Analisis Kinerja Sistem Antrian M/G/1 pada Jaringan Packet Switching

(1)

LAMPIRAN 1

KODE PROGRAM SIMULASI M/M/1

#include<stdio.h> #include<conio.h> #include<math.h> main()

{

float a,c,x[50001], Z[50001],U[50001],tt[50001];

float tk[50001], tm[50001], ts[50001], tan[50001], tds[50001]; float wqtotal, wq, y, tttotal, ttr, z, wstotal, ws, w;

float lq, ls, l; float lamda, p;

int i,m,j,k,N,g,h,jlhan;

printf("\n ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n --- PROGRAM PENGHITUNG ---"); printf("\n --- KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/1 PADA PACKET SWITCHING ---");

printf("\n --- (SIMULASI) ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n ---"); printf("\n\n");

(2)

printf("\n Inputkan Parameter Pembangkit Bilangan Acak "); printf("\n a, c, m, Z[0] : ");

scanf("%f %f %d %f", &a, &c, &m, &Z[0]); printf("\n Masukkan jumlah paket : "); scanf("%d", &N);

tk[0]=0; ts[0]=0; tan[0]=0; y=0; z=0; w=0; g=0;

for(i=1;i<=N;i++) {

/* Pembangkitan bilangan acak LCG */ x[i]=(a*Z[i-1]) + c;

Z[i]=fmod(x[i],m); U[i]=Z[i]/m;

/* Waktu kedatangan */ lamda = N/1;

(3)

/* Waktu transaksi */

tt[i]=(-(49.824/pow(10,6)))*log(U[i]);

/* Waktu mulai */ if(ts[i-1] < tk[i]) tm[i]=tk[i];

else if(ts[i-1]>=tk[i]) tm[i]=ts[i-1];

/* Waktu Selesai */ ts[i]=tm[i]+tt[i];

/* Waktu di dalam antrian */ tan[i]=tm[i]-tk[i];

/* Jumlah paket yang antri */ if(tan[i]==0)

h=0;

else if(tan[i]>0) h=1;

jlhan=g+h; g=jlhan;

/* Waktu di dalam sistem */ tds[i]=tt[i]+tan[i];

(4)

/* Rata-rata waktu pada tempat antri */ wqtotal=y+tan[i];

y=wqtotal; wq=wqtotal/N;

/* Rata-rata waktu transaksi /pelayanan */ tttotal=z+tt[i];

z=tttotal; ttr=tttotal/N;

/* Rata-rata waktu di dalam sistem */ wstotal=w+tds[i];

w=wstotal; ws=wstotal/N;

Z[i-1]=Z[i]; }

/* Rata-rata jumlah paket didalam sistem */ ls=wstotal/ts[N];

/* Rata-rata jumlah paket didalam server/pelayan */ l=tttotal/(ts[N]*tttotal);

/* Rata-rata jumlah paket didalam tempat antri */ lq=wqtotal/ts[N];

(5)

p=lamda*ttr;

printf("\n\n * Utilisasi (p) : %f ", p); printf("\n\n");

printf("\n\n Sehingga : ");

printf("\n - Rata-rata waktu dalam antrian :%f", wq);

printf("\n - Rata-rata waktu dalam pelayanan :%f", ttr); printf("\n - Rata-rata waktu dalam sistem :%f", ws);

printf("\n - Rata-rata jumlah paket dalam antrian :%f", lq); printf("\n - Rata-rata jumlah paket dalam pelayanan :%f", l); printf("\n - Rata-rata jumlah paket dalam sistem :%f", ls);

getch();

(6)

LAMPIRAN 2

KODE PROGRAM SIMULASI M/D/1

#include<stdio.h> #include<conio.h> #include<math.h> main()

{

float a,c,x[50001], Z[50001],U[50001],tt[50001];

float tk[50001], tm[50001], ts[50001], tan[50001], tds[50001]; float wqtotal, wq, y, tttotal, ttr, z, wstotal, ws, w;

float lq, ls, l; float lamda, p;

int i,m,j,k,N,g,h,jlhan;

printf("\n ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n --- PROGRAM PENGHITUNG ---"); printf("\n --- KINERJA SISTEM ANTRIAN M/D/1 PADA PACKET SWITCHING ---");

printf("\n --- (SIMULASI) ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n ---"); printf("\n\n");

(7)

scanf("%f %f %d %f", &a, &c, &m, &Z[0]); printf("\n Masukkan jumlah paket : "); scanf("%d", &N);

tk[0]=0; ts[0]=0; tan[0]=0; y=0; z=0; w=0; g=0;

for(i=1;i<=N;i++) {

/* Pembangkitan bilangan acak LCG */ x[i]=(a*Z[i-1]) + c;

Z[i]=fmod(x[i],m); U[i]=Z[i]/m;

/* Waktu kedatangan */ lamda = N/1;

(8)

/* Waktu transaksi */ tt[i]=49.994/pow(10,6);

/* Waktu mulai */ if(ts[i-1] < tk[i]) tm[i]=tk[i];

else if(ts[i-1]>=tk[i]) tm[i]=ts[i-1];

/* Waktu Selesai */ ts[i]=tm[i]+tt[i];

/* Waktu di dalam antrian */ tan[i]=tm[i]-tk[i];

/* Jumlah paket yang antri */ if(tan[i]==0)

h=0;

else if(tan[i]>0) h=1;

jlhan=g+h; g=jlhan;

/* Waktu di dalam sistem */ tds[i]=tt[i]+tan[i];

(9)

/* Rata-rata waktu pada tempat antri */ wqtotal=y+tan[i];

y=wqtotal; wq=wqtotal/N;

/* Rata-rata waktu transaksi /pelayanan */ tttotal=z+tt[i];

z=tttotal; ttr=tttotal/N;

/* Rata-rata waktu di dalam sistem */ wstotal=w+tds[i];

w=wstotal; ws=wstotal/N;

Z[i-1]=Z[i];

}

/* Rata-rata jumlah paket didalam sistem */ ls=wstotal/ts[N];

/* Rata-rata jumlah paket didalam server/pelayan */ l=tttotal/(ts[N]*tttotal);

/* Rata-rata jumlah paket didalam tempat antri */ lq=wqtotal/ts[N];

(10)

p=lamda*ttr;

printf("\n\n * Utilisasi (p) : %f ", p); printf("\n\n");

printf("\n\n Sehingga : ");

printf("\n - Rata-rata waktu dalam antrian :%f", wq);

printf("\n - Rata-rata waktu dalam pelayanan :%f", ttr); printf("\n - Rata-rata waktu dalam sistem :%f", ws);

printf("\n - Rata-rata jumlah paket dalam antrian :%f", lq); printf("\n - Rata-rata jumlah paket dalam pelayanan :%f", l); printf("\n - Rata-rata jumlah paket dalam sistem :%f", ls);

getch();

}

(11)

LAMPIRAN 3

KODE PROGRAM TEORI M/M/1

#include<stdio.h> #include<conio.h> #include<math.h> main()

{

float lamda, miu, var, lq, ls, wq, ws, p, ttr;

printf("\n ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n --- PROGRAM PENGHITUNG ---"); printf("\n --- KINERJA SISTEM ANTRIAN M/G/1 PADA PACKET SWITCHING ---");

printf("\n --- (teori) ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n ---");

printf("\n \n\n\n ") ; printf("\nInput nilai laju kedatangan (lamda) : "); scanf("%f", &lamda); printf("\nInput nilai laju transaksi (miu) : "); scanf("%f", &miu);

ttr=1/miu;

var=1/(miu*miu);

(12)

ls=lq+(lamda*ttr); wq=lq/lamda; ws=wq+ttr; p=lamda/miu;

printf("\n\n Maka : "); printf("\n");

printf("\n - Rata-rata waktu dalam antrian :%f ", wq); printf("\n - Rata-rata waktu dalam pelayanan :%f ", ttr); printf("\n - Rata-rata waktu dalam sistem :%f ", ws); printf("\n - Jumlah paket dalam antrian :%f ", lq); printf("\n - Jumlah paket dalam pelayanan :1 " ); printf("\n - Jumlah paket dalam sistem :%f ", ls); printf("\n * Utilisasi (p) :%f ", p);

getch(); }

(13)

LAMPIRAN 4

KODE PROGRAM TEORI M/D/1

#include<stdio.h> #include<conio.h> #include<math.h> main()

{

float lamda, miu, var, lq, ls, wq, ws, p, ttr;

printf("\n ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n --- PROGRAM PENGHITUNG ---"); printf("\n --- KINERJA SISTEM ANTRIAN M/G/1 PADA PACKET SWITCHING ---");

printf("\n --- (teori) ---");

printf("\n --- ---");

printf("\n ---");

printf("\n \n\n\n ") ; printf("\nInput nilai laju kedatangan (lamda) : "); scanf("%f", &lamda); printf("\nInput nilai laju transaksi (miu) : "); scanf("%f", &miu);

ttr=1/miu; var =0;

(14)

ls=lq+(lamda*ttr); wq=lq/lamda; ws=wq+ttr; p=lamda/miu;

printf("\n\n Maka : "); printf("\n");

getch(); }

(15)

LAMPIRAN 5 TABEL DISTRIBUSI T

(16)

DAFTAR PUSTAKA

[1] Zulfin, M. 2013. Diktat Kuliah : “Teori Antrian”. Fakultas Teknik USU. Medan

[2] Kakiay, T. J. 2004. “Dasar Teori Antrian Untuk Kehidupan Nyata”. Penerbit ANDI: Yogyakarta

[3] Kakiay, T. J. 2004. “Pengantar Sistem Simulasi”. Penerbit ANDI: Yogyakarta.

[4] (diakses pada tanggal 17

Agustus 2016 pukul 19.00 WIB)

[5] Ginting, Florensa. 2014. “Analisis Kinerja Sistem Antrian M/M/1/N”. Departemen Teknik Elektro USU. Medan

(17)

BAB III

SIMULASI SISTEM ANTRIAN M/G/1

3.1 Flowchart Penelitian

Adapun kinerja yang dianalisis pada model ini adalah Wq, E(t), Ws, Lq, L, dan Ls. Kinerja sistem antrian ini akan dibandingkan secara perhitungan simulasi bahasa C dan perhitungan rumus secara teori. Diagram alir penilitian tugas akhir ditunjukkan pada Gambar 3.1

START

Bandingkan Hasil

STOP

TEORI SIMULASII

Pembangkitan Bilangan Acak

Waktu Kedatangan

Waktu Transaksi

Waktu Mulai

Waktu Selesai

Waktu Antri

Waktu dalam Sistem

Hitung Karakteristik Sistem Antrian dengan rumus Input :

a, c, m, Z[0], N, λ λ, µ, E(t), var(t)Input :

Output : Wq, Et, Ws,

Lq, L, Ls

Output : Wq, Et, Ws,

Lq, L, Ls

(18)

3.2 Model Antrian

Adapun pemodelan antrian paket dari salah satu simpul pada jaringan

Packet Switching menggunakan antrian M/G/1 dapat dilihat pada Gambar 3.2.

