Modifikasi Metode Rele untuk Model Penduduk Quasi-Stabil

QUASI-STABIL

CECEP A.H.F. SANTOSA

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

©Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008

Hak Cipta dilindungi undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh hasil karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilimiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

QUASI-STABIL

CECEP A.H.F. SANTOSA

Tesis

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Modifikasi Metode Rele untuk Penduduk Quasi-Stabil adalah karya saya sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir thesis ini.

Bogor, Februari 2008

Cecep A.H.F. Santosa NIM. G551050041

CECEP A.H.F. SANTOSA. Modification of Rele’s Method for Quasi-Stable

Population Model. Under the supervision from HADI SUMARNO and N.K. KUTHA

ARDANA.

Due to the difficulty to find a vital statistic in the most countries, especially in

underdeveloped countries, this study was developed to find a relationship between

fertility measure derived from census data such as

Child-Woman Ratio

(

CWR

) and

combination of vital statistic and census data (direct measure) such as

Gross

Reproduction Rate

(

GRR

). In 1967, Rele developed indirect measure of fertility

method to find

GRR

from

CWR

and expected life at birth using stable population

model.

The main objective of this paper is to modify of Rele method using

quasi-stable population model and compare the result of estimation

GRR

of each models.

This paper determine the ultimate age distribution of stable and quasi-stable

population models. Next,

CWR

from number of age distribution and model relation

between

GRR

and

CWR

was computed, this result is called original model.

Furthermore, the original model was developed to find the relation between

GRR

and

CWR

and compare to the original model.

From the comparison between the models and the actual data, the quasi-stable

population model is better than the stable population model.

Keyword:

vital statistic gross reproduction rate, stable population, quasi-stable

population, child-woman ratio.

CECEP A.H.F. SANTOSA. Modifikasi Metode Rele untuk Model Penduduk

Quasi-Stabil. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan N.K. KUTHA ARDANA.

Didasari oleh kesulitan untuk memperoleh data

vital statistic

untuk penduduk

di hampir semua negara terutama di negara-negara berkembang, penelitian ini

dikembangkan untuk mencari hubungan antara ukuran fertilitas yang diturunkan dari

data sensus seperti

Child-Woman Ratio

(

CWR

) dan ukuran fertilitas yang

dikembangkan dari kombinasi

vital statistic

dan data sensus (ukuran langsung) seperti

Gross Reproduction Rate

(

GRR

). Pada tahun 1967, Rele mengembangkan suatu

metode tidak langsung untuk mencari nilai

GRR

dari

CWR

dan angka harapan hidup

saat lahir (

e

00

) dengan menggunakan model populasi stabil. Intinya metode Rele

merupakan suatu metode yang digunakan untuk menduga nilai

GRR

dari nilai

CWR

dan nilai

e

00

. Dasar yang digunakan untuk menghitung

CWR

dalam metode Rele

adalah menghitung sebaran jumlah penduduk menurut umur berdasarkan model

penduduk stabil. Sebaran jumlah penduduk tersebut diperoleh dengan mencari tingkat

pertumbuhan penduduk (

r

) untuk model penduduk stabil, menentukan

GRR

dan nilai

e

00

, dan nilai

L

i

(penduduk tengah tahun umur

i

) berdasarkan pada nilai

e

00

. Dari

sebaran jumlah penduduk yang telah dibentuk, kemudian dihitung nilai

CWR

.

Langkah terakhir adalah melakukan analisis hubungan antara

GRR

dan

CWR

Tujuan utama dari thesis ini adalah memodifikasi metode Rele dengan

menggunakan model penduduk quasi-stabil dan membandingkan hasil dugaan

GRR

untuk masing-masing model. Pada model penduduk stabil, fertilitas dan mortalitas

diasumsikan konstan, sedangkan pada model penduduk quasi-stabil diasumsikan

fertilitas konstan sedangkan mortalitas berubah. Mortalitas selalu diperbaiki seperti

diindikasikan oleh laju kematian sesaat yang turun untuk semua umur, sehingga dari

naiknya kelahiran dan turunnya kematian menunjukkan bahwa laju pertumbuhan

penduduk lebih besar daripada laju kelahiran bayi. Untuk membedakan kedua laju

tersebut maka dipakai notasi

r

p

untuk laju pertumbuhan penduduk dan

r

b

untuk laju

kelahiran bayi, sehingga untuk model pertumbuhan quasi-stabil persamaan

nr

e

t

B

n

t

B

(

+

)

=

(

)

pada model penduduk stabil akan berubah menjadi

b

nr

e

t

B

n

t

B

(

+

)

=

(

)

. Laju pertumbuhan penduduk berubah menurut waktu

t

dinotasikan

r

p

(

t

), sehingga total penduduk pada tahun

t

+

n

adalah:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

+

∫

+

n t

t p

ds s r t

P n t

P( ) ( )exp ( )

Ringkasnya, pada penduduk stabil

r

b

=

r

p

(

t

)

=

r

sedangkan pada penduduk

quasi-stabil

r

p

(

t

)

>

r

b

untuk semua

t

jika laju kematian sesaat

(

μ

_x

)

turun dan

r

p

(

t

)

<

r

b

untuk semua

t

jika laju kematian sesaat

(

μ

_x

)

naik.

Pada thesis ini dihitung sebaran umur untuk model penduduk stabil dan

quasi-stabil. Selanjutnya dihitung

CWR

dari jumlah sebaran umur dan dicari pula model

hubungan antara

GRR

dan

CWR

untuk kedua model penduduk tersebut, hasil dari

dikembangkan dan dibandingkan antara model awal dengan model hasil

pengembangan.

Dalam kondisi penduduk stabil, hubungan antara

Child Woman Ratio

(

CWR

)

dengan

Gross Reproduction Rate

(

GRR

) adalah :

T r

e

G

K

X

=

* Δ

dengan

X

=

CWR

,

G

=

GRR

,

K

*

=K S

w

(T

) merupakan konstanta,

r

menyatakan laju

pertumbuhan penduduk stabil dan

GRR

akan linier terhadap CWR jika

ΔT

mendekati nol.

Dengan menerapkan model di atas pada penduduk quasi-stabil, dengan laju

kematian sesaat menurun secara linier sebagai berikut:

kt

a

t

a

_x

x

(

+

)

=

μ

(

)

−

μ

dan faktor perbaikan mortalitas yang dipilih

k

= 0.0002, maka diperoleh hubungan

antara

GRR

dengan

CWR

untuk masing-masing

e

00

. Hasil dari pendugaan nilai

GRR

tersebut kemudian dibandingkan dengan data yang tersedia, ternyata dugaan

GRR

dengan menggunakan model penduduk quasi-stabil lebih baik dibandingkan dengan

dugaan ketika menggunakan model penduduk stabil.

Model

GRR

dengan menggunakan satu peubah, yaitu

CWR

untuk

masing-masing

e

00

yang telah diperoleh sebelumnya, kemudian dikembangkan sehingga

untuk menduga

GRR

cukup hanya dengan satu persamaan saja. Model

GRR

hasil

modifikasi tersebut ternyata tidak berbeda dengan model awal yang diperoleh, hal

tersebut dilihat dari nilai

proportional error

dan

R

2

terkoreksi untuk masing-masing

model. Sehingga model yang digunakan untuk menduga

GRR

cukup dengan satu

persamaan, yaitu:

0 0 0

0 0.0255 00643

. 0 55

. 5 217 .

0 CWR e CWRe

GRR= + − −

Untuk Indonesia, berdasarkan fakta bahwa pertumbuhan penduduk setiap

periode selalu mengalami perubahan, maka jelas bahwa Indonesia tidak tepat jika

didekati dengan model penduduk stabil, model yang paling mendekati keadaan di

Indonesia adalah model quasi-stabil dengan nilai faktor perbaikan mortalitas

k

dapat

diduga dengan persamaan

k

= -0.163 + 0.000083

t

, dimana

t

adalah tahun.

Kata kunci :

vital statistic, gross reproduction rate

,

model penduduk stabil, model

penduduk quasi stabil, child-woman ratio.

NIM : G551050041

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Ketua

Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc. Anggota

Diketahui

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

Dekan Sekolah Pasca Sarjana

Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juni 2007 ini adalah Modifikasi Metode Rele untuk Penduduk Quasi-Stabil.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. dan Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku pembimbing serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. Di samping itu, ungkapan terima kasih penulis sampaikan juga kepada rekan-rekan mahasiswa atas diskusinya, serta pihak lain yang tidak bisa disebutkan satu persatu. Semoga atas semua kebaikan dapat bernilai ibadah dan dibalas oleh Allah SWT dengan kebaikan yang berlipat. Terakhir penulis sampaikan terima kasih kepada Ayah, Ibu, Istri, serta seluruh keluarga, atas do’a dan kasih sayangnya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Februari 2008

Penulis dilahirkan di Sumedang pada tanggal 5 Januari 1981 dari ayah Drs. Maman Sholehuddin S.A. dan Ibu Yeyet Rohayati. Penulis merupakan putra kedua dari dua bersaudara.

Tahun 2000 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Subang Jawa Barat dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Kesempatan untuk melanjutkan program magister pada program studi dan pada perguruan tinggi yang sama diperoleh pada tahun 2005.

Penulis adalah staf pengajar di Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta sejak Agustus 2006. Mata Kuliah yang diajarkan adalah Matematika Dasar dan Aljabar Linear.

