PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

  

commit to user

PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

  oleh ADIMAS BANJAR M0107019 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

  JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012

  ABSTRAK

  Adimas Banjar. 2012. PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX PLUS . Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. _max

  Aljabar max-plus dibentuk dari himpunan R = {−∞} ∪ R yang dileng- kapi dengan operasi maksimum (⊕) dan penjumlahan (⊗). Aljabar max-plus merupakan suatu idempotent semi-field. Sedangkan aljabar konvensional adalah himpunan R yang dilengkapi penjumlahan (+) dan perkalian (×) dan meru- pakan suatu field. Aljabar max-plus mempunyai struktur yang mirip dengan aljabar konvensional menyebabkan sifat dan konsep aljabar linear mempunyai ekuivalensi dalam aljabar max-plus. Penelitian ini dilaksanakan guna menen- tukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Hasil dari penelitian ini adalah persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus, yaitu

  M M

  ⊗n ⊗n−k ⊗n−k

  λ d d , ⊕ k ⊗ λ = k ⊗ λ _{k k}

  ∈ℓ ∈ _n−k ⊗

  dengan d k adalah koefisien tertinggi untuk setiap λ .

  Kata kunci : Aljabar max-plus, aljabar linear, persamaan karakteristik

  

commit to user ABSTRACT

  Adimas Banjar. 2012. CHARACTERISTIC EQUATION ON MAX PLUS ALGEBRAIC MATRICES Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

  Max-plus algebra is constructed by the set R max = R ∪ {−∞} endowed with maximum (⊕) and addition (⊗) operations. Max-plus algebra have properties as idempotent semi-field. In other hand, the properties of conventional algebra that constructed by the set of R endowed with addition (+) and multiplication (×) operations is a field. There is exist remarkable similarity between max-plus algebra and conventional algebra, as consequence there is many linear algebra concept have a max-plus analogue. The main objective of this research is to find characteristic equation on max-algebraic matrices. Method of this research is a literary study. Result of this research are max-algebraic characteristic equation, that is

  M M

  ⊗n ⊗n−k ⊗n−k

  λ d d , ⊕ k ⊗ λ = k ⊗ λ _{k k}

  ∈ℓ ∈ _n−k ⊗

  where d k are the highest coefficient from λ Key words : Max-plus algebra, linear algebra, characteristic polynomial

  

commit to user

  

commit to user

PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

  oleh ADIMAS BANJAR M0107019 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

  JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012

  SKRIPSI PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS yang disiapkan dan disusun oleh

  ADIMAS BANJAR M0107019 dibimbing oleh

  Pembimbing I Pembimbing II Drs. Siswanto, M.Si Dra. Respatiwulan, M.Si

  NIP. 19670813 199203 1 002 NIP. 19680611 199302 2 001 telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Rabu, 8 Februari 2012 dan dinyatakan telah memenuhi syarat.

  Anggota Tim Penguji Tanda Tangan 1. Drs. Pangadi, M.Si 1. ................................

  NIP. 19571012 199103 1 001 2. Dra. Yuliana Susanti, M.Si 2. ................................ NIP. 19661007 199302 1 001

  Surakarta, 10 Februari 2012 Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

  Dekan, Ketua Jurusan Matematika

  commit to user

  Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc.(Hons) Ph.D Irwan Susanto, S.Si, DEA NIP. 19610223 198601 1 001 NIP. 19710511 199512 1 001 commit to user MOTO Tidak ada mimpi yang dapat dicapai tanpa pengorbanan.

  Setiap pengorbanan tidak ada yang sia-sia.

  ABSTRAK

  Adimas Banjar. 2012. PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX PLUS . Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. _max

  Aljabar max-plus dibentuk dari himpunan R = {−∞} ∪ R yang dileng- kapi dengan operasi maksimum (⊕) dan penjumlahan (⊗). Aljabar max-plus merupakan suatu idempotent semi-field. Sedangkan aljabar konvensional adalah himpunan R yang dilengkapi penjumlahan (+) dan perkalian (×) dan meru- pakan suatu field. Aljabar max-plus mempunyai struktur yang mirip dengan aljabar konvensional menyebabkan sifat dan konsep aljabar linear mempunyai ekuivalensi dalam aljabar max-plus. Penelitian ini dilaksanakan guna menen- tukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Hasil dari penelitian ini adalah persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus, yaitu

  M M

  ⊗n ⊗n−k ⊗n−k

  λ d d , ⊕ k ⊗ λ = k ⊗ λ _{k k}

  ∈ℓ ∈ _n−k ⊗

  dengan d k adalah koefisien tertinggi untuk setiap λ .

