Analisis Numerik untuk Persoalan Water Flooding dengan Menggunakan Metode Volume Hingga
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Aliran Dua-Fase Nonekulibrium pada Media Berpori
Penelitian ini merupakan kajian ulang terhadap penelitian yang telah dilakukan oleh
Juanes (2008), dalam tulisannya yang berjudul Nonequilibrium effects in models of
three-phase flow in porous media. Pada tulisan tersebut dilakukan simulasi waterflooding dengan melakukan pendekatan diskritisasi menggunakan cell-centered
finite volume yaitu solusi disimpan pada pusat setiap grid yang dibentuk, sedangkan
pada skripsi ini, penulis melakukan diskritisasi dengan menggunakan vertex centered finite volume yaitu solusi yang disimpan pada simpul (vertex) dari mesh dimana
setiap vertex i harus dibangun cell (Praveen, 2013).
Juanes menyatakan bahwa model aliran dua fase dengan efek nonekuilibrium pada media berpori telah diajukan sebelumnya oleh Barenblatt dengan bebas
kapilaritas. Kemudian dipasangkan dengan model Buckley-Leverett dengan bebas
kapilaritas dimana fluks merupakaan fungsi saturasi efektif yang direpresentasikan
dengan persamaan
∂t S + ∂x vf (σ) = 0
(2.1)
σ − S = τ ∂t S
(2.2)
dan persamaan evolusi
Sistem ini harus dilengkapi denngan kondisi batas fluks pada batas kiri x = 0 dalam
bentuk f (σ) = f¯(t). Selain itu juga diberikan kondisi awal pada t = 0 dalam bentuk
S = S0 (x)
(2.3)
σ0 + τ ∂x f (σ0 ) = S0 (x)
dimana S adalah saturasi aktual (saturasi saat ini) dan τ adalah saturasi efektif (saturasi yang akan datang).
Persamaan Buckley-Leverett merupakan persamaan transportasi pada fluida
yang menggambarkan dua fase aliran fluida yang immiscible pada media berpori.
11
Universitas Sumatera Utara
12
Sedangkan model Barenblatt menggambarkan dua fase aliran pada media berpori
dengan efek dinamik (nonekuilibrium) pada relatif permeabilitas. Pada kasus ini,
water flooding yang ditunjukkan oleh persamaan (2.1) yang dipasangkan dengan
persamaan (2.2) akan diselesaikan melalui analisis numerik, yang akan dijelaskan
pada Bab selanjutnya
2.2 Deret Taylor
Biasanya metode numerik diturunkan berdasarkan hampiran fungsi terhadap bentuk
polinomial sehingga fungsi akan menjadi lebih sederhana. Deret Taylor dapat digunakan pada hampir setiap pendekatan numerik yang didefinisikan sebagai berikut
Definisi
Andaikan terdapat f dan semua turunannya f ′ , f ′′ , ... dalam selang [a, b], dan misalkan x0 ∈ [a, b]. Untuk nilai x disekitar x0 , maka f (x) dapat diperluas kedalam
deret Taylor
f ′′′ (x0 )
f ′′ (x0 )
(x − x0 )2 +
(x − x0 )3 + ...
2!
3!
f (n+1) (tx )
f (n) (x0 )
(x − x0 )n +
(x − x0 )n+1 .
+
n!
(n + 1)!
(2.4)
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +
j Jika h = x − x0 , maka
f (x + h) = f (x) + f ′ (x)h +
dimana
f (n+1) (tx ) n+1
h
(n+1)!
f ′′ (x) 2 f ′′′ (x) 3
f (n) (x) n
h +
h + ... +
h
2!
3!
n!
f (n+1) (tx ) n+1
h
+
(n + 1)!
merupakan galat dengan limn→∞
f (n+1) (tx ) n+1
h
(n+1)!
