Analisis Kinerja Sistem Antrian M M 1
BAB II
TEORI ANTRIAN
2.1. Sejarah Teori Antrian
Teori tentang antrian ditemukan dan dikembangkan oleh seorang insinyur
Denmark yang bernama A.K.Erlang, yang bekerja pada perusahaan telepon di
Kopenhagen pada tahun 1910. Dimana Erlang melakukan eksperimen tentang
fluktuasi permintaan fasilitas telepon berhubungan dengan automatic dialling
equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis. Pada waktuwaktu yang sibuk operator sangat kewalahan dalam melayani para penelepon
secepatnya, sehingga para penelepon harus antri untuk menunggu giliran yang
mungkin cukup lama. Persoalan aslinya Erlang hanya memperlakukan
perhitungan keterlambatan (delay) dari seorang operator, lalu pada tahun 1917
Erlang melanjutkan penelitian untuk menghitung kesibukan beberapa operator.
Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang terkenal berjudul Solution of
Some Problems in the Theory of Probabilities of Significance in Automatic
Telephone Exhange. Setelah perang dunia kedua, hasil penelitian Erlang diperluas
penggunaannya antara lain dalam teori antrian[1].
2.2. Teori Antrian
Teori Antrian adalah salah satu teori untuk menganalisis sistem antrian.
Antrian timbul disebabkan oleh adanya kebutuhan layanan yang melebihi
kapasitas fasilitas layanan, sehingga pengguna fasilitas yang tiba tidak dapat
segera
dilayani
yang
disebabkan
adanya
kesibukan
layanan.
Untuk
Universitas Sumatera Utara
mempertahankan
pelanggan,
sebuah
perusahaan
selalu
berusaha
untuk
memberikan pelayanan yang terbaik. Pelayanan yang terbaik tersebut diantaranya
adalah memberikan pelayanan yang cepat sehingga pelanggan tidak dibiarkan
terlalu lama mengantri[1].
2.2.1. Komponen Sistem Antrian
Proses antrian yang terjadi sangat kompleks. Dalam sistem antrian
komponen dasar proses antrian adalah kedatangan dan pelayanan[2]. Gambar 2.2
merupakan proses dasar dalam suatu antrian.
Gambar 2.1 Proses Dasar Antrian
Proses suatu antrian merupakan proses yang meliputi dimana pelanggan
akan masuk dalam sistem kemudian akan mengalami antrian hingga pelanggan
akan dilayani dan akhirnya selesai dilayani oleh sistem. Komponen dasar proses
antrian ada 3 yaitu[2] :
1. Sumber Kedatangan
Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil atau
panggilan telepon untuk dilayani. Unsur ini sering disebut proses input. Proses
input meliputi sumber kedatangan (calling population) dan cara terjadinya
kedatangan yang umumnya proses random.
2. Pelayanan
Universitas Sumatera Utara
Pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan atau satu atau lebih
fasilitas pelayanan. Contohnya jalan tol memiiki beberapa pintu tol. Mekanisme
pelayanan dapat hanya terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan
yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop.
3. Antrian
Inti dari analisis antrian adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian
terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Jika tidak ada
antrian berarti terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas
pelayanan. Penentu antrian yang lain adalah disiplin antrian.
2.2.2. Disiplin Antrian
Disiplin antrian adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani
pengantri. Istilah disiplin antrian menyatakan metode atau suatu set aturan yang
digunakan untuk menentukan urutan pekerjaan yang akan dilayani. Dalam antrian
diasumsikan bahwa pekerjaan akan dilayani menurut “ First Come First Serve” ,
yaitu menurut urutan yang sama sebagaimana mereka datang dalam antrian.
Disiplin antrian adalah aturan di mana para pelanggan dilayani, atau disiplin
pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para pelanggan
menerima layanan. Ada 4 bentuk bentuk disiplin antrian menurut urutan
kedatangan antara lain adalah[3] :
1. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO), di mana
pelanggan yang terlebih dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu. Misalnya,
Universitas Sumatera Utara
antrian pada loket pembelian tiket bioskop, antrian pada loket pembelian tiket
kereta api.
2. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO), di mana
pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu. Misalnya,
sistem antrian pada elevator untuk lantai yang sama, sistem bongkar muat barang
dalam truk, pasien dalam kondisi kritis, walaupun dia datang paling akhir tetapi
dia akan dilayani terlebih dahulu.
3. Service In Random Order (SIRO) atau Random Selection for Service (RSS), di
mana panggilan didasarkan pada peluang secara random, jadi tidak menjadi
permasalahan siapa yang lebih dahulu datang. Misalnya, pada arisan di mana
penarikan berdasarkan nomor undian.
4. Priority Service (PS), di mana prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan
yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang
mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun mungkin yang dahulu tiba di
garis tunggu adalah yang terakhir datang[3].
2.2.3. Struktur Dasar Proses Antrian
Proses antrian pada umumnya dikelompokkan kedalam empat model
struktur dasar menurut sifat-sifat dan pelayanan, yaitu[3]:
1. Satu Saluran Satu Tahap (Single Channel – Single Phase)
Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki sistem
pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti hanya ada satu
fasilitas pelayanan. Satu saluran dan satu tahap adalah model antrian yang sangat
sederhana dimana terdapat satu sisi masuk dan satu sisi keluar. Contohnya yaitu
Universitas Sumatera Utara
pembelian tiket pada loket penjualan tiket theater. Gambar 2.2 memperlihatkan
sebuah sistem antrian satu saluran satu tahap.
Gambar 2.2 Satu saluran satu tahap
2. Satu Saluran Banyak Tahap (Single Channel – Multi Phase)
Satu saluran banyak tahap (single channel multi phase) adalah model
antrian yang mempunyai satu barisan pelayanan dan beberapa pelayanan. Gambar
2.3 memperlihatkan sebuah sistem antrian satu saluran banyak tahap.
Gambar 2.3 Satu saluran banyak tahap
Sistem antrian jalur tunggal dengan tahapan berganda ini menunjukkan
ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. Contoh model
antrian ini adalah dalam urutan suatu pekerjaan, mengurus izin usaha melalui
beberapa orang pejabat pemerintah.
3. Banyak Saluran Satu Tahap (Multi Channel – Single Phase)
Banyak saluran dan satu tahap adalah model antrian yang mempunyai
banyak barisan serta hanya satu pelayanan. Contohnya adalah antrian pada
Universitas Sumatera Utara
pelayanan potong rambut dimana terdapat lebih dari satu tukang potong rambut.
Gambar 2.4 memperlihatkan sebuah sistem antrian banyak saluran satu tahap.
Gambar 2.4 Banyak saluran satu tahap
4. Banyak Saluran Banyak Tahap (Multi Channel – Multi Phase) [3] .
Sistem Multi Channel – Multi Phase ini menunjukkan bahwa setiap sistem
mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap sehingga terdapat lebih
dari satu pelanggan yang dapat dilayani pada waktu bersamaan. Contoh pada
model ini adalah pada pelayanan registrasi ulang mahasiswa baru pada sebuah
universitas. Gambar 2.5 berikut ini memperlihatkan sebuah sistem antrian banyak
saluran banyak tahap.
