2.3 Laju Tingkat Kematian Force of Mortality
Laju kematian dari seseorang yang baru lahir dan akan meninggal antara usia x dan x + ∆x dengan syarat hidup pada usia x dapat dinyatakan dengan :
+ ∆x| =
+ ∆ − −
Karena Fx + ∆x – Fx dapat dinyatakan sebagai fungsi limit, maka :
lim
∆x→
+ ∆ − −
= lim
∆x→
+ ∆ − . ∆∆
lim
∆x→
−
= lim
∆x→
+ ∆ − ∆
. ∆ lim
∆x→
−
=
′
∆ −
≅ −
Untuk setiap usia x, laju tingkat kematian dari seseorang yang berusia x tahun dapat dinyatakan dengan :
� =
−�
2.3.1 atau
� + =
+ −� +
2.3.2 dengan
� + adalah probabilitas peluang sisa umur hidup seseorang yang berusia x tahun antara t dan t +
∆ tahun dengan syarat ia masih hidup pada usia x sampai x + t tahun.
karena = −
atau = −
, maka :
’ =
= − ’ 2.3.3
Sehingga diperoleh nilai laju kematian pada usia x adalah : �
= −
′
= −
.
= − ln
.
= − ln
� = − ln
Dengan mengganti x menjadi y, maka diperoleh : �
= − ln dan dengan menggunakan intergral tertentu pada batas x sampai x+t maka
diperoleh : ∫ �
+
= − ∫ ln
+
= −ln |
+
= −{ln + − ln
} = − ln
+
= − ln +
= − ln =
− ∫ �
�+� �
2.3.4
Jika nilai laju kematiannya konstan �
= � untuk semua x ≥ 0, artinya besarnya nilai dari force of mortality laju tingkat kematian adalah sama untuk
semua usia nasabah yang hidup, maka diperoleh : =
=
− ∫ �
�
=
−�
2.3.5 Diketahui sebelumya bahwa
adalah fungsi distribusi dari Tx, sehingga fungsi densitas dari Tx adalah :
=
= −
= − +
= − +
= −
′
+
= +
. − ′ +
+ =
. � + 2.3.6
2.4 Tabel Mortalitas
Pada tabel mortalitas terdapat variable dan d
x
. menyatakan jumlah orang
yang diharapkan masih hidup sampai usia x tahun dari sekelompok orang yang jumlahnya l
o
ketika baru lahir. Dalam hal ini, l
o
yang menyatakan banyaknya bayi yang baru dilahirkan diasumsikan mempunyai fungsi survival sama dengan sx.
Misalkan =
. , lalu diberi indeks
j = 1, 2, 3, …, orang ke-1, ke-2, …, ke- , dan
ℒ menyatakan banyaknya bayi yang hidup sampai dengan usia x,
sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut : ℒ
= ∑ �
=
2.4.1
dimana I
j
adalah indikator untuk bayi yang bertahan hidup dari j, dan dapat pula dinyatakan dengan :
� = { , ℎ
, karena I
j
adalah random variable, dan berdasarkan asumsi bahwa mempunyai fungsi survival yang sama dengan sx, maka akan diperoleh nilai peluangnya
sebagai berikut : � =
= 2.4.2
� = = −
2.4.3 Dari persamaan 2.4.2 dan 2.4.3, diperoleh nilai harapan dari I
j
sebagai berikut : E[I
j
] = 1.sx + 0.1 – sx = sx
Sehingga nilai ekspekstasi dari ℒ
dapat dinyatakan dengan :
[ℒ ] = [∑ �
=
]
= ∑ [� ]
=
= +
+ ⋯ + ⏟
= . 2.4.4
= .
= . exp∫ � 2.4.5
Selanjutnya, variabel d
x
menyatakan banyaknya orang yang berusia x tahun akan meninggal sebelum mencapai usia x+1 tahun.
Misalkan, menyatakan banyaknya bayi yang meninggal antara usia x tahun
sampai dengan usia x+n tahun, maka berlaku persamaan berikut : +
= −
+ Selanjutnya indikator yang berlaku adalah sebagai berikut :
� = { , + ℎ
, Karena I
j
adalah random variable, maka akan diperoleh nilai peluangnya sebagai berikut :
� = =
− +
2.4.6 � =
= − { −
+ } 2.4.7
Dari persamaan 2.4.6 dan 2.4.7, diperoleh nilai harapan dari I
j
sebagai berikut: E[I
j
] = 1. −
+ + 0.1 – { −
+ } = −
+ Sehingga nilai ekspekstasi dari
dapat dinyatakan dengan :
[ ] = [∑ �
=
]
= ∑ [� ]
=
= . { −
+ }
= . − .
+ = −
+
2.4.8 dimana
menyatakan banyaknya orang yang berusia x tahun yang meninggal sebelum mencapai usia x+n tahun.
Berdasarkan persamaan 2.4.4 dan 2.4.8 diperoleh persamaan sebagai berikut:
= . ⟹
= =
�
2.4.9 dan
= − = −
�
=
−
�
=
�
2.4.10 Sehingga peluang x akan meninggal sebelum mencapai usia x+t tahun dapat
dinyatakan dengan : = −
= −
+
= −
+
=
� � �
2.4.11 dan sebuah peluang meninggal yang ditangguhkan atau kondisi yang menyatakan
bahwa x akan berlangsung hidup sampai t tahun dan meninggal dalam u tahun, didefinisakan sebagai berikut :
|
= −
|
Jika u = 1, maka berdasarkan 2.2.5 diperoleh :
|
= .
+
=
+
.
+ +
=
+
. .
2.5 Distribusi Gompertz
Kategori