Analisis model pertumbuhan penduduk stabil dan kuasi-stabil
ANALISIS MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK STABIL
DAN KUASI-STABIL
IKHSAN DIKA HANGGARA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Model
Pertumbuhan Penduduk Stabil dan Kuasi-Stabil adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal
atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar
Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada
Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2014
Ikhsan Dika Hanggara
NIM G54070071
ABSTRAK
IKHSAN DIKA HANGGARA. Analisis Model Pertumbuhan
Penduduk Stabil dan Kuasi-Stabil. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan
RETNO BUDIARTI.
Model pertumbuhan penduduk merupakan hal yang penting dalam
mengantisipasi persoalan ekonomi, social, dan politik dalam suatu bangsa
yang diakibatkan oleh perubahan jumlah penduduk. Perubahan jumlah
penduduk dapat dipengaruhi oleh faktor fertilitas, mortalitas , dan migrasi.
Karya ilmiah ini bertujuan untuk memodelkan pertumbuhan penduduk stabil
dan kuasi-stabil lalu mengaplikasikannya dalam penduduk Indonesia tahun
2000, 2005 dan 2010. Hasil proyeksi akan dibandingkan dengan data sensus
lalu akan diperoleh nilai galatnya.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa model kuasi-stabil dengan
adanya faktor perbaikan kematian lebih baik daripada model stabil.
Berdasarkan model kuasi-stabil hasil proyeksi penduduk Indonesia tahun
2015 sebesar 255,236,560.
Keywords : pertumbuhan penduduk, kuasi-stabil, fertilitas, mortalitas.
ABSTRACT
IKHSAN DIKA HANGGARA. Analysis of Stable and Quasi-Stable
Population Growth Models. Supervised by HADI SUMARNO and
RETNO BUDIARTI.
Model of population growth is essential to anticipate problems in the
economic, social and political in a nation that affected by the change of
population. Changes in a population can be affected by factors of fertility,
mortality, and migration. This paper aims to model stable and quasi-stable
population growth and then applies these models to population of Indonesia
for 2000, 2005 and 2010. The projection results is compared to the census
data and then error value will be obtained.
The results showed that the quasi-stable model with mortality
improvement factor is better than the stable model. Based on the quasistable model, prediction of population of Indonesia in 2015 is 255,236,560.
Keywords: population growth, quasi-stable, fertility, mortality
ANALISIS MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK STABIL
DAN KUASI-STABIL
IKHSAN DIKA HANGGARA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULATAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Analisis Model Pertumbuhan Penduduk Stabil dan Kuasi-Stabil
Nama
: Ikhsan Dika Hanggara
NIM
: G54070071
Disetujui
Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Pembimbing I
Ir Retno Budiarti, MS
Pembimbing II
Diketahui
Dr Toni Bakhtiar, M Sc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus : ………………………………
PRAKATA
Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas
limpahan rahmat dan karuia-Nya, sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurah kepada
junjungan kita Nabi besar Muhammad SAW beserta keluarga. Penyusunan
karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu
penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluarga tercinta: Ibu dan Bapak (terima kasih atas doa, cinta, kasih
sayang, nasehat, didikan dan motivasinya), kakak, adik, ponakan, dan
seluruh keluarga keluarga besar bapak maupun ibu (terima kasih atas
dukungan, hiburan dan motivasinya).
2. Bpk Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen Pembimbing I, Ibu Ir.
Retno Budiarti, MS selaku dosen Pembimbing II dan Bpk Dr. Paian
Sianturi, MS selaku dosen penguji (terima kasih atas segala ilmu,
nasehat, arahan serta bimbingan yang diberikan selama penyusunan
karya ilmiah ini).
3. Segenap dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu
dan nasehat yang telah diberikan).
4. Seluruh staf Departemen Matematika IPB (terima kasih atas segala
pelayanan dan bantuan yang diberikan).
5. Teman-teman Matematika angkatan 44: Iip, Lukman, Puying, Oli, Aqil,
Ikhsan, Pepi, Yogi, Iam, Eka, Aswin, Ayum, Ririh, Indin, Yuli, Wahyu,
Endro, Ruhy, Ucu, Selvy, Yuyun, Titi, Deva, Wewe, Fikri, Sri, Fajar,
Mutia, Rachma, Ayung, Cita, Tanty, Arina, Devi, Titi, Resha, Sari,
Anis, Lilis, Imam, Aze, Ali, Zae, Tandhy, Tyas, Ima, Dora, Nunuy,
Siska, Tita dan lainnya (terima kasih atas dukungan, do’a, semangat dan
kebersamaannya).
6. Pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang
tidak dapat disebutkan satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.
Bogor, Agustus 2014
Ikhsan Dika Hanggara
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
METODE
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
Model Penduduk Stabil
6
Model Penduduk Kuasi-Stabil
11
Aplikasi Model Penduduk Stabil
13
Aplikasi Model Penduduk Kuasi-Stabil
14
SIMPULAN DAN SARAN
16
Simpulan
16
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL
1. Nilai galat pada setiap model
19
DAFTAR GAMBAR
1. Proyeksi model penduduk stabil
14
2. Proyeksi model penduduk kuasi-stabil
15
DAFTAR LAMPIRAN
1. Bukti Persamaan 15
19
2. Tabel Penduduk Indonesia tahun 2000
20
3. Tabel Penduduk Indonesia tahun 2010
21
4. Tabel Penduduk Indonesia tahun 2005
22
5. Tabel Nilai k
23
6. Nilai regresi k
24
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Orang pertama yang mengemukakan teori mengenai penduduk adalah
Thomas Robert Malthus yang hidup pada tahun 1886-1824. Pada Essay on
Population tahun 1798 Malthus mengemukakan dua pokok pendapatnya
yaitu penduduk dan bahan makanan adalah penting bagi kehidupan
manusia, dan napsu manusia tidak dapat tertahan dan tidak terbatas atas dua
hal tersebut. Dia mengemukakan pendapatnya bahwa pertumbuhan
penduduk jauh lebih cepat dari pertumbuhan bahan makanan. Dalil yang
dikemukakan Malthus yaitu jumlah penduduk meningkat secara geometrik
(deret ukur) sedangkan kebutuhan hidup kian meningkat secara aritmatika
(deret hitung), akibatnya pada suatu saat akan terjadi perbedaan yang besar
antara jumlah penduduk dan kebutuhan hidup.
Selain meningkatnya kebutuhan hidup akibat pertumbuhan penduduk,
pertumbuhan penduduk juga dapat berdampak terhadap ekonomi sosial dan
politik. Tingkat pertumbuhan penduduk seperti itu dipengaruhi oleh tiga
faktor utama yaitu: kelahiran (fertilitas), kematian (mortalitas), dan
perpindahan penduduk (migrasi). Peristiwa kelahiran di suatu daerah
menyebabkan perubahan jumlah dan komposisi penduduk, sedangkan
peristiwa kematian dapat menambah maupun mengurangi jumlah penduduk
di suatu daerah. Mengurangi bagi yang ditinggalkan dan menambah bagi
daerah yang didatangi. Selain penyebab langsung seperti kelahiran,
kematian dan migrasi terdapat penyebab tidak langsung seperti keadaan
sosial, ekonomi, budaya, lingkungan, dan politik. Pertumbuhan penduduk
seperti dikemukakan di atas dapat dikatakan terlalu tinggi karena dapat
menimbulkan berbagai persoalan. Oleh karena itu diperlukan sebuah model
untuk menggambarkan pertumbuhan penduduk yang terjadi.
Pada negara-negara yang sedang berkembang biasanya mereka
mengalami fase transisi demografi di mana angka kelahiran masih tinggi
sementara angka kematian telah menurun. Kedua hal ini disebabkan karena
kemajuan pelayanan kesehatan yang menurunkan angka kematian balita dan
angka tahun harapan hidup. Ini terjadi pada fase kedua dan ketiga dalam
proses kependudukan. Dhawie (2011) menyebutkan bahwa umumnya ada
empat tahap proses transisi yaitu:
Tahap 1: Masyarakat pra-industri, di mana angka kelahiran tinggi dan
angka kematian tinggi menghasilkan laju pertambahan penduduk
rendah.
Tahap 2: Tahap pembangunan awal, di mana kemajuan dan pelayanan
kesehatan yang lebih baik menghasilkan penurunan angka
kelahiran. Laju pertumbuhan penduduk naik.
Tahap 3: Tahap pembangunan lanjut, di mana terjadi penurunan angka
kematian balita, urbanisasi, dan kemajuan pendidikan
mendorong banyak pasangan muda berumah tangga
menginginkan jumlah anak lebih sedikit hingga menurunkan
1
2
angka kelahiran. Pada tahap ini laju pertambahan penduduk
mungkin masih tinggi tetapi sudah mulai menurun.
Tahap 4: Kemantapan dan stabil, di mana pasangan-pasangan berumah
tangga melaksanakan pembatasan kelahiran dan mereka
cenderung bekerja di luar rumah. Banyaknya anak cenderung
hanya 2 atau 3 saja hingga angka pertambahan penduduk sangat
rendah atau bahkan mendekati nol.
Tujuan Penelitian
Tujuan utama dari penelitian ini adalah melakukan analisis pada model
pertumbuhan penduduk. Secara spesifik adalah sebagai berikut:
1. Memodelkan penduduk stabil.
2. Memodelkan penduduk kuasi-stabil.
3. Mengaplikasikan model pada penduduk Indonesia.
TINJAUAN PUSTAKA
FERTILITAS
Fertilitas merupakan indikator reproduksi dari seorang wanita atau
sekelompok individu yang pada umumnya dikenakan pada seorang wanita
atau sekelompok wanita.
Dalam ilmu demografi terdapat beberapa ukuran fertilitas, berikut
beberapa ukuran fertilitas yang dikenalkan oleh Brown (1997).
Crude Birth Rate (CBR) atau angka kelahiran kasar, merupakan
ukuran kelahiran yang sering digunakan, CBR dapat dihitung dengan cara:
,
dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan P(t)
merupakan jumlah penduduk pada waktu t.
Pada CBR ini jumlah kelahiran tidak dikaitkan langsung dengan
penduduk wanita, melainkan dikaitkan dengan jumlah penduduk secara
keseluruhan. Untuk itu, diperlukan ukuran fertilitas yang lebih spesifik yaitu
General Fertility Rate (GFR) yang merupakan rasio jumlah kelahiran hidup
terhadap jumlah wanita umur reproduksi. Umur Reproduksi adalah umur di
mana wanita masih dapat hamil dan melahirkan bayi.
,
dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan
merupakan jumlah penduduk wanita umur reproduksi pada waktu t.
Rasio Anak-Wanita (Child-Woman Ratio) merupakan ukuran fertilitas
yang diperoleh dari sensus penduduk (Palmore 1978, diacu dalam Hadi
2008), CWR ini dinyatakan dengan rasio jumlah anak umur selang [c,d]
tahun terhadap wanita umur reproduksi selang[h,k] tahun dinyatakan dalam
rumus:
3
,
,
,
dengan
merupakan jumlah penduduk selang umur [c,d] tahun dan
,
merupakan jumlah penduduk wanita selang umur reproduksi [h,k]
,
tahun.