Gambar 3.2 Model Antrian Paket pada salah satu simpul Packet Switching

Keterangan :

tk : waktu kedatangan tm : waktu mulai transaksi tan : waktu antri

tt : waktu transaksi ts : waktu selesai dilayani tds : waktu dalam sistem

Sesuai dengan notasi Kendalnya, sistem antrian M/G/1 merupakan sistem antrian dimana waktu kedatangan secara acak terdistribusi Poisson, waktu pelayanan terdistribusi umum (general), memiliki jumlah server = 1, dan dengan

PENGIRIM server PENERIMA

Antrian Paket

PACKET SWITCHING �

��(�)

�(�)

{

Distribusi Umum

Distribusi Poisson

tk1

tm ts

tan tt

tkn tar

(19)

mekanisme disiplin antrian FCFS (First Come First Serve). Pada model ini, diasumsikan :

a. Laju kedatangan (distribusi Poisson)

b. Waktu pelayanan � (distribusi umum/normal standar) c. Servernya tunggal

d. First-come-first-served (FCFS) e. Panjang antrian tak terbatas f. Jumlah pelanggan tak terbatas

g. Laju pelayanan sama pada semua server

3.3 Flowchart Simulasi

Dalam pengerjaan simulasi, dibutuhkan flowchart (diagram alir) dari program yang akan dibuat untuk memudahkan dalam pemahaman kerja dari program simulasi yang dibuat. Parameter Kinerja dari sistem antrian M/G/1 ini akan dibuat variabelnya sehingga dapat dikerjakan dalam bentuk simulasi yaitu :

1. Bilangan acak (Ui) 5. Waktu selesai dilayani (ts) 2. Waktu kedatangan (tk) 6. Waktu antri (tan)

3. Waktu transaksi (tt) 7. Waktu dalam sistem (tds) 4. Waktu mulai transaksi (tm)

Setelah penentuan dari variabel yang digunakan untuk kode simulasi maka program tersebut dijalankan. Simulasi dilakukan beberapa kali sampai dan kemudian dicatat hasil-hasil yang didapatkan.

(20)

Untuk simulasi ini, maka program dijalankan berdasarkan jumlah paket yang masuk kedalam sistem antrian. Berikut ini adalah langkah-langkah yang dilakukan untuk menganalisis kinerja sistem antrian:

1. Pembangkitkan variabel acak dengan rumus Z[i]. Z[i] adalah bilangan yang akan menghasilkan bilangan acak U[i] sebanyak N.

2. Penentuan waktu kedatangan masing-masing paket. Waktu kedatangan (tk) paket ditentukan dengan cara menjumlahkan waktu kedatangan (tk) pelanggan sebelumnya dengan waktu antar kedatangan yang terdistribusi eksponensial, sehingga :

tk[i] = tk[i-1] + (-1/λ).ln(U[i]) (3.1) 3. Penentuan waktu transaksi masing-masing paket. Waktu transaksi (tt) paket

ditentukan dengan cara penyesuaian bilangan pengali panjang paket dan kecepatan server. Ditentukan kecepatan server 1Mbps atau 106, sehingga a. Untuk M/M/1:

tt[i] = - (pengali panjang paket/106).ln(U[i] (3.2) b. Untuk M/D/1:

tt[i] = pengali panjang paket/106 (3.3) 4. Penetuan waktu mulai transaksi (tm) masing masing paket. Adapun

syarat-syaratnya sebagai berikut :

a) Jika waktu kedatangan (tk) paket tersebut lebih besar dari waktu selesai transaksi (ts) paket sebelumnya, maka waktu mulai transaksi (tm) paket berikutnya sama dengan waktu kedatangan (tk) paket tersebut sehingga :

(21)

b) jika waktu kedatangan (tk) paket tersebut kurang dari atau sama dengan waktu selesai transaksi (ts) paket sebelumnya, maka waktu mulai transaksi (tm) paket berikutnya sama dengan waktu selesai transaksi (ts) paket sebelumnya, sehingga :

tm[i] = ts[i-1], jika ts[i-1] ≥ tk[i] (3.5) 5. Penentuan waktu selesai transaksi (ts) dilakukan dengan menjumlahkan lama

waktu transaksi (tt) dengan waktu mulai dilayani (tm) setiap paket, yaitu :

ts[i] = tt[i] + tm[i] (3.6)

6. Penentuan waktu antrian (tan) dilakukan dengan melakukan pengurangan waktu mulai transaksi (tm) dengan waktu kedatangan (tk) setiap paket, yaitu :

tan[i] = tm[i] – tk[i] (3.7)

7. Penentuan waktu dalam sistem (tds) dengan menjumlahkan lama waktu antri (tan) dengan waktu transaksi (tt) setiap paket, yaitu :

tds[i] = tan[i] + tt[i] (3.8)

Untuk simulasi, kinerja sistem antrian dilakukan perhitungan ini: 1. Rata-rata waktu dalam antrian (Wq) adalah :

Wq =total waktu antri

N =

Wqtotal

N (3.9)

2. Rata-rata waktu dalam pelayanan atau rata rata waktu transaksi E(t): ttr =total waktu pelayanan

N =

tttotal

N (3.10)

3. Rata-rata waktu dalam sistem (Ws) adalah : Ws =total waktu dalam sistem

N =

Wstotal

N (3.11)

4. Rata-rata jumlah paket dalam antrian (Lq) adalah : Lq = total waktu antri

waktu selesai paket ke N= Wqtotal

(22)

5. Rata-rata jumlah paket dalam pelayanan adalah L = total waktu pelayanan

waktu selesai pak et ke N∗tttotal =

tttotal

ts[N]∗tttotal (3.13) 6. Rata-rata jumlah paket dalam sistem (Ls) adalah :

Ls =total waktu dalam sistem waktu selesai paket ke N =

Wstotal

ts[N] (3.14)

3.3.1 Pembangkitan Bilangan Acak

Pembangkitan bilangan acak ini digunakan untuk membangkitan bilangan yang acak untuk waktu kedatangan paket dan lama transaksi atau pelayanan. Bilangan acak menggunakan metode Line Linear Congruential Generators (LCG). Urutan dari bilangan bulat Z1, Z2, … menggunakan persamaan :

Z[i] = (a. Z[i-1] + c)(mod m) (3.15) Didalam program simulasi maka akan diinputkan pertama sekali parameter untuk pembangkitan bilangan acak yaitu a, c, m, dan Z0 dan jumlah paket. Pemilihan angka a, c, m , Zo harus sesuai dengan persyaratan-persyaratan dalam memilih bilangan acak atau random. Jika tidak sesuai maka program biasanya akan mengalami error atau hang. Untuk mendapatkan bilangan acak Ui pada interval [0,1], maka menggunakan persamaan:

U[i] =Z[i]/m (3.16)

Adapun diagram alir untuk pembangkitan bilangan acak dengan dapat dilihat pada Gambar 3.3

(23)

Gambar 3.3 Diagram Alir Pembangkitan Nilai Acak Metode LCG

3.3.2 Waktu Kedatangan Paket

Waktu kedatangan paket merupakan waktu ketika paket sampai di dalam sistem. Waktu kedatangan paket dihasilkan dari penjumlahan waktu kedatangan (tk) pelanggan sebelumnya dengan waktu antar kedatangan yang terdistribusi eksponensial. Adapun diagram alir untuk menghasilkan waktu kedatangan paket (tk) dapat dilihat pada Gambar 3.4.

Gambar 3.4 Diagram Alir Waktu Kedatangan Paket

START

Inisialisasi m,a,c,Z0

i ≤ m

Z[i] = (a.Z[i-1]+c)mod m

Zi>0

U[i] = Z[i]/m

Input tabel LCG

STOP

Z0 NO

YES

YES NO

START

Inisialisasi tk[i], λ, N

λ = N/1

tk[i] =tk[i-1] + (-1/λ)*lnU[i] Input tabel

Waktu Kedatangan

i ++ i ≤ N

STOP YES

(24)

3.3.3 Waktu Transaksi Paket

Waktu transaksi paket merupakan lamanya waktu pelayanan oleh

server untuk setiap paket. Waktu transaksi diperoleh dari nilai Z[i] dan U[i] yang telah didapatkan dengan pembangkitan bilangan acak. Adapun diagram alir untuk menghasilkan waktu transaksi paket (tt) dapat dilihat pada Gambar 3.5.

Gambar 3.5 Diagram Alir Waktu Transaksi Paket

3.3.4 Waktu Mulai Transaksi Paket

Waktu mulai transaksi paket merupakan waktu saat mulai dilayani oleh server ketika paket yang telah tiba didalam sistem. Paket pertama yang langsung mulai dilayani karena tidak ada antrian paket sebelumnya, paket berikutnya dimulai pada saat server sudah tidak ada lagi antrian atau jika paket sebelumnya telah selesai dilayani atau. Adapun diagram alir untuk menghasilkan waktu mulai transaksi paket (tm) dapat dilihat pada Gambar 3.6.

START

Inisialisasi Z[i], U[i], N

Zi, Ui > 0 ?

(M/M/1)

tt[i] = -(panjang paket/106_)*lnU[i]

(M/D/1)

tt[i]= panjang paket/106

Input tabel Waktu Antar

Transaksi

STOP NO

YES

(25)

Gambar 3.6 Diagram Alir Waktu Mulai Transaksi

3.3.5 Waktu Selesai Transaksi Paket

Waktu selesai transaksi paket merupakan waktu ketika paket sudah selesai dilayani oleh server, sehingga keluar dari server. Waktu selesai transaksi paket dihasilkan dengan menjumlahkan waktu kedatangan paket dengan waktu lamanya transaksi paket tersebut dalam sistem. Adapun diagram alir waktu selesai transaksi paket (ts) dapat dilihat pada Gambar 3.7.

