Estimator Bayes Untuk Rata–Rata Tahan Hidup Dari Distribusi Weibull Dengan Sampel Lengkap

ESTIMATOR BAYES UNTUK RATA–RATA TAHAN

HIDUP DARI DISTRIBUSI WEIBULL

DENGAN SAMPEL LENGKAP

SKRIPSI

ZULFIKRI DALIMUNTHE

090823076

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

ESTIMATOR BAYES UNTUK RATA–RATA TAHAN

HIDUP DARI DISTRIBUSI WEIBULL

DENGAN SAMPEL LENGKAP

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ZULFIKRI DALIMUNTHE

090823076

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

PERSETUJUAN

Judul : ESTIMATOR BAYES UNTUK RATA-RATA

TAHAN HIDUP DARI DISTRIBUSI WEIBULL

DENGAN SAMPEL LENGKAP

Kategori : SKRIPSI

Nama : ZULFIKRI DALIMUNTHE

Nomor Induk Mahasiswa : 090823076

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

Diluluskan di

Medan, Juli 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing II Pembimbing I

Drs. H. Haludin Panjaitan Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP. 19460309 197902 1 001 NIP. 19461225 197403 1 001

Diketahui Oleh :

Departemen Matematika FMIFA USU Ketua,

Prof Dr. Tulus, M.Si

PERNYATAAN

ESTIMATOR BAYES UNTUK RATA-RATA TAHAN HIDUP DARI DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN SAMPEL LENGKAP

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing–masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2011

ZULFIKRI DALIMUNTHE 090823076

ABSTRAK

Analisis uji waktu hidup adalah salah satu analisis statistik yang banyak digunakan pada dunia industri dan kesehatan. Ada 3 (tiga) metode yang umum digunakan dalam pengamatan waktu hidup. Sampel Lengkap dimana pengamatan berhenti setelah semua sampel yang diamati mati, sensor tipe I pengamatan dilakukan selama unit waktu tertentu, sensor tipe II pengamatan berhenti setelah n kegagalan. Data waktu Hidup adalah sampel acak yang mempunyai distribusi peluang. Dalam Skripsi ini penulis memakai distribusi Weibull dan sampel lengkap dari data uji hidup dengan menggunakan estimator Bayes. Dari hasil pembahasan diperoleh bentuk estimator Bayes rata-rata tahan hidup dari data uji hidup berdistribusi Weibull dengan sampel

lengkap adalah

2 1

 





_

c n

a t n i

p i

ABSTRACT

Lifetime Analysis is one of the Statistics analysis which is many use in industry and health. There are three general method which is often used in lifetime data analysis. Complete sampel which is the observasion stopped when all the observation failed, type I censored the observation stopped during at an unit time, type II censor the observation stopped at an failure. Lifetime data is random sample which is has a probability distribution. In this thesis writer use a Weibull distribution and complete sampel of lifetime data with Bayes estimator.

DAFTAR ISI

Halaman Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv Abstrak v

abstract vi

Daftar isi vii

Daftar Gambar viii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tinjauan Pustaka 2

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Kontribusi Penelitian 4

1.6 Metode Penelitian 5

BAB 2 LANDASAN TEORI 6

2.1 Ruang Sampel dan Kejadian 6

2.2 Definisi Peluang Suatu Kejadian 7

2.3 Peubah Acak 7

2.4 Distribusi Peluang 8

2.5 Pendekatan Bayes untuk Menentukan Estimator 9 2.6 Konsep Dasar Distribusi Tahan Hidup 11

2.7 Sistem Keandalan 14

2.7.1 Sistem Keandalan Seri 15

2.7.2 sistem Keandalan Paralel 16

2.7.2.1 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan aktif 16 2.7.2.2 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan pasif 17 2.7.2.3 Kombinasi Sistem Seri dan Paralel 18

2.8 Sampel Lengkap 20

2.9 Distribusi Weibull 21

BAB 3 PEMBAHASAN DAN HASIL 22

3.1 Teorema Bayes 22

3.2 Estimator Bayes untuk Rata-rata Tahan Hidup dari Data Uji Hidup Berdistribusi Weibull dengan Sampel Lengkap 24

3.3 Contoh Kasus 28

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 30

4.1 Kesimpulan 30

4.2 Saran 30

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Sistem Keandalan Seri 15

Gambar 2.2 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan aktif 16 Gambar 2.3 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif 18

Gambar 2.4 Sistem Kombinasi Seri-Paralel 18

ABSTRAK

Analisis uji waktu hidup adalah salah satu analisis statistik yang banyak digunakan pada dunia industri dan kesehatan. Ada 3 (tiga) metode yang umum digunakan dalam pengamatan waktu hidup. Sampel Lengkap dimana pengamatan berhenti setelah semua sampel yang diamati mati, sensor tipe I pengamatan dilakukan selama unit waktu tertentu, sensor tipe II pengamatan berhenti setelah n kegagalan. Data waktu Hidup adalah sampel acak yang mempunyai distribusi peluang. Dalam Skripsi ini penulis memakai distribusi Weibull dan sampel lengkap dari data uji hidup dengan menggunakan estimator Bayes. Dari hasil pembahasan diperoleh bentuk estimator Bayes rata-rata tahan hidup dari data uji hidup berdistribusi Weibull dengan sampel

lengkap adalah

2 1

 