(2.5)
=0
2.3 Metode Iterasi Newton Pada Sistem Aljabar
Metode iterasi Newton merupakan suatu metode yang berfungsi untuk mencari nilai akar dari suatu persamaan, yaitu mencari r ∈ R yang memenuhi f (r) = 0. Penurunan metode ini dapat diperoleh dari deret Taylor yang direpresentasikan oleh
persamaan (2.5). Untuk n = 1, persamaan (2.5) menjadi
f (x + h) = f (x) + f ′ (x)h +
f ′′ (tx ) 2
h
2!
Universitas Sumatera Utara
13
dimana
f ′′ (tx ) 2
h
2!
merupakan galat. Jika dimisalkan x + h merupakan pendekatan
untuk r, maka dengan mengabaikan galat tersebut diperoleh
0 = f (x) + f ′ (x)h,
sehingga
h=−
f (x)
.
f ′ (x)
Jika diberikan nilai duga (initial guess) x0 , maka untuk n = 0, 1, 2, ... dibentuk
xn+1 = xn −
f (xn )
,
f ′ (xn )
yang diharapkan limn→∞ xn = r. Penurunan diatas dapat dipakai untuk mendapatkan metode iterasi yang mencari r ∈ Rn yang memenuhi F (r) = 0, dimana
F : Rn → Rn . Dalam hal ini,
0 = F (x) + F ′ (x)h
dimana F ′ (x) merupakan matrix Jacobian dengan ordo n × n
∂F1 (x)
∂F1 (x) ∂F1 (x)
...
∂x1
∂x2
∂xn
∂F2 (x)
∂F2 (x) ∂F2 (x)
...
.
∂x
∂x
∂x
F ′ (x) =
1
2
n
.
.
.
.
..
..
..
..
∂Fn (x) ∂Fn (x)
∂Fn (x)
...
∂x1
∂x2
∂xn
Sehingga dapat ditunjukkan bahwa
h = −[F ′ (x)]−1 F (x).
Jika terdapat nilai duga x0 maka secara umum metode iterasi Newton untuk system
aljabar dapat ditulis sebagai berikut
xn+1 = xn − [F ′ (xn )]−1 F (xn )
2.4 Integrasi Numerik
Integral merupakan suatu pokok pembahasan mendasar yang berfungsi untuk mencari luas suatu daerah kurva f (x). Dalam kalkulus, dipelajari bahwa integral dapat diselesaikan secara analitik pada persamaan yang sederhana. Namun pada bidang aplikasi sains dan teknik akan ditemui suatu permasalahan yang tidak dapat
Universitas Sumatera Utara
14
diselesaikan dengan cara analitik. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode numerik dimana penyelesaian integrasi dapat diselesaikan dengan bantuan perhitungan
komputer (integrasi numerik) dengan batas integral tertentu yang direpresentasikan
oleh
I=
Z
b
f (x)dx.
a
Rinaldi Munir (2003) dalam bukunya Integrasi Numerik menjelaskan bahwa
terdapat 3 cara dalam melakukan pendekatan dalam menurunkan rumus integrasi
numerik yaitu metode pias, metode Newton-Codes dan Kuadratur Gauss. Penulis
akan membatasi pembahasan hanya pada integrasi numerik dengan metode pias.
Perhatikan Gambar 2.1, andaikan [a, b] merupakan interval pada luas kurva
f (x), maka dibentuk n partisi sepanjang interval [a, b], dimana lebar setiap pias
adalah
h=
b−a
.
n
Dengan demikian, titik pias dinyatakan xi = a + ih dimana i = 0, 1, ..., n
Gambar 2.1: Metode Pias
Terdapat beberapa metode yang dapat dikembangkan pada metode ini yaitu
aturan titik tengah (mid point rule), aturan titik kanan (rigth end point rule), aturan
titik kiri (left end point rule), dan aturan trapesium (trapezoidal rule).
