Magic Strength pada Graf Path, Bistar, dan Cycle Ganjil

MAGIC STRENGTH PADA GRAF PATH, BISTAR, DAN
CYCLE GANJIL

DIMAS ENGGAR SATRIA

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Magic Strength pada
Graf Path, Bistar, dan Cycle Ganjil adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.

Bogor, Desember 2013
Dimas Enggar Satria
NIM G54080049

ii

ABSTRAK
DIMAS ENGGAR SATRIA. Magic Strength pada Graf Path, Bistar, dan Cycle
Ganjil. Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS’OED dan MUHAMMAD
ILYAS.
Karya ilmiah ini membuktikan teorema-teorema untuk memperoleh magic
strength pada graf path, graf bistar, dan graf cycle ganjil. Magic strength pada
suatu graf adalah nilai minimum dari semua bilangan konstan yang diperoleh dari
semua magic labeling pada graf tersebut. Magic labeling pada suatu graf
merupakan pelabelan total pada simpul dan sisi suatu graf dengan labelnya adalah
bilangan asli, dimana jumlah label-label pada sebuah sisi yang incident dengan dua
simpul adalah suatu bilangan konstan. Terdapat empat pembuktian teorema yang
dibahas dalam karya ilmiah ini. Misalkan n merupakan suatu bilangan asli.
Teorema pertama membuktikan bahwa nilai magic strength dari graf path
berderajat 2n adalah 5n+1. Teorema kedua membuktikan bahwa nilai magic

strength dari graf path berderajat 2n+1 adalah 5n+3. Teorema ketiga membuktikan
bahwa nilai magic strength dari graf bistar berderajat n adalah 5n+6. Teorema
keempat membuktikan bahwa nilai magic strength dari graf cycle berderajat 2n+1
adalah 5n+4.
Kata kunci: graph labeling, magic labeling, magic strength

ABSTRACT
DIMAS ENGGAR SATRIA. Magic Strength in Path, Bistar, and Odd-Cycle
Graphs. Supervised by TEDUH WULANDARI MAS’OED and MUHAMMAD
ILYAS.
This manuscript proves theorems to obtain magic strength; a minimum of all
constant number that has been attained from all magic labeling in that graph, in
path, bistar, and odd-cycle graphs. Magic labeling in the graph is defined as a total
of labeling two vertices and one edge which is incident with it. The label is natural
number and the total of labeling is a constant number. There are four theorems
discussed in this paper. Suppose n is a natural number. The first theorem proves
that magic strength value of a path graph with degree 2n is 5n+1. The second
theorem proves that magic strength value of a path graph with degree 2n+1 is
5n+3. The third theorem proves that magic strength value of a bistar graph with
degree n is 5n+6. The fourth theorem proves that magic strength value of a cycle

graph with degree 2n+1 is 5n+4.
Keywords: graph labeling, magic labeling, magic strength

MAGIC STRENGTH PADA GRAF PATH, BISTAR, DAN
CYCLE GANJIL

DIMAS ENGGAR SATRIA

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

vii

Judul Skripsi : Magic Strength pada Graf Path, Bistar, dan Cycle Ganjil
Nama
: Dimas Enggar Satria
NIM
: G54080049

Disetujui oleh

Teduh Wulandari Mas’oed, MSi
Pembimbing I

Muhammad Ilyas, MSc
Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

viii

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala rahmat dan karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad
SAW sehingga penelitian ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam
penelitian ini ialah Magic Labeling dengan judul Magic Strength pada Graf Path,
Bistar, dan Cycle Ganjil.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, MSi
dan Bpk Muhammad Ilyas, MSc selaku pembimbing. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada ayah, ibu, kakak serta Astriani, atas segala doa dan saran
kepada penulis dalam penyusunan skripsi ini. Terima kasih juga disampaikan
untuk rekan kerja penelitian saya, yaitu Rahmalia Yuliarni dan Pipin Urip atas
segala saran dan masukan terkait penelitian. Selain itu, tidak lupa rasa terima kasih
sebesar-besarnya kepada teman-teman di Departemen Matematika IPB angkatan
45. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya
dalam bidang matematika dan dapat menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.

Bogor, Desember 2013

Dimas Enggar Satria

ix

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan

1

LANDASAN TEORI

2

Teori Graf

2

Pelabelan Graf

5

PEMBAHASAN
Graf Path Derajat 2n

7
7

Graf Path Derajat 2n + 1

11

Graf Bistar Derajat n

15

Graf Cycle Derajat 2n + 1

21

SIMPULAN DAN SARAN

24

Simpulan

24

Saran

24

DAFTAR PUSTAKA

25

RIWAYAT HIDUP

26

DAFTAR GAMBAR
1 Graf G = (V, E).
2 Graf J tak terhubungkan
3 Cycle dengan 3 simpul.
4 Graf Bistar dengan 2 simpul pusat dan 6 simpul cabang.

5 Graf G taktrivial dengan 3 simpul.
6 Graf cycle ber-order 6.
7 Graf path P3.
8 Magic labeling pada graf path P3.
9 Graf path P6.
10 Magic labeling pada graf path P6.
11 Graf path P7.
12 Magic labeling pada graf path P7.
13 Graf bistar B5,5.
14 Magic labeling pada graf bistar B5,5.
15 Graf cycle C3.
16 Magic labeling pada graf cycle C3.

2
3
4
4
5
5
6

7
8
9
11
13
15
17
21
22

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Cabang ilmu dalam bidang matematika yang diperkenalkan pertama kali
oleh seorang ahli matematika asal Swiss, Leonardo Euler pada tahun 1736, salah
satunya adalah “Teori Graf”. Saat itu Euler memperkenalkan teori graf untuk
menyelesaikan masalah jembatan Königsberg yang merupakan salah satu masalah
transportasi yang terjadi di kota Kaliningrad, Rusia. Sejak saat itu teori graf mulai
mendapat banyak perhatian sehingga teori tersebut terus dikembangkan dan
memiliki banyak terapan, diantaranya model jaringan komunikasi, ilmu komputer,
penjadwalan, riset operasi, dan sebagainya. Hal itu disebabkan teori graf memiliki
cakupan model yang luas. Salah satu permasalahan utama dalam teori graf adalah
bagaimana menandai suatu simpul dan sisi, sedemikian sehingga setiap simpul dan
sisi yang saling adjacent memiliki tanda yang berbeda. Ada beberapa metode yang
dapat digunakan untuk menandai suatu simpul/sisi, salah satunya adalah metode
pelabelan.
Pelabelan pada suatu graf merupakan fungsi injektif yang memetakan setiap
unsur himpunan simpul (vertex) dan setiap unsur himpunan sisi (edge) ke bilangan
asli yang disebut label (Gallian 2009). Pelabelan pada graf terdiri dari pelabelan
simpul, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Pelabelan simpul adalah pelabelan
dengan domain himpunan simpul, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain
himpunan sisi, dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain gabungan
himpunan simpul dan sisi. Ada banyak jenis pelabelan pada graf yang telah
dikembangkan, diantaranya adalah pelabelan graceful, pelabelan harmoni,
pelabelan total, magic labeling, dan pelabelan anti ajaib (antimagic).
Magic labeling pada suatu graf merupakan pelabelan total pada simpul dan
sisi suatu graf dengan labelnya adalah bilangan asli, dengan jumlah label-label
pada sebuah sisi dan dua simpul ujungnya adalah suatu bilangan konstan. Pada
magic labeling, jumlah label-label pada sebuah sisi dan dua simpul ujungnya
menghasilkan suatu konstanta ajaib. Nilai terkecil dari konstanta ajaib yang
didapat dari magic labeling tersebut adalah magic strength. Dalam karya ilmiah ini
akan dibuktikan beberapa teorema untuk memperoleh magic strength pada graf
path, graf bistar, dan graf cycle. Sumber utama dalam karya ilmiah ini adalah
artikel berjudul “Magic Strength of a Graph” yang ditulis Selvan Avadayappan,
Vasuki, dan Jeyanthi pada tahun 2000.

Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah membuktikan teorema-teorema
untuk memperoleh nilai konstanta ajaib terkecil (magic strength) pada graf path
Pn, graf bistar Bn,n, dan graf cycle C2n+1.

2

LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dalam teori graf dan
pelabelan graf yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Teori Graf
Definisi 1 (Graf)
Suatu graf G adalah pasangan terurut (V, E) dengan V adalah himpunan
takkosong dan berhingga dan E adalah himpunan pasangan takterurut yang
menghubungkan elemen-elemen V. Graf G dinotasikan G = (V, E). Elemen V
disebut simpul (vertex) sedangkan elemen E disebut sisi (edge). Himpunan dari
simpul-simpul pada graf G dinotasikan dengan V(G), sedangkan himpunan dari
sisi-sisi pada graf G dinotasikan dengan E(G).
(Foulds 1992)
Contoh graf G dapat dilihat pada Gambar 1. Himpunan simpul dan himpunan sisi
graf pada Gambar 1 adalah
V(G) = {a, b, c, d, e, f}
E(G) = {{a, b}, {b, c}, {b, d}, {d, e}, {e, f}}
G:

a

c

e

b

d

f

Gambar 1 Graf G = (V, E).
Definisi 2 (Order dan Size)
Misalkan diberikan graf G. Banyaknya simpul pada graf G disebut order dan
banyaknya sisi pada graf G disebut size. Order dari graf G dinotasikan dengan
|V(G)| dan size dari graf G dinotasikan dengan |E(G)|.
(Chartrand & Oellermann 1993)
Pada Gambar 1, nilai dari |V(G)| = 6 dan |E(G)| = 5.
Definisi 3 (Incident dan adjacent)
Misalkan diberikan graf G. Jika e = {u, v} ∈ E(G) dengan u, v ∈ V(G) maka
u dan v dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan u dan v.
(Chartrand & Oellermann 1993)
Pada Gambar 1, misalkan e = {a, b} ∈ E(G) maka a dan b dikatakan adjacent di G
dan e dikatakan incident dengan a dan b.

3

Definisi 4 (Degree)
Derajat (degree) dari suatu simpul v pada graf G adalah banyaknya sisi yang
incident dengan v dan dinotasikan dengan deg(v).
(Chartrand & Oellermann 1993)
Pada Gambar 1, derajat setiap simpulnya ialah deg(a) = 1, deg(b) = 3, deg(c) = 1,
deg(d) = 2, deg(e) = 2, dan deg(f ) = 1.
Definisi 5 (Walk)
Suatu walk pada graf G adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf G
dengan bentuk {v1, {v1, v2}, v2, {v2, v3}, v3, … , {vn-1, vn}, vn} dan dapat dituliskan
sebagai {v1, v2, … , vn} atau v1, v2, … , vn. Suatu walk yang menghubungkan v1
dengan vn dikatakan tertutup jika v1 = vn. Jika v1 ≠ vn maka walk tersebut dikatakan
terbuka.
(Foulds 1992)
Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu walk {a, {a, b}, b, {b, d}, d, {d, e}, e,
{e, f}, f}.
Definisi 6 (Path)
Path pada suatu graf G adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda.
Graf ber-order n ≥ 1 yang berbentuk path disebut graf path ber-order n, dituliskan
Pn.
(Chartrand & Oellermann 1993)
Pada Gambar 1, {a, b, d, e, f} merupakan salah satu contoh path.
Definisi 7 (Graf Terhubungkan)
Graf G dikatakan terhubungkan jika setiap 2 simpul yang berbeda pada graf
G dihubungkan oleh suatu path dan dikatakan tak terhubungkan jika ada 2 simpul
yang berbeda, tidak ada path yang menghubungkan kedua simpul tersebut.
(Foulds 1992)
Contoh graf terhubungkan dapat dilihat pada Gambar 1, sedangkan contoh graf tak
terhubungkan dapat dilihat pada Gambar 2.
J:
e
c
f

a

b

d

Gambar 2 Graf J tak terhubungkan

4

Definisi 8 (Cycle)
Cycle pada graf G adalah walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga
simpul berbeda.
(Foulds 1992)
Contoh cycle dapat dilihat pada Gambar 3.
a
c
b
Gambar 3 Cycle dengan 3 simpul.
Definisi 9 (Tree)
Tree adalah suatu graf terhubung yang tidak mempunyai cycle.
(Foulds 1992)
Gambar 1 merupakan contoh tree dengan 6 simpul.
Definisi 10 (Graf Bistar)
Graf G disebut graf bistar, dinotasikan Bn,n, jika pada graf G terdapat 2
salinan tree K1,n dimana setiap tree K1,n terdiri dari 1 simpul pusat dan simpul
cabang sebanyak n, simpul pusat dari masing-masing tree K1,n dihubungkan oleh
suatu sisi.
(Avadayappan et. al. 2000)
Contoh bistar dapat dilihat pada Pada Gambar 4 merupakan salah satu contoh
bistar dimana terdiri dari 2 simpul pusat yaitu a dan e yang mana masing-masing
dari simpul pusat memiliki 3 simpul cabang secara berurut yaitu b, c, d dan f, g, h.
B3,3 :

f

b
a

c

d

e

g

h

Gambar 4 Graf Bistar dengan 2 simpul pusat dan 6 simpul cabang.
Definisi 11 (Graf Taktrivial)
Suatu graf G disebut graf taktrivial jika suatu graf G memiliki order paling
sedikit dua.
(Chartrand & Oellermann 1993)

5

Berikut ini diberikan contoh graf taktrivial ber-order 3
G:
a

b

c

Gambar 5 Graf G taktrivial dengan 3 simpul.
Definisi 12 (Graf Cycle)
Suatu graf ber-order n dengan n ≥ 3 yang membentuk sebuah cycle disebut
graf cycle dan dinotasikan dengan Cn.
(Chartrand & Oellermann 1993)
Berikut ini diberikan contoh graf cycle ber-order 6.
C6 :

f

e

a
d
b
c
Gambar 6 Graf cycle ber-order 6.