Gambar 3.7 Diagram Alir Waktu Selesai Transaksi

START

Inisialisasi tk(i), ts(i), N

tm[i] = tk[i]

Input Tabel Waktu Mulai

i ++

ts[i-1] < tk[i] ? ts[i-1] ≥ tk[i] ?

tm[i] = ts[i-1]

STOP YES

NO NO

YES

START

Inisialisasi tt[i], tk[i], N

ts[i] = tt[i] + tm[i]

Input Tabel Waktu Selesai Transaksi

i ++

i ≤ N

STOP

YES

(26)

3.3.6 Waktu Antri Paket

Waktu antri paket merupakan waktu mulai menunggu untuk dilayani oleh server ketika setiap paket yang telah tiba didalam sistem, dikarenakan masih adanya paket yang sedang dalam proses pelayanan. Waktu antri paket diperoleh dengan mengurangkan waktu mulai transaksi paket tersebut dengan waktu kedatangan paket tersebut ke dalam sistem. Adapun diagram alir untuk waktu antri (tan) dapat dilihat pada Gambar 3.8

Gambar 3.8 Diagram Alir Waktu Antri

3.3.7 Lama Waktu Paket di Dalam Sistem

Lama waktu paket di dalam sistem merupakan lamanya suatu paket dalam antrian dan server atau lamanya setiap paket tersebut berada didalam sistem. Lama waktu paket didalam sistem dapat diperoleh dengan menjumlahkan lama waktu transaksi paket tersebut dengan lamanya paket tersebut mengantri di dalam sistem. Adapun diagram alir untuk memperoleh lama waktu didalam sistem (tds) dapat dilihat pada Gambar 3.9.

START

Inisialisasi tm[i], tk[i], N

tan[i] = tm[i] - tk[i]

Input Tabel Waktu Antri

i ++

i ≤ N

STOP

YES

(27)

Gambar 3.9 Diagram Alir Waktu di Dalam Sistem START

Inisialisasi tt[i], tan[i], N

tds[i] = tt[i] + tan[i] Input Tabel Waktu

Dalam Sistem

i ++

i ≤ N

STOP YES

(28)

BAB IV

ANALISIS KINERJA SISTEM ANTRIAN M/G/1

4.1 Hasil Simulasi

Pada bab ini ditampilkan hasil simulasi yang telah dijalankan. Hasil-hasil tersebut dimuat ke dalam tabel. Kemudian dilakukan juga perhitungan teoritis menggunakan rumus. Selanjutnya dibandingkan hasil dari simulasi dan perhitungan teoritis tersebut.

Setelah syntax dari simulasi telah dapat di compile dan di run, maka pertama sekali yang dijumpai menginputkan parameter pembangkitan bilangan acak. Bilangan yang diambil adalah : a = 65539, c = 987657 , m = 2147483647, Z[0]=894573 sesuai dengan persyaratan pemilihan bilangan pada pembangkitan bilangan acak. Dan kemudian menginputkan bilangan 10000 untuk jumlah paket.

(29)

Gambar 4.2 Tampilan Awal Simulasi M/D/1

Adapun logika program berjalan seperti pada rumus dan flowchart

program pada Bab III dan tabel pertama yang didapatkan adalah pembangkitan bilangan acak yang dapat dilihat pada Tabel 4.1 pada interval [0,1].

Tabel 4.1 Nilai Bilangan Acak Metode LCG

i M/M/1 M/D/1

Z[i] U[i] Z[i] U[i]

0 894573 -- 894573 --

1 648347648 0.301910 648347648 0.301910

2 1946176896 0.906259 1946176896 0.906259

3 696313856 0.324246 696313856 0.324246

4 1686131456 0.785166 1686131456 0.785166

5 8440067 0.003930 8440067 0.003930

6 1251213568 0.582642 1251213568 0.582642 7 1627428096 0.757830 1627428096 0.757830

8 939573760 0.437523 939573760 0.437523

9 1778413568 0.828138 1778413568 0.828138

10 771806208 0.359400 771806208 0.359400

… … … … …

(30)

Kemudian didapatkan hasil untuk waktu kedatangan paket (tk) tiap-tiap paket yang terdapat pada Tabel 4.2.

Tabel 4.2 Waktu Kedatangan

Kemudian didapatkan hasil untuk waktu transaksi (tt) tiap-tiap paket yang terdapat pada Tabel 4.3.

Tabel 4.3 Waktu Transaksi

Paket ke i M/M/1 M/D/1

tt (detik) tt (detik)

1 0.000060 0.000050

2 0.000005 0.000050

3 0.000056 0.000050

4 0.000012 0.000050

5 0.000276 0.000050

6 0.000027 0.000050

7 0.000014 0.000050

Paket ke i M/M/1 M/D/1

tk (detik) tk (detik)

1 0.000120 0.000120

2 0.000130 0.000130

3 0.000242 0.000242

4 0.000266 0.000266

5 0.000820 0.000820

6 0.000874 0.000874

7 0.000902 0.000902

8 0.000985 0.000985

9 0.001004 0.001004

10 0.001106 0.001106

… … …

(31)

Paket ke i M/M/1 M/D/1

tt (detik) tt (detik)

10 0.000051 0.000050

… … …

10000 0.000065 0.000050

Kemudian didapatkan hasil untuk waktu mulai transaksi (tm) tiap-tiap paket yang terdapat pada Tabel 4.4.

Tabel 4.4 Waktu Mulai

Kemudian didapatkan hasil untuk waktu selesai transaksi (ts) tiap-tiap paket yang terdapat pada Tabel 4.5.

Tabel 4.5 Waktu Selesai

Paket ke i M/M/1 M/D/1

tm (detik) tm (detik)

1 0.000120 0.000120

2 0.000179 0.000170

3 0.000242 0.000242

4 0.000298 0.000292

5 0.000820 0.000820

6 0.001096 0.000874

7 0.001123 0.000924

8 0.001137 0.000985

9 0.001178 0.001035

10 0.001188 0.001106

… … …

10000 1.003540 1.003540

Paket ke i M/M/1 M/D/1

ts (detik) ts (detik)

1 0.000179 0.000170

2 0.000184 0.000220

(32)

Kemudian didapatkan hasil untuk waktu antri (tan) tiap-tiap paket yang terdapat pada Tabel 4.6.

Tabel 4.6 Waktu Antri

Paket ke i M/M/1 M/D/1

tan (detik) tan (detik)

1 0.000000 0.000000

2 0.000050 0.000040

3 0.000000 0.000000

4 0.000032 0.000026

5 0.000000 0.000000

6 0.000222 0.000000

7 0.000221 0.000022

8 0.000152 0.000000

9 0.000175 0.000031

10 0.000082 0.000000

… … …

10000 0.000000 0.000000

Kemudian didapatkan hasil untuk waktu dalam sistem (tds) tiap-tiap paket yang terdapat pada Tabel 4.7.

Paket ke i M/M/1 M/D/1

ts (detik) ts (detik)

4 0.000310 0.000342

5 0.001096 0.000870

6 0.001123 0.000924

7 0.001137 0.000974

8 0.001178 0.001035

9 0.001188 0.001085

10 0.001239 0.001156

… … …

(33)

Tabel 4.7. Waktu Dalam Sistem

Paket ke i M/M/1 M/D/1

tds (detik) tds (detik)

1 0.000060 0.000050

2 0.000055 0.000090

3 0.000056 0.000050

4 0.000044 0.000076

5 0.000276 0.000050

6 0.000249 0.000050

7 0.000235 0.000072

8 0.000193 0.000050

9 0.000184 0.000081

10 0.000133 0.000050

… … …

10000 0.000065 0.000050

Adapun perhitungan yang terjadi di dalam program adalah sebagai berikut: 1. Rata-rata waktu dalam antrian (Wq)

Dalam simulasi, hasil dan perhitungan yang dilakukan adalah : a. M/M/1

Wqtotal = 0.416184 detik Wq = Wqtotal

N =

0.416184

10000 = 0.000042 detik b. M/D/1

Wqtotal = 0.233619 detik Wq = Wqtotal

N =

0.233619

10000 = 0.000023 detik 2. Rata-rata waktu dalam pelayanan (E(t))

Dalam simulasi, hasil dan perhitungan yang dilakukan adalah : a. M/M/1

(34)

ttr = tttotal N =

0.5

10000 = 0.000050 detik b. M/D/1

tttotal = 0.5 detik ttr = tttotal

N = 0.5

10000 = 0.000050 detik 3. Rata-rata waktu dalam sistem (Ws)

Dalam simulasi, hasil dan perhitungan yang dilakukan adalah : a. M/M/1

Wstotal = 0.92 detik Ws = Wstotal

N = 0.92

10000= 0.000092 detik b. M/D/1

Wstotal = 0.733651 detik Ws = Wstotal

N =

0.733651

10000 = 0.000073 detik 4. Jumlah paket dalam antrian (Lq)

Dalam simulasi, hasil dan perhitungan yang dilakukan adalah : a. M/M/1

Lq = Wqtotal ts[10000]=

0.416184

1.003605 = 0.414689 paket b. M/D/1

Lq = Wqtotal ts[10000]=

0.233619

1.003605 = 0.232784 paket 5. Jumlah paket dalam pelayanan (L)

Dalam simulasi, hasil dan perhitungan yang dilakukan adalah : a. M/M/1

(35)

b. M/D/1 L = tttotal

ts[10000]∗tttotal= 0.5

1.003590∗0.5 = 0.996423 paket 6. Jumlah paket dalam sistem (Ls)

Dalam simulasi, hasil dan perhitungan yang dilakukan adalah a. M/M/1

Ls = Wstotal ts[10000] =

0.92

1.003605 = 0.912893 paket b. M/D/1

Ls = Wstotal ts[10000] =

0.733651

1.003599 = 0.731027 paket

Simulasi pun dilakukan dengan memasukkan inputan berdasarkan banyak paket. Tampilan hasil simulasi untuk kedua model dapat dilihat pada Gambar 4.3.

(a)

(b)

(36)

4.1.1 Hasil Simulasi 10000 paket

1. Simulasi 1

Simulasi 1 dilakukan dengan penyesuaian bilangan pengali panjang paket sebesar 49.824 untuk hasil M/M/1 dan 49.994 untuk hasil M/D/1 pada rumus waktu transaksi. Hasil dari simulasi kinerja sistem antrian ini dapat dilihat pada Tabel 4.8.

Dimana:

λ = 10000 paket/detik

µ = 1

rata rata waktu pelayanan

= 1 0.000050

= 20000 paket / detik

Sehingga, didapatkan utilisasi sebesar,

ρ = _�λ

=

10000

20000

= 0.5

Tabel 4.8 Hasil Simulasi 1 No Parameter

Hasil M/M/1 Hasil M/D/1

1 Wq (detik) 0.000042 0.000023

2 E(t) (detik) 0.000050 0.000050

3 Ws (detik) 0.000092 0.000073

4 Lq (paket) 0.414689 0.232784

(37)

2. Simulasi 2

Simulasi 2 dilakukan dengan penyesuaian bilangan pengali panjang paket sebesar 59.7886 untuk hasil M/M/1 dan 60.009 untuk hasil M/D/1 pada rumus waktu transaksi. Hasil dari simulasi kinerja sistem antrian ini dapat dilihat pada Tabel 4.9.

