PENGGUNAAN ATURAN DEKOMPOSISI SEL PADA PENENTUAN POLINOMIAL BENTENG PADA BEBERAPA PAPAN BERPETAK

PENGGUNAAN ATURAN DEKOMPOSISI SEL PADA PENENTUAN POLINOMIAL BENTENG PADA BEBERAPA PAPAN BERPETAK

(Skripsi)

Oleh

FERDI ARDIAN TOZER

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2014

i ABSTRAK

PENGGUNAAN ATURAN DEKOMPOSISI SEL PADA PENENTUAN POLINOMIAL BENTENG PADA BEBERAPA PAPAN BERPETAK

Oleh

FERDI ARDIAN TOZER

Polinomial benteng (rook polynomial) pada papan berpetak merupakan polinomial yang digunakan untuk mencari banyaknya cara menempatkan k benteng, dan dekomposisi sel (cell decomposition) merupakan cara mengatur ulang papan berpetak yang tidak semua petaknya dapat ditempatkan benteng. Pada penelitian ini akan didiskusikan banyaknya cara untuk menempatkan k benteng pada beberapa ukuran papan catur. Banyaknya cara tersebut membentuk suatu polinomial yang disebut dengan rook polynomial. Dalam penelitian ini ditunjukkan bahwa papan catur dengan ukuran yang sama akan tetapi posisi blok berbeda dan tidak ada perpotongan akan menghasilkan polinomial benteng yang sama. Untuk menentukan banyaknya cara menempatkan k benteng ini digunakan formula inklusi eksklusi serta teorema Zindle.

vi

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan pada 02 Juni 1990 di Lampung Utara adalah anak Pertama dari empat bersaudara, dari pasangan Bapak Junaedi dan Ibu Farida.

Penulis memulai pendidikan dari sekolah dasar diselesaikan di SD Negeri 02 Tanjung Iman Blambangan Pagar Lampung Utara pada tahun 2002, sekolah lanjutan tingkat menengah di SMP Negeri 1 Abung Semuli pada tahun 2005, dan sekolah lanjutan tingkat atas di SMA Negeri 1 Abung Semuli pada tahun 2008. Pada masa sekolah lanjutan tingkat atas tahun 2005 penulis pernah mengikuti ajang Lomba PMR tingkat wira di MAN 1 Bandar Lampung meraih juara kesatu tandu darurat putra.

Tahun 2009 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Selama menjadi mahasiswa penulis pernah menjadi Kepala Bidang Kaderisasi HIMATIKA FMIPA pada periode 2010-2011. Pada tahun ketiga perkuliahan penulis aktif di HIMATIKA FMIPA sebagai Kepala Biro Dana dan Usaha. Pada tahun keempat penulis aktif di BEM FMIPA sebagai Kepala Departemen SAINTEK (Sains dan Teknologi). Sebagai bentuk pengembangan aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah menyelesaikan mata kuliah wajib Kerja Praktik di Kecamatan Labuhan Ratu di Bandar lampung selama 27 Januari 2012 – 14 Februari 2014 pada bagian

vii

Pengolahan Data, serta melaksanakan kegiatan Kuliah Kerja Nyata pada 03 Juli 2012 – 11 Agustus 2012 di Desa Kali Pasir, Kec. Way Bungur Lampung Timur.

viii

MOTTO

Hiduplah berilmu seperti ilmu padi, semakin berisi semakin tunduk.

Time is money.

Sebaik-baik manusia adalah manusia yang bermanfaat bagi orang lain

“Semangat itu bukan dari orang lain, karena semangat

ix

Dengan menyebut nama Allah yang Maha pengasih lagi Maha penyayang

PERSEMBAHAN

Dengan segala cinta dan kasih sayang kupersembahkan karya sederhana ini untuk orang-orang yang mengiringi langkah hidupku:

Ibu dan Ayah

Terima kasih untuk cinta, kasih sayang, dukungan serta doa yang tiada terhingga untuk ananda.

Dek Faisal, Dek winda, dan Dek Sofian

Terima kasih untuk segala perhatian dan kasih sayang yang kalian berikan untukku.

Para Pendidikku (Guru-guruku dan Dosen-dosenku)

Terimakasih atas bimbingan dan arahan yang diberikan hingga aku dapat melihat dunia dengan ilmu.