Pelabelan Graf
Karya ilmiah ini membahas suatu magic labeling untuk mencari nilai
konstanta ajaib terkecil pada graf path, graf n-bistar, dan graf cycle. Berikut
dijelaskan beberapa definisi tentang pelabelan graf.
Definisi 13 (Pelabelan)
Pelabelan pada graf merupakan fungsi injektif yang memetakan untuk setiap
unsur himpunan simpul (vertex) dan untuk setiap unsur himpunan sisi (edge) ke
bilangan asli yang disebut label.
(Gallian 2009)
Pada tahun 1970, Kotzig dan Rosa menuliskan definisi mengenai magic
labeling, definisi tersebut digunakan juga oleh Avadayappan, Vasuki, dan Jeyanthi
dalam penulisan jurnalnya pada tahun 2000.
Definisi 14 (Magic Labeling)
Misalkan G graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E. Magic
labeling pada graf G adalah suatu fungsi bijektif f : V ∪ E → {1, 2, 3, … , v + ɛ},
sehingga untuk setiap sisi xy, nilai penjumlahan f(x) + f(y) + f(xy) = c(f), dimana
c(f) merupakan konstanta ajaib dari fungsi bijektif f.
(Avadayappan et. al. 2000)

6

Definisi 15 (Graf Magic)
Graf magic adalah graf yang memiliki magic labeling.
(Gallian 2009)
Definisi 16 (Magic Strength)
Misalkan G graf magic dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E.
Magic strength pada graf G, m(G), didefinisikan sebagai nilai minimum dari
semua c(f). Artinya, m(G) = min{c(f) : f adalah magic labeling dari G}.
(Avadayappan et. al. 2000)
Berikut ini diberikan contoh magic strength pada suatu graf. Misalkan
diberikan graf path P3 seperti pada Gambar 7. Banyaknya simpul ialah 3 dan
banyaknya sisi 2, simpul dan sisi dari graf path P3 masing-masing akan diberi
label 1, 2, 3, 4, dan 5.
P3 :

u1

u2

u3

Gambar 7 Graf path P3.
Misalkan simpul-simpul dan sisi-sisi pada graf path P3 diberi 3 pelabelan yang
berbeda, yaitu untuk pelabelan pertama, misalnya
f(u1) = 1
f(u1u2) = 4
f(u2) = 5
f(u2u3) = 3
f(u3) = 2
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 1 + 5 + 4 = 10
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 5 + 2 + 3 = 10
sehingga didapat nilai c(f) = 10 dan dapat digambarkan seperti Gambar 8 (a).
Pelabelan kedua, misalnya
f(u1) = 1
f(u1u2) = 5
f(u2) = 3
f(u2u3) = 4
f(u3) = 2
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 1 + 3 + 5 = 9
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 3 + 2 + 4 = 9
sehingga didapat nilai c(f) = 9 dan dapat digambarkan seperti Gambar 8 (b).
Pelabelan ketiga, misalnya
f(u1) = 3
f(u1u2) = 4
f(u2) = 1
f(u2u3) = 5
f(u3) = 2
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 3 + 1 + 4 = 8
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 1 + 2 + 5 = 8
sehingga didapat nilai c(f) = 8 dan dapat digambarkan seperti Gambar 8 (c).

7

(a)
1

5

2
3

4
(b)
1

3
5

2
4

(c)
3

1
4

2
5

Gambar 8 Magic labeling pada graf path P3.
Dari ketiga pelabelan graf di atas, didapat nilai c(f) berturut-turut adalah 10, 9, dan
8. Jadi, untuk magic strength dari graf P3, m(P3) = min{10, 9, 8} = 8.
Lema 1
Jika G adalah graf magic, maka untuk memperoleh magic strength akan
diberikan kisaran nilai sebagai berikut
v + ɛ + 3 ≤ m(G) ≤ 2v + 2ɛ
dengan v adalah banyaknya simpul dan ɛ adalah banyaknya sisi.
(Avadayappan et. al. 2000)

PEMBAHASAN
Karya ilmiah ini membahas teorema-teorema mengenai magic strength pada
graf path, graf n-bistar, dan graf cycle. Permasalahan utama dalam karya ilmiah ini
adalah bagaimana memperoleh nilai konstanta ajaib terkecil dari suatu magic
labeling pada graf-graf tersebut.
Magic labeling tidak hanya dilakukan satu kali melainkan dilakukan
beberapa kali hingga diperoleh beberapa nilai konstanta ajaib. Semua nilai
konstanta ajaib tersebut akan diambil nilai konstanta ajaib terkecil yang mana nilai
konstanta ajaib terkecil yang didapat merupakan magic strength pada graf tersebut.
Graf Path Derajat 2n
Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Path
pada suatu graf G adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda. Graf berorder m ≥ 1 yang berbentuk path disebut graf path ber-order m, dituliskan Pm.
Berikut akan diperlihatkan contoh magic labeling untuk mencari magic strength
pada graf path P2n sebelum membuktikan teorema 1. Misalkan diberikan graf path
P6 dengan bentuk seperti pada Gambar 9.

8

P6 :
u1

u2

u3

u4

u5

u6

Gambar 9 Graf path P6.
Pada graf path P6 diatas terdapat 6 simpul dan 5 sisi sehingga kisaran nilai untuk
membantu memperoleh magic strength adalah
6 + 5 + 3 ≤ m(G) ≤ (2)(6) + (2)(5)
14 ≤ m(G) ≤ 22
Misalkan simpul-simpul dan sisi-sisi pada graf path P6 diberi 4 pelabelan yang
berbeda, yaitu untuk pelabelan pertama, misalnya
f(u1) = 10 f(u1u2) = 3
f(u2) = 4
f(u2u3) = 8
f(u3) = 5
f(u3u4) = 11
f(u4) = 1
f(u4u5) = 7
f(u5) = 9
f(u5u6) = 6
f(u6) = 2
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 10 + 4 + 3 = 17
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 4 + 5 + 8 = 17
f(u3) + f(u4) + f(u3u4) = 5 + 1 + 11 = 17
f(u4) + f(u5) + f(u4u5) = 1 + 9 + 7 = 17
f(u5) + f(u6) + f(u5u6) = 9 + 2 + 6 = 17
sehingga didapat nilai c(f) = 17 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (a).
Pelabelan kedua, misalnya
f(u1) = 6
f(u1u2) = 4
f(u2) = 8
f(u2u3) = 9
f(u3) = 1
f(u3u4) = 7
f(u4) = 10 f(u4u5) = 3
f(u5) = 5
f(u5u6) = 11
f(u6) = 2
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 6 + 8 + 4 = 18
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 8 + 1 + 9 = 18
f(u3) + f(u4) + f(u3u4) = 1 + 10 + 7 = 18
f(u4) + f(u5) + f(u4u5) = 10 + 5 + 3 = 18
f(u5) + f(u6) + f(u5u6) = 5 + 2 + 11 = 18
sehingga didapat nilai c(f) = 18 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (b).
Pelabelan ketiga, misalnya
f(u1) = 11 f(u1u2) = 1
f(u2) = 4
f(u2u3) = 10
f(u3) = 2
f(u3u4) = 9
f(u4) = 5
f(u4u5) = 8
f(u5) = 3
f(u5u6) = 6
f(u6) = 7

9

maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 11 + 4 + 1 = 16
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 4 + 2 + 10 = 16
f(u3) + f(u4) + f(u3u4) = 2 + 5 + 9 = 16
f(u4) + f(u5) + f(u4u5) = 5 + 3 + 8 = 16
f(u5) + f(u6) + f(u5u6) = 3 + 7 + 6 = 16
sehingga didapat nilai c(f) = 16 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (c).
Pelabelan keempat, misalnya
f(u1) = 1
f(u1u2) = 11
f(u2) = 4
f(u2u3) = 10
f(u3) = 2
f(u3u4) = 9
f(u4) = 5
f(u4u5) = 8
f(u5) = 3
f(u5u6) = 7
f(u6) = 6
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 1 + 4 + 11 = 16
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 4 + 2 + 10 = 16
f(u3) + f(u4) + f(u3u4) = 2 + 5 + 9 = 16
f(u4) + f(u5) + f(u4u5) = 5 + 3 + 8 = 16
f(u5) + f(u6) + f(u5u6) = 3 + 6 + 7 = 16
sehingga didapat nilai c(f) = 16 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (d).
(a)

4

10

8

3
(b)

8

6
4

(c)

1

11

11
7
6

8
3

5
9

2

3

5

2
10

5
3

9

10
4

1

7

2
6

7
10

2

4

11

9

1
11

9

1
(d)

5

8

6
7

Gambar 10 Magic labeling pada graf path P6.
Dari keempat pelabelan graf di atas, didapat nilai c(f) secara berturut-turut adalah
17, 18, 16, 16. Jadi, untuk magic strength dari graf P6, m(P6) = min
{17, 18, 16, 16 } = 16.
Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh magic labeling pada
graf path P2n. Berikut akan dibuktikan teorema 1 yang akan digunakan untuk
menentukan magic strength pada graf path P2n.