Halaman

DAFTAR TABEL ... ix

DAFTAR GAMBAR ... x

DAFTAR LAMPIRAN ... xi

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 3

ALUR PENELITIAN ... 4

MODEL MATEMATIKA KEPENDUDUKAN 3.1 Ukuran Fertilitas ... 5

3.2 Model Pertumbuhan Penduduk ... 7

3.2.1 Model Penduduk Stabil ... 7

3.2.2 Pendugaan GRR dengan Metode Rele ... 11

3.2.3 Modifikasi Metode Rele dengan Menggunakan Penduduk Quasi- Stabil ... 12

3.2.4 Laju Kelahiran Intrinsik Penduduk Quasi-Stabil ... 13

PEMBAHASAN ... 4.1 Tingkat Pertumbuhan Penduduk ... 15

4.2 Pembentukan Populasi Penduduk ... 15

4.3 Hubungan GRR dan CWR ... 17

4.4 Analisis Regresi ... 19

4.5 Kasus di Indonesia ... 29

KESIMPULAN DAN SARAN ... 33

DAFTAR PUSTAKA ... 35

Halaman 1. Rata-rata tingkat kelahiran menurut sebaran umur wanita (Rele 1967) ... 16 2. Nilai proportional error nilai dugaan terhadap nilai aktual untuk masing- masing model penduduk ... 23 3. Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk regresi GRR = a + b CWR tanpa memperhatikan nilai e00 ... 24

4. Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk regresi GRR = a + b CWR + c e00 ... 26

5. Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk regresi GRR = a + b CWR + c e00 + d CWRe00 ... 27

6. Perbandingan nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk semua bentuk hubungan GRR = f(CWR, e00) ... 28

Halaman

1. Alur Penelitian ... 4

2. Alur Penelitan Metode Rele ... 11

3. Hubungan antara Child Woman Ratio (CWR) dan Gross Reproduction Rate GRR berdasarkan angka harapan hidup (e00) untuk penduduk stabil ... 20

4. Hubungan antara Child Woman Ratio (CWR) dan Gross Reproduction Rate GRR berdasarkan angka harapan hidup (e00) untuk penduduk quasi-stabil 20 5. Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing-masing model penduduk untuk e00=60 ... 21

6. Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual untuk model penduduk stabil dan quasi stabil ... 22

7. Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing-masing model penduduk untuk e00=70 ... 22

8. Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil untuk e00=70 ... 23

9. Tebaran GRR=f(CWR, e00) untuk model penduduk stabil ... 25

10. Tebaran GRR=f(CWR, e00) untuk model penduduk quasi-stabil ... 25

11. Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing-masing model penduduk untuk model regresi GRR = a + b CWR + c e00 + d CWR e00 ... 27

12. Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing-masing model penduduk untuk model regresi GRR = a + b CWR + c e00 + d CWR e00 ... 28

13. Tingkat kelahiran kasar penduduk Indonesia ... 29

14. Tingkat kematian kasar penduduk Indonesia ... 30

15. Tingkat pertumbuhan penduduk Indonesia ... 30

Halaman 1. Pembentukan jumlah penduduk menurut sebaran umur stabil dan quasi-

stabil (menggunakan software Mathematica 5.0) ... 37

2. Sebaran jumlah penduduk menurut umur model penduduk stabil berdasar- kan tingkat GRR dan angka harapan hidup ... 41

3. Proses perhitungan U dan V ... 47

4. Proses perhitungan Child-Woman Ratio (CWR) (mengguna- kan software Mathematica 5.0) ... 49

5. Nilai Child-Woman Ratio (CWR) untuk penduduk stabil ... 51

6. Nilai Child-Woman Ratio (CWR) untuk penduduk quasi-stabil ... 52

7. Koefisien regresi untuk pendugaan Gross Reproduction Rate (GRR) dan Child Woman Ratio (CWR) ... 53

8. Analisis Regresi (menggunakan softwareMinitab 14) ... 54

9. Perhitungan perbandingan nilai GRR terhadap nilai aktual (menggunakan software Mathematica 5.0) ... 62

10. Perhitungan perbandingan nilai GRR terhadap nilai aktual (menggunakan software Mathematica 5.0) ... 63

11. Nilai dugaan GRR, aktual, dan galat untuk masing-masing model penduduk berdasarkan angka harapan hidup e00= 60 ... 64

12. Nilai dugaan GRR, aktual, dan galat untuk masing-masing model penduduk berdasarkan angka harapan hidup e00= 70 ... 65

13. Nilai dugaan GRR, aktual, dan galat untuk masing-masing model penduduk untuk bentuk regresi GRR = a+b CWR+ c e00 + d CWR e00 ... 66

14. Nilai Crude Birth Rate (CBR) negara Indonesia (PBB 2008)... 67

15.Nilai Crude Death Rate (CDR) negara Indonesia (PBB 2008) ... 68

16. Tingkat pertumbuhan penduduk Indonesia (PBB 2008) ... 69

17. Data Age-Specific Mortality Rate (ASMR) negara Indonesia (diolah dari data PBB 2008) ... 70

18. Proses Proses Perhitungan Nilai faktor perbaikan mortalitas k (mengguna- kan Software Mathematica 5.0) ... 71

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Hampir di semua negara berkembang sekarang ini, analisis kelahiran merupakan permasalahan kependudukan utama yang dihadapi. Hal ini disebabkan oleh keterbatasan data dasar yang diperoleh mengenai jumlah kelahiran. Padahal, pada saat yang sama, urgensi untuk menentukan pendugaan yang tepat mengenai tingkat kelahiran, atau ukuran pusat dari kelahiran merupakan sesuatu yang sangat penting di negara-negara berkembang seperti halnya di negara maju dalam rangka membantu perencanaan wilayah dan pengembangan ekonomi (Rele 1967).

Negara-negara berkembang dengan angka fertilitas yang relatif tinggi dan jumlah penduduk yang besar, seringkali mengalami kesulitan dalam melaksanakan registrasi kelahiran penduduk secara lengkap sehingga tidak mempunyai vital statistic yang dapat dijadikan acuan yang terpercaya. Vital

statistic adalah data atau informasi yang dimiliki suatu negara tentang dinamika

penduduknya. Tiga komponen utama vital statistic adalah fertilitas, mortalitas, dan migrasi atau perpindahan penduduk. Di samping tiga hal di atas, vital statistic juga dilengkapi dengan informasi atau catatan mengenai kejadian-kejadian demografi yang lainnya seperti usia perkawinan, jumlah perkawinan, dan data keluarga, maupun jumlah tenaga kerja. Di antara negara-negara berkembang yang ada, Indonesia termasuk dalam negara yang tidak mempunyai vital statistic yang lengkap.

Bogue dan Palmore (1964) mengemukakan bahwa prinsip ukuran fertilitas dapat dikelompokkan dalam dua macam, yaitu ukuran yang diperoleh dari kombinasi vital statistic dan data sensus (dinamakan direct measure) dan ukuran yang diturunkan hanya dari data sensus (dinamakan indirect measure). Ukuran fertilitas yang diturunkan dari kombinasi vital statistic dan data sensus (direct

measure) antara lain:

b. General Fertility Rate (GFR) = jumlah kelahiran dalam setahun per 1000 wanita yang dapat melahirkan anak (15 – 40 tahun) pada tengah tahun.

c. Age Specific Fertility Rates (ASFR) = jumlah kelahiran per tahun

terhadap 1000 wanita pada umur tertentu.

d. Total Fertility Rate (TFR) = penjumlahan dari Age Specific

Fertility Rates untuk semua umur antara 15 sampai 49 tahun.

e. Gross Reproduction Rate (GRR) = penjumlahan dari ASFR, jika

hanya memperhatikan bayi wanita.

Saat ini, para ahli demografi telah mengembangkan beberapa ukuran fertilitas yang berbeda, dengan kelebihan dan kekurangan masing-masing. Diantara ukuran tidak langsung adalah metode Rele untuk menghitung GRR, metode Palmore untuk menghitung TFR dan ASFR, metode Own-Children Method dan metode Last life birth. Pada umumnya ukuran tidak langsung diperoleh melalui sensus penduduk atau survei yang dilakukan sepuluh tahun sekali. Namun data yang diperoleh dari sensus sangat terbatas, hanya memberikan informasi jumlah penduduk yang hidup pada saat sensus diadakan. Sensus tidak mencatat jumlah bayi lahir hidup yang kemudian meninggal pada waktu sensus belum diadakan. Sehingga gambaran tentang fertilitas diperoleh secara tidak langsung melalui distribusi penduduk menurut umur yang tersedia dari data sensus.

Maksud dari penelitian ini adalah melakukan modifikasi metode pengukuran fertilitas tidak langsung yang dikembangkan oleh Rele dengan menggunakan basis data yang lebih sesuai untuk kondisi negara berkembang.

1.2 Tujuan

Tujuan utama dari penelitian ini adalah melakukan modifikasi metode Rele menggunakan model penduduk quasi-stabil. Secara spesifik, tujuan penelitian adalah :

1. Menentukan tingkat pertumbuhan penduduk (r) untuk penduduk stabil 2. Menyusun sebaran jumlah penduduk dengan model penduduk

3. Mencari bentuk hubungan antara Child-Woman Ratio (CWR) dengan

Gross Reproduction Rate (GRR) menggunakan model penduduk

quasi-stabil.

4. Membandingkan metode pengukuran GRR berdasarkan model penduduk quasi-stabil dengan model penduduk stabil yang dikembangkan oleh Rele.