Universitas Sumatera Utara
15
2.4.1 Aturan Trapesium
Pada pendekatan trapesium dapat digunakan rumus luas trapesium pada setiap pias. Perhatikan Gambar 2.2. Secara umum, luas dibawah kurva pada pias (xi , xi+1
Gambar 2.2: Trapezoidal
didekati oleh
Z
xi+1
f (x)dx ≈ f (xi ) + f (xi+1 )
xi
h
2
dimana i = 0, 1, 2, ..., n − 1. Dengan demikian,
Z
b
f (x)dx ≈
a
n−1
X
i=0
f (xi ) + f (xi+1 )
h
2
.
2.4.2 Aturan Titik Tengah
Luas daerah pias dapat digambarkan sebagai luas persegi panjang dimana h sebagai
lebar dan f (xi+ 1 ) sebagai panjang yang dapat ditunjukkan oleh Gambar 2.3, Secara
2
Gambar 2.3: Aturan Titik Tengah
Universitas Sumatera Utara
16
umum, pendekatan ini dapat ditulis sebagai
Z xi+1
xi+1 + xi
f (x)dx ≈ f (
)h
2
xi
dimana i = 0, 1, 2, ..., n − 1, sehingga
Z b
n−1
X
xi+1 + xi
)h.
f (x)dx ≈
f(
2
a
i=0
2.4.3 Aturan Titik Kanan
Pada pendekatan aturan titik kanan dapat dianggap h sebagai lebar pias dan f (xi+1 )
sebagai panjang. perhatikan Gambar 2.4, Secara umum, pendekatan ini dapat ditulis
Gambar 2.4: Aturan Titik Kanan
sebagai
Z
xi+1
f (x)dx ≈ f (xi+1 )h,
xi
dimana i = 0, 1, 2, ..., n − 1, sehingga
Z b
n−1
X
f (x)dx ≈
f (xi+1 )h.
a
i=0
2.4.4 Aturan Titik Kiri
Pada pendekatan aturan titik kiri dapat dianggap h sebagai lebar pias dan f (xi )
sebagai panjang. perhatikan Gambar 2.5, Secara umum dapat ditulis sebagai
Z xi+1
f (x)dx ≈ f (xi )h,
xi
dimana i = 0, 1, 2, ..., n − 1, sehingga
Z b
n−1
X
f (x)dx ≈
f (xi )h,
a
i=0
Universitas Sumatera Utara
17
Gambar 2.5: Aturan Titik Kiri
2.5 Galat
Penyelesaian numerik akan selalu memiliki nilai galat, karena metode numerik merupakan suatu pendekatan terhadap nilai eksak. Jika nilai galat mendekati nol, maka penyelesaian numerik akan mendekati nilai eksak. Hal itu akan terjadi jika jarak
pias (∆x dan ∆t) diperkecil, namun perhitungan yang dilakukan akan semakin banyak. Kita tahu bahwa nilai eksak merupakan jumlahan dari nilai hampiran dan
galat, yang berarti galat adalah selisih antara nilai eksak dan hampiran yang dinyatakan oleh
ε=r−x
dimana x adalah nilai hampiran dan r adalah nilai eksak.
Besar galat tidak memperhatikan nilai positif atau negatif, sehingga ditulis
dalam harga mutlak yang ditunjukkan oleh
|ε| = |r − x|.
Untuk mengetahui sebarapa besar pengaruh nilai galat terhadap nilai eksak, maka
nilai galat dapat dinormalkan terhadap nilai eksak yang disebut dengan galat relatif
yang representasikan oleh
εR =
r−x
.
x
Rinaldi Munir (2003) dalam bukunya Integrasi Numerik juga menjelaskan
tentang galat dari iterasi Newton dan integrasi numerik dengan pendekatan aturan
trapesium dan aturan titik tengah yang dijelaskan berikut.