Dimana:

λ = 10000 paket/detik

µ = 1

rata rata waktu pelayanan

= 1 0.000060

= 16666 paket / detik

Sehingga, didapatkan utilisasi sebesar,

ρ = λ �

=

10000 16666

= 0.6

. Tabel 4.9 Hasil Simulasi 2 No Parameter

Hasil M/M/1 Hasil M/D/1

1 Wq (detik) 0.000064 0.000039

2 E(t) (detik) 0.000060 0.000060

3 Ws (detik) 0.000124 0.000099

4 Lq (paket) 0.633758 0.390603

5 L (paket) 0.996389 0.996385

(38)

3. Simulasi 3

Simulasi 3 dilakukan dengan penyesuaian bilangan pengali panjang paket sebesar 69.79 untuk hasil M/M/1 dan 70.019 untuk hasil M/D/1 pada rumus waktu transaksi. Hasil dari simulasi kinerja sistem antrian ini dapat dilihat pada Tabel 4.10.

Dimana:

λ = 10000 paket/detik

µ = 1

rata rata waktu pelayanan

= 1 0.000070

= 14285 paket / detik

Sehingga, didapatkan utilisasi sebesar,

ρ = λ �

=

10000 14285

= 0.7

Tabel 4.10 Hasil Simulasi 3 No Parameter

Hasil M/M/1 Hasil M/D/1

1 Wq (detik) 0.000093 0.000064

2 E(t) (detik) 0.000070 0.000070

3 Ws (detik) 0.000163 0.000134

4 Lq (paket) 0.921665 0.635135

5 L (paket) 0.996300 0.996295

(39)

4.2.2 Hasil Simulasi 25000 paket

1. Simulasi 4

Simulasi 4 dilakukan dengan penyesuaian bilangan pengali panjang paket sebesar 19.95 untuk hasil M/M/1 dan 20.005 untuk hasil M/D/1 pada rumus waktu transaksi. Hasil dari simulasi kinerja sistem antrian ini dapat dilihat pada Tabel 4.11.

Dimana:

λ = 25000 paket/detik

µ = 1

rata rata waktu pel ayanan

= 1 0.000020

= 50000 paket / detik

Sehingga, didapatkan utilisasi sebesar,

ρ = _�λ

=

25000 50000

= 0.5

Tabel 4.11 Hasil Simulasi 3 No Parameter

Hasil M/M/1 Hasil M/D/1

1 Wq (detik) 0.000017 0.000009

2 E(t) (detik) 0.000020 0.000020

3 Ws (detik) 0.000037 0.000029

4 Lq (paket) 0.415985 0.233355

5 L (paket) 0.996472 0.996463

(40)

2. Simulasi 5

Simulasi 5 dilakukan dengan penyesuaian bilangan pengali panjang paket sebesar 23.95 untuk hasil M/M/1 dan 23.999 untuk hasil M/D/1 pada rumus waktu transaksi. Hasil dari simulasi kinerja sistem antrian ini dapat dilihat pada Tabel 4.12.

Dimana:

λ = 25000 paket / detik

µ = 1

rata rata waktu pelayanan

= 1 0.000024

= 41666 paket / detik

Sehingga, didapatkan utilisasi sebesar,

ρ = λ �

=

25000 41666

= 0.6

Tabel 4.12 Hasil Simulasi 5 No Parameter

Hasil M/M/1 Hasil M/D/1

1 Wq (detik) 0.000026 0.000016

2 E(t) (detik) 0.000024 0.000024

3 Ws (detik) 0.000050 0.000040

4 Lq (paket) 0.636376 0.391086

5 L (paket) 0.996458 0.996447

(41)

3. Simulasi 6

Simulasi 6 dilakukan dengan penyesuaian bilangan pengali panjang paket sebesar 27.95 untuk hasil M/M/1 dan 27.994 untuk hasil M/D/1 pada rumus waktu transaksi. Hasil dari simulasi kinerja sistem antrian ini dapat dilihat pada Tabel 4.13.

Dimana:

λ = 25000 paket / detik

µ = 1

rata rata waktu pelayanan

= 1 0.000028

= 35714 paket / detik

Sehingga, didapatkan utilisasi sebesar,

ρ = λ �

=

25000 35714

= 0.7

Tabel 4.13 Hasil Simulasi 6 No Parameter

Hasil M/M/1 Hasil M/D/1

1 Wq (detik) 0.000037 0.000026

2 E(t) (detik) 0.000028 0.000028

3 Ws (detik) 0.000065 0.000054

4 Lq (paket) 0.924880 0.635315

5 L (paket) 0.996444 0.996427

(42)

4.2.3 Hasil Simulasi 50000 paket

1. Simulasi 7

Simulasi 7 dilakukan dengan penyesuaian bilangan pengali panjang paket sebesar 9.97 untuk hasil M/M/1 dan 10 untuk hasil M/D/1 pada rumus waktu transaksi. Hasil dari simulasi kinerja sistem antrian ini dapat dilihat pada Tabel 4.14.

Dimana:

λ = 50000 paket/detik

µ = 1

rata rata waktu pelayanan

= 1 0.000010

= 100000 paket / detik

Sehingga, didapatkan utilisasi sebesar,

ρ = _�λ

=

50000 100000

= 0.5

Tabel 4.14 Hasil Simulasi 7 No Parameter

Hasil M/M/1 Hasil M/D/1

1 Wq (detik) 0.000008 0.000005

2 E(t) (detik) 0.000010 0.000010

3 Ws (detik) 0.000018 0.000015

4 Lq (paket) 0.416021 0.233891

(43)

2. Simulasi 8

Simulasi 8 dilakukan dengan penyesuaian bilangan pengali panjang paket sebesar 11.96 untuk hasil M/M/1 dan 11.9992 untuk hasil M/D/1 pada rumus waktu transaksi. Hasil dari simulasi kinerja sistem antrian ini dapat dilihat pada Tabel 4.15.

Dimana:

λ = 50000 paket/detik

µ = 1

rata rata waktu pelayanan

= 1 0.000012

= 83333 paket /detik

Sehingga, didapatkan utilisasi sebesar,

ρ = λ �

=

50000

833333

= 0.6

Tabel 4.15 Hasil Simulasi 8 No Parameter

Hasil M/M/1 Hasil M/D/1

1 Wq (detik) 0.000013 0.000008

2 E(t) (detik) 0.000012 0.000012

3 Ws (detik) 0.000025 0.000020

4 Lq (paket) 0.635381 0.390501

5 L (paket) 0.996673 0.996665

(44)

3. Simulasi 9

Simulasi 9 dilakukan dengan penyesuaian bilangan pengali panjang paket sebesar 13.69 untuk hasil M/M/1 dan 13.9992 untuk hasil M/D/1 pada rumus waktu transaksi. Hasil dari simulasi kinerja sistem antrian ini dapat dilihat pada Tabel 4.16.

Dimana:

λ = 50000 paket/detik

µ = 1

rata rata waktu pelayanan

= 1 0.000014

= 71428 paket /detik

Sehingga, didapatkan utilisasi sebesar,

ρ = λ �

=

50000 71428

= 0.7

Tabel 4.16 Hasil Simulasi 9 No Parameter

Hasil M/M/1 Hasil M/D/1

1 Wq (detik) 0.000019 0.000013

2 E(t) (detik) 0.000014 0.000014

3 Ws (detik) 0.000033 0.000027

4 Lq (paket) 0.923709 0.636063

5 L (paket) 0.996662 0.996655

(45)

4.2 Hasil Teoritis

Dalam tugas akhir ini dilakukan juga perhitungan kinerja dari sistem antrian M/G/1 berdasarkan rumus teoritis yang telah didapatkan dari buku-buku referensi. Perhitungan dilakukan berdasarkan hasil yang didapatkan pada simulasi. Dilakukan perhitungan untuk parameter kinerja sistem antrian, yaitu rata-rata waktu dalam antrian, pelayanan, dan sistem serta rata-rata jumlah paket dalam antrian, pelayanan, dan sistem. Digunakan rumus M/M/1, M/D/1 dan M/G/1 yang umum berdasarkan ada atau tidaknya variansi.

1. Perhitungan menggunakan rumus M/M/1, sebagai berikut ini :

Pada Simulasi 1 didapatkan utilisasi sebesar 0.5 dengan λ = 10000 paket/detik dan µ = 20000 paket/detik, kemudian digunakan rumus pada M/M/1, sehingga didapatkan :

E(t) = 1

=

20000

= 0.000050 detik

Wq = λ μ(μ−λ)=

10000

20000 (20000−10000 )= 0.000050 detik

Ws = 1 μ−λ=

20000− 10000 =0.000050 detik Lq = λ2

μ(μ−λ)=

100002

20000 (20000−10000 )= 0.5 paket Ls = λ

μ−λ =

10000

20000− 10000 = 1 paket

2. Perhitungan menggunakan rumus M/D/1, sebagai berikut ini :

Pada Simulasi 1 didapatkan utilisasi sebesar 0.5 dengan λ = 10000 paket/detik dan µ = 20000 paket/detik, kemudian digunakan rumus pada M/D/1, sehingga didapatkan :

(46)

E(t) = 1

=

20000

= 0.000050 detik

Wq = λ 2μ(μ−λ)=

10000

2(20000 )(20000−10000 )= 0.000025 detik Ws = Wq +1

μ= 0.000025 + 1

20000 = 0.000075 detik

Lq = λ

2μ(μ−λ)=

100002

2(20000 )(20000−10000 )= 0.25 paket Ls = Lq +λ

μ= 0.25 + 10000

20000 = 0.75 paket

3. Perhitungan menggunakan rumus M/G/1, sebagai berikut ini :

Pada Simulasi 1 didapatkan utilisasi sebesar 0.5 dengan λ = 10000 paket/detik dan µ = 20000 paket/detik, kemudian digunakan rumus pada M/D/1, sehingga didapatkan :

E(t) = 1

=

20000

= 0.000050 detik

a. Jika terdapat variansi, untuk memperoleh variansi (var(t)), maka var(t) = 1

μ2

=

200002

= 2.5 x 10

-9

Lq =λ

2_[E2_{(t)+var (t)]} 2(1−λE(t)) =

100002[0.0000502+2.5x10−9]

2(1−10000 (0.000050 )) = 0.5 paket Ls = Lq +λE(t)= 0.5 + 10000(0.00005) = 1 paket

Wq = Lq

=

0.5

10000

= 0.00005 detik

Ws = Wq + E(t) = 0.00005 + 0.00005 = 0.0001 detik b. Jika tidak terdapat variansi, maka

(47)

Ls = Lq +λE(t)= 0.25 + 10000(0.00005) = 0.75 paket Wq = Lq

=

0.25

10000

= 0.000025 detik

Ws = Wq + E(t) = 0.000025 + 0.000050 = 0.000075 detik

Dengan cara yang sama, dilakukan perhitungan teoritis untuk setiap jumlah paket yang disimulasikan yaitu 10000 paket, 20000 paket, dan 50000 paket.