BAB II

ALUR PENELITIAN

Pada penelitian ini akan ditentukan pendugaan bagi Gross Reproduction

Rate (GRR) dengan menggunakan asumsi penduduk stabil dan quasi-stabil, yaitu

dengan menguji hubungan yang terjadi antara Gross Reproduction Rate (GRR)

dan Child-Woman Ratio (CWR).

Langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan Gross Reproduction Rate untuk masing-masing model penduduk (stabil dan quasi-stabil) adalah sebagai berikut:

1. Membangkitkan data hipotetik berdasarkan model penduduk stabil dan quasi-stabil untuk berbagai nilai harapan hidup saat lahir (e00) dan GRR.

2. Menghitung nilai Child-Woman Ratio (CWR) berdasarkan data yang diperoleh dari langkah 1.

3. Mencari bentuk hubungan GRR dan CWR untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil.

4. Analisis bentuk hubungan GRR dan CWR untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil.

5. Membandingkan dugaan GRR untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil terhadap nilai aktual GRR yang tersedia.

Langkah-langkah tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 1 Alur penelitian.

r, GRR, e00, Li Penduduk stabil Child-Woman Ratio

Mencari bentuk hubungan

GRR danCWR Penduduk

quasi-stabil

Membandingkan dugaan model penduduk

stabil dan quasi-stabil modifikasi

BAB III

MODEL MATEMATIKA KEPENDUDUKAN

3.1 Ukuran Fertilitas

Fertilitas merupakan performan reproduksi aktual dari seorang wanita atau sekelompok individu yang pada umumnya dikenakan pada seorang wanita atau sekelompok wanita.

Berikut beberapa ukuran fertilitas yang dikenalkan oleh Brown (1997) diantaranya adalah Crude Birth Rate (CBR) atau angka kelahiran kasar, merupakan ukuran kelahiran yang sering digunakan. CBR dapat dihitung dengan cara:

) (

) (

t P

t B

CBR=

dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan P(t) merupakan jumlah penduduk pada waktu t.

Pada CBR ini jumlah kelahiran tidak dikaitkan secara langsung dengan penduduk wanita, melainkan dikaitkan dengan jumlah penduduk secara keseluruhan. Untuk itu, diperlukan ukuran fertilitas yang lebih spesifik yaitu

General Fertility Rate (GFR) yang merupakan rasio jumlah kelahiran hidup

terhadap jumlah wanita umur reproduksi. Umur reproduksi adalah umur dimana wanita masih dapat hamil dan melahirkan bayi.

) (

) (

t P

t B

GFR= _w

dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan Pw(t) merupakan jumlah penduduk wanita umur reproduksi pada waktu t.

Rasio Anak-Wanita (Child-Woman Ratio) merupakan ukuran fertilitas yang diperoleh dari sensus penduduk (Palmore 1978), CWR ini dinyatakan dengan rasio jumlah anak umur selang

[ ]

c,d tahun terhadap wanita umur reproduksi selang

[ ]

h,k tahun dinyatakan dalam rumus:

[ ]

[ ]hwk

d c P P CWR

, ,

dengan P_{[ ]c,d} merupakan jumlah penduduk selang umur

[ ]

c,d tahun dan P_{[ ]h}w,_k

merupakan jumlah penduduk wanita selang umur reproduksi

[ ]

h,k tahun.

Ukuran fertilitas selanjutnya adalah Age-Spesific Fertility Rate (ASFR) merupakan ukuran fertilitas pada wanita umur tertentu. Fakta empiris menunjukkan bahwa jumlah kelahiran selama jangka waktu tertentu bervariasi menurut umur ibu.

( )

( )

t P

t B

ASFR _w

x x

x =

dengan B_x

( )

t merupakan jumlah kelahiran hidup dari wanita usia x pada waktu t dan Pw

( )

t

x merupakan jumlah penduduk wanita umur x pada waktu t, atau dapat juga ditulis:

( )

( )

t P

t B

f _w

x x t

x = dengan t x

f adalah tingkat fertilitas wanita umur x pada waktu t.

Sebagai total dari ukuran fertilitas ASFR di atas, maka Total Fertility Rate (TFR) dapat dinyatakan sebagai:

∑

= = k h x

t x f

TFR

dengan h dan k merupakan batas bawah dan batas atas umur wanita reproduksi. Jika ukuran-ukuran fertilitas di atas tidak membedakan jenis kelamin bayi maka ukuran reproduksi hanya memperhatikan bayi wanita yang secara langsung bertalian dengan pergantian generasi. Dalam hal ini dikenal dua ukuran reproduksi, yaitu Gross Reproduction Rate (GRR) dan Net Reproduction Rate

(NRR). Gross Reproduction Rate (GRR) ini menyatakan tingkat reproduksi kasar

yang tidak memperhatikan unsur kematian. GRR didefinisikan:

∑

= = k h x

t w x f

GRR ,

dengan f_xw,t merupakan tingkat fertilitas wanita umur x terhadap bayi wanita (w)

pada waktu t.

Sedangkan Net Reproduction Rate (NRR) merupakan ukuran reproduksi yang memperhitungkan unsur kematian, yaitu laju kematian sesaat

( )

μ_x sehingga NRR menyatakan tingkat reproduksi bersih dari wanita selama masa

reproduksinya. Hal ini berdasarkan fakta bahwa terdapat peluang wanita meninggal sebelum ia mengakhiri masa reproduksinya. Dengan demikian NRR dapat dinyatakan sebagai:

( )

x S GRR

NRR= w

( )

x S f NRR w k h x t w x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

= ,

dengan

( )

_⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

=

∫

x y

w

dy x

S

0

exp μ merupakan peluang bayi wanita hidup sampai umur x.

3.2 Model Pertumbuhan Penduduk 3.2.1 Model Penduduk Stabil (Brown 1997)

Jika B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t)dt merupakan jumlah kelahiran dalam selang waktu sangat pendek yaitu t ke t + dt, maka jumlah kelahiran bayi dalam satu tahun adalah:

∫

= 1 0

) (t dt B

B (1)

Misalkan B(t) menyatakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t+n) merupakan jumlah kelahiran dalam selang waktu dari t ke t+n maka jumlah bayi pada waktu t+n dapat dituliskan :

b nr e t B n t

B( + )= ( ) (2) Dimana rb adalah laju kelahiran bayi, rb ≠0, dan n > 0 adalah waktu.

Bukti: t t B r t B t t

B( +Δ )= ()+ _b ()Δ

dt dB t B r t t B t B t t B r t t B t B t t B r b t b b ) ( 1 ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( 0 = Δ − Δ + = Δ − Δ + = → Δ

b b nr nr b b n t t n t t b n t t n t t b e t B n t B t B n t B e t B n t B t r n t r s B t r s dB s B dt r ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ln( ) ( ) ( | ) ( ln | ) ( ) ( 1 = + + = − + = − + = = + + + +

∫

∫

■

Bukti tersebut menunjukkan bahwa jumlah kelahiran per tahun dipengaruhi oleh laju kelahiran bayi rb.

Jika rb adalah laju kelahiran bayi per tahun maka laju pertumbuhan

penduduk rp pada penduduk stabil adalah sama dengan laju kelahiran bayi.

Bukti:

Misalkan P(t) merupakan jumlah penduduk pada waktu t, dan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t, berdasarkan persamaan (2) maka jumlah kelahiran pada waktu t-x adalah:

x rb e t B x t

B( − )= () − (3) dan jumlah penduduk yang lahir pada waktu t-x (bayi umur nol) sampai umur x pada waktu t adalah B(t−x)S(x), dengan S(x) adalah peluang bayi hidup sampai umur x. Jumlah penduduk yang hidup pada selang waktu t ke t + dt adalah jumlah bayi yang lahir pada waktu t-x dikalikan dengan peluang bayi hidup sampai umur x, dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut:

dx x S x t B dx t

F_x( ) = ( − ) ( ) (4) Dengan demikian total penduduk wanita pada waktu t adalah

∫

∞ = 0 ) ( )

(t F t dx

P x

∫

∫

∫

∞ − ∞ ∞ = − = − = 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx x S e t B dx x S x t B dx x S x t B x rb (5)

dan total penduduk wanita pada waktu t+n adalah:

∫

∞ − + = + 0 ) ( ) ( )

(t n B t ne S x dx

P rbx (6)

S(x) pada persamaan (5) sama dengan S(x) pada persamaan (6) dan dari persamaan (2) B(t+n)=B(t)erbn , maka diperoleh

∫

∞ − = + 0 ) ( ) ( )

(t n B t e e S x dx

P rbn rbx

n r x r n r b b b e t P dx x S e t B e ) ( ) ( ) ( 0 = = ∞

_∫

− (7)

Dari hasil di atas terbukti bahwa laju pertumbuhan penduduk rp

merupakan laju kelahiran bayi rb itu sendiri, dan dari persamaan (2) dan (7)

terbukti bahwa P(t) dapat dinyatakan sebagai B(t)

Untuk selanjutnya akan dituliskan r sebagai laju pertumbuhan penduduk intrinsik model pertumbuhan penduduk stabil. Sehingga dalam model penduduk stabil persamaan (2) dapat dituliskan sebagai:

nr e t B n t

B( + )= () (8)

Jumlah penduduk pada suatu selang umur berubah sepanjang waktu, tetapi proporsi penduduk pada selang tersebut tidak berubah.