Universitas Sumatera Utara
18
2.5.1 Galat Iterasi Newton
Dalam menentukan nilai akar, iterasi Newton merupakan salah satu metode yang
sering digunakan karena konvergensinya lebih cepat (jika nilai iterasi konvergen)
dari pada metode yang lain. Pada kasus tertentu, metode Newton bisa bersifat divergen sehingga tidak selamanya metode Newton dapat digunakan untuk mencari
nilai suatu akar. Metode ini dikatakan konvergen jika
f (x)f ′′ (x)
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Aliran Dua-Fase Nonekulibrium pada Media Berpori
Penelitian ini merupakan kajian ulang terhadap penelitian yang telah dilakukan oleh
Juanes (2008), dalam tulisannya yang berjudul Nonequilibrium effects in models of
three-phase flow in porous media. Pada tulisan tersebut dilakukan simulasi waterflooding dengan melakukan pendekatan diskritisasi menggunakan cell-centered
finite volume yaitu solusi disimpan pada pusat setiap grid yang dibentuk, sedangkan
pada skripsi ini, penulis melakukan diskritisasi dengan menggunakan vertex centered finite volume yaitu solusi yang disimpan pada simpul (vertex) dari mesh dimana
setiap vertex i harus dibangun cell (Praveen, 2013).
Juanes menyatakan bahwa model aliran dua fase dengan efek nonekuilibrium pada media berpori telah diajukan sebelumnya oleh Barenblatt dengan bebas
kapilaritas. Kemudian dipasangkan dengan model Buckley-Leverett dengan bebas
kapilaritas dimana fluks merupakaan fungsi saturasi efektif yang direpresentasikan
dengan persamaan
∂t S + ∂x vf (σ) = 0
(2.1)
σ − S = τ ∂t S
(2.2)
dan persamaan evolusi
Sistem ini harus dilengkapi denngan kondisi batas fluks pada batas kiri x = 0 dalam
bentuk f (σ) = f¯(t). Selain itu juga diberikan kondisi awal pada t = 0 dalam bentuk
S = S0 (x)
(2.3)
σ0 + τ ∂x f (σ0 ) = S0 (x)
dimana S adalah saturasi aktual (saturasi saat ini) dan τ adalah saturasi efektif (saturasi yang akan datang).
Persamaan Buckley-Leverett merupakan persamaan transportasi pada fluida
yang menggambarkan dua fase aliran fluida yang immiscible pada media berpori.
11
Universitas Sumatera Utara
12
Sedangkan model Barenblatt menggambarkan dua fase aliran pada media berpori
dengan efek dinamik (nonekuilibrium) pada relatif permeabilitas. Pada kasus ini,
water flooding yang ditunjukkan oleh persamaan (2.1) yang dipasangkan dengan
persamaan (2.2) akan diselesaikan melalui analisis numerik, yang akan dijelaskan
pada Bab selanjutnya
2.2 Deret Taylor
Biasanya metode numerik diturunkan berdasarkan hampiran fungsi terhadap bentuk
polinomial sehingga fungsi akan menjadi lebih sederhana. Deret Taylor dapat digunakan pada hampir setiap pendekatan numerik yang didefinisikan sebagai berikut
Definisi
Andaikan terdapat f dan semua turunannya f ′ , f ′′ , ... dalam selang [a, b], dan misalkan x0 ∈ [a, b]. Untuk nilai x disekitar x0 , maka f (x) dapat diperluas kedalam
deret Taylor
f ′′′ (x0 )
f ′′ (x0 )
(x − x0 )2 +
(x − x0 )3 + ...
2!
3!
f (n+1) (tx )
f (n) (x0 )
(x − x0 )n +
(x − x0 )n+1 .
+
n!
(n + 1)!
(2.4)
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +
j Jika h = x − x0 , maka
f (x + h) = f (x) + f ′ (x)h +
dimana
f (n+1) (tx ) n+1
h
(n+1)!
f ′′ (x) 2 f ′′′ (x) 3
f (n) (x) n
h +
h + ... +
h
2!
3!
n!
f (n+1) (tx ) n+1
h
+
(n + 1)!
merupakan galat dengan limn→∞
f (n+1) (tx ) n+1
h
(n+1)!