Sahabat-sahabatku

Terimakasih untuk kebersamaan, kesetiaan, kesabaran, dan dukungan yang diberikan untukku.

Teman-teman MATEMATIKA 2009 (GEOMETRI)

Terimakasih untuk segala dukungan dan bantuan yang diberikan untukku.

Saudara/i di SMAN 1, Himatika,dan BEM FMIPA

Terimakasih untuk segala ilmu, motivasi, dan ukhuwah yang telah diberikan.

x

SANWACANA

Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas izin ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi ini. Shalawat juga salam atas Nabi Muhammad SAW, tuntunan dan tauladan utama.

Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu dari padatnya kesibukan beliau untuk membimbing dan mengoreksi, hingga skripsi ini selesai.

2. Pak Amanto, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah banyak membantu dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji bukan pembimbing yang memberi penulis masukan dan saran.

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

5. Ibu Dra. Dorrah Aziz, S.Si., M.Si., selaku pembimbing akademik. 6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.

xi

7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

8. Ayah, Ibu, adik – adikku Faisal, Windari, dan Sofian yang telah memberikan dukungan secara finansial dan moril, mengirimkan doa, nasihat dan semangat yang sangat membantu selama penyusunan skripsi.

9. Keluarga PMR SMA N 1 Abung Semuli (Mb Wuri, Mb Mila, Ardi, Koko, Yoyo, Heri, dan Bowo).

10. Teman Seperjuangan GEOMETRI Matematika angkatan 2009 terima kasih atas dukungan, perhatian dan semangat kebersamaannya.

11. Seluruh Pengurus HIMATIKA FMIPA 2010-2012, dan seluruh pengurus BEM FMIPA 2012-2013 atas ukhuwah yang terjalin.

12. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Bandar Lampung, 11 September 2013 Penulis

xii DAFTAR ISI

Halaman

SANWACANA ... x

DAFTAR GAMBAR ... xiii

I. PENDAHULUAN ... 1

1.1Latar Belakang ... 1

1.2Batasan Masalah ... 3

1.3Tujuan Penelitian ... 3

1.4Manfaat Penelitian ... 3

II. LANDASAN TEORI ... 4

2.1Konsep dasar teori graf ... 4

2.2Pohon (Tree) ... 9

2.3Teorema prinsip pigeonhole... 10

2.4Sejarah catur dan perkembangannya... 10

2.5Polinomial benteng ... 11

III. METODE PENELITIAN ... 13

3.1Waktu dan Tempat Penelitian ... 13

3.2Metode Penelitian ... 13

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ... 15

4.1Formula inklusi – eksklusi ... 15

4.2Beberapa Penerapan Teorema Dekomposisi Sel ... 17

4.3Polinomial benteng ukuran ... 19

4.4Polinomial benteng sub papan berpetak... 23

4.5Polinomial benteng ukuran ... 29

V. KESIMPULAN DAN SARAN ... 32

5.1Kesimpulan ... 32

5.2Saran ... 33

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

Gambar 2.1 Contoh loop ... 5

Gambar 2.2 Contoh graf tak berarah ... 6

Gambar 2.3 Contoh graf berarah ... 6

Gambar 2.4 Contoh derajat pada graf ... 7

Gambar 2.5 Contoh adjacency dan incidence pada graf ... 8

Gambar 2.6 Contoh pohon (tree) ... 9

Gambar 2.7 Papan catur langkah benteng (rook) ... 11

Gambar 3.1 Langkah – langkah penelitian ... 14

Gambar 4.1 Diagram Venn dengan beberapa himpunan ... 16

Gambar 4.2 Sub papan berpetak yang belum teratur ... 18

Gambar 4.3 Sub papan berpetak sebelum dan sesudah pertukaran baris .... 18

Gambar 4.4 Sub papan berpetak yang telah teratur ... 19

Gambar 4.5 Papan berpetak A dan B ... 19

Gambar 4.6 Papan berpetak A ... 21

Gambar 4.7 Sub papan berpetak B1, B2 ... 24

Gambar 4.8 Papan berpetak yang belum teratur ... 27

Gambar 4.9 Tiga bentuk papan berpetak yang sudah teratur ... 27

Gambar 4.10 Tiga bentuk papan berpetak dengan letak bloknya berbeda-beda 28 Gambar 4.11 Sub papan berpetak yang telah diatur ... 28

