Menganalisis Model Fitzhugh-Nagumo Menggunakan Bidang

53 Gambar 3.15. Lintasan yang diperoleh saat kondisi awal berwarna biru terlihat tidak melewati titik Equlibrium Gambar 3.16. Grafik vs menunjukkan saat neuron mengalami perubahan depolarisasi dan hiperpolarisasi berulang dari titik awal menjauhi titik Equilibriumnya 54 Jika diubah menjadi , mengikuti langkah sebelumnya dengan menunjukkan nullclines dan titik Equilibrium diperoleh Gambar 3.17. Selanjutnya dengan menghitung lintasan dalam arah maju saat kondisi awal Gambar 3.18 dan dengan menunjukkan grafik vs , Gambar 3.19, maka dapat dianalisis bahwa pada saat neuron diubah ke titik awal maka membran akan mengalami hiperpolarisasi dan kemudian depolarisasi secara berulang-ulang. Dari gambar tersebut terlihat bahwa grafik tidak stabil karena nilai menuju ke titik dan menjauhi titik equilibrium. Artinya stimulus ini membuat neuron mengalami penurunan dan kenaikan membran berulang-ulang. Fenomena neuron yang seperti ini disebut sebagai excitation block, dimana neuron mengalami peningkatan arus injeksi secara berulang. Gambar 3.17. Nullclines dan titik Equilibrium saat 55 Gambar 3.18. Lintasan yang diperoleh saat kondisi awal berwarna biru terlihat tidak melewati titik Equlibrium Gambar 3.19. Grafik vs menunjukkan saat neuron mengalami perubahan hiperpolarisasi dan depolarisasi berulang dari titik awal menjauhi titik Equilibriumnya 56

BAB IV MEMODELKAN RETINA MENGGUNAKAN BIDANG FASE

Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang cara menganalisis model perubahan neuron saat potensial aksi atau disebut juga dengan model Fizhugh- Nagumo menggunakan bidang fase. Selanjutnya bab ini akan membahas mengenai struktur dasar dari retina dan cara membuat model sederhana dari interaksi neuron. Membuat model sederhana yang dimaksud adalah pemodelan interaksi antara sel kerucut dan sel horizontal pada retina dengan mendeskripsikan grafiknya menggunakan Bidang fase.

4.1 Latar Belakang Biologi

Mengutip penjelasan pada bab sebelumnya, retina adalah bagian dari mata yang berfungsi untuk mengubah energi cahaya menjadi sinyal lisrik yang kemudian digunakan oleh neuron melalui serangkaian proses untuk mengirimkan informasi ke SSP. Mekanisme ini cukup rumit bagi seseorang yang tidak memahami secara detail mengenai cara kerja mata, sehingga akan dijelaskan secara rinci terlebih dahulu mengenai proses tersebut. Saat cahaya pertama kali masuk ke mata akan diteruskan oleh kornea, aqueous humor, pupil, lensa, vitreous humor, dan terakhir retina. Cara kerja retina menerima cahaya sangat berbeda, karena cahaya yang masuk akan mengenai lapisan paling dalam terlebih dahulu, tetapi sebenarnya lapisan paling luarlah 57 yang pertama kali memproses cahaya tersebut. Lapisan luar yang pertama kali memproses cahaya tersebut memiliki dua tipe sel yang berbeda, yaitu sel batang dan sel kerucut atau biasa disebut sel fotoreseptor. Sel batang menghasilkan penglihatan abu-abu tak jelas pada malam hari, sedangkan sel kerucut menghasilkan penglihatan warna yang tajam pada siang hari, Sherwood 2009, hal.224. Disini hanya akan dibahas secara lebih khusus mengenai sel kerucut.