Gambar 2.5 Banyak Saluran Banyak Tahap
2.2.4 Karakteristik Sistem Antrian
Universitas Sumatera Utara
Dari beberapa masalah penerapan teori antrian, perlu dibuat beberapan
dasar asumsi tentang aspek-aspek khusus disistem antrian. Dalam model dasar
teori antrian, asumsi-asumsi yang dibuat adalah:
1. Sumber Populasi
Pekerjaan atau pengantri yang datang ke suatu sistem dapat berasal dari suatu
populasi yang terbatas atau tidak terbatas. Bila jumlah pekerjaan tidak mempunyai
limit diperbolehkan menunggu dalam suatu antrian, maka ini disebut sebagai
antrian tidak terbatas sebaliknya antrian mempunyai limit disebut antrian yang
terbatas.
2. Pola Kedatangan
Cara yang umum dipakai untuk menggambarkan pola kedatangan adalah dengan
menggunakan waktu antar kedatangan yang didefenisikan sebagai interval antara
kedatangan yang didefenisikan sebagai interval antara kedatangan yang berurutan.
Bila kedatangan berubah-ubah secara stokastik, dibutuhkan pendefenisian fungsi
probabilitas antar waktu kedatangan. Untuk membahas pola kedatangan,
digunakan notasi sebagai berikut[3] :
tk = rata-rata waktu antar kedatangan
λ = tingkat kedatangan
Besaran besaran tersebut dihubungkan oleh rumus:
λ = 1/tk
(2.1)
Untuk menjelaskan pola kedatangan, seringkali distribusi dinyatakan
dalam probabilitas yang waktu antar kedatangan lebih besar dari waktu yang
diberikan. Dengan mendefenisikan Ao(t) sebagai distribusi kedatangan, maka Ao
adalah probabilitas yang waktu antar kedatangannya lebih besar dari t.
Universitas Sumatera Utara
Ao(t) = 1-F(t)
(2.2)
3. Pola Kedatangan Poisson
Kedatangan biasanya dikatakan terjadi secara acak. Artinya kedatangan dapat
terjadi setiap saat dan hanya dipengaruhi oleh kendala bahwa tingkat kedatangan
memiliki suatu nilai tertentu. Dengan kata lain, diasumsikan bahwa waktu
kedatangan berikutnya tidak tergantung pada kedatangan sebelumnya dan
terdistribusi dalam interval Δt. Jika λ merupakan jumlah kedatangan rata-rata
persatuan waktu, maka probabilitas waktu antar kedatangan[3] :
f(t) = λe-λta (t>0)
(2.3)
Dan distribusi kedatangannya adalah :
Ao(t) = e-λta
(2.4)
Angka λ merupakan kedatangan rata-rata persatuan waktu. Jumlah
kedatangan sebenarnya dalam periode waktu t merupakan variabel acak. Hal ini
dapat menunjukkan bahwa dengan distribusi waktu antar kedatangan, probabilitas
r kedatangan yang terjadi dalam periode waktu t diberikan oleh :
P(r)=(λt)r e−λt
r!
(n = 0,1,2,3,......)
(2.5)
Dimana :
r = banyaknya kedatangan
P(t) = Probabilitas r kedatangan
λ = Tingkat kedatangan rata-rata
e = Kedatangan natural 2,7/828
r! = r(r-1)(r-2)
2.3. Formulasi Antrian Satu Saluran
Suatu model antrian sederhana mempunyai karakteristik berikut[3] :
Universitas Sumatera Utara
1. Waktu datangnya pekerjaan dapat dinyatakan polanya sebagai distribusi
Poisson.
2. Waktu pelayanan dapat dinyatakan polanya sebagai distribusi exponential.
3. Fasilitas pelayan tunggal.
4. Disiplin antrian adalah First Come Fisrt Served Based .
5. Jumlah pelanggan (populasi) tak berhingga.
Dalam memecahkan masalah antrian yang sederhana formula –formula
yang diguanakan berdasarkan pada asumsi bahwa λ < π, yaitu tingkat pelayanan π
harus dapat melebihi tingkat kedatangan pengantri λ, dengan demikian semua
pengantri akan dapat dilayani. Jika tidak maka antrian akan semakin panjang
sehingga tidak ada solusi keseimbangan. Adapun karakteristik dari operasi sistem
yang ada adalah[3]:
1. Wq adalah rata –rata waktu antri untuk setiap orang
Wq =
λ
(2.6)
�(�−λ )
2. W adalah rata –rata lamanya seseorang diproses dalam sistem
W=
1
(2.7)
�−λ
3. Lq adalah rata –rata banyaknya pengantri dalam antrian
Lq =
λ²
(2.8)
�−λ
4. L adalah rata – rata banyaknya pengantri dalam sistem
L =
dimana ;
λ
(2.9)
�−λ
λ = jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu.
� = jumlah rata-rata yang dilayani per satuan waktu pada setiap jalur.
Universitas Sumatera Utara
2.4. Simulasi
Simulasi ialah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan
menggunakan model dari satu sistem nyata. Simulasi merupakan suatu model
pengambilan keputusan dengan mencontoh atau mempergunakan gambaran
sebenarnya dari suatu sistem kehidupan dunia nyata tanpa harus mengalaminya
pada keadaan yang sesungguhnya. Simulasi adalah suatu teknik yang dapat
digunakan untuk memformulasikan dan memecahkan model – model dari
golongan yang luas. Golongan atau kelas ini sangat luasnya sehingga dapat
dikatakan , “ Jika semua cara yang lain gagal, cobalah simulasi”. Khosnevis
mendefinisikan simulasi sebagai pendekatan eksperimental. Keterbatasan metode
analisis dalam mengatasi sistem dinamis yang kompleks membuat simulasi
sebagai alternatif yang baik[3]. Dalam menggunakan simulasi, pada umumnya
terdapat langkah pokok yang diperlukan. Ada 5 langkah pokok yang diperlukan
dalam menggunakan simulasi, yaitu :
1. Menentukan persoalan atau sistem yang hendak disimulasi.
2. Formulasikan model simulasi yang akan digukan
3. Ujilah model dan bandingkan tingkah lakunya dengan tingkah laku dari sistem
nyata, kemudian berlakukanlah model simulasi tersebut.
4. Rancang percobaan-percobaan simulasi.
5. Jalankan simulasi dan analisis data
2.5. Sistem Antrian M/M/1
Universitas Sumatera Utara
Salah satu model paling sederhana dalam sistem antrian adalah model
saluran tunggal ( single-channel model ) yang ditulis dengan notasi “sistem
M/M/1”. Sesuai dengan notasi Kendalnya, sistem M/M/1 menunjukkan sistem
antrian tersebut memiliki distribusi interarrival time dan distribusi service time
berbentuk distribusi eksponensial dan juga memiliki jumlah server = 1. Jika
dianggap bahwa sebuah ‘state’ adalah suatu ukuran suatu populasi, maka ia bisa
bertambah pada suatu waktu (birth) dengan satu anggota dari populasi tersebut
bisa berkurang satu (death). Dalam suatu sistem yang sesungguhnya sebuah
‘state’ bisa berupa : Jumlah paket didalam sebuah prosesor, jumlah panggilan
baru didalam sentral telepon, dan lain-lain[3].