Bukti:

Dari persamaan (4) dimana diketahui bahwa jumlah penduduk umur x sampai x + dx pada waktu t adalah Fx(t) dx, dan total penduduk pada waktu t

adalah P(t), maka proporsi penduduk stabil umur x sampai x + dx pada waktu t adalah:

∫

∞ − − = 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx x S e t B dx x S e t B t P dx t F rx rx

Karena B(t) bukan fungsi x, maka persamaan (9) menjadi:

∫

∞ −

− =

0

) (

) ( )

( ) (

dx x S e

x S e t

P dx t F

rx rx

x ₍₁₀₎

Persamaan (10) di atas menyatakan bahwa proporsi penduduk pada suatu selang umur tertentu bukanlah merupakan fungsi dari t, sehingga terbukti proporsi penduduk pada selang tersebut tidak berubah.

Jika B(0) adalah jumlah bayi yang lahir pada waktu t = 0, maka jumlah penduduk umur 0, 1, 2, ..., x pada waktu t = 0 dapat dituliskan dalam tabel berikut:

Umur Waktu t = 0 Bayi B(0)

0 B(0)S(0) 1 B(0) e-rS(1) 2 B(0) e-2r S(2)

M M

x B(0) e-xr S(x)

Tabel di atas menunjukkan bahwa jumlah penduduk untuk waktu t = 0 dipengaruhi oleh laju pertumbuhan penduduk r, jumlah kelahiran B(0), dan mortalitas yaitu S(x).

Berikut akan dituliskan salah satu hal yang penting dalam model penduduk stabil, yaitu persamaan karakteristik penduduk stabil. Dari persamaan 3 dan 4 diperoleh jumlah penduduk (wanita, jika diasumsikan sebagai populasi wanita) yang hidup pada umur x saat waktu t:

Wanita pada persamaan tersebut memiliki fungsi fertilitas yang dituliskan sebagai , sehingga tingkat kelahiran pada waktu t diberikan sebagai:

Jika diintegralkan terhadap x untuk tingkat kelahiran populasi saat waktu t menghasilkan:

(11) dengan membagi B(t) diperoleh:

(12) Jika dan adalah batas bawah dan batas atas dari umur produktif, sehingga

untuk x < α atau x > β, maka persamaan (12) dapat dituliskan sebagai berikut:

(13)

3.2.2 Pendugaan GRR _{dengan Metode Rele}

Metode Rele merupakan suatu metode yang digunakan untuk menduga nilai

Gross Reproduction Rate (GRR) dari nilai Child-Woman Ratio (CWR) dan nilai

harapan hidup saat lahir (e00). Dasar yang digunakan untuk menghitung CWR

dalam metode Rele adalah menghitung sebaran jumlah penduduk menurut umur berdasarkan model penduduk stabil. Sebaran jumlah penduduk tersebut diperoleh dengan mencari tingkat pertumbuhan penduduk (r) untuk model penduduk stabil, menentukan Gross Reproduction Rate (GRR) dan nilai harapan hidup saat lahir (e00), dan nilai Li (penduduk tengah tahun umur i) berdasarkan pada nilai e00.

Dari sebaran jumlah penduduk yang telah dibentuk, kemudian dihitung nilai

Child-Woman Ratio. Langkah terakhir adalah melakukan analisis hubungan

antara GRR dan CWR. Metode Rele tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2 Alur Metode Rele

r, GRR, e00, Li Penduduk stabil Child-Woman Ratio

Mencari bentuk hubungan GRR dan

3.2.3 Modifikasi Metode Rele dengan Menggunakan Penduduk Quasi-Stabil Seperti telah dijelaskan sebelumnya, model yang digunakan dalam metode Rele adalah model penduduk stabil. Dalam penelitian ini akan dilakukan modifikasi dengan menggunakan penduduk quasi-stabil. Pada model penduduk stabil, fertilitas dan mortalitas diasumsikan konstan, sedangkan pada model penduduk quasi-stabil diasumsikan fertilitas konstan sedangkan mortalitas berubah. Mortalitas selalu diperbaiki seperti diindikasikan oleh laju kematian sesaat yang turun untuk semua umur, sehingga dari naiknya kelahiran dan turunnya kematian menunjukkan bahwa laju pertumbuhan penduduk lebih besar daripada laju kelahiran bayi. Untuk membedakan kedua laju tersebut maka dipakai notasi rp untuk laju pertumbuhan penduduk dan rb untuk laju kelahiran bayi, sehingga untuk model pertumbuhan quasi-stabil persamaan

nr e t B n t

B( + )= () pada model penduduk stabil akan berubah menjadi b

nr

e t B n t

B( + )= () . Laju pertumbuhan penduduk berubah menurut waktu t dinotasikan rp(t), sehingga total penduduk pada tahun t+n adalah:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

+

∫

+n t

t p

ds s r t

P n t

P( ) ()exp ( ) (14)

Ringkasnya, pada penduduk stabil rb =rp(t)=r sedangkan pada penduduk quasi-stabil rp(t)>rb untuk semua t jika laju kematian sesaat (μ_x)turun dan

b

p _{t r}

r ( )< untuk semua t jika laju kematian sesaat (μ_x)naik.

Misalkan )μ_x(a dan )μ_x(a+t menyatakan laju kematian sesaat dari seseorang pada usia x, yang lahir pada waktu a dan a+t dan misalkan:

kt a t

a _x

x( + )=μ ( )−

μ untuk semua μ, k > 0 (15)

Untuk penduduk quasi-stabil didefinisikan oleh tiga parameter yaitu laju pertumbuhan bayi rb, mortalitas awal μ_x(a), dan faktor perbaikan mortalitas k, k > 0. Dengan ketiga parameter tersebut maka jumlah penduduk pada waktu t dapat diperoleh. Maka penduduk pada waktu t, P(t) :

dx du x t e t B dx x S x t B t P x u x r x t b

∫

∫

∫

∞ − ∞ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − = 0 0 0 ) ( exp ) ( ) ( ) ( ) ( μ

∫

∫

∞ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + − = 0 0 ) ( exp )

(t e a t x a du dx

B

x

u x

rb μ

∫

∫

∞ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − = 0 0 )] ( ) ( [ exp )

(t e a k t x a du dx

B

x

u x

rb μ

∫

∫

∞ − − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 ) ( 0 ) ( exp )

(t e a du e dx

B k t x ax

x u x rb μ

∫

∞ − − − = 0 ) ( ) ( )

(t e S x e dx

B rbx _a k t x ax (16)

3.2.4 Laju Kelahiran Intrinsik Model Penduduk Quasi-Stabil

Dengan menggunakan aturan turunan untuk perkalian P(t) terhadap t, maka diperoleh:

∫

∫

∞ − − − ∞ − − − ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 ) ( 0 ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( )

( e dx

dt d x S e t B dx e x S e t B dt d t P dt

d k t x a x

a x r x a x t k a x

rb b

∫

∫

∫

∞ − − ∞ − − − ∞ − − − + = + = 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx e x S xe t kB t P r dx e x S xe t kB dx e x S e t B r x a x t k a x r b x a x t k a x r x a x t k x r b b b b (17) ) (t

rp diperoleh dengan membagi persamaan (17) dengan persamaan (16):

) ( ) ( ) ( t P t P dt d t

rp =

∫

∫

∞ − − − ∞ − − + = 0 ) ( 0 ) ( . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx e x S e t B dx e x S xe t kB t P r t r x a x t k a x r x a x t k a x r b p b b

Dengan x(t)adalah umur rata-rata yang diperoleh dari penduduk quasi-stabil pada waktu t. Persamaan (18) menunjukkan perbedaan antara penduduk stabil dengan penduduk quasi-stabil pada pertumbuhan penduduknya, dimana pada pertumbuhan penduduk quasi-stabil mengandung k, k > 0 yaitu faktor perbaikan mortalitas.

BAB IV

PEMBAHASAN

4.1 Tingkat Pertumbuhan Penduduk

Sebagai titik awal dari analisis ini, nilai dari tingkat pertumbuhan penduduk stabil (r) diturunkan dari persamaan (13) sebagai berikut:

Persamaan tersebut merupakan persamaan kontinu. Dengan α = 15 dan β = 44, S(x)=Li/l0, , maka secara diskrit bisa dituliskan:

∑ .

1 ) ( 05

. 2

1

0 ) 5 . 2

( =

∑

_∗

∈

+

− _{ASFR i}

l L e

Z i

i i r

; , , , … ,

Nilai Li merupakan penduduk tengah tahun yang diperoleh dari life table Coale dan Demeny (1983) berdasarkan pada nilai harapan hidup saat lahir (e00) yang dipilih. Nilai l0 adalah radix penduduk dengan nilai l0 = 100 000 dan

ASFR(i) merupakan ASFR pada umur i diperoleh dari nilai GRR yang ditetapkan. Dengan demikian maka nilai r dapat diperoleh. Dalam hal ini diasumsikan rasio jenis kelamin bayi (sex-ratio at birth) sama dengan 1.05 dimana terdiri dari 105 laki-laki dan 100 wanita.

4.2 Pembentukan Populasi Penduduk

Jumlah sebaran populasi menurut umur berdasarkan pada model penduduk stabil dan quasi-stabil dibentuk berdasarkan enam tingkat fertilitas berbeda (GRR), dan enam tingkat mortalitas yang berbeda (e00). Tingkat GRR yang

dijadikan pembentuk model adalah 4.0, 3.0, 2.5, 2.0, 1.5, dan 1 dengan angka harapan hidup saat lahir (e00) yang dipilih adalah 20, 30, 40, 50, 60, dan 70 tahun.

