Analisis Numerik untuk Persoalan Water Flooding dengan Menggunakan Metode Volume Hingga
ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER
FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN
METODE VOLUME HINGGA
SKRIPSI
NUR AISYAH
110803010
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
Universitas Sumatera Utara
ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER
FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN
METODE VOLUME HINGGA
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai
gelar Sarjana Sains
NUR AISYAH
110803010
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
:
Analisis Numerik untuk Persoalan Water Flooding dengan Menggunakan Metode Volume
Hingga
Kategori
:
SKRIPSI
Nama
:
Nur Aisyah
Nomor Induk Mahasiswa :
110803010
Program Studi
:
SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
:
MATEMATIKA
Fakultas
:
MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Medan,
Agustus 2015
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dr. Esther S.M. Nababan, M.Sc
NIP. 19610318 198711 2 001
Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP. 19630405 198811 2 001
Diketahui oleh :
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER FLOODING
DENGAN MENGGUNAKAN METODE VOLUME HINGGA
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Agustus 2015
NUR AISYAH
110803010
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji Syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya serta memberikan banyak kemudahan sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”Analisis Numerik pada Persoalan Waterflooding dengan Menggunakan Metode Volume Hingga” . Shalawat dan
salam penulis ucapkan kepada Rasulullah Shallallahu ’Alaihi wa Sallam, keluarga,
para sahabat dan orang-orang yang mengikutinya.
Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada orang tua penulis yang
begitu sabar dan selalu mendukung penulis baik secara moril maupun materi, kepada abangda Rahmat Hidayat dan adinda Ade Irma Suryani selalu setia mengingatkan, setia mendengar curahan, memberikan nasihat dan memberi motivasi kepada
penulis .
Dengan tulus penulis ucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Tulus, M.Si
selaku ketua Departemen Matematika yang banyak berjasa kepada penulis dimana
beliau telah banyak meluangkan waktu untuk memberikan masukan, kritik, saran
dan perbaikan untuk skripsi ini. Beliau telah memberikan berbagai fasilitas yang
lebih dari apa yang dibutuhkan oleh penulis, sehingga penulis merasa fokus dan
nyaman dalam mengerjakan skripsi, kepedulian beliau terhadap penulis tidak akan
pernah penulis lupakan dan penulis sangat bersyukur pernah mengenal beliau dan
menjadi pembimbing bagi penulis.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku pembimbing I yang telah meluangkan waktu, pikiran dan bersedia mendengarkan keluhan dan curahan penulis serta banyak memberikan nasehat kepada penulis, kepada
Ibu Dr. Esther Sorta Nababan, M.Sc selaku pembimbing II yang telah meluangkan
waktu, fikiran dan saran untuk perbaikan skripsi ini serta memberikan motivasi kepada penulis bahkan disela kesibukannya masi meluangkan waktu kepada penulis
untuk mendengarkan keluhan dan curahan penulis.
Terima kasih penulis ucapkan kepada bapak Dr. Sawaluddin M.IT selaku
penguji I dan Bapak Dr. Syahriol M.IT selaku penguji II yang telah meluangkan
waktu, fikiran dan memberikan kritik maupun saran untuk perbaikan skripsi ini dan
sebagai pembelajaran bagi penulis.
Terkhusus untuk Bapak Dr.Victor Eralingga Ginting yang merupakan pengaiii
Universitas Sumatera Utara
jar tetap University of Wyoming (USA) yang telah banyak membantu penulis, bahkan telah membantu secara penuh kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Mengajarkan penulis akan segala sesuatu tentang materi skripsi dimana penulis tidak memiliki ilmu tentangnya sama sekali sebelum memulai menulis skripsi ini.
