PENENTUAN DIMENSI METRIK PADA BEBERAPA GRAF JEMBATAN

  PENENTUAN DIMENSI METRIK PADA BEBERAPA GRAF JEMBATAN ARTIKEL SKRIPSI Oleh FATHUL ROZI NIM E1R 013 011 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MATARAM 2018

  

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN ARTIKEL SKRIPSI .......................................................... ii

DAFTAR ISI .......................................................................................................................... iii

ABSTRAK ............................................................................................................................. iv

ABSTRACT ............................................................................................................................ v

  I. PENDAHULUAN ....................................................................................................... 1 II. METODE PENELITIAN .......................................................................................... 1 III. HASIL DAN PEMBAHASAN .................................................................................. 2 IV. KESIMPULAN ......................................................................................................... 13

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................... 13

  PENENTUAN DIMENSI METRIK PADA BEBERAPA GRAF JEMBATAN * Fathul Rozi , Amrullah**, Nani Kurniati***

  • Mahasiswa Pendidikan Matematika FKIP UNRAM,

  

  • Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNRAM
    • Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNRAM

  

Abstrak. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui dimensi metrik pada beberapa graf

jembatan. Dimensi metrik adalah kardinalitas sub himpunan dari himpunan simpul di ,

sehingga semua simpul tersebut dalam graf G terbedakan. Graf jembatan yang digunakan dalam

penelitian ini terdiri dari graf lingkaran dan graf bintang. Untuk memperoleh dimensi metrik dari

graf jembatan yang terbentuk dari graf lingkaran dan graf bintang menggunakan analisis struktur

graf dengan memperhatikan orde, jarak dan diameter. Dimensi metrik dinotasikan dengan

dim( ). Hasil Penelitian ini memperoleh bahwa dimensi metrik untuk graf jembatan terbentuk

dari kombinasi graf lingkaran dan graf bintang yaitu: Untuk graf jembatan dengan didapatkan dengan dan sisi jembatan dim( ( , , )) = 2; Untuk graf jembatan

  1 1 1, 1, pertama didapatkan dim( ( , , )) = ( + ) − 2, untuk sisi

  • 1 +1 1, 1, +1 +1
  • 1 1 1, 1, +1

  1 jembatan ketiga didapatkan dim( ( , , )) = ( + ) − 4; Untuk graf

  jembatan kedua didapatkan dim( ( , , )) = ( + ) − 3, untuk sisi

  1 1 1, 1,

  1

  1

jembatan dengan untuk sisi jembatan pertama didapatkan

  1, 1 +1 didapatkan dim( ( , , )) = dan untuk sisi jembatan kedua

  1, 1 +1

  1

  1 dim( ( , , )) = − 1;

  1,

  1

1 Kata Kunci: Dimensi Metrik, Himpunan Pembeda, Graf Jembatan, Graf Lingkaran, Graf

  Bintang .

DETERMINATION OF THE METRIK DIMENSION ON SOME BRIDGE GRAPHS

  • * Fathul Rozi , Amrullah**, Nani Kurniati***
  • Student in mathematics education FKIP UNRAM,
    • Lecture in mathematics education FKIP UNRAM
      • Lecture in mathematics education FKIP UNRAM

  

Abstract. This study aims to determine the dimensions of metrics on some bridge graphs. The metric

dimension is the cardinality of the subset of the vertex set in G. such that any pairs vertices in G are

distinct. The bridge graph used in this study consists of circle graph and star graph. To obtain the

metric dimension of a bridge graph formed from a circle graph and a star graph using graph structure

analysis which discusses in it are the order, distance and diameter. The metric dimension is denoted

by dim ( ). The results of this study obtained that the metric dimension for the bridge graph is formed from the combination of circle graph and star graph that is: For the bridge graph with obtained with and the first bridge edge dim( ( , , )) = 2; For the bridge graph

  1

1 1, 1,

obtained dim( ( , , )) = ( + ) − 2, for the second bridge edge

  • 1 +1 1, 1, +1 +1
  • 1 1 1, 1, +1

  1

  1

  1 obtained with for the first dim( ( , , )) = ( + ) − 4; For the bridge graph

  obtained dim( ( , , )) = ( + ) − 3, for the third bridge edge

  1, 1,

  1

  1 1, bride edge obtained dim( ( , , )) = and for the second bridge edge

  1 +1 1,

1 +1

  1

  1 obtained dim( ( , , )) = − 1.