4.2 Model Umpan Balik Retina atau Retinal Feedback

Model yang digunakan merupakan sistem persamaan diferensial linear. Model pada persamaan pertama menjelaskan perubahan arus saat meninggalkan sel kerucut di retina, , dan model pada persamaan kedua menjelaskan perubahan ketika arus meninggalkan sel horizontal di retina, . Kedua sistem tersebut adalah sebagai berikut Wallisch, 2014: 4.1 4.2 disini adalah variabel waktu, dan , , , dan adalah parameter. Persamaan pertama memiliki tiga bentuk, yang pertama menunjukkan bahwa perubahan saat arus negatif sebanding dengan jumlah arus di dalam kerucut. Bentuk kedua merupakan fakta bahwa perubahan saat ini sebanding dengan arus di dalam sel horizontal, , yaitu negatif di belakang sel. Bentuk ketiga menyatakan bahwa perubahan arus ke dalam kerucut tergantung pada tingkat cahaya, . Jika tingkat cahaya tinggi maka banyak foton akan melewati 58 pupil, menuju retina dan mengaktifkan sel kerucut, sehingga akan mengasilkan perubahan besar dalam arus. Persamaan kedua menyatakan bahwa perubahan arus dalam sel horizontal tergantung negatif pada jumlah arus dalam sel horizontal dan arus sel-sel kerucut yang sinapsis ke sel horizontal. Ingat bahwa sel horizontal tidak merespon langsung terhadap rangsangan cahaya, sehingga tidak ada istilah untuk intensitas cahaya dalam persamaan kedua. Semua simbol lain dalam persamaan sebelumnya merupakan parameter konstan, maka dimisalkan nilai untuk parameter ini adalah asumsikan juga tingkat cahaya dan untuk kondisi awal artinya tidak ada arus yang bergerak melalui sel saat . Persamaan model seperti yang tertulis di atas dapat disederhanakan dengan memisalkan: ̃ dan ̃ 4.3 lalu substitusikan persamaan 4.3 ke dalam persamaan 4.1 dan 4.2 seperti berikut: ̃ ̃ ̃ 4.4 atau ̃ ̃ ̃ 4.5 ̃ ̃ ̃ 4.6 atau ̃ ̃ ̃ 4.7 Model pada persamaan 4.5 dan 4.7 tersebut yang akan dibahas dalam bab ini, dengan nilai kondisi awal ̃ ̃ . 59

4.3 Latar Belakang Matematika

Sistem yang ada di persamaan 4.5 dan 4.7 sangat cocok dipelajari menggunakan Matlab karena dapat dengan mudah diselesaikan menggunakan operasii matriks, ilustrasinya seperti contoh sederhana berikut: Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear seperti yang ditunjukkan dalam persamaan 4.8 dan 4.9 haruslah diubah ke dalam bentuk matriks, lihat persamaan 4.10. 4.8 4.9 [ ] 4.10 misalkan vektor ⃗ dan maka sistem dalam persamaan 4.10 dapat ditulis menjadi: ⃗ ⃗ 4.11 Berdasarkan Eigendecomposition Theorem jika matriks memiliki nilai eigen yang berbeda maka dapat juga ditulis sehingga persamaan 4.11 berubah menjadi: ⃗ ⃗ 4.12 selanjutnya kedua ruas dikalikan dengan dan diperoleh: 60 ⃗ ⃗ ⃗ 4.13 jika dimisalkan ⃗ ⃗⃗ maka persamaan 4.13 menjadi: ⃗⃗ ⃗⃗ 4.14 Persamaan berikut ini mirip dengan persamaan 4.11 kecuali satu hal yang sangat penting, adalah matriks diagonal. Pada Bab 2 telah dijelaskan bagaimana mencari nila eigen dan vektor eigen, maka mengikuti cara tersebut diperoleh suatu matriks yang berisi nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A, Matriks : , Nilai eigen matriks : , Vektor eigen matriks : . Jika matriks disubstitusikan ke dalam persamaan 4.14 maka akan diperoleh: ⃗⃗⃗ ⃗⃗ dengan ⃗⃗ 4.15 ⃗⃗ [ ] [ ] dan 4.16 Sistem tersebut juga merupakan suatu sistem dalam persamaan diferensial, tetapi masing-masing persamaan dapat diselesaikan secara independen satu sama lain untuk menghasilkan suatu penyelesaian: ⃗⃗ [ ]