Gambar 4.12 Banyak cara penempatan benteng pada papan berpetak 29

Gambar 4.13 Penempatan benteng papan berpetak dan ... 30

Gambar 4.14 Sub papan berpetak dengan ukuran ... 30

1

BAB I PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Matematika adalah salah satu cabang ilmu pengetahuan yang mempelajari besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Matematika memiliki banyak cabang disiplin ilmu yang sampai saat ini belum dimanfaatkan secara keseluruhan. Aplikasi dari ilmu matematika banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari perhitungan volume suatu benda yang tak terstruktur, penggunaan statistika dalam perhitungan cepat pemilu, sampai pada proses jual beli di pasar tradisional maupun pasar swalayan.

Salah satu cabang disiplin ilmu dari matematika adalah teori graf. Teori graf adalah cabang ilmu yang mempelajari sifat-sifat graf. Graf terdiri dari titik (vertex) yang merupakan himpunan tak kosong dan garis (edge) adalah himpunan yang menghubungkan antar titik, dengan adalah himpunan titik, dan E boleh kosong.

2 Polinomial benteng (rook polynomial) adalah polinomial yang berhubungan dengan langkah benteng pada permainan catur. Perlu digaris bawahi permainan papan catur yang di bahas pada penelitian ini hanya menggunakan benteng (rook) sebagai media penelitian. Seperti telah diketahui, fungsi benteng pada papan catur apabila diletakkan di sembarang petak maka akan memangsa setiap buah catur yang berada pada jalur horizontal atau vertikal baik ke arah kiri, kanan, atas atau bawah. Penerapan dari polinomial benteng yang mungkin sudah ada di kehidupan sehari-hari adalah permainan Sudoku, dimana jika salah satu petak sudah terisi angka sebelumnya maka angka tersebut tidak dapat lagi diletakkan pada petak yang vertikal maupun horizontal. Dalam penelitian ini akan didiskusikan tentang penerapan dekomposisi sel pada polinomial benteng dan perhitungan polinomial benteng pada papan berpetak tersebut.

3

1.2Batasan Masalah

Pada penelitian ini akan didiskusikan tentang polinomial benteng pada papan dua dimensi m x n; dengan m dan n dibatasi m 9 dan n 9.

1.3Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini antara lain :

1. Mendiskusikan tentang cara mendekomposisi papan berpetak m x n untuk nilai – nilai yang telah diberikan pada papan berpetak tersebut.

2. Mendiskusikan cara menentukan polinomial benteng.

1.4Manfaat penelitian

Manfaat dari penelitian ini sebagai berikut :

1. Menambah pengetahuan tentang polinomial benteng sebagai salah satu penerapan teori graf.

2. Membantu dalam memodelkan suatu masalah dan mencari solusi penyelesaiannya dengan polinomial benteng.

4

BAB II

LANDASAN TEORI

Setiap permasalahan yang akan dicari cara penyelesaiannya terlebih dahulu dibuat rumusan masalah, demikian pula dengan matematika. Untuk mengetahui lebih lanjut tentang pembahasan masalah dalam skripsi ini terlebih dahulu diberikan definisi, teorema, serta istilah yang diperlukan dalam penelitian ini. Pada bab ini akan didiskusikan tentang definisi, teorema, serta istilah yang akan digunakan untuk pembahasan selanjutnya.

2.1 Konsep dasar Teori Graf

Berikut akan diberikan pengertian graf secara umum, baik definisi, teorema, dan istilah yang mendukung dalam penelitian ini antara lain sebagai berikut: Graf adalah suatu himpunan yang terdiri dari himpunan titik dengan garis dengan : adalah himpunan berhingga dan tidak kosong dari titik-titik, dan adalah himpunan dari sisi/garis yang menghubungkan sepasang titik (Deo, 1989).

Setelah menegetahui definisi graf secara umum, maka untuk selanjutnya membahas tentang jenis-jenis graf yang akan didefinisikan sebagai berikut:

5 Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokkan graf dapat dipandang dari ada tidaknya garis ganda, dan berdasarkan pada orientasi arah pada garis. Garis ganda pada graf adalah garis yang berawal dan berakhir pada titik yang sama (Munir, 2010).

