Sifat operasi dan eksistensi invers suatu matriks dalam aljabar max-plus

SIFAT OPERASI DAN EKSISTENSI INVERS SUATU
MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

SISKA MARYANA DEWI

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sifat Operasi dan
Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.
Bogor, November 2014
Siska Maryana Dewi
NIM G54070006

ABSTRAK
SISKA MARYANA DEWI. Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks
dalam Aljabar Max-Plus. Dibimbing oleh SISWANDI dan FARIDA HANUM.
Karya ilmiah ini membahas sifat-sifat operasi dalam aljabar max-plus dan
sifat-sifat yang diaplikasikan pada matriks serta eksistensi invers matriks dalam
aljabar max-plus. Operasi-operasi matriks yang dapat diaplikasikan dalam aljabar
max-plus meliputi operasi penjumlahan dan perkalian antar matriks, matriks
transpose, matriks identitas, matriks segi pangkat ke-k, serta perkalian matriks
dengan skalar. Sifat- sifat yang berlaku untuk matriks dalam aljabar max-plus
yaitu sifat asosiatif (untuk operasi penjumlahan dan perkalian), komutatif (hanya
untuk operasi penjumlahan), dan distributif. Eksistensi invers suatu matriks A ∈
nxn
max dalam aljabar max-plus dapat dipastikan ada jika dan hanya jika A
merupakan perkalian matriks permutasi P dan matriks diagonal D(i ) .

Kata kunci: matriks, aljabar max-plus

ABSTRACT
SISKA MARYANA DEWI. Properties of Operations and Existence of the Inverse
Matrix in Max-Plus Algebra. Supervised by SISWANDI dan FARIDA HANUM.
This paper discusses the properties of operations in max-plus algebra and
properties that valid for the matrix and existence of the inverse matrix in max-plus
algebra. The operations that can be applied in max-plus algebra includes
operations of addition and multiplication between matrices, transpose of a matrix,
the identity matrix, the k-th rank of a square matrix, and the matrix multiplication
by a scalar. Properties that valid for the matrix in max-plus algebra is an
associative properties (for addition and multiplication operations), commutative
(only for addition operation), and distributive. The existence of the inverse matrix
nxn
A ∈
max in max-plus algebra can be guarantied if and only if A is a
multiplication of a permutation matrix P and a diagonal matrix D(i ) .

Keywords: matrix, max-plus algebra

SIFAT OPERASI DAN EKSISTENSI INVERS SUATU
MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

SISKA MARYANA DEWI

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

Judul Skripsi : Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar
Max-Plus
Nama

: Siska Maryana Dewi
NIM
: G54070006

Disetujui oleh

Drs Siswandi, MSi
Pembimbing I

Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat
dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah berjudul Sifat Operasi dan Eksistensi
Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-plus ini dapat penulis selesaikan.
Shalawat dan salam penulis curahkan kepada Nabi Muhammad SAW, beserta
sahabat dan umatnya.
Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Siswandi, MSi dan
Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen pembimbing I dan II atas semua ilmu,
kesabaran, dan motivasi, serta Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku dosen
penguji dan Dr Donny Citra Lesmana, SSi, MFinMath atas segala saran dalam
penulisan karya ilmiah ini. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada
seluruh dosen di Departemen Matematika atas semua ilmu yang telah diberikan,
serta staf dan pegawai atas bantuan dan pelayanannya selama ini.
Karya ilmiah ini penulis persembahkan untuk bapak, ibu, kakak, adik, dan
keluarga. Terima kasih atas semua doa, dukungan, dan kasih sayang yang tiada
habisnya. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman-teman
Matematika 44, kakak-kakak dan adik-adik tingkat di Institut Pertanian Bogor,
teman-teman kos, dan semua pihak yang tak henti memberikan dukungan serta
bantuan dalam menyelesaikan karya ilmiah ini. Selain itu, penulis juga ingin
memberikan terima kasih kepada Super Junior, khususnya Cho Kyuhyun karena
secara tidak langsung telah memberi motivasi agar tidak menyerah dalam

mengejar pendidikan.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, November 2014
Siska Maryana Dewi

DAFTAR ISI
PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

TINJAUAN PUSTAKA

1

HASIL DAN PEMBAHASAN

5

Sifat Operasi Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus
Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus
SIMPULAN DAN SARAN