4.2.1 Hasil Teori 10000 paket

1. Teori 1

Pada Simulasi 1, utilisasi sebesar 0.5 dengan λ = 10000 paket/detik dan µ = 20000 paket/detik. Hasil perhitungan secara teori dapat dilihat pada Tabel 4.17.

Tabel 4.17 Hasil Teori 1

No Parameter

Hasil Dengan Persamaan Teoritis

M/M/1 M/G/1

var(t) = 2.5x10-9 M/D/1

M/G/1 var(t) = 0 1 Wq (detik) 0.00005 0.00005 0.000025 0.000025 2 E(t) (detik) 0.00005 0.00005 0.000050 0.000050 3 Ws (detik) 0.00010 0.00010 0.000075 0.000075

4 Lq (paket) 0.5 0.5 0.25 0.25

5 L (paket) 1 1 1 1

6 Ls (paket) 1 1 0.75 0.75

2. Teori 2

Pada Simulasi 2, utilisasi sebesar 0.6 dengan λ = 10000 paket/detik dan µ = 16666 paket/detik. Hasil perhitungan secara teori dapat dilihat pada Tabel 4.18

(48)

Tabel 4.18 Hasil Teori 2

No Parameter

Hasil Dengan Persamaan Teoritis

M/M/1 M/G/1

var(t) = 3.6x10-9 M/D/1

M/G/1 var(t) = 0 1 Wq (detik) 0.000090 0.000090 0.000045 0.000045 2 E(t) (detik) 0.000060 0.000060 0.000060 0.000060 3 Ws (detik) 0.000150 0.000150 0.000105 0.000105

4 Lq (paket) 0.9 0.9 0.45 0.45

5 L (paket) 1 1 1 1

6 Ls (paket) 1.5 1.5 1.05 1.05

3. Teori 3

Pada Simulasi 3, utilisasi sebesar 0.7 dengan λ = 10000 paket/detik dan µ = 14285 paket/detik. Hasil perhitungan secara teori dapat dilihat pada Tabel 4.19

Tabel 4.19 Hasil Teori 3

No Parameter

Hasil Dengan Persamaan Teoritis

M/M/1 M/G/1

var(t) = 4.9x10-9 M/D/1

M/G/1 var(t) = 0 1 Wq (detik) 0.000163 0.000163 0.000082 0.000082 2 E(t) (detik) 0.000070 0.000070 0.000070 0.000070 3 Ws (detik) 0.000233 0.000233 0.000152 0.000152

4 Lq (paket) 1.63 1.63 0.816695 0.816695

5 L (paket) 1 1 1 1

6 Ls (paket) 2.33 2.33 1.516701 1.516701

4.2.2 Hasil Teori 25000 paket

1. Teori 4

Pada Simulasi 4, utilisasi sebesar 0.5 dengan λ = 25000 paket/detik dan µ = 50000 paket/detik. Hasil perhitungan secara teori dapat dilihat

(49)

Tabel 4.20 Hasil Teori 4

No Parameter

Hasil Dengan Persamaan Teoritis

M/M/1 M/G/1

var(t) = 4x10-10 M/D/1

M/G/1 var(t) = 0 1 Wq (detik) 0.000020 0.000020 0.000010 0.000010 2 E(t) (detik) 0.000020 0.000020 0.000020 0.000020 3 Ws (detik) 0.00004 0.00004 0.000030 0.000030

4 Lq (paket) 0.5 0.5 0.25 0.25

5 L (paket) 1 1 1 1

6 Ls (paket) 1 1 0.75 0.75

2. Teori 5

Pada Simulasi 5, utilisasi sebesar 0.6 dengan λ = 25000 paket/detik dan µ = 41666 paket/detik. Hasil perhitungan secara teori dapat dilihat pada Tabel 4.21

Tabel 4.21 Hasil Teori 5

No Parameter

Hasil Dengan Persamaan Teoritis

M/M/1 M/G/1

var(t) = 4x10-10 M/D/1

M/G/1 var(t) = 0 1 Wq (detik) 0.000036 0.000036 0.000018 0.000018 2 E(t) (detik) 0.000024 0.000024 0.000024 0.000024 3 Ws (detik) 0.000060 0.000060 0.000042 0.000042

4 Lq (paket) 0.9 0.9 0.45 0.45

5 L (paket) 1 1 1 1

6 Ls (paket) 1.5 1.5 1.05 1.05

3. Teori 6

Pada Simulasi 6 didapatkan utilisasi sebesar 0.7 dengan λ = 25000 paket/detik dan µ = 35714 paket/detik. Hasil perhitungan secara teori dapat dilihat pada Tabel 4.22

(50)

Tabel 4.22 Hasil Teori 6

No Parameter

Hasil Dengan Persamaan Teoritis

M/M/1 M/G/1

var(t) = 4x10-10 M/D/1

M/G/1 var(t) = 0 1 Wq (detik) 0.000065 0.000065 0.000033 0.000033 2 E(t) (detik) 0.000028 0.000028 0.000028 0.000028 3 Ws (detik) 0.000093 0.000093 0.000061 0.000061

4 Lq (paket) 1.63 1.63 0.816695 0.816695

5 L (paket) 1 1 1 1

6 Ls (paket) 2.33 2.33 1.516701 1.516701

4.2.3 Hasil Teori untuk 50000 paket

1. Teori 7

Pada Simulasi 7, utilisasi sebesar 0.5 dengan λ = 50000 paket/detik dan µ = 100000 paket/detik. Hasil perhitungan secara teori dapat dilihat pada Tabel 4.23

Tabel 4.23 Hasil Teori 7

No Parameter

Hasil Dengan Persamaan Teoritis

M/M/1 M/G/1

var(t) = 10-10 M/D/1

M/G/1 var(t) = 0 1 Wq (detik) 0.000010 0.000010 0.000005 0.000005 2 E(t) (detik) 0.000010 0.000010 0.000010 0.000010 3 Ws (detik) 0.000020 0.000020 0.000015 0.000015

4 Lq (paket) 0.5 0.5 0.25 0.25

5 L (paket) 1 1 1 1

6 Ls (paket) 1 1 0.75 0.75

2. Teori 8

Pada Simulasi 8 didapatkan utilisasi sebesar 0.6 dengan λ = 50000 paket/detik dan µ = 83333 paket/detik. Hasil perhitungan secara

(51)

Tabel 4.24 Hasil Teori 8

No Parameter

Hasil Dengan Persamaan Teoritis

M/M/1 M/G/1

var(t) = 1.44x10-10 M/D/1

M/G/1 var(t) = 0 1 Wq (detik) 0.000018 0.000018 0.000009 0.000009 2 E(t) (detik) 0.000012 0.000012 0.000012 0.000012 3 Ws (detik) 0.000030 0.000030 0.000021 0.000021

4 Lq (paket) 0.9 0.9 0.45 0.45

5 L (paket) 1 1 1 1

6 Ls (paket) 1.5 1.5 1.05 1.05

3. Teori 9

Pada Simulasi 9, utilisasi sebesar 0.7 dengan λ = 50000 paket/detik dan µ = 71428 paket/detik. Hasil perhitungan secara teori dapat dilihat pada Tabel 4.25

Tabel 4.25 Hasil Teori 1

No Parameter

Hasil Dengan Persamaan Teoritis

M/M/1 M/G/1

var(t) = 1.96x10-10 M/D/1

M/G/1 var(t) = 0 1 Wq (detik) 0.0000033 0.0000033 0.000016 0.000016 2 E(t) (detik) 0.000014 0.000014 0.000014 0.000014 3 Ws (detik) 0.000047 0.000047 0.000030 0.000030

4 Lq (paket) 1.63 1.63 0.816695 0.816695

5 L (paket) 1 1 1 1

6 Ls (paket) 2.33 2.33 1.516701 1.516701

Adapun perhitungan teoritis juga dapat dihitung menggunakan program bahasa C yang dapat mempercepat perhitungan. Program penghitung kinerja sistem antrian M/G/1 pada jaringan packet switching ini dapat dilihat pada lampiran tugas akhir ini.

(52)

4.3 Perbandingan Hasil Simulasi dengan Hasil Teoritis

Hasil dari masing masing perhitungan yaitu perhitungan secara simulasi dan secara teori kemudian dibandingkan. Hal ini dilakukan agar diketahui apakah hasil simulasi mendekati hasil teori atau tidak. Hasil simulasi dengan hasil teori dibandingkan berdasarkan dengan utilisasi terhadap setiap parameternya. Perbandingan parameter kinerjanya adalah sebagai berikut :

4.3.1 Perbandingan rata-rata waktu dalam antrian (Wq)

Data perbandingan rata-rata waktu dalam antrian (Wq) dibandingkan setiap utilisasi (ρ) = 0.5, 0.6, dan 0.7 Tabel 4.26 memperlihatkan perbandingan kinerja dari parameter tersebut.

Tabel 4.26 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Antrian (Wq) Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Antrian (Wq) No Jumlah

Paket ρ

M/M/1 M/D/1

Simulasi (s) Teori (s) Simulasi (s) Teori (s) 1

10000

0.5 0.000042 0.000050 0.000023 0.000025

2 0.6 0.000064 0.000090 0.000039 0.000045

3 0.7 0.000093 0.000163 0.000064 0.000082

25000

0.5 0.000017 0.000020 0.000009 0.000010

5 0.6 0.000026 0.000036 0.000016 0.000018

6 0.7 0.000037 0.000065 0.000026 0.000033

50000

0.5 0.000008 0.000010 0.000005 0.000005

8 0.6 0.000013 0.000018 0.000008 0.000009

(53)

(a)

(b)

(c)

Gambar 4.4 Grafik Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Antrian (Wq) (a) 10000 paket, (b) 25000 paket, (c) 50000 paket

0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam a n tr ia n ( d e ti k ) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0 0,00002 0,00004 0,00006 0,00008 0,0001

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam a n tr ia n ( d e ti k ) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam a n tr ia n ( d e ti k ) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0 0,000005 0,00001 0,000015 0,00002 0,000025 0,00003 0,000035

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam a n tr ia n ( d e ti k ) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0 0,000005 0,00001 0,000015 0,00002 0,000025 0,00003 0,000035

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam a n tr ia n ( d e ti k ) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0 0,000005 0,00001 0,000015 0,00002

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam a n tr ia n ( d e ti k ) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI

(54)

Gambar 4.4 menunjukkan grafik perbandingan rata-rata waktu dalam antrian secara simulasi dan teori. Dimana dapat dianalisis bahwa: 1. Hasil dari kedua jenis antrian, untuk setiap jumlah paket terhadap setiap

utilitas, diperoleh hasil teori lebih besar daripada hasil pada simulasi. 2. Besar rata-rata perbedaan kedua hasil pada utilisasi 0.5, 0.6 dan 0.7

adalah 13.6%, 26.3%, dan 50.46%

4.3.2 Perbandingan rata-rata waktu dalam pelayanan (E(t))

Data perbandingan rata-rata waktu dalam pelayanan (E(t)) dibandingkan setiap utilisasi (ρ) = 0.5, 0.6, dan 0.7. Tabel 4.27 memperlihatkan perbandingan kinerja dari parameter tersebut.