Berdasarkan ada tidaknya garis ganda pada suatu graf, maka secara umum graf dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu:

1. Graf sederhana (simple graph) adalah graf yang tidak memuat garis ganda dan loop. Loop adalah graf dengan garis yang dari titik v membentuk lingkaran dan kembali lagi ke titik tersebut.

Gambar 2.1 Contoh loop

2. Graf tak sederhana (unsimple graph) adalah graf yang memuat garis ganda atau loop.

Berdasarkan banyaknya titik pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis:

1. Graf berhingga (limited graph)

6 2. Graf tak-berhingga (unlimited graph)

Graf yang jumlah titik-nya tidak berhingga banyaknya disebut graf tak-berhingga (Munir, 2010).

Berdasarkan orientasi arah, maka secara umum graf dibedakan atas dua jenis:

1. Graf tak-berarah (undirected graph)

Graf yang garisnya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah (Munir, 2010). Berikut adalah contoh graf tak-tak-berarah.

Gambar 2.2 Contoh graf tak berarah 2. Graf berarah (directed graph atau digraph)

Graf yang setiap garisnya diberikan orientasi arah disebut graf berarah (Munir, 2010). Berikut adalah contoh graf berarah

7 Setiap titik pada graf dapat dihubungkan ke setiap titik lainnya atau tidak dihubungkan sama sekali. Karena itu, masing - masing titik akan mempunyai sejumlah garis tertentu yang menempel pada titik tersebut.

Selain jenis-jenis graf, terdapat pula pengertian tentang derajat (degree) yang akan dijelaskan sebagai berikut.

Derajat atau degree dari suatu titik v pada graf G, dinotasikan dengan deg (v), adalah banyaknya garis yang menempel pada titik v dengan loop dihitung dua kali (Deo, 1989).

Gambar 2.4 Contoh derajat pada graf

Berdasarkan Gambar 2.4 dapat ditentukan derajat dari setiap titik sebagai berikut :

Jumlah derajat pada suatu graf dapat digunakan untuk menentukan banyaknya garis pada graf tersebut dengan menggunakan rumus umum berikut.

8 Misalkan merupakan titik pada suatu graf, dan e menyatakan banyaknya garis pada graf tersebut, maka jumlah derajat pada suatu graf G adalah:

∑

dengan = banyaknya titik pada graf = banyaknya garis pada graf (Deo, 1989)

Letak suatu titik atau garis antara satu dengan lainnya akan berhubungan dengan istilah bertetangga atau terhubung yang akan dijelaskan selanjutnya.

Jika adalah suatu garis yang menghubungkan titik u dan v pada graf G, maka titik u dikatakan tetangga (adjacent) terhadap titik v dan garis

dikatakan terhubung (incidence) pada u dan v (Deo, 1989).

9 Garis terhubung pada titik dan serta titik dan bertetangga. Garis terhubung pada titik dan serta titik dan bertetangga. Titik tidak terhubung dengan titik manapun atau terisolasi.

Pada graf, terdapat suatu struktur yang sangat banyak terapannya pada dunia nyata. Struktur itu disebut dengan pohon (tree).

2.2 Pohon (Tree)

Pohon (Tree) adalah graf terhubung yang tidak memuat sirkuit (Deo, 1989). Berikut ini contoh dari pohon:

Gambar 2.6 Contoh pohon (tree)

Teorema :

Jika diberikan sebarang graf G dengan titik, garis, terhubung, dan tanpa ada sirkuit, maka G adalah pohon (Deo, 1989).

10 2.3 Teorema prinsip pigeonhole

Teorema prinsip pigeonhole bentuk pertama (Johnsonbaugh, 1997)

Jika merpati ditempatkan pada rumah merpati, dengan , maka terdapat rumah merpati yang memuat paling sedikit dua merpati.

Teorema prinsip pigeonhole bentuk kedua (Johnsonbaugh, 1997)

Jika merupakan sebuah fungsi dari suatu himpunan terhingga ke suatu himpunan terhingga dan maka untuk suatu

dengan .

Teorema prinsip pigeonhole bentuk ketiga (Johnsonbaugh, 1997)

Jika merupakan suatu fungsi dari suatu himpunan terhingga ke suatu himpunan terhingga , dengan dan [ ]= k, maka terdapat paling sedikit anggota , , ..., sedemikian hingga

f( ) = f( ) = ... = f( ).

