Kalkulus I
BAB
I
SISTET{ BILANGAN
l.l
RIIL
Sistem Bilangan Riil
Semesta pembicaraan dalam matakuliah Kalkulus
ini adalah Himpunan bilangan
riil. Himpunan Bilangan Riil merupakan sekumpulan bilangan Rasional dan lrrasional.
Secara lengkap dapat dilihat dari bagan
berikut:
R:
Himpunan Bilangan Riil
0:
Himpunan Bil. Rasional
,Y: Himp. Bil. Asli
Gb. l. I Diagram Venn Himpunan Bilangan Riil
,V:
Hirnpunan Bilangan Asli
Z:
Hirnpunan Bilangan Bulat
.1,2,3,...
'.
...,
-3,-2,-1,0, 1,2-3,...'
C: Hirnpunan Bilangan Rasional
_a
:qeO,rt=1,u.beZ,b=A
' b'
1r:
Himpunan Bilangan Irrasional
.r€Q,,{T,\11.o,..
R:
Hirnpunan Bilangan Riil
-
't
6*t ir
;2i
I
]
Sifat-sifat dalam hirnpunan bilangan
riil rnernainkan
peranan yang sangat penting dalam
Kalkulus, oleh karena itu dalam sub bab ini akan dibahas beberapa sifat dari himpunan
bilangan
riil dan permasalahan
yang menyangkut bilangan
riil itu sendiri, misalnya nilai
rnutlak^persalnaan dan pertaksamaan aljabar.
Sifat-sifat Bilangan Riil
a.
Sifat Medan
Jika
a
v,
.
z adalah anggota biiangan
Riil,
rnaka
i. x * y : y + x dan-ry :.),r ( hukum komutatif)
ii- x * (y+':) : (x-ll +; dan -r(y:):(xy)z (hukum asosiatig
iii. x(jt--1 :.r.1l .
-r:(hukum distributif)
ir,'. {}nsur ldentitias.
x + 0 :,r
\'.
dan
-r-. 1
x
0 dan 1 sehinesa
:;r.
x
Unsur Invers. Setiap bilangan
sehingga
Riil yang berlainan
Terdapat bilangan
mempunyai invers penjurnianan
- Lr): 0 dan mempunyai in'ers perkatian:
;
--r
-r-r sehingga
x1x-t1:i.
b.
Sifat Ururan
i-
Trikotomi. Jika
x0,]d>0 r 02
8. Tentukan nilai a, b d,an c agil fungsi berikut kontinu di x :
/.
c. iim.f(,)
-l
-; Diketahu
6-
:
-r--r2+
(, Z*-a, -x < -3
4 Diketahui ,f(r) :]o*+2b,-32
;o0-reR
3 d(/(,r)+g(x)) =./- (x)+F
dta
4
a(lt'')s(''))
ax
,)
\ r\^'/
. ,1('(')rq,
,s.
clr
=
/'(.'j
'(-.)
"r
(.r)
g(.r)+./1-x) g'(x).=.
g(.*) -,f
2
g (-r)
(-r) g
'(-r)
dengan
girt *().
,f
Contoh 4.5 Tentukan ftrngsi ftlrunan pertama dari ./(x) =
Jarvab:
-t
*
t
-t:+l
l)- 2-r(-r'+3) -r-2 + I -6.r- 2.rr -.tr -6.t+
=--=-(-t: + l)2
r-.(-t2 + l)2
1-r -r I)2
l.(-r2 +
"l'(.r)=-,
I
4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus
Turunan dari firngsi sinus dapat diperoleh dari definisi 4.3, yaitu:
.f(-r): sin-r -+ -/'(-r) = cosr
./(t): msx -+.f'("t): -sinx
Buldi : \dsal./(rl : sirzt
lv{aka,
/\r) : lllryI#=
=
^
(r+-r\.{r-r\
t J = irjlcos(sr,,*"]=)
mry'"(
cosr.l:
I-x
-
2-" t ,
)
coSx.
Dengan cara vaug sama didapatkan D.
ko.u1
:
- siar.
Untuk tunxran fungsi trrigonornetri yang lain dapat diperoleh dengpn menerapkan
runlrs perhitungan turunari'
t_.. ..