Sistem antrian terdiri satu atau lebih pelayanan yang mana
penyediaan pelayanan tersebut digunakan untuk melayani bermacam-macam jenis
antar kedatangan pelanggan. Pelanggan yang datang jika mendapati keadaan
pelayanan (server) sedang sibuk (umumnya) maka pelanggan tersebut akan
bergabung dalam antrian dalam satu baris (one or more queues) dan yang terdekat
siap untuk masuk pada pelayanan berikutnya. Perlakuan yang seperti inilah yang
disebut Sistem Antrian. Sedangkan jika ketika masuk antrian pelanggan
mendapatkan kondisi pelayanan (serve) sedang kosong (idle) maka pelanggan
tersebut dapat langsung masuk untuk dilayani dan tidak perlu menungggu antri.
Tujuan dari teori antrian adalah meneliti kegiatan dari fasilitas pelayanan dalam
suatu kondisi random atau acak dari suatu sistem antrian yang terjadi, sehingga
didapat hasil kinerja dari fasilitas pelayanan dalam suatu sistem antrian[3]. Salah
satu model dari sistem antrian yang sederhana dapat dilihat pada Gambar 3.1.
Universitas Sumatera Utara
Kedatangan
Paket
Buffer
Server
Keberangkatan
Paket
Gambar 2.6 Model Antrian Pelayanan Tunggal
Pada Gambar 3.1 dapat dilihat sebuah model antrian pelayanan tunggal
(single server). Paket – paket tiba secara acak, kemudian paket antri di dalam
buffer sebelum dilayani oleh server. Setelah selesai dilayani, maka paket
meninggalkan sistem antrian.
2.6.
Notasi Sistem Antrian
Dalam suatu sistem antrian digunakan sebuah notasi untuk mengetahui ciri
dari suatu antrian. Notasi merupakan kombinasi proses kedatangan dengan
pelayanan. Pada umumnya notasi antrian ini dikenal sebagai notasi Kendall,
yaitu[7]:
(a/b/c):(d/e/f)
dimana simbol a,b,c,d,e, dan f ini merupakan unsur – unsur dasar dari model
sistem antrian. Penjelasan dari simbol – simbol ini adalah sebagai berikut:
a
= Distribusi kedatangan (Arrival Distribution)
b
= Distribusi
waktu
pelayanan
atau
keberangkatan
(Service
Time
Departure)
c
= Jumlah pelayan dalam paralel (dimana c = 1,2,3,…, ∞ )
d
= Disiplin Pelayanan
Universitas Sumatera Utara
e
= Jumlah maksimum yang diizinkan dalam sistem (Queue and
System)
f
= Jumlah paket yang ingin memasuki sistem sebagai sumber
Notasi standar ini dapat diganti dengan kode – kode yang sebenarnya dari
distribusi – distribusi yang terjadi dan bentuk – bentuk lainnya, seperti:
M
= Distribusi kedatangan atau keberangkatan dari proses Poisson.
Dapat
juga menggunakan distribusi eksponensial.
D
= Konstanta atau deterministic interarrival atau service time (waktu
pelayanan).
k
= Jumlah pelayanan dalam bentuk paralel atau seri.
N
= Jumlah maksimum paket dalam sistem.
Ed
= Distribusi Erlang atau Gamma untuk waktu antar kedatangan atau waktu
pelayanan denganparameter d.
G
= Distribusi umum dari service time atau keberangkatan (departure).
GI
= Distribusi umum yang independen dari proses kedatangan.
GD
= General Discipline (disiplin umum) dalam antrian.
NPD
= Non-Preemptive Discipline
PRD
= Preemptive Discipline
Contoh penerapan dari kode – kode ini adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
(M/M/k):(GD/ ∞ / ∞ )
Kode di atas berarti:
M
= Distribusi Poisson atau Eksponensial
M
= Distribusi yang sama untuk waktu pelayanan
k
= Jumlah server
GD
= General Discipline
∞
= Paket yang masuk dan sumber yang tak terhingga
2.7.
Pembangkit Bilangan Acak (Random Number Generator)
Pembangkit bilangan acak (Random Number Generator) adalah suatu
algoritma untuk dapat menghasilkan urutan-urutan atau squence dari angka-angka
sebagai hasil dari perhitungan dengan komputer yang diketahui distribusinya
sehingga angka-angka tersebut muncul secara random dan digunakan terus
menerus.
Yang dimaksud sequence disini adalah random number tersebut harus
dapat dihasilkan secara urut dalam jumlah yang mengikuti algoritma tertentu dan
sesuai dengan distribusi yang akan terjadi atau yang diinginkan. Sedangkan
pengertian
distribusi
berhubungan
dengan
distribusi
probabilitas
yang
dipergunakan untuk meninjau dalam penarikan random number tersebut.
Pengertian random disini menunjukkan algoritma tersebut akan menghasilkan
suatu angka yang akan berperan dalam pemunculan angka yang akan keluar dalam
proses dikomputer. Dengan kata lain suatu angka yang diperoleh merupakan
Universitas Sumatera Utara
angka penentu bagi angka random berikutnya. Walaupun random number ini
saling berkaitan namun angka-angka yang muncul dapat berlain-lainan[4].
2.7.1 Pengertian Bilangan Acak
Bilangan acak merupakan bilangan sembarang tetapi tidak sembarangan
yang tidak dapat diprediksi. Dasar pengembangan studi simulasi adalah
kemampuan untuk menghasilkan bilangan acak, dimana suatu bilangan acak
mewakili nilai suatu variabel acak yang didistribusikan secara seragam pada (0,1).
Bilangan acak semula dihasilkan secara manual atau mekanis dengan
menggunakan teknik seperti mesin pemintal, melempar dadu atau mengocok
kartu. Sementara pendekatan modern menggunakan komputer agar menghasilkan
bilangan acak. Jadi bilangan acak adalah barisan angka Ui ≤(0Ui ≤ 1), yang
dihasilkan dari suatu algoritma tertentu (algoritma ini disebut dengan pembangkit
bilangan acak atau random number generator)[4].
Dalam penentuan random number pada umumnya terdapat beberapa
sumber yang dipergunakan,antara lain :
a. Tabel Random Number
Tabel Random Number ini sudah banyak ditemukan mulai dari enam digit sampai
dengan dua belas digit.
b. Electronic Random Number
Electronic Random Number ini banyak juga dipergunakan dalam percobaan
penelitian.
c. Congruential Pseudo Random Number Generator. Random Number Generator
ini terdiri dari tiga bagian, yaitu :
Universitas Sumatera Utara
•
Additive (Arithmatic) Random Number Generator
•
Multiplicate Random Number Generator
•
Mixed Congruential Random Number Generator
2.7.2. Penyelesaian Random Number Generator
Beberapa pendekatan untuk menghasilkan bilangan acak antara lain
adalah:
1. Pembangkit Bilangan Acak Additive/Arithmatic RNG
Bentuk Rumus dari pembangkit bilangan acak Additive/Arithmatic RNG adalah
sebagai berikut[6]:
Dimana:
Zi = (a ∗ Zi + c)mod. m
(2.10)
Zi = Angka Random Number yang baru
Zi-1 = Angka random number yang lama / yang semula
c = Angka konstan yang bersyarat
m = Angka modulo
Bagi additive RNG ini diperlukan perhatian syarat-syaratnya sebagai berikut[6] :
a. Konstanta a harus lebih besar dari √�. Dan biasanya dinyatakan dengan syarat:
�
100
< � < � − √�
�
+
100
� > � > √�
b. Untuk konstanta c harus berangka ganjil apabila m bernilai pangkat dua. Tidak
boleh bernilai bekelipatan dari m.