10

Teorema 1
Misalkan P2n adalah suatu graf path dengan n ϵ N. Nilai magic strength dari P2n
adalah m(P2n) = 5n + 1
Bukti :
Misalkan P2n adalah graf path dengan banyaknya simpul 2n maka P2n memiliki
|E(P2n)| = |V(P2n)| - 1 dengan |V(P2n)| = 2n. Akan dibuktikan m(P2n) = 5n + 1.
Pembuktian m(P2n) = 5n + 1 dilakukan dengan 2 tahap.
(i)

Akan dibuktikan m(P2n) ≥ 5n + 1. Misalkan P2n memiliki pelabelan
magic f dengan konstanta c(f) dan memiliki sisi sebanyak 2n – 1
dengan setiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya. Sehingga
jumlah konstanta yang diperoleh dari semua sisinya dapat dirumuskan
sebagai berikut.
c(f)
c(f)
c(f)
⁞
c(f)

=
=
=

ɛc(f)

=

=

f(v1)
f(v2)
f(v3)
⁞
f(vɛ)

f(v2)
f(v3)
f(v4)
⁞
f(vɛ + 1)

+
+
+
+

��

f(v1v2)
f(v2v3)
f(v3v4)
⁞
f(vɛvɛ + 1)

+
+
+
+

( ) ( )

+

��

Karena ɛ(P2n) = 2n – 1 , maka
(2n – 1) c(f)

=
=

2� – 1
� =2 2
2�
� =1

( � ) + f(v1) + f(v2n) +
2� – 1
� =1

( �) +

( �) +

Karena ɛ + v = 4n – 1 , maka
= (1 + 2 + … + 4n – 1) +
2� – 1
� =2

= (4n – 1) (2n) +
Sehingga,
c(f)

=

(4� – 1) (2�)
(2� – 1)

≥ 4n + 1 +

= 4n + 1 +

+
1

2� – 1
� =2

2� – 1
� =2

( �)

2� – 1
� =1

2� – 1
� =2

+

( �)

( �)

(2 + 3 + … + 2� – 1)
(2� – 1)

(1 + 2 + 3 + … + 2� – 1)
(2� – 1)

= (4n – 1) + 2 +

(1 + 2 + 3 + … + 2� – 2 + 2� – 1)

˃ (4n – 1) + 2 +

(1 + 2 + 3 + … + 2� – 2)

(2� – 1)

(2� – 1)

= (4n – 1) + 2 + (n – 1)
= 5n

( �)

( �)

(2� – 1)

(2� – 1)

( )

+

11

Akibatnya c(f) ˃ 5n
Sehingga c(f) ≥ 5n + 1
Karena m(P2n) merupakan nilai minimum dari semua kemungkinan
nilai c(f) maka m(P2n) pasti memenuhi ketaksamaan m(P2n) ≥ 5n + 1.
(ii)

Akan dibuktikan m(P2n) ≤ 5n + 1 dengan menunjukan eksistansi
konstanta c(f) pada graf P2n. Misalkan v1, v2, v3, …, v2n adalah simpul
terurut dari P2n dan e1, e2, e3, …, e2n-1 adalah sisi terurut dari P2n. Artinya,
ei = vivi+1 untuk 1 ≤ i ≤ 2n – 1. Pilih fungsi label :
f (v2i – 1) = i
untuk 1 ≤ i ≤ n,
f (v2i)
= n + i untuk 1 ≤ i ≤ n,
f (ei)
= 4n – i untuk 1 ≤ i ≤ 2n – 1.
Akibatnya diperoleh konstanta c(f) sebagai berikut.
c(f)
=
f(x)
+
f(y)
+
f(xy)
=
f (v2i – 1)
+
f (v2i) +
f (e2i - 1)
=
i
+
n+i +
4n – (2i – 1)
=
i
+
n+i +
4n – 2i + 1
=
5n + 1
Karena c(f) = 5n + 1 merupakan salah satu nilai konstanta ajaib yang
didapat maka m(P2n) ≤ 5n + 1.

Dari tahap (i) dan (ii) dapat dibuktikan m(P2n) ≤ 5n + 1 dan m(P2n) ≥ 5n + 1, maka
dapat diperoleh bahwa m(P2n) = 5n + 1. Dengan demikian dapat dibuktikan bahwa
setiap graf path P2n memiliki nilai magic strength yaitu 5n + 1.
■ Terbukti
Graf Path Derajat 2n + 1
Berikut akan diperlihatkan contoh magic labeling untuk memperoleh
magic strength pada graf path P2n+1 sebelum membuktikan teorema 2. Misalkan
diberikan graf path P7 dengan bentuk seperti pada Gambar 11.
P7 :
u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

Gambar 11 Graf path P7.
Pada graf path P7 diatas terdapat 7 simpul dan 6 sisi sehingga kisaran nilai untuk
membantu memperoleh magic strength adalah
7 + 6 + 3 ≤ m(G) ≤ (2)(7) + (2)(6)
16 ≤ m(G) ≤ 30

12

Misalkan simpul-simpul dan sisi-sisi pada graf path P7 diberi 4 pelabelan yang
berbeda, yaitu untuk pelabelan pertama, misalnya
f(u1) = 4
f(u1u2) = 13
f(u2) = 1
f(u2u3) = 12
f(u3) = 5
f(u3u4) = 11
f(u4) = 2
f(u4u5) = 10
f(u5) = 6
f(u5u6) = 9
f(u6) = 3
f(u6u7) = 8
f(u7) = 7
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 4 + 1 + 13 = 18
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 1 + 5 + 12 = 18
f(u3) + f(u4) + f(u3u4) = 5 + 2 + 11 = 18
f(u4) + f(u5) + f(u4u5) = 2 + 6 + 10 = 18
f(u5) + f(u6) + f(u5u6) = 6 + 3 + 9 = 18
f(u6) + f(u7) + f(u6u7) = 3 + 7 + 8 = 18
sehingga didapat nilai c(f) = 18 dan dapat digambarkan seperti Gambar 12 (a).
Pelabelan kedua, misalnya
f(u1) = 11 f(u1u2) = 2
f(u2) = 6
f(u2u3) = 12
f(u3) = 1
f(u3u4) = 13
f(u4) = 5
f(u4u5) = 10
f(u5) = 4
f(u5u6) = 8
f(u6) = 7
f(u6u7) = 9
f(u7) = 3
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 11 + 6 + 2 = 19
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 6 + 1 + 12 = 19
f(u3) + f(u4) + f(u3u4) = 1 + 5 + 13 = 19
f(u4) + f(u5) + f(u4u5) = 5 + 4 + 10 = 19
f(u5) + f(u6) + f(u5u6) = 4 + 7 + 8 = 19
f(u6) + f(u7) + f(u6u7) = 7 + 3 + 9 = 19
sehingga didapat nilai c(f) = 19 dan dapat digambarkan seperti Gambar 12 (b).
Pelabelan ketiga, misalnya
f(u1) = 1
f(u1u2) = 13
f(u2) = 5
f(u2u3) = 12
f(u3) = 2
f(u3u4) = 11
f(u4) = 6
f(u4u5) = 10
f(u5) = 3
f(u5u6) = 9
f(u6) = 7
f(u6u7) = 8
f(u7) = 4
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 1 + 5 + 13 = 19
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 5 + 2 + 12 = 19
f(u3) + f(u4) + f(u3u4) = 2 + 6 + 11 = 19