\
''
d(tan
.*)
'd(""'
,
l.
dr
:
2
"or.*J
- 5gu .r
dr-
Contoh 4.6 Tentukan ./'(x) dari ./(-r) = -r2sinr
Jawab
:
.f'(x) = 2xsinx+ x'cosx = x(2sin'r + xcosr)'
Contoh 4.7 l'entukan
Jawab
:
-f'(r):
/'(x)
dari ./(-r) = tanx - sec-r
r - secr
secz
tan
r = secr(secr -
tan -r
)
4.4 Aturan Rantai
Andaikan y = f (u)danu
:
SG) menentukan firngsi kornposisi
)'= (f
"
g)(-xi- Jika
gdifrensiabeldixdan/diferensiabel diu:g(x).rnaka -f "gdiferensiabel di-t dan
(.f ' g)'(:t)
dv
dr
: /'(g(r))g'(x)
dv du
vakru- --:- =-=-Jika
-r"
du dx
:-f(u ) ,u
: g(v*) dan v : h(x) m{ 0
I
:x:0
lsin.r+
12. Tentukan
/T
:(.r:g(-r:
c/-t'
13 Jikadikctahui
))
/'(0) = 2, g(0)
=
0, g'(0) =.b=, tenrukan (.r'-. g)'(0).
46
14. Andaikan ./(5) = I
,l(5) = 6, g(5) = -3, g'(5) = 2- Tentukan
o
a.(.fg)'(s)
[r],,r,
" [i],',
\g/
15. Jika /(3):4, g( 3) =2 , .f'(3) - -6 , g'(3) = 5- Tentukan
a.
16. -Iika
(f +g)'(3)
f {x) =l6gttl
b. (,fgx3)
dengan
'[*),',
S&) = 8, g'(4) = 7, cari f'(4r-
BAB V
PENGGUNAAN TURUI{AN
5.1 Untuk Menggambar Grafik Fungsi
Infonnasi yang dibutuhkan untuk rnenggambar grafil< fungsi adalah
A.Titik
potong dengan sumbu
r
dan strmbu.l'
B.$simtot fungsi
Definisi 5.1 Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati grafik fungsinya.
Ada Tiga asimiot frrngsi, yakni
o
asimtci iegak
Garis
x:
c disebut asimtot tegak grafik fungsi 1'
: .f(x) stka
$'f(') = +*
.
asirntot datar
Garisy:6
.
disebut asimtot datar grafik frrngsi
t' :-f(x; jika lim /(x)
:
6
asimtot rniring
Ggarisy
: ux t f disebut asimtot rniring jika
lY-.\/ - a dan 1;n /'(x) - ar = b
./'/
1in1
r+ff;
r+l-r'
jf
Perlu dicatat, bahrva grafik fun-ssi tidak akan mempunyai astmtot datar sekali-eus
miring. Dapat dilihat,
_iika
a
=
(1,
rnaka grafik filngsi tersebut tidak punya asimtot
datar, tetapi ia punya asimtot rniring.
Contoh 5.1 Tentukan sernua asitntot dari ./(-r1
Jawab : (i) asirntot tegak . x
:
-
(r + l):
(t1lf
r+o -t
O,karena 1;*
(ii) asirntot lniring
:
datar'
u*r, / datar
"=,!lt+=l*!t#
.t
=
-t
.
it= J,i
" ?-l ='
x:+2-t+l--r?
6= r+a!o'_
lim f(t)-ax:ltm
H1€
rim
= r+lF
2t+1=2
X
Jadi asimtot miring
y : x - 2, asimtot
:
datar tidali ada.
C. Kemonotonan Fungsi
Definisi 5.2 Grafik i,ngsif(x) dikatakan
.
monotcn naik pada interval I jika unn*
rr
.