_

c n

a t n i

p i

ABSTRACT

Lifetime Analysis is one of the Statistics analysis which is many use in industry and health. There are three general method which is often used in lifetime data analysis. Complete sampel which is the observasion stopped when all the observation failed, type I censored the observation stopped during at an unit time, type II censor the observation stopped at an failure. Lifetime data is random sample which is has a probability distribution. In this thesis writer use a Weibull distribution and complete sampel of lifetime data with Bayes estimator.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Analisis data uji hidup merupakan salah satu teknik statistika yang berguna untuk melakukan pengujian tentang tahan hidup atau keandalan suatu komponen. Keandalan dapat diartikan sebagai probabilitas tidak terjadinya suatu kegagalan atau kerusakan suatu alat untuk melakukan fungsinya secara wajar selama periode operasi yang ditentukan.

Data waktu hidup yang diperoleh dari percobaan uji hidup dapat berbentuk data lengkap, data tersensor tipe I dan data tersensor tipe II. Berbentuk data lengkap apabila semua benda dalam percobaan diuji sampai semuanya gagal, berbentuk data tersensor tipe I bila data uji hidup dihasilkan setelah percobaan berjalan selama waktu yang ditentukan, serta berbentuk data tersensor tipe II apabila observasi diakhiri setelah sejumlah kematian atau kegagalan tertentu telah terjadi.

Fungsi distribusi hidup yang didasarkan pada pengetahuan atau asumsi tertentu tentang distribusi populasinya termasuk dalam fungsi parametrik. Beberapa distribusi yang dapat digunakan untuk menggambarkan waktu hidup antara lain distribusi Eksponensial, distribusi Weibull, distribusi Gamma, distribusi Rayleigh dan lain-lain. Dari beberapa distribusi tersebut dipilih fungsi tahan hidup berdistribusi Weibull dalam penelitian ini.

Untuk mengetahui apakah distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup yang diasumsikan telah menggambarkan keadaan yang sesungguhnya, diperlukan suatu analisis terhadap data waktu hidup. Langkah untuk menganalisis terhadap fungsi distribusi dari data waktu hidup adalah dengan mengestimasi harga parameter distribusinya.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana bentuk estimator Bayes untuk rata-rata tahan hidup dari data uji hidup berdistribusi Weibull dengan sampel lengkap.

1.3 Tinjauan Pustaka

Misalkan variabel random T menunjukkan waktu hidup dari organisme dalam populasi. Waktu hidup T merupakan variabel random kontinu dan non negatif dalam interval (0,∞). Fungsi tahan hidup adalah probabilitas suatu individu dapat bertahan hidup sampai pada waktu t (t > 0). Fungsi distribusi kumulatif F(t) untuk distribusi kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(t) dinyatakan sebagai berikut:

  

t PT t



F  

atau

 

( ) 0

0

 



f t dt untukt t

F

t

oleh karena itu diperoleh fungsi tahan hidup yang didefenisikan sebagai berikut: S(t) = P(T ≥ t)

= 1- P(T ≤ t) = 1- F(t) (lawless.1982)

Ada 3 (tiga) macam metode yang sering digunakan dalam eksperimen uji hidup, yaitu sebagai berikut:

1. Sampel Lengkap, jika semua komponen yang diuji telah mati atau gagal, maka eksperimen akan dihentikan.

2. Sensor tipe I, semua objek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu yang bersamaan, dan pengujian akan dihentikan setelah batas waktu yang ditentukan.

3. Sensor tipe II, semua objek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu yang bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah mendapatkan objek di antaranya gagal atau mati dengan

Distribusi Weibull merupakan salah satu jenis distribusi kontinu yang sering digunakan khususnya dalam bidang kehandalan dan statistik karena kemampuannya untuk mendekati berbagai jenis sebaran data.

Fungsi kepadatan peluang untuk waktu kegagalan t berdistribusi Weibull dengan parameter θ dinyatakan sebagai berikut:

= exp ,

Adapun fungsi tahan hidup dari distribusi Weibull adalah:

Keterangan: t = waktu

θ = parameter skala = parameter bentuk

Dalam pendekatan klasik estimator yang diperoleh hanya berdasarkan pada informasi sampel, sedangkan pendekatan Bayes disamping informasi sampel juga diperlukan informasi tentang parameter.

Jika T adalah statistik cukup untuk θ dengan fungsi kepadatan peluang , maka = , dengan adalah distribusi prior untuk dan

fungsi probabilitas marginal untuk t.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah mengetahui bentuk estimator Bayes untuk rata-rata tahan hidup dari data tahan hidup distribusi Weibull dengan sampel lengkap.