Tabel 4.27 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Pelayanan (E(t)) Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Pelayanan (E(t)) No Jumlah

Paket ρ

M/M/1 M/D/1

Simulasi (s) Teori (s) Simulasi (s) Teori (s) 1

10000

0.5 0.000050 0.000050 0.000050 0.000050

2 0.6 0.000060 0.000060 0.000060 0.000060

3 0.7 0.000070 0.000070 0.000070 0.000070

25000

0.5 0.000020 0.000020 0.000020 0.000020

5 0.6 0.000024 0.000024 0.000024 0.000024

6 0.7 0.000028 0.000028 0.000028 0.000028

50000

0.5 0.000010 0.000010 0.000010 0.000010

8 0.6 0.000012 0.000012 0.000012 0.000012

(55)

(a)

(b)

(c)

Gambar 4.5 Grafik Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Pelayanan (E(t)) (a) 10000 paket, (b) 25000 paket, (c) 50000 paket

0 0,00002 0,00004 0,00006 0,00008

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam p e la y an a (d e tik ) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0 0,00002 0,00004 0,00006 0,00008

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam p e la y an an (d e tik ) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0 0,000005 0,00001 0,000015 0,00002 0,000025 0,00003

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam p e la y an an (d e tik ) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0 0,000005 0,00001 0,000015 0,00002 0,000025 0,00003

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam p e la y an an (d e tik ) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0 0,000005 0,00001 0,000015

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam p e la y an an (d e tik ) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0 0,000005 0,00001 0,000015

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam p e la y an an (d e tik ) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI

(56)

Gambar 4.5 menunjukkan grafik perbandingan rata-rata waktu dalam pelayanan secara simulasi dan teori. Dimana dapat dianalisis bahw :

1. Hasil dari kedua jenis antrian, untuk setiap jumlah paket terhadap setiap utilitas, diperoleh hasil teori lebih besar daripada hasil pada simulasi. 2. Besar perbedaan kedua hasil pada utilisasi 0.5, 0.6 dan 0.7 adalah 0%

semua.

4.3.3 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Sistem (Ws)

Data perbandingan rata-rata waktu dalam sistem (Ws) dibandingkan setiap utilisasi (ρ) = 0.5, 0.6, dan 0.7. Tabel 4.28 memperlihatkan perbandingan kinerja dari parameter tersebut.

Tabel 4.28 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Sistem (Ws) Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Sistem (Ws) No Jumlah

Paket ρ

M/M/1 M/D/1

Simulasi (s) Teori (s) Simulasi (s) Teori (s) 1

10000

0.5 0.000092 0.000100 0.000073 0.000075

2 0.6 0.000124 0.000150 0.000099 0.000105

3 0.7 0.000163 0.000233 0.000134 0.000152

25000

0.5 0.000037 0.000040 0.000029 0.000030

5 0.6 0.000050 0.000060 0.000040 0.000042

6 0.7 0.000065 0.000093 0.000054 0.000061

50000

0.5 0.000018 0.000020 0.000018 0.000020

8 0.6 0.000025 0.000030 0.000025 0.000030

(57)

(a)

(b)

(c)

Gambar 4.6 Grafik Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Sistem (Ws) (a) 10000 paket, (b) 25000 paket, (c) 50000 paket

0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam s is te m ( d e ti k ) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam s is te m ( d e ti k ) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0 0,00002 0,00004 0,00006 0,00008 0,0001

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam s is te m ( d e ti k ) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0 0,00001 0,00002 0,00003 0,00004 0,00005 0,00006 0,00007

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam s is te m ( d e ti k ) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0 0,00001 0,00002 0,00003 0,00004 0,00005

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam s is te m ( d e ti k ) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0 0,00001 0,00002 0,00003 0,00004 0,00005

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a w ak tu d a lam s is te m ( d e ti k ) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI

(58)

Gambar 4.6 menunjukkan grafik perbandingan rata-rata waktu dalam sistem secara simulasi dan teori. Dimana dapat dianalisis bahwa

15.33%, dan 32.9%

4.3.4 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Antrian (Lq)

Data perbandingan rata-rata jumlah paket dalam antrian (Lq) dibandingkan setiap utilisasi (ρ) = 0.5, 0.6, dan 0.7. Tabel 4.29 memperlihatkan perbandingan kinerja dari parameter tersebut.

Tabel 4.29 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Antrian (Lq) Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Antrian (Lq) No Jumlah

Paket ρ

M/M/1 M/D/1

Simulasi (s) Teori (s) Simulasi (s) Teori (s) 1

10000

0.5 0.414689 0.5 0.232784 0.25

2 0.6 0.633758 0.9 0.390603 0.45

3 0.7 0.921665 1.63 0.635135 0.816695

25000

0.5 0.415985 0.5 0.233355 0.25

5 0.6 0.636376 0.9 0.391086 0.45

6 0.7 0.924880 1.63 0.635315 0.816695

50000

0.5 0.416021 0.5 0.233891 0.23

8 0.6 0.635381 0.9 0.390501 0.45

(59)

(a)

(b)

(c)

Gambar 4.7 Grafik Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Antrian (Lq) (a) 10000 paket, (b) 25000 paket, (c) 50000 paket

0 0,5 1 1,5 2

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam a n tr ia n ( p a k e t) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam a n tr ia n ( p a k e t) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0 0,5 1 1,5 2

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam a n tr ia n ( p a k e t) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0 0,5 1 1,5 2

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam a n tr ia n ( p a k e t) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam a n tr ia n ( p a k e t) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0 0,5 1 1,5 2

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a la m a n tr ia n ( p a k e t) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI

(60)

Gambar 4.7 menunjukkan grafik perbandingan rata-rata jumlah paket dalam antrian secara simulasi dan teori. Dimana dapat dianalisis bahwa :

28.43% dan 52.5%

4.3.5 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Pelayanan (L)

Data perbandingan rata-rata jumlah paket dalam pelayanan (L) dibandingkan setiap utilisasi (ρ) = 0.5, 0.6, dan 0.7. Tabel 4.30 memperlihatkan perbandingan kinerja dari parameter tersebut.

Tabel 4.30 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Pelayanan (L) Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Pelayanan (L) No Jumlah

Paket ρ

M/M/1 M/D/1

Simulasi (s) Teori (s) Simulasi (s) Teori (s) 1

10000

0.5 0.996407 1 0.996423 1

2 0.6 0.996389 1 0.996385 1

3 0.7 0.996300 1 0.996295 1

25000

0.5 0.996472 1 0.996463 1

5 0.6 0.996458 1 0.996447 1

6 0.7 0.996444 1 0.996427 1

50000

0.5 0.996684 1 0.996675 1

8 0.6 0.996673 1 0.996665 1

(61)

(a)

(b)

(c)

Gambar 4.8 Grafik Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Pelayanan (L) (a) 10000 paket, (b) 25000 paket, (c) 50000 paket

0,994 0,995 0,996 0,997 0,998 0,999 1 1,001

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam p e la y a n an ( p a k e t) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0,994 0,995 0,996 0,997 0,998 0,999 1 1,001

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam p e lay a n an ( p a k e t) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0,994 0,995 0,996 0,997 0,998 0,999 1 1,001

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam p e la y a n an ( p a k e t) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0,994 0,995 0,996 0,997 0,998 0,999 1 1,001

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam p e la y a n an ( p a k e t) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0,994 0,995 0,996 0,997 0,998 0,999 1 1,001

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam p e la y a n an ( p a k e t) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0,994 0,995 0,996 0,997 0,998 0,999 1 1,001

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a la m p e la y a n an ( p a k e t) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI

(62)

Pada Gambar 4.8 menunjukkan grafik perbandingan rata-rata jumlah paket dalam antrian secara simulasi dan teori. Dimana dapat dianalisis bahwa

0.35%, dan 0.35%.

4.3.6 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Sistem (Ls)

Data perbandingan rata-rata jumlah paket sistem (Ls) dibandingkan setiap utilisasi (ρ) = 0.5, 0.6, dan 0.7. Tabel 4.31 memperlihatkan perbandingan kinerja dari parameter tersebut.

Tabel 4.31 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Sistem (Ls) Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Sistem (Ls) No Jumlah

Paket ρ

M/M/1 M/D/1

Simulasi (s) Teori (s) Simulasi (s) Teori (s) 1

10000

0.5 0.912893 1 0.731027 0.75

2 0.6 1.231592 1.5 0.988531 1.05

3 0.7 1.619438 2.33 1.332704 1.516701

25000

0.5 0.914696 1 0.731852 0.75

5 0.6 1.235082 1.5 0.989165 1.05

6 0.7 1.623605 2.33 1.332914 1.516701

50000

0.5 0.914548 1 0.732655 0.75

8 0.6 1.233393 1.5 0.988126 1.05

(63)

(a)

(b)

(c)

Gambar 4.9 Grafik Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Sistem (Ls) (a) 10000 paket, (b) 25000 paket, (c) 50000 paket

0 0,5 1 1,5 2 2,5

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam si st em ( p a k et ) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0 0,5 1 1,5 2

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam si st em ( p a k et ) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0 0,5 1 1,5 2

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam si st em ( p a k et ) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0 0,5 1 1,5 2 2,5

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam si st em ( p a k et ) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI 0 0,5 1 1,5 2

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a lam si st em ( p a k et ) Utilisasi M/D/1 SIMULASI TEORI 0 0,5 1 1,5 2 2,5

0,5 0,6 0,7

R a ta -r at a ju m lah p a k e t d a la m si st em ( p a k et ) Utilisasi M/M/1 SIMULASI TEORI

(64)

Gambar 4.9 menunjukkan grafik perbandingan rata-rata jumlah paket dalam antrian secara simulasi dan teori. Dimana dapat dianalisis bahwa

13.9%, dan 28.7%

4. 4 Selang Kepercayaan (Confidence Interval)

Selang kepercayaan adalah sebuah interval antara dua nilai, dimana dipercaya nilai parameter sebuah populasi tereletak di dalam interval tersebut. Selang kepercayaan dinyatakan dalam level 95%. Pengambilan data simulasi diambil berulang kali dengan mengganti angka c dan Z0 pada pembangkitan bilangan acak, karena nilai a dan m sudah merupakan ketetapan. Selang kepercayaan 95% dicari untuk setiap parameter kinerja sistem antrian.