  1,

  1

1 Keywords: Metric Dimension, Resolving Set, Bridge Graph, Circle Graph, Star Graf

I. PENDAHULUAN

  Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang sangat bermanfaat untuk membantu menyelesaikan suatu permasalahan dalam kehidupan nyata dan memiliki banyak terapan di berbagai bidang sampai saat ini. Graf digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai titik atau bulatan besar, sedangkan hubungan antara

  [1] objek dinyatakan dengan garis atau sisi .

  Dimensi metrik merupakan konsep yang menggunakan himpunan pembeda. Himpunan ini merupakan komponen penanda yang membedakan semua titik pada graf. Konsep ini pun telah banyak digunakan dalam beberapa bidang antar lain struktur kimia

  [2] [3] [4] oleh , navigasi robot oleh dan optimasi kombinasi oleh .

  Aplikasi-aplikasi di atas merupakan penerapan dimensi metrik, namun penerapannya masih belum digunakan secara optimal. Hal ini disebabkan oleh, belum semua graf ditentukan dimensi metriknya. Oleh karena itu beberapa peneliti melakukan kajian dimensi metrik menggunakan operasi graf antara lain operasi jumlah, operasi hasil kali silang dan

  [5]

  operasi hasil kali corona. Dimensi metrik operasi jumlah dipublikasikan oleh dimensi

  • metrik pada pengembangan graf kincir dengan pola , Penentuan operasi hasil kali

  1 [3]

  dipublikasikan oleh graf lintasan P × P , m ≥ 2, Penentuan operasi hasil kali korona

  m

  

2

[6]

  dipublikasikan oleh graf lengkap ⊙ K (K )m, n ≥ 2.

  n m

  Selain operasi di atas ada juga operasi jembatan yang masih belum diperoleh dimensi metriknya. Oleh karena itu penelitian ini akan membahas penentuan dimensi metrik pada beberapa graf jembatan. Graf jembatan adalah hasil operasi dua graf yang dihubungkan oleh dua simpul dari kedua graf tersebut berupa sisi. Pada penelitian dikhususkan membahas dimensi metrik pada graf jembatan yang dibentuk dari graf lingkaran ( ), graf bintang ( ).

  1, II.

METODE PENELITIAN

  Pada penelitian ini dilakukan dengan analisis struktur graf dengan memperhatikan orde, diameter, dan derajat dari simpul suatu graf. Objek graf yang dikaji adalah graf jembatan yang diperoleh dari operasi graf jembatan dua graf. Pada penelitian ini dua graf yang dilakukan operasi jembatan diberikan pada graf lingkaran, graf bintang.

  Diawali dengan analisis orde dan derajat simpul pada tiga jenis graf tersebut, dilakukan analisis struktur pada ketiga graf diatas. Dalam kasus ini bahwa graf lingkaran memiliki derajat simpul yang regular dan sama yaitu berderajat 2. Pada graf lain dilakukan hal yang sama.

  Setelah analisis struktur pada ketiga jenis graf diatas, selanjutnya analisis dilakukan pada graf jembatan yang terbentuk dari (1) graf lingkaran dan lingkaran, (2) graf bintang dan bintang, (3) lingkaran dengan bintang. Graf jembatan yang telah dibentuk akan memiliki 3 kombinasi.

  Dengan melakukan dugaan terhadapat himpunan pembeda W untuk setiap graf jembatan yang terbentuk, dilakukan pengecekan representasi setiap simpul. Pada representasi setiap simpul tersebut, jika untuk setiap simpul yang telah ditemukan representasinya tidak memiliki kesamaan untuk setiap simpul yang berada pada graf jembatan tersebut, maka himpunan pembeda W tersebut merupakan basis dari graf jembatan tersebut. Namun jika untuk setiap simpul yang telah ditemukan representasinya memiliki kesamaan maka himpunan pembeda tersebut bukan merupakan basis dari graf jembatan tersebut dan pemilihan himpunan W dilakukan pemilihan ulang. Basis graf jembatan tersebut dengan kardinalitas minimum himpunan pembewa W, maka dimensi metriknya adalah kardinalitas minimum dari himpunan pembeda W.