Sedangkan tingkat proporsi GRR yang digunakan adalah 1:7:7:6:4:1, untuk sebaran umur produktif dari umur 15 sampai 44. Rasio tersebut diturunkan dari 52 negara dengan tingkat fertilitas yang berbeda (Rele 1967), yang diperoleh dari rata-rata pola ASFR untuk wanita (Tabel 1).

Rasio 1:7:7:6:4:1, diturunkan dari rata-rata tingkat fertilitas untuk 52 negara, walaupun tidak tepat proporsional.

Tabel 1. Rata-rata Tingkat Kelahiran menurut Sebaran Umur Wanita (Rele 1967)

Umur Wanita

Rata-rata Tingkat Kelahiran Rataan Deviasi dari 52 negara 52 Negara

Rasio

Negara dengan tingkat fertilitas

tinggi

Negara dengan tingkat fertilitas

rendah Total,

15-44

100.0 rasio 100 rasio 100 rasio

15-19 6.3 1.6 9.3 2.2 5.1 1.3 ±2.7 20-24 25.3 6.3 25.1 6.0 25.4 6.4 ±3.5 25-29 27.6 6.9 25.5 6.1 28.5 7.1 ±2.1 30-34 21.1 5.3 19.6 4.7 21.7 5.4 ±2.1 35-39 13.4 3.4 13.7 3.3 13.2 3.3 ±2.1 40-44 6.3 1.6 6.9 1.6 6.0 1.5 ±2.2

Sebaran umur jumlah penduduk stabil berdasarkan integral berikut:

∫

∞ −

= 0

) ( ) ( )

(t B t e S x dx

P rx

Jika P(0) adalah jumlah penduduk pada waktu t = 0, maka jumlah penduduk umur 0,1,2,…x adalah:

Secara diskrit bisa dituliskan sebagai berikut:

∑ .

maka jumlah penduduk dari umur i sampai i+5 diperoleh dengan mengalikan Li dengan e –r(i+2.5).

Sedangkan jumlah penduduk quasi-stabil berdasarkan kelompok umur i sampai i+5 dapat diperoleh dari integral berikut (persamaan 16):

∫

∞

− − −

= 0

) (

) ( )

( )

(t B t e S x e dx

P kt x ax

a rx

Dengan cara yang sama, maka dapat ditentukan jumlah penduduk quasi-stabil berdasarkan kelompok umur i sampai i+5 diperoleh dengan mengalikan Li dengan e-r(i+2.5)ek(-(i+2.5)-a)(i+2.5).

Dengan demikian diperoleh sebaran penduduk stabil dan quasi-stabil menurut umur yang diperlukan untuk menentukan Child-Woman Ratio (CWR). Proses perhitungan jumlah sebaran penduduk stabil dan quasi-stabil dapat dilihat pada Lampiran 1 dan hasil perhitungannya pada Lampiran 2.

4.3 Hubungan GRR _dan CWR

Pendugaan Gross Reproduction Rate (GRR) ini dilakukan dengan menentukan hubungan antara peubah takbebas GRR dengan peubah bebas CWR. Berikut ini notasi yang digunakan:

X : CWR

r : laju pertumbuhan penduduk

Sw(x) : peluang hidup penduduk wanita (w) sampai umur x Sl(x) : peluang hidup laki-laki (l) sampai umur x

c, d : batas bawah dan batas atas dari selang umur bayi yang digunakan

sebagai pembilang pada CWR

h, k : batas bawah dan batas atas dari selang umur wanita reproduktif yang

digunakan sebagai penyebut pada CWR

CWR seperti telah dinyatakan pada BAB III, merupakan perbandingan jumlah sebaran penduduk selang umur

[ ]

c,d tahun (bayi wanita dan bayi laki-laki) terhadap jumlah sebaran penduduk wanita selang umur

[ ]

h,k tahun, sehingga rasio CWR (X) dapat dituliskan sebagai:

( )

( )

( )

∫

∫

∫

− − − ₊ = _k h w rx d c d c w rx l rx dx x S e dx x S e dx x S e X 05 . 1

( )

∫

∫

∫

− − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = _k h w ru d c d c w l rv dx x S e dx x S dx x S

e 1.05 ( ) ( )

dengan:

( )

( )

∫

∫

− − ₌ k h w k h w rx ru dx x S dx x S e

e dan

( )

( )

( )

∫

∫

∫

∫

+ + = − − − d c d c w l d c d c w rx l rx rv dx x S dx x S dx x S e dx x S e e 05 . 1 ) ( 05 . 1 sehingga

( )

( )

∫

∫

= _k h w k h w dx x S dx x xS

U dan

( )

( )

( )

( )

∫

∫

∫

∫

+ + = _d c d c w l d c d c w l dx x S dx x S dx x xS x xS V 05 . 1 05 . 1

(bukti terdapat di Lampiran 3).

U adalah rata-rata umur wanita reproduktif yaitu berada pada selang umur

[ ]

h,k , dan V adalah rata-rata umur bayi yaitu berada pada selang umur

[ ]

c,d . Jika T adalah rata-rata panjang generasi (mean length of generation) maka,

U−V =T+ΔT

Untuk memperoleh T yang sama dengan U-V maka ∆T ini berkaitan dengan selang umur bayi dan wanita reproduktif yang digunakan pada CWR.

Dengan U−V =T+ΔT maka persamaan (19) menjadi:

( )

( )

(

)

( )

(T T)

r k h w d c w l e dx x S dx x S x S

X +Δ

∫

∫

+ = 05 . 1

= K R₀ erΔT (20) dengan:

∫

∫

+ = _k h w d c w l dx x S dx x S x S K ) ( )) ( ) ( ( 05 . 1

Nilai r T

e Δ akan mendekati satu, karena r ≠ 0 (penduduk stabil), sedangkan ∆t→ 0.

Nilai NRR (R0) dapat dinyatakan sebagai berikut:

R₀ =GSw

( )

T (21) Dengan persamaan (20) maka

_X =_K* _GerΔT ₍₂₂₎ dimana K* =K Sw

( )

T konstan untuk sembarang mortalitas. Dari persamaan (22) hubungan CWR (X) dan GRR (G) mendekati linier untuk tingkat mortalitas (e00)

yang sudah ditentukan.

Analisis di atas menyatakan bahwa hubungan GRR dan CWR akan linier bila ∆T mendekati nol.

Sedangkan nilai CWR diperoleh dengan membagi jumlah penduduk laki-laki dan wanita pada umur 0-4 tahun terhadap penduduk wanita umur 15-49 tahun, yang dirumuskan sebagai berikut:

[ ]

[ ]hwk

d c P P CWR

, ,

=

(proses dan hasil perhitungan CWR untuk masing-masing model penduduk terdapat pada Lampiran 4, 5, dan 6).

4.4 Analisis Regresi

Setelah diperoleh nilai CWR (Lampiran 5 dan 6), kemudian dilakukan analisis regresi. Berdasarkan hasil selang umur untuk CWR tersebut yaitu selang umur wanita reproduksi 15-49 tahun untuk bayi 0-4 tahun maka berikut ini akan dibuat analisis persamaan regresi linier yaitu analisis yang menelaah hubungan antara peubah takbebas dengan satu atau lebih peubah bebas, terutama pola hubungan yang modelnya belum diketahui (Drapper & Smith 1998). Dalam hal ini akan dicoba untuk data GRR sebagai peubah takbebas dan data selang umur CWR(0-4)/(15-49) sebagai peubah bebas. Analisis regresi yang akan dilakukan;

pertama analisis regresi untuk masing-masing angka harapan hidup saat lahir

m m G G s ( C G menambah menambah a Berik

Gambar 3 H R P

Berd GRR untuk stabil. Nilai (Lampiran 7

Dem CWR dapat d

Gambar 4 H R P Gross R e pr odu cti on Rat e Gross R e pro duc tio n Rat e peubah adanya intera

kut analisis r

Hubungan an Rate (GRR) Penduduk St

dasarkan Ga masing-ma

hubungan 7).

mikian juga u dilihat pada

Hubungan an Rate (GRR) Penduduk Q 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 Gross   R e pr odu cti on   Rat e 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 Gross   R e pro duc tio n   Rat e ke persama aksi antar pe regresi untuk

ntara Child berdasarkan tabil.

ambar 3 di a sing angka linier yang

untuk mode Gambar 4 b

ntara Child berdasarka Quasi-Stabil.

0.2

Child W

0.2 0

Child W

aan regresi, eubah dan k masing-ma

Woman Rati n Angka Ha

atas, terdapa harapan hid diperoleh u

el penduduk berikut:

Woman Rat an Angka Ha

0.4

Woman Ratio: C

0.4 0.6

oman Ratio: C

keempat an

n CWR. asing nilai

io (CWR) da arapan Hidup

at hubungan dup saat lah untuk masing

quasi-stabi

tio (CWR) da arapan Hidup

0.6

C(0‐4)/W(15‐4

0.8

C(0‐4)/W(15‐49

nalisis regre

:

an Gross Rep

p saat lahir

linier antara hir ( pad

g-masing

l, hubungan

an Gross Rep

up saat lahir

0.8 1 9) 1 1.2 9) esi dengan production ( untuk

a CWR dan da populasi

terlampir

n GRR dan

eproduction ( untuk

1

Hasil dari regresi untuk hubungan nilai GRR dan CWR pada model penduduk stabil dan quasi-stabil berdasarkan nilai dapat dilihat pada Lampiran 7 dan 8.

Berikut akan dibandingkan nilai GRR aktual (Rele 1967) dengan nilai dugaan berdasarkan model penduduk stabil dan quasi-stabil (Lampiran 11 dan 12). Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan Rataan GRR aktual untuk nilai = 60 ditampilkan pada gambar berikut: (proses perhitungan dapat dilihat pada Lampiran 9).