13

f(u4) + f(u5) + f(u4u5) = 6 + 3 + 10 = 19
f(u5) + f(u6) + f(u5u6) = 3 + 7 + 9 = 19
f(u6) + f(u7) + f(u6u7) = 7 + 4 + 8 = 19
sehingga didapat nilai c(f) = 19 dan dapat digambarkan seperti Gambar 12 (c).
Pelabelan keempat, misalnya
f(u1) = 6
f(u1u2) = 4
f(u2) = 10 f(u2u3) = 1
f(u3) = 9
f(u3u4) = 8
f(u4) = 3
f(u4u5) = 12
f(u5) = 5
f(u5u6) = 13
f(u6) = 2
f(u6u7) = 7
f(u7) = 11
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 6 + 10 + 4 = 20
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 10 + 9 + 1 = 20
f(u3) + f(u4) + f(u3u4) = 9 + 3 + 8 = 20
f(u4) + f(u5) + f(u4u5) = 3 + 5 + 12 = 20
f(u5) + f(u6) + f(u5u6) = 5 + 2 + 13 = 20
f(u6) + f(u7) + f(u6u7) = 2 + 11 + 7 = 20
sehingga didapat nilai c(f) = 16 dan dapat digambarkan seperti Gambar 12 (d).
(a)

4

1

(b)

11

12

6
4

6

9

10
1

4
10

11

12

3
9

7

4
8

9
5

12

8

8

10

7

7

3

3
8

9

10

13

3

6

5

2

5

1
13

(d)

1

6
2

(c)

11

12

13

2

5

11

2
13

7

Gambar 12 Magic labeling pada graf path P7.
Dari 4 pelabelan graf di atas, didapat nilai c(f) secara berturut-turut adalah 18, 19,
20, 20. Jadi, untuk magic strength dari graf P6, m(P6) = min{18, 19, 19, 20 } = 18.
Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh magic labeling pada
graf path P2n+1. Berikut akan dibuktikan teorema 2 yang akan digunakan untuk
menentukan magic strength pada graf path P2n+1.
Teorema 2
Misalkan P2n+1 adalah suatu graf path dengan n ϵ N. Nilai magic strength dari P2n+1
adalah m(P2n+1) = 5n + 3

14

Bukti :
Misalkan P2n+1 adalah graf path dengan banyaknya simpul 2n+1 maka P2n+1
memiliki |E(P2n+1)| = |V(P2n+1)| - 1 dengan |V(P2n+1)| = 2n+1.
Akan dibuktikan m(P2n+1) = 5n + 3. Pembuktian m(P2n+1) = 5n + 3 dilakukan
dengan 2 tahap.
(i)

Akan dibuktikan m(P2n+1) ≥ 5n + 3. Misalkan P2n+1 memiliki pelabelan
magic g dengan konstanta c(g) dan memiliki sisi sebanyak 2n dengan
setiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya. Sehingga jumlah
konstanta yang diperoleh dari semua sisinya dapat dirumuskan sebagai
berikut.
c(g) =
g(v1) +
g(v2)
+
g(v1v2)
c(g) =
g(v2) +
g(v3)
+
g(v2v3)
c(g) =
g(v3) +
g(v4)
+
g(v3v4)
⁞
⁞
⁞
⁞
c(g) =
g(vɛ) +
g(vɛ + 1)
+
g(vɛvɛ + 1) +
ɛc(g)

=

( ) ( )

��

+

��

Karena ɛ(P2n + 1) = 2n , maka
(2n) c(g)

=
=

2�
� =22

2� + 1
� =1

( � ) + g(v1) + g(v2n) +
2�
� =1

( �) +

( �) +

Karena ɛ + v = 4n + 1 , maka
= (1 + 2 + … + 4n + 1) +
2�
� =2

= (4n + 1) (2n + 1) +
Sehingga,
c(g)

=

(4� + 1) (2� + 1)
(2�)

≥ 4n + 3 +
= 4n + 3 +

1
(2�)

+

+

2�
� =2

2�
� =2

( �)

2�
� =1

2�
� =2

( )

( �)

( �)

( �)

( �)

(2� )

(2 + 3 + … + 2�)
(2�)

(1 + 2 + 3 + … + 2�)
(2�)

= (4n + 1) + 2 +

(1 + 2 + 3 + … + 2� – 1 + 2�)

˃ (4n + 1) + 2 +

(1 + 2 + 3 + … + 2� – 1)

(2� )

(2�)

1

= (4n + 1) + 2 + (n – )
2
= 5n +
Akibatnya c(g) ˃ 5n +

5
2

5
2

Sehingga c(g) ≥ 5n + 3
Karena m(P2n+1) merupakan nilai minimum dari semua kemungkinan
nilai c(g) maka m(P2n+1) pasti memenuhi ketaksamaan m(P2n+1) ≥ 5n +
3.

15

(ii)

Akan dibuktikan m(P2n+1) ≤ 5n + 3 dengan menunjukan eksistansi
konstanta c(g) pada graf P2n+1. Misalkan v1, v2, v3, …, v2n+1 adalah simpul
terurut dari P2n+1 dan e1, e2, e3, …, e2n adalah sisi terurut dari P2n+1.
Artinya, ei = vivi+1 untuk 1 ≤ i ≤ 2n. Pilih fungsi label :
g (v2i – 1) = i
untuk 1 ≤ i ≤ n,
g (v2i) = n + i
untuk 1 ≤ i ≤ n + 1,
g (ei) = 4n + 2 – i untuk 1 ≤ i ≤ 2n.
Akibatnya diperoleh konstanta c(g) sebagai berikut.
c(g)
=
g(x) +
g(y)
+
g(xy)
=
g (v2i) +
g (v2i - 1)
+
g (e2i - 1)
=
i
+
n+i
+
4n + 2 – (2i – 1)
=
i
+
n+i
+
4n + 2 – 2i + 1
=
5n + 3
Karena c(g) = 5n + 3 merupakan salah satu nilai konstanta ajaib yang
didapat maka m(P2n+1) ≤ 5n + 3.

Dari tahap (i) dan (ii) dapat dibuktikan m(P2n+1) ≤ 5n + 3 dan m(P2n+1) ≥ 5n + 3,
maka dapat diperoleh bahwa m(P2n+1) = 5n + 3. Dengan demikian dapat dibuktikan
bahwa setiap graf path P2n+1 memiliki nilai magic strength yaitu 5n + 3.
■ Terbukti
Graf Bistar Derajat n
Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Graf G
disebut graf bistar, dinotasikan Bn,n, jika pada graf G terdapat 2 salinan tree K1,n
dimana setiap tree K1,n terdiri dari 1 simpul pusat dan simpul cabang sebanyak n,
simpul pusat dari masing-masing tree K1,n dihubungkan oleh suatu sisi. Berikut
akan diperlihatkan contoh magic labeling untuk memperoleh magic strength pada
graf bistar Bn,n sebelum membuktikan teorema 3. Misalkan diberikan graf bistar
B5,5 dengan bentuk seperti pada Gambar 13.
B5,5 :

u1

v1
v2

u2
vv1

uu1

vv2

uu2
u

u3

uu3
uu4
u4
u5

uv

v

v3

vv3
vv4

uu5

vv5

v4
v5

Gambar 13 Graf bistar B5,5.

