Getaran Bebas-SDOF

Getaran (Vibration)
Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak benda yang bergetar.
Senar gitar yang sering anda mainkan,

Sound system,

Garpu tala,

Demikian juga rumah anda yang
bergetar dasyat hingga rusak ketika
terjadi gempa bumi.

Ingat juga ketika anda tertawa
terpingkal-pingkal tubuh anda juga
bergetar

Getaran (Vibration)

Getaran adalah gerakan bolak-balik dalam suatu interval waktu
tertentu.
Getaran dan gelombang merupakan dua hal yang saling

berkaitan. Baik itu gelombang air laut, gelombang gempa bumi,
gelombang suara yang merambat di udara; semuanya bersumber
pada getaran. Dengan kata lain, getaran adalah penyebab
adanya gelombang.

Getaran Bebas (Free Vibration)
Getaran bebas terjadi jika sistem berosilasi karena bekerjanya
gaya yang ada dalam sistem itu sendiri .

mu  cu  ku  p(t )

Persamaan gerak secara umum :

u (0)  u 0 ,

u (0)  u 0

Kecepatan dan perpindahan saat t=0 :

Sehingga persamaan gerak dapat ditulis :

2



2
n 

u  2 n u  n u  
p (t )

 k 

dimana

n

2

k


m

dan

 

c
c cr

dimana

c cr  2m n 

n

2k

ωn adalah frekuensi alami sudut tak teredam (rad/s), ζ adalah faktor redaman
liat dan ccr adalah koefisien redaman kritis.

k

c

Getaran bebas system SDOF
Respon total :

u (t )  u p (t )  u c (t )

u
K

m
I

P(t)

c

up(t) = forced motion related p(t)

uc(t) = natural motion
Di dalam istilah matematika, penyelesaian umum dari persamaan
diferensial terdiri dari penyelesaian sesungguhnya up(t) dan
penyelesaian komplemen/pelengkap uc(t).

Getaran bebas system SDOF
Untuk getaran bebas → P(t)=0:

mu  cu  ku  0

u  2 nu  n u  0
2

Solusi umum, untuk menyelesaikan persamaan diatas :

u  Ce

st

substitusikan

Maka….

Getaran bebas system SDOF
(s  2n s  n )C e  0
2

2

st

s  2n s  n  0

Supaya dapat valid untuk semua nilai t , maka :

2

2

Persamaan Karakteristik

(persamaan polynomial derajat n dalam besaran
2
yang mempunyai n buah harga s )

s2

Getaran bebas system SDOF
SDOF Tak Teredam
(Undamped)

SDOF Teredam
(Damped)

mu  ku  0

u  n u  0

Persamaan gerakan untuk sistem "Undamped SDOF" adalah
atau

2

s  n  0

dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah

2

2

akar dari persamaan diatas adalah

s1, 2  in

dimana

i  -1

Sehingga penyelesaian umum :

u  C1eint  C 2e int
dengan memperkenalkan persamaan Euler

e

 i

 cos   i sin 

kita dapat menulis ulang persamaan dalam bentuk fungsi
trigonometri, yaitu

u  A1 cos  n t  A2 sin  n t

dimana A1 dan A2 adalah konstanta real, ditentukan dari kondisi
awal perpindahan dan kecepatan,

u (0)  u0  A1

u (0)  u0  A2n

jadi

 u
u  u 0 cos  n t   0
 n


 sin  n t


u  u 0 cos  n t
Jika ů(0) = 0 , jadi

adalah respon getaran bebas
dari
sistem
"undamped
SDOF".

u  u 0 cos  n t

Dapat dilihat bahwa respon merupakan gerakan harmonik
sederhana dengan amplitudo uo, dan periode dari "undamped
natural"

Tn 

2

n

(s)

dan sebuah frekuensi dari "undamped natural"

1 n
fn 

Tn
2

(Hz)

 u0
u (t )  u0 cos n t  
 n


 sin n t


sin 
B
u (t )  Acos nt  B sin nt  A  B cos(nt   ), tan  

cos 
A
2

  
u (t )  U cos(nt   )  U cos n  t  
 n 

2

Contoh
200 lb/ft

Model Struktur :

F(t)
25 ft

W8x24

E = 30.106 psi
I = 82,5 in4
15 ft

W = 200 x 25 = 5000 lb

g = 386 in/s2

Persamaan Gerak dan persamaan respons
getaran bebasnya (F(t)=0) ?