Untuk beliau, penulis ucapkan terima kasih sebesar-besarnya karena pengorbanannya akan waktu, fikiran dan tenaga yang diberikan bagi penulis. Banyak hal yang
penulis pelajari dari beliau bahkan kesabaran yang ditunjukkan kepada penulis terlebih ketika berdiskusi tentang code MATLAB. Walaupun terpaut jarak yang cukup
jauh namun beliau bersedia menghubungi penulis untuk menjelaskan materi yang
tidak penulis fahami hingga penulis dapat memahami materi, beliau juga bersedia
mendengarkan keluhan penulis dalam mengerjakan skripsi dan membantu semampunya. Penulis sangat bersyukur karena telah dipertemukan dengan beliau sebagai
dosen dan sahabat bagi penulis.
Terima kasih penulis ucapkan kepada seluruh dosen Matematika USU yang
telah membagikan ilmunya kepada penulis selama perkuliahan, terutama Bapak
Prof. Saib Suwilo yang memiliki kesan tersendiri bagi penulis ketika belajar dengan beliau. Mudah-mudahan ilmu yang diberi dapat bermanfaat bagi penulis dan
orang lain, kepada seluruh staff administrasi FMIPA USU yang telah membantu
mengurus syarat-syarat kelengkapan administrasi tugas akhir, terlebih kepada bang
Bandi yang selalu mengingatkan penulis agar segera menyelesaikan tugas akhir sebagai syarat kelulusan.
Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapakan kepada teman-teman seperjuangan matematika stambuk 2011 (GOLDEN GENERATION) terutama Tilsa dimana kami memiliki dosen pembimbing yang sama sehingga selalu bebagi keluh
kesah bersama dan saling membantu dan berbagi ilmu dalam mengerjakan skripsi, Sundari dan khairunisa yang selalu mendengar curahan, memberikan nasihat,
dukungan, berbagi ilmu dan saran kepada penulis sehingga dapat memberikan ketenangan bagi penulis, kepada Meriyanti, Mantari, Ratih dan Indah yang memberikan motivasi dan berbagi ilmu kepada penulis, kepada kawan-kawan bidang murni
(joseph, tilsa, sundari, mantari, merryanty, ratih). Seluruh kawan-kawan yang tidak dapat penulis sebutkan namanya satu persatu yang telah memberikan dukungan
kepada penulis, kawan-kawan IM Kubik dan adik-adik stambuk yang selalu mengingatkan penulis agar segera menyelesaikan skripsi ini.
iv
Universitas Sumatera Utara
Penulis sadar bahwa banyak kekurangan dari skripsi ini dikarenakan keterbatasan ilmu, oleh karenanya penulis mohon kritik dan saran yang membangun dari
pembaca untuk perbaikan skripsi ini. Atas perhatiannya penulis ucapkan terima kasih, penulis berharap tulisan ini bermanfaat bagi penulis sendiri maupun bagi orang
lain.
Medan,
Juli 2015
Penulis
NUR AISYAH
v
Universitas Sumatera Utara
ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER
FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN
METODE VOLUME HINGGA
ABSTRAK
Simulasi waterflooding biasanya dilakukan dengan menggunakan persamaan Buckley-Leverett (BL), yaitu persamaan transportasi pada fluida dinamik yang menggambarkan dua fase aliran fluida yang immiscible pada media berpori. Dalam hal
ini, penulis memfokuskan diri pada efek nonekuilibrium dalam permeabilitas relatif
dengan mengabaikan tekanan kapiler yang dapat digambarkan oleh model Barenblatt yaitu model dari tekanan kapiler nonekuilibrium dan permeabilitas relatif. Pada kasus ini, flux dari setiap fase pada persamaan BL tidak bergantung pada saturasi
saat ini saja (saturasi aktual), akan tetapi juga bergantung pada saturasi efektif (saturasi yang akan datang). Sehingga pada penyelesaiannya diperlukan persamaan
evolusi yang diajukan oleh Barenblatt. Tulisan ini merupakan kajian ulang dari apa
yang telah dilakukan oleh Juanes. Namun, penulis melakukan diskritisasi dengan
menggunakan vertex centered finite volume pada hukum kekekalan masa (persamaan diferensial parsial) dan persamaan evolusi (persamaan diferensial biasa).
