Analisis Kinerja Sistem Antrian M M 1 Chapter III V
BAB III
SIMULASI SISTEM ANTRIAN M/M/1
3.1 Model Antrian M/M/1
Model antrian yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah model
antrian M/M/1. Sistem antrian ini diasumsikan digunakan pada simpul jaringan
paket data. Adapun kinerja yang akan dibahas adalah rata-rata jumlah paket dalam
sistem, rata-rata jumlah paket dalam tempat antrian, rata-rata waktu transaksi,
rata-rata waktu tunggu dalam sistem dan rata-rata waktu tunggu pada tempat antri.
Kinerja sistem antrian tersebut dihitung secara simulasi dengan menggunakan
pemograman bahasa C dan dihitung secara teori. Hasil darisimulasi dan
perhitungan teori akan dibandingkan. Gambar 3.1 menunjukkan model sistem
antrian M/M/1.
Gambar 3.1 Model Sistem Antrian M/M/1
Pada Gambar 3.1 sistem antrian M/M1 di asumsikan bahwa:
a. Jumlah server adalah = 1
b. Jumlah buffer adalah = ∞
c. Pola kedatangan paket data adalah eksponensial negatif (bilangan random)
d. Pola pelayanan paket data adalah eksponensial negatif (bilangan random)
Universitas Sumatera Utara
Paket – paket tiba secara acak, kemudian paket antri di dalam buffer
sebelum dilayani oleh server. Setelah selesai dilayani, maka paket-paket
meninggalkan sistem antrian melintasi outgoing link menuju tujuan.
3.2 Diagram Alir (Flowchart)
Diagram alir atau flowchart program merupakan suatu diagram yang
menggambarkan suatu langkah – langkah dari input, proses dan output suatu
program yang digambarkan dalam bentuk simbol – simbol. Untuk memberikan
pedoman dalam pembuatan program maka sebelum suatu program dibuat, harus
terlebih dahulu membuat diagram alirnya. Simulasi antrian dibuat dengan bahasa
C DOSBox 0.74. Listing program (kode program) teori terdapat pada Lampiran 1.
Sedangkan kode program simulasi terdapat pada Lampiran 2. Sebelum
mengerjakan simulasi digunakan daftar variabel berikut ini :
1. Rata-rata waktu antar kedatangan (tar)
2. Rata-rata waktu transaksi (ttr)
3. Bilangan acak (Ui)
4. Waktu antar kedatangan (ta)
5. Waktu transaksi (tt)
6. Waktu kedatangan (tk)
7. Waktu mulai transaksi (tm)
8. Waktu selesai dilayani (ts)
9. Waktu antri (tan)
10.Waktu dalam sistem (tds)
Setelah menentukan variabel yang digunakan maka akan diperlihatkan
bagaimana model diatas dapat disimulasikan, simulasi akan dilakukan untuk
Universitas Sumatera Utara
setiap pengantri secara satu persatu sampai data yang cukup telah terkumpul.
Berikut ini adalah langkah-langkah yang akan dilaksanakan untuk mendapatkan
solusi perkiraan dalam menentukan karakteristik operasi sistem antrian :
1. Diasumsikan bahwa waktu antar kedatangan paket ke sistem terdistribusi
eksponensial negatif dengan rata-rata 0,002 detik,
2. Diasumsikan bahwa waktu pelayanan terdistribusi secara eksponensial
negatif dengan rata-rata 0,001 detik; 0,013 detik; 0,0018 detik.
3.
Membangkitkan suatu variabel acak Zi, (Z[i] adalah waktu kedatangan
paket) yang akan menghasilkan bilangan acak Ui sebanyak n.
4. Waktu antar kedatangan paket (ta) setiap paket yang datang menggunakan
persamaan:
ta [i] = (-tar.ln (1 - U [i] )
(3.1 )
Dengan Ui adalah bilangan acak yang dihasilkan dari pembangkitan variabel
acak Zi.
5.
Tentukan lama waktu transaksi (tt) setiap paket pengantri dengan persamaan
berikut:
tt = -ttr.ln (1 – Ui)
(3.2)
Dengan Ui adalah bilangan acak yang dihasilkan dari pembangkitan bilangan
acak Zi.
6. Untuk memudahkan dalam pensimulasian dan perhitungan data-data paket
digunakan tabel untuk memasukkan data-data hasil simulasi.
7. Memasukkan hasil perhitungan beda waktu antar kedatangan dan lama
waktu transaksi ke dalam tabel.