Ukuran fertilitas selanjutnya adalah Age-Specific Fertilty Rate (ASFR)
merupakan ukuran fertilitas pada wanita umur tertentu. Fakta empiris
menunjukkan bahwa jumlah kelahiran selama jangka waktu tertentu
bervariasi menurut umur ibu.
,
dengan
merupakan jumlah kelahiran hidup dari wanita usia x pada
waktu t dan
merupakan jumlah penduduk wanita umur x pada waktu
t, atau juga dapat ditulis:
,
dengan adalah tingkat fertilitas wanita umur x pada waktu t.
Sebagai total dari ukuran fertilitas ASFR di atas, maka Total Fertility
Rate (TFR) dapat dinyatakan sebagai:
,
dengan h dan k merupakan batas bawah dan batas atas umur wanita
reproduksi.
Jika ukuran-ukuran fertilitas di atas tidak membedakan jenis kelamin
bayi maka ukuran reproduksi hanya memperhatikan bayi wanita yang secara
langsung bertalian dengan pergantian generasi. Dalam hal ini dikenal dua
ukuran reproduksi, yaitu Gross reproduction Rate (GRR) dan Net
Reproduction Rate (NRR). Gross Reproduction rate (GRR) ini menyatakan
tingkat reproduksi kasar yang tidak memperhatikan unsur kematian. GRR
didefinisikan:
,
,
,
merupakan tingkat fertilitas wanita umur x terhadap bayi
dengan
wanita (w) pada waktu t.
Sedangkan Net Reproduction Rate (NRR) merupakan ukuran
reproduksi yang memperhitungkan unsur kematian, yaitu laju kematian
sesaat (μ ) sehingga NRR menyatakan tingkat reproduksi bersih dari wanita
selama masa reproduksinya. Hal ini berdasarkan fakta bahwa terdapat
peluang wanita meninggal sebelum ia mengakhiri masa reproduksinya.
Dengan demikian NRR dapat dinyatakan sebagai:
,
.
4
merupakan peluang bayi wanita hidup sampai umur x. Secara
dengan
umum, populasi akan bertambah, menuju stabil, atau berkurang, bergantung
apakah NRR lebih besar, sama, atau bahkan kurang dari. NRR merupakan
sebuah ukuran pertumbuhan dari suatu populasi tanpa memperhitungkan
perpindahan penduduk.
MORTALITAS
Mortalitas merupakan tingkat kematian dari suatu kelompok individu.
berikut beberapa ukuran mortalitas yang dikenalkan oleh Brown (1997).
Crude Death Rate (CDR) atau dengan kata lain perkiraan angka
kematian secara kasar merupakan suatu ukuran kematian yang sering
digunakan, adapun cara perhitungannya sebagai berikut:
,
dengan
merupakan jumlah kematian dalam jangka waktu t dan P(t)
merupakan jumlah populasi penduduk yang diambil dalam suatu waktu
dalam jangka waktu t,
Spesific Mortality Rates merupakan ukuran mortalitas yang lebih
spesifik bila dibandingkan dengan CDR. Karena dalam ukuran mortalitas ini
mempertimbangkan umur, maka
,
dengan
merupakan tingkat mortalitas umur x pada waktu t,
merupakan jumlah kematian pada usia x dalam jangka waktu t, dan
adalah banyaknya penduduk usia x dalam jangka waktu t.
The Force of Mortality atau laju kematian sesaat merupakan suatu
ukuran tingkat kematian bagi penduduk tepat umur x dan dinotasikan
dengan
,
dengan
merupakan peluang kematian seseorang yang hidup tepat pada
umur x dan akan mati sebelum mencapai umur x+n,
merupakan
perbandingan antara jumlah rata-rata orang yang hidup dengan jumlah ratarata orang yang mati dari umur x hingga umur x+n,
merupakan tingkat
mortalitas umur x pada waktu t.
Jika periode waktu
diubah untuk interval yang pendek dari umur
∆ maka laju kematian penduduk tepat umur x adalah
5
∆
∆
,
dengan
adalah banyaknya orang yang bertahan hidup dari lahir hingga
umur x, dan
.
Jika diasumsikan ∆
maka limit
lim
adalah:
lim
∆
lim
∆
lim
∆
∆
∆
∆
.
.
ln
METODE PENELITIAN
1. Sumber Data
Data penduduk Indonesia yang digunakan merupakan data yang
diperoleh dari BPS untuk penduduk tahun 2000, 2005, dan 2010.
2. Langkah langkah penelitian
a. Mengkaji model stabil dan kuasi-stabil
b. Dapat melakukan simulasi model kuasi-stabil
c. Aplikasi model pada penduduk Indonesia
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemodelan sistem merupakan kumpulan aktivitas dalam pembuatan
model di mana model merupakan perwakilan atau abstraksi dari sebuah
obyek atau situasi aktual sutau penyederhanaan dari suatu realitas yang
kompleks.
Model Pertumbuhan Penduduk
Ada beberapa model pertumbuhan penduduk dalam proyeksi
penduduk, di antaranya model penduduk stasioner, model penduduk stabil,
model penduduk kuasi-stabil dan metode komponen cohort. Model
6
penduduk stasioner merupakan suatu model penduduk di mana jumlah
penduduk dianggap konstan sepanjang tahun dengan asumsi tingkat
kelahiran sama dengan tingkat kematian, serta migrasi masuk sama dengan
migrasi keluar. Model matematis dari penduduk stasioner ini dapat
dinyatakan sebagai :
.
Artinya jumlah penduduk pada waktu t+n sama dengan jumlah penduduk
dengan waktu ke t, dengan t=1,2,3,….
Pada model komponen cohort jumlah penduduk berubah sesuai
dengan pertumbuhan penduduk dengan asumsi bahwa tingkat mortalitas dan
fertilitas berubah.
Model Penduduk Stabil
Jika B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t)dt
merupakan jumlah kelahiran dalm selang waktu sangat pendek yaitu t ke
t+dt, maka jumlah kelahiran bayi dalam satu tahun adalah:
.
(1)
Misalkan B(t) menyatakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan
B(t+n) merupakan jumlah kelahiran dalam selang waktu dari t ke t+n
dengan asumsi laju pertumbuhan jumlah bayi sebanding dengan jumlah bayi
sebelumnya maka diperoleh formula bagi (b+n) sebagai berikut:
di mana
Bukti:
,
adalah laju kelahiran bayi,
∆
lim
∆
ln
ln
, dan
∆
∆
∆
I
(2)
I
∆
∆
adalah waktu.
7
Bukti tersebut menunjukkan bahwa jumlah kelahiran per tahun
dipengaruhi oleh laju kelahiran bayi . Jika
adalah laju kelahiran bayi
per tahun maka laju pertumbuhan penduduk pada penduduk stabil adalah
sama dengan laju kelahiran bayi.
Bukti:
Misalkan P(t) merupkan jumlah penduduk pada waktu t, dan B(t)
merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t, berdasarkan persamaan
(2) maka jumlah kelahiran pada waktu t-x adalah:
,
(3)
Dan jumlah penduduk yang lahir pada waktu t-x (bayi umur nol)
sampai umur x pada waktu t adalah B(t-x)S(x), dengan S(x) adalah peluang
bayi hidup sampai umur x. Jumlah penduduk yang hidup pada selang waktu
t ke t+dt adalah jumlah bayi yang lahir pada waktu t-x dikalikan dengan
peluang bayi hidup sampai umur x, dan dinyatakan dalam persamaan
sebagai berikut:
,
(4)
Dengan demikian total penduduk wanita pada waktu t adalah
.
(5)
Dan total penduduk wanita pada waktu t+n adalah:
.
(6)
S(x) pada persamaan (5) sama dengan S(x) pada persamaan (6) dan
dari persamaan (2)
, maka diperoleh
S(x)dx
S(x)dx
.
(7)
Dari hasil di atas terbukti bahwa laju pertumbuhan penduduk
merupakan laju kelahiran bayi
itu sendiri, dari persamaan (2) dan (7)
terbukti bahwa P(t) dapat dinyatakan sebagai B(t).
Untuk selanjutnya akan dituliskan r sebagai laju pertumbuhan
penduduk intrinsik model pertumbuhan penduduk stabil. Sehingga dalam
model penduduk stabil persamaan (2) dapat dituliskan sebagai:
8
,
(8)
Untuk penduduk stabil jumlah penduduk pada suatu selang umur
berubah sepanjang waktu, tetapi proporsi penduduk selang tersebut tidak
berubah.
Bukti:
Dari persamaan (4) di mana diketahui bahwa jumlah penduduk umur x
sampai x+dx pada waktu t adalah
, dan total penduduk pada waktu t
adalah P(t), maka proporsi penduduk stabil umur x sampai x+dx pada waktu
t adalah:
.
Karena B(t) bukan fungsi x, maka persamaan (9) menjadi:
.
Persamaan (10) di atas menyatakan bahwa proporsi penduduk pada suatu
selang umur tertentu bukanlah merupkan fungsi dari t, sehingga terbukti
proporsi penduduk pada selang tersebut tidak berubah.
Berikut akan dituliskan salah satu hal yang penting dalam model
penduduk stabil, yaitu persamaan karakteristik penduduk stabil. Dari
persamaan (3) dan (4) diperoleh jumlah penduduk (wanita, jika diasumsikan
sebagai populasi wanita) yang hidup pada umur x pada waktu t:
.
Wanita pada persamaan tersebut memiliki fungsi fertilitas yang
dituliskan sebagai
, sehingga tingkat kelahiran pada waktu t diberikan
sebagai:
.
Jika diintegralkan terhadap x untuk tingkat kelahiran populasi saat
waktu t menghasilkan:
.
Dengan membagi B(t) diperoleh:
.
(11)
(12)
9
Jika α dan β adalah batas bawah dan batas atas dari umur produktif,
sehingga
untuk xβ, mka persamaan (12) dapat dituliskan
sebagai berikut:
.
(13)
Laju kelahiran intrinsik dari populasi stabil dapat dinotasikan sebagai
,
merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t terhadap jumlah
penduduk pada waktu t. Pada definisi diketahui bahwa
.
Bila kita memasukkan persamaan (5) maka laju kelahiran menjadi
,
.
Kita tahu bahwa jumlah penduduk yang mati pada tahun t adalah D(t), jadi
μ
Menurut definisi mortalitas didapat
Dari persamaan (5) didapatkan
.
.
μ
.
Dari persamaan(14) selanjutnya diperoleh
μ
Dari persamaan (14) dan (15) dan
dan selalu konstan setiap waktu.
Selanjutnya
.
tidak terpengaruh oleh t, jadi
10
μ
,
μ , dengan menggunakan integral parsial kita dapatkan
|
.
Tetapi
|
dan
(12) jadi kita mendapatkan bahwa
, dari persamaan
.