Kata kunci: waterflooding, Buckley-Leverett, immiscible, vertex centered finite volume.
vi
Universitas Sumatera Utara
NUMERICAL ANALYSIS FOR WATER FLOODING PROBLEM
USING FINITE VOLUME METHOD
ABSTRACT
Waterflooding simulation is usually done using Buckley-Leverett (BL) equation,
which is the transport equation on dynamic fluid that describe two phase flow immiscible in porous media. In this case, we focus on nonequilibrium effect in the
relative permeability with neglible capillary pressure, described by Barenblatt model, which includes both nonequilibrium capillary pressure and relative permeability. In this case, flux fluid of each phase on BL equation does not only depend on the
current saturation (actual saturation) but also on the so called effective saturation.
This paper is a review of what has been done by Juanes. However, the numerical
discretization employs vertex centered finite volume for conservation laws (partial
differential equation) and evolution relation (ordinary differential equation).
Keywords: waterflooding, Buckley-Leverett, immiscible. vertex centered finite volume
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
PENGHARGAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR ISTILAH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1 Sifat Fisik Batuan Reservoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.6 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1 Model Aliran Dua-Fase Nonekulibrium pada Media Berpori . .
11
2.2 Deret Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3 Metode Iterasi Newton Pada Sistem Aljabar . . . . . . . . . . . . .
12
2.4 Integrasi Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4.1 Aturan Trapesium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4.2 Aturan Titik Tengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4.3 Aturan Titik Kanan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
viii
Universitas Sumatera Utara
2.4.4 Aturan Titik Kiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.5 Galat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.5.1 Galat Iterasi Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.5.2 Galat Aturan Trapesium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.5.3 Galat Aturan Titik Tengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.5.4 Galat Aturan Titik Kanan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.5.5 Galat Aturan Titik Kiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.6 Solusi Numerik pada Persamaan Diferensial Partial . . . . . . . .
22
2.6.1 Metode Volume Hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.1 Solusi Persamaan Hiperbolik Orde Satu Menggunakan Upwinding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.1.1 Aliran Dua-Fase Fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1.2 Metode Volume Hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.1.3 Kondisi CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.1.4 Saturasi Efektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.1.5 Aliran Dua Fase dengan Saturasi Efektif . . . . . . . . . . .
41
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
LAMPIRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1. Iterasi Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2. Aliran Satu Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3. Aliran Dua Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4. Aliran Dua Fase Nonekuilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
2.1
Metode Pias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2
Trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3
Aturan Titik Tengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4
Aturan Titik Kanan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.5
Aturan Titik Kiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.6
Control Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.7
Upwinding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.8
Persamaan Burger dengan batas 1 − x2 , ∆t = 0.5 dan ∆x = 0.3 .
28
3.1
Proses Injeksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.2
Aliran Dua fase dengan vR = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.3
Aliran Dua Fase dengan vR = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.4
Aliran Dua Fase dengan Efek Nonekuilibrium dimana vR = 3 dan
τ = 0.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
46
Aliran Dua Fase dengan Efek Nonekuilibrium dimana vR = 7 dan
τ = 0.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
x
