BAB 3 Getaran Bebas SDOF

Getaran (Vibration)
Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak benda yang bergetar.
Senar gitar yang sering anda mainkan,

Sound system,

Garpu tala,

Demikian juga rumah anda yang
bergetar dasyat hingga rusak ketika
terjadi gempa bumi.

Ingat juga ketika anda tertawa
terpingkal-pingkal tubuh anda juga
bergetar

Getaran (Vibration)

Getaran adalah gerakan bolak-balik dalam suatu interval waktu
tertentu.
Getaran dan gelombang merupakan dua hal yang saling

berkaitan. Baik itu gelombang air laut, gelombang gempa bumi,
gelombang suara yang merambat di udara; semuanya bersumber
pada getaran. Dengan kata lain, getaran adalah penyebab
adanya gelombang.

Getaran Bebas (Free Vibration)
Getaran bebas terjadi jika sistem berosilasi karena bekerjanya
gaya yang ada dalam sistem itu sendiri .

Persamaan gerak secara umum :

mu + cu + ku = p(t )
Kecepatan dan perpindahan saat t=0 :

u (0) = u 0 ,

u (0) = u 0

Sehingga persamaan gerak dapat ditulis :
2

⎞
⎛
ω
2
n ⎟
⎜
u + 2ζω n u + ω n u = ⎜
p(t )
⎟
⎝ k ⎠

dimana

ωn

2

k
=
m

dan

ζ =

c
c cr

dimana

ccr = 2mω n =

2k

ωn

ωn adalah frekuensi alami sudut tak teredam (rad/s), ζ adalah faktor redaman
liat dan ccr adalah koefisien redaman kritis.

k

c

Getaran bebas system SDOF
Respon total :
u
K

u (t ) = u p (t ) + u c (t )

m
I

P(t)

c

up(t) = forced motion related p(t)
uc(t) = natural motion
Di dalam istilah matematika, penyelesaian umum dari persamaan

diferensial terdiri dari penyelesaian sesungguhnya up(t) dan
penyelesaian komplemen/pelengkap uc(t).

Getaran bebas system SDOF
Untuk getaran bebas → P(t)=0:

mu + cu + ku = 0
2

u + 2ζω nu + ωn u = 0
Solusi umum, untuk menyelesaikan persamaan diatas :

u = Ce

st

substitusikan

Maka….

Getaran bebas system SDOF
2

2

st

( s + 2ζω n s + ω n )Ce = 0
Supaya dapat valid untuk semua nilai t , kita harus mengeset :

2

2

s + 2ζω n s + ω n = 0
Persamaan Parakteristik

Getaran bebas system SDOF
SDOF Tak Teredam
(Undamped)

SDOF Teredam
(Damped)

Persamaan gerakan untuk sistem "Undamped SDOF" adalah

mu + ku = 0

2

atau

u + ωn u = 0

dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah

2

2

s + ωn = 0
akar dari persamaan diatas adalah

s1, 2 = ±iϖ n

dimana

i = -1

Sehingga penyelesaian umum :

u = C1

eiωnt

+ C 2 e −iωnt

dengan memperkenalkan persamaan Euler

e

± iθ

= cosθ ± i sin θ

kita dapat menulis ulang persamaan dalam bentuk fungsi
trigonometri, yaitu

u = A1 cosω n t + A2 sin ω n t

dimana A1 dan A2 adalah konstanta real, ditentukan dari kondisi
awal perpindahan dan kecepatan,

u (0) = u0 = A1
u (0) = u0 = A2ωn
jadi

⎛ u ⎞
u = u 0 cos ω n t + ⎜⎜ 0 ⎟⎟ sin ω n t
⎝ ω n ⎠

adalah respon getaran bebas
dari sistem "undamped
SDOF".

Pertama-tama dengan mempertimbangkan kasus dari sebuah
sistem yang menggantikan dari posisinya yang seimbang dengan
jumlah uo dan dibebaskan. Kemudian ů(0) = 0 , jadi

u = u 0 cosω n t

u = u0 cosω n t

Dapat dilihat bahwa respon merupakan
gerakan harmonik
sederhana dengan amplitudo uo, dan periode dari "undamped
natural"

Tn =

2π

ωn

(s)

dan sebuah frekuensi dari "undamped natural"

fn =

1 ωn
=
Tn
2π

(Hz)

Gambar diatas menunjukkan sebuah plot apabila uo ataupun ůo
adalah 0 (nol). Hal ini tetap merupakan gerakan harmonik
sederhana dengan periode Tn. u(t) dapat diekspresikan dengan
persamaan

u = u0 cosω n t

OR

⎛ α ⎞
u (t ) = U cos(ω n t − α ) = U cos ω n ⎜⎜1 − ⎟⎟
⎝ ω n ⎠

Contoh
200 lb/ft

Model Struktur :

F(t)

E = 30.106 psi
W8x24

I = 82,5 in4
15 ft

W = 200 x 25 = 5000 lb
g = 386 in/dt2

Persamaan Gerak dan persamaan respons
getran bebasnya (F(t)=0) ?