Mencari Nilai r Berdasarkan Data Sensus
Pada model penduduk stabil banyaknya populasi didefinisikan oleh
fertilitas dan mortalitas yang konstan terhadap proyeksi waktu. Meskipun
fertilitas dan mortalitas diasumsikan stabil kedua hal tersebut
dipresentasikan oleh angka kematian diskrit dan angka kelahiran diskrit
yang berasal dari sensus dan data statistik. Dalam hal ini hasil karakteristik
dan pendekatan r yang harus diselesaikan secara eksplisit.
Pertama kita akan mengasumsikan persamaan (13) menjadi fungsi
diskret
.
.
,
dengan
adalah tingkat fertilitas wanita umur x pada waktu t, dan adalah
umur rata-rata wanita didalam
dimana x< < x+1 .
adalah peluang
.
bayi hidup sampai umur , dimana kita akan memberikan nilai
Persamaan (16) dapat dipecahkan dengan menggunakan metode
iterasi. Salah satu metode yang dapat digunkan adalah metode NewtonRaphson. Untuk menggunakan metode newton-Raphson dibutuhkan fungsi
derivative dari persamaan (16). Ditandai sisi kiri dengan
, kita
mendapatkan
.
.
.
dengan mengganti nilai awal r ke dalam iterasi.
dihasilkan perkiraan nilai r yang secara konvergen mendekati nilai
sebenarnya.
Jika kita membentangkan
persamaan (16) menjadi
ke dalam deret Taylor dimana r=0, maka
11
∑
∑ .
.
.
Jika persamaan dipotong setelah
∑
∑
∑
.
.
…….
.
didapatkan persamaan kuadratik
∑
Nilai r dapat ditemukan dengan persamaan kuadratik.
(18)
.
Pada tinjauan pustaka telah dijelaskan bahwa NRR adalah jumlah bayi
wanita yang dilahirkan oleh wanita selama masa reproduksinya. Atau dapat
juga diintrepasikan sebagai jumlah bayi wanita yang akan menggantikan
posisi wanita yang melahirkanya, dimana waktu yang dibutuhkan seorang
bayi wanita untuk mencapai umur sama dengan umur ibunya saat
melahirkanya disebut sex-specific of generation (Brown, 1997), yang
dinotasikan sebagai T.
Sehingga jika B(t-T) adalah jumlah bayi wanita yang lahir pada waktu t-T
maka pada T tahun kemudian B(t-T+T)=B(t) bayi wanita. Rasio antara bayi
wanita tahun t dengan tahun t-T ini disebut tingkat reproduksi bersih (NRR),
diperoleh persamaan
.
Dari persamaan (3) kita peroleh :
ln
Model Penduduk Kuasi-Stabil
Pada model penduduk stasioner jumlah penduduk dianggap konstan
sepanjang tahun dengan asumsi fertilitas sama dengan mortalitas.
Sedangkan pada model penduduk stabil jumlah penduduk berubah menurut
tingkat pertumbuhan penduduk (r) yang sama sepanjang tahun, dengan
asumsi fertilitas dan mortalitas konstan serta faktor migrasi diabaikan.
Pada model penduduk kuasi-stabil diasumsikan fertilitas konstan
sedangkan mortalitas berubah. Mortalitas selalu diperbaiki diindikasikan
oleh laju kematian sesaat yang turun untuk semua umur, sehingga dari
naiknya kelahiran dan turunnya kematian menunjukkan bahwa laju
pertumbuhan penduduk lebih besar daripada laju kelahiran bayi. Sehingga
laju pertumbuhan penduduk berubah menurut waktu t dinotasikan
,
oleh karena itu maka menurut persamaan (7) total penduduk pada tahun t+n
menjadi:
12
exp
(20)
Ringkasnya, pada penduduk stabil
sedangkan
penduduk kuasi-stabil
untuk semua t jika laju kematian sesaat
(μ turun dan
untuk semua t jika laju kematian sesaat (μ naik.
dan μ
Misalkan μ
menyatakan laju kematian sesaat dari
peduduk umur x, yang lahir pada waktu a dan a+t , dimisalkan pula:
μ
μ
untuk semua x , k >0
(21)
Untuk penduduk kuasi-stabil didefinisikan oleh tiga parameter yaitu
laju pertumbuhan bayi
, mortalitas awal μ
, dan faktor perbaikan
mortalitas k, k>0. Dengan ketiga parameter tersebut maka jumlah penduduk
pada waktu t dapat diperoleh. Banyaknya penduduk pada waktu t, P(t):
exp
μ
exp
μ
exp
μ
exp
μ
Dengan menggunakan aturan turunan untuk perkalian P(t) terhadap t,
maka diperoleh:
13
.
diperoleh dengan membagi persamaan (23) dengan persamaan (22):
.
Dengan
adalah umur rata-rata yang diperoleh dari penduduk
kuasi-stabil pada waktu t. Persamaan (24) menunjukkan perbedaan antara
penduduk stabil dengan penduduk kuasi-stabil pada pertumbuhan
penduduknya, di mana pada pertumbuhan penduduk kuasi stabil
mengandung k, k>0 yaitu faktor perbaikan mortalitas.
APLIKASI PERTUMBUHAN STABIL DAN KUASI
STABIL PADA PENDUDUK INDONESIA
Model Penduduk Stabil
Struktur usia dan pertumbuhan dari suatu populasi ditentukan oleh
tingkat kelahiran, kematian, dan migrasi. Pada populasi stabil tidak ada
perubahan struktur usia.
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mecari model
pertumbuhan penduduk stabil dan akan dibuat model berdasarkan formula
sebagai berikut :
1. Dengan menggunakan persamaan (7)
didapatkan nilai r sebesar 0.012247
2. Dengan menggunakan persamaan r = CBR-CDR didapatkan nilai r
sebesar 0.0129
3. Dengan menggunakan metode persamaan (16) didapatkan nilai r
sebesar 0.013784
14
240,000,000
235,000,000
230,000,000
225,000,000
Metode 1
220,000,000
Metode 2
215,000,000
Metode 3
210,000,000
Aktual
205,000,000
200,000,000
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Gambar 1. Proyeksi Penduduk Stabil
Pada Gambar 1, dapat dilihat hasil proyeksi metode 3 memiliki galat
paling kecil di antara metode yang lain yaitu 1.646% , metode 2 2.075% dan
metode 1 2.398%.
Model Kuasi-Stabil
Menurut pembahasan di atas, maka metode stabil kurang bagus untuk
menggambarkan kondisi penduduk di Indonesia. Oleh karena itu akan
dibahas mengenai aplikasi tentang metode kuasi-stabil untuk penduduk
Indonesia. Pada metode ini faktor yang sangat berpengaruh untuk
memproyeksikan total penduduk wanita di Indonesia adalah k, yaitu faktor
perbaikan kematian. Kematian itu sendiri dapat disebabkan oleh beberapa
faktor, antara lain kecelakaan, kematian normal, kematian mendadak,
penyakit. Ada tiga faktor utama penyebab kecelakaan antara lain adalah
faktor manusia, kendaraan, dan lingkungan. Kematian normal yang
dimaksud di sini adalah kematian yang melalui proses menua secara
perlahan. Sedangkan untuk kematian mendadak adalah kematian yang
terjadi tanpa melalui sakit atau kecelakaan, seperti bunuh diri, ibu yang
meninggal pada saat melahirkan dan kematian neonatal. Kematian neonatal
adalah kematian bayi yang berumur 0 sampai 28 hari setelah hidup atau bayi
berumur 1 bulan (Mc Donald 1990, diacu dalam Sapriana 2006). Kematian
dewasa umumnya disebabkan karena penyakit menular, penyakit
degeneratif, kecelakaan atau gaya hidup yang beresiko terhadap kematian.
Kematian bayi dan balita umumnya disebabkan oleh penyakit sistim
pernapasan bagian atas (ISPA) dan diare, yang merupakan penyakit karena
infeksi kuman. Faktor gizi buruk juga menyebabkan anak-anak rentan
terhadap penyakit menular, sehingga mudah terinfeksi dan menyebabkan
tingginya kematian bayi dan balita di sesuatu daerah. Faktor sosial ekonomi
seperti pengetahuan tentang kesehatan, gisi dan kesehatan lingkungan,
kepercayaan, nilai-nilai, dan kemiskinan merupakan faktor individu dan
keluarga, mempengaruhi mortalitas dalam masyarakat. Tingginya kematian
15
Ibu merupakan cerminan dari ketidak tahuan masyarakat mengenai
pentingnya perawatan Ibu hamil dan pencegahan terjadinya komplikasi
kehamilan(www.datastatistik-indonesia.com).
Nilai k akan dapat berubah-ubah dalam kehidupan nyata, nilai dari
faktor perbaikan kematian dapat dipengaruhi dari beberapa aspek, di
antaranya adalah dengan meningkatkan taraf hidup, memperbaiki aspek
kesehatan, dan menurunkan tingkat kriminalitas.
Nilai k diperoleh berdasarkan 3 cara:
1. Menghitung nilai k berdasarkan rata-rata dari k(x)
∑
.
2. Menghitung nilai k dengan mengasumsikan bahwa nilai k
nilai k
merupakan fungsi linear terhadap umur.
dihitung dengan menggunakan regresi.
3. Menggunakan k(x) yang asli
.
Berdasarkan masing-masing metode diperoleh tiga model untuk
, yaitu
Metode 1 : k dihitung berdasarkan rata-rata dari k(x) dengan menggunakan
metode ini didapatkan nilai k sebesar 0.0006966 dan nilai r
sebesar 0.026504.
Metode 2 : k diasumsikan merupakan fungsi linear terhadap umur, dengan
menggunakan
metode
ini
didapatkan
nilai
.
.
dengan nilai r sebesar 0.000791.
Metode 3 : menggunakan k(x) yang asli didapat nilai r sebesar 0.009437.
245,000,000
240,000,000
235,000,000
230,000,000
225,000,000
Metode 1
220,000,000
Metode 2
215,000,000
Metode 3
210,000,000
Aktual
205,000,000
200,000,000
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Gambar 2. Proyeksi Penduduk Kuasi‐Stabil
16
Pada Gambar 2 dapat dilihat bahwa proyeksi metode 1 paling mendekati
dengan nilai yang sebenarnya, dengan galat sebesar 1.107% dan nilai k
sebesar 0.000696.
Tabel 1. Nilai galat setiap model
Model
Stabil
Metode 1
Metode 2
Metode 3
Kuasi-stabil
Metode 1
Metode 2
Metode 3
Galat
2.398%
2.075%
1.6457%
1.107%
5.1882%
3.116%
Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa model kuasi-stabil memiliki galat
yang paling kecil yaitu pada model 1 sebesar 1.107%. Pada model ini masih
mempunyai beberapa kelemahan yaitu tidak ikut disertakannya faktor
migrasi, mobilitas sosial, serta angka harapan hidup yang selalu berubahubah setiap tahunnya.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan pada karya ilmiah ini
dapat diambil beberapa kesimpulan, antara lain :
1. Data penduduk Indonesia tahun 2005 dan 2010 tidak dapat
digunakan untuk model pertumbuhan stabil. Karena masih memiliki
nilai galat yang cukup besar yaitu 1.646%.
2. Model kuasi-stabil mendapat hasil terbaik pada tahun 2010 nilai k=
0.0006966 dengan galat sebesar 1.107%.