2.4 Sejarah catur dan perkembangannya

Sejarah permainan catur berasal dari India dan mulai ada pada abad ke-6. Di India catur dikenal dengan nama chaturanga, yang artinya empat unsur yang terpisah.

11

Gambar 2.7 Papan catur langkah benteng (rook)

Menurut mistisisme India kuno, catur dianggap mewakili alam semesta ini sehingga sering dihubungkan dengan empat unsur kehidupan, yaitu api, udara, tanah, dan air. karena dalam permainannya, catur menyimbolkan cara-cara hidup manusia (Murray, 1913).

Peluang banyak cara penempatan benteng pada papan catur dapat

dirumuskan ke dalam polinomial yang disebut polinomial benteng yang akan dijelaskan selanjutnya.

2.5 Polinomial benteng

Misalkan B adalah papan catur ukuran n × n dan semua petaknya dapat ditempatkan benteng, maka banyaknya cara penempatan k benteng tersebut adalah :

dengan adalah banyak cara untuk menempatkan k benteng yang tidak saling sebaris atau sekolom pada papan catur.

12 Misalkan pula B adalah papan catur yang dibentuk oleh beberapa sub papan catur yang tak terhubung maka banyak cara menempatan k benteng tersebut adalah :

(Zindle, B. 2003)

Untuk menghitung banyak cara penempatan benteng pada papan catur berbeda dengan sub papan catur. Untuk benteng pada papan catur dapat langsung dihitung dari polinomial yang terbentuk.

13

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung dan dilakukan pada semester genap Tahun Ajaran 2013-2014.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini ditujukan untuk penggunaan aturan dekomposisi sel pada polinomial benteng pada papan berpetak. Langkah – langkah penggunaannya yaitu:

1. Tentukan polinomial benteng yang akan didiskusikan.

2. Tentukan syarat banyaknya benteng yang diperbolehkan menempati papan berpetak ukuran n × n.

3. Tentukan polinomial benteng dari jenis papan berpetak yang dibentuk oleh sub papan berpetak atau tanpa sub papan berpetak.

4. Uraikan cara pembentukan sub papan dengan menggunakan dekomposisi sel.

14 5. Bentuk semua cara k benteng pada papan berpetak tersebut ke dalam polinomial.

6. Hitung cara k benteng dapat ditempatkan pada papan berpetak tersebut. 7. Tarik kesimpulan.

Langkah – langkah penelitian yang digambarkan dalam bentuk diagram alir.

Gambar 3.1 Langkah – langkah penelitian

Membentuk semua kemungkinan k benteng pada papan berpetak tersebut ke dalam polinomial

Menghitung banyaknya kemungkinan k benteng pada papan berpetak

Selesai Mulai

Menentukan polinomial benteng (rook polynomial)

Menentukan syarat banyaknya benteng yang diperbolehkan menempati papan berpetak ukuran atau m x n

Menentukan polinomial benteng dari jenis papan berpetak yang dibentuk oleh atau tanpa sub papan berpetak

Menguraikan cara pembentukan sub papan dengan teorema dekomposisi sel

32

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari penelitian yang telah dilakukan dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut: 1. Untuk menghitung cara penempatan benteng pada papan berpetak yang semua petaknya dapat ditempatkan benteng digunakan rumus umum polinomial benteng.

2. Untuk menghitung cara penempatan benteng pada sub papan berpetak digunakan teorema dekomposisi sel (cell decomposition) serta formula inklusi – eksklusi.

3. Maksimal benteng yang dapat ditempatkan pada papan berpetak adalah benteng dan untuk papan berpetak adalah jika ; atau jika .

4. Papan catur dengan ukuran yang sama akan tetapi posisi blok berbeda dan tidak ada perpotongan akan menghasilkan polinomial benteng yang sama.

33 5.2 Saran

Untuk penelitian selanjutnya dapat diterapkan penggunaan aturan dekomposisi pada papan catur 3 dimensi. Perlu diketahui bahwa papan catur yang dibahas dalam penelitian ini adalah papan catur 2 dimensi.

DAFTAR PUSTAKA

Agnarson, G and R. Greenlaw, 2007. Graph Theory modelling applications and Algorithms. Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ.