(
rz =+,f(*,)
. f(*r),
V:,,-tr
€
/
@noton turun pada interval I jika untuk
.r,
0 V -r e
Fungsi.f(.rr,l monoton turun pada I jika
1
/'(-r)< 0 Vr e /
Contoh 5.2 Tenftrkan selang kemonotonan dari .f(-r)
(-r+l): -r2+2-r+l ^ I
=-=-r+''+'r.'t,/\\,/
('r-lX-x+l)
tt;'
-r'(:r)= l--1.-: x' -
-
(-r +
l)l
x
Jarvab.f(x)
-rt
Q yaitu paCa (-"o,-1) dan (1,+*)
f(x) monoton tlrun pada .f '(:) < 0, y.'hitu pada (-1,0) dan (0,1)
D. Ekstrim Fungsi
Eksr.irn frngsi adalair nilai maksimum atau minimum fungsi
di daerah
definisinya.
Definisi
.
.
5i
Misalkan-f(x) kontinu pada selang I dan ce L
.f(c) disebut
nilui
tnlk',itnuttt
global danf padal jika
uunrmurn
lgl:l!r)
f(c) /(-r) di sekitar c
Karena
.
.f'(c) ad4 rnaka
f-{c)=
.'T-+JA
=l:l
) 0 dan .f.(c)
llQ=
o
Ini menunjukkan bahrva .f-Gl>0dan .f (c) < 0, malia haruslair .f'(c) = 0Teorerna ini tidak berlaku sebalikny4 artinl"a
jika /'(c) = 0,
belum tentu
fk)
nilai eksnirn.
Contoh 5. .f6)
: r' I
.f'(c) = 0 tetapi-/(Al:0 bukan nilai ekstrirn.
E. Kecekungan fungsi
Secara geomefris, grafik fungsi
y : J(r) akan cekung
ke bawah di suaru
titik
bila lerva terletak di bawah garis singgung kun'a di titik tersebut.
Sedangkarr grafik fungsi y :./'( x ) akan cekung ke atas di suatu itik bila kuna
terletak di atas garis singgung kurva di titik tersebut.
Fungsi-f(x) dikatakan cekung ke atas'pada interval
interval
l,
sedang.f(x) dikatakan cekung ke barvah bila J'
I. Oleh karena iru dapat disirnpulkan
I bila /'(-r)naik
'(x)
paoa
tun-tn pada interva)
:
Teorema 5.7 Uji furunan kedua untuk kecekungan
l. Jika ./"(.,,) > 0, V.t e 1 maka.l(r.) cekung ke atas pada I
2. Jika .,f"(-.) < 0, V.r
el
naka.f(x) cekung ke bawali pada I.
Contoh 5.5 Tentukan selang kecekungan dan
Jarvab
:
/tx) = .t'
.i '(x) = 3.rrdan.f"(.r):6.t, maka! cekurg ke atas pada (O,+cr:) da:r
cekung ke barvalt pada (-co,O).
F.
Titik
belok
: 6. Maka ( b
Definisi 5.a Misalf(x) kontinu di x
kurva-/iy' jika
.
,
J(b)
) disebut titik betok dari
:
x:
6, vaitu di sebelah kiri .r:b
cekung ke atas dan di sebelalr karan
x:b cekung ke barvah atau
terjadi pe,rubahan kecekungan di
sebaliknya.
.
terdapat garis singgrurg pada nttk
r:
Syarat perlu
D merupakan absis
"f(x) tidakdiferensiabelduakali-di
x
ftf(b))
fersebut-
darititik belok bila berlaku
:
b
( /"(6)
2-r3
= 0 atau
ridak ada ).
Contoh 5.6 Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut
a. ^f (.x):
l"Q)
:
-I
b" -/'ix; =.v4
lt'
c. ./(,r) = r'3
+I
Jawab:
a. Dari J'(x)=Zx3
-t
maka
Bila ./"(.r) = 0 maka.r
:
/'"(;r) = 12,r.
0 mempakan calon dari
Fungsi/kontinu di r -- 0 dan .f 'rc1=
Untukx< 0maka
karena itu,
di-r
:
.f"(r) |maka./.,(.r;>0. Oieh
0 te{adi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,-1 )-merupakan
titik
belok
b. Dari "/'(x)=-x4 Inaka J'"(x): l) x2 .
B;la ./'"(x) = 0 maka x : 0 rnerupakan calon dari titik berok, sehingga unruk
menguji apakah.r
: 0 rnerupakan titik belok dilakukan hal berikut.