5
12
15

Simpulan

15

Saran

15

DAFTAR PUSTAKA

16

RIWAYAT HIDUP

17

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Aljabar max-plus pertama kali muncul pada tahun 1956 dalam paper Kleene
yang berjudul “Representation of events in nerve sets and finite automa”. Dalam
aljabar max-plus, yang menjadi fokus utama adalah semi ring ℝmax = {�} ∪ ℝ
dengan operasi
dan . Saat ini aljabar max-plus telah banyak dikembangkan
untuk menyelesaikan berbagai macam permasalahan matematika, seperti pada
kombinatorika, optimasi, dan aljabar geometri. Berdasarkan (Subiono 2013)

Aljabar max-plus juga digunakan dalam teori kontrol, penjadwalan mesin, sistem
even diskrit (SED), sistem manufaktur, jaringan komunikasi, sistem proses paralel,
kontrol lalu lintas, dan lain-lain.
Karya Ilmiah ini merupakan hasil penjabaran kembali karya Kesie G.
Farlow yang berjudul “Max-Plus Algebra” yang membahas mengenai dasar-dasar
aljabar max-plus beserta kaitannya dengan beberapa konsep matematika seperti,
matriks, vektor, teori graf, bahkan sampai rantai Markov. Dalam karya ilmiah ini
hanya akan dibahas sifat-sifat dan eksistensi invers matriks dalam aljabar maxplus.

Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah membahas sifat-sifat operasi dan
eksistensi invers suatu matriks dalam aljabar max-plus.

TINJAUAN PUSTAKA
Matriks
Definisi 1 (Matriks)
Matriks adalah beberapa skalar yang disusun secara empat persegi panjang
menurut baris dan kolom. Skalar tersebut disebut elemen matriks. Untuk batasnya,
biasa digunakan ( ), [ ], atau || ||. Matriks diberi nama dengan huruf besar,
misalnya A, B, dan lain-lain. Sedangkan elemen-elemen matriks ditulis dengan

huruf kecil, misalnya a11, b21, dan lain-lain. Kadang suatu matriks A dapat ditulis
A =  aij  .
(Sutojo et al. 2010)

2

Operasi-operasi pada matriks:
1. Penjumlahan matriks
Misalkan diketahui matriks A =  aij  berukuran m  n dan matriks B =

a1n 
 a11 a12


a21 a22
a2 n 

dan B =
 bij  berukuran m  n, maka A = 




amn 
 am1 am 2
b1n 
 b11 b12


b2 n 
 b21 a22
. Penjumlahan A dan B didefinisikan sebagai :




bmn 
 bm1 bm 2
( a1 n  b1 n ) 
 (a11  b11 ) ( a12  b12 )


(a21  b21 ) (a22  b22 )
( a2 n  b2 n ) 

A+B =  aij  +  bij  =  aij  bij  =




( amn  bmn ) 
 (am1  bm1 ) ( am 2  bm 2 )
2. Perkalian matriks dengan skalar
Misalkan k suatu skalar, maka perkalian k dengan matriks A =  aij 
berukuran m  n didefinisikan dengan
ka1n 
 ka11 ka12


ka21 ka22
ka2 n 

kA = k  aij  =  kaij 




kamn 
 kam1 kam 2
3. Perkalian matriks
Hasil perkalian matriks A =  aij  berukuran m  p dan matriks B =

 b  berukuran p  n adalah
ij

matriks C =  cij  berukuran m  n, dengan
p

nilai cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  aipbpj   aik bkj , untuk i = 1, 2,..., m dan j = 1,
k 1

2,..., n.
Definisi 2 (Transpos Matriks)
Suatu matriks A =  aij  berukuran m  n, maka transpos dari A adalah
matriks AT berukuran n  m yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-i
dari A sebagai kolom ke-i dari AT.

