 y¯T merupakan penyelesaian optimal dari (3.19) untuk setiap
WT −1 > 0, sehingga



 
P a a
c
˜ − 1(WT −1 , ξT −1 ) = E U WT −1 R˜
yT +
| ξT = ξT −1
ξT yT
QT
a∈A

Universitas Sumatera Utara

22

=

WTγ−1 E

"

U

R˜
yTc +

X

ξTa y˜Ta

a∈A

!

| ξT −2 = ξT −1

#

(3.38)

˜ T −1(1, ξT −1
= WTγ−1 Q
model penyederhanaan solusi optimalnya adalah sebagai berikut:

˜ T −1(Wt , ξT −1 ) = W γ Q
˜
Q
T −1 T −1 (1).

(3.39)

˜ T −1 merupakan nilai optimal (3.19) untuk WT −1 = 1. Selanjutnya
dimana Q
untuk t = T − 2, . . . , 1 dan Wt > 0.
˜ t(Wt , ξt ) = Wtγ Q
˜ t (1).
Q

(3.40)

Pendekatan model dikembangkan menjadi:

 
P a a
c
ξt+1 yt+1
max E U Ryt+1 +
yt+1

kendala

a∈A

c
yt+1
+

X

a
yt+1
= Wt

(3.41)

a∈A

ℓi (yt+1, ct ) ≥ 0, i ∈ I
Diperoleh hasil berikut
Proporsi 2. Andaikan bahwa tidak ada biaya transaksi dan proses acak (ξta =
cat ′cat−1)a∈A , t = 2, . . . , T saling independent, dan misalkan U (∗) menjadi fungsi utilitas untuk suatu γ ≤ 1, γ 6= 0. Maka himpunan penyelesaian optimal dari masalah

tahap pertama (3.32) hanya tergantung pada distribusi ξ2 (dan tidak tergantung pada
realisasi ξ3 , . . . ξT ) dan bisa diperoleh dengan menyelesaikan masalah (3.41) untuk
t = 1, dan

Universitas Sumatera Utara

23

∗

v =

W1γ

T
−1
Y

Qt (1)

(3.42)

t=1

dimana Qt (Wt ) merupakan nilai optimal dari masalah (3.41)
Dari persamaan (3.42) memperlihatkan perilaku pergandaan dari nilai optimal bila
fungsi utilitas pangkat digunakan. Ini dapat dibandingkan dengan perilaku penjumlahan untuk fungsi log-utilitas.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
METODE RATA-RATA SAMPLE

4.1 Metode Monte Carlo
Untuk menghitung rata-rata sampel dapat dilakukan pendekatan dengan metode
sampel Monte Carlo dengan menentukan sampel N = {N1, N2 , . . . , Nt−1 } merupakan

bilangan integer. Tahapan pertama yang dilakukan adalah N1 sebagai replikasi vek-

tor sebagai sebuah vektor random yang akan dibangun untuk menentukan model
selanjutnya, vektor random tersebut dapat dimisalkan sebagai vektor c2 yang akan
direplikasi. Replikasi yang akan dilakukan pada tahapan ini tidak membutuhkan pemodelan secara stokastik, model yang dibutuhkan adalah model yang memuat teori
peluang yang dapat menghitung rata-rata sampel dengan peluang yang memuat vektor c3 sebagai kelanjutan penggandaan dari vektor c2 yang dibutuhkan sebagai dasar
untuk menentukan rata-rata sampel dari perhitungan model Monte Carlo.
Masing-masing bagian dari setiap vektor yang dimaksud tersebut merupakan
bagian yang akan dihitung totalnya secara keseluruhan dalam total N sampel. Selanjutnya model akan dibuat berdasarkan proses random yang mungkin dari total
keseluruhan sampel N dengan peluang masing-masing sampel adalah 1/N. Secara
keseluruhan maka metode yang digunakan akan memiliki permasalahan optimisasi
yang akan membagun sampel-sampel dan selanjutnya akan dihitung rata-rata sampel
tersebut sehingga diperoleh total perhitungan rata-rata sampel yang diinginkan dari
model yang dibuat untuk menghitung total investasi aset.
Total sampel keseluruhan dalam bentuk N tidak besar, maka model rata-rata
sampel dapat dihitung dengan ukuran sampel yang sederhana tanpa harus dilakukan
pemodelan dan menentukan vektor basis yang akan dibangun sebagai dasar sampel
untuk melakukan perhitungan dari model rata-rata sampel yang akan dibuat Jika
sampelnya cukup besar maka untuk menentukan rata-rata sampel dengan tahapan
tahapan tertentu untuk menentukan solusi. Perhitungan rata-rata sampel tersebut
merupakan perhitungan secara korespondensi dari distribusi sampel yang ingin dihitung rata-ratanya dengan nilai optimal solusinya adalah vN. Nilai vN merupakan nilai
rata-rata sampel dari sejumlah sampel yang dipilih secara random. Nilai rata-rata
24
Universitas Sumatera Utara

25
sampel tersebut tentunya merupakan ukuran dari total sampel yang dimaksud yaitu
Nt , t = 1, 2, . . . , T − 1 yang merupakan bagian dari kelompok-kelompok sampel yang
akan dihitung rata-ratanya.