  Kata kunci : Aljabar max-plus, aljabar linear, persamaan karakteristik

  

commit to user ABSTRACT

  Adimas Banjar. 2012. CHARACTERISTIC EQUATION ON MAX PLUS ALGEBRAIC MATRICES Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. _max Max-plus algebra is constructed by the set R = R ∪ {−∞} endowed with maximum (⊕) and addition (⊗) operations. Max-plus algebra have properties as idempotent semi-field. In other hand, the properties of conventional algebra that constructed by the set of R endowed with addition (+) and multiplication (×) operations is a field. There is exist remarkable similarity between max-plus algebra and conventional algebra, as consequence there is many linear algebra concept have a max-plus analogue. The main objective of this research is to find characteristic equation on max-algebraic matrices. Method of this research is a literary study. Result of this research are max-algebraic characteristic equation, that is

  M M

  ⊗n ⊗n−k ⊗n−k

  λ d d , ⊕ k ⊗ λ = k ⊗ λ _{k k}

  ∈ℓ ∈ _n−k ⊗

  where d k are the highest coefficient from λ Key words : Max-plus algebra, linear algebra, characteristic polynomial

  

commit to user

  

commit to user

PERSEMBAHAN

  Tulisanku ini kupersembahkan untuk kedua orang tuaku Bapak Haryono dan Ibu Indrasti Nur Rahayu atas pengorbanan, do’a, bimbingan, dan dukungannya kepadaku

  Mbak Enya dan Mas Omman yang selalu menyemangati dan memberikanku motivasi, adik-adikku Zulva, Aziza, Ayyub, Wi’am, Kun-Kun, Wicak, dan Wibi yang telah memberikanku semangat.

KATA PENGANTAR

  Aljabar max-plus adalah salah satu dari idempotent semi-field yang memi- liki banyak kegunaan di berbagai bidang matematika. Aljabar max-plus mulai dikenal karena strukturnya yang mirip dengan aljabar konvensional. Banyak penelitian yang menjelaskan tentang ekuivalensi teorema dalam aljabar linear konvensional di aljabar max-plus. Satu yang menarik perhatian penulis adalah karya Schutter dan Moor yang membahas tentang persamaan karakteristik su- atu matriks dalam aljabar max-plus. Oleh karena itu, penulis bertujuan untuk mengkaji ulang hasil penelitian tersebut.

  Skripsi ini dibagi menjadi 5 bagian. Bab 1 berisikan latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan, dan manfaat dari penelitian ini. Pada bab 2 di- paparkan tentang penelitian-penelitian yang mendahului dan teori-teori penun- jang sebagai dasar penulisan. Kemudian, langkah-langkah penelitian dirangkum dalam metodologi penelitian yang dipaparkan pada bab 3. Pada bab 4 diuraikan tentang hasil penelitian yang telah dilaksanakan. Terakhir, bab 5 berisikan ten- tang kesimpulan dan saran.

  Skripsi ini tidak dapat selesai tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak. Penulis mengucapan terima kasih kepada Bapak Drs. Siswanto, M.Si. dan Ibu Dra. Respatiwulan, M.Si. sebagai Pembimbing I dan Pembimbing II atas bimbingannya selama penulisan skripsi ini. Tak lupa, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Nugroho, Gery, Adi, Agus, Ika, dan Hokki yang senanti- asa memberikan dukungan, kritik, dan saran kepada penulis. Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat.

  Surakarta, Januari 2012

  

commit to user

  Penulis

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

  I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 II LANDASAN TEORI 3 2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 2.2 Teori-Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 2.2.1 Sistem Persamaan Linear dan Matriks . . . . . . . . . . .

  5 2.2.2 Determinan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 2.2.3 Persamaan Karakteristik Suatu Matriks . . . . . . . . . .

  7

  

commit to user

2.2.4 Aljabar Max-Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  8 2.2.5 Matriks dalam Aljabar max-plus . . . . . . . . . . . . . . .

  11

  

commit to user

2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  12 III METODE PENELITIAN

  13 IV PEMBAHASAN 14 4.1 Persamaan Karakteristik Suatu Matriks dalam Aljabar max-plus .

  14 4.2 Contoh Kasus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  16 V PENUTUP 21 5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  21 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  21 DAFTAR PUSTAKA

  22

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

  commit to user

  S ⊂ T : S adalah himpunan bagian dari T R

  : himpunan bilangan real R ^m

  ×n

  : matriks berukuran m × n dengan elemen R I n : matriks identitas berukuran n × n A _{αβ : submatriks dari A dengan elemen baris dinyatakan oleh α dan elemen} kolom yang dinyatakan oleh β C ^k _n : himpunan seluruh subhimpunan dengan kerdinalitas k dari himpunan

  {1, 2, . . . , n} P n : himpunan seluruh permutasi dari himpunan {1, 2, . . . , n} f : D → T : fungsi dengan domain D dan kodomain T ≍ : ekuivalensi asimtotik λ : nilai eigen dari suatu matriks A ⊕ : operasi penjumlahan aljabar max-plus ⊗ : operasi pergandaaan aljabar max-plus ε : elemen identitas untuk ⊕; ε = −∞ x

  ⊗ ^r

  : pangkat ke-r dari x dalam aljabar max-plus E _{n : matriks identitas berukuran n × n dalam aljabar max-plus} R max

  : R ∪ {−∞} R ^m

  ×n _{max : matriks berukuran m × n dengan elemen R max}

Bab I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

  Sistem kejadian diskrit (skd) adalah nama klasifikasi masalah sistem den- gan sumber daya terbatas yang digunakan oleh beberapa pengguna demi men- capai tujuan bersama. Contoh-contoh masalah skd antara lain adalah jaringan transportasi, jaringan telekomunikasi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga, sistem produksi, dan berbagai masalah dengan sumber daya yang terbatas [10]. Dari masalah skd dapat dibentuk model matematika yang biasanya berbentuk sistem persamaan non-linear. Mencari penyelesaian sistem persamaan non-linear dengan metode penyelesaian sistem dinamik tidaklah mudah. Dalam perkemban- gannya, menurut Schutter dan Boom [12] jika digunakan aljabar max-plus untuk mempelajari sifat skd, maka diperoleh suatu model berbentuk sistem persamaan linear. Masalah skd akan lebih mudah diselesiakan jika model berbentuk sistem yang linear.