3

 a11

a
T
A =  12


 a1n

a21
a22
a2 n

am1 

am2 


amn 
(Sutojo et al. 2010)

Definisi 3 (Matriks Identitas)
Matriks identitas adalah matriks yang semua elemen diagonal utamanya
adalah 1, sedangkan elemen lainnya adalah 0. Matriks identitas dinotasikan
dengan I.
0
1 0


0 1
0
I= 




1
0 0
(Sutojo et al. 2010)
Definisi 4 (Invers Matriks)
Sebuah matriks segi A berukuran n  n disebut memiliki invers jika ada suatu
matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A dan dapat
ditulis A-1.
(Sutojo et al. 2010)

Aljabar Max-Plus
Definisi 5 (Semigrup)
Semigrup adalah suatu himpunan dengan operasi biner asosiatif.
(Fraleigh 1997)
Definisi 6 (Semiring (S, + , × ))
Suatu semiring (S, + , × ) adalah suatu himpunan tak kosong S disertai
dengan dua operasi biner + dan × yang memenuhi aksioma berikut:
1. (S, +) merupakan semigrup yang komutatif dengan elemen netral 0, yaitu
x, y, z ∈ S memenuhi
x+y
=
y+x
(x + y) + z
=
x + (y+ z)
x+0
=
0+x
2. (S, × ) adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu x, y, z ∈ S
memenuhi
(x × y) × z
=
x × (y × z)
x×1
=
1×x
3. Sifat absorbing elemen netral 0 terhadap operasi × , yaitu x ∈ S
memenuhi
x×0
=
0×x =0

4
4. Operasi × bersifat distributif terhadap + , yaitu x, y, z ∈ S berlaku
(x + y) × z
=
(x × z) + (y × z)
x × (y + z)
=
(x × y) + (x × z)
(Subiono 2013)
Definisi 7 (Aljabar Max-Plus)
Aljabar max-plus adalah suatu semi ring (ℝmax, , ) dengan ℝmax = {�} ∪
ℝ. ℝ adalah himpunan semua bilangan real dan � = −∞ yang memenuhi operasi
dan yang didefinisikan sebagai berikut : x, y ∈ ℝmax ,
x y = max (x, y) = maksimum (x, y).
x y = x + y.
Biasanya cukup ditulis ℝmax .
(Farlow 2009)
Contoh :
3 (-7) = max (3, (-7)) = 3
3 (-7) = 3 + (-7) = -4
Sifat-sifat aljabar max-plus
Untuk setiap x, y, z ∈ ℝmax akan memenuhi

1. Sifat asosiatif, yaitu :
x (y z) = (x y) z dan x (y z) = (x y) z
2. Sifat komutatif, yaitu :
x y = y x dan x y = y x
3. Sifat distributif, yaitu :
x (y z) = (x y) (x z)
4. Ada elemen nol terhadap operasi , yaitu ε, dengan � = −∞.
x ε=ε x=x
5. Ada elemen satuan terhadap operasi , yaitu ℯ, dengan ℯ = 0.
x ℯ=ℯ x=x

6. Ada elemen invers terhadap operasi ,
Jika x  � maka ada bilangan tunggal y sehingga x y = ℯ.
7. Ada elemen absorbing terhadap operasi , yaitu ε, sehingga x ε = ε x
= ε.
8. Sifat idempoten terhadap operasi , yaitu x x = x
(Farlow 2009)

Bukti :
1. x

(y

x

(y

z) = max (x, max (y, z)) = max (x, y, z)
= max (max (x, y), z) = (x y) z
z) = x + (y + z) = (x + y) + z = (x y) z

2. x
x

y = max (x, y) = max (y, x) = y
y=x+y=y+x=y x

3. x

(y

x

z) = x + max (y, z) = max (x + y, x + z) = (x

y)

(x

z)

5

4. x
5. x

ε = max (x, −∞) = max (−∞, �) = ε
ℯ=x+0=0+x=ℯ

x=x

x=x

6. Misalkan x ∈ ℝmax dengan x  �, maka ∃ y ∈ ℝmax ∋ y = -x dan x + y = x +
(-x) = 0 sehingga x y = ℯ

7. x

ε = x + (−∞) = (−∞) + x = ε

8. x

x = max (x, x) = x

x=ε

Definisi 8 (Pangkat Aljabar Max-Plus)
Untuk x ∈ ℝmax dan n ∈ , x pangkat n didefinisikan dengan :
x  n = x x .... x.
Jika x  �, maka x 0 = ℯ.
Jika α ∈ ℝ, maka x  = αx.
Jika k > 0, maka   k = ε (jika k ≤ 0, maka   k tidak terdefinisi).
Sifat-sifat operasi pangkat dalam aljabar max-plus
Untuk setiap m, n ∈ , x ∈ ℝmax berlaku :
1. x  m x  n = x( mn )
n