(2.5)
=0
2.3 Metode Iterasi Newton Pada Sistem Aljabar
Metode iterasi Newton merupakan suatu metode yang berfungsi untuk mencari nilai akar dari suatu persamaan, yaitu mencari r ∈ R yang memenuhi f (r) = 0. Penurunan metode ini dapat diperoleh dari deret Taylor yang direpresentasikan oleh
persamaan (2.5). Untuk n = 1, persamaan (2.5) menjadi
f (x + h) = f (x) + f ′ (x)h +
f ′′ (tx ) 2
h
2!
Universitas Sumatera Utara
13
dimana
f ′′ (tx ) 2
h
2!
merupakan galat. Jika dimisalkan x + h merupakan pendekatan
untuk r, maka dengan mengabaikan galat tersebut diperoleh
0 = f (x) + f ′ (x)h,
sehingga
h=−
f (x)
.
f ′ (x)
Jika diberikan nilai duga (initial guess) x0 , maka untuk n = 0, 1, 2, ... dibentuk
xn+1 = xn −
f (xn )
,
f ′ (xn )
yang diharapkan limn→∞ xn = r. Penurunan diatas dapat dipakai untuk mendapatkan metode iterasi yang mencari r ∈ Rn yang memenuhi F (r) = 0, dimana
F : Rn → Rn . Dalam hal ini,
0 = F (x) + F ′ (x)h
dimana F ′ (x) merupakan matrix Jacobian dengan ordo n × n
∂F1 (x)
∂F1 (x) ∂F1 (x)
...
∂x1
∂x2
∂xn
∂F2 (x)
∂F2 (x) ∂F2 (x)
...
.
∂x
∂x
∂x
F ′ (x) =
1
2
n
.
.
.
.
..
..
..
..
∂Fn (x) ∂Fn (x)
∂Fn (x)
...
∂x1
∂x2
∂xn
Sehingga dapat ditunjukkan bahwa
h = −[F ′ (x)]−1 F (x).
Jika terdapat nilai duga x0 maka secara umum metode iterasi Newton untuk system
aljabar dapat ditulis sebagai berikut
xn+1 = xn − [F ′ (xn )]−1 F (xn )
2.4 Integrasi Numerik
Integral merupakan suatu pokok pembahasan mendasar yang berfungsi untuk mencari luas suatu daerah kurva f (x). Dalam kalkulus, dipelajari bahwa integral dapat diselesaikan secara analitik pada persamaan yang sederhana. Namun pada bidang aplikasi sains dan teknik akan ditemui suatu permasalahan yang tidak dapat
Universitas Sumatera Utara
14
diselesaikan dengan cara analitik. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode numerik dimana penyelesaian integrasi dapat diselesaikan dengan bantuan perhitungan
komputer (integrasi numerik) dengan batas integral tertentu yang direpresentasikan
oleh
I=
Z
b
f (x)dx.
a
Rinaldi Munir (2003) dalam bukunya Integrasi Numerik menjelaskan bahwa
terdapat 3 cara dalam melakukan pendekatan dalam menurunkan rumus integrasi
numerik yaitu metode pias, metode Newton-Codes dan Kuadratur Gauss. Penulis
akan membatasi pembahasan hanya pada integrasi numerik dengan metode pias.
Perhatikan Gambar 2.1, andaikan [a, b] merupakan interval pada luas kurva
f (x), maka dibentuk n partisi sepanjang interval [a, b], dimana lebar setiap pias
adalah
h=
b−a
.
n
Dengan demikian, titik pias dinyatakan xi = a + ih dimana i = 0, 1, ..., n
Gambar 2.1: Metode Pias
Terdapat beberapa metode yang dapat dikembangkan pada metode ini yaitu
aturan titik tengah (mid point rule), aturan titik kanan (rigth end point rule), aturan
titik kiri (left end point rule), dan aturan trapesium (trapezoidal rule).
Universitas Sumatera Utara
15
2.4.1 Aturan Trapesium
Pada pendekatan trapesium dapat digunakan rumus luas trapesium pada setiap pias. Perhatikan Gambar 2.2. Secara umum, luas dibawah kurva pada pias (xi , xi+1
Gambar 2.2: Trapezoidal
didekati oleh
Z
xi+1
f (x)dx ≈ f (xi ) + f (xi+1 )
xi
h
2
dimana i = 0, 1, 2, ..., n − 1. Dengan demikian,
Z
b
f (x)dx ≈
a
n−1
X
i=0
f (xi ) + f (xi+1 )
h
2
.