16

Pada graf bistar B5,5 diatas terdapat 12 simpul dan 11 sisi sehingga kisaran nilai
untuk membantu memperoleh magic strength adalah
12 + 11 + 3 ≤ m(G) ≤ (2)(12) + (2)(11)
26 ≤ m(G) ≤ 46
Misalkan simpul-simpul dan sisi-sisi pada graf bistar B5,5 diberi 2 pelabelan yang
berbeda, yaitu untuk pelabelan pertama, misalnya
f(u) = 7
f(uv) = 9
f(v) = 6
f(uu1) = 23
f(u1) = 1
f(uu2) = 22
f(u2) = 2
f(uu3) = 21
f(u3) = 3
f(uu4) = 20
f(u4) = 4
f(uu5) = 19
f(u5) = 5
f(vv1) = 12
f(v1) = 13 f(vv2) = 11
f(v2) = 14 f(vv3) = 10
f(v3) = 15 f(vv4) = 9
f(v4) = 16 f(vv5) = 8
f(v5) = 17
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u) + f(v) + f(uv) = 7 + 6 + 18 = 31
f(u) + f(u1) + f(uu1) = 7 + 1 + 23 = 31
f(u) + f(u2) + f(uu2) = 7 + 2 + 22 = 31
f(u) + f(u3) + f(uu3) = 7 + 3 + 21 = 31
f(u) + f(u4) + f(uu4) = 7 + 4 + 20 = 31
f(u) + f(u5) + f(uu5) = 7 + 5 + 19 = 31
f(v) + f(v1) + f(vv1) = 6 + 13 + 12 = 31
f(v) + f(v2) + f(vv2) = 6 + 14 + 11 = 31
f(v) + f(v3) + f(vv3) = 6 + 15 + 10 = 31
f(v) + f(v4) + f(vv4) = 6 + 16 + 9 = 31
f(v) + f(v5) + f(vv5) = 6 + 17 + 8 = 31
sehingga didapat nilai c(f) = 31 dan dapat digambarkan seperti Gambar 14 (a).
Pelabelan kedua, misalnya
f(u) = 1
f(uv) = 18
f(v) = 12 f(uu1) = 19
f(u1) = 11 f(uu2) = 20
f(u2) = 10 f(uu3) = 21
f(u3) = 9
f(uu4) = 22
f(u4) = 8
f(uu5) = 23
f(u5) = 7
f(vv1) = 13
f(v1) = 6
f(vv2) = 14
f(v2) = 5
f(vv3) = 15
f(v3) = 4
f(vv4) = 16
f(v4) = 3
f(vv5) = 17
f(v5) = 2

17

maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u) + f(v) + f(uv) = 1 + 12 + 18 = 31
f(u) + f(u1) + f(uu1) = 1 + 11 + 29 = 31
f(u) + f(u2) + f(uu2) = 1 + 10 + 20 = 31
f(u) + f(u3) + f(uu3) = 1 + 9 + 21 = 31
f(u) + f(u4) + f(uu4) = 1 + 8 + 22 = 31
f(u) + f(u5) + f(uu5) = 1 + 7 + 23 = 31
f(v) + f(v1) + f(vv1) = 12 + 6 + 13 = 31
f(v) + f(v2) + f(vv2) = 12 + 5 + 14 = 31
f(v) + f(v3) + f(vv3) = 12 + 4 + 15 = 31
f(v) + f(v4) + f(vv4) = 12 + 3 + 16 = 31
f(v) + f(v5) + f(vv5) = 12 + 2 + 17 = 31
sehingga didapat nilai c(f) = 31 dan dapat digambarkan seperti Gambar 14 (b).
(a)

1

13

23

12

14

2

11

22
7

3

21

6
18

20 19

9

8

16

4

(b)

5

17

11

6
5

10
19

13
14

20
1

9

18

12

4

15

21
22
8

15

10

23

17

16
3

2
7
Gambar 14 Magic labeling pada graf bistar B5,5.
Dari kedua pelabelan graf di atas, didapat nilai c(f) secara berturut-turut adalah 31
dan 31. Jadi, untuk magic strength dari graf bistar B5,5, m(B5,5) = min{31, 31} =
31.
Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh magic labeling pada
graf bistar Bn,n. Berikut akan dibuktikan teorema 3 yang akan digunakan untuk
menentukan magic strength pada graf bistar Bn,n.

18

Teorema 3
Misalkan Bn,n adalah suatu graf bistar dengan n ϵ N. Nilai magic strength dari Bn,n
adalah m(Bn,n) = 5n + 6
Bukti :
Misalkan Bn,n adalah graf bistar dengan banyaknya simpul 2n+2 maka Bn,n
memiliki |E(Bn,n)| = |V(Bn,n)| - 1 dengan |V(Bn,n)| = |V(K1,n)| + |V(K1,n)| = (n+1) +
(n+1) = 2n + 2. Akan dibuktikan m(Bn,n) = 5n + 6. Pembuktian m(Bn,n) = 5n + 6
dilakukan dengan 2 tahap.
(i)

Akan dibuktikan m(Bn,n) ≥ 5n + 6. Misalkan Bn,n memiliki pelabelan
magic f dengan konstanta c(f) dan memiliki sisi sebanyak 2n + 1
dengan setiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya. Sehingga
jumlah konstanta yang diperoleh dari semua sisinya dapat dirumuskan
sebagai berikut.
c(f)
=
f(u)
+
f(u1)
+
f(uu1)
c(f)
=
f(u)
+
f(u2)
+
f(uu2)
c(f)
=
f(u)
+
f(u3)
+
f(uu3)
⁞
⁞
⁞
⁞
c(f)
=
f(u)
+
f(un)
+
f(uun)
c(f)
=
f(v)
+
f(v1)
+
f(vv1)
c(f)
=
f(v)
+
f(v2)
+
f(vv2)
c(f)
=
f(v)
+
f(v3)
+
f(vv3)
⁞
⁞
⁞
⁞
c(f)
=
f(v)
+
f(vn)
+
f(vvn)
c(f)
=
f(u)
+
f(v)
+
f(uv) +
n c(f) + n c(f) + c(f)

= (n f(u) + n f(v) + f(u))
�
� =1
�
� =1

+ (
+ (
(n + n + 1) c(f)

(

= (n f(u) + f(u) +
+
+

ɛ c(f)

=

�
� =1
�
� =1

= (1 + n) f(u) +
+
+
=

�
� =1

�
� =1

�
� =1

(

�)

( �) +

+ (1 + n) f(v) +

�)

�)

+

�
� = 1 ( � ) + f(v))
�
� ) + f(uv))
� =1 (

�
� = 1 ( �)
+ ( ��= 1 (

+ n f(v) + f(v)

+ f(uv))

( ) ( )

�
� =1

( �) +
(

( � ))

��

Karena ɛ(Bn,n) = 2n + 1 , maka
(2n + 1) c(f)

( �) +

�)

+

( � ) + (1 + n) f(v)

�
� =1

(

i)

+ f(uv)
�
� =1

��

( � ) + (1 + n) f(u)
( )

��

( )