1.5 Kontribusi Penelitian

1. Sebagai bahan acuan untuk mengkaji permasalan estimasi guna mempermudah dalam mengambil keputusan.

2. Memberikan manfaat untuk bidang ilmu yang berkaitan dengan uji hidup, seperti industri, kedokteran, dan lain–lain.

1.6 Metode Penelitian

Mengumpulkan teori-teori probabilitas dan keandalan yang mendukung dalam pelaksanaan penelitian dengan menggunakan metode literatur sehingga dapat diperoleh Estimator Bayes yang berdistribusi Weibull yang kemudian digunakan untuk menghitung nilai estimasi dalam sampel lengkap. Langkah terakhir dalam kegiatan penelitian ini adalah menarik kesimpulan dari keseluruhan permasalahan yang telah dirumuskan dengan berdasarkan pada landasan teori dan hasil pemecahan masalah.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Ruang Sampel dan Kejadian

Definisi 1

Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan S.

Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel tersebut atau dengan istilah titik sampel.

Definisi 2

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Contoh

Misalkan A = {t|t<5} himpunan bagian ruang sampel S = {t|t≥0}, t menyatakan unsur (dalam tahun) suatu komponen mesin tertentu dan A menyatakan kejadian bahwa komponen akan rusak sebelum akhir tahun kelima.

Definisi 3

Ruang nol atau ruang hampa adalah himpunan bagian ruang sampel yang tidak mengandung unsur. Himpunan seperti ini dinyatakan dengan lambang Ø.

2.2 Peluang Suatu Kejadian

Teori peluang mempelajari tentang peluang terjadinya suatu kejadian atau peristiwa. Peluang dinyatakan antara 0 dan 1. Bila peluang suatu kejadian bernilai 0, maka kejadian tersebut tidak akan terjadi. Sedangkan bila peluang suatu kejadian bernilai 1, maka kejadian tersebut pasti terjadi.

Untuk menentukan peluang suatu kejadian A, semua bobot titik sampel dalam

A dijumlahkan. Jumlah ini dinamakan ukuran A atau peluang A dan dinyatakan dengan P (A), jadi ukuran himpunan Ø adalah 0 dan ukuran S adalah 1.

Definisi 4

Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A.

0 ≤ P (A) ≤ 1, P (Ø) = 0, dan P (S) = 1

Teorema

Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah:

2.3 Peubah acak

Suatu fungsi real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel disebut suatu peubah acak.

Ada 2 (dua) macam peubah acak, yaitu peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu.

Jika semua himpunan nilai yang mungkin dari suatu peubah acak X merupakan himpunan terbilang (contable set), yaitu {x1, x2, …,xn} maka X disebut peubah acak

diskrit.

Definisi 6

Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu variabel random X merupakan selang bilangan real, maka X disebut peubah acak kontinu.

2.4 Distribusi Peluang

Fungsi adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskrit X, bila untuk setiap hasil x yang mungkin:



 

n

i

x f 1

1 ) ( . 2

3. P (X = x) =

Definisi 7

Distribusi kumulatif F (x) suatu peubah acak diskrit X dengan distribusi peluang dinyatakan oleh:

  



_

 

   

x t

x f x

X P x F

Definisi 8

Jika fungsi adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X, maka fungsi densitas probabilitasnya adalah sebagai berikut:

1.

2.



 

  

1

dx x f

3.   



b

a

dx x f b X a

Definisi 9

Distribusi kumulatif suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat peluang diberikan oleh:

  





_

   

P X x f x dx x

F ( )

Definisi 10

Misalkan X1, X2, ….Xn, peubah acak diskrit maupun kontinu dengan distribusi

peluang gabungan dan distribusi marginal masing–masing . Peubah acak X1, X2, …,Xn dikatakan saling bebas statistik jika

dan hanya jika:

Jika sampel random yang berukuran n tersebut diurutkan dalam satu urutan naik maka disebut statistik terurut atau order statistik dari X1, X2, …, Xn dan

dinyatakan dengan X1.n X2.n, …, Xn.n. Misalkan X1, X2,…, Xn adalah sampel random

yang berukuran n dan fungsi distribusi probabilitasnya kontinu dan maka fungsi densitas probabilitas dari statistik terurut ke-k

< adalah:

2.5 Pendekatan Bayes Untuk Menentukan Estimator

Dalam pendekatan klasik estimator yang diperoleh hanya berdasarkan pada informasi sampel, sedangkan pendekatan Bayes disamping informasi sampel juga diperlukan informasi tentang parameter.

Suatu informasi pada ruang parameter disebut informasi prior. Informasi ini dipandang sebagai distribusi peluang pada ruang parameter yang disebut distribusi prior.

Definisi 12

Distribusi bersyarat θ apabila diberikan observasi sampel X disebut distribusi posterior

θdan dinyatakan dengan .

Dalam menentukan distribusi posterior, khususnya untuk kasus kontinu kadang diperlukan perhitungan integral yang tidak mudah, yaitu apabila fungsi matematikanya tidak sederhana, salah satu cara mengatasi kesulitan ini adalah dengan menggunakan distribusi prior sekawan.