Model penyelesaian statistik dengan Monte Carlo diperoleh :

v ∗ ≤ E[ˆ
vN]

(4.1)

Investasi aset dihitung dengan menggunakan sampel N = N1, . . . , NT −1 adalah menghitung nilai optimal dengan model sebagai berikut:

v¯N,M := M

1

M
X

j
vˆN

(4.2)

j=1

Estimasi nilai sampel dihitung dengan menjadi :
M

2
σ
ˆ N,M
:=

X j


1
j
vˆN − v¯N,M
M(M − 1) j=1

(4.3)

Batasan perhitungan nilai sampel adalah :

v¯N,M + tα,v σ
ˆN,M

(4.4)

Batasan perhitungan nilai sampel adalah:
N

v¯N1 ,M

M

1 X
X
1
:=
vˆj,m
M(M − 1) j=1 m=t

(4.5)

Substitusi kepersamaan (4.5) menjadi:

x2, cj2 ) ≤ E⌈ˆ
v j,m | c2 = cj2 ⌉, j = 1, . . . , N1 , m = 1, . . . , M
Q2(¯

(4.6)

Universitas Sumatera Utara

26

E | Q2 (x2, c2 ) |= N1

N1
X
j=1



E Q2(x2 , ct2) ≤ E | v¯N1 ,M |

(4.7)

Nilai X dan Y dari variabel random dapat dihitung yaitu:

Var(Y ) = E [Var(Y | X)] + Var [E(Y | X)]

(4.8)





Var(ˆ
v j,m) = E Var(ˆ
v j,m | cj2
v j,m | cj2 ) + Var E(ˆ

(4.9)

Disederhanakan menjadi :
2
:=
vˆN
1 ,M

1
N1 M (M −1)

M
N1 P
P

j=1 m=1

vˆj,m − v¯ˆj


2

N

1
X

2
1
v¯ˆj − v¯ˆN1 ,M
+
N1 (N1 − 1) j=1

(4.10)

Nilai batasan sampel diperoleh:

ˆN1 ,M
v¯N1 ,M + zασ

(4.11)

Sebagai proses acak dengan N realisasi yang mungkin, masing-masing dengan
probabilitas yang sama 1′N. Akibatnya yang dihasilkan bisa diasosiasikan masalah
optimisasi. Masalah yang diperoleh yang terkait dengan sampel yang dihasilkan. Nilai
optimal yang dinotasikan dengan VN dan diperoleh penyelesaian optimal.
4.2 Sifat-sifat Statistik dari Batas Atas
Dengan (4.1) diperoleh vn adalah estimator tak bias naik atas optimal v ∗ dari
masalah sebenarnya. Khususnya diselidiki bagaimana bisa yang bersesuaian berperilaku untuk ukuran sampel dan pada jumlah tahap berbeda-beda. Perhatikan kasus
tanpa biaya transaksi dengan fungsi log-utilitas. Dengan mengingat bahwa bersyarat
j
j
= (ξt+1
), a ∈ A, j = 1, . . . , N,
titik sampel ξt , pada tahap t, dihasilkan sampel ξt+1

berukuran Nt dari ξt . Kemudian diperoleh bahwa, untuk Wt = 1 nilai optimal Qt(1, ξt )

Universitas Sumatera Utara

27
dari masalah (4.16) diaproksimasikan dengan nilai optimal Qt , Nt(1, ξt ) dari masalah.
Nilai statistik sampel dapat dihitung dengan menggunakan nilai optimal dari v sehingga diperoleh model sebagai berikut :
"
#

N1
P
P
a
a
c
ξt+1
yt+1
U Ryt+1
+
max N11
yt+1

j=1

kendala

a∈A

c
+
yt+1

X

a
yt+1
=1

(4.12)

a∈A

ℓi (yt+ , ct ) ≥ 0, i ∈ I
Subtitusi nilai U (z) = log z, sehingga diperoleh model:

h
i
˜ t,Nt (1, ξt ) − Qt (1, ξt )
Bt,Nt (ξt ) := E Q

(4.13)

h
i
˜ t,Nt (1, ξt ) ≥ Qt (1, ξt )
E Q
vˆN = W1 +

T −1
X
t=1

E [ˆ
vN,M ] − v ∗ =

T
−1
X
t=1

(4.14)