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISTILAH
control volume
:
diskritisasi
:
equilibrium
fluida
hukum Darcy
:
:
:
hukum konservasi
immiscible
incompressible
:
:
:
isothermal
:
kapilaritas
:
massa jenis
mobilitas
nonequilibrium
permeabilitas
permeabilitas absolut
:
:
:
:
:
permeabilitas efektif
:
permeabilitas relatif
:
porositas
:
reservoir
saturasi
:
:
simulasi
:
istilah yang digunakan untuk membetuk grid pada diskritisasi ketika menggunakan metode volume hingga
membagi sebuah objek kontinu menjadi sejumlah bilangan
berhingga dari unsur diskrit
setimbang
suatu zat yang dapat mengalir
persamaan yang mendefinisikan kemampuan suatu fluida
mengalir melalui media berpori
hukum kesetimbangan dalam suatu proses alam
tidak dapat tercampur
suatu aliran tidak mengalami perubahan massa jenis ketika
diberi tekanan
perubahan yang terjadi pada suatu sistem dimana suhunya
tetap
peristiwa naik atau turunnya zat cair pada bahan yang terdiri atas beberapa pembuluh halus akibat gaya adhesi atau
kohesi
ukuran kerapatan benda yang homogen
perbandingan permeabiltas terhadap viskositas fluida
ketidaksetimbangan
kemampuan batuan dalam mendistribusiikan fluida
kemampuan batuan dalam mendistribusiikan semua fase
fluida yang terkandung didalam batuan
kemampuan batuan dalam mendistribusiikan salah satu
fluida yang terkandung didalam batuan
perbandingan dari permeabilitas efektif terhadap permeabilitas absolut
perbandingan antara volume pori batuan yang berisi fluida
dengan total volume batuan
tempat berkumpulnya minyak dan gas bumi
perbandingan antara volume pori batuan yang berisi fluida
tertentu terhadap total volume pori batuan
salah satu teknik numerik untuk melakukan percobaan
yang melibatkan bentuk fungsi matematika dan fungsi logika tertentu untuk menjelaskan tingkah laku dan struktur
suatu sistem nyata
xi
Universitas Sumatera Utara
steady state
:
tekanan kapiler
:
upwind
:
viskositas
:
viskositas relatif :
waterflooding
:
kondisi dimana suatu system tidak mengalami perubahan
walaupun waktu terus mengalaami perubahan atau disebut
konstan
selisih tekanan antara fluida yang dapat membasahi batuan
terhadap fluida yang tidak dapat membasahi batuan
salah satu teknik pendekatan numerik pada persamaaan diferensial parsial
ketahanan internal suatu fluida untuk mengalir
perbandingan antara viskositas fluida yang didorong (minyak) terhadap viskositas pendorong (air)
salah satu teknik untuk meningkatkan produksi minyak
bumi dimana air yang diinjeksikan berfungsi sebagai media pendorong
xii
Universitas Sumatera Utara
FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN
METODE VOLUME HINGGA
SKRIPSI
NUR AISYAH
110803010
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
Universitas Sumatera Utara
ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER
FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN
METODE VOLUME HINGGA
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai
gelar Sarjana Sains
NUR AISYAH
110803010
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
:
Analisis Numerik untuk Persoalan Water Flooding dengan Menggunakan Metode Volume
Hingga
Kategori
:
SKRIPSI
Nama
:
Nur Aisyah
Nomor Induk Mahasiswa :
110803010
Program Studi
:
SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
:
MATEMATIKA
Fakultas
:
MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Medan,
Agustus 2015
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dr. Esther S.M. Nababan, M.Sc
NIP. 19610318 198711 2 001
Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP. 19630405 198811 2 001
Diketahui oleh :
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER FLOODING
DENGAN MENGGUNAKAN METODE VOLUME HINGGA
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Agustus 2015
NUR AISYAH
110803010
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji Syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya serta memberikan banyak kemudahan sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”Analisis Numerik pada Persoalan Waterflooding dengan Menggunakan Metode Volume Hingga” . Shalawat dan
salam penulis ucapkan kepada Rasulullah Shallallahu ’Alaihi wa Sallam, keluarga,
para sahabat dan orang-orang yang mengikutinya.
Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada orang tua penulis yang
begitu sabar dan selalu mendukung penulis baik secara moril maupun materi, kepada abangda Rahmat Hidayat dan adinda Ade Irma Suryani selalu setia mengingatkan, setia mendengar curahan, memberikan nasihat dan memberi motivasi kepada
penulis .