Universitas Sumatera Utara
c. Untuk modulo m harus bilangan prima atau bilangan tidak terbagikan, sehingga
memudahkan dan memperlancar perhitungan-perhitungan didalam komputer
dapat berjalan dengan mudah dan lancar.
d. Untuk pertama Zo harus merupakan angka integer dan juga ganjil dan cukup
besar.
2. Pembangkit Bilangan Acak Multiplicate
Bentuk Rumus dari pembangkit bilangan acak Multiplicate adalah sebagai
berikut[6]:
Dimana :
Zi+1 = (a ∗ Zi)mod. m
(2.11)
Zi = Angka random number semula
Z i+1 = Angka random number yang baru
a>1;c=0;m>1
Syarat-syarat lainnya adalah sama dengan pembangkit bilangan acak
Additive. Dalam perumusan multiplicate ini terdapat tiga variabel yang
menentukan untuk nilai-nilai random number yang dapat diperoleh seterusnya
dengan tidak ada pengulangan pada angka-angkanya[6].
Dan untuk pemilihan nilai-nilai yang terbaik dijabarkan sebagai berikut:
a. Pemilihan nilai : m (modulo) merupakan satu angka integer yang cukup besar
dan merupakan satu kata (word) dari yang dipakai pada komputer.
b. Pemilihan konstanta multipler : a harus tepat. Pemilihan nilai a harus bilangan
prima terhadap m.a juga harus bilangan ganjil (odd number). Pemilihan yang
terbaik adalah dengan rumus a = 2 b/ 2 ± 3 yang lebih mendekat pada ketepatan.
Universitas Sumatera Utara
c. Pemilihan untuk Z 0 , yang dikenal dengan : Seed = Z0 mengharuskan relative
bilangan prima terhadap m. Hal ini dapat diperhatikan dengan mudah apabila
dicari untuk m adalah angka berpangkat 2 (dua) atau angka eksponen dari angka
2. Dengan demikian untuk Z 0 adalah setiap angka-angka yang ganjil (odd
number) seperti : I Seed = Z 0 = 12357. Dapat diambil sembarangan asalkan
bilangan ganjil, dan biasanya cukup besar.
d. Bilangan c yang dipilih harus bukan merupakan kelipatan dari m dan juga harus
bilangan ganjil.
3. Pembangkit Bilangan Acak Mixed Pseduo
Pseduo Random Number dapat dirumuskan dengan:
Z n =an Z 0 +
�� −1
�−1
C (mod.m)
(2.12)
Rumus Pseudo Random Number Generator diatas adalah dengan syarat
utama n harus sejumlah bilangan integer (bulat) dan lebih besar dari nol, rumus ini
dikenal juga dengan nama “linier Congruential R.N.G”. Namun apabila nilai c = 0
maka akan diperoleh rumus yang dikenal Multiplicative Congruen RNG. Rumus
Multiplicative ini cukup baik untuk masa-masa yang akan datang karena sedikit
sekali storage memori yang dibutuhkan[6].
Adapun beberapa kondisi syarat-syarat dari Mixed Congruential Generator
sebagai berikut :
1. c =
bilangan prima terhadap n yang berarti bahwa pembagi umum yang
terbesar dari c dan m adalah satu. Dan kondisi ini mudah dapat dicapai.
Universitas Sumatera Utara
�
2. a = 1 (mod.q) untuk setiap faktor prima q dari m yang berarti a – q ��� = 1.
�
Apabila k = ��� akan dapat diperoleh untuk a = 1 + qk. Dimana q adalah faktor
prima dari m.
3. a = 1 (mod 4) apabila 4 adalah suatu faktor dari m yang berarti a = 1 + 4k. Jika
m/4 adalah integer, maka m merupakan bilangan bulat dapat dibagi 4.
Kebanyakan bahasa komputer telah memiliki pembangkit bilangan acak
terpasang yang dapat dipanggil untuk membangkitkan bilangan acak. Sebagai
contoh, pascal menggunakan perintah RANDOMIZE. Hasil dari instruksi
randomize adalah permintaan bagi pemakai untuk memasukkan benih Xo[4].
Dalam problem sebelumnya, telah didapatkan nilai W , Wq, L, dan Lq dari
sebuah sistem antrian M/M/1, dengan penurunan rumus dan hubungannya dengan
μ dan λ. Namun, masih ada sebuah problem lagi yang perlu dicari
penyelesaiannya, yaitu bagaimana menghitung seberapa besar peluang sebuah
sistem antrian memiliki waktu total kurang dari sebuah nilai tertentu P(W ≤ t).
Untuk mencari peluang/probabilitas sebuah sistem memiliki waktu total
tertentu, dapat dilakukan dengan melakukan penelusuran dan perumusan dari
fungsi distribusi peluang yang digunakan oleh sistem tersebut. Dalam kasus ini
hanya akan dibahas mengenai probabilitasnya pada sistem antrian M/M/1 dimana
fasilitas layanan direpresentasikan dengan fungsi distribusi eksponensial, dan
kedatangan customer yang acak sesuai dengan distribusi Poisson[4].
2.8. Distribusi Poisson
Distribusi Poisson yang memiliki kaitan erat dengan distribusi
eksponensial sering digunakan pada simulasi yang berhubungan dengan
Universitas Sumatera Utara
kedatangan dan kepergian suatu peristiwa. Perlu diketahui bahwa jika waktu antar
kejadian berdistribusi eksponensial maka jumlah kejadian yang terjadi pada
selang waktu tertentu akan berdistribusi Poisson.
Proses Poisson adalah proses
kedatangan yang paling mendasar yang merupakan proses kedatangan acak yang
murni. Cara memandangnya adalah sebagai berikut. Anggap bahwa sumbu waktu
dibagi-bagi kedalam sejumlah segmen waktu yang kecil dengan lebar Δt.
Kemudian diambil probabilitas satu pelanggan tiba pada sebuah segmen (Δt),
dengan konstanta perbandingan λ yang mewakili rata-rata laju kedatangan,
maka[4] :
P ( tepatnya, kedatangan pada [t, t+ Δt] ) = λΔt
P ( tidak ada kedatangan pada [t, t+ Δt] ) = 1- λΔt
P ( lebih dari 1 kedatangan pada [t, t+ Δt] ) = 0
Selanjutnya dapat dibuat analogi antara proses kedatangan dengan
pelemparan koin. Anggap bahwa setiap segmen sama dengan satu pelemparan
koin dengan probabilitas kedatangan λ Δt (sebut sebagai kepala) dan 1- Δt adalah
probabilitas tidak ada kedatangan (sebut sebagai ekor). Bila Δt
0, dibentuk
proses poisson yang kontiniu. Dari analogi pelemparan koin kita dapat melihat
bahwa kedatangan adalah berdiri sendiri satu dengan yang lain, karena
kedatangan-kedatangan tersebut dapat dipandang semata-mata hanya hasil positif
dari sejumlah pelemparan koin yang sangat banyak. Dari proses Poisson ini
berkembang konsep random split (pemisahan acak) dan penggabungan dari proses
Poisson[4].