2. ( xm )n = x( m )
3. x 1 = 1x = x
4. x  m y  m = ( x  y)m

(Farlow 2009)
Bukti :
m
1. x

x  n = mx + nx = (m+n)x = x( mn )
n

2. ( xm )n = (mx)n = nmx = x( m )
3. x 1 = 1x = x
y  m = mx + my = m(x+y) = ( x  y)m
4. x  m

HASIL DAN PEMBAHASAN
Sifat Operasi Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus
Bagian ini akan mendefinisikan matriks dalam ℝmax. Matriks berukuran m ×
dan elemen-elemennya ∈ ℝmax dalam aljabar max-plus
n untuk m, n ∈
n
mn
dinotasikan dengan max . Suatu matriks A ∈ mmax
dapat ditulis sebagai berikut

6

 a11

a
A =  21


 am1
Nilai untuk baris ke-i dan
atau sebagai  Aij .

a1n 

a22
a2 n 


am 2
amn 
kolom ke-j dari matriks A dinotasikan dengan aij
a12

Operasi penjumlahan dan perkalian dari matriks dalam aljabar max-plus
hampir serupa dengan operasi penjumlahan dan perkalian dalam matriks dalam
aljabar biasa dengan + dan × didefinisikan sebagai dan .

Definisi 9
1. Untuk penjumlahan matriks A, B ∈
didefinisikan sebagai :
 A  B ij = aij

2. Untuk perkalian matriks A ∈
dengan A

mn
max

dinotasikan dengan A

B dan

bij = max ( aij , bij )
mk
max

dan matriks B ∈

kxn
max

, dinotasikan

B dan didefinisikan sebagai :

 A  B il

= kj1 ( aij

b jl ) = max j1,2,...,k (aij + bjl)

3. Matriks transpos A dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan AT dan
didefinisikan  AT  =
ij

 A ji .

4. Matriks identitas n × n dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan E dan
didefinisikan sebagai :
 e jika i  j
 E ij = 
 jika i  j
5. Untuk matriks segi A pangkat ke-k (dengan k bilangan bulat positif) dalam
aljabar max-plus dinotasikan dengan Ak dan didefinisikan sebagai :
Ak = A  A  ...  A
k

kali

Untuk k = 0, didefinisikan A0 = E.
n
6. Untuk sebarang matriks A ∈ mmax
dan sebarang skalar α ∈ ℝmax,
didefinisikan perkalian skalar α A sehingga :
  Aij = α  Aij
Sifat-sifat suatu matriks dalam aljabar max-plus:
1. Sifat asosiatif, yaitu :
A (B C) = (A B) C dan A
2. Sifat komutatif, yaitu :
A B = B A dan A

B=B

A

(B

C) = (A

B)

C

7
3. Sifat distributif, yaitu :
A (B C) = (A

B)

(A

C)

Bukti :
1. Sifat asosiatif
a). A (B C) = (A B) C
n
Misalkan A, B, C ∈ mmax
, i menyatakan baris matriks dan j
menyatakan kolom matriks, maka :
A (B C) = ( A  ( B  C ))ij
= aij  (bij  cij )
= aij  (max(bij , cij ))
= max(aij , max(bij , cij ))
= max(aij , bij , cij )
B)

(A

C = (( A  B)  C))ij
= (aij  bij )  cij
= max(aij , bij )  cij
= max(max( aij , bij ), cij )
= max(aij , bij , cij )

Terbukti A

(B

C) = (A

B)

C.

b). A

(B C) = (A B) C
p q
p
n
, B ∈ max
, C ∈ qmax
, i menyatakan baris
Misalkan A ∈ mmax
matriks dan j menyatakan kolom matriks, maka :
A (B C) = ( A  ( B  C ))ij
 q

= ail    blk  ckj 
k 1


p
q


=  ail    blk  ckj 
l 1
 k 1

p

q

=   ail  blk  ckj
l 1 k 1

B)

(A

C = (( A  B)  C ))ij

p

=   ail  blk   ckj
 l 1

q
p


=    ail  blk   ckj
k 1 l 1


p

q

=   ail  blk  ckj
l 1 k 1

Terbukti A

(B

C) = (A

B)

C.