Dengan tulus penulis ucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Tulus, M.Si
selaku ketua Departemen Matematika yang banyak berjasa kepada penulis dimana
beliau telah banyak meluangkan waktu untuk memberikan masukan, kritik, saran
dan perbaikan untuk skripsi ini. Beliau telah memberikan berbagai fasilitas yang
lebih dari apa yang dibutuhkan oleh penulis, sehingga penulis merasa fokus dan
nyaman dalam mengerjakan skripsi, kepedulian beliau terhadap penulis tidak akan
pernah penulis lupakan dan penulis sangat bersyukur pernah mengenal beliau dan
menjadi pembimbing bagi penulis.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku pembimbing I yang telah meluangkan waktu, pikiran dan bersedia mendengarkan keluhan dan curahan penulis serta banyak memberikan nasehat kepada penulis, kepada
Ibu Dr. Esther Sorta Nababan, M.Sc selaku pembimbing II yang telah meluangkan
waktu, fikiran dan saran untuk perbaikan skripsi ini serta memberikan motivasi kepada penulis bahkan disela kesibukannya masi meluangkan waktu kepada penulis
untuk mendengarkan keluhan dan curahan penulis.
Terima kasih penulis ucapkan kepada bapak Dr. Sawaluddin M.IT selaku
penguji I dan Bapak Dr. Syahriol M.IT selaku penguji II yang telah meluangkan
waktu, fikiran dan memberikan kritik maupun saran untuk perbaikan skripsi ini dan
sebagai pembelajaran bagi penulis.
Terkhusus untuk Bapak Dr.Victor Eralingga Ginting yang merupakan pengaiii
Universitas Sumatera Utara
jar tetap University of Wyoming (USA) yang telah banyak membantu penulis, bahkan telah membantu secara penuh kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Mengajarkan penulis akan segala sesuatu tentang materi skripsi dimana penulis tidak memiliki ilmu tentangnya sama sekali sebelum memulai menulis skripsi ini.
Untuk beliau, penulis ucapkan terima kasih sebesar-besarnya karena pengorbanannya akan waktu, fikiran dan tenaga yang diberikan bagi penulis. Banyak hal yang
penulis pelajari dari beliau bahkan kesabaran yang ditunjukkan kepada penulis terlebih ketika berdiskusi tentang code MATLAB. Walaupun terpaut jarak yang cukup
jauh namun beliau bersedia menghubungi penulis untuk menjelaskan materi yang
tidak penulis fahami hingga penulis dapat memahami materi, beliau juga bersedia
mendengarkan keluhan penulis dalam mengerjakan skripsi dan membantu semampunya. Penulis sangat bersyukur karena telah dipertemukan dengan beliau sebagai
dosen dan sahabat bagi penulis.
Terima kasih penulis ucapkan kepada seluruh dosen Matematika USU yang
telah membagikan ilmunya kepada penulis selama perkuliahan, terutama Bapak
Prof. Saib Suwilo yang memiliki kesan tersendiri bagi penulis ketika belajar dengan beliau. Mudah-mudahan ilmu yang diberi dapat bermanfaat bagi penulis dan
orang lain, kepada seluruh staff administrasi FMIPA USU yang telah membantu
mengurus syarat-syarat kelengkapan administrasi tugas akhir, terlebih kepada bang
Bandi yang selalu mengingatkan penulis agar segera menyelesaikan tugas akhir sebagai syarat kelulusan.
Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapakan kepada teman-teman seperjuangan matematika stambuk 2011 (GOLDEN GENERATION) terutama Tilsa dimana kami memiliki dosen pembimbing yang sama sehingga selalu bebagi keluh
kesah bersama dan saling membantu dan berbagi ilmu dalam mengerjakan skripsi, Sundari dan khairunisa yang selalu mendengar curahan, memberikan nasihat,
dukungan, berbagi ilmu dan saran kepada penulis sehingga dapat memberikan ketenangan bagi penulis, kepada Meriyanti, Mantari, Ratih dan Indah yang memberikan motivasi dan berbagi ilmu kepada penulis, kepada kawan-kawan bidang murni
(joseph, tilsa, sundari, mantari, merryanty, ratih). Seluruh kawan-kawan yang tidak dapat penulis sebutkan namanya satu persatu yang telah memberikan dukungan
kepada penulis, kawan-kawan IM Kubik dan adik-adik stambuk yang selalu mengingatkan penulis agar segera menyelesaikan skripsi ini.
iv
Universitas Sumatera Utara
Penulis sadar bahwa banyak kekurangan dari skripsi ini dikarenakan keterbatasan ilmu, oleh karenanya penulis mohon kritik dan saran yang membangun dari
pembaca untuk perbaikan skripsi ini. Atas perhatiannya penulis ucapkan terima kasih, penulis berharap tulisan ini bermanfaat bagi penulis sendiri maupun bagi orang
lain.