Universitas Sumatera Utara
8. Mententukan waktu datang masing-masing paket dengan ketentuan seperti
berikut:
a. Waktu kedatangan paket pertama sama dengan beda waktu antar
kedatangan paket pertama karena diasumsikan dimulai pada saat ta = 0
sehingga tk [i] = t a[i]
b. Waktu kedatangan paket (tk) berikutnya ditentukan dengan menjumlahkan
waktu datang paket sebelumnya dengan beda waktu antar kedatangan (ta)
paket berikutnya, sehingga tk [i] = tk [i-1] + ta [i]
(3.3)
9. Menentukan waktu mulai transaksi (tm) masing-masing paket ditentuan
sebagai berikut :
a. Waktu mulai transaksi(tm) paket berikutnya sama dengan waktu
kedatangan (tk) paket tersebut jika waktu kedatangan (tk) paket tersebut
lebih besar dari waktu selesai transaksi (ts) paket sebelumnya, sehingga ;
tm [i] = tk [i] jika ts [i-1] < tk [i]
(3.4)
b. Waktu mulai transaksi (tm) paket berikutnya sama dengan waktu selesai
transaksi (ts) paket sebelumnya jika waktu kedatangan (tk) paket tersebut
kurang dari waktu selesai transaksi paket sebelumnya, sehingga;
tm [i] = ts [i-1] jika ts [i-1] ≥ tk[i]
10. Waktu selesai transaksi (ts) ditentukan dengan menjumlahkan lama waktu
transaksi (tt) dengan waktu mulai transaksi (tm) dari masing paket
ts [i] = tt [i] + tm [i]
(3.5)
11. Waktu antri (tan) masing-masing paket ditentukan dengan cara melakukan
pengurangan antar waktu mulai transaksi dengan waktu kedatangan,
sehingga :
Universitas Sumatera Utara
tan = tm [i] – tk [i]
(3.6)
13. Waktu dalam sistem (tds) masing-masing paket ditentukan dengan cara
menjumlahkan lama waktu antri (tan) dengan lama waktu transaksi (tt),
sehingga :
tds [i] = tt [i] + ta [i]
(3.7)
3.2.1 Pembangkit Bilangan Acak
Dalam tugas akhir ini waktu kedatangan paket yang acak dihasilkan
dengan membangkitkan bilangan acak. Metode pembangkitan bilangan acak yang
digunakan adalah metode Linear Congruential Generators (LCG). Urutan dari
bilangan bulat Z 1 , Z 2 ,… dihasilkan oleh:
Zi = (aZ i −1 + c)(mod m)
(3.8)
dimana:
m = modulus
a = multiplier
c = increment
Z 0 = nilai awal (bilangan bulat positif)
Untuk mendapatkan bilangan acak Ui (i = 1, 2,…) pada interval [0,1],
maka :
Ui = Zi / m
(3.9)
dimana:
Universitas Sumatera Utara
0 < m, a < m, c < m, dan Z 0 < m
Untuk mendapatkan nilai acak dapat diperoleh dengan diagram alir seperti
Gambar 3.2.
Gambar 3.2 Diagram Alir Pembangkitan Bilangan Acak Metode LCG
3.2.2 Waktu Antar Kedatangan
Bentuk kedatangan paket diperhitungkan melalui waktu antar kedatangan,
yaitu waktu antara dua paket yang berurutan pada suatu fasilitas pelayanan.
Distribusi Poisson sering digunakan sebagai model untuk kedatangan paket yang
acak ke dalam sistem antrian. Untuk mendapatkan nilai acak dapat diperoleh
dengan diagram alir seperti Gambar 3.3.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.3 Diagram Alir Waktu Antar Kedatangan
3.2.3 Waktu Transaksi
Waktu transaksi merupakan waktu dimana paket sedang dalam proses
pelayanan. Bilangan acak waktu transaksi diperoleh dengan diagram alir pada
Gambar 3.4.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.4 Diagram Alir Waktu Transaksi
3.2.4 Waktu Mulai Transaksi
Waktu mulai transaksi merupakan waktu dimana paket – paket akan
diproses dalam suatu sistem. Pada Gambar 3.5 merupakan diagram alir untuk
mendapatkan nilai acak pada waktu mulai transaksi.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.5 Diagram Alir Waktu Mulai Transaksi
3.2.5 Waktu Dalam Sistem
Waktu dalam sistem merupakan waktu lamanya paket selama dalam
transaksi dengan lamanya paket dalam mengantri untuk dilayani. Untuk
mendapatkan nilai acak waktu dalam sistem digunakan diagram alir pada Gambar
3.6.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.6 Diagram Alir Waktu Dalam Sistem
3.2.6 Waktu Antri
Waktu antri adalah waktu dimana paket harus menunggu untuk dilayani
pada sistem antrian. Untuk mendapatkan nilai acak pada waktu antri diperoleh
dengan diagram alir pada Gambar 3.7.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.7 Diagram Alir Waktu Antri
3.2.7 Waktu Selesai Dilayani
Waktu selesai dilayani yaitu bahwa paket telah selesai dilayani dalam
suatu sistem. Waktu selesai paket dilayani yaitu dengan menjumlahkan waktu
paket mulai melakukan transaksi dengan selamaselama paket dalam transaksi.