8
Karena terbukti A (B C) = (A B) C dan A (B C) =
(A B) C , maka sifat asosiatif dalam matriks aljabar max-plus berlaku
untuk operasi penjumlahan dan perkalian.
2. Sifat komutatif
a). A B = B A
mn
n
Misakan A, B ∈ mmax
max , i menyatakan baris matriks dan j
menyatakan kolom matriks, maka :
A B = ( A  B)ij
= (aij  bij )
= max(aij , bij )
B

A = ( B  A)ij
= (bij  aij )
= max(bij , aij )
= max(aij , bij )

Terbukti A B = B A.
b). A B = B A
p
Misalkan A ∈ mmax
dan B ∈
j menyatakan kolom matriks, maka :
A B = ( A  B)ij

p n
max

, i menyatakan baris matriks dan

p

=  aik  bkj
k 1

= max(aik  bkj )
k p

Sedangkan B
A belum tentu bisa dioperasikan karena dalam
operasi perkalian matriks aljabar matriks banyaknya kolom matriks
pertama harus sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Oleh karena
itu, B A hanya bisa dioperasikan jika banyaknya kolom matriks B sama
dengan banyaknya baris matriks A (n = m), sehingga sifat komutatif dalam
matriks aljabar max-plus hanya berlaku untuk operasi penjumlahan.
3. Sifat distributif
A (B C) = (A B) (A C)
p
, B, C ∈
Misalkan A ∈ mmax
j menyatakan kolom matriks, maka :
A (B C) = ( A  ( B  C ))ij

p n
max

, i menyatakan baris matriks dan

p

=  aik  (bkj  ckj )
k 1
p

=  (aik  bkj  aik  ckj )
k 1

 p
  p

=   aik  bkj     aik  ckj 
 k 1
  k 1


9
= ( A  B)ij  ( A  C ))ij
= (A B) (A C)
Terbukti A (B C) = (A B)

(A

C).

Contoh:
 2 5 
Diberikan A = 
, B =
 e 3

A

 2 5 
B= 

 e 3

1 e 

 dan C =
 1 6 

 3 2 

 maka:
1 4 

 1 e   max(2,1) max(5, e)   1 5 

 =
 =

 1 6   max(e, 1) max(3, 6)   e 3 

 2 5 
1 e 
B= 



 e 3
 1 6 
 max((( 2)  1),(5  ( 1))) max((( 2)  e),(5  ( 6))) 
=

max(( e  e),(3  ( 6))) 
 max((e  1),(3  ( 1)))
 max(1, 4) max( 2, 1)   4 1
=
 =

max( e, 3)   2 e 
 max(1, 2)
 2 e 
AT = 

 5 3
Matriks identitas dalam aljabar max-plus untuk matriks berukuran 2  2 adalah:
e  
E= 

 e 
Matriks identitas dalam aljabar max-plus untuk matriks berukuran 3  3 adalah:
e   


E =  e  
  e 


 2 5 
 2 5 
A2 = 



 e 3
 e 3
 max(( 2)  ( 2),5  e) max(( 2)  5,5  3) 
=

max( e  5,3  3) 
 max(e  ( 2),3  e)
 max( 4,5) max(3,8)   5 8 
=
=

 max(2,3) max(5,6)   3 6 

A

Diberikan α = 3, maka :
 2 5   3  (2) 3  5   3  (2) 3  5   1 8 
α A=3 
 =
 =
 =

3  3  3  e
3  3  3 6 
 e 3  3  e

Contoh untuk sifat asosiatif :

10
A

(B

 2
C) = 
 e
 2
=
 e
 2
=
 e
3
=
1

5

3
5

3
5

3
5

4

  1 e   3 2  



1
6



 1 4 

 max(1,3) max(e, 2) 


 max(1,1) max(6, 4) 
 3 e   max(2,3) max(5, e ) 

= 

 1 4   max(e,1) max(3, 4) 

  2 5   1 e    3 2 
C = 

 

  e 3   1 6    1 4 
 max(2,1) max(5, e )   3 2 
=
 

 max(e, 1) max(3, 6)   1 4 
 1 5   3 2   max(1,3) max(5, 2) 
=
 
= 

 e 3   1 4   max(e,1) max(3, 4) 
3 5
=

1 4
Terlihat bahwa A (B C) = (A B) C.
(A

A

(A

B)

(B

B)

 2 5    1 e   3 2  
C) = 
 

 
 e 3    1 6   1 4  
max((1  (2)), (e  4)
 2 5   max((1  3), (e  1))