Definisi 13

Misalkan F adalah kelas dari distribusi peluang dengan fkp . Kelas P dari distribusi prior disebut distribusi keluarga sekawan untuk F jika distribusi posterior

berada dalam P untuk semua f F, semua prior dalam P dan semua x X.

Teorema 14

Misalkan …, sampel random dari fungsi probabilitas Statistik

dikatakan cukup untuk θ jika dan hanya jika fungsi probabilitas bersama …, terurai menjadi hasil kali fungsi probabilitas

W dan suatu fungsi lain yang hanya tergantung pada θ, yakni cukup jika dan hanya

jika .

Teorema

Jika T adalah statistik cukup untuk θ dengan fungsi kepadatan peluang , maka = , dengan adalah distribusi prior untuk dan fungsi probabilitas marginal untuk t.

2.6 Konsep Dasar Distribusi Tahan Hidup

Fungsi–fungsi pada distribusi tahan hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan variabel random. Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati dari suatu individu saat pertama kali masuk kedalam pengamatan hingga keluar dari pengamatan. Misalnya interval waktu sampai rusaknya suatu barang produksi, matinya suatu mahkluk hidup, kambuhnya suatu penyakit, dan lain–lain. Variabel random nonnegatif waktu hidup biasanya dinotasikan dengan huruf “T”, dan akan membentuk suatu distribusi.

Distribusi dari waktu hidup dapat disajikan oleh 3 (tiga) fungsi berikut:

1. Fungsi Kepadatan Peluang

Fungsi kepadatan peluang adalah probabilitas kegagalan suatu individu dalam interval waktu dari t sampai t + ∆t, dengan waktu T merupakan variabel random. Fungsi kepadatan peluang dinyatakan dengan:

Waktu hidup merupakan variabel random nonnegatif, sehingga waktu hidup hanya diukur untuk nilai t yang positif.

2. Fungsi Tahan Hidup (Survival Function)

Fungsi tahan hidup adalah peluang suatu individu bertahan hidup lebih dari waktu t

… (2.2)

Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponen-komponen industri, S (t) ditentukan sebagai fungsi reliabilitas.

Jadi hubungan fungsi densitas probabilitas dengan fungsi tahan hidup (survival) adalah:

Dalam hal ini fungsi tahan hidup S (t) merupakan fungsi kontinu menurun secara kontinu dengan S (0) = 1, artinya peluang individu bertahan lebih lama dari waktu nol adalah 1 dan S (∞) = 0, artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang tidak terhingga adalah 0.

3. Fungsi Kegagalan (Hazard Function)

Fungsi hazard adalah probabilitas suatu individu gagal dalam interval waktu dari t

sampai t + ∆t, jika diketahui individu tersebut masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t, maka fungsi hazard secara matematika dinyatakan sebagai:

Misalkan adalah fungsi densitas probabilitas pada waktu t, maka dari persamaan (2.3) diperoleh:

Dari persamaan (2.3) dan (2.5) diperoleh sebagai berikut:

Dari persamaan (2.6) diperoleh:

Karena S(0) = 1, maka diperoleh:

Dari uraian tersebut diperoleh hubungan antara dan sebagai berikut:

i.

ii.

iii.

Dengan demikian dapat dilihat bahwa ke tiga fungsi pada distribusi waktu

hidup yaitu dan saling berhubungan satu dengan yang lainnya.

2.7 Sistem Keandalan

Dalam konsep keandalan, juga terdapat beberapa sistem yang dinyatakan untuk membantu memutuskan apakah sistem gagal secara total atau tidak.

Dalam satu proses, tidaklah selalu mudah untuk memutuskan kriteria–kriteria kegagalan dalam sistem tersebut. Sebagai contoh perhatikan sistem kegagalan dalam sistem sebuah mobil. Jika tidak dapat bergerak dengan tenaganya sendiri, maka mobil tersebut dinyatakan telah rusak atau gagal sistemnya. Namun haruskah rusaknya lampu depan sebuah mobil dikatakan kegagalan sistem secara total, walaupun mobil dapat digunakan pada cuaca cerah tetapi tidak dapat digunakan secara total pada waktu gelap atau pada malam hari. Oleh karena itu kerusakan sistem sering diakibatkan oleh kegagalan atau kerusakan dari komponen-komponennya.

Untuk itu diberikan 3 (tiga) sistem yang dapat dikatakan sebagai sistem dasar dari keandalan sistem, yaitu sistem seri, sistem paralel dan kombinasi dari seri dan paralel.

2.7.1 Sistem Keandalan Seri

Suatu sistem dapat dimodelkan dengan susunan seri jika komponen–komponen yang ada didalam sistem itu harus bekerja atau berfungsi seluruhnya agar sistem tersebut sukses dalam menjalankan fungsinya. Atau dengan kata lain bila ada satu komponen

saja yang tidak bekerja, maka akan mengakibatkan sistem itu gagal menjalankan fungsinya.

Secara diagram, sistem keandalan seri dapat dilihat pada gambar berikut:

2

1 n

Gambar 2.1 Sistem Keandalan Seri

Diagram pada gambar di atas sering disebut Diagram Blok Keandalan atau

Reliability Block Diagram (RDB). Perlu diperhatikan bahwa diagram ini tidak mewakili setiap komponen yang dihubungkan secara seri, tetapi menunjukkan bagaimana komponen–komponen itu diperlakukan dari sudut pandang keandalan.