Untuk mendapatkan nilai acak maka diperoleh dengan diagram alir pada Gambar
3.8.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.8 Diagram Alir Selesai Dilayani
3.3 Perhitungan Parameter Kinerja Secara Teori
Untuk mendapatkan kinerja sistem antrian M/M/1 diperlukan parameterparameter sebagai berikut[4]:
a. Rata - rata jumlah paket dalam sistem
λ
�=
n
μ− λ
(3.10)
b. Rata – rata jumlah paket pada tempat tudalam antrian
λ2
���� =
nq
μ(μ− λ)
(3.11)
Universitas Sumatera Utara
c. Rata – rata waktu transaksi
1
tt rata = μ
(3.12)
d. Rata – rata waktu tunggu pada sistem antrian
1
ts rata = (μ−λ)
(3.13)
e. Rata – rata waktu tunggu pada tempat antri
λ
���� =
τq
μ (μ−λ)
(3.14)
Universitas Sumatera Utara
BAB IV
ANALISIS KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/1
4.1 Analisis Bilangan Acak Metode LCG
Dengan menggunakan diagram alir pada Gambar 3.2 dapat diperoleh
pembangkitan bilangan acak dengan metode LCG dimana diasumsikan dengan
nilai a = 21, c= 3, m = 500 dan Z0 = 13 seperti pada Tabel 4.1. Adapun
Kombinasi nilai-nilai asumsi yang diberikan tersebut adalah untuk memperoleh
nilai acak yang lebih bagus. Contoh kombinasi dengan asumsi lain yang
memperoleh nilai acak yang kurang bagus dapat dilihat pada lampiaran 3.
Tabel 4.1 Bilangan Acak Metode LCG
Paket ke i
Zi
Ui
0
13
1
276
0.552
2
299
0.598
3
282
0.564
4
425
0.85
5
365
0.73
6
168
0.336
7
31
0.062
8
154
0.308
9
237
0.474
500
13
0.026
Universitas Sumatera Utara
Dengan menggunakan diagram alir pada Gambar 3.2 maka dapat diperoleh
bilangan acak waktu antar kedatangan pada Tabel 4.2.
Tabel 4.2 Bilangan Acak Waktu Antar Kedatangan
Paket ke i
ta
1
0.001188
2
0.00102
3
0.001145
4
0.000325
5
0.000629
6
0.00218
7
0.00556
8
0.002355
9
0.00149
500
0.0073
Dengan menggunakan diagram alir pada Gambar 4.4 maka dapat diperoleh
bilangan acak waktu transaksi pada Tabel 4.3.
Tabel 4.3 Bilangan Acak Waktu Transaksi
Paket ke i
tt
1
0.00594
2
0.00514
3
0.00572
4
0.00162
Universitas Sumatera Utara
Tabel 5.3 Lanjutan
5
0.00314
6
0.01
7
0.0278
8
0.01177
9
0.00746
500
0.0365
4.2 Analisis Perbandingan Kinerja Hasil Simulasi dengan Perhitungan Teori
Pada tugas akhir ini, dilakukan perbandingan kinerja sistem antrian M/M/1
hasil simulasi dengan hasil perhitungan secara teori. Pada Tabel 4.4 diperoleh
perbandingan kinerja sistem antrian dimana λ = 500 paket/detik, µ = 1000
paket/detik (� = 0.5).
Tabel 4.4 Tabel Perbandingan Simulasi dan Teori pada � = 0.5
Simulasi
Teori
1
Rata-rata jumlah paket dalam sistem
0.75975
1.00
2
Rata–rata jumlah paket dalam antrian
0.26157
0.5
3
Rata – rata waktu transaksi
0.00099
0.001
4
Rata – rata waktu tunggu pada sistem antri
0.00151
0.002
5
Rata –rata waktu tunggu pada sistem
0.00052
0.001
N0
Kinerja
Universitas Sumatera Utara
Perbandingan kinerja sistem antrian dimana λ = 500 paket/detik, µ=716
paket/detik paket/detik (� = 0.7) dapat dilihat pada Tabel 4.5.
N0
Tabel 4.5 Perbandingan Simulasi dan Teori pada � = 0.7
Kinerja
Simulasi
Teori
1
Rata-rata jumlah paket dalam sistem
1.16768
2.315
2
Rata–rata jumlah paket dalam antrian
0.52077
1.616
Rata – rata waktu transaksi
0.00129
0.001
4
Rata – rata waktu dalam sistem
0.00233
0.005
5
Rata –rata waktu tunggu pada tempat antri
0.00104
0.003
3
Perbandingan kinerja sistem antrian dimana λ = 500 paket/detik, µ = 559
paket/detik (� = 0.9) dapat dilihat pada Tabel 4.6.