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

  Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan diperoleh dimensi metrik graf jembatan secara umum dari dua graf yaitu graf lingkaran, graf bintang dan graf lengkap. Pembahasan disajikan dalam 3 bagian yang pertama adalah dimensi metrik graf jembatan pada dua graf lingkaran, kedua adalah dimensi metrik graf jembatan pada dua graf bintang, selanjutnya yang ketiga adalah dimensi metrik graf jembatan pada graf lingkaran dengan graf bintang.

  3.1.Dimensi Metrik Graf Jembatan dari Dua Graf Lingkaran Graf jembatan yang diperoleh dari dua graf lingkaran memiliki dimensi metrik adalah

  2. Secara umum dapat di tunjukkan pada Teorema 5.1 berikut: Teorema 5.1 Jika adalah graf lingkaran dengan

  , simpul dan , ≥ 3, ∈ ( ); ∈ ( ), maka dim ( ( , , )) = 2.

  1

  1 Bukti :

  ( , , )

  1

  

1

Gambar 3.1 graf jembatan dari dan

  Pilih = { , }

  Akan dibuktikan bahwa W sebagai basis di ( , ,

  ). Ambil sembarang , di

  1

  1

  ( , , , ,

  ). Untuk membuktikan bahwa dim (( )) ≤ 2, akan

  1

  1

  1

  1

  diperlihatkan dari 2 kasus sebagai berikut:

  Kasus 1. atau

  , ∈ , ∈ Perhatikan

  ( , ) dan ( , ), jika ( , ) diperoleh ( , ) ≠ ( , ) ) = ( ,

  1

  1

  

1

  1

  sehingga ( | ) ≠ ( | ). Sedangkan jika ( , ) jelas bahwa

  ) ≠ ( ,

  1

  1 ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( | ) ≠ ( | ).

  Dengan cara yang sama untuk Jika , ∈ ( , ) = ( , ) diperoleh ( , ) ≠

  1

  1

  ( , ) sehingga ( | ) ≠ ( | ). Sedangkan jika ( , ) = ( , ) jelas bahwa

  1

  1

  ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( | ) ≠ ( | ). Dapat disimpulkan bahwa W merupakan himpunan pembeda (basis metrik).

  Kasus 2.

  ∈ ∈ Perhatikan

  ( , ) dan ( , ) dalam dua sub kasus dibawah ini: Jika

  ( , ) = ( , ) + ( , )

  1

  1

  = ( , ) + 1………………………………………………(1)

  1

  maka ( , )

  ) = ( , dimana ( , , , )

  ) = ( , ) + ( ) + (

  1

  1

  1

  1

  = ( , ) + 2………………………………………..(2)

1 Berdasarkan point (1) dan (2) diperoleh:

  ( , ) ) > ( ,

  Jika ( , ) dan ( , ) maka

  ) = ( , ) = ( , , maka diperoleh

  ( , ) tanpa melalui simpul ) = ( ,

  

1

  ) ( , ) = ( ,

  = ( , ) + ( , ) + ( , )

  1

  1

  1

  1

  1

  = ( , ) + 2 ………………………………………………...(3)

  1 Berdasarkan point (3) diperoleh: ( , )

  ) > ( , Maka diperoleh

  ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( | ) ≠ ( | ). Karena representasinya tidak sama dapat disimpulkan bahwa W merupakan himpunan pembeda. Berdasarkan kasus 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa adalah himpunan pembeda dengan , , )) ≤ 2.

  | | = 2. Maka terbukti bahwa dim( (

  1

  1 Akan dibuktikan bahwa

  dim( ( , , )) = 2

  

1

  1 Akan ditunjukkan bahwa

  ( , ) ≠ ( , ), diperoleh ( | ) ≠ ( | ) mengakibatkan bahwa ( , ) = ( , ). Dengan cara yang sama ( , ) ≠

  ( , ). Hubungan ini mengakibatkan bahwa W adalah basis di (( , , )).