Gambar 5 Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan Rataan GRR Aktual untuk e₀= 60.

Nilai dugaan GRR untuk model penduduk quasi-stabil e₀= 60 secara

umum lebih baik dibandingkan dengan nilai dugaan menggunakan model penduduk stabil (Gambar 5). Untuk lebih jelas, berikut ditampilkan nilai mutlak untuk selisih antara dugaan dengan data aktual seperti pada pada Gambar 6 berikut:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Gr

o

ss

 

R

e

pr

odu

cti

on

 

Rat

e

dugaan Q‐S dugaan stabil Actual

Gambar 6 Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil untuk e00=60.

Berdasarkan Gambar 6, selisih antara dugaan dengan nilai aktual sebanyak 13 dari 14 negara model penduduk quasi-stabil mempunyai galat yang lebih kecil dibandingkan dengan galat untuk model penduduk stabil, kecuali untuk negara Perancis.

Sedangkan nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan rataan GRR aktual untuk nilai = 70 ditampilkan pada gambar berikut: (proses perhitungan dapat dilihat pada Lampiran 9).

Gambar 7 Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan Rataan GRR Aktual masing-masing model penduduk untuk e₀= 70.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Selis ih   [A ktu a l ‐ du gaan]

error Q‐S error Stabil

0 0.5 1 1.5 2 2.5 Ca na d a 51 Ca na d a 56 Ca na d a 61 US 50 US 60 Is rae l Japan6 0 Czech De n m a rk 4 5 De n m a rk 5 0 Finland6 0 Hunga ry Nether land Nor w ay4 6 Nor w ay5 0 Sw eden40 Sw eden45 Sw eden50 Sw eden60 Swi tz 50 Engl and Scotl a n d NewZ eala n d Gross   Rep rod uct ion   Ra te

Gambar 8 Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual masing-masing model untuk e00=70.

Untuk nilai = 70, nilai dugaan untuk model penduduk quasi-stabil secara umum lebih baik dibandingkan dengan model penduduk stabil, namun ada beberapa negara yaitu Swedia dan Inggris yang mempunyai nilai dugaan penduduk stabil lebih baik dibandingkan untuk penduduk quasi-stabil (Gambar 7 dan 8).

Untuk lebih jelas, dihitung nilai proportional error sebagai berikut:

Proportional error = ∑ | |

∑ , (i)=dugaan, g(i)=aktual , i = 1,2,...n Nilai proportional error dinilai baik jika < 10% (Bloom 1982).

Tabel 2 Nilai proportional error nilai dugaan terhadap nilai aktual untuk masing-masing model penduduk

Quasi-stabil stabil

Proportional error =60 5.85% 26.07%

Proportional error =70 4.42% 23.14%

Tabel 2 di atas menunjukkan bahwa dugaan dengan menggunakan model penduduk quasi-stabil lebih baik jika dibandingkan dengan dugaan berdasarkan model penduduk stabil.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 C a nada5 1 C a nada5 6 C a nada6 1 US 50 US 60 Isr a e l Japan6 0 Czech De n m ar k 4 5 De n m ar k 5 0 Finland6 0 Hunga ry Nether land Nor w a y 4 6 Nor w a y 5 0 Sw eden40 Sw eden45 Sw eden50 Sw eden60 Swi tz 50 Engl and Scotl a n d NewZ eala n d Selisih   [A k tu a l ‐ du gaan]

error Q‐S error Stabil

Namun persamaan regresi di atas bisa dikatakan tidak praktis karena untuk setiap nilai yang berbeda mempunyai persamaan regresi yang berbeda dan tidak berlaku umum untuk setiap , walaupun diperoleh R2 yang sangat besar (Lampiran 8).

Oleh karena itu akan dicari suatu persamaan regresi yang berlaku umum untuk setiap nilai . Dengan GRR sebagai peubah takbebas dan CWR sebagai peubah bebas maka hubungan linier diantara keduanya dapat dinyatakan sebagai:

X = K* G er ∆t (persamaan 22)

Dengan X = CWR, K* suatu konstanta, G= GRR, dan ∆t , maka dapat dituliskan:

CWR = K*GRR

GRR = b CWR , b =1/K*

karena untuk nilai CWR = 0, masih dimungkinkan nilai GRR ≠ 0, maka dapat dituliskan hubungan sebagai berikut:

GRR=a+bCWR (23) Untuk penduduk stabil nilai a = 0.290 dan b = 4.490 (Lampiran 8), sehingga persamaan (23) menjadi:

CWR

GRR=0.290+4.490

(24)

Sedangkan untuk penduduk quasi-stabil nilai a = 0.205 dan b = 3.840 (Lampiran 8), sehingga persamaan (23) menjadi:

CWR

GRR=0.205+3.840 (25)

Tabel 3 Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk regresi GRR = a + b CWR tanpa memperhatikan nilai e00

  Koefisien regresi  Proportional Error  R2 Terkoreksi 

  Stabil   Quasi‐

stabil  

Stabil   Quasi‐ stabil  

Stabil   Quasi‐ stabil   GRR = a + b CWR  a =  0.290

b =  4.490  

a  =  0.205

m i u b p p Tabel memperhatik itu dicoba de

Gamb Gambar 1 Berd untuk mode bidang dala pebuah tak persamaan 2 3 menunjuk kan nilai e00

engan menam

bar 9 Tebara

10 Tebaran

dasarkan pad el penduduk am tiga dim

bebas GRR 23 berubah m

G

kkan bahwa b

0

menghasilk mbahkan nil

an GRR = f(C

GRR = f(CW

da Gambar 9 k stabil dan mensi, yang

dengan peu menjadi:

bC a

GRR= +

bentuk hubu kan nilai prop

lai peubah e0

CWR, ) un

WR, ) untu

9 dan 10, t n model pe menandakan ubah bebas 0 0 e c CWR+ ungan antara oportional er

00 ke bentuk

ntuk model p

uk model pen

tebaran GRR enduduk qu n terdapat h

CWR dan

a GRR dan C rror yang be persamaan r

penduduk st

nduduk quas

R, e00, dan C

asi-stabil, m hubungan lin . Dengan

CWR tanpa esar. Untuk

regresi.

abil.

si-stabil.

CWR baik membentuk

nier antara n demikian

Dari hasi pendugaan persamaan regresi diperoleh nilai sebagai koefisien

a, b dan c untuk penduduk stabil yaitu a = 0.934, b = 5.020, dan c = -0.0198

(Lampiran 8) sehingga persamaan (26) menjadi:

GRR=0.934+5.020CWR−0.0198e₀0 (27) Sementara itu, untuk penduduk quasi-stabil diperoleh nilai koefisien a, b dan c yaitu a = 0.839, b = 4.300, dan c = -0.0198 (Lampiran 8), sehingga persamaan (26) menjadi:

GRR=0.839+4.300CWR−0.0198e₀0 (28)

Tabel 4 Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk regresi GRR = a + b CWR + c e00.

  Koefisien regresi  Proportional 

Error  

R2  Terkoreksi 

  Stabil   Quasi‐stabil  Stabil   Quasi‐

stabil  

Stabil   Quasi‐ stabil   GRR = a + b CWR + ce0

0 

a =  0.934 b =  5.020  c  = ‐0.0198  

a =  0.839 b =  4.300  c  = ‐0.0198 

16.45%  14.71%  97.5%  97.7% 

Dengan penambahan peubah e00 ternyata nilai R2 terkoreksi lebih baik

dibandingkan dengan tanpa penambahan peubah e00, namun nilai dari

proportional error masih besar yaitu di atas 10 % baik untuk penduduk stabil

maupun quasi-stabil.

Untuk itu, akan dicoba dengan menambahkan adanya interaksi antara peubah CWR dan e00, sehingga persamaan (26) menjadi:

GRR=a+bCWR+ce₀0 +dCWRe₀0 (29) Dengan cara yang sama diperoleh nilai koefisien a, b, c dan d untuk penduduk stabil, yaitu a = 0.304, b = 6.570, c = -0.00630, dan d = -0.0314 (Lampiran 8), sehingga persamaan (29) menjadi:

GRR=0.304+6.570CWR−0.00630e₀0−0.0314CWRe₀0 (30)

Untuk penduduk quasi-stabil nilai koefisien a, b, c dan d yaitu a = 0.217, b = 5.550, c = -0.00643, dan d = -0.0255 (Lampiran 8), sehingga persamaan (29) menjadi:

0

0 0

0 0.0255 00643

. 0 550

. 5 217 .

0 CWR e CWRe

Tabel 5 Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk regresi GRR = a + b CWR + c e00 + d CWR e00

  Koefisien regresi  Proportional Error  R2   Terkoreksi 

  Stabil   Quasi‐stabil  Stabil   Quasi‐

stabil  

Stabil   Quasi‐ stabil   GRR = a + b CWR + ce0

0         _+ d CWR e

0

0   a =  0.304

b =  6.570  c  = ‐0.0063  d =  ‐0.0314  

a =  0.217 b =  5.550  c  = ‐0.00643  d =  ‐0.02550 

19.58%  8.54%  98.6%  98.7% 

Penambahan interaksi peubah CWR dan e00 selain menaikkan R2

terkoreksi, juga memperkecil nilai proportional error untuk model penduduk quasi-stabil menjadi 8.54% (Tabel 5). Berdasarkan hal itu, maka model ini dipakai sebagai model terakhir untuk menduga nilai Gross Reproduction Rate.