Untuk mendapatkan selang kepercayaan dari hasil simulasi, dilakukan pengambilan sampel data hasil simulasi berdasarkan syarat berikut:

1. Jumlah paket yang diamati = 10000 paket

2. Laju kedatangan rata-rata paket (λ) = 10000 paket/detik 3. Laju transaksi rata-rata paket (µ) = 20000 paket/detik 4. Kecepatan server = 1 Mbps

5. Penyesuaian pengali panjang paket untuk M/M/1 = 49.824 6. Penyesuaian pengali panjang paket untuk M/D/1 = 49.994

(65)

7. Pengambilan data simulasi sebanyak 3 kali, nilai c dan Z0 pada pengambilan pertama adalah 987657 dan 894573, pada pengambilan kedua adalah 997319 dan 837623, dan pada pengambilan ketiga adalah 977543 dan 873931.

Teknik estimasi rata-rata µ yang digunakan pada sampel tersebut adalah menggunakan t-interval, dimana nilai simpangan baku populasi tidak diketahui, sehingga rumus untuk selang kepercayaan sebesar (1-α ) 100% adalah :

�̅ − �(��;��₂) �

√� <µ < �̅ − �(��;��2) �

√� (4.1)

dimana : �̅ = rata rata sampel

n = banyaknya pengambilan sampel db = derajat bebas = n-1

s = standar deviasi = ��(�−�̅)2 (�−1)

Sehingga untuk selang kepercayaan 95 % dan 3 kali percobaan, rumus akan menjadi sebagai berikut ini :

95% = (1-α ) 100% , maka α = 0.05, n = 3, df = n-1 = 3-1 = 2; ��₂=0.025.

Nilai t-interval untuk selang kepercayaan 95% adalah 4.303 (didapatkan dari tabel t-student, ��₂=0.025 dan derajat bebas = 2).

Sehingga rumus menjadi :

�̅ −4.303 �

√� < µ < �̅+ 4.303 �

√� (4.2)

Tabel 4.32 menunjukkan hasil pengambilan hasil parameter sebanyak 3 kali untuk M/M/1 dan Tabel 4.32 untuk M/D/1

(66)

Tabel 4.32 Data Sampel untuk M/M/1

Sampel Wq (detik) E(t) (detik) Ws (detik) Lq (paket) L (paket) Ls (paket) 1 0.00004200 0.00005000 0.00009200 0.41468900 0.99640700 0.91289300 2 0.00003400 0.00005200 0.00008600 0.32710700 0.99638000 0.82533800 3 0.00004200 0.00005000 0.00009200 0.41674200 0.99630000 0.91496100

�̅ 0.00003933 0.00005067 0.00009000 0.38617933 0.99636233 0.88439733 s 0.00000462 0.00000115 0.00000346 0.05116844 0.00005564 0.05115733

Tabel 4.33 Data Sampel untuk M/D/1

Sampel Wq (detik) E(t) (detik) Ws (detik) Lq (paket) L (paket) Ls (paket) 1 0.00002300 0.00005000 0.00007300 0.23278400 0.99642800 0.73102700 2 0.00002400 0.00005000 0.00007400 0.23513600 0.99638500 0.71512200 3 0.00002300 0.00005000 0.00007300 0.23363200 0.99629500 0.73211600

�̅ 0.00002333 0.00005000 0.00007333 0.23385067 0.99636933 0.72608833 s 0.00000058 0.00000000 0.00000058 0.00119115 0.00006787 0.00951272

4.4.1 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Rata-rata Waktu dalam Antrian

a. M/M/1

Selang kepercayaan 95% untuk Wq adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

(67)

b. M/D/1

Selang kepercayaan 95% untuk Wq adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.00002333−4.3030.00000058

√3 <µWq< 0.00002333+ 4.303

0.00000058

√3

0_.00002158_<_µ

Wq< 0.00002509

4.4.2 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Rata-rata Waktu dalam Pelayanan

a. M/M/1

Selang kepercayaan 95% untuk E(t) adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.00005067−4.3030.00000115

√3 <µE(t)< 0.00005067+ 4.303

0.00000115

√3

0.00004780_<_µ

E(t)< 0.00005354

b. M/D/1

Selang kepercayaan 95% untuk E(t) adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.00005000−4.303 0

√3<µE(t)< 0.00005000+ 4.303 0

√3

0_.00005000_<_µ

(68)

4.4.3 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Rata-rata Waktu dalam Sistem

a. M/M/1

Selang kepercayaan 95% untuk Ws adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.00009000−4.3030.000003460

√3 <µWs< 0.00009000+ 4.303

0.000003460

√3

0.00008139_<_µ

Ws< 0.00009861

b. M/D/1

Selang kepercayaan 95% untuk Ws adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.00007333−4.3030.00000058

√3 <µWs< 0.00007333+ 4.303

0.00000058

√3

0_.00007158_<_µ

Ws< 0.00007509

4.4.4 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Jumlah Paket dalam Antrian

a. M/M/1

Selang kepercayaan 95% untuk Lq adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.38617933−4.3030.05116844

√3 <µ��< 0.38617933+ 4.303

0.05116844

(69)

b. M/D/1

Selang kepercayaan 95% untuk Lq adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.23385067−4.3030.00119115

√3 <µ��< 0.23385067−4.303

0.00119115

√3

0_.23022638_<_µ

��< 0.23747495

4.4.5 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Jumlah Paket dalam Pelayanan

a. M/M/1

Selang kepercayaan 95% untuk L adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.99636233−4.3030.00005564

√3 <µ�< 0.99636233+ 4.303

0.00005564

√3

0.99622409_<_µ

�< 0.99650057

b. M/D/1

Selang kepercayaan 95% untuk L adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.499636933−4.3030.01061208

√3 < µ�< 0.00006787+ 4.303

0.01061208

√3

0.99616283_<_µ

(70)

4.4.6 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Jumlah Paket dalam Sistem

a. M/M/1

Selang kepercayaan 95% untuk Ls adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.88439733−4.3030.05115733

√3 <µ��< 0.88439733+ 4.303

0.05115733

√3

0_.75730521_<_µ

��< 1.01148945

b. M/D/1

Selang kepercayaan 95% untuk L s adalah sebagai berikut

�̅ −4.303 �

√�< µ < �̅+ 4.303 � √�

0.72608833−4.3030.00951272

√3 <µ��< 0.72608833−4.303

0.00951272

√3

0.69714417_<_µ

(71)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil analisis yang dilakukan maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:

1. Untuk utilisasi 0.5, diperoleh hasil simulasi dan hasil teori : E(t) memiliki nilai yang sama, sementara Wq, Ws, Lq, L, dan Ls yang berbeda dari 0.34% sampai 12.3%.

2. Untuk utilisasi 0.6, diperoleh hasil simulasi dan hasil teori : E(t) memiliki nilai yang sama, sementara Wq, Ws, Lq, L, dan Ls yang berbeda dari 0.35% sampai 28.43%.

3. Untuk utilisasi 0.7, diperoleh hasil simulasi dan hasil teori : E(t) memiliki nilai yang sama, sementara Wq, Ws, Lq, L, dan Ls yang berbeda dari 0.35% sampai 52.5%.

4. Data-data yang diperoleh dari hasil simulasi dan hasil perhitungan teori menunjukkan nilai yang mendekati (tidak jauh berbeda) antara perbandingan kedua metode tersebut.

5. Grafik setiap parameter berdasarkan jumlah paket dan utilisasi (ρ)

menunjukkan bahwa hasil teori lebih besar dari hasil simulasi.

6. Semakin besar utilisasi (ρ) semakin besar juga perbedaan hasil kedua perhitungan.

(72)

5.2 Saran

Untuk pengembangan selanjutnya maka dapat dilakukan dengan pengambilan data-data secara nyata di kehidupan sehari hari untuk menghasilkan parameter-parameter kinerja sistem antrian tersebut.

(73)

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Umum

Antrian merupakan kejadian yang dapat dijumpai pada peristiwa-peristiwa yang terjadi di kehidupan yang sehari-hari. Antrian ini tidak lepas dengan adanya kegiatan menunggu karena di dalam antrian maka akan ada kegiatan menunggu, contohnya seperti antrian pada kasir supermarket, antrian pada loket bus, antrian pada pengisian BBM, antrian pada pembelian tiket bioskop dan peristiwa-peristiwa lainnya.

Fasilitas pelayanan yang tidak dapat mencukupi kebutuhan (overcapacity) yang ada akan menimbulkan adanya antrian. Untuk mengurangi peluang terjadinya antrian ini, maka dilakukan berbagai cara, salah satunya adalah dengan menambah fasilitas dari pelayanan. Penambahan fasilitas pelayanan cenderung akan mengurangi dari keuntungan. Namun jika fasilitas pelayanan tidak diperbaiki, maka kemungkinan pelanggan akan semakin berkurang. Oleh karena itu, perlu adanya pengkajian yang tepat terhadap parameter-parameter antrian sehingga dapat diambil keputusan yang tepat, dimana mendapatkan keuntungan di kedua pihak, yaitu penggunan dan penyedia fasilitas.

Salah satu antrian yang dapat ditemui sehari hari dalam bidang komunikasi adalah antrian yang terjadi pada jaringan packet switching. Packet switching merupakan suatu metode pengiriman atau penerimaan dengan melalui adanya proses pemecahan data kemudian dikirim menjadi beberapa bagian. Karena dipecah menjadi beberapa bagian, data yang dikirim tidak harus secara

(74)

seri melalui satu jalur tertentu saja, tetapi bisa secara paralel dengan memanfaatkan jalur koneksi lain yang tingkat kepadatannya tidak tinggi. Pada jalur atau simpul di ujung packet switching ini terjadi adanya antrian.

2.2 Sejarah Teori Antrian

Teori antrian dipelopori oleh A. K. Erlang yang merupakan seorang insinyur berkebangsaan Denmark, yang bekerja pada industri telepon. Adapun eksperimen yang ia teliti adalah tentang masalah fluktuasi permintaan terhadap fasilitas telepon dan pengaruhnya terhadap perangkat telepon yang otomatis (automatic dialing equipment). Hal ini akan mengakibatkan pada waktu yang sibuk, operator akan sangat kewalahan, yang menimbulkan terjadinya antrian yang cukup lama. Erlang menerbitkan bukunya yang berjudul Solution of Some Problems in Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exchange pada tahun 1917, setelah sebelumnya melakukan eksperimen dalam penghitungan keterlambatan (delay)dari seorang operator dan penghitungan kesibukan beberapa operator. Kemudian pada masa setelah Perang Dunia II, dilakukanlah eksperimen-eksperimen lain yang lebih luas untuk memecahkan persoalan-persoalan umum yang menyangkut masalah antrian[1].