  1

  1 Diperoleh

  dim( ( , , )) = 2.

  1

1 Terbukti bahwa dimensi metrik untuk

  ( , , ) = 2.

  1

  1 Contoh 3.1

  Jika diketahui dua buah graf lingkaran dengan orde masing 10 dan 11 maka tentukanlah dimensi metrik graf jembatannya ! Jawab : Diketahui bahwa dan

  = =

  10

11 Maka

  dim( , , ) = 2

  10

  11

  1

  1

  3.2.Dimensi Metrik Graf Jembatan Dari Graf Bintang dengan Graf Bintang

  1, 1,

  Jika kedua graf bintang yang dihubungkan oleh satu sisi jembatan maka dimensi metriknya bergantung pada sisi jembatannya. Selanjutnya dibahas pada Teorema 3.2 berikut :

  Lemma 3.2.1 jika dan adalah graf bintang dengan orde , = 2. Maka

  1, 1, dim ( ( , , )) = 1. 1,2 1,2

  1

1 Bukti:

  1,2 1,2

  1

1 Karena

  Misalkan dim ( ( , , )) adalah graf jembatan dari dua buah graf bintang.

  ( , , ) adalah lintasan maka berdasarkan Teorema 2.6.1

  1,2 1,2

  1

  1 dim ( ( , , )) = 1. 1,2 1,2

  1

1 Teorema 3.2. Jika adalah graf bintang dengan

  , simpul dan , ≥ 3,

  1, 1,

  ∈ ( ); ∈ ( ), maka

  1, 1, i.

  Untuk sisi jembatan ,

  • 1 +1
dim ( ( , , )) = ( + ) − 2.

  1, 1, +1 +1 ii.

  Untuk sisi jembatan ,

  • 1

  1

  dim ( ( , , )) = ( + ) − 3

  

1, 1, +1

  1 iii.

  Untuk sisi jembatan ,

  1

  1

  dim ( ( , , )) = ( + ) − 4

  

1, 1,

  1

  1 Bukti :

  Kasus i. Untuk sisi jembatan

  • 1 +1

  Pertama akan dibuktikan,

  ( , , ) 1, 1, +1 +1

Gambar 3.2 Graf Jembatan dari dan

  1, 1,

  Pilih = { . , … , , , , … , }

  2

  3

  2

3 Akan dibuktikan bahwa

  dim ( ( , , )) ≥ ( + ) − 2. Ambil

  1, 1, +1 +1

  sembarang membuktikan bahwa

  , ∈ ( , , ). Untuk

  1, 1, +1 +1

  dim ( ( , , )) ≥ ( + ) − 2, akan diperlihatkan dari 3 kasus sebagi

  1, 1, +1 +1

  berikut:

  Kasus 1. Untuk

  , ∈

  1,

  Jika ( , ) = 2 dan ( , ) = 1 untuk = {2,3,4, … , } maka diperoleh bahwa

  ( , ) > ( , ) dapat disimpulkan bahwa ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( | ) ≠ ( | ). Mengakibatkan bahwa W adalah himpunan pembeda dari ( , , ).

  1, 1, +1 +1 Kasus 2. Untuk

  , ∈

  1,

  jika ( , ) = 2 dan ( , ) = 1 untuk = {2,3,4, … , } maka diperoleh bahwa

  ( , ) > ( , ). Dapat disimpulkan ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( | ) ≠ ( | ) mengakibatkan bahwa adalah himpunan pembeda dari ( , , ).

  Kasus 3. Untuk

  ∈ dan ∈

  1, 1,

  jika ( , ) = 2 dan ( , ) = 2 untuk = {2,3,4, … , } dan

  = {2,3,4, … , } maka ( , ) < ( , ) dan ( , ) < ( , ) mengakibatkan bahwa ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( | ) ≠ ( | ). Jadi benar bahwa W adalah himpunan pembeda.