3. Berdasarkan model kuasi-stabil metode 1 didapatkan hasil proyeksi
penduduk Indonesia sebesar 235,236,560.
4. Model ini masih memiliki keterbatasan dalam mengindikasikan
angka harapan hidup yang berubah-ubah dalam setiap tahunnya.
Saran
Dalam rangka melengkapi dan menyempurnakan karya ilmiah
mengenai model pertumbuhan kuasi-stabil beberapa aspek yang diperlukan.
Seperti migrasi, mobilitas sosial serta angka harapan hidup yang berubahubah setiap tahunnya.
17
DAFTAR PUSTAKA
[BPS] Badan Pusat Stastistik (ID). [internet]. [diunduh 29 Des 2013].
Tersedia pada:http//www.datastatistik-indonesia.com.
Brown RL. 1997. Introduction to the Mathematics of Demography. United
States of America: ACTEX
Dhawie Christ. 2011. Teori Kependudukan. [internet].[diunduh 27 Des
2013]. Tersedia pada: http//christdhawie.blogspot.com/2011/07/teoriteori-kependudukan.html.
Gondomono H.2009. Model Pertumbuhan Penduduk Kuasi-Stabil dan
Aplikasi Terhadap Data Penduduk Indonesia [Skripsi]. Bogor (ID):
Institut Pertanian Bogor
Hadi FSC. 2008. Modifikasi Metode Rele untuk Model Penduduk KuasiStabil [Tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Sapriana. 2006. Analisis Faktor Resiko Kejadian Kematian Neonatal di
Rumah Sakit Umum Daerah Undata Palu Periode 2003-2005. Karya
Ilmiah. Fakultas Kesehatan Masyarakat Universitas Hasanuddin.
Makassar
18
Lampiran 1.
Uraian persamaan 16
Di ketahui :
Laju kematian sesaat :
Akan dibuktikan
.
S(X) adalah peluang hidup bayi sampai umur x.
Bukti :
Jika
, maka
Jadi
.
( 15.1 )
merupakan peluang penduduk umur 0 bertahan hidup sampai dengan
umur x,
Dengan mnggunakan persamaan 15.1 didapat
.
.
. exp
.
19
Lampiran 2.
Tabel 2. Data Penduduk Indonesia tahun 2000
Populasi
Kelompok
umur
Laki-laki
Perempuan
Total
0-4
11,689,126
11,286,663
22,975,789
5-9
11,088,005
11,088,005
22,176,010
10-14
10,811,692
10,483,347
21,295,039
15-19
10,894,682
10,592,934
21,487,616
20-24
10,730,734
10,326,572
21,057,306
25-29
9,860,656
9,458,310
19,318,966
30-34
8,871,346
8,286,038
17,157,384
35-39
7,444,456
7,578,665
15,023,121
40-44
6,275,221
6,821,886
13,097,107
45-49
4,939,556
5,561,111
10,500,667
50-54
3,538,417
3,756,367
7,294,784
55-59
3,298,065
3,591,664
6,889,729
60-64
2,766,891
2,918,499
5,685,390
65-69
2,046,985
2,362,196
4,409,181
70-74
1,329,778
1,495,429
2,825,207
75+
1,207,567
1,428,606
2,636,173
Total
106,793,177
107,036,292
213,829,469
Sumber: Data Sensus Penduduk 2005 - Badan Pusat Statistik Republik
Indonesia
20
Lampiran 3.
Tabel 3. Data Penduduk Indonesia tahun 2010
Populasi
Kelompok
umur
Laki-laki
Perempuan
Total
0-4
11,662,369
11,016,333
22,678,702
5-9
11,974,094
11,279,386
23,253,480
10-14
11,662,417
11,008,664
22,671,081
15-19
10,614,306
10,266,428
20,880,734
20-24
9,887,713
10,003,920
19,891,633
25-29
10,631,311
10,679,132
21,310,443
30-34
9,949,357
9,881,328
19,830,685
35-39
9,337,517
9,167,614
18,505,131
40-44
8,322,712
8,202,140
16,524,852
45-49
7,032,740
7,008,242
14,040,982
50-54
5,865,997
5,695,324
11,561,321
55-59
4,400,316
4,048,254
8,448,570
60-64
2,927,191
3,131,570
6,058,761
65-69
2,225,133
2,468,898
4,694,031
70-74
1,531,459
1,924,872
3,456,331
75-79
842,344
1,135,561
1,977,905
80-84
481,462
661,708
1,143,170
182,432
63,948
36,095
119,630,913
255,529
106,951
68,559
118,010,413
437,961
170,899
104,654
237,641,326
85-89
90-94
95+
Jumlah
Sumber: Data Sensus Penduduk 2010 - Badan Pusat Statistik Republik
Indonesia
Lampiran 4.
Tabel 4. Data Penduduk Indonesia tahun 2005
Kelompok
umur
Laki-laki
Perempuan
Total
e0
lx
Lx
Tx
S
ASFR
0-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75+
9,983,140
11,370,615
11,238,221
10,370,890
9,754,543
9,271,546
8,709,370
8,344,025
7,401,933
6,418,712
5,266,079
3,813,793
2,800,974
1,990,762
1,470,205
1,408,711
9,608,600
10,739,089
10,614,026
9,958,783
10,150,607
9,821,617
9,054,955
8,428,967
7,347,511
6,190,218
4,851,176
3,563,361
2,918,499
2,192,385
1,570,199
1,462,776
19,591,740
22,109,704
21,852,247
20,329,673
19,905,150
19,093,163
17,764,325
16,772,992
14,749,444
12,608,930
10,117,255
7,377,154
5,719,473
4,183,147
3,040,404
2,871,487
66.1816700
68.3435200
65.4472000
60.8844700
56.1083900
51.5044900
47.0000200
42.5310900
38.0922000
33.6981500
29.3728300
25.1631300
21.1275300
17.2913000
13.7568200
10.5974800
100,000
92,702
92,220
91,873
91,338
90,610
89,767
88,782
87,564
86,025
83,921
80,927
76,612
70,074
60,190
46,128
474,013
462,184
460,266
458,081
454,081
451,030
446,472
440,986
434,125
425,077
412,421
394,279
367,369
326,650
267,202
188,279
6,463,380
5,989,366
5,527,182
5,066,916
4,608,835
4,153,889
3,702,860
3,256,387
2,815,402
2,381,276
1,956,200
1,543,778
1,149,499
782,130
455,480
188,279
0.9480270
0.9243680
0.9205320
0.9161620
0.9098910
0.9020600
0.8929440
0.8819710
0.8682510
0.8501540
0.8248430
0.7885570
0.7347380
0.6533000
0.5344030
0.3765570
51
131
143
99
66
19
4
-
21
22
Lampiran 5
Tabel 5. Nilai k pada metode 1 dan 2
Kelompok umur
Laki-laki
Perempuan
e0
S
µ( 2000)
µ (2005)
k
0-4
9,983,140
9,608,600
66.1816700
0.9480270
0.007471
0.018376463
-0.002181093
2.299777868
0.919911147
5-9
11,370,615
10,739,089
68.3435200
0.9243680
0.001189
0.013557291
-0.002473658
6.170721031
0.822762804
10-14
11,238,221
10,614,026
65.4472000
0.9205320
0.000587
0.003882443
-0.000659089
9.073096236
0.725847699
15-19
10,370,890
9,958,783
60.8844700
0.9161620
0.000672
0.001085975
-8.2795E-05
10.81598557
0.618056318
20-24
9,754,543
10,150,607
56.1083900
0.9098910
0.001009
0.00110504
-1.92079E-05
11.4116678
0.507185236
25-29
9,271,546
9,821,617
51.5044900
0.9020600
0.00132
0.001731169
-8.22339E-05
11.03415562
0.401242023
30-34
8,709,370
9,054,955
47.0000200
0.8929440
0.001596
0.002184254
-0.000117651
9.948202513
0.306098539
35-39
8,344,025
8,428,967
42.5310900
0.8819710
0.001985
0.002567957
-0.000116591
8.438416333
0.225024436
40-44
7,401,933
7,347,511
38.0922000
0.8682510
0.002633
0.003063777
-8.61554E-05
6.767374887
0.15923235
45-49
6,418,712
6,190,218
33.6981500
0.8501540
0.003744
0.003800298
-1.12595E-05
5.141148614
0.108234708
50-54
5,266,079
4,851,176
29.3728300
0.8248430
0.005534
0.004987534
0.000109293
3.696194107
0.070403697
55-59
3,813,793
3,563,361
25.1631300
0.7885570
0.008267
0.006973298
0.00025874
2.505835934
0.043579755
60-64
2,800,974
2,918,499
21.1275300
0.7347380
0.012795
0.010072971
0.000544406
1.586952888
0.025391246
65-69
1,990,762
2,192,385
17.2913000
0.6533000
0.020819
0.015205855
0.001122629
0.920322541
0.013634408
70-74
1,470,205
1,570,199
13.7568200
0.5344030
0.035092
0.024033025
0.002211795
0.471601231
0.006504845
75+
1,408,711
1,462,776
10.5974800
0.3765570
0.099097
0.035450126
0.012729375
0.200086214
0.002581758
22
Lampiran 6
Mencari nilai regresi dari nilai k terhadap umur x
SUMMARY
OUTPUT
Regression Statistics
Multiple R
0.646993195
R Square
0.418600195
Adjusted R
Square
0.377071637
Standard Error
0.002673856
Observations
16
ANOVA
Regression
Residual
Total
Intercept
X Variable 1
df
1
14
15
SS
7.20657E‐05
0.000100093
0.000172159
MS
7.20657E‐05
7.14951E‐06
Coefficients
‐0.002986455
9.20778E‐05
Standard
Error
0.001338893
2.9002E‐05
t Stat
‐2.230540875
3.174872505
F
10.07981542
Significance F
0.006749507
P‐value
0.042586464
0.006749507
Lower 95%
‐0.005858094
2.98746E‐05
Upper 95%
‐0.000114816
0.000154281
Lower 95.0%
‐0.005858094
2.98746E‐05
Upper 95.0%
‐0.000114816
0.000154281
23
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Wonogiri pada 6 Desember 1989 sebagai anak pertama
dari dua bersaudara, anak dari bapak Mursid dan ibu Wiwin Wahyuni.
Tahun 2001 penulis menyelesaikan pendidikannya di SDN Sanan II.
Tahun 2004 penulis menyelesaikan pendidikannya di SMPN 1 Cangkringan
Sleman DIY. Tahun 2007 penulis menyelesaikan pendidikannya di SMAN 3
Depok dan pada tahun yang sama penulis berkesempatan untuk melanjutkan
studinya di IPB. Penulis memilih mayor Matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, Penulis aktif dalam organisasi
kemahasiswaan, seperti organisasi himpunan profesi Departemen
Matematika yaitu Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika), BEM FMIPA
IPB,Koperasi Mahasiswa dan Lembaga DKM Al - Hurriyah. Penulis juga
pernah terlibat dalam berbagai kegiatan mahasiswa, antara lain sebagai
panitia penyelenggara Spirit, AC-fest, pesta Sains dan masih beberapa acara
mengenai Leadership Training.