Jika ada n buah komponen dalam susunan seri dan masing–masing memiliki indeks keandalan , seperti terlihat pada Gambar 2.1, maka secara umum sistem keandalan seri dirumuskan sebagai berikut:

Sedangkan ekspresi ketakandalan dari sistem dengan susunan seri dan n buah komponen adalah:

2.7.2 Sistem Keandalan Paralel

Pada sistem ini setiap komponen yang mungkin mengalami kerusakan tidak akan mengakibatkan kerusakan sistem secara keseluruhan, dan sering dinamakan failure tolerant (kerusakan yang dapat ditolerir).

Ada 2 (dua) jenis dari sistem keandalan paralel ini, yakni kelebihan redundant aktif dan kelebihan redundant pasif.

Pada kelebihan aktif, dua atau lebih unit diletakkan dalam sistem keandalan pararel dimana secara normal pembagian fungsi dilakukan tetapi unit–unit tersebut diatur sedemikian hingga jika satu atau mungkin lebih mengalami kerusakan, maka sisanya dapat menggantikan posisinya. Sebagai contoh adalah dua mesin pesawat terbang yang diaktifkan tetapi tidak menutup kemungkinan pesawat terbang dengan satu mesin, apabila mesin yang satunya mengalami kerusakan.

Pada kelebihan pasif, satu unit secara normal memegang fungsi secara penuh tetapi jika unit tersebut mengalami kerusakan, maka unit yang lain akan diaktifkan untuk mengambil alih perannya.

2.7.2.1 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Aktif

Misalkan ada dua unit (1) dan (2) dihubungkan dalam sistem paralel seperti gambar dibawah ini.

1

2

Gambar 2.2 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan aktif

Sistem akan rusak apabila (1) dan (2) ke dua–duanya mengalami kerusakan. Keandalan sistem dikalkulasikan sebagai berikut, jika di defenisikan Q (ketakandalan sistem)

Dimana adalah kejadian komplemen bebas sehingga diperoleh:

Jika peluang dari kegagalan adalah independen, maka fungsi sistem keandalannya adalah:

2.7.2.2 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif

Pada sistem redundan pasif, unit utama (1) secara normal membawa fungsi secara penuh dan unit siaga (2) dibawa untuk digunakan ketika unit utama mengalami kegagalan.

Secara sederhana, sistem redundan pasif dapat ditunjukkan dalam gambar berikut:

1

Gambar 2.3 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif

Cara untuk menganalisa sistem adalah harus mempertimbangkan bahwa sistem kegagalan waktu adalah variabel acak yang mengandung jumlah dari dua variabel acak, yakni kegagalan waktu (1) dan kegagalan waktu (2).

2.7.2.3 Kombinasi Sistem Seri dan Paralel

Kombinasi dari sistem seri dan paralel dapat diselesaikan dengan menggabungkan masing–masing subsistem ke dalam komponen seri maupun paralel terlebih dahulu.

Untuk lebih memahami sistem kombinasi seri dan paralel, akan diberikan contoh gambar seperti berikut:

A C

D B

Gambar 2.4 Sistem Kombinasi Seri–Paralel

A

D C

B

Dari ke dua gambar tersebut, Gambar (2.4) menunjukkan sistem kombinasi seri–paralel. Untuk menyelesaikan sistem gabungan ini pertama–tama dengan menggabungkan subsistem paralel kedalam bentuk yang sama dengan komponen seri. Misalkan:

Penyelesaiannya dapat dituliskan: = 1 – (0.1)(0.2)

= 1 – 0.02 = 0.98

dan

= 1 – (0.3)(0.4) = 1 – 0.12 = 0.88

Keandalan sistem secara keseluruhan adalah: = (0.98)(0.88) = 0.8624

Untuk Gambar (2.5) seperti yang ditunjukkan merupakan sistem kombinasi paralel–seri. Untuk menyelesaikannya, pertama–tama dengan menggabungkan subsistem ke dalam bentuk yang sama dengan komponen paralel.

Untuk pemisalan yang sama dengan Gambar (2.4), diperoleh penyelesaiannya sebagai berikut:

= (0.9)(0.7) = 0.63

dan

= (0.8)(0.6) = 0.48

Sehingga keandalan sistem secara keseluruhan adalah:

= 1 – (1-0.63)(1 – 0.48) = 1 – (0.37)(0.52) = 1 – 0.1924

= 0.8076

2.8 Sampel Lengkap

Ada 3 (tiga) macam metode yang sering digunakan dalam eksperimen uji hidup, yaitu sebagai berikut:

1) Sampel Lengkap, jika semua komponen yang diuji telah mati atau gagal, maka eksperimen akan dihentikan. Cara seperti ini mempunyai keuntungan yaitu dapat dihasilkan observasi terurut dari semua komponen yang diuji.