  Berdasarkan kasus 1, 2 dan 3 dapat disimpulkan bahwa adalah himpunan pembeda dengan

  , , )) ≥ | | = ( + ) − 2. Maka terbukti bahwa dim ( (

  1, 1, +1 +1

  ( + ) − 2 Kedua akan dibuktikan dim ( ( , , )) ≤ ( + ) − 2

  1, 1, +1 +1

  Andaikan maka untuk suatu simpul | | < ( + ) − 2,

  , ∈ ( , , ) terdapat ( , ) = ( , ), untuk = {3,4,5, … , }

  1, 1, +1 +1

  atau ( , ) = ( , ), untuk = {3,4,5, … , } sehingga ( | ) = ( | ) mengakibatkan bahwa W bukanlah himpunan pembeda dengan

  | | < ( + ) − 2 . maka dim ( ( , , )) = ( + ) − 2

  1, 1, +1 +1

  Graf jembatan dari dua buah bintang dengan sisi jembatan dapat disebtut juga

  • 1 +1

  sebagai graf caterpillar yang sebelumnya graf caterpillar ini telah memiliki dimensi metrik, dim( ) = 2( − 1). Dimensi metrik ini memiliki hasil yang sama dengan

  2,

  dimensi metrik graf jembatan dari dua buah graf bintang dim ( ( , , )) = ( + ) − 2

  1, 1, +1 +1

  Kasus ii. Untuk sisi jembatan

  • 1

1 Pertama akan dibuktikan ,

  dim ( ( , , )) ≥ ( + ) − 3

  1, 1, +1

  1 ( , , )

  1, 1, +1

  1 Pilih = { . , … , , , , , … , , }

  2 3 −1

  3 4 −1

  Ambil sembarang , ∈ ( , , ) sehingga diperoleh 3 kasus yang

  1, 1, +1

  1

  1, 1, +1

  1 Kasus 1. Untuk

  menunjukkan bahwa dim ( ( , , )) ≥ ( + ) − 3 sebagai berikut:

  , ∈

  1,

  Jika ( ,

  ) = 2 dan ( , ) = 1 untuk = {2,3,4, … , } maka diperoleh bahwa ( , ) > ( , ) dapat disimpulkan bahwa ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( | ) ≠ ( | ). Mengakibatkan bahwa W adalah himpunan pembeda dari ( , , ).

  1, 1, +1 +1 Kasus 2. Untuk

  , ∈

  1,

  jika ( , ) = 2 dan ( , ) = 2 untuk = {2,3,4, … , } maka diperoleh bahwa

  ( , ) atau ( , ). Berdasarkan 2 hubungan ) > ( , ) < ( ,

  • 1 +1 +1 +1

  tersebut dapat disimpulkan ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( | ) ≠ ( | ) mengakibatkan bahwa adalah himpunan pembeda dari ( , , ).

  1, 1, +1 +1 Kasus 3. Untuk

  ∈ dan ∈

  1, 1,

  jika ( , ) = 2 dan ( , ) = 2 untuk = {2,3,4, … , } dan

  = {2,3,4, … , } maka ( , ) < ( , ) dan ( , ) < ( , ) mengakibatkan bahwa ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( | ) ≠ ( | ). Jadi benar bahwa W adalah himpunan pembeda.

  Berdasarkan kasus 1, 2 dan 3 dapat disimpulkan bahwa adalah himpunan pembeda dengan

  | | = ( + ) − 3. Maka terbukti bahwa dim ( ( , , )) ≥ ( + ) − 3

  1, 1, +1

  1 Kedua akan dibuktikan

  dim ( ( , , )) ≤ ( + ) − 3

  1, 1, +1

  1 Andaikan

  , , ) | | < ( + ) − 3, maka untuk suatu simpul , ∈ (

  1, 1, +1

  1

  terdapat ( , ), untuk = {3,4,5, … , } atau ( , ) = ( , ), untuk

  ) = ( , = {3,4,5, … , } sehingga ( | ) = ( | ) mengakibatkan bahwa W bukanlah himpunan pembeda dengan

  | | < ( + ) − 3 . maka dim ( ( , , )) = ( + ) − 3

  1, 1, +1

  1 Kasus iii Untuk sisi jembatan

  1

  1 dim ( ( , , )) ≥ ( + ) − 4

  1, 1,

  