Medan,
Juli 2015
Penulis
NUR AISYAH
v
Universitas Sumatera Utara
ANALISIS NUMERIK UNTUK PERSOALAN WATER
FLOODING DENGAN MENGGUNAKAN
METODE VOLUME HINGGA
ABSTRAK
Simulasi waterflooding biasanya dilakukan dengan menggunakan persamaan Buckley-Leverett (BL), yaitu persamaan transportasi pada fluida dinamik yang menggambarkan dua fase aliran fluida yang immiscible pada media berpori. Dalam hal
ini, penulis memfokuskan diri pada efek nonekuilibrium dalam permeabilitas relatif
dengan mengabaikan tekanan kapiler yang dapat digambarkan oleh model Barenblatt yaitu model dari tekanan kapiler nonekuilibrium dan permeabilitas relatif. Pada kasus ini, flux dari setiap fase pada persamaan BL tidak bergantung pada saturasi
saat ini saja (saturasi aktual), akan tetapi juga bergantung pada saturasi efektif (saturasi yang akan datang). Sehingga pada penyelesaiannya diperlukan persamaan
evolusi yang diajukan oleh Barenblatt. Tulisan ini merupakan kajian ulang dari apa
yang telah dilakukan oleh Juanes. Namun, penulis melakukan diskritisasi dengan
menggunakan vertex centered finite volume pada hukum kekekalan masa (persamaan diferensial parsial) dan persamaan evolusi (persamaan diferensial biasa).
Kata kunci: waterflooding, Buckley-Leverett, immiscible, vertex centered finite volume.
vi
Universitas Sumatera Utara
NUMERICAL ANALYSIS FOR WATER FLOODING PROBLEM
USING FINITE VOLUME METHOD
ABSTRACT
Waterflooding simulation is usually done using Buckley-Leverett (BL) equation,
which is the transport equation on dynamic fluid that describe two phase flow immiscible in porous media. In this case, we focus on nonequilibrium effect in the
relative permeability with neglible capillary pressure, described by Barenblatt model, which includes both nonequilibrium capillary pressure and relative permeability. In this case, flux fluid of each phase on BL equation does not only depend on the
current saturation (actual saturation) but also on the so called effective saturation.
This paper is a review of what has been done by Juanes. However, the numerical
discretization employs vertex centered finite volume for conservation laws (partial
differential equation) and evolution relation (ordinary differential equation).
Keywords: waterflooding, Buckley-Leverett, immiscible. vertex centered finite volume
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
PENGHARGAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR ISTILAH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1 Sifat Fisik Batuan Reservoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.6 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1 Model Aliran Dua-Fase Nonekulibrium pada Media Berpori . .
11
2.2 Deret Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3 Metode Iterasi Newton Pada Sistem Aljabar . . . . . . . . . . . . .
12
2.4 Integrasi Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4.1 Aturan Trapesium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4.2 Aturan Titik Tengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4.3 Aturan Titik Kanan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
viii
Universitas Sumatera Utara
2.4.4 Aturan Titik Kiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.5 Galat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.5.1 Galat Iterasi Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.5.2 Galat Aturan Trapesium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.5.3 Galat Aturan Titik Tengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.5.4 Galat Aturan Titik Kanan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.5.5 Galat Aturan Titik Kiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.6 Solusi Numerik pada Persamaan Diferensial Partial . . . . . . . .