Universitas Sumatera Utara
2.8.1. Dasar-Dasar Proses Poisson
Berikut ini akan diturunkan persamaan differensial dari proses Poisson
dengan menggunakan argumen-argumen persamaan perbedaan dan menganggap
bahwa Δt
0. Ambil P n (t) = P ( # kedatangan = n pada waktu t) dan ambil bahwa
P i,j (Δt) adalah probabilitas berangkat dari i kedatangan menuju ke j kedatangan
didalam interval waktu Δt detik. Jumlah kedatangan adalah state dari sistem, yang
berisi semua informasi yang diperlukan untuk menjelaskan sistem secara
keseluruhan. Hal ini dapat dituliskan sebagi berikut[4] :
P n (t+Δt) = P n (t)pn,n ( Δt)+P n-1 (t)pn−1,n (Δt)
R
R
Persamaan diatas menyatakan bahwa pelanggan dapat tiba pada suatu
keadaan dengan n pelanggan pada waktu t+ Δt dari salah satu memiliki n
pelanggan pada waktu t, atau memiliki n-1 pelanggan pada waktu t. Gambar 3.1
memperlihatkan diagram transisi kondisi proses poisson.
λ
0
λ
1
2
λ
3
λ
4
λ
5
λ
Gambar 2.7 Diagram transisi proses poisson
Lingkaran mewakili state dari sistem (jumlah kedatangan). Dan laju
transisi λ adalah bersesuaian dengan tiap-tiap transisi. Selanjutnya diperlukan
persamaan khusus untuk state 0 untuk menyelesaikan persamaan differensial,
yaitu[4] :
P0 (t+ Δt) = P0 (t)P0,0 (Δt)
R
R
Jika dilakukan substitusi terhadap ekspresi sebelumnya untuk probabilitas
tepatnya satu kedatangan dan probabilitas tidak ada kedatangan di dalam interval
(t, t+ Δt), diperoleh :
Universitas Sumatera Utara
P n (t+ Δt) = P n (t) (1- λΔt) + P n-1 (t) (λΔt)
P0 (t+ Δt) = P0 (t) (1- λΔt)
Dengan mengalikan dan menyusun kembali ekspresi diatas diperoleh :
Pn (t + Δt)− Pn(t)
Δt
= −λ Pn (t + Δt) + λP n-1 (t)
P0 (t + Δt)− P0 (t)
Δt
R
= −λP0 (t)
Jika dianggap Δt
R
0 maka persamaan diatas menjadi persamaan differensial
berikut:
dpn (t)
dt
dpn (t)
dt
= -λP n (t) + λ P n-1 (t) ; n ≥ 1
= -λP 0 (t)
Yang ingin diperoleh dari persamaan differensial diatas adalah P n (t).
Sedangkan P0 (t) = e-λt, sehingga persamaan berikutnya dapat diperoleh :
dP1 (t)
dt
= -λP1 (t) + λe-λt
P 1 (t) = λte-λt
Persamaan berikutnya menjadi:
dP2 (t)
dt =
-λP 2 (t) + λ2 te-λt
P 2 (t) =
λ2 t2
2
e-λt
Bila dilanjutkan terus maka diperoleh rumus distribusi Poisson yaitu :
P n (t) =
(λt)n
n!
e-λt
P n (t) merupakan probabilitas terdapat n kedatangan didalam interval t
detik untuk suatu proses Poisson dengan laju kedatangan λ[4].
Universitas Sumatera Utara
2.8.2. Waktu Antar Kedatangan
Waktu diantara event-event yang berurutan didalam suatu proeses
kedatangan ( inter arrival times ). Untuk proses Poisson, waktu antar kedatangan
ini adalah variabel acak yang terdistribusi secara eksponensial yang berdiri
sendiri (independent). Untuk membuktikan bahwa hal ini benar, kita dapat
menulis probabilitas bahwa antar kedatangan ≤ t sebagai berikut[4] :
P (waktu antar kedatangan ≤ t) = 1-P (waktu antar kedatangan > t)
P (waktu antar kedatangan ≤ t) = 1-P 0 (t)
P (waktu antar kedatangan ≤ t) = 1- e-λt
Jika didifferensialkan maka diperoleh kerapatan waktu antar kedatangan
(t) = λe-λt. Pada sistem antrian M/M/1 dinyatakan bahwa laju kedatangan tidak
pernah lebih besar dari laju pelayanan.
2.9. Distribusi Eksponensial
Pada suatu sistem antrian M/M/1 waktu pelayanan adalah variabel acak
yang terdistribusi secara eksponensial yang berdiri sendiri (independent)[4].
Banyak masalah simulasi membutuhkan pemecahan dengan menggunakan
distribusi eksponensial, khususnya problem-problem yang melibatkan suatu
rentetan kedatangan dan kepergian, seperti simulasi antrian pada bank,
pembayaran di supermarket, airport dan lain-lain.
Fungsi umum untuk densitas peluang dari distribusi eksponensial adalah sebagai
berikut[5]:
1
f(x) = � e−(e−μ)/β dimana
x≥ �; � >0
(2.15)
Universitas Sumatera Utara
Dimana � adalah location parameter dan � adalah scale parameter (sering
dikenal sebagai λ yang sama dengan 1/ �). Kasus dimana � = 0 dan � = 1 disebut
sebagai standard eksponential distribution (distribusi eksponensial yang standar).
Berikut ini adalah persamaan dari standar distribusi eksponensial[5] :
f (x) = e –x , dimana
x≥0
(2.16)
Dan berikut ini adalah persamaan fungsi dari distrubusi eksponensial[5]:
f (x) = 1- e-x/β , dimana x ≥ 0 ; � > 0
(2.17)
Dimana :
� = rata-rata yang didekati dengan X
X = nilai tengah
e = bilangan napier= 2,7182818......
2.9.1. Waktu Pelayanan Eksponensial
Pada suatu sistem antrian M/M/1, waktu pelayanan adalah variabel acak
yang terdistribusi secara eksponensial yang berdiri sendiri (independent). Waktu
pelayanan terjadi sesuai dengan probabilitas density μe-μt dimana μ adalah ratarata waktu pelayanan dan
1
�
adalah rata-rata waktu pelayanan. Jenis pelayanan
(server) adalah tanpa ingatan (memory less). Pada dasarnya state space dari sistem
antrian M/M/1 adalah tak berhingga. Secara fisik dapat dikaitan bahwa sistem
antrian kemungkinan memiliki tempat antri yang tak berhingga[4].
Utilisasi (ρ) dari suatu sistem antrian probabilitas yaitu bahwa sistem
antrian tersebut tidak kosong. Kuantitas ρ dapat juga dipandang sebagai beban
yang ditawarkan, yaitu λ dapat berubah - ubah dari mendekati nol hingga
Universitas Sumatera Utara
mendekati � tetapi tidak lebih besar dari �. Jadi dapat berubah – ubah diantara 0
dan 1. Pada sistem antrian M/M/1, laju kedatangan tidak pernah lebih besar laju
pelayanan. Dengan kata lain, ρ tidak pernah lebih besar dari 1 karena ukuran
antrian menjadi bertambah hingga tak berhingga yang menyebabkan sistem
antrian tidak lagi didalam kondisi setimbang[4].
Nilai utilisasi (ρ) diperoleh dengan persamaan[4] :
λ
dimana : ρ = utilisasi
ρ=�
(2.18)
λ = laju kedatangan
� = laju perjalanan
Universitas Sumatera Utara
TEORI ANTRIAN
2.1. Sejarah Teori Antrian
Teori tentang antrian ditemukan dan dikembangkan oleh seorang insinyur
Denmark yang bernama A.K.Erlang, yang bekerja pada perusahaan telepon di
Kopenhagen pada tahun 1910. Dimana Erlang melakukan eksperimen tentang
fluktuasi permintaan fasilitas telepon berhubungan dengan automatic dialling
equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis. Pada waktuwaktu yang sibuk operator sangat kewalahan dalam melayani para penelepon
secepatnya, sehingga para penelepon harus antri untuk menunggu giliran yang
mungkin cukup lama. Persoalan aslinya Erlang hanya memperlakukan
perhitungan keterlambatan (delay) dari seorang operator, lalu pada tahun 1917
Erlang melanjutkan penelitian untuk menghitung kesibukan beberapa operator.
Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang terkenal berjudul Solution of
Some Problems in the Theory of Probabilities of Significance in Automatic
Telephone Exhange. Setelah perang dunia kedua, hasil penelitian Erlang diperluas
penggunaannya antara lain dalam teori antrian[1].
2.2. Teori Antrian
Teori Antrian adalah salah satu teori untuk menganalisis sistem antrian.
Antrian timbul disebabkan oleh adanya kebutuhan layanan yang melebihi
kapasitas fasilitas layanan, sehingga pengguna fasilitas yang tiba tidak dapat
segera
dilayani
yang
disebabkan
adanya
kesibukan
layanan.
Untuk
Universitas Sumatera Utara
mempertahankan
pelanggan,
sebuah
perusahaan
selalu
berusaha
untuk
memberikan pelayanan yang terbaik. Pelayanan yang terbaik tersebut diantaranya
adalah memberikan pelayanan yang cepat sehingga pelanggan tidak dibiarkan
terlalu lama mengantri[1].
2.2.1. Komponen Sistem Antrian
Proses antrian yang terjadi sangat kompleks. Dalam sistem antrian
komponen dasar proses antrian adalah kedatangan dan pelayanan[2]. Gambar 2.2
merupakan proses dasar dalam suatu antrian.
Gambar 2.1 Proses Dasar Antrian
Proses suatu antrian merupakan proses yang meliputi dimana pelanggan
akan masuk dalam sistem kemudian akan mengalami antrian hingga pelanggan
akan dilayani dan akhirnya selesai dilayani oleh sistem. Komponen dasar proses
antrian ada 3 yaitu[2] :
1. Sumber Kedatangan
Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil atau
panggilan telepon untuk dilayani. Unsur ini sering disebut proses input. Proses
input meliputi sumber kedatangan (calling population) dan cara terjadinya
kedatangan yang umumnya proses random.
2. Pelayanan
Universitas Sumatera Utara
Pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan atau satu atau lebih
fasilitas pelayanan. Contohnya jalan tol memiiki beberapa pintu tol. Mekanisme
pelayanan dapat hanya terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan
yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop.
3. Antrian
Inti dari analisis antrian adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian
terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Jika tidak ada
antrian berarti terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas
pelayanan. Penentu antrian yang lain adalah disiplin antrian.
2.2.2. Disiplin Antrian
Disiplin antrian adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani
pengantri. Istilah disiplin antrian menyatakan metode atau suatu set aturan yang
digunakan untuk menentukan urutan pekerjaan yang akan dilayani. Dalam antrian
diasumsikan bahwa pekerjaan akan dilayani menurut “ First Come First Serve” ,
yaitu menurut urutan yang sama sebagaimana mereka datang dalam antrian.
Disiplin antrian adalah aturan di mana para pelanggan dilayani, atau disiplin
pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para pelanggan
menerima layanan. Ada 4 bentuk bentuk disiplin antrian menurut urutan
kedatangan antara lain adalah[3] :
1. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO), di mana
pelanggan yang terlebih dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu. Misalnya,
Universitas Sumatera Utara
antrian pada loket pembelian tiket bioskop, antrian pada loket pembelian tiket
kereta api.
2. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO), di mana
pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu. Misalnya,
sistem antrian pada elevator untuk lantai yang sama, sistem bongkar muat barang
dalam truk, pasien dalam kondisi kritis, walaupun dia datang paling akhir tetapi
dia akan dilayani terlebih dahulu.
3. Service In Random Order (SIRO) atau Random Selection for Service (RSS), di
mana panggilan didasarkan pada peluang secara random, jadi tidak menjadi
permasalahan siapa yang lebih dahulu datang. Misalnya, pada arisan di mana
penarikan berdasarkan nomor undian.
4. Priority Service (PS), di mana prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan
yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang
mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun mungkin yang dahulu tiba di
garis tunggu adalah yang terakhir datang[3].
2.2.3. Struktur Dasar Proses Antrian
Proses antrian pada umumnya dikelompokkan kedalam empat model
struktur dasar menurut sifat-sifat dan pelayanan, yaitu[3]:
1. Satu Saluran Satu Tahap (Single Channel – Single Phase)
Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki sistem
pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti hanya ada satu
fasilitas pelayanan. Satu saluran dan satu tahap adalah model antrian yang sangat
sederhana dimana terdapat satu sisi masuk dan satu sisi keluar. Contohnya yaitu
Universitas Sumatera Utara
pembelian tiket pada loket penjualan tiket theater. Gambar 2.2 memperlihatkan
sebuah sistem antrian satu saluran satu tahap.
Gambar 2.2 Satu saluran satu tahap
2. Satu Saluran Banyak Tahap (Single Channel – Multi Phase)
Satu saluran banyak tahap (single channel multi phase) adalah model
antrian yang mempunyai satu barisan pelayanan dan beberapa pelayanan. Gambar
2.3 memperlihatkan sebuah sistem antrian satu saluran banyak tahap.
Gambar 2.3 Satu saluran banyak tahap
Sistem antrian jalur tunggal dengan tahapan berganda ini menunjukkan
ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. Contoh model
antrian ini adalah dalam urutan suatu pekerjaan, mengurus izin usaha melalui
beberapa orang pejabat pemerintah.
3. Banyak Saluran Satu Tahap (Multi Channel – Single Phase)
Banyak saluran dan satu tahap adalah model antrian yang mempunyai
banyak barisan serta hanya satu pelayanan. Contohnya adalah antrian pada
Universitas Sumatera Utara
pelayanan potong rambut dimana terdapat lebih dari satu tukang potong rambut.
Gambar 2.4 memperlihatkan sebuah sistem antrian banyak saluran satu tahap.
Gambar 2.4 Banyak saluran satu tahap
4. Banyak Saluran Banyak Tahap (Multi Channel – Multi Phase) [3] .
Sistem Multi Channel – Multi Phase ini menunjukkan bahwa setiap sistem
mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap sehingga terdapat lebih
dari satu pelanggan yang dapat dilayani pada waktu bersamaan. Contoh pada
model ini adalah pada pelayanan registrasi ulang mahasiswa baru pada sebuah
universitas. Gambar 2.5 berikut ini memperlihatkan sebuah sistem antrian banyak
saluran banyak tahap.
Gambar 2.5 Banyak Saluran Banyak Tahap
2.2.4 Karakteristik Sistem Antrian
Universitas Sumatera Utara
Dari beberapa masalah penerapan teori antrian, perlu dibuat beberapan
dasar asumsi tentang aspek-aspek khusus disistem antrian. Dalam model dasar
teori antrian, asumsi-asumsi yang dibuat adalah:
1. Sumber Populasi
Pekerjaan atau pengantri yang datang ke suatu sistem dapat berasal dari suatu
populasi yang terbatas atau tidak terbatas. Bila jumlah pekerjaan tidak mempunyai
limit diperbolehkan menunggu dalam suatu antrian, maka ini disebut sebagai
antrian tidak terbatas sebaliknya antrian mempunyai limit disebut antrian yang
terbatas.