Berikut akan dibandingkan nilai GRR aktual (Rele 1967) dengan nilai dugaan berdasarkan model penduduk stabil dan quasi-stabil (Lampiran 13). Hasil dari regresi ditampilkan pada Gambar 11 dan 12 berikut: (proses perhitungan dapat dilihat pada Lampiran 10).

Gambar 11 Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing-

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Canada4 1 Canada5 1 Canada5 6 Canada6 1 Panama

US40 US50 US60 Chile Isr

a

e

l

Japan

Europe _Belg

iu m Cz ec h Denmar k35 Denmar k40 Denmar k45 Denmar k50 F in land4 0 F in land5 0 F in land6 0 Fra n ce Fra n ce Hungary Net h er land No rw a y 46 No rw a y 50 Por tuga l5 0 S w eden35 S w eden40 S w eden45 S w eden50 S w eden60 Sw itz4 1 Sw itz5 0

England _Scotland

New Z ealand Gross   R e prod u cti on   Ra te

c e00 + d CWR e00

Gambar 12 Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil.

Kedua gambar terakhir (Gambar 11 dan 12) menunjukkan bahwa dugaan model penduduk quasi-stabil lebih baik dibandingkan dengan dugaan model stabil, terutama untuk negara-negara yang belum mencapai stabil, seperti Panama dan Chile. Untuk beberapa negara yang telah mencapai stabil seperti Amerika Serikat, Perancis, Swedia, Swiss, Inggris, dan Skotlandia, dugaan model penduduk stabil lebih baik dibandingkan dengan dugaan model penduduk quasi-stabil.

Tabel 6 Perbandingan nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk semua bentuk hubungan GRR = f(CWR,e00).

  Koefisien regresi  Proportional Error   R2  Terkoreksi 

  Stabil  Quasi‐stabil  Stabil  Quasi‐stabil  Stabil  Quasi‐stabil 

GRR=a + b CWR, e0 0

=60  a = ‐0.028 b = 4.580  

a = 0.220

b = 3.930  26.07%  5.85%  99.9%  99.9% 

GRR=a + b CWR, e0 0

=70  a = ‐0.033 b = 4.390 

a = ‐0.128

b = 3.770  23.14%  4.42%  99.9%  99.9% 

GRR = a + b CWR  a =  0.290 b =  4.490 

a  =  0.205

b  =  3.840  47.46%  23.03%  86.8%  86.9% 

GRR = a + b CWR +  c e0 0  

a =  0.934 b =  5.020  c  = ‐0.0198 

a =  0.839 b =  4.300  c  = ‐0.0198 

16.45%  14.71%  97.5%  97.7%  0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 C a nada4 1 C a nada5 1 C a nada5 6 C a nada6 1 Panama US 40 US 50 US 60 Chile Isr a e l Ja p a n Europe _Belgi u m Czech Denm a rk 3 5 Denm a rk 4 0 Denm a rk 4 5 Denm a rk 5 0 Finland4 0 Finland5 0 Finland6 0 Fr ance Fr ance Hu n ga ry Nether land Nor w a y 4 6 Nor w a y 5 0 Por tugal5 0 Sw eden35 Sw eden40 Sw eden45 Sw eden50 Sw eden60 Sw it z41 Sw it z50 Engl and Scotl a n d NewZ eala nd Selisih   [aktual ‐ dug a a n]

GRR = a + b CWR +   ce0 0 ₊    

      d CWR e0

0   a =  0.304

b =  6.570  c  = ‐0.0063  d =  ‐0.0314 

a =  0.217 b =  5.550  c  = ‐0.00643  d =  ‐0.02550 

19.58%  8.54%  98.6%  98.7% 

Tabel 6 di atas menunjukkan bahwa berdasarkan nilai proportional error dan R2 terkoreksi, model regresi GRR untuk model penduduk quasi-stabil dengan adanya interaksi antara peubah GRR dan e00 (persamaan 31) tidak berbeda dengan

model awal untuk masing-masing harapan hidup (Lampiran 7). Jadi dengan menggunakan persamaan 31 dapat dicari GRR untuk sebarang nilai e00 dan CWR

yang diketahui.

4.5 Kasus di Indonesia

Tingkat kelahiran kasar di Indonesia berdasarkan data dari Perserikatan Bangsa-Bangsa (2008) menandakan adanya penurunan tingkat kelahiran mulai tahun 1955-1960 sampai dengan 2000-2005. Sedangkan pada tahun 1950-1955 sampai tahun 1955-1960 terjadi kenaikan tingkat kelahiran (Lampiran 14), seperti pada Gambar 13 berikut:

Gambar 13 Tingkat kelahiran kasar penduduk Indonesia (PBB 2008)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Crude

 

Birth

 

Rate

Gambar 14 Tingkat kematian kasar penduduk Indonesia (PBB 2008)

Untuk tingkat kematian kasar terlihat pada gambar 14 di atas, menandakan terjadi penurunan tingkat kematian dari mulai tahun 1955-1960 sampai dengan tahun 2005-2010 (Lampiran 15).

Gambar 15 Tingkat pertumbuhan penduduk Indonesia (PBB 2008)

Tingkat pertumbuhan penduduk di Indonesia mengalami perubahan dari tahun ke tahun (Lampiran 16), kenaikan terjadi dari tahun 1955-1960 sampai

0 5 10 15 20 25 30

Crude

 

Death

 

Rate

 

(death per 1000 population)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

1965-1970, dan setelah tahun tersebut mengalami penurunan. Rata-rata laju pertumbuhan di Indonesia menurut Perserikatan Bangsa-Bangsa (2008), selama kurun waktu 1990 – 1995 sebesar 1.53%. Angka ini jauh lebih rendah bila dibandingkan dengan rata-rata laju pertumbuhan penduduk dua dekade sebelumnya yaitu (1980-1985) sebesar 2.04 dan (1985-1990) yang mencapai 1.77 % per tahun (PBB 2008). Dengan demikian, Indonesia jika dilihat dari aspek ini merupakan negara yang penduduknya belum mencapai penduduk stabil.

Untuk lebih jelas berikut dihitung nilai dugaan untuk laju kematian sesaat (μx) dan diperoleh dugaan untuk nilai k untuk negara Indonesia jika didekati

dengan model penduduk quasi-stabil.

Laju Kematian sesaat (μx)

Laju kematian sesaat didekati dengan ASMR (Age-Specific Mortality Rate), yang dirumuskan sebagai berikut: (data dapat dilihat di Lampiran 17 dan perhitungan nilai k di Lampiran 18).

dengan:

dx = jumlah kematian umur x sampai x + 1 tahun.

Lx = rata-rata jumlah penduduk yang hidup antara umur x dan x+1 tahun.

Sedangkan μx pada penduduk quasi-stabil diasumsikan sebagai berikut: 0

, )

( )

(a+t = _x a −kt k>

x μ

μ

‐0.002 ‐0.001 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

Berdasarkan Gambar 16, trend nilai k dari tahun ke tahun mengalami kenaikan. Jika dilakukan regresi linier terhadap nilai k (Lampiran 19), maka diperoleh nilai regresi k = -0.163 + 0.000083 t, dengan t menyatakan tahun. Nilai dugaan k untuk kurun waktu 2005 – 2010 berdasarkan persamaan regresi tersebut adalah k = 0.0036225, yang menandakan pada kurun waktu tersebut laju kematian penduduk Indonesia akan semakin menurun.

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

1. Dalam kondisi penduduk stabil, hubungan antara Child Woman Ratio (CWR) dengan Gross Reproduction Rate (GRR) adalah :

T r e G K

X = * Δ

dengan X = CWR, G = GRR, K*=K Sw(T) merupakan konstanta, r menyatakan laju pertumbuhan penduduk stabil dan GRR akan linier

terhadap CWR jika ΔT mendekati nol.

2. Dengan menerapkan model di atas pada penduduk quasi-stabil, dengan laju kematian sesaat menurun secara linier sebagai berikut:

0 ,

) ( )

(a+t = _x a −kt k>

x μ

μ

faktor perbaikan mortalitas yang dipilih k = 0.0002, ternyata model penduduk quasi-stabil lebih baik dibandingkan dengan model penduduk stabil.

3. Model GRR dengan menggunakan satu peubah, yaitu CWR untuk masing-masing nilai harapan hidup saat lahir (e00), tidak berbeda dengan model

dengan adanya interaksi peubah CWR dan e00, hal tersebut dilihat dari nilai

proportional error dan R2 terkoreksi untuk masing-masing model. Dengan

demikian model yang digunakan untuk menduga GRR cukup dengan satu persamaan, yaitu:

0 0 0.0255

00643 . 0 55

. 5 217 .

0 CWR e CWRe

GRR= + − −

4. Untuk negara Indonesia, berdasarkan fakta bahwa pertumbuhan penduduk setiap periode selalu mengalami perubahan, maka model yang paling mendekati keadaan adalah model quasi-stabil dengan nilai faktor perbaikan mortalitas k dapat diduga dengan persamaan

5.2 Saran

1. Laju kematian sesaat yang didefinisikan menurun menurut waktu t dengan faktor perbaikan mortalitas k masih dapat dikembangkan dengan asumsi lainnya.

2. Model persamaan karakteristik dapat dikembangkan kontinu jika diperoleh life table yang kontinu.

BAB VI

DAFTAR PUSTAKA

Atkinson K. 1992. Elementary Numerical Analysis. New York: John Wiley and Sons Press.