DAN KUASI-STABIL
IKHSAN DIKA HANGGARA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Model
Pertumbuhan Penduduk Stabil dan Kuasi-Stabil adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal
atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar
Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada
Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2014
Ikhsan Dika Hanggara
NIM G54070071
ABSTRAK
IKHSAN DIKA HANGGARA. Analisis Model Pertumbuhan
Penduduk Stabil dan Kuasi-Stabil. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan
RETNO BUDIARTI.
Model pertumbuhan penduduk merupakan hal yang penting dalam
mengantisipasi persoalan ekonomi, social, dan politik dalam suatu bangsa
yang diakibatkan oleh perubahan jumlah penduduk. Perubahan jumlah
penduduk dapat dipengaruhi oleh faktor fertilitas, mortalitas , dan migrasi.
Karya ilmiah ini bertujuan untuk memodelkan pertumbuhan penduduk stabil
dan kuasi-stabil lalu mengaplikasikannya dalam penduduk Indonesia tahun
2000, 2005 dan 2010. Hasil proyeksi akan dibandingkan dengan data sensus
lalu akan diperoleh nilai galatnya.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa model kuasi-stabil dengan
adanya faktor perbaikan kematian lebih baik daripada model stabil.
Berdasarkan model kuasi-stabil hasil proyeksi penduduk Indonesia tahun
2015 sebesar 255,236,560.
Keywords : pertumbuhan penduduk, kuasi-stabil, fertilitas, mortalitas.
ABSTRACT
IKHSAN DIKA HANGGARA. Analysis of Stable and Quasi-Stable
Population Growth Models. Supervised by HADI SUMARNO and
RETNO BUDIARTI.
Model of population growth is essential to anticipate problems in the
economic, social and political in a nation that affected by the change of
population. Changes in a population can be affected by factors of fertility,
mortality, and migration. This paper aims to model stable and quasi-stable
population growth and then applies these models to population of Indonesia
for 2000, 2005 and 2010. The projection results is compared to the census
data and then error value will be obtained.
The results showed that the quasi-stable model with mortality
improvement factor is better than the stable model. Based on the quasistable model, prediction of population of Indonesia in 2015 is 255,236,560.
Keywords: population growth, quasi-stable, fertility, mortality
ANALISIS MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK STABIL
DAN KUASI-STABIL
IKHSAN DIKA HANGGARA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULATAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Analisis Model Pertumbuhan Penduduk Stabil dan Kuasi-Stabil
Nama
: Ikhsan Dika Hanggara
NIM
: G54070071
Disetujui
Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Pembimbing I
Ir Retno Budiarti, MS
Pembimbing II
Diketahui
Dr Toni Bakhtiar, M Sc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus : ………………………………
PRAKATA
Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas
limpahan rahmat dan karuia-Nya, sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurah kepada
junjungan kita Nabi besar Muhammad SAW beserta keluarga. Penyusunan
karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu
penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluarga tercinta: Ibu dan Bapak (terima kasih atas doa, cinta, kasih
sayang, nasehat, didikan dan motivasinya), kakak, adik, ponakan, dan
seluruh keluarga keluarga besar bapak maupun ibu (terima kasih atas
dukungan, hiburan dan motivasinya).
2. Bpk Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen Pembimbing I, Ibu Ir.
Retno Budiarti, MS selaku dosen Pembimbing II dan Bpk Dr. Paian
Sianturi, MS selaku dosen penguji (terima kasih atas segala ilmu,
nasehat, arahan serta bimbingan yang diberikan selama penyusunan
karya ilmiah ini).
3. Segenap dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu
dan nasehat yang telah diberikan).
4. Seluruh staf Departemen Matematika IPB (terima kasih atas segala
pelayanan dan bantuan yang diberikan).
5. Teman-teman Matematika angkatan 44: Iip, Lukman, Puying, Oli, Aqil,
Ikhsan, Pepi, Yogi, Iam, Eka, Aswin, Ayum, Ririh, Indin, Yuli, Wahyu,
Endro, Ruhy, Ucu, Selvy, Yuyun, Titi, Deva, Wewe, Fikri, Sri, Fajar,
Mutia, Rachma, Ayung, Cita, Tanty, Arina, Devi, Titi, Resha, Sari,
Anis, Lilis, Imam, Aze, Ali, Zae, Tandhy, Tyas, Ima, Dora, Nunuy,
Siska, Tita dan lainnya (terima kasih atas dukungan, do’a, semangat dan
kebersamaannya).
6. Pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang
tidak dapat disebutkan satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.
Bogor, Agustus 2014
Ikhsan Dika Hanggara
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
METODE
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
Model Penduduk Stabil
6
Model Penduduk Kuasi-Stabil
11
Aplikasi Model Penduduk Stabil
13
Aplikasi Model Penduduk Kuasi-Stabil
14
SIMPULAN DAN SARAN
16
Simpulan
16
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL
1. Nilai galat pada setiap model
19
DAFTAR GAMBAR
1. Proyeksi model penduduk stabil
14
2. Proyeksi model penduduk kuasi-stabil
15
DAFTAR LAMPIRAN
1. Bukti Persamaan 15
19
2. Tabel Penduduk Indonesia tahun 2000
20
3. Tabel Penduduk Indonesia tahun 2010
21
4. Tabel Penduduk Indonesia tahun 2005
22
5. Tabel Nilai k
23
6. Nilai regresi k
24
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Orang pertama yang mengemukakan teori mengenai penduduk adalah
Thomas Robert Malthus yang hidup pada tahun 1886-1824. Pada Essay on
Population tahun 1798 Malthus mengemukakan dua pokok pendapatnya
yaitu penduduk dan bahan makanan adalah penting bagi kehidupan
manusia, dan napsu manusia tidak dapat tertahan dan tidak terbatas atas dua
hal tersebut. Dia mengemukakan pendapatnya bahwa pertumbuhan
penduduk jauh lebih cepat dari pertumbuhan bahan makanan. Dalil yang
dikemukakan Malthus yaitu jumlah penduduk meningkat secara geometrik
(deret ukur) sedangkan kebutuhan hidup kian meningkat secara aritmatika
(deret hitung), akibatnya pada suatu saat akan terjadi perbedaan yang besar
antara jumlah penduduk dan kebutuhan hidup.
Selain meningkatnya kebutuhan hidup akibat pertumbuhan penduduk,
pertumbuhan penduduk juga dapat berdampak terhadap ekonomi sosial dan
politik. Tingkat pertumbuhan penduduk seperti itu dipengaruhi oleh tiga
faktor utama yaitu: kelahiran (fertilitas), kematian (mortalitas), dan
perpindahan penduduk (migrasi). Peristiwa kelahiran di suatu daerah
menyebabkan perubahan jumlah dan komposisi penduduk, sedangkan
peristiwa kematian dapat menambah maupun mengurangi jumlah penduduk
di suatu daerah. Mengurangi bagi yang ditinggalkan dan menambah bagi
daerah yang didatangi. Selain penyebab langsung seperti kelahiran,
kematian dan migrasi terdapat penyebab tidak langsung seperti keadaan
sosial, ekonomi, budaya, lingkungan, dan politik. Pertumbuhan penduduk
seperti dikemukakan di atas dapat dikatakan terlalu tinggi karena dapat
menimbulkan berbagai persoalan. Oleh karena itu diperlukan sebuah model
untuk menggambarkan pertumbuhan penduduk yang terjadi.
Pada negara-negara yang sedang berkembang biasanya mereka
mengalami fase transisi demografi di mana angka kelahiran masih tinggi
sementara angka kematian telah menurun. Kedua hal ini disebabkan karena
kemajuan pelayanan kesehatan yang menurunkan angka kematian balita dan
angka tahun harapan hidup. Ini terjadi pada fase kedua dan ketiga dalam
proses kependudukan. Dhawie (2011) menyebutkan bahwa umumnya ada
empat tahap proses transisi yaitu:
Tahap 1: Masyarakat pra-industri, di mana angka kelahiran tinggi dan
angka kematian tinggi menghasilkan laju pertambahan penduduk
rendah.
Tahap 2: Tahap pembangunan awal, di mana kemajuan dan pelayanan
kesehatan yang lebih baik menghasilkan penurunan angka
kelahiran. Laju pertumbuhan penduduk naik.
Tahap 3: Tahap pembangunan lanjut, di mana terjadi penurunan angka
kematian balita, urbanisasi, dan kemajuan pendidikan
mendorong banyak pasangan muda berumah tangga
menginginkan jumlah anak lebih sedikit hingga menurunkan
1
2
angka kelahiran. Pada tahap ini laju pertambahan penduduk
mungkin masih tinggi tetapi sudah mulai menurun.
Tahap 4: Kemantapan dan stabil, di mana pasangan-pasangan berumah
tangga melaksanakan pembatasan kelahiran dan mereka
cenderung bekerja di luar rumah. Banyaknya anak cenderung
hanya 2 atau 3 saja hingga angka pertambahan penduduk sangat
rendah atau bahkan mendekati nol.
Tujuan Penelitian
Tujuan utama dari penelitian ini adalah melakukan analisis pada model
pertumbuhan penduduk. Secara spesifik adalah sebagai berikut:
1. Memodelkan penduduk stabil.
2. Memodelkan penduduk kuasi-stabil.
3. Mengaplikasikan model pada penduduk Indonesia.
TINJAUAN PUSTAKA
FERTILITAS
Fertilitas merupakan indikator reproduksi dari seorang wanita atau
sekelompok individu yang pada umumnya dikenakan pada seorang wanita
atau sekelompok wanita.
Dalam ilmu demografi terdapat beberapa ukuran fertilitas, berikut
beberapa ukuran fertilitas yang dikenalkan oleh Brown (1997).
Crude Birth Rate (CBR) atau angka kelahiran kasar, merupakan
ukuran kelahiran yang sering digunakan, CBR dapat dihitung dengan cara:
,
dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan P(t)
merupakan jumlah penduduk pada waktu t.
Pada CBR ini jumlah kelahiran tidak dikaitkan langsung dengan
penduduk wanita, melainkan dikaitkan dengan jumlah penduduk secara
keseluruhan. Untuk itu, diperlukan ukuran fertilitas yang lebih spesifik yaitu
General Fertility Rate (GFR) yang merupakan rasio jumlah kelahiran hidup
terhadap jumlah wanita umur reproduksi. Umur Reproduksi adalah umur di
mana wanita masih dapat hamil dan melahirkan bayi.
,
dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan
merupakan jumlah penduduk wanita umur reproduksi pada waktu t.
Rasio Anak-Wanita (Child-Woman Ratio) merupakan ukuran fertilitas
yang diperoleh dari sensus penduduk (Palmore 1978, diacu dalam Hadi
2008), CWR ini dinyatakan dengan rasio jumlah anak umur selang [c,d]
tahun terhadap wanita umur reproduksi selang[h,k] tahun dinyatakan dalam
rumus:
3
,
,
,
dengan
merupakan jumlah penduduk selang umur [c,d] tahun dan
,
merupakan jumlah penduduk wanita selang umur reproduksi [h,k]
,
tahun.