Untuk x < 0 danx >'0 maka f'"(x) > 0. Oleh karena itu,
perubairan kecekungan. Jadi ( 0,0
c. Dari .f(x)=-r"
+l
dix:0tidak tdadi
) bukan merupakan fitik belok
Terlihat bahri'a.//x/ ridak
'raka ./"(-r-) = +. t t:
capat
n't
diturunlcan dua kali di .:c
:0.
Fungsi.lt 0 tnaka./"(-.) < 0 .olelt karena
sedangkan untuk
0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,1 ) rnerupakan
titik belo|l;
Grafik Fungsi
Dari infonnasi yang didapaf dari point
rn en
A
sarnpai dengan
F, kita dapat
ggarnbarkan suatu gafi k fu ngsi.f/:l-
Contoh 5.7 Diketahui
/(r)
=
(x+
a. Asimtot tegak.f(x)
l)2
.T
ud**tt :
Asirntot minng.f(x) adalahy
b. J@ monoton naik pada
/x/
O
:
x+
(--,-i)
dan (1.+@)
monoton furun pada (1,0) dan (0,1)
c .(-1): 0 adalali nilai rnaksirnurn
.lil
2
lokal
) = 4 adalah nilai rninimum lokal
./"(r')
)
=
-1
, nakaf(x) cekung ke atas pada (0,cn) dan cekung ke
-x-
barvah pada (-m,0).
Teriadi penrbahan kecekungan di 0,taapi-f(0,1tidak ada. bcrarti
titik belok frngsi./(-rl tidak
f"
ada.
Grafik./i.t/ adalah sebagai berikut
:
r
-l
5.2 Menghitung limit fungsi dengan Aturan L'Hdpital
lirnit fungsi seringkali dijunpai benruk tak tenru dari
Dalarn perhitungan
|mrt
.
yarfLr
:
0oo
Ernpat bennrli pertema
-.-.0.oo,"o-o,0o,"o0,danl-.
0'o
diselesaikan dengan meng-zunakan cara
I
SISTET{ BILANGAN
l.l
RIIL
Sistem Bilangan Riil
Semesta pembicaraan dalam matakuliah Kalkulus
ini adalah Himpunan bilangan
riil. Himpunan Bilangan Riil merupakan sekumpulan bilangan Rasional dan lrrasional.
Secara lengkap dapat dilihat dari bagan
berikut:
R:
Himpunan Bilangan Riil
0:
Himpunan Bil. Rasional
,Y: Himp. Bil. Asli
Gb. l. I Diagram Venn Himpunan Bilangan Riil
,V:
Hirnpunan Bilangan Asli
Z:
Hirnpunan Bilangan Bulat
.1,2,3,...
'.
...,
-3,-2,-1,0, 1,2-3,...'
C: Hirnpunan Bilangan Rasional
_a
:qeO,rt=1,u.beZ,b=A
' b'
1r:
Himpunan Bilangan Irrasional
.r€Q,,{T,\11.o,..
R:
Hirnpunan Bilangan Riil
-
't
6*t ir
;2i
I
]
Sifat-sifat dalam hirnpunan bilangan
riil rnernainkan
peranan yang sangat penting dalam
Kalkulus, oleh karena itu dalam sub bab ini akan dibahas beberapa sifat dari himpunan
bilangan
riil dan permasalahan
yang menyangkut bilangan
riil itu sendiri, misalnya nilai
rnutlak^persalnaan dan pertaksamaan aljabar.
Sifat-sifat Bilangan Riil
a.
Sifat Medan
Jika
a
v,
.
z adalah anggota biiangan
Riil,
rnaka
i. x * y : y + x dan-ry :.),r ( hukum komutatif)
ii- x * (y+':) : (x-ll +; dan -r(y:):(xy)z (hukum asosiatig
iii. x(jt--1 :.r.1l .