Model SDOF
200 lb/ft

F(t)

F(t)

W8x24

15 ft

Model Matematis

FBD

y

K
m

F(t)

fs

m
I

F(t)

Penyelesaian :

I + fs = F (t )
m.y + k. y = F (t )

m

fs

F(t)

I

12 E (2 I ) 12 . 30 .10 6 (2 . 82,5)
=
= 10,185 lb / in
K=
3
3
L
(15 .12 )
m=

W 5000
=
= 12.95lb.dt 2 / in
g
386

ωn =
f =

k
10,185. 386
=
= 0.786 rad / dt
5000
m

ωn
1
=
2π 2π

10,185. 386
= 4.46 sps
5000

12.95y + 10.185 y = F (t )

Persamaan Gerak

Persamaan Respons Getaran Bebas :

⎛ u0 ⎞
u (t ) = u0 cos ωnt + ⎜⎜ ⎟⎟ sin ωnt
⎝ ωn ⎠
⎛ u ⎞
u (t ) = u0 cos 0.786t + ⎜ 0 ⎟ sin 0.786t
⎝ 0.786 ⎠

Latihan
Jika:
 Simpangan
 awal
 y
 
 (
 0
 
 ) = 0,001 ft

 
 
 
 
 
 
 
 Kecepatan
 awal
 
 y (0) = 0,1 ft/dt

 Gaya
 luar
 F(t)
 
Gambarkan
 Respons
 Struktur!!
 

Tuned Mass Damper

Persamaan gerakan untuk sistem "Undamped SDOF" adalah
2

mu + cu + ku = 0

atau

u + 2ζω nu + ωn u = 0

dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah

2

2

s + 2ζω n s + ωn = 0
dimana akar-akarnya , s1 dan s2 diberikan oleh

s1, 2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1

Besarnya faktor "damping" ( ζ ) , dapat digunakan untuk
membedakan 3 kasus, yaitu:
Ø  overdamped ( ζ > 1 )
Ø  critically damped ( ζ = 1 )
Ø  underdamped (0 < ζ < 1)

Kasus Underdamped ( 0 < ζ < 1)

s1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1

( 0 < ζ < 1)

Lebih mudah bila menulis persamaan diatas
dalam bentuk

s1, 2 = −ζω n ± iω d
dimana ωd adalah frekuensi alami " damped circular "
yang diberikan oleh

ωd = ωn 1− ζ
yang sesuai dengan periode damped , Td
diberikan oleh

Td =

2π

ωd

, yang

Dengan bantuan dari formula Euler, penyelesaian umum, u (t),
dapat ditulis dalam bentuk

u (t ) = e

−ζω n t

( A1 cos ω d t + A2 sin ω d t )

dan juga, uo dan ůo digunakan untuk mengevaluasi A1 dan A2 ,
dengan hasil:

u (t ) = e

−ζωnt

⎡
⎤
⎛ u0 + ζω nu0 ⎞
⎟⎟ sin ωd t )⎥
⎢u0 cos ωd t + ⎜⎜
ωd
⎝
⎠
⎣
⎦

Atau dapat ditulis dalam bentuk

u (t ) = Ue −ζω nt cos(ω d t − α )

Gambar diatas menunjukkan perbandingan antara respon-respon
dari sistem-sistem SDOF mempunyai level-level yang berbeda
dalam subcritical damping. Dalam tiap kasus, karena uo = 0 ,
respon yang didapat

Walaupun nilai dari ζ mempunyai efek pada frekuensi , ωd , efek
yang paling berat dari damping adalah pada angka pada saat
gerakan menyusut, yaitu pada waktu e-ζωdt.

Main
 Menu
 

Ø  Kasus critically damped ( ζ = 1 )

Ketika
 ζ=1
 maka
 persamaan
 

s1, 2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
menjadi
 

s1, 2 = −ζω n
Solusinya
 menjadi:
 

u(t ) = (C1 + C2t )e −ζωnt
maka respon dari sistem redaman kritis adalah:

u (t ) = [uo + (uo + ζω nuo )t ]e −ζωnt

Ø  Kasus overdamped ( ζ > 1 )

Eksperimen Penentuan dari
Frekuensi Alami Dasar dan
Faktor Damping dari sebuah
sistem SDOF
Faktor damping , ζ , umumnya diukur, dan bila
diinginkan, nilai efektif dari c dapat dihitung dari
persamaan

ζ =

c
c cr

Frekuensi alami undamped dari sebuah sistem SDOF
sederhana dapat ditentukan dari pengukuran statis.