=
 

 e 3   max(((1)  3), ((6)  1)) max(((1)  (2)), ((6)  4)) 
max(1, 4) 
 2 5   max(4,1)
=
 

 e 3   max(2, 5) max(3, 2) 
 2 5   4 4 
=
 

 e 3   2 2 
 max(((2)  4), (5  2)) max((( 2)  4), (5  ( 2)))
=

max((e  4), (3  ( 2))) 
 max((e  4), (3  2))
 max(2, 7) max(2,3)   7 3 
=
=

 max(4,5) max(4,1)   5 4 

  2 5   1 e    3 2 
C = 
 
 

  e 3   1 6    1 4 
 max(((2)  1), (5  (1))) max((( 2)  e ), (5  ( 6)))
=

max((e  e ), (3  ( 6))) 
 max((e  1), (3  (1)))
 max(1, 4) max(2, 1)   3 2 
=
 

max(e, 3)   1 4 
 max(1, 2)

 3 2 


1 4 

11
 4 1  3 2 
=
 

 2 e  1 4 
 max((4  3), ((1)  1)) max((4  ( 2)), (( 1)  4))
=

max((2  ( 2)), (e  4)) 
 max((2  3), (e  1))
 max(7, e) max(2,3)   7 3 
=
= 

 max(5,1) max(e, 4)   5 4 
Terlihat bahwa A (B C) = (A B) C.

Contoh untuk sifat komutatif :
 2 5   1 e 
A B= 
 
 =
 e 3   1 6 
 1 e   2 5 
B A= 
 
 =
 1 6   e 3 
Terlihat bahwa A B = B A.
A

 max(2,1) max(5, e)   1 5 

 =

 max(e, 1) max(3, 6)   e 3 
 max(1, 2) max( e,5)   1 5 

 =

 max(1, e) max( 6,3)   e 3 

 2 5   1 e 
B= 
 

 e 3   1 6 
 max((( 2)  1),(5  ( 1))) max((( 2)  e),(5  ( 6))) 
=

max(( e  e),(3  ( 6))) 
 max((e  1),(3  ( 1)))
 max(1, 4) max( 2, 1)   4 1
=
 =

max( e, 3)   2 e 
 max(1, 2)

 1 e   2 5 
A= 
 

 1 6   e 3 
 max((1  ( 2)),( e  e))
=
 max((( 1)  ( 2)),(( 6)  e))
max(6,3) 
 max( 1, e)
=
 =
 max(3, 6) max(4, 3) 
Tidak terlihat bahwa A B = B A.

B

Contoh sifat distributif:
 2 5 
A (B C) = 

 e 3

max((1  5),( e  3))



max((( 1)  5),(( 6) 3)) 
 e 6


 3 4 

  1 e   3 2  



  1 6   1 4  
 2 5   max(1,3) max(e, 2) 
=
 

 e 3   max(1,1) max(6, 4) 
 2 5   3 e 
=
 

 e 3 1 4 
 max((2)  3), (5  1)) max((( 2)  e ), (5  4))
=

max((e  e ), (3  4)) 
 max((e  3), (3  1))

12
 max(1, 6) max(2,9) 
6 9
=
 =

 max(3, 4) max(e, 7) 
4 7

  2 5   1 e     2 5   3 2  
C) =  
 
 
 

  e 3   1 6     e 3   1 4  
 max((( 2)  1),(5  ( 1))) max((( 2)  e),(5  ( 6))) 
=

max(( e  e),(3  ( 6))) 
 max((e  1),(3  ( 1)))
 max(((2)  3), (5  1)) max(((2)  (2)), (5  4)) 


max((e  (2)), (3  4)) 
 max((e  3), (3  1))
 max(1, 4) max(2, 1)   max(1, 6) max(4,9) 
=
 

max(e, 3)   max(3, 4) max(2, 7) 
 max(1, 2)
 4 1  6 9   max(4, 6) max(1,9) 
=
 

 =
 2 e   4 7   max(2, 4) max(e, 7) 
6 9
=

4 7
Terlihat bahwa A (B C) = (A B) (A C)
(A

B)