!
1 X ˆ
j
Qt,Nt (1, ξt )
Nt j∈J

(4.15)

1

!
1 X
Bt,Nt (1, ξtj )
Nt j∈J

(4.16)

1

Proses statistik disederhanakan menjadi:

∗

E [¯
vN,M ] − v = +

T
−1
X

Bt,Nt

(4.17)

t=1

Model variansi secara statistik ditentukan:

Var(ˆ
vN ) =

T
−1
X
t=1

i
h
˜ t,Nt
Var Q


Nt


(4.18)

Universitas Sumatera Utara

28

Var(ˆ
vN ) =

T −1
X
t=1

i
h
˜ t,Nt
Var Q

(4.19)

Fungsi statistik dihitung dengan menggunakan model:

vˆN =

W1γ

T
−1 
Y
t=1

1 ˜
Qt,Nt (1, ξT −1 )
Nt



(4.20)

dimana :Qt, Nt (1 − ξtj ) adalah optimal, maka

E [ˆ
vN ] =

T
−1
Y




T
−1
Y


1 ˜
1 ˜
j
γ
E
E
Qt,Nt 1, ξt = W1
Qt (1) + Bt,Nt
Nt
Nt
t=1
t=1

W1γ

E [¯
vN,M ] − v ∗ = W1γ

=v

∗

TQ
−1
t=1

W1γ



˜ t + Bt,Nt − W γ
EQ
1

T
−1 
Y
t=1

Bt,Nt
1+
˜ t (1)
Q

TQ
−1

(4.21)

˜ t (1)
EQ

t=1



(4.22)

Model statistik selanjutnya dihitung dengan menggunakan model:
TQ
−1 
t=1

1+

Bt,Nt
˜ t(1)
Q



≈1+

TP
−1
t=1

Bt,Nt
˜ t (1)
Q

E [U (WT ] ≤ v ∗

(4.23)

′

N
1 X
v N := ′
U (WTj )
N j=1

(4.24)

′

σ2N :=

1
N (N ′ − 1)
′

vN ′ − zα σN ′

N
X

j=1

U (WTj ) − cN ′

2

(4.25)

(4.26)

Universitas Sumatera Utara

29
Diperoleh nilai pendekatan optimisasi menjadi:

max

X

Ui (xi , ui )

(4.27)

i∈I

kendala

xi = Ai xi− + Bi xi− + bi

(4.28)

Ci xi + Di ui = di

(4.29)

Ei xi + Fi ui ≥ ei

(4.30)

Penyelesaian optimal dinotasikan {x∗i , u∗i }

node yang bersesuaian dengan stadium t.

i ∈ I, dan misalkan It menotasikan

Universitas Sumatera Utara

BAB 5
KESIMPULAN

Untuk memodelkan program stokastik dari investasi aset sebuah perusahaan
dapat digunakan metode rata-rata sampel. Metode rata-rata sampel yang digunakan adalah metode Monte Carlo untuk menghitung investasi aset secara keseluruhan adalah perhitungan yang termasuk dalam model stokastik programming dengan
memakai sampel sehingga memudahkan penyelesaian dari perhitungan total investasi
aset yang ingin dihitung. Sampel yang dipilih sebagai perhitungan akan membuat
perhitungan rata-rata investasi aset menjadi lebih mudah dalam menentukan penyelesaian secara optimal dari persoalan investasi aset tersebut. Dengan metode ratarata sampel akan lebih sederhana jika menggunakan model untuk menyelesaiakan
permasalahan stokastik.

30
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR PUSTAKA
Algoet, P.H., Cover, T.M., (1988). Asymtotic Optimality and asymptotic equivarition
properties of log optimum investment. Ann. Probah 16, 876-898.
Beltratti, A., Laurant, A., Zenios, S.A., (2004). Scenario modeling for selective hedging
strategies. J. Econ. Dyn. Control 28, 955-974.
Birge, Louveaux, J.R., (1997). Introduction to Stochastic Programming, SpringerVerlag, New York.
Charles, T., (1999). On the deterministic sample of invesment, Journal of banking
finance, 1487-1503.
Efimov,V.M., (1970). Optimal optimization under uncertainty, Econ. Math. Methods,
6, No. 3.
Eisner, M.J., Kaplan, R.S., & Soden, J.V., ( 1971). Admissible Rules for the E-Model
of Chance-Constrained Programming, Management Sci., No. 17.
Jamshidian, F.,& Zhu, Y., (1997). Sce