Tabel 4.6 Perbandingan Simulasi dan Teori pada � = 0.9
Simulasi
Teori
1
Rata-rata jumlah paket dalam sistem
2.5555
8.475
2
Rata–rata jumlah paket dalam antrian
1.66142
7.580
3
Rata – rata waktu transaksi
0.00179
0.002
4
Rata – rata waktu tunggu dalam sistem
0.00512
0.017
5
Rata –rata waktu tunggu pada tempat antri
0.00332
0.015
N0
Kinerja
4.3 Analisis Hasil Simulasi dan Perhingan Secara Teori
Universitas Sumatera Utara
Dari Tabel 4.4, Tabel 4.5 dan Tabel 4.6 perbandingan antara hasil secara
simulasi dengan perhitungan secara teori dapat diperoleh bahwa:
1. Kinerja M/M/1 untuk � = 0,5
a. Rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya adalah 0,75975
sedangkan dengan teori yaitu 1,00.
b. Rata-rata jumlah paket dalam antrian hasil simulasinya adalah 0,26157
sedangkan dengan teori yaitu 0,5.
c. Rata-rata waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00099
sedangkan dengan teori yaitu 0,001.
d. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00151 sedangkan
dengan teori yaitu 0.002.
e. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00052 sedangkan
dengan teori yaitu 0.001.
2. Kinerja M/M/1 untuk � = 0,7
a. Rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya adalah 1,16768
sedangkan dengan teori yaitu 2,315.
b. Rata-rata jumlah paket dalam antrian hasil simulasinya adalah 0,52077
sedangkan dengan teori yaitu 1,616.
c. Rata-rata waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00129
sedangkan dengan teori yaitu 0,001.
d. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00233 sedangkan
dengan teori yaitu 0.005.
Universitas Sumatera Utara
e. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00104 sedangkan
dengan teori yaitu 0.003.
3. Kinerja M/M/1 untuk � = 0,9
a. Rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya memiliki yaitu 2,5555
sedangkan dengan teori yaitu 8,475.
b. Rata-rata jumlah paket dalam antrian hasil simulasinya yaitu 1,6614 sedangkan
dengan teori yaitu 7,58.
c. Rata-rata waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00179
sedangkan dengan teori yaitu 0,002.
d. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00152 sedangkan
dengan teori yaitu 0.017.
e. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00332 sedangkan
dengan teori yaitu 0.015.
Universitas Sumatera Utara
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil analisis yang dilakukan maka dapat di ambil kesimpulan sebagai
berikut:
1. Untuk � = 0,5, rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya adalah
0,75975 sedangkan dengan teori yaitu 1,00. Rata-rata jumlah paket dalam antrian
hasil simulasinya adalah 0,26157 sedangkan dengan teori yaitu 0,5. Rata-rata
waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00099 sedangkan dengan
teori yaitu 0,001. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah
0,00151 sedangkan dengan teori yaitu 0.002.
Rata-rata waktu tunggu dalam
sistem hasil simulasi adalah 0,00052 sedangkan dengan teori yaitu 0.001.
2. Untuk � = 0,7, rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya adalah
1,16768 sedangkan dengan teori yaitu 2,316. Rata-rata jumlah paket dalam antrian
hasil simulasinya adalah 0,52077 sedangkan dengan teori yaitu 1,616. Rata-rata
waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00129 sedangkan dengan
teori yaitu 0,001. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah
0,00233 sedangkan dengan teori yaitu 0.005.
Rata-rata waktu tunggu dalam
sistem hasil simulasi adalah 0,00104 sedangkan dengan teori yaitu 0.003.
3. Untuk � = 0,9, rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya yaitu
2,5555 sedangkan dengan teori yaitu 8,475. Rata-rata jumlah paket dalam antrian
hasil simulasinya yaitu 1,6614 sedangkan dengan teori yaitu 7,58. Rata-rata waktu
transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00179 sedangkan dengan teori
Universitas Sumatera Utara
yaitu 0,002. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00152
sedangkan dengan teori yaitu 0.017. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil
simulasi adalah 0,00332 sedangkan dengan teori yaitu 0.0151.
5.2 Saran
Untuk pengembangan yang lebih lengkap diperlukan data-data lapangan
untuk menghasilkan rata-rata waktu antar kedatangan dan rata-rata waktu
transaksi yang terdistribusi secara eksponensial negatif.