22
2.6.1 Metode Volume Hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.1 Solusi Persamaan Hiperbolik Orde Satu Menggunakan Upwinding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.1.1 Aliran Dua-Fase Fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1.2 Metode Volume Hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.1.3 Kondisi CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.1.4 Saturasi Efektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.1.5 Aliran Dua Fase dengan Saturasi Efektif . . . . . . . . . . .
41
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
LAMPIRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1. Iterasi Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2. Aliran Satu Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3. Aliran Dua Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4. Aliran Dua Fase Nonekuilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
2.1
Metode Pias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2
Trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3
Aturan Titik Tengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4
Aturan Titik Kanan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.5
Aturan Titik Kiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.6
Control Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.7
Upwinding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.8
Persamaan Burger dengan batas 1 − x2 , ∆t = 0.5 dan ∆x = 0.3 .
28
3.1
Proses Injeksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.2
Aliran Dua fase dengan vR = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.3
Aliran Dua Fase dengan vR = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.4
Aliran Dua Fase dengan Efek Nonekuilibrium dimana vR = 3 dan
τ = 0.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
46
Aliran Dua Fase dengan Efek Nonekuilibrium dimana vR = 7 dan
τ = 0.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
x
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISTILAH
control volume
:
diskritisasi
:
equilibrium
fluida
hukum Darcy
:
:
:
hukum konservasi
immiscible
incompressible
:
:
:
isothermal
:
kapilaritas
:
massa jenis
mobilitas
nonequilibrium
permeabilitas
permeabilitas absolut
:
:
:
:
:
permeabilitas efektif
:
permeabilitas relatif
:
porositas
:
reservoir
saturasi
:
:
simulasi
:
istilah yang digunakan untuk membetuk grid pada diskritisasi ketika menggunakan metode volume hingga
membagi sebuah objek kontinu menjadi sejumlah bilangan
berhingga dari unsur diskrit
setimbang
suatu zat yang dapat mengalir
persamaan yang mendefinisikan kemampuan suatu fluida
mengalir melalui media berpori
hukum kesetimbangan dalam suatu proses alam
tidak dapat tercampur
suatu aliran tidak mengalami perubahan massa jenis ketika
diberi tekanan
perubahan yang terjadi pada suatu sistem dimana suhunya
tetap
peristiwa naik atau turunnya zat cair pada bahan yang terdiri atas beberapa pembuluh halus akibat gaya adhesi atau
kohesi
ukuran kerapatan benda yang homogen
perbandingan permeabiltas terhadap viskositas fluida
ketidaksetimbangan
kemampuan batuan dalam mendistribusiikan fluida
kemampuan batuan dalam mendistribusiikan semua fase
fluida yang terkandung didalam batuan
kemampuan batuan dalam mendistribusiikan salah satu
fluida yang terkandung didalam batuan
perbandingan dari permeabilitas efektif terhadap permeabilitas absolut
perbandingan antara volume pori batuan yang berisi fluida
dengan total volume batuan
tempat berkumpulnya minyak dan gas bumi
perbandingan antara volume pori batuan yang berisi fluida
tertentu terhadap total volume pori batuan
salah satu teknik numerik untuk melakukan percobaan
yang melibatkan bentuk fungsi matematika dan fungsi logika tertentu untuk menjelaskan tingkah laku dan struktur
suatu sistem nyata
xi
Universitas Sumatera Utara
steady state
:
tekanan kapiler
:
upwind
:
viskositas
:
viskositas relatif :
waterflooding
:
kondisi dimana suatu system tidak mengalami perubahan
walaupun waktu terus mengalaami perubahan atau disebut
konstan
selisih tekanan antara fluida yang dapat membasahi batuan
terhadap fluida yang tidak dapat membasahi batuan
salah satu teknik pendekatan numerik pada persamaaan diferensial parsial
ketahanan internal suatu fluida untuk mengalir
perbandingan antara viskositas fluida yang didorong (minyak) terhadap viskositas pendorong (air)
salah satu teknik untuk meningkatkan produksi minyak
bumi dimana air yang diinjeksikan berfungsi sebagai media pendorong
xii
Universitas Sumatera Utara