Main Menu

Contoh
Tentukan frekuensi alami dari sebuah sistem pegas
sederhana dengan menggunakan pengukuran statis
defleksi.
Penyelesaian :

k

Lo

k

fs=kust
ust
w
w

ωn2 = k/m

1

keseimbangan berat dari massa yang tergantung pada
pegas ditunjukkan pada

+ ↓ ∑F = 0

k

Lo

k

fs=kust

2

ust

atau

w
w

W − fs = 0

3

dari persamaan gaya yang menyebabkan perpanjangan
pada pegas

f s = ku st
persamaan 3 dan 4 digabungkan mendapat

4

f s = mg = ku st

5

jadi, dari persamaan 1 dan 5

ωn

2

6

g
=
u st

apabila the damping dalam sistem kecil ( ζ < 0.2 ),
persamaan

ωD = ωn ζ 2 −1
menunjukkan bahwa ωd kurang lebih sama dengan ωn.
Contoh selanjutnya menunjukkan bagaimana sebuah
eksperimen getaran bebas dapat digunakan untuk
menentukan frekuensi alami dari sebuah sistem SDOF.

Contoh
Frekuensi
 natural
 dari
 balok
 kantilever
 dengan
 massa
 
lumped
 (terpusat)
 bergerak
 dinamis.
 Massa
 bergerak
 
dengan
 amplitudo
 A
 =
 1
 in
 kemudian
 dilepaskan.
 Gerakan
 
yang
 terjadi
 ditunjukkan
 gambar
 di
 bawah
 yang
 
mengindikasikan
 bahwa
 redaman
 pada
 struktur
 sangat
 
kecil.
 Hitung
 frekuensi
 natural
 dalam
 radian
 per
 detik
 
dan
 hertz.
 Berapa
 periodenya?
 

Penyelesaian :

Pada titik a, beban telah bergerak 1¼ putaran

1.25 putaran
fn ≈
= 3.125 Hz
0.4 s

ω n = 2πf n = (6.28)(3.125) = 19.6 rad/s
1
1
=
= 0.32 s
Tn =
f n 3.125

Terdapat dua metode yang hampir sama untuk
m e n e n t u k a n t h e d a m p i n g f a c t o r, ζ , d e n g a n
menggunakan rekaman melemahnya getaran bebas
dari sebuah sistem SDOF : metoda logarithmic
decrement dan metoda setengah amplitudo. Keduanya
berdasarkan pada persamaan,

u (t ) = Ue −ζω nt cos(ω d t − α )

Dalam metoda logarithmic decrement , amplitudo
gerakan, u P , pada per mulaan dari putaran dan
amplitudonya, uQ, pada akhir putaran , dihitung.
Pada akhir dari periode (misal satu putaran ) nilai dari
cos (ωdt - α ) kembali pada nilai yang didapat pada
permulaan dari putaran.
Karena itu, didapat persamaan

uP
ζω nTd
=e
uQ
the logarithmic decrement δ dijelaskan sebagai berikut :

⎛ u P ⎞
δ = ln⎜⎜ ⎟⎟ = ζω nTd
⎝ uQ ⎠

dimana Td adalah periode natural damped , dijelaskan
sebagai berikut :

Td =

2π

ωd

=

2π

ωn 1−ζ 2

jadi, kita mendapatkan

δ = ζω n Td =

2πζ
1−ζ 2

Untuk damping kecil ( ζ < 0.2 ) , perkiraannya :

δ = 2πζ
dapat diterima, memungkinkan faktor damping untuk
didapat dari persamaan :

⎛ 1
ζ = ⎜
⎝ 2π

⎞ ⎛⎜ U P ⎞⎟
⎟ ln⎜
⎠ ⎝ U Q ⎟⎠

Prosedur yang sama juga diterapkan pada metoda
setengah amplitudo, dimana hasilnya merupakan
perhitungan yang sederhana untuk faktor damping.
Metoda setengah amplitudo ber dasar kan pada
amplitudo dari envelope curve (kurva envelope).

uˆ (t ) = Ue

−ζω nt

pada dua titik P dan R, dimana :

uˆ P
uˆ R =
2
Titik-titik tersebut adalah N periode damped yang
terpisah, dimana N tidak harus sebuah bilangan bulat.
Kemudian,

uˆ P
ζω n NTd
=e
=2
uˆ R

Sehingga diperoleh persamaan

2πNζ
1−ζ

2

= ln(2)

Gambar hubungan antara ζ dan N .