Bloom DE. 1982. What’s Happening to the Age at First Birth in the United States? A Study of Recent Cohort. Journal of Demography 19(3) : 351-370.

Bogue DJ, Palmore JA. 1964. Some Empirical and Analytic Relation Among Demographic Fertility Measures, with Regression Models For

Fertility Estimation. Chicago : University of Chicago.

Brown RL. 1997. Introduction to the Mathematics of Demography. Ed. Ke-3. Winsted : ACTEX Publication.

Coale AJ, Demeny P. 1983. Regional Model Life Tables and Stable

Population. Ed. Ke-2. New York : Academic Press.

Drapper NR, Smith H. 1998. Applied Regression Analysis. Ed. Ke-3. New York : John Willey.

Palmore JA. 1978. Regression Estimates of Change in fertility, 1955-60 to 1965-75 for most major nations and territories. Paper of The East-West Population Institute, 58 : 1-59.

[PBB] Perserikatan Bangsa-Bangsa, Departemen Ekonomi dan Hubungan Sosial. 2008. World Population Prospects: The 2006 Revision and World Urbanization Prospects. http:/esa.un.org/unpp.

Rele, JR. 1967. Fertility Analysis Through Extension of Stable Population

ABSTRACT

CECEP A.H.F. SANTOSA. Modification of Rele’s Method for Quasi-Stable Population Model. Under the supervision from HADI SUMARNO and N.K. KUTHA ARDANA.

Due to the difficulty to find a vital statistic in the most countries, especially in underdeveloped countries, this study was developed to find a relationship between fertility measure derived from census data such as Child-Woman Ratio (CWR) and combination of vital statistic and census data (direct measure) such as Gross Reproduction Rate (GRR). In 1967, Rele developed indirect measure of fertility method to find GRR from CWR and expected life at birth using stable population model.

The main objective of this paper is to modify of Rele method using quasi-stable population model and compare the result of estimation GRR of each models. This paper determine the ultimate age distribution of stable and quasi-stable population models. Next, CWR from number of age distribution and model relation between GRR and CWR was computed, this result is called original model. Furthermore, the original model was developed to find the relation between GRR and CWR and compare to the original model.

From the comparison between the models and the actual data, the quasi-stable population model is better than the stable population model.

Keyword: vital statistic gross reproduction rate, stable population, quasi-stable population, child-woman ratio.

RINGKASAN

CECEP A.H.F. SANTOSA. Modifikasi Metode Rele untuk Model Penduduk Quasi-Stabil. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan N.K. KUTHA ARDANA.

Didasari oleh kesulitan untuk memperoleh data vital statistic untuk penduduk di hampir semua negara terutama di negara-negara berkembang, penelitian ini dikembangkan untuk mencari hubungan antara ukuran fertilitas yang diturunkan dari data sensus seperti Child-Woman Ratio (CWR) dan ukuran fertilitas yang dikembangkan dari kombinasi vital statistic dan data sensus (ukuran langsung) seperti Gross Reproduction Rate (GRR). Pada tahun 1967, Rele mengembangkan suatu metode tidak langsung untuk mencari nilai GRR dari CWR dan angka harapan hidup saat lahir (e00) dengan menggunakan model populasi stabil. Intinya metode Rele merupakan suatu metode yang digunakan untuk menduga nilai GRR dari nilai CWR dan nilai e00. Dasar yang digunakan untuk menghitung CWR dalam metode Rele adalah menghitung sebaran jumlah penduduk menurut umur berdasarkan model penduduk stabil. Sebaran jumlah penduduk tersebut diperoleh dengan mencari tingkat pertumbuhan penduduk (r) untuk model penduduk stabil, menentukan GRR dan nilai e00, dan nilai Li (penduduk tengah tahun umur i) berdasarkan pada nilai e00. Dari sebaran jumlah penduduk yang telah dibentuk, kemudian dihitung nilai CWR. Langkah terakhir adalah melakukan analisis hubungan antara GRR dan CWR

Tujuan utama dari thesis ini adalah memodifikasi metode Rele dengan menggunakan model penduduk quasi-stabil dan membandingkan hasil dugaan GRR untuk masing-masing model. Pada model penduduk stabil, fertilitas dan mortalitas diasumsikan konstan, sedangkan pada model penduduk quasi-stabil diasumsikan fertilitas konstan sedangkan mortalitas berubah. Mortalitas selalu diperbaiki seperti diindikasikan oleh laju kematian sesaat yang turun untuk semua umur, sehingga dari naiknya kelahiran dan turunnya kematian menunjukkan bahwa laju pertumbuhan penduduk lebih besar daripada laju kelahiran bayi. Untuk membedakan kedua laju tersebut maka dipakai notasi rp untuk laju pertumbuhan penduduk dan rb untuk laju kelahiran bayi, sehingga untuk model pertumbuhan quasi-stabil persamaan

nr e t B n t

B( + )= ( ) pada model penduduk stabil akan berubah menjadi

b nr e t B n t

B( + )= ( ) . Laju pertumbuhan penduduk berubah menurut waktu t dinotasikan rp(t), sehingga total penduduk pada tahun t+n adalah:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = +

∫

+ n t t p ds s r t P n t

P( ) ( )exp ( )

Ringkasnya, pada penduduk stabil rb =rp(t)=r sedangkan pada penduduk quasi-stabil rp(t)>rb untuk semua t jika laju kematian sesaat (μ_x)turun dan rp(t)<rb untuk semua t jika laju kematian sesaat (μ_x)naik.

Pada thesis ini dihitung sebaran umur untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil. Selanjutnya dihitung CWR dari jumlah sebaran umur dan dicari pula model hubungan antara GRR dan CWR untuk kedua model penduduk tersebut, hasil dari

model hubungan ini disebut model awal. Model awal yang diperoleh kemudian dikembangkan dan dibandingkan antara model awal dengan model hasil pengembangan.

Dalam kondisi penduduk stabil, hubungan antara Child Woman Ratio (CWR) dengan Gross Reproduction Rate (GRR) adalah :

T r e G K

X = * Δ

dengan X = CWR, G = GRR, K*=K Sw(T) merupakan konstanta, r menyatakan laju pertumbuhan penduduk stabil dan GRR akan linier terhadap CWR jika ΔT mendekati nol.

Dengan menerapkan model di atas pada penduduk quasi-stabil, dengan laju kematian sesaat menurun secara linier sebagai berikut:

kt a t

a _x

x( + )=μ ( )− μ

dan faktor perbaikan mortalitas yang dipilih k = 0.0002, maka diperoleh hubungan antara GRR dengan CWR untuk masing-masing e00. Hasil dari pendugaan nilai GRR tersebut kemudian dibandingkan dengan data yang tersedia, ternyata dugaan GRR dengan menggunakan model penduduk quasi-stabil lebih baik dibandingkan dengan dugaan ketika menggunakan model penduduk stabil.

Model GRR dengan menggunakan satu peubah, yaitu CWR untuk masing-masing e00 yang telah diperoleh sebelumnya, kemudian dikembangkan sehingga untuk menduga GRR cukup hanya dengan satu persamaan saja. Model GRR hasil modifikasi tersebut ternyata tidak berbeda dengan model awal yang diperoleh, hal tersebut dilihat dari nilai proportional error dan R2 terkoreksi untuk masing-masing model. Sehingga model yang digunakan untuk menduga GRR cukup dengan satu persamaan, yaitu:

0 0 0

0 0.0255

00643 . 0 55 . 5 217 .

0 CWR e CWRe

GRR= + − −

Untuk Indonesia, berdasarkan fakta bahwa pertumbuhan penduduk setiap periode selalu mengalami perubahan, maka jelas bahwa Indonesia tidak tepat jika didekati dengan model penduduk stabil, model yang paling mendekati keadaan di Indonesia adalah model quasi-stabil dengan nilai faktor perbaikan mortalitas k dapat diduga dengan persamaan

k = -0.163 + 0.000083 t, dimana t adalah tahun.

Kata kunci : vital statistic, gross reproduction rate, model penduduk stabil, model penduduk quasi stabil, child-woman ratio.

Judul Tesis : Modifikasi Metode Rele untuk Model Penduduk Quasi-Stabil Nama : Cecep A.H.F. Santosa

NIM : G551050041

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Ketua

Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc. Anggota

Diketahui

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

Dekan Sekolah Pasca Sarjana

Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juni 2007 ini adalah Modifikasi Metode Rele untuk Penduduk Quasi-Stabil.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. dan Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku pembimbing serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. Di samping itu, ungkapan terima kasih penulis sampaikan juga kepada rekan-rekan mahasiswa atas diskusinya, serta pihak lain yang tidak bisa disebutkan satu persatu. Semoga atas semua kebaikan dapat bernilai ibadah dan dibalas oleh Allah SWT dengan kebaikan yang berlipat. Terakhir penulis sampaikan terima kasih kepada Ayah, Ibu, Istri, serta seluruh keluarga, atas do’a dan kasih sayangnya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Februari 2008 Cecep A.H.F. Santosa

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Sumedang pada tanggal 5 Januari 1981 dari ayah Drs. Maman Sholehuddin S.A. dan Ibu Yeyet Rohayati. Penulis merupakan putra kedua dari dua bersaudara.

Tahun 2000 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Subang Jawa Barat dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Kesempatan untuk melanjutkan program magister pada program studi dan pada perguruan tinggi yang sama diperoleh pada tahun 2005.

Penulis adalah staf pengajar di Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta sejak Agustus 2006. Mata Kuliah yang diajarkan adalah Matematika Dasar dan Aljabar Linear.