davitsipayung.com
Sudut adalah sudut yang dibentuk oleh vektor
A
dan vektor
R
. Sudut
adalah sudut yang dibentuk oleh vektor
B
dan vektor
R
. Nilai sudut
dan
ditemukan menggunakan hukum sinus.
sin 180 sin
sin R
A B
2.26
Contoh 2.5 : Sebuah beban beratnya
w
= 200 N digantungkan menggunakan tali seperti ditunjukkan pada gambar. Beban dalam keadaan setimbang seperti pada gambar. Tentukanlah tegangan tali T
1
dan T
2
menggunakan aturan sinus.
Pembahasan : Kita dapat menggambarkan hubungan vektor
1
T
,
2
T
dan
w
memenuhi hubungan
Besar tegangan tali T
1
dan T
2
diperoleh dengan menggunakan hukum sinus.
1 1
sin 60 200 3
sin 30 sin 60
sin 30 w
T T
w N
2 1
sin 90 400
sin 30 sin 90
sin 30 w
T T
w N
2.3.2 Penjumlahan vektor cara analitis
Penjumlahan dua vektor cara analitis adalah penjumlahan komponen-komponen kedua vektor pada sumbu yang sama. Penjumlahan dua vektor diberikan oleh
ˆ ˆ
ˆ
x x
x x
x x
A B A
B i A
B j
A B k
2.27 Pengurangan vektor
A
dan
B
diartikan sebagai penjumlahan vektor
A
dan
-B
.
ˆ ˆ
ˆ
x x
x x
x x
A B A
B A
B i A
B j
A B k
2.28 Dua buah vektor
1
F
dan
2
F
diberikan dalam grafis. Cara menjumlahkan vektor dengan metode analitis, yaitu :
Uraikan komponen vektor dalam komponen-komponen skalarnya. Jumlahkan semua komponen vektor pada sumbu yang sama.
1 2
x x
x x
R F
F F
2.29
1 2
y y
y y
R F
F F
2.30
w
1
T
2
T
30 60
90
2
T
1
T
30
w = 300 N
davitsipayung.com
Besar vektor resultan R :
2 2
x y
R R
R
2.31 Sudut yang dibentuk oleh resultan vektor
R terhadap sumbu x positif :
tan
y x
R R
2.32 Cara analitis lebih mudah menyelesaikan perhitungan resultan vektor dibandingkan cara grafis untuk
kasus lebih dari dua vektor
Contoh 2.6 : Tentukan besar resultan dari tiga buah vektor gaya pada gambar di bawah ini
Pembahasan :
Misalkan
F
1
= 10 N,
F
2
= 10 3 N, dan
F
3
= 10 N. Uraikan masing-masing vektor gaya pada sumbu x dan sumbu y, kita peroleh
1 2
3 1
2
cos30 cos60
5 3 5 3
x x
x x
F F
F F
F F
1 2
3 1
2
sin 30 sin 60
5 5 15 5 15
y y
y y
F F
F F
F F
Besar resultan vektor gaya :
2 2
2 2
15 15
x y
R F
F N
Contoh 2.7 : Diketahui dua buah vektor
1
ˆ ˆ ˆ
3 2 m
r i
j k
2
ˆ ˆ
3 4
m
r i
k
Tentukan :
a. besar vektor
1
r
dan
2
r
b.
1 2
r r
c.
1 2
r r
d.
1 2
2 3
r r
Pembahasan :
a. Besar vektor
1
r
adalah
2 2
2 1
3 1
2 14 m
r
x y
30 60
5 N 10 N
10 3 N
davitsipayung.com
Besar vektor
2
r
adalah
2 2
1
3 4
5 m
r
b.
1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
3 2
3 4
3 3 2 4
6 6
r r
i j
k i
k i
j k
i j
k
c.
1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
3 2
3 4
3 3 2 4
2 r
r i
j k
i k
i j
k j
k
d.
1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 3
2 3 2
3 3 4
6 2
4 9
12 15
2 16
r r
i j
k i
k i
j k
i k
i j
k
2.4 Kesamaan vektor
Dua vektor dikatakan sama hanya jika nilai dan arah dua vektor tersebut sama. Secara grafis, dua vektor sama hanya jika kedua vektor sejajar dengan arah dan panjangnya sama, tetapi tidak
membutuhkan posisi yang sama, lihat Gambar 2.12a. Secara analitis , dua vektor sama ketika nilai komponen-komponen kedua vektor sama. Kesamaan vektor
A
dan
B
dituliskan dalam bentuk
A B
2.33
atau ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ x
y z
x y
z x
y z
A i A j
A k B
B B
2.34
atau
x x
y y
z z
A B
A B
A B
2.35
Satuan vektor
A
dan
B
juga harus sama. Sebuah vektor tetap sama jika dipindahkan ke posisi yang lain asalkan tidak mengubah nilai dan arah vektor tersebut. Vektor
A
dikatakan berlawanan dengan vektor
A
, seperti pada Gambar 2.12b. Dua vektor dikatakan berlawanan jika kedua vektor memiliki nilai yang sama tetapi arahnya berlawanan .
2.5 Perkalian vektor 2.5.1 Perkalian vektor dengan skalar