Gambar
 Soal
 

Main
 Menu
 

Tetapi, untuk nilai damping yang kecil, ζ2
1)

Contoh

Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas
dengan kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat)
sehingga terjadi amplitudo puncak 1,0 dan 0,85.
a).
b).
c).
d).
e).

Frekuensi natural tak teredam (ωn)
Pengurangan logaritmis (δ )
Rasio redaman(ζ)
Koefisien redaman(c)
Frekuensi natural redaman (ωn)

Penyelesaian :
a). Frekuensi natural tak teredam (ωn)

ωn =

K
m

ωn =

20
atau
= 27,78 rad
sec
10 386

K = 20 lb/in , m =
f =

ω 27,78
=
= 4,42 sps
2π
2π

b). Pengurangan logaritmis

y1
δ = ln
y2

y1 = 1,00
y2 = 0,85

1,0
δ = ln
= 0,165
0,85
c). Rasio redaman(ζ)

ζ =

δ
2π

ζ =

10 lb
W
=
g 386 in/sec2

0,163
= 0,026
2π

d). Koefisien redaman(c)

c
ζ =
ccr

ccr = 2 k ⋅ m = 2 10 ⋅ 20

386

c = ζ ⋅ ccr
⎞
= (0,026)⎛⎜ 2 10 ⋅ 20
⎟
386
⎝
⎠
lb ⋅ dt
= 0,037
in
e). Frekuensi natural redaman (ωD)

ωD = ω 1 − ζ 2 ,
ωD = 27.78 1 − (0.026)2 = 27.77 rad/det

Contoh
Gunakan metode setengah amplitudo untuk
memperkirakan the damping dadri sebuah sistem yang
gerakannya terekam dalam gambar berikut,

Penyelesaian :
• 

Gambar sketsa dari the envelope curve ( terdapat
pada gambar)

• 
• 

Ambil titik P pada puncak dan ukur uP; uP = 0.44 in.
Cari titik R , dimana amplitudo dari the envelope
curve adalah uP/2 = 0.22 in.
Perkirakan jumlah putaran antara P dan R : N = 2.25
putaran
Gunakan persamaan dibawah ini untuk
memperkirakan ζ :

• 
• 

0.11
ζ =
N

ζ =

0.11
= 0.049
2.25

Level dari damping dari sebuah sistem juga
tercermin dalam jumlah yang disebut time
constant, τ.
Yang ar tinya waktu yang diper lukan bagi
amplitudo untuk berkurang dengan faktor 1 / e.
Dengan perlakuan yang sama ketika formula
setengah amplitudo didapat, persamaan untuk
time constant bisa didapat.
Gunakan the envelope curve dan S menjadi titik
seperti :

uP
uP
=
=e
u S u P (1 / e)
jadi,

U exp(−ζω n t P )
uP
=
=e
u S U exp[−ζω n (t P + τ )]

atau,

e

ζω nτ

=e

dengan mengeliminasi logaritma pada kedua sisi, kita
dapatkan

ζω nτ = 1
kemudian, time constant , τ, diberikan sebagai :

τ=

1

ζω n

=

Tn
2πζ

dengan mengetahui bahwa 1 /e = 1 / 2.718 = 0.368. Oleh
karena itu, time constant , τ, adalah waktu yang
diperlukan bagi amplitudo gerakan untuk berkurang
sekitar 63%.

Getaran Bebas dari sebuah sistem
SDOF dengan Coloumb Damping
Gambar dibawah ini menunjukkan sebuah benda
meluncur pada per mukaan yang kasar yang
menghasilkan gaya gesekan.

Main Menu

f D = µ k N = µ k mg
dimana
µ k adalah koefisien gesekan kinetik, atau
koefisien gesekan luncur.
Gaya gesek selalu berlawanan dengan gerakan,
yakni ber lawanan gaya yaitu u . Dengan
menggunakan hukum Newton II, kita
mendapatkan

− f s − f D = mu
tapi

fs = ku
dan

f D = µ k mg sgn(u )

Main Menu

kemudian

mu + ku = − µ k mg ,
mu + ku = + µ k mg ,

u > 0
u < 0

dengan

⎛ 1 ⎞ µ k g
u D = f D ⎜ ⎟ = 2
⎝ k ⎠ ω n
Maka didapat
2
u + ω n u = −ω n u D u > 0
2
u + ω n u = +ω n u D u < 0

Main Menu

Gerakan hasil di plot dalam gambar diatas. Catatan pada gambar,
bahwa sistem coulomb-damped berlaku seperti sistem undamped
SDOF yang posisi seimbangnya berubah di akhir pada setiap
setengah putaran.
Tampilan yang membedakan dari respon , seperti yang tampak pada
gambar, adalah amplitudo berkurang secara linear dengan waktu,
tidak secara eksponen seperti pada kasus viscous damping.