Deo, N. 1989. Graph Theory with Application to Egnineering and Computer Sience. Prentice Hall inc, New York.

Johnsonbaugh, R. Discrete Mathematics Fourth Edition. Prentice Hall, New Jersey.

Munir, R. 2010. Matematika Diskrit Revisi Keempat. Informatika Bandung, Bandung.

Murray H.J.R, 1913. A History of Chess The Original 1913 Edition. Oxford University Press, London.

Zindle, B. 2003. Rook Polynomials for Chessboards of Two and Three Dimensions. Rochester Institute of Technology, Rochester.

12 Misalkan pula B adalah papan catur yang dibentuk oleh beberapa sub papan catur yang tak terhubung maka banyak cara menempatan k benteng tersebut adalah :

(Zindle, B. 2003)

Untuk menghitung banyak cara penempatan benteng pada papan catur berbeda dengan sub papan catur. Untuk benteng pada papan catur dapat langsung dihitung dari polinomial yang terbentuk.

13

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung dan dilakukan pada semester genap Tahun Ajaran 2013-2014.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini ditujukan untuk penggunaan aturan dekomposisi sel pada polinomial benteng pada papan berpetak. Langkah – langkah penggunaannya yaitu:

1. Tentukan polinomial benteng yang akan didiskusikan.

2. Tentukan syarat banyaknya benteng yang diperbolehkan menempati papan berpetak ukuran n × n.

3. Tentukan polinomial benteng dari jenis papan berpetak yang dibentuk oleh sub papan berpetak atau tanpa sub papan berpetak.

4. Uraikan cara pembentukan sub papan dengan menggunakan dekomposisi sel.

14 5. Bentuk semua cara k benteng pada papan berpetak tersebut ke dalam

polinomial.

6. Hitung cara k benteng dapat ditempatkan pada papan berpetak tersebut.

7. Tarik kesimpulan.

Langkah – langkah penelitian yang digambarkan dalam bentuk diagram alir.

Gambar 3.1 Langkah – langkah penelitian

Membentuk semua kemungkinan k benteng pada papan berpetak tersebut ke dalam polinomial

Menghitung banyaknya kemungkinan k benteng pada papan berpetak

Selesai Mulai

Menentukan polinomial benteng (rook polynomial)

Menentukan syarat banyaknya benteng yang diperbolehkan menempati papan berpetak ukuran atau m x n

Menentukan polinomial benteng dari jenis papan berpetak yang dibentuk oleh atau tanpa sub papan berpetak

Menguraikan cara pembentukan sub papan dengan teorema dekomposisi sel

32

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari penelitian yang telah dilakukan dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut: 1. Untuk menghitung cara penempatan benteng pada papan berpetak yang semua petaknya dapat ditempatkan benteng digunakan rumus umum polinomial benteng.

2. Untuk menghitung cara penempatan benteng pada sub papan berpetak digunakan teorema dekomposisi sel (cell decomposition) serta formula inklusi – eksklusi.

3. Maksimal benteng yang dapat ditempatkan pada papan berpetak adalah benteng dan untuk papan berpetak adalah jika ; atau jika .

4. Papan catur dengan ukuran yang sama akan tetapi posisi blok berbeda dan tidak ada perpotongan akan menghasilkan polinomial benteng yang sama.

33

5.2 Saran

Untuk penelitian selanjutnya dapat diterapkan penggunaan aturan dekomposisi pada papan catur 3 dimensi. Perlu diketahui bahwa papan catur yang dibahas dalam penelitian ini adalah papan catur 2 dimensi.

DAFTAR PUSTAKA

Agnarson, G and R. Greenlaw, 2007. Graph Theory modelling applications and Algorithms. Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ.

Deo, N. 1989. Graph Theory with Application to Egnineering and Computer Sience. Prentice Hall inc, New York.

Johnsonbaugh, R. Discrete Mathematics Fourth Edition. Prentice Hall, New Jersey.

Munir, R. 2010. Matematika Diskrit Revisi Keempat. Informatika Bandung, Bandung.

Murray H.J.R, 1913. A History of Chess The Original 1913 Edition. Oxford University Press, London.

Zindle, B. 2003. Rook Polynomials for Chessboards of Two and Three Dimensions. Rochester Institute of Technology, Rochester.