Model SDOF
200 lb/ft

F(t)

F(t)

W8x24

15 ft

Model Matematis

FBD

y

K
m

F(t)

fs

m
I

F(t)

I  fs  F t 

Penyelesaian :

m.y  k. y  F t 

m

fs

F(t)

I

12 E 2 I  12 . 30 .106 2 . 82,5
K

 10185 lb / in
L3
15 .123

m

W 5000

 12.953lb.s 2 / in
g
386

n 
f 

k
10185 . 386

 28.04 r ad / s
m
5000

n
1

2 2

10185 . 386
 4.46 sps
5000

12.953y  10185 y  0

Tn 

2

n

 0.224 s

Persamaan Gerak

Persamaan Respons Getaran Bebas :
 u0 
u (t )  u0 cos n t    sin n t
 n 

 u 
u (t )  u0 cos 28.04t   0  sin 28.04t
 28.04 

Latihan

Simpangan awal y0  0,001 ft
Kecepatan awal y 0  0,1 ft/dt
Gambarkan Respons Struktur!!
(Masukan nila t=0 sampai t=5, dengan interval
waktu 0.2)
Jika:

 u0 
u (t )  u0 cos n t    sin n t
 n 

 u 
u (t )  u0 cos 28.04t   0  sin 28.04t
 28.04 

Respon Getaran Bebas SDOF Tak Teredam
0.0015

u(t)

0.001

0.0005

0
0

-0.0005

-0.001

-0.0015

1

2

3

4

5

6
t(time)

Tuned Mass Damper

mu  cu  ku  0

u  2 nu  n u  0

Persamaan gerakan untuk sistem "Undamped SDOF" adalah
atau

s  2n s  n  0

dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah

2

2

dimana akar-akarnya , s1 dan s2 diberikan oleh

s1, 2   n   n  2  1

2

Besarnya faktor "damping" (  ) , dapat digunakan untuk
membedakan 3 kasus, yaitu:
 overdamped (   1 )

 critically damped (  = 1 )
 underdamped (0 <  < 1)

 Kasus critically damped (  = 1 )
Ketika ζ=1 maka persamaan

s1, 2   n   n  2  1
menjadi

s1, 2   n
Solusinya menjadi:

u (t )  (C1  C2t )e  nt

maka respon dari sistem redaman kritis adalah:

u (t )  [uo  (uo   nuo )t ]e  nt

 Kasus overdamped (  > 1 )

s1,2   n   n  2  1

s1, 2   n   *

( > 1)

Persamaan diatas dapat ditulis

dimana

 *  n  2  1

Kasus Underdamped ( 0 <  < 1)

s1,2   n   n  2  1

( 0 <  < 1)

Lebih mudah bila menulis persamaan diatas
dalam bentuk

s1, 2   n  i d

dimana d adalah frekuensi alami " damped circular "
yang diberikan oleh

 d  n 1   2

yang sesuai dengan periode damped , Td
diberikan oleh

Td 

2

d

, yang

Dengan bantuan dari formula Euler, penyelesaian umum, u
(t), dapat ditulis dalam bentuk

u (t )  e

 n t

( A1 cos  d t  A2 sin  d t )

dan juga, uo dan ůo digunakan untuk mengevaluasi A1 dan A2
, dengan hasil:

u (t )  e

 n t



 u0   n u0 
 sin d t )
u0 cos d t  
d





sin 
B
u (t )  Acos nt  B sin nt  A  B cos(nt   ), tan  

cos 
A
2

u (t )  Ue

 n t

cos( d t   )

2

Gambar diatas menunjukkan perbandingan antara respon-respon
dari sistem-sistem SDOF mempunyai level-level yang berbeda
dalam subcritical damping. Dalam tiap kasus, karena uo = 0
, respon yang didapat

Penyelesaian umum, u (t), dapat ditulis dalam bentuk

u (t )  e  nt ( A1 cosh  *t  A2 sinh  *t )
dan juga, uo dan ůo digunakan untuk mengevaluasi A1 dan A2
, dengan hasil:

u (t )  e

 n t


 u0   n u0 
*
* 
 sinh  t )
u0 cosh  t  
*






u (t )  e

 n t


 u0   n u0 
*
* 
 sinh  t )
u0 cosh  t  
*





n  5rad / s

1.6

u0  20in / s

1

0.8

1.5
2

0
0

0.8

1.6

2.4

3.2

Eksperimen Penentuan dari
Frekuensi Alami Dasar dan
Faktor Damping dari sebuah
sistem SDOF
Faktor damping ,  , umumnya diukur, dan bila
diinginkan, nilai efektif dari c dapat dihitung dari
persamaan
c

 

c cr

Frekuensi alami undamped dari sebuah sistem SDOF
sederhana dapat ditentukan dari pengukuran statis.