Universitas Sumatera Utara
SIMULASI SISTEM ANTRIAN M/M/1
3.1 Model Antrian M/M/1
Model antrian yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah model
antrian M/M/1. Sistem antrian ini diasumsikan digunakan pada simpul jaringan
paket data. Adapun kinerja yang akan dibahas adalah rata-rata jumlah paket dalam
sistem, rata-rata jumlah paket dalam tempat antrian, rata-rata waktu transaksi,
rata-rata waktu tunggu dalam sistem dan rata-rata waktu tunggu pada tempat antri.
Kinerja sistem antrian tersebut dihitung secara simulasi dengan menggunakan
pemograman bahasa C dan dihitung secara teori. Hasil darisimulasi dan
perhitungan teori akan dibandingkan. Gambar 3.1 menunjukkan model sistem
antrian M/M/1.
Gambar 3.1 Model Sistem Antrian M/M/1
Pada Gambar 3.1 sistem antrian M/M1 di asumsikan bahwa:
a. Jumlah server adalah = 1
b. Jumlah buffer adalah = ∞
c. Pola kedatangan paket data adalah eksponensial negatif (bilangan random)
d. Pola pelayanan paket data adalah eksponensial negatif (bilangan random)
Universitas Sumatera Utara
Paket – paket tiba secara acak, kemudian paket antri di dalam buffer
sebelum dilayani oleh server. Setelah selesai dilayani, maka paket-paket
meninggalkan sistem antrian melintasi outgoing link menuju tujuan.
3.2 Diagram Alir (Flowchart)
Diagram alir atau flowchart program merupakan suatu diagram yang
menggambarkan suatu langkah – langkah dari input, proses dan output suatu
program yang digambarkan dalam bentuk simbol – simbol. Untuk memberikan
pedoman dalam pembuatan program maka sebelum suatu program dibuat, harus
terlebih dahulu membuat diagram alirnya. Simulasi antrian dibuat dengan bahasa
C DOSBox 0.74. Listing program (kode program) teori terdapat pada Lampiran 1.
Sedangkan kode program simulasi terdapat pada Lampiran 2. Sebelum
mengerjakan simulasi digunakan daftar variabel berikut ini :
1. Rata-rata waktu antar kedatangan (tar)
2. Rata-rata waktu transaksi (ttr)
3. Bilangan acak (Ui)
4. Waktu antar kedatangan (ta)
5. Waktu transaksi (tt)
6. Waktu kedatangan (tk)
7. Waktu mulai transaksi (tm)
8. Waktu selesai dilayani (ts)
9. Waktu antri (tan)
10.Waktu dalam sistem (tds)
Setelah menentukan variabel yang digunakan maka akan diperlihatkan
bagaimana model diatas dapat disimulasikan, simulasi akan dilakukan untuk
Universitas Sumatera Utara
setiap pengantri secara satu persatu sampai data yang cukup telah terkumpul.
Berikut ini adalah langkah-langkah yang akan dilaksanakan untuk mendapatkan
solusi perkiraan dalam menentukan karakteristik operasi sistem antrian :
1. Diasumsikan bahwa waktu antar kedatangan paket ke sistem terdistribusi
eksponensial negatif dengan rata-rata 0,002 detik,
2. Diasumsikan bahwa waktu pelayanan terdistribusi secara eksponensial
negatif dengan rata-rata 0,001 detik; 0,013 detik; 0,0018 detik.
3.
Membangkitkan suatu variabel acak Zi, (Z[i] adalah waktu kedatangan
paket) yang akan menghasilkan bilangan acak Ui sebanyak n.
4. Waktu antar kedatangan paket (ta) setiap paket yang datang menggunakan
persamaan:
ta [i] = (-tar.ln (1 - U [i] )
(3.1 )
Dengan Ui adalah bilangan acak yang dihasilkan dari pembangkitan variabel
acak Zi.
5.
Tentukan lama waktu transaksi (tt) setiap paket pengantri dengan persamaan
berikut:
tt = -ttr.ln (1 – Ui)
(3.2)
Dengan Ui adalah bilangan acak yang dihasilkan dari pembangkitan bilangan
acak Zi.
6. Untuk memudahkan dalam pensimulasian dan perhitungan data-data paket
digunakan tabel untuk memasukkan data-data hasil simulasi.
7. Memasukkan hasil perhitungan beda waktu antar kedatangan dan lama
waktu transaksi ke dalam tabel.