1

  1 ( , , )

  1, 1,

  1

  1 Gambar 3.4 Graf Jembatan dari dan 1, 1,

  Pilih = { , … , , , , , … , , }

  3, 4 −1

  3 4 −1

  1, 1,

  1

  1

  Akan dibuktikan bahwa dim ( ( , , )) ≥ ( + ) − 4. Ambil sembarang

  , ∈ ( , , ). Untuk membuktikan bahwa dim ( ( , , )) ≥

  1, 1,

  1

  1 1, 1,

  1

  1

  ( + ) − 4, diperlihatkan dari 3 kasus sebagai berikut:

  Kasus 1. Untuk

  , ∈

  1,

  Jika ( ,

  ) > ( , ) ) = 2 dan ( , ) = 1 untuk = {2,3,4, … , }, serta jika ( , atau

  ( , ) maka diperoleh bahwa ( , ) atau ( , ) < ( , ) > ( , ) <

  1

  1

  1 ( , ) dapat disimpulkan bahwa ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( | ) ≠ ( | ).

1 Mengakibatkan bahwa W adalah himpunan pembeda dari ( , , ).

  1, 1, +1 +1 Kasus 2. Untuk

  , ∈

  1,

  jika ( , ) = 2 dan ( , ) = 1 untuk = {2,3,4, … , }, serta jika ( , ) >

  ( , ) atau ( , ) > ( , ) maka diperoleh bahwa ( , ) atau ) > ( ,

  1

  1

  ( , ) < ( , ). Dapat disimpulkan ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( | ) ≠

  1

  1

  ( | ) mengakibatkan bahwa adalah himpunan pembeda dari ( , , ).

  1, 1, +1 +1 Kasus 3. Untuk

  ∈ dan ∈

  1, 1,

  jika ( , ) = 2 untuk = {2,3,4, … , } dan

  ) = 2 dan ( , = {2,3,4, … , } maka ( , ) < ( , ) dan ( , ) < ( , ) mengakibatkan bahwa

  ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( | ) ≠ ( | ). Jadi benar bahwa W adalah himpunan pembeda. Berdasarkan kasus 1, 2 dan 3 dapat disimpulkan bahwa adalah himpunan pembeda dengan

  | | = ( + ) − 4. Maka terbukti bahwa dim ( ( , , )) ≥ ( + ) − 4

  1, 1,

  1

  1 Kedua akan dibuktikan

  dim ( ( , , )) ≤ ( + ) − 4

  1, 1,

  1

  1 Andaikan

  | | < ( + ) − 4, maka untuk suatu simpul , ∈ ( , , )

  1, 1,

  1

  1

  terdapat ( , ) = ( , ), untuk

  = {3,4,5, … , } atau ( , ) = ( , ), untuk = {3,4,5, … , } sehingga ( | ) = ( | ) mengakibatkan bahwa W bukanlah himpunan pembeda dengan | | < ( + ) − 4 . maka dim ( ( , , )) = ( + ) − 4

  1, 1,

  1

  1 Contoh 3.2

  Jika diketahui dua buah graf Bintang dengan orde masing 10 dan 11 maka tentukanlah dimensi metrik graf jembatannya dengan sisi jembatan !

  1

  1 Jawab :

  Diketahui bahwa dan = =

  1, 1,10 1, 1,11

  1,10 1,11

  1

  1

  Maka dim( , , ) = (10 + 11) − 4 = 17

  3.3.Dimensi Metrik Graf Jembatan Dari Graf Lingkaran dengan Graf Bintang Dua buah graf yaitu graf lingkaran dan graf bintang, dari kedua graf ini akan dibentuk graf jembatannya dengan menambahkan sisi dari graf lingkaran menuju graf bintang.

  Berdasarkan Teorema 3.3. dimensi metrik bergantung pada sisi jembatannya. Selanjutnya dibahas pada Teorema 3.3 berikut: Teorema 3.3. Jika adalah graf bintang dengan simpul adalah graf lingkaran dan

  1,

  , ≥ 3, ∈ ( ); ∈ ( ), maka

  1,

  i. , Untuk sisi jembatan

  1 +1

  dim ( ( , , )) =

  1, 1 +1 ii.