Ukuran fertilitas selanjutnya adalah Age-Specific Fertilty Rate (ASFR)
merupakan ukuran fertilitas pada wanita umur tertentu. Fakta empiris
menunjukkan bahwa jumlah kelahiran selama jangka waktu tertentu
bervariasi menurut umur ibu.
,
dengan
merupakan jumlah kelahiran hidup dari wanita usia x pada
waktu t dan
merupakan jumlah penduduk wanita umur x pada waktu
t, atau juga dapat ditulis:
,
dengan adalah tingkat fertilitas wanita umur x pada waktu t.
Sebagai total dari ukuran fertilitas ASFR di atas, maka Total Fertility
Rate (TFR) dapat dinyatakan sebagai:
,
dengan h dan k merupakan batas bawah dan batas atas umur wanita
reproduksi.
Jika ukuran-ukuran fertilitas di atas tidak membedakan jenis kelamin
bayi maka ukuran reproduksi hanya memperhatikan bayi wanita yang secara
langsung bertalian dengan pergantian generasi. Dalam hal ini dikenal dua
ukuran reproduksi, yaitu Gross reproduction Rate (GRR) dan Net
Reproduction Rate (NRR). Gross Reproduction rate (GRR) ini menyatakan
tingkat reproduksi kasar yang tidak memperhatikan unsur kematian. GRR
didefinisikan:
,
,
,
merupakan tingkat fertilitas wanita umur x terhadap bayi
dengan
wanita (w) pada waktu t.
Sedangkan Net Reproduction Rate (NRR) merupakan ukuran
reproduksi yang memperhitungkan unsur kematian, yaitu laju kematian
sesaat (μ ) sehingga NRR menyatakan tingkat reproduksi bersih dari wanita
selama masa reproduksinya. Hal ini berdasarkan fakta bahwa terdapat
peluang wanita meninggal sebelum ia mengakhiri masa reproduksinya.
Dengan demikian NRR dapat dinyatakan sebagai:
,
.
4
merupakan peluang bayi wanita hidup sampai umur x. Secara
dengan
umum, populasi akan bertambah, menuju stabil, atau berkurang, bergantung
apakah NRR lebih besar, sama, atau bahkan kurang dari. NRR merupakan
sebuah ukuran pertumbuhan dari suatu populasi tanpa memperhitungkan
perpindahan penduduk.
MORTALITAS
Mortalitas merupakan tingkat kematian dari suatu kelompok individu.
berikut beberapa ukuran mortalitas yang dikenalkan oleh Brown (1997).
Crude Death Rate (CDR) atau dengan kata lain perkiraan angka
kematian secara kasar merupakan suatu ukuran kematian yang sering
digunakan, adapun cara perhitungannya sebagai berikut:
,
dengan
merupakan jumlah kematian dalam jangka waktu t dan P(t)
merupakan jumlah populasi penduduk yang diambil dalam suatu waktu
dalam jangka waktu t,
Spesific Mortality Rates merupakan ukuran mortalitas yang lebih
spesifik bila dibandingkan dengan CDR. Karena dalam ukuran mortalitas ini
mempertimbangkan umur, maka
,
dengan
merupakan tingkat mortalitas umur x pada waktu t,
merupakan jumlah kematian pada usia x dalam jangka waktu t, dan
adalah banyaknya penduduk usia x dalam jangka waktu t.
The Force of Mortality atau laju kematian sesaat merupakan suatu
ukuran tingkat kematian bagi penduduk tepat umur x dan dinotasikan
dengan
,
dengan
merupakan peluang kematian seseorang yang hidup tepat pada
umur x dan akan mati sebelum mencapai umur x+n,
merupakan
perbandingan antara jumlah rata-rata orang yang hidup dengan jumlah ratarata orang yang mati dari umur x hingga umur x+n,
merupakan tingkat
mortalitas umur x pada waktu t.
Jika periode waktu
diubah untuk interval yang pendek dari umur
∆ maka laju kematian penduduk tepat umur x adalah
5
∆
∆
,
dengan
adalah banyaknya orang yang bertahan hidup dari lahir hingga
umur x, dan
.
Jika diasumsikan ∆
maka limit
lim
adalah:
lim
∆
lim
∆
lim
∆
∆
∆
∆
.
.
ln
METODE PENELITIAN
1. Sumber Data
Data penduduk Indonesia yang digunakan merupakan data yang
diperoleh dari BPS untuk penduduk tahun 2000, 2005, dan 2010.
2. Langkah langkah penelitian
a. Mengkaji model stabil dan kuasi-stabil
b. Dapat melakukan simulasi model kuasi-stabil
c. Aplikasi model pada penduduk Indonesia
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemodelan sistem merupakan kumpulan aktivitas dalam pembuatan
model di mana model merupakan perwakilan atau abstraksi dari sebuah
obyek atau situasi aktual sutau penyederhanaan dari suatu realitas yang
kompleks.
Model Pertumbuhan Penduduk
Ada beberapa model pertumbuhan penduduk dalam proyeksi
penduduk, di antaranya model penduduk stasioner, model penduduk stabil,
model penduduk kuasi-stabil dan metode komponen cohort. Model
6
penduduk stasioner merupakan suatu model penduduk di mana jumlah
penduduk dianggap konstan sepanjang tahun dengan asumsi tingkat
kelahiran sama dengan tingkat kematian, serta migrasi masuk sama dengan
migrasi keluar. Model matematis dari penduduk stasioner ini dapat
dinyatakan sebagai :
.
Artinya jumlah penduduk pada waktu t+n sama dengan jumlah penduduk
dengan waktu ke t, dengan t=1,2,3,….
Pada model komponen cohort jumlah penduduk berubah sesuai
dengan pertumbuhan penduduk dengan asumsi bahwa tingkat mortalitas dan
fertilitas berubah.
Model Penduduk Stabil
Jika B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t)dt
merupakan jumlah kelahiran dalm selang waktu sangat pendek yaitu t ke
t+dt, maka jumlah kelahiran bayi dalam satu tahun adalah:
.
(1)
Misalkan B(t) menyatakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan
B(t+n) merupakan jumlah kelahiran dalam selang waktu dari t ke t+n
dengan asumsi laju pertumbuhan jumlah bayi sebanding dengan jumlah bayi
sebelumnya maka diperoleh formula bagi (b+n) sebagai berikut:
di mana
Bukti:
,
adalah laju kelahiran bayi,
∆
lim
∆
ln
ln
, dan
∆
∆
∆
I
(2)
I
∆
∆
adalah waktu.
7
Bukti tersebut menunjukkan bahwa jumlah kelahiran per tahun
dipengaruhi oleh laju kelahiran bayi . Jika
adalah laju kelahiran bayi
per tahun maka laju pertumbuhan penduduk pada penduduk stabil adalah
sama dengan laju kelahiran bayi.
Bukti:
Misalkan P(t) merupkan jumlah penduduk pada waktu t, dan B(t)
merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t, berdasarkan persamaan
(2) maka jumlah kelahiran pada waktu t-x adalah:
,
(3)
Dan jumlah penduduk yang lahir pada waktu t-x (bayi umur nol)
sampai umur x pada waktu t adalah B(t-x)S(x), dengan S(x) adalah peluang
bayi hidup sampai umur x. Jumlah penduduk yang hidup pada selang waktu
t ke t+dt adalah jumlah bayi yang lahir pada waktu t-x dikalikan dengan
peluang bayi hidup sampai umur x, dan dinyatakan dalam persamaan
sebagai berikut:
,
(4)
Dengan demikian total penduduk wanita pada waktu t adalah
.
(5)
Dan total penduduk wanita pada waktu t+n adalah:
.
(6)
S(x) pada persamaan (5) sama dengan S(x) pada persamaan (6) dan
dari persamaan (2)
, maka diperoleh
S(x)dx
S(x)dx
.
(7)
Dari hasil di atas terbukti bahwa laju pertumbuhan penduduk
merupakan laju kelahiran bayi
itu sendiri, dari persamaan (2) dan (7)
terbukti bahwa P(t) dapat dinyatakan sebagai B(t).
Untuk selanjutnya akan dituliskan r sebagai laju pertumbuhan
penduduk intrinsik model pertumbuhan penduduk stabil. Sehingga dalam
model penduduk stabil persamaan (2) dapat dituliskan sebagai:
8
,
(8)
Untuk penduduk stabil jumlah penduduk pada suatu selang umur
berubah sepanjang waktu, tetapi proporsi penduduk selang tersebut tidak
berubah.
Bukti:
Dari persamaan (4) di mana diketahui bahwa jumlah penduduk umur x
sampai x+dx pada waktu t adalah
, dan total penduduk pada waktu t
adalah P(t), maka proporsi penduduk stabil umur x sampai x+dx pada waktu
t adalah:
.
Karena B(t) bukan fungsi x, maka persamaan (9) menjadi:
.
Persamaan (10) di atas menyatakan bahwa proporsi penduduk pada suatu
selang umur tertentu bukanlah merupkan fungsi dari t, sehingga terbukti
proporsi penduduk pada selang tersebut tidak berubah.
Berikut akan dituliskan salah satu hal yang penting dalam model
penduduk stabil, yaitu persamaan karakteristik penduduk stabil. Dari
persamaan (3) dan (4) diperoleh jumlah penduduk (wanita, jika diasumsikan
sebagai populasi wanita) yang hidup pada umur x pada waktu t:
.
Wanita pada persamaan tersebut memiliki fungsi fertilitas yang
dituliskan sebagai
, sehingga tingkat kelahiran pada waktu t diberikan
sebagai:
.
Jika diintegralkan terhadap x untuk tingkat kelahiran populasi saat
waktu t menghasilkan:
.
Dengan membagi B(t) diperoleh:
.
(11)
(12)
9
Jika α dan β adalah batas bawah dan batas atas dari umur produktif,
sehingga
untuk xβ, mka persamaan (12) dapat dituliskan
sebagai berikut:
.
(13)
Laju kelahiran intrinsik dari populasi stabil dapat dinotasikan sebagai
,
merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t terhadap jumlah
penduduk pada waktu t. Pada definisi diketahui bahwa
.
Bila kita memasukkan persamaan (5) maka laju kelahiran menjadi
,
.
Kita tahu bahwa jumlah penduduk yang mati pada tahun t adalah D(t), jadi
μ
Menurut definisi mortalitas didapat
Dari persamaan (5) didapatkan
.
.
μ
.
Dari persamaan(14) selanjutnya diperoleh
μ
Dari persamaan (14) dan (15) dan
dan selalu konstan setiap waktu.
Selanjutnya
.
tidak terpengaruh oleh t, jadi
10
μ
,
μ , dengan menggunakan integral parsial kita dapatkan
|
.
Tetapi
|
dan
(12) jadi kita mendapatkan bahwa
, dari persamaan
.
Mencari Nilai r Berdasarkan Data Sensus
Pada model penduduk stabil banyaknya populasi didefinisikan oleh
fertilitas dan mortalitas yang konstan terhadap proyeksi waktu. Meskipun
fertilitas dan mortalitas diasumsikan stabil kedua hal tersebut
dipresentasikan oleh angka kematian diskrit dan angka kelahiran diskrit
yang berasal dari sensus dan data statistik. Dalam hal ini hasil karakteristik
dan pendekatan r yang harus diselesaikan secara eksplisit.