-r:(hukum distributif)
ir,'. {}nsur ldentitias.
x + 0 :,r
\'.
dan
-r-. 1
x
0 dan 1 sehinesa
:;r.
x
Unsur Invers. Setiap bilangan
sehingga
Riil yang berlainan
Terdapat bilangan
mempunyai invers penjurnianan
- Lr): 0 dan mempunyai in'ers perkatian:
;
--r
-r-r sehingga
x1x-t1:i.
b.
Sifat Ururan
i-
Trikotomi. Jika
x0,]d>0 r 02
8. Tentukan nilai a, b d,an c agil fungsi berikut kontinu di x :
/.
c. iim.f(,)
-l
-; Diketahu
6-
:
-r--r2+
(, Z*-a, -x < -3
4 Diketahui ,f(r) :]o*+2b,-32
;o0-reR
3 d(/(,r)+g(x)) =./- (x)+F
dta
4
a(lt'')s(''))
ax
,)
\ r\^'/
. ,1('(')rq,
,s.
clr
=
/'(.'j
'(-.)
"r
(.r)
g(.r)+./1-x) g'(x).=.
g(.*) -,f
2
g (-r)
(-r) g
'(-r)
dengan
girt *().
,f
Contoh 4.5 Tentukan ftrngsi ftlrunan pertama dari ./(x) =
Jarvab:
-t
*
t
-t:+l
l)- 2-r(-r'+3) -r-2 + I -6.r- 2.rr -.tr -6.t+
=--=-(-t: + l)2
r-.(-t2 + l)2
1-r -r I)2
l.(-r2 +
"l'(.r)=-,
I
4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus
Turunan dari firngsi sinus dapat diperoleh dari definisi 4.3, yaitu:
.f(-r): sin-r -+ -/'(-r) = cosr
./(t): msx -+.f'("t): -sinx
Buldi : \dsal./(rl : sirzt
lv{aka,
/\r) : lllryI#=
=
^
(r+-r\.{r-r\
t J = irjlcos(sr,,*"]=)
mry'"(
cosr.l:
I-x
-
2-" t ,
)
coSx.
Dengan cara vaug sama didapatkan D.
ko.u1
:
- siar.
Untuk tunxran fungsi trrigonornetri yang lain dapat diperoleh dengpn menerapkan
runlrs perhitungan turunari'
t_.. ..
\
''
d(tan
.*)
'd(""'
,
l.
dr
:
2
"or.*J
- 5gu .r
dr-
Contoh 4.6 Tentukan ./'(x) dari ./(-r) = -r2sinr
Jawab
:
.f'(x) = 2xsinx+ x'cosx = x(2sin'r + xcosr)'
Contoh 4.7 l'entukan
Jawab
:
-f'(r):
/'(x)
dari ./(-r) = tanx - sec-r
r - secr
secz
tan
r = secr(secr -
tan -r
)
4.4 Aturan Rantai
Andaikan y = f (u)danu
:
SG) menentukan firngsi kornposisi
)'= (f
"
g)(-xi- Jika
gdifrensiabeldixdan/diferensiabel diu:g(x).rnaka -f "gdiferensiabel di-t dan
(.f ' g)'(:t)
dv
dr
: /'(g(r))g'(x)
dv du
vakru- --:- =-=-Jika
-r"
du dx
:-f(u ) ,u
: g(v*) dan v : h(x) m{ 0
I
:x:0
lsin.r+
12. Tentukan
/T
:(.r:g(-r:
c/-t'
13 Jikadikctahui
))
/'(0) = 2, g(0)
=
0, g'(0) =.b=, tenrukan (.r'-. g)'(0).
46
14. Andaikan ./(5) = I
,l(5) = 6, g(5) = -3, g'(5) = 2- Tentukan
o
a.(.fg)'(s)
[r],,r,
" [i],',
\g/
15. Jika /(3):4, g( 3) =2 , .f'(3) - -6 , g'(3) = 5- Tentukan
a.
16. -Iika
(f +g)'(3)
f {x) =l6gttl
b. (,fgx3)
dengan
'[*),',
S&) = 8, g'(4) = 7, cari f'(4r-
BAB V
PENGGUNAAN TURUI{AN
5.1 Untuk Menggambar Grafik Fungsi
Infonnasi yang dibutuhkan untuk rnenggambar grafil< fungsi adalah
A.Titik
potong dengan sumbu
r
dan strmbu.l'
B.$simtot fungsi
Definisi 5.1 Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati grafik fungsinya.