2) Sensor tipe I, semua objek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu yang bersamaan, dan pengujian akan dihentikan setelah batas waktu yang ditentukan. Kelemahan dari sensor tipe I ini bisa terjadi sampai batas waktu yang ditentukan semua objek masih hidup sehingga tidak diperoleh data tahan hidup dari objek yang diuji.

3) Sensor tipe II, semua objek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu yang bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah mendapatkan objek diantaranya gagal atau mati dengan Kelemahan dari sensor tipe II

ini adalah waktu yang diperlukan untuk memperoleh objek yang mati bisa

jadi sangat panjang, tetapi pasti diperoleh data tahan hidup dari objek tersebut.

2.9 Distribusi Weibull

Distribusi Weibull merupakan salah satu jenis distribusi kontinu yang sering digunakan khususnya dalam bidang keandalan dan statistik karena kemampuannya untuk mendekati berbagai jenis sebaran data.

Fungsi kepadatan peluang untuk waktu kegagalan t berdistribusi Weibull dengan parameter θ dinyatakan sebagai berikut:

= exp ,

Adapun fungsi tahan hidup dari distribusi Weibull adalah:

Sedangkan fungsi hazard dari distribusi Weibull adalah:

Keterangan:

t = waktu

θ= parameter skala = parameter bentuk

BAB 3

PEMBAHASAN DAN HASIL

3.1Teorema Bayes

Teorema Bayes Menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A

dengan syarat peristiwa B telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi.

Misalkan adalah kelompok peristiwa yang mutually exclusive (dua peristiwa yang tidak dapat terjadi bersamaan) dan exhaustive (lengkap). Dan B adalah peristiwa yang memotong peristiwa A.

Probabilitas peristiwa dengan peristiwa B adalah:

Dengan cara yang sama probabilitas dengan peristiwa B adalah:

Dengan cara yang sama probabilitas dengan peristiwa B adalah:

begitu juga selanjutnya untuk i = 4, 5, 6, …

Berdasarkan Teori Total Probabilitas untuk i = 1, 2, 3, …

diperoleh:

di mana

merupakan peristiwa mutually exclusive

Berdasarkan rumus probabilitas bersyarat bahwa:

….

Sehingga diperoleh Teorema Bayes





 

_

 

 











 

 

,... 3 , 2 , 1

) (

i

i i

i i

i i

A B P A P

A B P A P B

P B A P B A P

Sekarang dimisalkan Ai = A1, A2, …, An adalah suatu himpunan dari

parameter-parameter yang tidak teramati (namun memiliki distribusi) sehingga diganti notasinya menjadi θ1, θ2, …, θn. Kemudian untuk setiap θi, i=1, …, n, tentunya

memiliki distribusi tertentu yaitu yang berasal dari informasi sebelumnya atau secara subjektif ditentukan, inilah yang disebut dengan probabilitas prior dan distribusinya disebut distribusi prior. Sedangkan B dimisalkan adalah data observasi yang baru diperoleh, misalkan adalah X. Jadi secara singkat bisa digambarkan bahwa dalam suatu observasi pasti akan memiliki satu set data observasi (X) dan satu keyakinan tentang karakteristik data (θ) beserta bobot untuk setiap masing-masing kemungkinan yang disebut prior.

Dengan demikian diperoleh:

adalah fungsi dari parameter θ yang disebut posterior, adalah fungsi Likelihood dari θ dan disebut sebagai prior. Sedangkan merupakan sebuah konstanta karena merupakan total probabilitas dari

di mana

untuk diskrit

untuk kontinu

3.2 Estimator Bayes untuk Rata-rata Tahan Hidup dari Data Uji Hidup Berdistribusi Weilbull dengan Sampel Lengkap

Dalam memudahkan untuk mempelajari atau mengetahui karakteristik populasi, sering terjadi pengambilan sampel, dan untuk mendapatkan penaksir yang baik dari suatu populasi dapat dilihat hubungan fungsional antara variabel-variabel yang mempengaruhi data sampel. Hubungan fungsional ini digambarkan dengan fungsi matematik, yaitu fungsi distribusi.

Adapun langkah–langkah dalam mencari estimator Bayes untuk distribusi Weibull adalah sebagai berikut:

1) Menentukan distribusi prior untuk θ, yaitu

2) Menentukan fungsi likelihood dari distribusi Weibull

4) Menentukan estimator Bayes dari dengan rumus

Misalkan ada n benda yang tahan hidupnya berdistribusi Weibull mempunyai f.k.p

0 , 0 , 0 ; exp ) ,

( 1   

       _  

 pt t t p dan

p t f

p p

diuji tahan hidupnya sampai semua unit gagal atau mati.