  Skd merupakan sistem yang komponennya bekerja dalam suatu siklus, kare- na tiap komponen harus menunggu hasil dari komponen lain yang berada dalam sistem tersebut untuk bekerja. Muncul masalah bagaimana cara mengatur sis- tem agar seluruh komponennya dapat memulai siklus bersamaan. Nilai eigen mendeskripsikan waktu maksimal yang diperlukan satu komponen dalam sistem untuk menyelesaikan kerjanya [5]. Mencari nilai eigen dalam aljabar max-plus yang diperoleh dari model adalah cara menyelesaikan permasalahan tersebut [3]. Menurut Anton [1] jika A adalah suatu matriks berukuran n × n, maka nilai eigen λ dapat diperoleh dengan mencari akar-akar yang tidak nol dari persamaan

  

commit to user

  det(λI − A) = 0. Persamaan tersebut disebut sebagai persamaan karakteristik dari A.

  Menurut Bacelli [2], aljabar max-plus adalah himpunan R ∪ {−∞} bersama dengan operasi maksimum (⊕) dan penjumlahan (⊗) yang menggantikan op- erasi penjumlahan dan perkalian pada aljabar konvensional. Aljabar konvensional _{max ⊕, ⊗) merupakan idempotent} , merupakan field, sedangkan aljabar max-plus (R

  semi-field. Karena kemiripan strukturnya, berbagai sifat dan konsep pada aljabar

  linear, seperti aturan Crammer, teorema Cayley-Hamilton, masalah nilai eigen, dan persamaan karakteristik memiliki ekuivalensi secara aljabar max-plus[7].

  Penelitian yang telah dilaksanakan Schutter dan Boom menjelaskan men- genai sistem persamaan linear dalam aljabar max-plus [10]. Kemudian, Schutter dan Moor pada [11] dan Farlow pada [7] menunjukkan bagaimana menentukan persamaan karakteristik dari suatu matriks dalam aljabar max-plus. Sejalan den- gan kedua penelitian tersebut, penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengkaji ulang tulisan Schutter dan Moor dan Farlow tentang persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus dengan memberikan penyempurnaan penjelasan, bukti teorema, dan contoh kasus.

1.2 Perumusan Masalah

  Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dirumuskan masalah yaitu bagaimana menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar

  max-plus?

1.3 Tujuan

  Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah menentuan persamaan karakteris- tik suatu matriks dalam aljabar max-plus.

1.4 Manfaat

  Manfaat penulisan skripsi ini adalah pengayaan di bidang aljabar, khusus-

  

commit to user

  nya aljabar max-plus, yaitu dapat menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus.

Bab II LANDASAN TEORI Bab kedua skripsi ini terbagi menjadi tiga bagian. Bagian pertama dije-

  laskan mengenai tinjauan pustaka penelitian-penelitian yang dilaksanakan dan digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian ini. Pada bagian kedua di- jelaskan mengenai teori-teori penunjang yang meliputi definisi-definisi yang di- gunakan dalam pembahasan selanjutnya. Setelah dijelaskan mengenai landasan teori yang digunakan, pada bagian terakhir bab ini dibangun alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini yang dijelaskan dalam kerangka pemikiran.

2.1 Tinjauan Pustaka

  Aljabar max-plus adalah salah satu jenis dari idempotent semi-field. Jenis

  idempotent semi-field yang lain adalah aljabar min-plus. Operasi penjumlah-

  an dalam himpunan tersebut adalah operasi minimum dengan elemen identitas ∞ [7]. Aljabar max-plus diperkenalkan oleh Klene pada papernya yang memba- has tentang jaringan syaraf dan automata di tahun 1956 [8]. Dalam perkemban- gannya, diketahui bahwa aljabar max-plus juga dapat digunakan untuk memo- delkan, menganalisis, dan mengontrol beberapa subkelas sistem kejadian diskrit (skd) [12]. Beberapa contoh skd tersebut adalah jaringan telekomunikasi, sistem kontrol lalu lintas, sistem logistik, sistem transportasi, jaringan komputer, dan sebagainya.

  Karakteristik yang paling menonjol dari skd adalah dinamisasi sistem yang berdasarkan atas kejadian. Kejadian adalah keadaan dari dimulainya hingga berakhirnya suatu aktivitas. Misalkan dalam suatu proses produksi, kejadian

  

commit to user

  yang dapat terjadi antara lain adalah input, proses, dan output. Diasumsikan bahwa jika satu kejadian selesai, maka kejadian selanjutnya akan langsung terjadi dan interval tiap-tiap kejadian tidak harus sama.

  Pada umumnya model matematika dari skd menghasilkan model yang non- linear jika dideskripsikan menggunakan aljabar konvensional. Akan tetapi terda- pat beberapa subkelas dari skd yang dapat dideskripsikan menggunakan aljabar

  max-plus [2] yang dilengkapi dengan operasi maksimisasi dan penjumlahan se-

  bagai operasi dasarnya, sehingga diperoleh model yang linear. Adapun subke- las tersebut adalah skd dengan sinkronisasi tanpa adanya kejadian yang berca- bang. Operasi hitung maksimisasi menggambarkan sinkronisasi komponen skd yang akan langsung melaksanakan operasi setelah seluruh operasi komponen se- belumnya selesai. Sedangkan operasi hitung penjumlahan menggambarkan durasi dari seluruh aktivitas. Waktu penyelesaian operasi diperoleh dari penjumlahan dari waktu dimulainya operasi dengan durasi aktivitas. Deskripsi tersebut menye- babkan aljabar max-plus dapat menghasilkan model yang linear [12]. Hal inilah yang menyebabkan aljabar max-plus mempunyai banyak kegunaan di berbagai bidang.