  Untuk sisi jembatan ,

  1

  1

  dim ( ( , , , )) = − 1

  1,

  1

  1 Bukti :

  Kasus i. Untuk sisi jembatan

  1 +1

  Pertama akan dibuktikan

  ( , , ) 1, 1 +1

Gambar 3.5 Graf Jembatan dari dan

  1,

  Dipilih }

  = { , , , , , , … ,

  2

  3

  4

  5

6 Akan dibuktikan bahwa

  dim ( ( , , )) ≥ . Ambil sembarang , ∈

  1, 1 +1

  ( , , ). Untuk membuktikan bahwa

  1, 1 +1

  dim ( ( , , )) ≥ , diperlihatkan dari 3 kasus berikut:

  1, 1 +1 Kasus 1.

  , ∈ Jika , misalkan .

  , berjarak sama di , mempunyai jarak yang sama besar di

  1 Maka ( , ) diperoleh ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( | ) = ( | ).

  ) = ( ,

  1

1 Karena representasinya tidak sama dapat disimpulkan bahwa W merupakan himpunan pembeda.

  Kasus 2.

  , ∈

  1,

  jika ( ,

  ) = 2, ( , ) = 1, untuk = {3,4,5, … , } maka diperoleh bahwa jika ( , ), mengakibatkan ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( , ) ≠ ( , ). ) > ( ,

  

1

  1 Dapat disimpulkan bahwa ( | ) ≠ ( | ) dan adalah himpunan pembeda.

  Kasus 3.

  ∈ , ∈

  1,

  Jika ( , ) = 1 dan ( , ) = 2 untuk = {2,3,4, … , } maka ( , ) =

  • 1

  1

  ( , ) dan ( , ) = ( , ) maka diperoleh bahwa ( , ) < ( , ) dan

  • 1

  1 1 +1

  ( , ) < ( , ) sehingga ( , ) ≠ ( , ). Dapat disimpulkan bahwa ( | ) ≠

  1 ( | ) dan adalah himpunan pembeda.

  Berdasarkan kasus 1, 2 dan 3 dapat disimpulkan bahwa W adalah himpunan pembeda dengan | | = . Maka dapat disimpulkan

  Kedua akan dibuktikan dim ( ( , , )) =

  1, 1 +1

  Andaikan | ( )| < , maka untuk suatu simpul , ∈ ( , , ) terdapat

  1, 1 +1

  ( , ), untuk = {3,4,5, … , } atau ( , ) = ( , ), untuk = ) = ( ,

  {3,4,5, … , } sehingga ( | ) = ( | ) mengakibatkan bahwa W bukanlah himpunan pembeda dengan | ( )| < . maka dim ( ( , , )) = .

  1, 1 +1

  Kasus ii. Untuk sisi jembatan

  1

1 Pertama akan dibuktikan

  dim ( ( , , )) ≥ − 1

  1,

  1

  1

( , , )

  

1,

  1

  1 Gambar 3.6 Graf Jembatan dari dan 1,

  Dipilih }

  = { , , , , , … ,

  3

  4

  5

6 Akan dibuktikan bahwa

  dim ( ( , , )) ≥ − 1. Ambil sembarang , ∈

  1,

  1

  1

  ( , , ), untuk membuktikan bahwa dim ( ( , , )) ≥ − 1,

  1, 1 +1 1,

  1

  1

  diperlihatkan pada 3 kasus berikut: Kasus 1.

  , ∈ Jika , misalkan .

  , berjarak sama di , mempunyai jarak yang sama besar di

  1 Maka ( , ) = ( , ) diperoleh ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( | ) = ( | ).

  1

1 Karena representasinya tidak sama dapat disimpulkan bahwa W merupakan himpunan pembeda.

  Kasus 2.

  , ∈

  1,

  Pertama dimana ( ,

  ) = 2, ( , ) = 1, untuk = {3,4,5, … , } maka diperoleh bahwa jika ( , ), mengakibatkan ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( , ) ≠

  ) > ( ,

  1

  1

  ( , ). Dapat disimpulkan bahwa ( | ) ≠ ( | ) dan adalah himpunan pembeda.