Misalkan distribusi prior untuk  adalah: g () = 1 exp ; , 0, 0

   

_ 

 a c

a

c

Jika t1, t2….tn adalah sampel random dari f.k.p dari distribusi Weibull, maka

fungsi likelihoodnya adalah:

L (t : ) =

             p p i n i n I i t t p t

f 1 1

1

1, ) exp

( =                      p n p n p p p p t t t p t t p t t p exp .... exp

exp 1 2 1

2 1 1

= 1

1 1 exp    _                  





p

i n i n i p i n t t p  

Distribusi posterior untuk  adalah:



  0 ) , ( ). ( ) , ( ). (        d t L g t L g t

=











                                                         n i p i n i p i n c n i p i n i p i n c d t t p a t t p a 1 1 1 0 1 1 1 exp exp 1 exp exp 1          =

 







                                 n i c n p p i n p c n n n i p i d a t t p a t p t 1 ₀ 1 1 1 exp exp 1      ) (t

 = c n p a t K _          



  exp . …(3.1) dengan,

K-1 = 

  d a t c n n i p                _ 





1 1 0 exp =             









    

 t a

d a t a t p c n p p exp 2 0            









   

 t a

d a t a t p c n p p 2

0 ( )

exp = =











                                 0 2 1 exp ) ( 1    a t d a t a t a t p p c n p c n p =











                                  0 1 ) 1 ( 1 exp ) ( 1    a t d a t a t a t p p c n p c n p =



 _    1 ) ( ) 1 ( c n p a t c n …(3.2) =

Dengan menggunakan persamaan (3.1) dan (3.2) diperoleh distribusi posterior

untuk θ adalah:

) 3 . 3 ...( . 0 ; ) 1 ( exp ) ( ) ( 1                  _  





   

 n c

p c n p c n a t a t t

Berdasarkan persamaan (3.3) diperoleh estimator Bayes dari θadalah:

  ( t)d 0



 =     d c n a t a t c n p c n p               







( 1)

exp ) ( 1 0 =





_   d a t c n a t c n p c n p 1 0 1 exp ) 1 (        _      







=





        _      











       

 t a

d a t a t c n a t p c n p p c n p 1 2 0 1 exp . ) ( ) 1 ( =





_

_







                     0 3 1 ) ( exp ) 1 (  

 t a

d a x a t c n a t p c n p p c n p =





                                





 





          a t d a t a t a t c n a

t p n c p p

c n p c n p exp ) ( 1 . ) 1 ( ₀ 3 2 1 =



_



_



_

  

_

_

        _           0 1 ) 2 ( exp . ) 1 (    a t d a t a t c n a

tp p n c p p

= ) 1 ( ) 2 ( ) (       



c n c n a tp = ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) (         



c n c n c n a tp = 2   



c n a tp =

Jadi, estimator Bayes dari θ untuk distribusi Weibull dengan sampel lengkap adalah

2 1   



_ c n a t n i p i 3.3Contoh

Suatu sampel dari 25 observasi diuji tahan hidupnya sampai seluruhnya mati. Diasumsikan sampel berdistribusi Weibull dengan p = 2 adalah sebagai berikut

0.38 0.75 1.36 1.77 1.89 0.53 0.77 1.57 1.80 1.93 0.59 1.05 1.62 1.85 3.02 0.63 1.32 1.66 1.88 3.05 0.65 1.35 1.72 1.89 4.15

Tentukanlah estimator Bayes untuk dengan nilai a = 2 dan c = 2 pada distribusi priornya!

Penyelesaian





_  _n

i i n

i p

i t

t 1

2

1

=

= 79

2

1  





_

c n

a t

n

i p i

2 2 25

2

25

1  

 



i

p i

t

25 2

79



= 3.24

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan analisa yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan estimator Bayes untuk rata-rata tahan hidup dari uji tahan hidup berdistribusi Weibull dengan sampel lengkap adalah:

2

1  





_

c n

a t

n

i p i

4.2 Saran

1. Hendaknya ada penelitian lebih lanjut mengenai estimator Bayes untuk rata-rata tahan hidup dari distribusi Weibull untuk data sensor tipe I, data sensor tipe II dan juga untuk distribusi yang lain.

2. SebaiknyaAda pembahasan yang lebih lanjut tentang estimasi parameter yang lain dengan menggunakan estimator yang lain seperti metode maximum likelihood atau momen generating function.

DAFTAR PUSTAKA

Barlow, Ricard E. and Proschan, Frank. 1965. Mathematical Theory of Reliability. New York:John Wiley and Sons.

Djauhari, Maman A.1990. Statistika Matematik. Bandung: FMIPA ITB.

Erlant, R.C. and Johnson, N.L. 1980. Survival Models and Data Analysis. New York: John Wiley and Sons, Inc

Hines.dkk. 1990. Probabilitas dan Statistic dalam Rekayasa dan Manajemen

diterjemahkan Rudiansya. Jakarata:Universitas Indonesia.

Kapur. K.C and Lamberson L.R . 1977. Reliability in Enginering design. New York: John Wiley and Sons.

Lawless, J. F. 1982. Statistical Model and Methods for Life Time Data. New York: John Wiley and Sons.

Ross, Sheldom M. 1987. Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Canada: John Wiley and Sons.

Soejoeti, dkk. 1988.Inferensi Bayesian . Jakarta: karunia.

Surjadi. P.A. 1976. Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika. Bandung:Institut Teknologi Bandung.