Ada Tiga asimiot frrngsi, yakni
o
asimtci iegak
Garis
x:
c disebut asimtot tegak grafik fungsi 1'
: .f(x) stka
$'f(') = +*
.
asirntot datar
Garisy:6
.
disebut asimtot datar grafik frrngsi
t' :-f(x; jika lim /(x)
:
6
asimtot rniring
Ggarisy
: ux t f disebut asimtot rniring jika
lY-.\/ - a dan 1;n /'(x) - ar = b
./'/
1in1
r+ff;
r+l-r'
jf
Perlu dicatat, bahrva grafik fun-ssi tidak akan mempunyai astmtot datar sekali-eus
miring. Dapat dilihat,
_iika
a
=
(1,
rnaka grafik filngsi tersebut tidak punya asimtot
datar, tetapi ia punya asimtot rniring.
Contoh 5.1 Tentukan sernua asitntot dari ./(-r1
Jawab : (i) asirntot tegak . x
:
-
(r + l):
(t1lf
r+o -t
O,karena 1;*
(ii) asirntot lniring
:
datar'
u*r, / datar
"=,!lt+=l*!t#
.t
=
-t
.
it= J,i
" ?-l ='
x:+2-t+l--r?
6= r+a!o'_
lim f(t)-ax:ltm
H1€
rim
= r+lF
2t+1=2
X
Jadi asimtot miring
y : x - 2, asimtot
:
datar tidali ada.
C. Kemonotonan Fungsi
Definisi 5.2 Grafik i,ngsif(x) dikatakan
.
monotcn naik pada interval I jika unn*
rr
.
(
rz =+,f(*,)
. f(*r),
V:,,-tr
€
/
@noton turun pada interval I jika untuk
.r,
0 V -r e
Fungsi.f(.rr,l monoton turun pada I jika
1
/'(-r)< 0 Vr e /
Contoh 5.2 Tenftrkan selang kemonotonan dari .f(-r)
(-r+l): -r2+2-r+l ^ I
=-=-r+''+'r.'t,/\\,/
('r-lX-x+l)
tt;'
-r'(:r)= l--1.-: x' -
-
(-r +
l)l
x
Jarvab.f(x)
-rt
Q yaitu paCa (-"o,-1) dan (1,+*)
f(x) monoton tlrun pada .f '(:) < 0, y.'hitu pada (-1,0) dan (0,1)
D. Ekstrim Fungsi
Eksr.irn frngsi adalair nilai maksimum atau minimum fungsi
di daerah
definisinya.
Definisi
.
.
5i
Misalkan-f(x) kontinu pada selang I dan ce L
.f(c) disebut
nilui
tnlk',itnuttt
global danf padal jika
uunrmurn
lgl:l!r)
f(c) /(-r) di sekitar c
Karena
.
.f'(c) ad4 rnaka
f-{c)=
.'T-+JA
=l:l
) 0 dan .f.(c)
llQ=
o
Ini menunjukkan bahrva .f-Gl>0dan .f (c) < 0, malia haruslair .f'(c) = 0Teorerna ini tidak berlaku sebalikny4 artinl"a
jika /'(c) = 0,
belum tentu
fk)
nilai eksnirn.
Contoh 5. .f6)
: r' I
.f'(c) = 0 tetapi-/(Al:0 bukan nilai ekstrirn.
E. Kecekungan fungsi
Secara geomefris, grafik fungsi
y : J(r) akan cekung
ke bawah di suaru
titik
bila lerva terletak di bawah garis singgung kun'a di titik tersebut.
Sedangkarr grafik fungsi y :./'( x ) akan cekung ke atas di suatu itik bila kuna
terletak di atas garis singgung kurva di titik tersebut.