19

=

�
� =1

+ n f(v) +

�
� =1

= f(u) +

+ n f(v) +
=

�
� =1

( �) +

( )

��

�
� =1

( � ) + f(v) +
( )

��

( ) +

��

( � ) + f(u) + n f(u) + f(v)

��

( � ) + n f(u)

( ) + n f(u) + n f(v)

Karena ɛ + v = 4n + 3 , maka
= (1 + 2 + … + 4n + 3) + n f(u) + n f(v)
=

(4� + 3) (4� + 4)
2

Sehingga,
c(f)
=

+ n f(u) + n f(v)

(4� + 3) (4� + 4)
2 (2� + 1)
(4� + 3) (4� + 4)

=

(4� + 2)

=

4n + 5 +

=

4n + 5 +

=

4n + 5 +

+

(� ( ) + � ( ))

+

� ( ( ) + ( ))

2
(4� + 2)
1
(2� + 1)

(2� + 1)

(2� + 1)

+

� ( ( ) + ( ))

+

� ( ( ) + ( ))

(2� + 1)

(2� + 1)

1 + � ( ( ) + ( ))
(2� + 1)

Karena c(f) merupakan bilangan bilangan bulat,
1 + � ( ( ) + ( ))
maka
juga merupakan bilangan
(2� + 1)

bulat sehingga

1 + � ( ( ) + ( )) ≡ 0 mod (2n+1)
menjadi,

� ( ( ) + ( ))
( )+ ( )

≡ 2n mod (2n + 1)
≡ (2n) (n-1) mod (2n + 1)

Karena
n x (2n - 1)

≡ 1 mod (2n + 1)

maka
n-1

≡ (2n - 1) mod (2n + 1)

sehingga mengakibatkan,
( )+ ( )

≡ (2n) (2n - 1) mod (2n + 1)

( )+ ( )

≡ (4n2 - 2n) mod (2n + 1)

( )+ ( )

≡ 2 mod (2n + 1)

20

maka

( ) + ( ) ≥ 2n + 3

Sehingga c(f) ≥ 4n + 5 +

� (2� + 3) + 1
(2� + 1)

= 5n + 6

Karena m(Bn,n) merupakan nilai minimum dari semua kemungkinan
nilai c(f) maka m(Bn,n) pasti memenuhi ketaksamaan m(Bn,n) ≥ 5n + 6.
(ii)

Akan dibuktikan m(Bn,n) ≤ 5n + 6 dengan menunjukan eksistansi
konstanta c(f) pada graf Bn,n. Misalkan u, v, u1, u2, . . . , un, v1, v2, . . . . .
. . , vn adalah simpul terurut dari Bn,n dan uv, uu1, uu2, . . . , uun, vv1, vv2,
. . . , vvn adalah sisi terurut dari Bn,n. Pilih fungsi label :
f (u) = n + 2,
f (v) = n + 1,
f (uv) = 3n + 3,
f (ui) = i
untuk 1 ≤ i ≤ n,
f (vi) = 2n + 2 + i untuk 1 ≤ i ≤ n,
f (uui) = 4n + 4 – i untuk 1 ≤ i ≤ n,
f (vvi) = 2n + 3 – i untuk 1 ≤ i ≤ n.
Akibatnya diperoleh konstanta c(f) sebagai berikut.
untuk u dan ui yang adjacent di K1,n dan uui incident dengan u dan ui ,
maka
c1(f)

=
f(x)
+
=
f (u) +
=
n+2 +
=
5n + 6
untuk v dan vi yang adjacent di
maka

f(y)
f (ui)
i

+
+
+

f(xy)
f (uui)
4n + 4 – i

K1,n dan vvi incident dengan v dan vi ,

c2(f)

=
f(x)
+
f(y)
+
f(xy)
=
f (v) +
f (vi)
+
f (vvi)
=
n+1 +
2n + 2 + i
+
2n + 3 – i
=
5n + 6
untuk u dan v adjacent di Bn,n dan uv incident dengan u dan v, maka
c3(f)

=
f(x)
+
f(y)
+
f(xy)
=
f (u) +
f (v) +
f (uv)
=
n+2 +
n+1 +
3n + 3
=
5n + 6
Karena setiap graf terhubung di Bn,n memiliki nilai c(f) = 5n + 6 yang
merupakan salah satu nilai konstanta ajaib yang didapat maka m(Bn,n)
≤ 5n + 6.

Dari tahap (i) dan (ii) dapat dibuktikan m(Bn,n) ≤ 5n + 6 dan m(Bn,n) ≥ 5n + 6, maka
dapat diperoleh bahwa m(Bn,n) = 5n + 6. Dengan demikian dapat dibuktikan bahwa
setiap graf bistar Bn,n memiliki nilai magic strength yaitu 5n + 6.
■ Terbukti

21

Graf Cycle Derajat 2n + 1
Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Graf G
disebut graf cycle, dinotasikan Cm, jika graf G ber-order m dengan m ≥ 3 dan
membentuk sebuah cycle. Berikut akan diperlihatkan contoh magic labeling untuk
memperoleh magic strength pada graf cycle C2n+1 sebelum membuktikan teorema
4. Misalkan diberikan graf cycle C3 dengan bentuk seperti pada Gambar 15.
C3 :

u1

u3

u2

Gambar 15 Graf cycle C3.
Pada graf cycle C3 diatas terdapat 3 simpul dan 3 sisi sehingga kisaran nilai untuk
membantu memperoleh magic strength adalah
3 + 3 + 3 ≤ m(G) ≤ (2)(3) + (2)(3)
9 ≤ m(G) ≤ 12
Misalkan simpul-simpul dan sisi-sisi pada graf cycle C3 diberi 4 pelabelan yang
berbeda, yaitu untuk pelabelan pertama, misalnya
f(u1) = 6
f(u1u2) = 1
f(u2) = 5
f(u2u3) = 3
f(u3) = 4
f(u3u1) = 2
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 6 + 5 + 1 = 12
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 5 + 4 + 3 = 12
f(u3) + f(u1) + f(u3u1) = 4 + 6 + 2 = 12
sehingga didapat nilai c(f) = 12 dan dapat digambarkan seperti Gambar 16 (a).
Pelabelan kedua, misalnya
f(u1) = 5
f(u1u2) = 2
f(u2) = 3
f(u2u3) = 6
f(u3) = 1
f(u3u1) = 4
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 5 + 3 + 2 = 10
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 3 + 1 + 6 = 10
f(u3) + f(u1) + f(u3u1) = 1 + 5 + 4 = 10
sehingga didapat nilai c(f) = 10 dan dapat digambarkan seperti Gambar 16 (b).
Pelabelan ketiga, misalnya
f(u1) = 3
f(u1u2) = 4
f(u2) = 2
f(u2u3) = 6
f(u3) = 1
f(u3u1) = 5

22

maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 3 + 2 + 4 = 9
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 2 + 1 + 6 = 9
f(u3) + f(u1) + f(u3u1) = 1 + 3 + 5 = 9
sehingga didapat nilai c(f) = 9 dan dapat digambarkan seperti Gambar 16 (c).
Pelabelan keempat, misalnya
f(u1) = 4
f(u1u2) = 5
f(u2) = 2
f(u2u3) = 3
f(u3) = 6
f(u3u1) = 1
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2
simpul ujungnya :
f(u1) + f(u2) + f(u1u2) = 4 + 2 + 5 = 11
f(u2) + f(u3) + f(u2u3) = 2 + 6 + 3 = 11
f(u3) + f(u1) + f(u3u1) = 6 + 4 + 1 = 11
sehingga didapat nilai c(f) = 11 dan dapat digambarkan seperti Gambar 16 (d).
(a)

6
2
4

1
5

3

(b)

5
4
1

2
3

6

(c)

3
4

5
1

2

6

(d)

4
1

5

6

2
3
Gambar 16 Magic labeling pada graf cycle C3.
Dari 4 pelabelan graf di atas, didapat nilai c(f) secara berturut-turut adalah 12, 10,
9, 11. Jadi, untuk magic strength dari graf cycle C3, m(C3) = min{12, 10, 9, 11} =
9.