Universitas Sumatera Utara
8. Mententukan waktu datang masing-masing paket dengan ketentuan seperti
berikut:
a. Waktu kedatangan paket pertama sama dengan beda waktu antar
kedatangan paket pertama karena diasumsikan dimulai pada saat ta = 0
sehingga tk [i] = t a[i]
b. Waktu kedatangan paket (tk) berikutnya ditentukan dengan menjumlahkan
waktu datang paket sebelumnya dengan beda waktu antar kedatangan (ta)
paket berikutnya, sehingga tk [i] = tk [i-1] + ta [i]
(3.3)
9. Menentukan waktu mulai transaksi (tm) masing-masing paket ditentuan
sebagai berikut :
a. Waktu mulai transaksi(tm) paket berikutnya sama dengan waktu
kedatangan (tk) paket tersebut jika waktu kedatangan (tk) paket tersebut
lebih besar dari waktu selesai transaksi (ts) paket sebelumnya, sehingga ;
tm [i] = tk [i] jika ts [i-1] < tk [i]
(3.4)
b. Waktu mulai transaksi (tm) paket berikutnya sama dengan waktu selesai
transaksi (ts) paket sebelumnya jika waktu kedatangan (tk) paket tersebut
kurang dari waktu selesai transaksi paket sebelumnya, sehingga;
tm [i] = ts [i-1] jika ts [i-1] ≥ tk[i]
10. Waktu selesai transaksi (ts) ditentukan dengan menjumlahkan lama waktu
transaksi (tt) dengan waktu mulai transaksi (tm) dari masing paket
ts [i] = tt [i] + tm [i]
(3.5)
11. Waktu antri (tan) masing-masing paket ditentukan dengan cara melakukan
pengurangan antar waktu mulai transaksi dengan waktu kedatangan,
sehingga :
Universitas Sumatera Utara
tan = tm [i] – tk [i]
(3.6)
13. Waktu dalam sistem (tds) masing-masing paket ditentukan dengan cara
menjumlahkan lama waktu antri (tan) dengan lama waktu transaksi (tt),
sehingga :
tds [i] = tt [i] + ta [i]
(3.7)
3.2.1 Pembangkit Bilangan Acak
Dalam tugas akhir ini waktu kedatangan paket yang acak dihasilkan
dengan membangkitkan bilangan acak. Metode pembangkitan bilangan acak yang
digunakan adalah metode Linear Congruential Generators (LCG). Urutan dari
bilangan bulat Z 1 , Z 2 ,… dihasilkan oleh:
Zi = (aZ i −1 + c)(mod m)
(3.8)
dimana:
m = modulus
a = multiplier
c = increment
Z 0 = nilai awal (bilangan bulat positif)
Untuk mendapatkan bilangan acak Ui (i = 1, 2,…) pada interval [0,1],
maka :
Ui = Zi / m
(3.9)
dimana:
Universitas Sumatera Utara
0 < m, a < m, c < m, dan Z 0 < m
Untuk mendapatkan nilai acak dapat diperoleh dengan diagram alir seperti
Gambar 3.2.
Gambar 3.2 Diagram Alir Pembangkitan Bilangan Acak Metode LCG
3.2.2 Waktu Antar Kedatangan
Bentuk kedatangan paket diperhitungkan melalui waktu antar kedatangan,
yaitu waktu antara dua paket yang berurutan pada suatu fasilitas pelayanan.
Distribusi Poisson sering digunakan sebagai model untuk kedatangan paket yang
acak ke dalam sistem antrian. Untuk mendapatkan nilai acak dapat diperoleh
dengan diagram alir seperti Gambar 3.3.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.3 Diagram Alir Waktu Antar Kedatangan
3.2.3 Waktu Transaksi
Waktu transaksi merupakan waktu dimana paket sedang dalam proses
pelayanan. Bilangan acak waktu transaksi diperoleh dengan diagram alir pada
Gambar 3.4.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.4 Diagram Alir Waktu Transaksi
3.2.4 Waktu Mulai Transaksi
Waktu mulai transaksi merupakan waktu dimana paket – paket akan
diproses dalam suatu sistem. Pada Gambar 3.5 merupakan diagram alir untuk
mendapatkan nilai acak pada waktu mulai transaksi.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.5 Diagram Alir Waktu Mulai Transaksi
3.2.5 Waktu Dalam Sistem
Waktu dalam sistem merupakan waktu lamanya paket selama dalam
transaksi dengan lamanya paket dalam mengantri untuk dilayani. Untuk
mendapatkan nilai acak waktu dalam sistem digunakan diagram alir pada Gambar
3.6.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.6 Diagram Alir Waktu Dalam Sistem
3.2.6 Waktu Antri
Waktu antri adalah waktu dimana paket harus menunggu untuk dilayani
pada sistem antrian. Untuk mendapatkan nilai acak pada waktu antri diperoleh
dengan diagram alir pada Gambar 3.7.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.7 Diagram Alir Waktu Antri
3.2.7 Waktu Selesai Dilayani
Waktu selesai dilayani yaitu bahwa paket telah selesai dilayani dalam
suatu sistem. Waktu selesai paket dilayani yaitu dengan menjumlahkan waktu
paket mulai melakukan transaksi dengan selamaselama paket dalam transaksi.