Fungsi-f(x) dikatakan cekung ke atas'pada interval
interval
l,
sedang.f(x) dikatakan cekung ke barvah bila J'
I. Oleh karena iru dapat disirnpulkan
I bila /'(-r)naik
'(x)
paoa
tun-tn pada interva)
:
Teorema 5.7 Uji furunan kedua untuk kecekungan
l. Jika ./"(.,,) > 0, V.t e 1 maka.l(r.) cekung ke atas pada I
2. Jika .,f"(-.) < 0, V.r
el
naka.f(x) cekung ke bawali pada I.
Contoh 5.5 Tentukan selang kecekungan dan
Jarvab
:
/tx) = .t'
.i '(x) = 3.rrdan.f"(.r):6.t, maka! cekurg ke atas pada (O,+cr:) da:r
cekung ke barvalt pada (-co,O).
F.
Titik
belok
: 6. Maka ( b
Definisi 5.a Misalf(x) kontinu di x
kurva-/iy' jika
.
,
J(b)
) disebut titik betok dari
:
x:
6, vaitu di sebelah kiri .r:b
cekung ke atas dan di sebelalr karan
x:b cekung ke barvah atau
terjadi pe,rubahan kecekungan di
sebaliknya.
.
terdapat garis singgrurg pada nttk
r:
Syarat perlu
D merupakan absis
"f(x) tidakdiferensiabelduakali-di
x
ftf(b))
fersebut-
darititik belok bila berlaku
:
b
( /"(6)
2-r3
= 0 atau
ridak ada ).
Contoh 5.6 Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut
a. ^f (.x):
l"Q)
:
-I
b" -/'ix; =.v4
lt'
c. ./(,r) = r'3
+I
Jawab:
a. Dari J'(x)=Zx3
-t
maka
Bila ./"(.r) = 0 maka.r
:
/'"(;r) = 12,r.
0 mempakan calon dari
Fungsi/kontinu di r -- 0 dan .f 'rc1=
Untukx< 0maka
karena itu,
di-r
:
.f"(r) |maka./.,(.r;>0. Oieh
0 te{adi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,-1 )-merupakan
titik
belok
b. Dari "/'(x)=-x4 Inaka J'"(x): l) x2 .
B;la ./'"(x) = 0 maka x : 0 rnerupakan calon dari titik berok, sehingga unruk
menguji apakah.r
: 0 rnerupakan titik belok dilakukan hal berikut.
Untuk x < 0 danx >'0 maka f'"(x) > 0. Oleh karena itu,
perubairan kecekungan. Jadi ( 0,0
c. Dari .f(x)=-r"
+l
dix:0tidak tdadi
) bukan merupakan fitik belok
Terlihat bahri'a.//x/ ridak
'raka ./"(-r-) = +. t t:
capat
n't
diturunlcan dua kali di .:c
:0.
Fungsi.lt 0 tnaka./"(-.) < 0 .olelt karena
sedangkan untuk
0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,1 ) rnerupakan
titik belo|l;
Grafik Fungsi
Dari infonnasi yang didapaf dari point
rn en
A
sarnpai dengan
F, kita dapat
ggarnbarkan suatu gafi k fu ngsi.f/:l-
Contoh 5.7 Diketahui
/(r)
=
(x+
a. Asimtot tegak.f(x)
l)2
.T
ud**tt :
Asirntot minng.f(x) adalahy
b. J@ monoton naik pada
/x/
O
:
x+
(--,-i)
dan (1.+@)
monoton furun pada (1,0) dan (0,1)
c .(-1): 0 adalali nilai rnaksirnurn
.lil
2
lokal
) = 4 adalah nilai rninimum lokal
./"(r')
)
=
-1
, nakaf(x) cekung ke atas pada (0,cn) dan cekung ke
-x-
barvah pada (-m,0).
Teriadi penrbahan kecekungan di 0,taapi-f(0,1tidak ada. bcrarti
titik belok frngsi./(-rl tidak
f"
ada.
Grafik./i.t/ adalah sebagai berikut
:
r
-l
5.2 Menghitung limit fungsi dengan Aturan L'Hdpital
lirnit fungsi seringkali dijunpai benruk tak tenru dari
Dalarn perhitungan
|mrt
.
yarfLr
:
0oo
Ernpat bennrli pertema
-.-.0.oo,"o-o,0o,"o0,danl-.
0'o
diselesaikan dengan meng-zunakan cara