  Kasus 3.

  ∈ , ∈

  1,

  ) ( , ) = 1 dan ( , ) = 2 untuk = {2,3,4, … , } maka jika ( , ) = ( ,

  1

  1

  1

  maka diperoleh bahwa ( , ) ≠ ( , ) sehingga ( , ) ≠ ( , ). Dapat

  1

  1

  disimpulkan bahwa ( | ) ≠ ( | ) dan adalah himpunan pembeda. Berdasarkan kasus 1, 2 dan 3 dapat disimpulkan bahwa W adalah himpunan pembeda dengan

  | | = − 1. Maka terbukti bahwa dim ( ( , , )) = − 1.

  1,

  1

1 Kedua akan dibuktikan

  dim ( ( , , )) = − 1

  1,

  1

  1 Andaikan

  , , ) terdapat | | < , maka untuk suatu simpul , ∈ (

  1,

  1

  1

  ( , ) = ( , ), untuk = {3,4,5, … , } atau ( , ) = ( , ), untuk = {3,4,5, … , } sehingga ( | ) = ( | ) mengakibatkan bahwa W bukanlah himpunan pembeda dengan

  , , )) = − 1. | | < − 1 maka dim ( (

  1,

  1

  1 Contoh 3.3

  Jika diketahui graf lingkaran dengan orde 10 dan graf bintang dengan orde 11 maka tentukanlah dimensi metrik graf jembatannya !

  10 1,11

  Jawab : Diketahui bahwa dan

  = =

  10 1, 1,11

  10 1,11

  1

  1

  Maka dim( , , ) = (11 − 1) = 10

IV. KESIMPULAN

  • 1 +1
  • 1 +1
  • 1
  • 1

  1 +1

  ,

  1

  1 )) = ( + ) − 4.

  4.3.Untuk graf jembatan dengan

  1,

  untuk sisi jembatan pertama

  1 +1

  didapatkan dim( ( ,

  1,

  ,

  1

  )) = dan untuk sisi jembatan pertama

  ,

  1

  didapatkan dim( ( ,

  1,

  ,

  1

  1 )) = − 1.

  [1]. Permana, A. B. dan Darmaji. 2012. Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu. Jurnal Teknik Pomits Vol. 1, No. 1: 1-4. [2]. Chartrand, G. dan Lesniak, L. 1996. Graf and Digraph Third Edition. California: Wadsworth, Inc. Combinatoria. 2. P.191-195. [3]. Khuller, S., Raghavachari, B. dan Rosenfeld, A. 1996. Landmarks in Graphs. Discrete Appl. Math . 70, 217-229. [4]. Sebo, A. dan Tannier, E. 2004. On Metric Generators of Graphs. Jurnal Mathematics of Operations Research Vol. 29, No. 2. [5]. Johannes, P. 2009. Dimensi Metrik Pada Pengembangan Graph Kincir Dengan Pola

  K 1 +mK n . Skripsi, ITS Surabaya : ITS.

  [6]. Mirrati, R. 2016. Dimensi Mterik Fraksional Hasil Kali Korona Dari Graf Lengkap.

  Skripsi, MIPA. Universitas Airlangga.

  1,

  1,

  Pengkajian dimensi metrik pada beberapa graf jembatan pada tugas akhir ini menghasilkan beberapa kesimpulan sebagai berikut:

  1,

  4.1.Untuk graf jembatan dengan didapatkan dim( ( , ,

  1

  1 )) = 2.

  4.2.Untuk graf jembatan

  1,

  dengan

  1,

  dan sisi jembatan pertama

  didapatkan dim ( (

  1,

  ,

  ,

  didapatkan dim( (

  )) = ( + ) − 2, Untuk sisi jembatan kedua

  1

  didapatkan dim( (

  

1,

  ,

  1,

  ,

  1

  )) = ( + ) − 3, untuk sisi jembatan ketiga

  1

  1


Dokumen baru

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

64 1409 16

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

23 374 43

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

24 333 23

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

6 211 24

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

18 310 23

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

27 417 14

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

21 379 50

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

8 229 17

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

13 387 30

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

21 441 23