Pertama kita akan mengasumsikan persamaan (13) menjadi fungsi
diskret
.
.
,
dengan
adalah tingkat fertilitas wanita umur x pada waktu t, dan adalah
umur rata-rata wanita didalam
dimana x< < x+1 .
adalah peluang
.
bayi hidup sampai umur , dimana kita akan memberikan nilai
Persamaan (16) dapat dipecahkan dengan menggunakan metode
iterasi. Salah satu metode yang dapat digunkan adalah metode NewtonRaphson. Untuk menggunakan metode newton-Raphson dibutuhkan fungsi
derivative dari persamaan (16). Ditandai sisi kiri dengan
, kita
mendapatkan
.
.
.
dengan mengganti nilai awal r ke dalam iterasi.
dihasilkan perkiraan nilai r yang secara konvergen mendekati nilai
sebenarnya.
Jika kita membentangkan
persamaan (16) menjadi
ke dalam deret Taylor dimana r=0, maka
11
∑
∑ .
.
.
Jika persamaan dipotong setelah
∑
∑
∑
.
.
…….
.
didapatkan persamaan kuadratik
∑
Nilai r dapat ditemukan dengan persamaan kuadratik.
(18)
.
Pada tinjauan pustaka telah dijelaskan bahwa NRR adalah jumlah bayi
wanita yang dilahirkan oleh wanita selama masa reproduksinya. Atau dapat
juga diintrepasikan sebagai jumlah bayi wanita yang akan menggantikan
posisi wanita yang melahirkanya, dimana waktu yang dibutuhkan seorang
bayi wanita untuk mencapai umur sama dengan umur ibunya saat
melahirkanya disebut sex-specific of generation (Brown, 1997), yang
dinotasikan sebagai T.
Sehingga jika B(t-T) adalah jumlah bayi wanita yang lahir pada waktu t-T
maka pada T tahun kemudian B(t-T+T)=B(t) bayi wanita. Rasio antara bayi
wanita tahun t dengan tahun t-T ini disebut tingkat reproduksi bersih (NRR),
diperoleh persamaan
.
Dari persamaan (3) kita peroleh :
ln
Model Penduduk Kuasi-Stabil
Pada model penduduk stasioner jumlah penduduk dianggap konstan
sepanjang tahun dengan asumsi fertilitas sama dengan mortalitas.
Sedangkan pada model penduduk stabil jumlah penduduk berubah menurut
tingkat pertumbuhan penduduk (r) yang sama sepanjang tahun, dengan
asumsi fertilitas dan mortalitas konstan serta faktor migrasi diabaikan.
Pada model penduduk kuasi-stabil diasumsikan fertilitas konstan
sedangkan mortalitas berubah. Mortalitas selalu diperbaiki diindikasikan
oleh laju kematian sesaat yang turun untuk semua umur, sehingga dari
naiknya kelahiran dan turunnya kematian menunjukkan bahwa laju
pertumbuhan penduduk lebih besar daripada laju kelahiran bayi. Sehingga
laju pertumbuhan penduduk berubah menurut waktu t dinotasikan
,
oleh karena itu maka menurut persamaan (7) total penduduk pada tahun t+n
menjadi:
12
exp
(20)
Ringkasnya, pada penduduk stabil
sedangkan
penduduk kuasi-stabil
untuk semua t jika laju kematian sesaat
(μ turun dan
untuk semua t jika laju kematian sesaat (μ naik.
dan μ
Misalkan μ
menyatakan laju kematian sesaat dari
peduduk umur x, yang lahir pada waktu a dan a+t , dimisalkan pula:
μ
μ
untuk semua x , k >0
(21)
Untuk penduduk kuasi-stabil didefinisikan oleh tiga parameter yaitu
laju pertumbuhan bayi
, mortalitas awal μ
, dan faktor perbaikan
mortalitas k, k>0. Dengan ketiga parameter tersebut maka jumlah penduduk
pada waktu t dapat diperoleh. Banyaknya penduduk pada waktu t, P(t):
exp
μ
exp
μ
exp
μ
exp
μ
Dengan menggunakan aturan turunan untuk perkalian P(t) terhadap t,
maka diperoleh:
13
.
diperoleh dengan membagi persamaan (23) dengan persamaan (22):
.
Dengan
adalah umur rata-rata yang diperoleh dari penduduk
kuasi-stabil pada waktu t. Persamaan (24) menunjukkan perbedaan antara
penduduk stabil dengan penduduk kuasi-stabil pada pertumbuhan
penduduknya, di mana pada pertumbuhan penduduk kuasi stabil
mengandung k, k>0 yaitu faktor perbaikan mortalitas.
APLIKASI PERTUMBUHAN STABIL DAN KUASI
STABIL PADA PENDUDUK INDONESIA
Model Penduduk Stabil
Struktur usia dan pertumbuhan dari suatu populasi ditentukan oleh
tingkat kelahiran, kematian, dan migrasi. Pada populasi stabil tidak ada
perubahan struktur usia.
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mecari model
pertumbuhan penduduk stabil dan akan dibuat model berdasarkan formula
sebagai berikut :
1. Dengan menggunakan persamaan (7)
didapatkan nilai r sebesar 0.012247
2. Dengan menggunakan persamaan r = CBR-CDR didapatkan nilai r
sebesar 0.0129
3. Dengan menggunakan metode persamaan (16) didapatkan nilai r
sebesar 0.013784
14
240,000,000
235,000,000
230,000,000
225,000,000
Metode 1
220,000,000
Metode 2
215,000,000
Metode 3
210,000,000
Aktual
205,000,000
200,000,000
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Gambar 1. Proyeksi Penduduk Stabil
Pada Gambar 1, dapat dilihat hasil proyeksi metode 3 memiliki galat
paling kecil di antara metode yang lain yaitu 1.646% , metode 2 2.075% dan
metode 1 2.398%.
Model Kuasi-Stabil
Menurut pembahasan di atas, maka metode stabil kurang bagus untuk
menggambarkan kondisi penduduk di Indonesia. Oleh karena itu akan
dibahas mengenai aplikasi tentang metode kuasi-stabil untuk penduduk
Indonesia. Pada metode ini faktor yang sangat berpengaruh untuk
memproyeksikan total penduduk wanita di Indonesia adalah k, yaitu faktor
perbaikan kematian. Kematian itu sendiri dapat disebabkan oleh beberapa
faktor, antara lain kecelakaan, kematian normal, kematian mendadak,
penyakit. Ada tiga faktor utama penyebab kecelakaan antara lain adalah
faktor manusia, kendaraan, dan lingkungan. Kematian normal yang
dimaksud di sini adalah kematian yang melalui proses menua secara
perlahan. Sedangkan untuk kematian mendadak adalah kematian yang
terjadi tanpa melalui sakit atau kecelakaan, seperti bunuh diri, ibu yang
meninggal pada saat melahirkan dan kematian neonatal. Kematian neonatal
adalah kematian bayi yang berumur 0 sampai 28 hari setelah hidup atau bayi
berumur 1 bulan (Mc Donald 1990, diacu dalam Sapriana 2006). Kematian
dewasa umumnya disebabkan karena penyakit menular, penyakit
degeneratif, kecelakaan atau gaya hidup yang beresiko terhadap kematian.
Kematian bayi dan balita umumnya disebabkan oleh penyakit sistim
pernapasan bagian atas (ISPA) dan diare, yang merupakan penyakit karena
infeksi kuman. Faktor gizi buruk juga menyebabkan anak-anak rentan
terhadap penyakit menular, sehingga mudah terinfeksi dan menyebabkan
tingginya kematian bayi dan balita di sesuatu daerah. Faktor sosial ekonomi
seperti pengetahuan tentang kesehatan, gisi dan kesehatan lingkungan,
kepercayaan, nilai-nilai, dan kemiskinan merupakan faktor individu dan
keluarga, mempengaruhi mortalitas dalam masyarakat. Tingginya kematian
15
Ibu merupakan cerminan dari ketidak tahuan masyarakat mengenai
pentingnya perawatan Ibu hamil dan pencegahan terjadinya komplikasi
kehamilan(www.datastatistik-indonesia.com).
Nilai k akan dapat berubah-ubah dalam kehidupan nyata, nilai dari
faktor perbaikan kematian dapat dipengaruhi dari beberapa aspek, di
antaranya adalah dengan meningkatkan taraf hidup, memperbaiki aspek
kesehatan, dan menurunkan tingkat kriminalitas.
Nilai k diperoleh berdasarkan 3 cara:
1. Menghitung nilai k berdasarkan rata-rata dari k(x)
∑
.
2. Menghitung nilai k dengan mengasumsikan bahwa nilai k
nilai k
merupakan fungsi linear terhadap umur.
dihitung dengan menggunakan regresi.
3. Menggunakan k(x) yang asli
.
Berdasarkan masing-masing metode diperoleh tiga model untuk
, yaitu
Metode 1 : k dihitung berdasarkan rata-rata dari k(x) dengan menggunakan
metode ini didapatkan nilai k sebesar 0.0006966 dan nilai r
sebesar 0.026504.
Metode 2 : k diasumsikan merupakan fungsi linear terhadap umur, dengan
menggunakan
metode
ini
didapatkan
nilai
.
.
dengan nilai r sebesar 0.000791.
Metode 3 : menggunakan k(x) yang asli didapat nilai r sebesar 0.009437.
245,000,000
240,000,000
235,000,000
230,000,000
225,000,000
Metode 1
220,000,000
Metode 2
215,000,000
Metode 3
210,000,000
Aktual
205,000,000
200,000,000
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Gambar 2. Proyeksi Penduduk Kuasi‐Stabil
16
Pada Gambar 2 dapat dilihat bahwa proyeksi metode 1 paling mendekati
dengan nilai yang sebenarnya, dengan galat sebesar 1.107% dan nilai k
sebesar 0.000696.
Tabel 1. Nilai galat setiap model
Model
Stabil
Metode 1
Metode 2
Metode 3
Kuasi-stabil
Metode 1
Metode 2
Metode 3
Galat
2.398%
2.075%
1.6457%
1.107%
5.1882%
3.116%
Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa model kuasi-stabil memiliki galat
yang paling kecil yaitu pada model 1 sebesar 1.107%. Pada model ini masih
mempunyai beberapa kelemahan yaitu tidak ikut disertakannya faktor
migrasi, mobilitas sosial, serta angka harapan hidup yang selalu berubahubah setiap tahunnya.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan pada karya ilmiah ini
dapat diambil beberapa kesimpulan, antara lain :
1. Data penduduk Indonesia tahun 2005 dan 2010 tidak dapat
digunakan untuk model pertumbuhan stabil. Karena masih memiliki
nilai galat yang cukup besar yaitu 1.646%.
2. Model kuasi-stabil mendapat hasil terbaik pada tahun 2010 nilai k=
0.0006966 dengan galat sebesar 1.107%.