2.4.2 Aturan Titik Tengah
Luas daerah pias dapat digambarkan sebagai luas persegi panjang dimana h sebagai
lebar dan f (xi+ 1 ) sebagai panjang yang dapat ditunjukkan oleh Gambar 2.3, Secara
2
Gambar 2.3: Aturan Titik Tengah
Universitas Sumatera Utara
16
umum, pendekatan ini dapat ditulis sebagai
Z xi+1
xi+1 + xi
f (x)dx ≈ f (
)h
2
xi
dimana i = 0, 1, 2, ..., n − 1, sehingga
Z b
n−1
X
xi+1 + xi
)h.
f (x)dx ≈
f(
2
a
i=0
2.4.3 Aturan Titik Kanan
Pada pendekatan aturan titik kanan dapat dianggap h sebagai lebar pias dan f (xi+1 )
sebagai panjang. perhatikan Gambar 2.4, Secara umum, pendekatan ini dapat ditulis
Gambar 2.4: Aturan Titik Kanan
sebagai
Z
xi+1
f (x)dx ≈ f (xi+1 )h,
xi
dimana i = 0, 1, 2, ..., n − 1, sehingga
Z b
n−1
X
f (x)dx ≈
f (xi+1 )h.
a
i=0
2.4.4 Aturan Titik Kiri
Pada pendekatan aturan titik kiri dapat dianggap h sebagai lebar pias dan f (xi )
sebagai panjang. perhatikan Gambar 2.5, Secara umum dapat ditulis sebagai
Z xi+1
f (x)dx ≈ f (xi )h,
xi
dimana i = 0, 1, 2, ..., n − 1, sehingga
Z b
n−1
X
f (x)dx ≈
f (xi )h,
a
i=0
Universitas Sumatera Utara
17
Gambar 2.5: Aturan Titik Kiri
2.5 Galat
Penyelesaian numerik akan selalu memiliki nilai galat, karena metode numerik merupakan suatu pendekatan terhadap nilai eksak. Jika nilai galat mendekati nol, maka penyelesaian numerik akan mendekati nilai eksak. Hal itu akan terjadi jika jarak
pias (∆x dan ∆t) diperkecil, namun perhitungan yang dilakukan akan semakin banyak. Kita tahu bahwa nilai eksak merupakan jumlahan dari nilai hampiran dan
galat, yang berarti galat adalah selisih antara nilai eksak dan hampiran yang dinyatakan oleh
ε=r−x
dimana x adalah nilai hampiran dan r adalah nilai eksak.
Besar galat tidak memperhatikan nilai positif atau negatif, sehingga ditulis
dalam harga mutlak yang ditunjukkan oleh
|ε| = |r − x|.
Untuk mengetahui sebarapa besar pengaruh nilai galat terhadap nilai eksak, maka
nilai galat dapat dinormalkan terhadap nilai eksak yang disebut dengan galat relatif
yang representasikan oleh
εR =
r−x
.
x
Rinaldi Munir (2003) dalam bukunya Integrasi Numerik juga menjelaskan
tentang galat dari iterasi Newton dan integrasi numerik dengan pendekatan aturan
trapesium dan aturan titik tengah yang dijelaskan berikut.
Universitas Sumatera Utara
18
2.5.1 Galat Iterasi Newton
Dalam menentukan nilai akar, iterasi Newton merupakan salah satu metode yang
sering digunakan karena konvergensinya lebih cepat (jika nilai iterasi konvergen)
dari pada metode yang lain. Pada kasus tertentu, metode Newton bisa bersifat divergen sehingga tidak selamanya metode Newton dapat digunakan untuk mencari
nilai suatu akar. Metode ini dikatakan konvergen jika
f (x)f ′′ (x)