(A

Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus
Definisi 10
n
dikatakan memiliki invers kanan
Dalam aljabar max-plus, matriks A ∈ nmax
jika ada sebuah matriks B sehingga A B = E, dan B disebut invers dari A, ditulis
B = A1 .
Definisi 11
n
Dalam aljabar max-plus, matriks A ∈ nmax
dikatakan memiliki invers kiri
jika ada sebuah matriks B sehingga B A = E, dan B disebut invers dari A, ditulis
B = A1 .
Definisi 12
Dalam aljabar max-plus, matriks permutasi A adalah matriks yang pada
setiap baris dan kolomnya memuat tepat satu elemen e dan elemen yang lainnya
adalah �. Jika pemetaan  : {1, 2, ...., n} → {1, 2, ...., n} adalah suatu permutasi,
maka didefinisikan matriks permutasi P =  pij  dengan
 e jika i   ( j)
pij = 
 jika i   ( j)
Sehingga elemen kolom ke-j dari P mempunyai e di baris ke-  ( j ) .

Perkalian kiri oleh P mempermutasikan baris dari matriks, sehingga baris
ke-i dari matriks A nampak sebagai baris ke-  ( j ) dari matriks P A.

13
Contoh :
Diberikan
 : {1, 2} → {1, 2}
 (1)  2
 (2)  1
maka:
 e jika 1   (1)
, p11 =  .
p11  
 jika 1   (1)
 e jika 1   (2)
, p12 = e .
p12  
 jika 1   (2)
 e jika 2   (1)
, p21 = e .
p21  
 jika 2   (1)
 e jika 2   (2)
, p22 =  .
p22  
 jika 2   (2)
 e 
Matriks permutasinya adalah 
.
e  
Definisi 13
Jika 1 , 2 ,...., n ∈ ℝmax, i   maka matriks diagonal didefinisikan
sebagai :
...  
 1 

 2  ...  
D(i ) = 
 ... ... ... ... 


   ...  n 
n
Teorema 1a. Matriks A ∈ nmax
, mempunyai invers kanan jika dan hanya jika ada
permutasi  dan nilai i   , i ∈ {1, 2, ...., n} sedemikian rupa sehingga A = P
D(i ) .
Teorema 1b. Analog terhadap Teorema 1a, matriks A ∈

nn
max

, mempunyai invers

kiri jika dan hanya jika ada permutasi  dan nilai i   , i ∈ {1, 2, ...., n}
sedemikian rupa sehingga A = D(i ) P .
Bukti. Anggap ada matriks B sedemikian rupa sehingga A
B = E. Hal ini
mengakibatkan bahwa :
maxk (aik  bki ) = e = 0 untuk setiap i ..................................................... (1)
maxk (aik  bkj ) = � = -∞ untuk setiap i  j ............................................ (2)

dan (1) untuk setiap i ada suatu nilai k sehingga aik  bki  e . Ini berarti ada suatu
fungsi k =  (i) dengan ai (i )   dan b (i )i   . Dari persamaan (2) dapat
ditemukan
ai ( j )   untuk semua i  j .................................................................... (3)

14
Karena ai (i )   = ai ( j ) untuk i  j , berarti bahwa  adalah suatu injeksi
dan ada suatu permutasi. Persamaan (3) menunjukkan bahwa ai (i ) adalah satusatunya elemen dari kolom ke-  (i) dari matriks A yang nilainya bukan  .
Misalkan A = P
A. Baris ke-  (i) dari A adalah baris ke-i matriks A, yang
mempunyai elemen lebih besar dari  dalam kolom ke-  (i) . Maka dari itu,
semua elemen diagonal dari matriks A lebih besar dari  . Hal ini juga berarti
bahwa matriks A hanya mempunyai satu elemen selain  dalam setiap kolom,
sehingga
P A = A = D(i ) dengan a 1 (i )i   .
Misalkan    1 . Karena P

P = E, maka A = P

Sebaliknya, diasumsikan bahwa A = P

D(i ) .