Untuk mendapatkan nilai acak maka diperoleh dengan diagram alir pada Gambar
3.8.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.8 Diagram Alir Selesai Dilayani
3.3 Perhitungan Parameter Kinerja Secara Teori
Untuk mendapatkan kinerja sistem antrian M/M/1 diperlukan parameterparameter sebagai berikut[4]:
a. Rata - rata jumlah paket dalam sistem
λ
�=
n
μ− λ
(3.10)
b. Rata – rata jumlah paket pada tempat tudalam antrian
λ2
���� =
nq
μ(μ− λ)
(3.11)
Universitas Sumatera Utara
c. Rata – rata waktu transaksi
1
tt rata = μ
(3.12)
d. Rata – rata waktu tunggu pada sistem antrian
1
ts rata = (μ−λ)
(3.13)
e. Rata – rata waktu tunggu pada tempat antri
λ
���� =
τq
μ (μ−λ)
(3.14)
Universitas Sumatera Utara
BAB IV
ANALISIS KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/1
4.1 Analisis Bilangan Acak Metode LCG
Dengan menggunakan diagram alir pada Gambar 3.2 dapat diperoleh
pembangkitan bilangan acak dengan metode LCG dimana diasumsikan dengan
nilai a = 21, c= 3, m = 500 dan Z0 = 13 seperti pada Tabel 4.1. Adapun
Kombinasi nilai-nilai asumsi yang diberikan tersebut adalah untuk memperoleh
nilai acak yang lebih bagus. Contoh kombinasi dengan asumsi lain yang
memperoleh nilai acak yang kurang bagus dapat dilihat pada lampiaran 3.
Tabel 4.1 Bilangan Acak Metode LCG
Paket ke i
Zi
Ui
0
13
1
276
0.552
2
299
0.598
3
282
0.564
4
425
0.85
5
365
0.73
6
168
0.336
7
31
0.062
8
154
0.308
9
237
0.474
500
13
0.026
Universitas Sumatera Utara
Dengan menggunakan diagram alir pada Gambar 3.2 maka dapat diperoleh
bilangan acak waktu antar kedatangan pada Tabel 4.2.
Tabel 4.2 Bilangan Acak Waktu Antar Kedatangan
Paket ke i
ta
1
0.001188
2
0.00102
3
0.001145
4
0.000325
5
0.000629
6
0.00218
7
0.00556
8
0.002355
9
0.00149
500
0.0073
Dengan menggunakan diagram alir pada Gambar 4.4 maka dapat diperoleh
bilangan acak waktu transaksi pada Tabel 4.3.
Tabel 4.3 Bilangan Acak Waktu Transaksi
Paket ke i
tt
1
0.00594
2
0.00514
3
0.00572
4
0.00162
Universitas Sumatera Utara
Tabel 5.3 Lanjutan
5
0.00314
6
0.01
7
0.0278
8
0.01177
9
0.00746
500
0.0365
4.2 Analisis Perbandingan Kinerja Hasil Simulasi dengan Perhitungan Teori
Pada tugas akhir ini, dilakukan perbandingan kinerja sistem antrian M/M/1
hasil simulasi dengan hasil perhitungan secara teori. Pada Tabel 4.4 diperoleh
perbandingan kinerja sistem antrian dimana λ = 500 paket/detik, µ = 1000
paket/detik (� = 0.5).
Tabel 4.4 Tabel Perbandingan Simulasi dan Teori pada � = 0.5
Simulasi
Teori
1
Rata-rata jumlah paket dalam sistem
0.75975
1.00
2
Rata–rata jumlah paket dalam antrian
0.26157
0.5
3
Rata – rata waktu transaksi
0.00099
0.001
4
Rata – rata waktu tunggu pada sistem antri
0.00151
0.002
5
Rata –rata waktu tunggu pada sistem
0.00052
0.001
N0
Kinerja
Universitas Sumatera Utara
Perbandingan kinerja sistem antrian dimana λ = 500 paket/detik, µ=716
paket/detik paket/detik (� = 0.7) dapat dilihat pada Tabel 4.5.
N0
Tabel 4.5 Perbandingan Simulasi dan Teori pada � = 0.7
Kinerja
Simulasi
Teori
1
Rata-rata jumlah paket dalam sistem
1.16768
2.315
2
Rata–rata jumlah paket dalam antrian
0.52077
1.616
Rata – rata waktu transaksi
0.00129
0.001
4
Rata – rata waktu dalam sistem
0.00233
0.005
5
Rata –rata waktu tunggu pada tempat antri
0.00104
0.003
3
Perbandingan kinerja sistem antrian dimana λ = 500 paket/detik, µ = 559
paket/detik (� = 0.9) dapat dilihat pada Tabel 4.6.