3. Berdasarkan model kuasi-stabil metode 1 didapatkan hasil proyeksi
penduduk Indonesia sebesar 235,236,560.
4. Model ini masih memiliki keterbatasan dalam mengindikasikan
angka harapan hidup yang berubah-ubah dalam setiap tahunnya.
Saran
Dalam rangka melengkapi dan menyempurnakan karya ilmiah
mengenai model pertumbuhan kuasi-stabil beberapa aspek yang diperlukan.
Seperti migrasi, mobilitas sosial serta angka harapan hidup yang berubahubah setiap tahunnya.
17
DAFTAR PUSTAKA
[BPS] Badan Pusat Stastistik (ID). [internet]. [diunduh 29 Des 2013].
Tersedia pada:http//www.datastatistik-indonesia.com.
Brown RL. 1997. Introduction to the Mathematics of Demography. United
States of America: ACTEX
Dhawie Christ. 2011. Teori Kependudukan. [internet].[diunduh 27 Des
2013]. Tersedia pada: http//christdhawie.blogspot.com/2011/07/teoriteori-kependudukan.html.
Gondomono H.2009. Model Pertumbuhan Penduduk Kuasi-Stabil dan
Aplikasi Terhadap Data Penduduk Indonesia [Skripsi]. Bogor (ID):
Institut Pertanian Bogor
Hadi FSC. 2008. Modifikasi Metode Rele untuk Model Penduduk KuasiStabil [Tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Sapriana. 2006. Analisis Faktor Resiko Kejadian Kematian Neonatal di
Rumah Sakit Umum Daerah Undata Palu Periode 2003-2005. Karya
Ilmiah. Fakultas Kesehatan Masyarakat Universitas Hasanuddin.
Makassar
18
Lampiran 1.
Uraian persamaan 16
Di ketahui :
Laju kematian sesaat :
Akan dibuktikan
.
S(X) adalah peluang hidup bayi sampai umur x.
Bukti :
Jika
, maka
Jadi
.
( 15.1 )
merupakan peluang penduduk umur 0 bertahan hidup sampai dengan
umur x,
Dengan mnggunakan persamaan 15.1 didapat
.
.
. exp
.
19
Lampiran 2.
Tabel 2. Data Penduduk Indonesia tahun 2000
Populasi
Kelompok
umur
Laki-laki
Perempuan
Total
0-4
11,689,126
11,286,663
22,975,789
5-9
11,088,005
11,088,005
22,176,010
10-14
10,811,692
10,483,347
21,295,039
15-19
10,894,682
10,592,934
21,487,616
20-24
10,730,734
10,326,572
21,057,306
25-29
9,860,656
9,458,310
19,318,966
30-34
8,871,346
8,286,038
17,157,384
35-39
7,444,456
7,578,665
15,023,121
40-44
6,275,221
6,821,886
13,097,107
45-49
4,939,556
5,561,111
10,500,667
50-54
3,538,417
3,756,367
7,294,784
55-59
3,298,065
3,591,664
6,889,729
60-64
2,766,891
2,918,499
5,685,390
65-69
2,046,985
2,362,196
4,409,181
70-74
1,329,778
1,495,429
2,825,207
75+
1,207,567
1,428,606
2,636,173
Total
106,793,177
107,036,292
213,829,469
Sumber: Data Sensus Penduduk 2005 - Badan Pusat Statistik Republik
Indonesia
20
Lampiran 3.
Tabel 3. Data Penduduk Indonesia tahun 2010
Populasi
Kelompok
umur
Laki-laki
Perempuan
Total
0-4
11,662,369
11,016,333
22,678,702
5-9
11,974,094
11,279,386
23,253,480
10-14
11,662,417
11,008,664
22,671,081
15-19
10,614,306
10,266,428
20,880,734
20-24
9,887,713
10,003,920
19,891,633
25-29
10,631,311
10,679,132
21,310,443
30-34
9,949,357
9,881,328
19,830,685
35-39
9,337,517
9,167,614
18,505,131
40-44
8,322,712
8,202,140
16,524,852
45-49
7,032,740
7,008,242
14,040,982
50-54
5,865,997
5,695,324
11,561,321
55-59
4,400,316
4,048,254
8,448,570
60-64
2,927,191
3,131,570
6,058,761
65-69
2,225,133
2,468,898
4,694,031
70-74
1,531,459
1,924,872
3,456,331
75-79
842,344
1,135,561
1,977,905
80-84
481,462
661,708
1,143,170
182,432
63,948
36,095
119,630,913
255,529
106,951
68,559
118,010,413
437,961
170,899
104,654
237,641,326
85-89
90-94
95+
Jumlah
Sumber: Data Sensus Penduduk 2010 - Badan Pusat Statistik Republik
Indonesia
Lampiran 4.
Tabel 4. Data Penduduk Indonesia tahun 2005
Kelompok
umur
Laki-laki
Perempuan
Total
e0
lx
Lx
Tx
S
ASFR
0-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75+
9,983,140
11,370,615
11,238,221
10,370,890
9,754,543
9,271,546
8,709,370
8,344,025
7,401,933
6,418,712
5,266,079
3,813,793
2,800,974
1,990,762
1,470,205
1,408,711
9,608,600
10,739,089
10,614,026
9,958,783
10,150,607
9,821,617
9,054,955
8,428,967
7,347,511
6,190,218
4,851,176
3,563,361
2,918,499
2,192,385
1,570,199
1,462,776
19,591,740
22,109,704
21,852,247
20,329,673
19,905,150
19,093,163
17,764,325
16,772,992
14,749,444
12,608,930
10,117,255
7,377,154
5,719,473
4,183,147
3,040,404
2,871,487
66.1816700
68.3435200
65.4472000
60.8844700
56.1083900
51.5044900
47.0000200
42.5310900
38.0922000
33.6981500
29.3728300
25.1631300
21.1275300
17.2913000
13.7568200
10.5974800
100,000
92,702
92,220
91,873
91,338
90,610
89,767
88,782
87,564
86,025
83,921
80,927
76,612
70,074
60,190
46,128
474,013
462,184
460,266
458,081
454,081
451,030
446,472
440,986
434,125
425,077
412,421
394,279
367,369
326,650
267,202
188,279
6,463,380
5,989,366
5,527,182
5,066,916
4,608,835
4,153,889
3,702,860
3,256,387
2,815,402
2,381,276
1,956,200
1,543,778
1,149,499
782,130
455,480
188,279
0.9480270
0.9243680
0.9205320
0.9161620
0.9098910
0.9020600
0.8929440
0.8819710
0.8682510
0.8501540
0.8248430
0.7885570
0.7347380
0.6533000
0.5344030
0.3765570
51
131
143
99
66
19
4
-
21
22
Lampiran 5
Tabel 5. Nilai k pada metode 1 dan 2
Kelompok umur
Laki-laki
Perempuan
e0
S
µ( 2000)
µ (2005)
k
0-4
9,983,140
9,608,600
66.1816700
0.9480270
0.007471
0.018376463
-0.002181093
2.299777868
0.919911147
5-9
11,370,615
10,739,089
68.3435200
0.9243680
0.001189
0.013557291
-0.002473658
6.170721031
0.822762804
10-14
11,238,221
10,614,026
65.4472000
0.9205320
0.000587
0.003882443
-0.000659089
9.073096236
0.725847699
15-19
10,370,890
9,958,783
60.8844700
0.9161620
0.000672
0.001085975
-8.2795E-05
10.81598557
0.618056318
20-24
9,754,543
10,150,607
56.1083900
0.9098910
0.001009
0.00110504
-1.92079E-05
11.4116678
0.507185236
25-29
9,271,546
9,821,617
51.5044900
0.9020600
0.00132
0.001731169
-8.22339E-05
11.03415562
0.401242023
30-34
8,709,370
9,054,955
47.0000200
0.8929440
0.001596
0.002184254
-0.000117651
9.948202513
0.306098539
35-39
8,344,025
8,428,967
42.5310900
0.8819710
0.001985
0.002567957
-0.000116591
8.438416333
0.225024436
40-44
7,401,933
7,347,511
38.0922000
0.8682510
0.002633
0.003063777
-8.61554E-05
6.767374887
0.15923235
45-49
6,418,712
6,190,218
33.6981500
0.8501540
0.003744
0.003800298
-1.12595E-05
5.141148614
0.108234708
50-54
5,266,079
4,851,176
29.3728300
0.8248430
0.005534
0.004987534
0.000109293
3.696194107
0.070403697
55-59
3,813,793
3,563,361
25.1631300
0.7885570
0.008267
0.006973298
0.00025874
2.505835934
0.043579755
60-64
2,800,974
2,918,499
21.1275300
0.7347380
0.012795
0.010072971
0.000544406
1.586952888
0.025391246
65-69
1,990,762
2,192,385
17.2913000
0.6533000
0.020819
0.015205855
0.001122629
0.920322541
0.013634408
70-74
1,470,205
1,570,199
13.7568200
0.5344030
0.035092
0.024033025
0.002211795
0.471601231
0.006504845
75+
1,408,711
1,462,776
10.5974800
0.3765570
0.099097
0.035450126
0.012729375
0.200086214
0.002581758
22
Lampiran 6
Mencari nilai regresi dari nilai k terhadap umur x
SUMMARY
OUTPUT
Regression Statistics
Multiple R
0.646993195
R Square
0.418600195
Adjusted R
Square
0.377071637
Standard Error
0.002673856
Observations
16
ANOVA
Regression
Residual
Total
Intercept
X Variable 1
df
1
14
15
SS
7.20657E‐05
0.000100093
0.000172159
MS
7.20657E‐05
7.14951E‐06
Coefficients
‐0.002986455
9.20778E‐05
Standard
Error
0.001338893
2.9002E‐05
t Stat
‐2.230540875
3.174872505
F
10.07981542
Significance F
0.006749507
P‐value
0.042586464
0.006749507
Lower 95%
‐0.005858094
2.98746E‐05
Upper 95%
‐0.000114816
0.000154281
Lower 95.0%
‐0.005858094
2.98746E‐05
Upper 95.0%
‐0.000114816
0.000154281
23
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Wonogiri pada 6 Desember 1989 sebagai anak pertama
dari dua bersaudara, anak dari bapak Mursid dan ibu Wiwin Wahyuni.
Tahun 2001 penulis menyelesaikan pendidikannya di SDN Sanan II.
Tahun 2004 penulis menyelesaikan pendidikannya di SMPN 1 Cangkringan
Sleman DIY. Tahun 2007 penulis menyelesaikan pendidikannya di SMAN 3
Depok dan pada tahun yang sama penulis berkesempatan untuk melanjutkan
studinya di IPB. Penulis memilih mayor Matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, Penulis aktif dalam organisasi
kemahasiswaan, seperti organisasi himpunan profesi Departemen
Matematika yaitu Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika), BEM FMIPA
IPB,Koperasi Mahasiswa dan Lembaga DKM Al - Hurriyah. Penulis juga
pernah terlibat dalam berbagai kegiatan mahasiswa, antara lain sebagai
panitia penyelenggara Spirit, AC-fest, pesta Sains dan masih beberapa acara
mengenai Leadership Training.