  Pada awal tahun enam puluhan fakta kegunaan aljabar max-plus ditemukan secara independen oleh beberapa peneliti, antara lain adalah Cunningham-Green dan Giffler. Hal tersebut menyebabkan banyak peneliti mulai tertarik untuk meneliti aljabar max-plus, adapun beberapa perintisnya adalah Cunningham- Green, Gaubert, Gondran, dan Minoux. Mereka menemukan bahwa berbagai teorema dan teknik yang digunakan dalam aljabar linear klasik mempunyai analo- gi pada aljabar max-plus [6]. Bacelli [2] telah menjelaskan bagaimana pentingnya nilai eigen suatu matriks pada aljabar max-plus. Dalam jurnalnya Bapat [3], Chung [5], dan Butkovic [4] telah menjelaskan bagaimana menyelesaikan masalah nilai eigen tersebut. Akan tetapi nilai eigen suatu matriks dapat pula diperoleh dari persamaan karakteristik matriks tersebut [1]. Schutter dan Moor pada [11] dan Farlow pada [7] telah menunjukkan analogi dari persamaan karakteristik pa- da aljabar max-plus. Sejalan dengan kedua penelitian tersebut, penelitian ini dilaksanakan bertujuan untuk mengkaji ulang kedua penelitian tersebut disertai

  

commit to user

dengan penyempurnaan penjelasan, bukti teorema, dan contoh kasus.

2.2 Teori-Teori Penunjang

  Untuk dapat mencapat tujuan penelitian, perlu diuraikan terlebih dahulu beberapa hal yang mendasari penelitian ini. Beberapa hal tersebut antara lain adalah pengertian aljabar max-plus, struktur aljabar max-plus, pengertian sistem persamaan linear dan matriks dalam aljabar konvensional, matriks dalam aljabar

  max-plus, dan terakhir adalah beberapa sifat dan konsep aljabar linear dalam aljabar konvensional.

2.2.1 Sistem Persamaan Linear dan Matriks

  Dua definisi yang berhubungan dengan sistem persamaan linear berikut diambil dari Lipschutz [9].

  Definisi 2.2.1 (Definisi Persamaan Linear). Bentuk umum dari suatu persamaan linear dengan variabel bebas x , x , . . . , x n adalah

  1

  2

  a x x x

• a + · · · + a n n = b,

  1

  1

  2

  2

  1 2 n adalah suatu konstanta. Konstanta a k disebut koefisien

  , a , . . . , a , b dengan a

  dari x k untuk k = 1, 2, . . . , n. Sedangkan b disebut sebagai konstanta dari per- samaan.

  Definisi 2.2.2 (Definisi Sistem Persamaan Linear). Bentuk umum dari suatu sistem persamaan linear dengan variabel bebas x , x , . . . , x n adalah

  1

  2

  a x x x

  11 1 + a

  12 2 + · · · + a 1n n = b

  1

  a x + a x + · · · + a x n = b

  21

  1

  22

2 2n

  2

  , (2.1) .. . a x x x _m

  1 1 + a m

  2 2 + · · · + a mn n = b m dengan a ij , b i adalah konstanta.

commit to user

  Sistem (2.1) dapat dibentuk menjadi suatu bentuk barisan angka yang dise- but matriks perbesaran. Berikut adalah bentuk matriks perbesaran tersebut.

    a a a b · · ·

  11 12 1n

  1

      a a a b

  21 22 · · · 2n

  2

    M   . =

  . . . . .     a a b _{m m · · · a mn m}

    .. .. .. .. ..

  1

2 Dapat dilihat bahwa setiap baris dari M berkorespodensi dengan setiap per-

  samaan dari sistem. Sedangkan, setiap kolom dalam sistem berkorespodensi den- gan setiap variabel dari sistem, kecuali kolom terakhir yang berkorespodensi den- gan konstanta dari sistem. Barisan angka tersebut biasa disebut sebagai matriks dan berikut adalah definisi matriks.

  Definisi 2.2.3 (Lipschutz [9]). Jika A adalah suatu barisan angka berbentuk persegi empat sebagai berikut   a a · · · a

  11 12 1n

      a a a

  · · · 

  21 22 2n 

    A = ,

    ... ... ... ...     a m a m · · · a mn

  1

  

2

  maka barisan A disebut sebagai matriks. Matriks tersebut dapat dituliskan se- bagai A = (a ) dengan i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. _ij Ukuran dari suatu matriks ditentukan dari jumlah baris dan kolomnya. Se- bagai contoh jika suatu matriks memiliki tiga baris dan dua kolom, maka ukuran dari matriks tersebut adalah 3 × 2. Matriks dengan ukuran m × n disebut sebagai matriks m × n.

2.2.2 Determinan Matriks

  Menurut Anton [1], determinan adalah suatu fungsi yang bernilai real dari suatu matriks persegi berukuran n misal A = (a ij ) dan dinotasikan sebagai det(A) atau

  

commit to user

  |A| atau a a a

  11 12 · · · 1n

  a a · · · a

  21 22 2n .