Tabel 4.6 Perbandingan Simulasi dan Teori pada � = 0.9
Simulasi
Teori
1
Rata-rata jumlah paket dalam sistem
2.5555
8.475
2
Rata–rata jumlah paket dalam antrian
1.66142
7.580
3
Rata – rata waktu transaksi
0.00179
0.002
4
Rata – rata waktu tunggu dalam sistem
0.00512
0.017
5
Rata –rata waktu tunggu pada tempat antri
0.00332
0.015
N0
Kinerja
4.3 Analisis Hasil Simulasi dan Perhingan Secara Teori
Universitas Sumatera Utara
Dari Tabel 4.4, Tabel 4.5 dan Tabel 4.6 perbandingan antara hasil secara
simulasi dengan perhitungan secara teori dapat diperoleh bahwa:
1. Kinerja M/M/1 untuk � = 0,5
a. Rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya adalah 0,75975
sedangkan dengan teori yaitu 1,00.
b. Rata-rata jumlah paket dalam antrian hasil simulasinya adalah 0,26157
sedangkan dengan teori yaitu 0,5.
c. Rata-rata waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00099
sedangkan dengan teori yaitu 0,001.
d. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00151 sedangkan
dengan teori yaitu 0.002.
e. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00052 sedangkan
dengan teori yaitu 0.001.
2. Kinerja M/M/1 untuk � = 0,7
a. Rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya adalah 1,16768
sedangkan dengan teori yaitu 2,315.
b. Rata-rata jumlah paket dalam antrian hasil simulasinya adalah 0,52077
sedangkan dengan teori yaitu 1,616.
c. Rata-rata waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00129
sedangkan dengan teori yaitu 0,001.
d. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00233 sedangkan
dengan teori yaitu 0.005.
Universitas Sumatera Utara
e. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00104 sedangkan
dengan teori yaitu 0.003.
3. Kinerja M/M/1 untuk � = 0,9
a. Rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya memiliki yaitu 2,5555
sedangkan dengan teori yaitu 8,475.
b. Rata-rata jumlah paket dalam antrian hasil simulasinya yaitu 1,6614 sedangkan
dengan teori yaitu 7,58.
c. Rata-rata waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00179
sedangkan dengan teori yaitu 0,002.
d. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00152 sedangkan
dengan teori yaitu 0.017.
e. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00332 sedangkan
dengan teori yaitu 0.015.
Universitas Sumatera Utara
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil analisis yang dilakukan maka dapat di ambil kesimpulan sebagai
berikut:
1. Untuk � = 0,5, rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya adalah
0,75975 sedangkan dengan teori yaitu 1,00. Rata-rata jumlah paket dalam antrian
hasil simulasinya adalah 0,26157 sedangkan dengan teori yaitu 0,5. Rata-rata
waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00099 sedangkan dengan
teori yaitu 0,001. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah
0,00151 sedangkan dengan teori yaitu 0.002.
Rata-rata waktu tunggu dalam
sistem hasil simulasi adalah 0,00052 sedangkan dengan teori yaitu 0.001.
2. Untuk � = 0,7, rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya adalah
1,16768 sedangkan dengan teori yaitu 2,316. Rata-rata jumlah paket dalam antrian
hasil simulasinya adalah 0,52077 sedangkan dengan teori yaitu 1,616. Rata-rata
waktu transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00129 sedangkan dengan
teori yaitu 0,001. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah
0,00233 sedangkan dengan teori yaitu 0.005.
Rata-rata waktu tunggu dalam
sistem hasil simulasi adalah 0,00104 sedangkan dengan teori yaitu 0.003.
3. Untuk � = 0,9, rata-rata jumlah paket dalam sistem hasil simulasinya yaitu
2,5555 sedangkan dengan teori yaitu 8,475. Rata-rata jumlah paket dalam antrian
hasil simulasinya yaitu 1,6614 sedangkan dengan teori yaitu 7,58. Rata-rata waktu
transaksi dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00179 sedangkan dengan teori
Universitas Sumatera Utara
yaitu 0,002. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil simulasi adalah 0,00152
sedangkan dengan teori yaitu 0.017. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem hasil
simulasi adalah 0,00332 sedangkan dengan teori yaitu 0.0151.
5.2 Saran
Untuk pengembangan yang lebih lengkap diperlukan data-data lapangan
untuk menghasilkan rata-rata waktu antar kedatangan dan rata-rata waktu
transaksi yang terdistribusi secara eksponensial negatif.
Universitas Sumatera Utara