Walpole, dkk. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan

=











                                                         n i p i n i p i n c n i p i n i p i n c d t t p a t t p a 1 1 1 0 1 1 1 exp exp 1 exp exp 1          =

 







                                 n i c n p p i n p c n n n i p i d a t t p a t p t 1 ₀ 1 1 1 exp exp 1      ) (t

 = c n p a t K _          



  exp . …(3.1) dengan,

K-1 = 

  d a t c n n i p                _ 





1 1 0 exp =             









    

 t a

d a t a t p c n p p exp 2 0            









   

 t a

d a t a t p c n p p 2

0 ( )

exp = =











                                 0 2 1 exp ) ( 1    a t d a t a t a t p p c n p c n p =











                                  0 1 ) 1 ( 1 exp ) ( 1    a t d a t a t a t p p c n p c n p =



 _    1 ) ( ) 1 ( c n p a t c n …(3.2) =

Dengan menggunakan persamaan (3.1) dan (3.2) diperoleh distribusi posterior untuk θ adalah:

) 3 . 3 ...( . 0 ; ) 1 ( exp ) ( ) ( 1                  _  





   

 n c

p c n p c n a t a t t

Berdasarkan persamaan (3.3) diperoleh estimator Bayes dari θadalah:

  ( t)d

0



 =     d c n a t a t c n p c n p               







( 1)

exp ) ( 1 0 =





_   d a t c n a t c n p c n p 1 0 1 exp ) 1 (        _      







=





        _      











       

 t a

d a t a t c n a t p c n p p c n p 1 2 0 1 exp . ) ( ) 1 ( =





_

_







                     0 3 1 ) ( exp ) 1 (  

 t a

d a x a t c n a t p c n p p c n p =





    

 

 

    

 

 

 

   

 

 

 

 







 





  

  



 



a t d a t a

t a

t c

n a

t p n c p p

c n p c

n p

exp )

( 1 .

) 1

( ₀

3 2

1

=



_



_



_

  

_

_

  

 

  

_ 

  

 

  



0

1 ) 2 (

exp .

) 1

(   

a t d a t a

t c

n a

tp p n c p p

=

) 1 (

) 2 (

) (

  

   



c n

c n a tp

=

) 2 (

) 2 (

) 2 (

) (

    

   



c n c

n

c n a tp

=

2

 





c n

a tp

=

Jadi, estimator Bayes dari θ untuk distribusi Weibull dengan sampel lengkap adalah 2

1

 





_ c n

a t

n

i p i

3.3 Contoh

Suatu sampel dari 25 observasi diuji tahan hidupnya sampai seluruhnya mati. Diasumsikan sampel berdistribusi Weibull dengan p = 2 adalah sebagai berikut

0.38 0.75 1.36 1.77 1.89

0.53 0.77 1.57 1.80 1.93

0.59 1.05 1.62 1.85 3.02

0.63 1.32 1.66 1.88 3.05

0.65 1.35 1.72 1.89 4.15

Tentukanlah estimator Bayes untuk dengan nilai a = 2 dan c = 2 pada distribusi priornya!

Penyelesaian





_  _n

i i n

i p

i t

t

1 2 1

= = 79

2 1

 





_ c n

a t

n

i p i

2 2 25

2 25

1

 

 



i

p i

t

25 2 79



= 3.24

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan analisa yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan estimator Bayes untuk rata-rata tahan hidup dari uji tahan hidup berdistribusi Weibull dengan sampel lengkap adalah:

2 1

 





_ c n

a t

n

i p i

4.2 Saran

1. Hendaknya ada penelitian lebih lanjut mengenai estimator Bayes untuk rata-rata tahan hidup dari distribusi Weibull untuk data sensor tipe I, data sensor tipe II dan juga untuk distribusi yang lain.

2. SebaiknyaAda pembahasan yang lebih lanjut tentang estimasi parameter yang lain dengan menggunakan estimator yang lain seperti metode maximum likelihood atau momen generating function.

DAFTAR PUSTAKA

Barlow, Ricard E. and Proschan, Frank. 1965. Mathematical Theory of Reliability. New York:John Wiley and Sons.

Djauhari, Maman A.1990. Statistika Matematik. Bandung: FMIPA ITB.

Erlant, R.C. and Johnson, N.L. 1980. Survival Models and Data Analysis. New York: John Wiley and Sons, Inc

Hines.dkk. 1990. Probabilitas dan Statistic dalam Rekayasa dan Manajemen diterjemahkan Rudiansya. Jakarata:Universitas Indonesia.

Kapur. K.C and Lamberson L.R . 1977. Reliability in Enginering design. New York: John Wiley and Sons.

Lawless, J. F. 1982. Statistical Model and Methods for Life Time Data. New York: John Wiley and Sons.

Ross, Sheldom M. 1987. Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Canada: John Wiley and Sons.

Soejoeti, dkk. 1988.Inferensi Bayesian . Jakarta: karunia.

Surjadi. P.A. 1976. Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika. Bandung:Institut Teknologi Bandung.

Walpole, dkk. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan terjemahan R. K. Sembiring. Bandung:ITB.