  .. .. .. .. . . . . a a _n

  1 n 2 · · · a nn

  Misal terdapat suatu matriks A = (a ij ) dengan i = 1, 2, . . . , n dan j = 1, 2, . . . , n, akan dibentuk suatu produk perkalian yang diambil dari n elemen dari A. Dari masing-masing kolom dari matriks A diambil satu elemen. Selain berasal dari kolom yang berbeda, elemen tersebut harus berasala dari baris yang berbeda pula, sehingga hasil perkalian n elemen tersebut dapat dituliskan sebagai a a . . . a . _{1 2 nj n}

  1j 2j Indeks angka pertama diperoleh dari baris, sehingga urutannya adalah 1, 2, . . . , n.

  Sedangkan untuk indeks angka kedua diperoleh dari kolom yang berbeda, sehing- , j , . . . , j ga diperoleh dari permutasi σ = j n ∈ S n .

  1

2 Definisi 2.2.4. Determinan dari A = (a ) yang dinotasikan sebagai det(A) atau

  _ij |A| adalah suatu jumlahan seluruh hasil permutasi dari S n dan dikalikan dengan sgn σ, yaitu

  X a . |A| = (sgn σ)a 1σ(1) 2σ(2) · · · a nσ (n) _{σ ∈S n}

  Dengan sgn σ adalah  

  1, jika σ permutasi genap; sgn σ =  −1, jika σ permutasi ganjil.

2.2.3 Persamaan Karakteristik Suatu Matriks

  Jika dimisalkan A adalah suatu matriks persegi berukuran n × n, maka matriks karakteristik dari A adalah matriks λI n − A dengan I n adalah matriks identitas berukuran n dan λ adalah variabel bebas. Matriks karateristik dari A dapat

  

commit to user dituliskan sebagai  

  λ − a −a · · · −a

  11 12 1n

     

  λ −a

  21 − a 22 · · · −a 2n

    λI   . _{n − A =}   .. .. .. ..

  . . . .    

  −a n −a n · · · λ − a nn

  1

  2 Dengan mencari determinan dari matriks karakteristik dari A, diperoleh suatu

  polinomial, yaitu ∆ A (λ) = det(λI n − A).

  Polinomial ∆ A (λ) adalah polinomial yang disebut sebagai polinomial karak- teristik dari A. Kemudian, persamaan karakteristik dari A adalah ∆ (λ) = det(λI − A) = 0. _{A n}

2.2.4 Aljabar Max-Plus

  Pada bagian ini dijelaskan lebih lanjut mengenai struktur, sifat-sifat, dan beber- apa operasi dasar dalam aljabar max-plus. Dalam penelitiannya, Bacelli [2] dan Siswanto [13] telah membahas beberapa definisi yang berkaitan dengan struktur aljabar max-plus.

  Definisi 2.2.5 (Definisi Monoid ). Monoid (K, ∗) adalah himpunan K bersama dengan operasi biner (∗), yang memiliki sifat asosiatif dan elemen identitas.

  Definisi 2.2.6 (Definisi Grup). Grup (G, ∗) adalah himpunan G bersama dengan

  operasi biner (∗), yang memiliki sifat asosiatif, elemen identitas, dan elemen invers.

  Definisi 2.2.7 (Definisi Semi-ring). Semi-ring (S, ⊕, ⊗) adalah himpunan S ber- sama dengan operasi biner ⊕ membentuk monoid abelian, dengan operasi biner ⊗ membentuk monoid, bersifat distributif pada ⊗ terhadap ⊕.

  

commit to user

  Definisi 2.2.8 (Definisi Dioid). Dioid (D, ⊕, ⊗) adalah semi-ring yang idempo- tent, yaitu a ⊕ a untuk setiap a ∈ D.

  Definisi 2.2.9 (Definisi Semi-field ). Semi-field (S, ⊕, ⊗) adalah himpunan S bersama dengan operasi penjumlahan ⊕ membentuk monoid abelian, dengan operasi pergandaan ⊗ membentuk grup, bersifat distributif pada ⊗ terhadap ⊕. _{max , ⊕, ⊗) adalah suatu semi-field yang dibentuk}

  Aljabar max-plus atau (R _max oleh himpunan R = R ∪ {−∞} yang dilengkapi dengan operasi max sebagai operasi penjumlahan ⊕ dan operasi plus sebagai operasi pergandaan ⊗ yang dituliskan sebagai berikut a ⊕ b = max(a, b) a ⊗ b = a + b. Berikut adalah contoh penggunaan operasi hitung tersebut.

  3 ⊕ 2 = max(3, 2) = 3 = max(2, 3) = 2 ⊕ 3, 4 ⊗ 5 = 4 + 5 = 9 = 5 + 4 = 5 ⊗ 4.

  Elemen identitas terhadap operasi pergandaan ⊗ adalah e = 0. Sedangkan ele- men identitas terhadap operasi penjumlahan ⊕ adalah ε = −∞. Selanjutnya, sifat-sifat dasar dari aljabar max-plus dijelaskan pada Lema 2.2.1. Karena pem- buktian bersifat dasar sehingga tidak disertakan.