23

Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh magic labeling pada
graf cycle C2n+1. Berikut akan dibuktikan teorema 4 yang akan digunakan untuk
menentukan magic strength pada graf cycle C2n+1.
Teorema 4
Misalkan C2n + 1 adalah suatu graf cycle dengan n ϵ N. Nilai magic strength dari
C2n + 1 adalah m(C2n + 1) = 5n + 4
Bukti :
Misalkan C2n + 1 adalah graf cycle dengan banyaknya simpul 2n+1 maka C2n+1
memiliki |E(C2n+1)| = |V(C2n+1)| dengan |V(C2n+1)| = 2n+1. Akan dibuktikan
m(C2n+1) = 5n + 4. Pembuktian m(C2n+1) = 5n + 4 dilakukan dengan 2 tahap.
(i)

Akan dibuktikan m(C2n + 1) ≥ 5n + 4. Misalkan C2n+1 memiliki pelabelan
magic g dengan konstanta c(g) dan memiliki sisi sebanyak 2n + 1
dengan setiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya. Sehingga
jumlah konstanta yang diperoleh dari semua sisinya dapat dirumuskan
sebagai berikut.
c(g) =
g(v1) +
g(v2) +
g(v1v2)
c(g) =
g(v2) +
g(v3) +
g(v2v3)
c(g) =
g(v3) +
g(v4) +
g(v3v4)
⁞
⁞
⁞
⁞
g(vɛ - 1) +
g(vɛ) +
g(vɛ - 1vɛ)
c(g) =
c(g) =
g(vɛ) +
g(v1) +
g(vɛv1) +
ɛc(g)

=

( )

��

+

��

Karena ɛ(C2n + 1) = 2n + 1 , maka
(2n + 1) c(g)

=
=

��

( )+

2� + 1
� =1

( �) +

��

( )

( )
2� + 1
� =1

( �) +

Karena ɛ + v = 4n + 2 , maka
= (1 + 2 + … + 4n + 2) +
≥

(4� + 2)(4� + 3)
2

��

��

( )

( )

+ (1 + 2 + … + 2n + 1)

= (2n + 1) (4n + 3) + (2n + 1) (n + 1)
= ((4n + 3) + (n + 1)) (2n + 1)
= (2n + 1) (5n + 4)
Akibatnya (2n + 1) c(g) ≥ (2n + 1) (5n + 4)
Sehingga
c(g) ≥ 5n + 4
Karena m(C2n+1) merupakan nilai minimum dari semua kemungkinan
nilai c(g) maka m(C2n+1) pasti memenuhi ketaksamaan m(C2n+1) ≥ 5n +
4.

24

(ii)

Akan dibuktikan m(C2n + 1) ≤ 5n + 4 dengan menunjukan eksistansi
konstanta c(g) pada graf C2n + 1. Misalkan v1, v2, v3, …, v2n+1 adalah
simpul terurut dari C2n+1 dan e1, e2, e3, …, e2n+1 adalah sisi terurut dari
C2n+1. Artinya, ei = vivi+1 untuk 1 ≤ i ≤ 2n - 1. Kemudian pilih fungsi
label dimana fungsi label berikut adalah magic labeling dari C2n+1 :
g (v2i+1) = 1 + i
untuk 0 ≤ i ≤ n,
g (v2i+2) = n + i + 2
untuk 0 ≤ i ≤ n - 1,
g (vi+1vi+2) = 4n + 2 – (i + 1)
untuk 0 ≤ i ≤ 2n – 1,
g (v2n+1v1) = 4n + 2.
Akibatnya diperoleh konstanta c(g) sebagai berikut.
c(g)
=
g(x)
+ g(y)
+ g(xy)
=
g (v2i + 1) + g (v2i + 2) + g (v2i + 1v2i + 2)
=
1+i
+ n + i + 2 + 4n + 2 – (2i + 1)
=
5n + 4
Untuk v2n + 1v1
c(g)

=
g(x)
+
g(y)
+
g(xy)
=
g (v2n + 1)
+
g (v1)
+
g (v2n + 1v1)
=
1+n
+
1
+
4n + 2
=
5n + 4
Karena c(g) = 5n + 4 maka nilai minimum dari semua kemungkinan
nilai c(g) akan kurang atau sama dengan 5n + 4.
Dari tahap (i) dan (ii) dapat dibuktikan m(C2n+1) ≤ 5n + 4 dan m(C2n+1) ≥ 5n + 4,
maka dapat diperoleh bahwa m(C2n+1) = 5n + 4. Dengan demikian dapat dibuktikan
bahwa setiap graf cycle C2n+1 memiliki nilai magic strength yaitu 5n + 4.
■ Terbukti

SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dalam karya ilmiah ini telah dibuktikan bahwa graf path Pn, graf bistar Bn,n,
dan graf cycle C2n+1 memiliki nilai konstanta ajaib terkecil (magic strength).
Adapun nilai konstanta dari graf path Pn, graf bistar Bn,n, dan graf cycle C2n+1
bergantung pada degree dari suatu simpul v pada graf-graf tersebut.
Saran
Dalam karya ilmiah ini telah dibahas magic strength pada suatu graf yang
difokuskan pada graf path Pn, graf n-bistar Bn,n, dan graf cycle C2n+1. Bagi yang
berminat membuat karya ilmiah yang berhubungan dengan magic strength dapat
mencari super magic strength pada graf path, graf star, graf cycle atau pada graf
lainnya.

25

DAFTAR PUSTAKA
Avadayappan S, Vasuki R, Jeyanthi P. 2000. Magic Strength of A Graph. Indian J.
Pure Appl. Math. 31(7):873-883.
Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New
York: McGraw-Hill.
Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York: Spinger-Verlag.
Gallian JA. 2009. A dynamic survey of graph labeling. The Electronic Journal
Combinatorics 16:7-65.

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 24 Agustus 1990 dari pasangan
Bapak Sukino Riyanto dan Ibu Isnaningsih. Penulis merupakan putra ketiga dari
tiga bersaudara. Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 44 Jakarta dan pada
tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB)
melalui jalur Penelusuran Minat dan Kemampuan (PMDK) dan diterima di
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah aktif sebagai Ketua Biro
Found Rising Departemen Keuangan LDK Al-Hurriyah, Ketua Divisi Sosial dan
Politik Dewan Perwakilan Mahasiswa (DPM) FMIPA IPB dan Ketua Umum
Dewan Perwakilan Mahasiswa (DPM) FMIPA IPB. Selain itu, penulis aktif dalam
berbagai kepanitiaan, diantaranya panitia Open House IPB, Masa Perkenalan
Kampus Mahasiswa Baru (MPKMB), Masa Perkenalan Fakultas (MPF), dan Masa
Perkenalan Departemen (MPD). Penulis juga aktif sebagai staf pengajar
matematika di beberapa bimbingan belajar wilayah Bogor dan Bekasi pada tahun
2012-2013.