2. Pola Kedatangan
Cara yang umum dipakai untuk menggambarkan pola kedatangan adalah dengan
menggunakan waktu antar kedatangan yang didefenisikan sebagai interval antara
kedatangan yang didefenisikan sebagai interval antara kedatangan yang berurutan.
Bila kedatangan berubah-ubah secara stokastik, dibutuhkan pendefenisian fungsi
probabilitas antar waktu kedatangan. Untuk membahas pola kedatangan,
digunakan notasi sebagai berikut[3] :
tk = rata-rata waktu antar kedatangan
λ = tingkat kedatangan
Besaran besaran tersebut dihubungkan oleh rumus:
λ = 1/tk
(2.1)
Untuk menjelaskan pola kedatangan, seringkali distribusi dinyatakan
dalam probabilitas yang waktu antar kedatangan lebih besar dari waktu yang
diberikan. Dengan mendefenisikan Ao(t) sebagai distribusi kedatangan, maka Ao
adalah probabilitas yang waktu antar kedatangannya lebih besar dari t.
Universitas Sumatera Utara
Ao(t) = 1-F(t)
(2.2)
3. Pola Kedatangan Poisson
Kedatangan biasanya dikatakan terjadi secara acak. Artinya kedatangan dapat
terjadi setiap saat dan hanya dipengaruhi oleh kendala bahwa tingkat kedatangan
memiliki suatu nilai tertentu. Dengan kata lain, diasumsikan bahwa waktu
kedatangan berikutnya tidak tergantung pada kedatangan sebelumnya dan
terdistribusi dalam interval Δt. Jika λ merupakan jumlah kedatangan rata-rata
persatuan waktu, maka probabilitas waktu antar kedatangan[3] :
f(t) = λe-λta (t>0)
(2.3)
Dan distribusi kedatangannya adalah :
Ao(t) = e-λta
(2.4)
Angka λ merupakan kedatangan rata-rata persatuan waktu. Jumlah
kedatangan sebenarnya dalam periode waktu t merupakan variabel acak. Hal ini
dapat menunjukkan bahwa dengan distribusi waktu antar kedatangan, probabilitas
r kedatangan yang terjadi dalam periode waktu t diberikan oleh :
P(r)=(λt)r e−λt
r!
(n = 0,1,2,3,......)
(2.5)
Dimana :
r = banyaknya kedatangan
P(t) = Probabilitas r kedatangan
λ = Tingkat kedatangan rata-rata
e = Kedatangan natural 2,7/828
r! = r(r-1)(r-2)
2.3. Formulasi Antrian Satu Saluran
Suatu model antrian sederhana mempunyai karakteristik berikut[3] :
Universitas Sumatera Utara
1. Waktu datangnya pekerjaan dapat dinyatakan polanya sebagai distribusi
Poisson.
2. Waktu pelayanan dapat dinyatakan polanya sebagai distribusi exponential.
3. Fasilitas pelayan tunggal.
4. Disiplin antrian adalah First Come Fisrt Served Based .
5. Jumlah pelanggan (populasi) tak berhingga.
Dalam memecahkan masalah antrian yang sederhana formula –formula
yang diguanakan berdasarkan pada asumsi bahwa λ < π, yaitu tingkat pelayanan π
harus dapat melebihi tingkat kedatangan pengantri λ, dengan demikian semua
pengantri akan dapat dilayani. Jika tidak maka antrian akan semakin panjang
sehingga tidak ada solusi keseimbangan. Adapun karakteristik dari operasi sistem
yang ada adalah[3]:
1. Wq adalah rata –rata waktu antri untuk setiap orang
Wq =
λ
(2.6)
�(�−λ )
2. W adalah rata –rata lamanya seseorang diproses dalam sistem
W=
1
(2.7)
�−λ
3. Lq adalah rata –rata banyaknya pengantri dalam antrian
Lq =
λ²
(2.8)
�−λ
4. L adalah rata – rata banyaknya pengantri dalam sistem
L =
dimana ;
λ
(2.9)
�−λ
λ = jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu.
� = jumlah rata-rata yang dilayani per satuan waktu pada setiap jalur.
Universitas Sumatera Utara
2.4. Simulasi
Simulasi ialah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan
menggunakan model dari satu sistem nyata. Simulasi merupakan suatu model
pengambilan keputusan dengan mencontoh atau mempergunakan gambaran
sebenarnya dari suatu sistem kehidupan dunia nyata tanpa harus mengalaminya
pada keadaan yang sesungguhnya. Simulasi adalah suatu teknik yang dapat
digunakan untuk memformulasikan dan memecahkan model – model dari
golongan yang luas. Golongan atau kelas ini sangat luasnya sehingga dapat
dikatakan , “ Jika semua cara yang lain gagal, cobalah simulasi”. Khosnevis
mendefinisikan simulasi sebagai pendekatan eksperimental. Keterbatasan metode
analisis dalam mengatasi sistem dinamis yang kompleks membuat simulasi
sebagai alternatif yang baik[3]. Dalam menggunakan simulasi, pada umumnya
terdapat langkah pokok yang diperlukan. Ada 5 langkah pokok yang diperlukan
dalam menggunakan simulasi, yaitu :
1. Menentukan persoalan atau sistem yang hendak disimulasi.
2. Formulasikan model simulasi yang akan digukan
3. Ujilah model dan bandingkan tingkah lakunya dengan tingkah laku dari sistem
nyata, kemudian berlakukanlah model simulasi tersebut.
4. Rancang percobaan-percobaan simulasi.
5. Jalankan simulasi dan analisis data
2.5. Sistem Antrian M/M/1
Universitas Sumatera Utara
Salah satu model paling sederhana dalam sistem antrian adalah model
saluran tunggal ( single-channel model ) yang ditulis dengan notasi “sistem
M/M/1”. Sesuai dengan notasi Kendalnya, sistem M/M/1 menunjukkan sistem
antrian tersebut memiliki distribusi interarrival time dan distribusi service time
berbentuk distribusi eksponensial dan juga memiliki jumlah server = 1. Jika
dianggap bahwa sebuah ‘state’ adalah suatu ukuran suatu populasi, maka ia bisa
bertambah pada suatu waktu (birth) dengan satu anggota dari populasi tersebut
bisa berkurang satu (death). Dalam suatu sistem yang sesungguhnya sebuah
‘state’ bisa berupa : Jumlah paket didalam sebuah prosesor, jumlah panggilan
baru didalam sentral telepon, dan lain-lain[3].
Sistem antrian terdiri satu atau lebih pelayanan yang mana
penyediaan pelayanan tersebut digunakan untuk melayani bermacam-macam jenis
antar kedatangan pelanggan. Pelanggan yang datang jika mendapati keadaan
pelayanan (server) sedang sibuk (umumnya) maka pelanggan tersebut akan
bergabung dalam antrian dalam satu baris (one or more queues) dan yang terdekat
siap untuk masuk pada pelayanan berikutnya. Perlakuan yang seperti inilah yang
disebut Sistem Antrian. Sedangkan jika ketika masuk antrian pelanggan
mendapatkan kondisi pelayanan (serve) sedang kosong (idle) maka pelanggan
tersebut dapat langsung masuk untuk dilayani dan tidak perlu menungggu antri.