D(i ) dengan i ∈

nn
max

dan

i   . Jika ini benar, dimisalkan B = D(i ) P , i = i , sehingga
A B = P
D(i )
D(i )
P = E.
P = P
1

1

1

1

Jadi, A B = E dan B adalah invers kanan dari matriks A.
Teorema ini memberikan karakteristik invers matriks dalam aljabar maxplus. Berdasarkan ini, dapat diketahui bahwa matriks yang mempunyai invers
merupakan suatu permutasi matriks diagonal.
Contoh:

 2
Misal A = 
 , maka A mempunyai invers kanan karena diambil dari P =
1  
 e 
1  

 dan D(i ) = 
 sehingga :
e  
 2
 e 
1  
P
D(i ) = 



e  
 2
 max((  1), (e   )) max((   ), (e  2)) 
=

 max((e  1), (   )) max((e   ), (  2)) 
 max( ,  ) max( , 2) 
=

 max(1,  ) max( ,  ) 
 2
=
 =A
1  
n
jika A B = E maka B
Teorema 2. Untuk A, B ∈ nmax
suatu matriks unik yang ditentukan oleh matriks A.

A = E , dan B adalah

Bukti. Berdasarkan teorema 1, dapat diketahui bahwa A = P

D(i ) untuk

beberapa nilai i   dan permutasi  . Telah diketahui bahwa B = D(i )
P 1 adalah invers kiri dari matriks A. Jika A

B = E , maka B = B

(A

B)

15
= (B
A) B = E B = B, hal ini menunjukkan bahwa B adalah suatu matriks
unik yang ditentukan oleh matriks A dan juga invers kiri dari matriks A.
n
Teorema 3. Jika A ∈ nmax
dan B ∈
maka A B juga mempunyai invers.

nn
max

adalah matriks yang mempunyai invers,

Bukti. Berdasarkan teorema 1, dapat diketahui bahwa
A = P a
D(ia ) dan B = D(ib ) P b .
maka A B = P a
D(ia ) D(ib ) P b .
Hasil perkalian dua matriks diagonal adalah matriks diagonal, maka
A B = P a D( ia
ib ) P b .
Hal ini membuktikan bahwa A
maka A B juga mempunyai invers.

B merupakan permutasi matriks diagonal,

SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berbagai operasi terhadap suatu matriks dapat diaplikasikan dalam bentuk
aljabar max-plus. Operasi-operasi tersebut meliputi operasi penjumlahan dan
perkalian antarmatriks, matriks transpos, matriks identitas, matriks segi pangkat
ke-k, serta perkalian matriks dengan skalar. Sifat- sifat yang berlaku untuk matriks
dalam aljabar max-plus yaitu sifat asosiatif (operasi penjumlahan dan perkalian),
komutatif (hanya operasi penjumlahan), dan distributif. Selain itu, invers suatu
matriks A berukuran n  n dalam aljabar max-plus dapat dijamin ada jika dan
hanya jika A merupakan perkalian matriks permutasi P dan matriks diagonal
D(i ) .

Saran
Masih banyak hal yang ada dalam aljabar max-plus yang belum dibahas
dalam karya ilmiah ini, termasuk implementasi nyata dari manfaat aljabar maxplus dalam berbagai bidang. Saya berharap akan ada yang melanjutkan karya
ilmiah ini agar lebih memahami penerapan aljabar max-plus.

16

DAFTAR PUSTAKA
Farlow, KG. 2009. Max-Plus Algebra [Tesis]. Virginia (US): Virginia Polytechnic
Institute and State University.
Subiono. 2013. Aljabar Maxplus dan Terapannya. Surabaya (ID): Institut Sepuluh
Nopember.
Fraleigh, JB. 1997. A First Course in Abstract Algebra. New York (US):
Addison-Wesley.
Sutojo T, N Bowo, Z.A Erna, Astuti S, Rahayu Y, Mulyanto E. 2010. Teori dan
Aplikasi Aljabar Linier dan Matriks. Yogyakarta (ID): Penerbit ANDI.

17

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kuningan, Jawa Barat pada tanggal 18 Juli 1989 dari
pasangan bapak Hadi dan ibu Amilah. Penulis merupakan anak ketiga dari empat
bersaudara. Pada tahun 2007, penulis lulus dari MA Husnul Khotimah dan pada
tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan
Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika dan minor Ilmu
Komunikasi. Selama mengikuti perkuliahan, penulis mendapatkan beasiswa
Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM) pada semester ganjil 2009-2010 sampai
semester ganjil 2011-2012. Penulis pernah aktif di berbagai organisasi seperti
DKM Al-Hurriyah IPB, BEM FMIPA IPB, dan SERUM-G IPB serta menjadi
panitia dalam MPKMB, MPF, MPD, LKCM, Pesta Sains, dan lain-lain.