Contoh
Tentukan frekuensi alami dari sebuah sistem pegas
sederhana dengan menggunakan pengukuran statis.
Penyelesaian :

k

Lo

k

fs=kust
ust
w
w

n2 = k/m

1

keseimbangan berat dari massa yang tergantung pada
pegas ditunjukkan pada

  F  0

k

Lo

k

fs=kust

2

ust

atau

W  fs  0

w
w

3

dari persamaan gaya yang menyebabkan perpanjangan
pada pegas

f s  kust

persamaan 3 dan 4 digabungkan mendapat

f s  mg  kust

4

5

jadi, dari persamaan 1 dan 5

n

2

g

u st

6

Contoh
Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massa
lumped (terpusat) bergerak dinamis. Massa bergerak
dengan amplitudo A = 1 in kemudian dilepaskan. Gerakan
yang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang
mengindikasikan bahwa redaman pada struktur sangat
kecil. Hitung frekuensi natural dalam radian per detik
dan hertz. Berapa periodenya?

Penyelesaian :

Pada titik a, beban telah bergerak 1¼ putaran

1.25 putaran
fn 
 3.125 Hz
0.4 s

 n  2f n  (6.28)(3.125)  19.6 rad/s
1
1
Tn 

 0.32 s
f n 3.125

Terdapat dua metode yang hampir sama untuk
menentukan
the
damping
factor,
,
dengan
menggunakan rekaman melemahnya getaran bebas
dari sebuah sistem SDOF : metoda logarithmic
decrement dan metoda setengah amplitudo.

Dalam metoda logarithmic decrement , amplitudo
gerakan, UP, pada permulaan dari putaran dan
amplitudonya, UQ, pada akhir.
Didapat persamaan

uP
 e  nTd
uQ

the logarithmic decrement  dijelaskan sebagai berikut :

 uP 
  ln     nTd
 uQ 

dimana Td adalah periode natural damped , dijelaskan
sebagai berikut :

Td 

2

d



2

n 1  2
2

jadi, kita mendapatkan

   n Td 

1 2

Untuk damping kecil (  < 0.2 ) , perkiraannya :

  2

dapat diterima, memungkinkan faktor damping untuk
didapat dari persamaan :

 1   U P 
    ln 
 2   U Q 

Prosedur yang sama juga diterapkan pada metoda
setengah amplitudo, dimana hasilnya merupakan
perhitungan yang sederhana untuk faktor damping.
Metoda
setengah
amplitudo
berdasarkan
pada
amplitudo dari envelope curve (kurva envelope).

uˆ (t )  Ue

 n t

pada dua titik P dan R,
dimana :

uˆ P
uˆ R 
2

Titik-titik tersebut adalah N periode damped yang
terpisah, dimana N tidak harus sebuah bilangan bulat.
Kemudian,

uˆ P
 n NTd
e
2
uˆ R

Sehingga diperoleh persamaan

2N
1

2

 ln( 2)

Grafik hubungan antara  dan N .

Tetapi, untuk nilai
1, menghasilkan:

damping

yang

kecil,

2


1)

Contoh

Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas
dengan kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat)
sehingga terjadi amplitudo puncak 1,0 dan 0,85.
a).
b).
c).
d).
e).

Frekuensi natural tak teredam (ωn)
Pengurangan logaritmis ( )
Rasio redaman(ζ)
Koefisien redaman(c)
Frekuensi natural redaman (ωn)

Penyelesaian :
a). Frekuensi natural tak teredam (ωn)

n 
n 

K = 20 lb/in , m 

K
m

20
atau
 27,78 rad
sec
10 386

f 

 27,78

 4,42 sps
2
2

b). Pengurangan logaritmis

y1
  ln
y2

  ln

y1 = 1,00
y2 = 0,85

1,0
 0,165
0,85

c). Rasio redaman(ζ)


 
2

10 lb
W

g 386 in/sec 2

0,163
 0,026
 
2

d). Koefisien redaman(c)

c
 
ccr

c    ccr

ccr  2 k  m  2 10  20

386


 0,026 2 10  20
386 

lb  dt
 0,037
in

e). Frekuensi natural redaman (ωD)

D   1   2 ,

D  27.78 1  (0.026) 2  27.77 rad/det

Contoh
Gunakan
metode
setengah
amplitudo
untuk
memperkirakan the damping dari sebuah sistem yang
gerakannya terekam dalam gambar berikut,

Penyelesaian :
•

Gambar sketsa dari the envelope curve ( terdapat
pada gambar)

•
•

Ambil titik P pada puncak dan ukur uP; uP = 0.44 in.
Cari titik R , dimana amplitudo dari the envelope
curve adalah uP/2 = 0.22 in.
Perkirakan jumlah putaran antara P dan R : N =
2.25 putaran
Gunakan persamaan dibawah ini untuk
memperkirakan  :

•
•

0.11
 
N

 

0.11
 0.049
2.25