  Lema 2.2.1.

  max berlaku sifat Untuk setiap x, y, z ∈ R

  x

  1. assosiatif ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z dan x ⊗ (y ⊗ z) = (x ⊗ y) ⊗ z, 2. komutatif x ⊕ y = y ⊕ x dan x ⊗ y = y ⊗ x,

3. distributif x ⊗(y ⊕z) = (x⊗y) ⊕(x⊗z) dan (x⊕y) ⊗z = (x⊗z) ⊕(y ⊗z)

  x

  4. elemen nol ⊕ ε = ε ⊕ x = x

  x

  5. elemen unit ⊗ e = e ⊗ x = x

6. invers terhadap pergandaan adalah jika x 6= e maka akan terdapat elemen

  y yang tunggal dengan x ⊗ y = e

  

commit to user

  x

  7. elemen penyerap ⊗ ε = ε ⊗ x = ε

  x 8. idempotent terhadap penjumlahan ⊕ x = x. Aljabar max-plus juga dikenal sebagai aljabar dari fungsi dengan pertum- buhan asiptotik dalam aljabar konvensional. Untuk memperjelas hal tersebut, diberikan definisi dan lema berikut. Definisi 2.2.10. _su Jika p : (0, ∞) → (0, ∞) dan u ∈ (−∞, ∞), maka didefinisikan

  −1 p ≍ e yang berarti lim s s ln (p) = u. →∞ _{sa sb} Lema 2.2.2.

  

Jika f ≍ e dan g ≍ e dengan a, b ∈ [−∞, ∞), maka

_{s (a⊕b) s (a⊗b)}

  f + g ≍ e dan f g ≍ e

  Bukti. Jika digunakan Definisi 2.2.10 pada f g maka diperoleh −1 −1 −1

  s s s _{s s s} lim ln(f g) = lim ln(f ) + lim ln(g) = a + b = a ⊗ b,

  →∞ →∞ →∞ _s (a⊗b)

  yang berarti terbukti bahwa f g ≍ e . Kemudian, dapat diketahui bahwa max(f, g) ≤ f + g ≤ 2 max(f, g). Jadi, jika digunakan kembali Definisi 2.2.10 maka diperoleh

  −1 sa sb −1 sa sb −1 sa sb _{s →∞ s →∞ s →∞} lim s ln max(e , e ) ≤ lim s ln(e +e ) ≤ lim s ln max(e , e ) + ln 2 .

  −1 sa sb

  , e Karena s ln max(e ) = max(a, b), dan dengan menggunakan teorema apit, diperoleh bahwa

  −1 _{s →∞} lim s ln(f + g) = max(a, b) = a ⊕ b. sa Jika Definisi 2.2.10 dan Lema 2.2.2 digunakan pada fungsi eksponensial e _sb dan e akan diperoleh operasi ⊕ dan ⊗ sebagai berikut _{sa sb s}

  (a⊗b)

  e e _{sa sb s} ≍ e

  (a⊕b) e .

• e ≍ e Hubungan aljabar max-plus dengan aljabar konvensional tersebut sering digu- nakan untuk membuktikan sifat-sifat dalam aljabar max-plus.

  

commit to user

  

commit to user

  dinyatakan oleh a _{ij atau dapat ditulis sebagai [A] ij .}

  a _m

  2

  · · · a mn         a _ij

  ∈ R ^max                    .

  Elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A ∈ R ^m

  ×n _max

  Selanjutnya dijelaskan mengenai operasi matriks dalam aljabar max-plus. Definisi-definisi berikut diacu dari Farlow [7] dan Siswanto [13].

  a _m

  Definisi 2.2.12 (Operasi Hitung dari Matriks dalam Aljabar Max-Plus).

  1. Untuk setiap A, B ∈ R ^m

  ×n _max

  , definisi penjumlahan A ⊕ B adalah [A ⊕ B] ij = a ij ⊕ b ij = max(a ij , b ij ).

  2. Untuk setiap A ∈ R ^{m ×k max dan B ∈ R k ×n max} , definisi pergandaan A ⊗ B adalah

  [A ⊗ B] il = ^k M _{j =1}

  (a ij ⊗ b jl ) = max _{j ∈{1,2,...}} (a ij + b jl ).

  1

  2n ... ... ... ...

  2.2.5 Matriks dalam Aljabar max-plus

  11

  Berikut adalah definisi matriks dalam aljabar max-plus sebagaimana telah dijelaskan oleh Farlow dalam [7].

  Definisi 2.2.11 (Definisi Matriks dalam Aljabar Max-Plus). Himpunan matriks berukuran m × n dengan elemen-elemen R ^max dinotasikan dengan R ^{m ×n max} . Him- punan tersebut dapat dituliskan sebagai

  R ^m

  ×n _max

  =                   

          a

  a

  a

  12

  · · · a

  1n

  a

  21

  a

  22 · · ·

  3. Transpose dari matriks dituliskan sebagai A ^T dan didefinisikan seperti dalam aljabar konvensional, yaitu [A ^T ] ij = [A] ji .