2.3 Komponen Sistem Antrian

Komponen dasar dalam sistem antrian adalah kedatangan dan pelayanan. Proses ntrian merupakan proses dimana pelanggan atau konsumen masuk ke dalam sistem pelayanan dan akan mengalami antrian hingga pelanggan atau

(75)

konsumen tersebut dilayana dan akhirnya selesai dilayani. Komponen dasar proses antrian ada 3 yaitu[2]:

1. Sumber Kedatangan

Sumber kedatangan merupakan proses terjadinya kedatangan dari suatu peristiwa. Sumber kedatangan ini bersifat acak yang dan dalam periode waktu tertentu.

2. Pelayanan

Pelayanan merupakan tempat atau fasilitas yang akan menangani dari konsumen. Pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih fasilitas pelayanan di dalam suatu sistem antrian.

3. Antrian

Penentu antrian yaitu dari disiplin antrian, sifat kedatangan, dan proses pelayanan.

Komponen antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.1.

Gambar 2.1 Komponen Proses Antrian

2.4 Struktur Dasar Sistem Antrian

Pada umumnya, struktur dasar sistem antrian dikelompokkan kedalam empat model menurut sifat-sifat dan pelayanan, yaitu [2] :

SUMBER KEDATANGAN

(76)

1. Satu Saluran Satu Tahap

Satu saluran satu tahap (single channel single phase) adalah model antrian dimana hanya ada satu jalur dan hanya ada satu fasilitas pelayanan. Sistem antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.2.

Gambar 2.2 Satu Saluran Satu Tahap 2. Satu Saluran Banyak Tahap

Satu saluran banyak tahap (single channel multi phase) adalah model antrian dimana hanya ada satu jalur, namun beberapa pelayanan. Sistem antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.3.

Gambar 2.3 Satu Saluran Banyak Tahap 3. Banyak Saluran Satu Tahap

Banyak saluran dan satu tahap (multi channel single phase) adalah model antrian dimana terdapat banyak jalur, namun hanya satu pelayanan. Sistem antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.4.

(77)

4. Banyak Saluran Banyak Tahap

Banyak saluran banyak tahap (multichannel multi phase) adalah model antrian dimana terdapat banyak jalur dan banyak fasilitas pelayanan. Sistem antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.5.

Gambar 2.5 Banyak Saluran Banyak Tahap

2.5 Disiplin Sistem Antrian

Disiplin antrian adalah sebuah aturan untuk pelanggan dilayani atau disiplin pelayanan (service discipline) sebagai urutan daripada para pelanggan untuk ditangan dalam fasilitas pelayanan. Disiplin antrian berdasarkan urutan kedatangan ini dapat didasarkan pada[2] :

1. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO)

FIFO merupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal adalah pelanggan yang datang terlebih dahulu. Contohnya dapat dilihat pada antrian di loket karcis atau tiket.

2. Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO)

LIFO merupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal adalah yang datang paling akhir. Contohnya dapat dilihat pada sistem bongkar muat barang di dalam truk.

(78)

3. Service in Random Order (SIRO)

SIRO merupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal adalah acak atau tidak tergantung apapun. Contohnnya dapat dilihat pada arisan.

4. Priority Service (PS)

PSmerupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal adalah yang diprioritas khusus. Contohnya dapat dilihat pada pesta dengan tamu VIP.

5. Round Robin (RR)

RR merupakan disiplin antrian dimana untuk fasilitas pelayanan diberikan pada jangka waktu tertentu saja. Contohnya dapat dilihat pada sistem komputer yaitu parallel jobs.

2.6 Karakteristik Sistem Antrian

Dalam masalah teori dalam antrian, ada beberapa dasar asumsi tentang aspek khusus yang terdapat di dalamnya. Dalam model dasar teori antrian ini, asumsi-asumsi yang dibuat adalah[2]:

a. Sumber Populasi

Suatu populasi yang terbatas atau tidak terbatas bisa menjadi asal tempat pengantri yang datang ke suatu sistem. Jika tidak terdapat batas untuk jumlah pekerjaan yang boleh menunggu dalam suatu antrian, maka disebut dengan antrian tidak terbatas, sedangkan antrian yang terdapat batas didalamnya disebut dengan antrian yang terbatas.

(1)

4.3 Perbandingan Hasil Simulasi dan Hasil Teoritis ... 60

4.3.1 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Antrian (Wq) ... 60

4.3.2 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Pelayanan (E(t)) ... 62

4.3.3 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Sistem (Ws) ... 64

4.3.4 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Antrian (Lq) ... 66

4.3.5 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Pelayanan (L) ... 68

4.3.6 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Sistem (Ls) ... 70

4.4 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) ... 72

4.4.1 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Rata-rata Waktu dalam Antrian ... 74

4.4.2 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Rata-rata Waktu dalam Pelayanan ... 75

4.4.3 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Rata-rata Waktu dalam Sistem ... 76

4.4.4 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Jumlah Paket dalam Antrian ... 76

4.4.5 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Jumlah Paket dalam Pelayanan ... 77

4.4.6 Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95% untuk Jumlah Paket dalam ... 78

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 79

5.1 Kesimpulan ... 79

(2)

vii DAFTAR PUSTAKA

(3)

viii DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Komponen Proses Antrian ... 7

Gambar 2.2 Satu Saluran Satu Tahap ... 8

Gambar 2.3 Satu Saluran Banyak Tahap ... 8

Gambar 2.4 Banyak Saluran Satu Tahap ... 8

Gambar 2.5 Banyak Saluran Banyak Tahap ... 9

Gambar 2.6 Model Antrian Paket pada salah satu simpul Packet Switching... 14

Gambar 2.7 Jaringan Packet Switching ... 21

Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian Tugas Akhir ... 26

Gambar 3.2 Model Antrian Paket pada salah satu simpul Packet Switching... 27

Gambar 3.3 Diagram Alir Pembangkitan Nilai Acak Metode LCG ... 31

Gambar 3.4 Diagram Alir Waktu Kedatangan Paket ... 31

Gambar 3.5 Diagram Alir Waktu Transaksi Paket ... 32

Gambar 3.6 Diagram Alir Waktu Mulai Transaksi ... 33

Gambar 3.7 Diagram Alir Waktu Selesai Transaksi ... 33

Gambar 3.8 Diagram Alir Waktu Antri ... 34

Gambar 3.9 Diagram Alir Waktu di Dalam Sistem ... 35

Gambar 4.1 Tampilan Awal Simulasi M/M/1 ... 36

Gambar 4.2 Tampilan Awal Simulasi M/D/1 ... 37

Gambar 4.3 Tampilan Simulasi M/G/1 (a) M/M/1 (b) M/D/1 ... 43

Gambar 4.4 Grafik Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Antrian (Wq) (a) 10.000 paket, (b) 25.000 paket, (c) 50.000 paket ... 61

(4)

ix (a) 10.000 paket, (b) 25.000 paket, (c) 50.000 paket ... 63

Gambar 4.6 Grafik Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Sistem (Ws) (a) 10.000 paket, (b) 25.000 paket, (c) 50.000 paket ... 65

Gambar 4.7 Grafik Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Antrian (Lq) (a) 10.000 paket, (b) 25.000 paket, (c) 50.000 paket ... 67 Gambar 4.8 Grafik Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Pelayanan (L) (a) 10.000 paket, (b) 25.000 paket, (c) 50.000 paket ... 69

Gambar 4.9 Grafik Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Sistem (Ls) (a) 10.000 paket, (b) 25.000 paket, (c) 50.000 paket ... 71

(5)

x DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Nilai Bilangan Acak Metode LCG ... 37

Tabel 4.2 Waktu Kedatangan ... 38

Tabel 4.3 Waktu Transaksi ... 38

Tabel 4.4 Waktu Mulai ... 39

Tabel 4.5 Waktu Selesai ... 39

Tabel 4.6 Waktu Antri ... 40

Tabel 4.7 Waktu Dalam Sistem ... 41

Tabel 4.8 Hasil Simulasi 1 ... 44

Tabel 4.9 Hasil Simulasi 2 ... 45

Tabel 4.10 Hasil Simulasi 3 ... 46

Tabel 4.11 Hasil Simulasi 4 ... 47

Tabel 4.12 Hasil Simulasi 5 ... 48

Tabel 4.13 Hasil Simulasi 6 ... 49

Tabel 4.14 Hasil Simulasi 7 ... 50

Tabel 4.15 Hasil Simulasi 8 ... 51

Tabel 4.16 Hasil Simulasi 9 ... 52

Tabel 4.17 Hasil Teori 1... 55

Tabel 4.18 Hasil Teori 2... 56

Tabel 4.19 Hasil Teori 3... 56

Tabel 4.20 Hasil Teori 4... 57

Tabel 4.21 Hasil Teori 5... 57

(6)

Tabel 4.23 Hasil Teori 7... 58

Tabel 4.24 Hasil Teori 8... 59

Tabel 4.25 Hasil Teori 9... 59

Tabel 4.26 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Antrian (Wq) ... 60

Tabel 4.27 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam pelayanan (E(t) ... 62

Tabel 4.28 Perbandingan Rata-rata Waktu dalam Sistem (Ws) ... 64

Tabel 4.29 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Antrian (Lq) ... 66

Tabel 4.30 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Pelayanan (L) ... 68

Tabel 4.31 Perbandingan Rata-rata Jumlah Paket dalam Sistem (Ls) ... 70

Tabel 4.32 Data Sampel untuk M/M/1 ... 74

Analisis Kinerja Sistem Antrian M/G/1 pada Jaringan Packet Switching

{

=

= 0.5

=

= 0.6

=

= 0.7

=

= 0.5

=

= 0.6

=

= 0.7

=

= 0.5

=

= 0.6

=

= 0.7

=

= 0.000050 detik

=

= 0.000050 detik

=

= 0.000050 detik

=

= 2.5 x 10

=

= 0.00005 detik

=

= 0.000025 detik

Parts

Dokumen yang terkait

Analisis Kinerja Sistem Antrian M/M/1/N

Analisis Kinerja Sistem Antrian M G 1 pada Jaringan Packet Switching

Analisis Kinerja Sistem Antrian M G 1 pada Jaringan Packet Switching

Analisis Kinerja Sistem Antrian M G 1 pada Jaringan Packet Switching

Analisis Kinerja Sistem Antrian M G 1 pada Jaringan Packet Switching

Analisis Kinerja Sistem Antrian M G 1 pada Jaringan Packet Switching

Analisis Kinerja Sistem Antrian M G 1 pada Jaringan Packet Switching

Analisis Kinerja Sistem Antrian M M 1

Analisis Kinerja Sistem Antrian M M 1

Analisis Kinerja Sistem Antrian M M 1

Dokumen yang Anda mencari sudah siap untuk unduhkan