  4. Untuk matriks berukuran n × n dalam aljabar max-plus memiliki identitas E n yang didefinisikan sebagai

   

  e, jika i = j; [E n ] ij =

   ε, jika i 6= j, dengan ε adalah elemen identitas dari operasi max yaitu −∞ sedangkan e adalah elemen identitas dari operasi penjumlahan yaitu 0. _n

  ×n

  dan bilangan bulat positif k, pangkat k dari

  5. Untuk suatu matriks A ∈ R _max

  ⊗k

  A dituliskan sebagai A dan didefinisikan dengan A ⊗ A ⊗ . . . ⊗ A

  ⊗k

  | {z } A . = k kali

  ⊗0 Untuk k = 0, berlaku A = E n . _n ×n _{max , operasi α⊗A didefinisikan}

  6. Untuk sebarang matriks A ∈ R max dan α ∈ R dengan . [α ⊗ A] ij = α ⊗ [A] ij

2.3 Kerangka Pemikiran

  Berdasarkan tinjauan pustaka dapat disusun suatu kerangka pemikiran langkah-langkah penyelesaian masalah dalam penulisan skripsi ini. Pertama, akan dipahami terlebih dahulu mengenai struktur aljabar max-plus. Kedua, di- lanjutkan dengan memahami tentang sistem persamaan linear aljabar max-plus dan bagaimana membuat suatu matriks dari sistem tersebut. Ketiga, memaha- mi konsep-konsep aljabar linear dalam aljabar max-plus, khususnya determinan matriks dalam aljabar max-plus. Setelah memahami determinan matriks dalam aljabar max-plus barulah dapat ditentukan persamaan karakteristik dari suatu matriks. Kemudian, untuk memperjelas pembahasan, akan diberikan contoh ka- sus mengenai penentuan persamaan karakteristik dari suatu matriks.

  

commit to user

Bab III METODE PENELITIAN Metode penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah ka-

  jian pustaka, yaitu dengan mengumpulkan berbagai referensi buku, skripsi, jur- nal, maupun informasi dari halaman websites mengenai struktur aljabar, aljabar

  max-plus, sifat-sifat aljabar linear, dan sistem persamaan linear aljabar max-plus.

  Dari metode tersebut, diharapkan dapat dikaji ulang bagaimana penentuan per- samaan karakteristik dari suatu matriks dalam aljabar max-plus dan kemudian memberikan contoh penerapannya dalam contoh kasus.

  Berikut adalah langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini.

  1. Menerapkan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar konven- sional, 2. menerapkan sistem persamaan linear dalam bentuk matriks pada aljabar

  max-plus,

  3. menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus, dan 4. memberikan contoh kasus berupa model dari jalur kereta api sederhana yang diambil dari Vries [14].

  

commit to user

Bab IV PEMBAHASAN Pada bab ini diberikan hasil studi dan pembahasan. Bab ini terdiri dari dua

  bagian. Pada bagian pertama akan dijelaskan tentang bagaimana cara mengkons- truksikan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Kemu- dian, akan diberikan contoh kasus tentang jaringan kereta api sederhana pada bagian yang kedua.

  4.1 Persamaan Karakteristik Suatu Matriks dalam Aljabar max-plus

  Sebelum membahas persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus, ter- lebih dahulu didefinisikan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar konvensional. Jika A adalah suatu matriks berukuran n × n dan ϕ ⊂ {1, 2, . . . n}, maka A ϕϕ adalah submatriks yang diperoleh dengan menghapus seluruh baris dan kolom dari A kecuali elemen dari baris dan kolom yang dinyatakan oleh ϕ. Kemudian, persamaan karakteristik suatu matriks adalah _{n n}

  

−1

  λ λ det(λI − A) = λ + c + . . . + c n + c n = 0 (4.1)

  1 −1 _{k k} P _k untuk c k = (−1) det(A σσ ) dengan C adalah himpunan dari seluruh sub- _{σ n} ∈C _n

  himpunan k elemen dari himpunan {1, 2, . . . , n}. Karena dalam aljabar max-plus _{n −k} λ tidak didefinisikan operasi pengurangan, koefisien c k dari persamaan (4.1) yang bertanda negatif dipindahkan ke ruas kanan. Sifat-sifat dari permutasi di- _n

  −k

  λ gunakan untuk memisahkan antara koefisien c k yang bernilai positif. _sA Digunakan pendekatan melalui fungsi eksponensial, yaitu matriks e

  

commit to user

  untuk menentukan analogi persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus. Jika sA

  matriks e disubstitusikan pada persamaan (4.1), maka diperoleh _{sA n n}

  

−1

  det(λI − e ) = λ + γ λ + . . . + γ n λ + γ n = 0, (4.2)

  1 −1 _{k sA σσ} P _k dengan γ k (s) = (−1) det(e ). _σ ∈C _{n k}

  Didefinisikan Γ k = {ζ : ∃{i , i , . . . , i k } ∈ C , ∃ρ ∈ P k sedemikian se-

  1

  

2

_n

  P k hingga ζ = a i i } untuk k = 1, 2, . . . , n dengan P n adalah himpunan selu- _{r r ρ (r)}

  =1

  ruh permutasi σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}. Nilai Γ k merupakan himpunan _sζ pangkat dari e yang terjadi pada γ (s). Jika didefinisikan I (ζ) adalah koefisien _{sζ k k e o} dari e untuk setiap ζ ∈ Γ k dengan k ∈ 1, 2, . . . , n, maka I k (ζ) = I (ζ) − I (ζ) _{k k} dengan _{e e k}

  1. I (ζ) adalah nilai dari ρ ∈ P sedemikian sehingga {i , i , . . . , i n } ∈ C dan _{k k}

  1

  2 _n

  P k ζ a _{o o} = i i , _{r r ρ (r) k}

  , i , . . . , i

  2. I (ζ) adalah nilai dari ρ ∈ P sedemikian sehingga {i n } ∈ C dan _{k k}

  1 2 n

  P k ζ = a , _{e o r i r i ρ (r)} untuk P sebagai permutasi genap dan P sebagai permutasi ganjil. _{n n}

  Nilai I k (ζ) disubstitusikan pada γ k (s) dan diperoleh _{k sζ}

  X γ _{k (s) = (−1) k (s)e} I . _ζ (4.3)

  

∈Γ k

  Didefinisikan dominan dari γ k (s) adalah d k = max{ζ ∈ Γ k : I k (ζ) 6= 0}.

  Jika digunakan Definisi 2.2.10 pada persamaan (4.3), maka diperoleh _{sd k} |γ k (s)| ≍ e . _k γ

  I Kemudian didefinisikan nilai koefisien dari γ k (s) sebagai ¯ k (s) = (−1) k (d k ) γ γ untuk k = 1, 2, . . . , n. Misal ℓ = {k : ¯ k (s) > 0} dan  = {k : ¯ k (s) < 0}, agar dapat memisahkan koefisien yang positif dengan negatif. Sebagai contoh untuk

  

commit to user

_{o e} setiap ζ ∈ Γ = {a ii : i = 1, 2, . . . , n} diketahui bahwa I (ζ) = 0 dan I (ζ) > 0.

  1

  1

  1

  γ < Hal ini menyebabkan I

  1 (d 1 ) > 0 sehingga ¯ 1 0 yang berarti 1 ∈ . Sejalan

  1 seluruh γ k (s) dengan ¯ k (s) < 0 atau k ∈  dipindah ke ruas kanan

  γ dengan Γ

  agar tanda negatif dapat dihilangkan. Seluruh γ k (s) dengan k ∈  dipindahkan ke ruas kanan dan diperoleh _{n sd n −k sd n −k}

  X X ^{k k}

• λ γ ¯ k (s)e λ = γ ¯ k (s)e λ . (4.4) _{k k}

  ∈ℓ ∈

  Kemudian, agar Lema 2.2.2 dapat digunakan, variabel λ pada persamaan _sλ (4.4) diganti dengan variabel e dan diperoleh _{n sλ sd sλ sd sλ} X n−k _{k k} X n−k e γ k e ≍ γ ¯ k (s)e e _{n k ∈ℓ k ∈} ¯ (s)e + _{sλ sd λ sd λ} X n−k _{k k} X n−k e γ ¯ k ≍ γ ¯ k (s)e _{k ∈ℓ k ∈} (s)e +

  Jika digunakan Definisi 2.2.10, maka diperoleh _{n sλ s λ s λ} X n−k X n−k

  −1 (d k ) −1 (d

  s e γ s γ _{s s} lim ln ¯ k (s)e = lim ln ¯ k (s)e (4.5) ^{k )}

• →∞ →∞ _{k k} ∈ℓ ∈

  Kemudian, digunakan Lema 2.2.2 pada persamaan (4.5) dan diperoleh max nλ, d k + (n − k)λ + ln ¯ γ k (s) = max d k + (n − k)λ + ln ¯ γ k (s) . _{k k}

  ∈ℓ ∈

  γ Karena ln ¯ k (s) dapat diabaikan, persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus adalah

  M M

  

⊗n ⊗n−k ⊗n−k

  λ ⊕ d k ⊗ λ = d k ⊗ λ (4.6) _{k ∈ℓ k ∈}

4.2 Contoh Kasus Kasus berikut diambil dari penelitian yang telah dilaksanakan oleh Vries et.

  al [14]. Misalkan diketahui suatu jaringan rel kereta api sederhana seperti yang

  dapat dilihat pada Gambar 4.1. Pada jaringan tersebut, terdapat rute kereta dari P menuju ke S dan sebaliknya yang melewati stasiun Q. Selain itu terdapat rute dari stasiun Q ke R dan sebaliknya. Pada stasiun Q kereta dari P dan S harus mendahulukan kereta yang berjalan pada rute Q ke R dan sebaliknya.

  

commit to user

  Waktu keberangkatan dari kereta ke-k pada rute i dinotasikan sebagai x i (k), untuk i = 1, 2, . . . , n dengan n adalah jumlah rute yang berbeda pada jaringan.

Gambar 4.1. Jaringan rel kereta api sederhana.

  Kereta ke-(k + 1) harus memenuhi beberapa kondisi untuk dapat berjalan pada rute i. Kondisi pertama adalah kereta harus telah tiba di stasiun. Dianggap bahwa kereta dari rute j akan melanjutkan perjalanan melewati rute i, sehingga diperoleh kondisi berikut. x _{i (k + 1) ≥ a ij ⊗ x j (k), (4.7)} dengan x i (k + 1) adalah waktu keberangkatan ke-(k + 1) pada rute i dan a ij adalah waktu tempuh yang diperlukan untuk melewati rute j ke i ditambah dengan waktu yang diperlukan penumpang untuk turun dan naik dari kereta.

  Kondisi kedua adalah setiap kereta dapat menunggu kereta lain yang berhu- bungan. Hal tersebut menyebabkan munculnya kondisi berikut. x _{i (k + 1) ≥ a il ⊗ x l (k), (4.8)} untuk l adalah himpunan seluruh rute sebelum i dengan a il adalah waktu tempuh pada rute l ke i ditambah dengan waktu yang diperlukan penumpang untuk turun dan naik dari kereta.