Tujuan dari teori antrian adalah meneliti kegiatan dari fasilitas pelayanan dalam
suatu kondisi random atau acak dari suatu sistem antrian yang terjadi, sehingga
didapat hasil kinerja dari fasilitas pelayanan dalam suatu sistem antrian[3]. Salah
satu model dari sistem antrian yang sederhana dapat dilihat pada Gambar 3.1.
Universitas Sumatera Utara
Kedatangan
Paket
Buffer
Server
Keberangkatan
Paket
Gambar 2.6 Model Antrian Pelayanan Tunggal
Pada Gambar 3.1 dapat dilihat sebuah model antrian pelayanan tunggal
(single server). Paket – paket tiba secara acak, kemudian paket antri di dalam
buffer sebelum dilayani oleh server. Setelah selesai dilayani, maka paket
meninggalkan sistem antrian.
2.6.
Notasi Sistem Antrian
Dalam suatu sistem antrian digunakan sebuah notasi untuk mengetahui ciri
dari suatu antrian. Notasi merupakan kombinasi proses kedatangan dengan
pelayanan. Pada umumnya notasi antrian ini dikenal sebagai notasi Kendall,
yaitu[7]:
(a/b/c):(d/e/f)
dimana simbol a,b,c,d,e, dan f ini merupakan unsur – unsur dasar dari model
sistem antrian. Penjelasan dari simbol – simbol ini adalah sebagai berikut:
a
= Distribusi kedatangan (Arrival Distribution)
b
= Distribusi
waktu
pelayanan
atau
keberangkatan
(Service
Time
Departure)
c
= Jumlah pelayan dalam paralel (dimana c = 1,2,3,…, ∞ )
d
= Disiplin Pelayanan
Universitas Sumatera Utara
e
= Jumlah maksimum yang diizinkan dalam sistem (Queue and
System)
f
= Jumlah paket yang ingin memasuki sistem sebagai sumber
Notasi standar ini dapat diganti dengan kode – kode yang sebenarnya dari
distribusi – distribusi yang terjadi dan bentuk – bentuk lainnya, seperti:
M
= Distribusi kedatangan atau keberangkatan dari proses Poisson.
Dapat
juga menggunakan distribusi eksponensial.
D
= Konstanta atau deterministic interarrival atau service time (waktu
pelayanan).
k
= Jumlah pelayanan dalam bentuk paralel atau seri.
N
= Jumlah maksimum paket dalam sistem.
Ed
= Distribusi Erlang atau Gamma untuk waktu antar kedatangan atau waktu
pelayanan denganparameter d.
G
= Distribusi umum dari service time atau keberangkatan (departure).
GI
= Distribusi umum yang independen dari proses kedatangan.
GD
= General Discipline (disiplin umum) dalam antrian.
NPD
= Non-Preemptive Discipline
PRD
= Preemptive Discipline
Contoh penerapan dari kode – kode ini adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
(M/M/k):(GD/ ∞ / ∞ )
Kode di atas berarti:
M
= Distribusi Poisson atau Eksponensial
M
= Distribusi yang sama untuk waktu pelayanan
k
= Jumlah server
GD
= General Discipline
∞
= Paket yang masuk dan sumber yang tak terhingga
2.7.
Pembangkit Bilangan Acak (Random Number Generator)
Pembangkit bilangan acak (Random Number Generator) adalah suatu
algoritma untuk dapat menghasilkan urutan-urutan atau squence dari angka-angka
sebagai hasil dari perhitungan dengan komputer yang diketahui distribusinya
sehingga angka-angka tersebut muncul secara random dan digunakan terus
menerus.
Yang dimaksud sequence disini adalah random number tersebut harus
dapat dihasilkan secara urut dalam jumlah yang mengikuti algoritma tertentu dan
sesuai dengan distribusi yang akan terjadi atau yang diinginkan. Sedangkan
pengertian
distribusi
berhubungan
dengan
distribusi
probabilitas
yang
dipergunakan untuk meninjau dalam penarikan random number tersebut.
Pengertian random disini menunjukkan algoritma tersebut akan menghasilkan
suatu angka yang akan berperan dalam pemunculan angka yang akan keluar dalam
proses dikomputer. Dengan kata lain suatu angka yang diperoleh merupakan
Universitas Sumatera Utara
angka penentu bagi angka random berikutnya. Walaupun random number ini
saling berkaitan namun angka-angka yang muncul dapat berlain-lainan[4].
2.7.1 Pengertian Bilangan Acak
Bilangan acak merupakan bilangan sembarang tetapi tidak sembarangan
yang tidak dapat diprediksi. Dasar pengembangan studi simulasi adalah
kemampuan untuk menghasilkan bilangan acak, dimana suatu bilangan acak
mewakili nilai suatu variabel acak yang didistribusikan secara seragam pada (0,1).
Bilangan acak semula dihasilkan secara manual atau mekanis dengan
menggunakan teknik seperti mesin pemintal, melempar dadu atau mengocok
kartu. Sementara pendekatan modern menggunakan komputer agar menghasilkan
bilangan acak. Jadi bilangan acak adalah barisan angka Ui ≤(0Ui ≤ 1), yang
dihasilkan dari suatu algoritma tertentu (algoritma ini disebut dengan pembangkit
bilangan acak atau random number generator)[4].
Dalam penentuan random number pada umumnya terdapat beberapa
sumber yang dipergunakan,antara lain :
a. Tabel Random Number
Tabel Random Number ini sudah banyak ditemukan mulai dari enam digit sampai
dengan dua belas digit.
b. Electronic Random Number
Electronic Random Number ini banyak juga dipergunakan dalam percobaan
penelitian.
c. Congruential Pseudo Random Number Generator. Random Number Generator
ini terdiri dari tiga bagian, yaitu :
Universitas Sumatera Utara
•
Additive (Arithmatic) Random Number Generator
•
Multiplicate Random Number Generator
•
Mixed Congruential Random Number Generator
2.7.2. Penyelesaian Random Number Generator
Beberapa pendekatan untuk menghasilkan bilangan acak antara lain
adalah:
1. Pembangkit Bilangan Acak Additive/Arithmatic RNG
Bentuk Rumus dari pembangkit bilangan acak Additive/Arithmatic RNG adalah
sebagai berikut[6]:
Dimana:
Zi = (a ∗ Zi + c)mod. m
(2.10)
Zi = Angka Random Number yang baru
Zi-1 = Angka random number yang lama / yang semula
c = Angka konstan yang bersyarat
m = Angka modulo
Bagi additive RNG ini diperlukan perhatian syarat-syaratnya sebagai berikut[6] :
a. Konstanta a harus lebih besar dari √�. Dan biasanya dinyatakan dengan syarat:
�
100
< � < � − √�
�
+
100
� > � > √�
b. Untuk konstanta c harus berangka ganjil apabila m bernilai pangkat dua. Tidak
boleh bernilai bekelipatan dari m.
Universitas Sumatera Utara
c. Untuk modulo m harus bilangan prima atau bilangan tidak terbagikan, sehingga
memudahkan dan memperlancar perhitungan-perhitungan didalam komputer
dapat berjalan dengan mudah dan lancar.
d. Untuk pertama Zo harus merupakan angka integer dan juga ganjil dan cukup
besar.
2. Pembangkit Bilangan Acak Multiplicate
Bentuk Rumus dari pembangkit bilangan acak Multiplicate adalah sebagai
berikut[6]:
Dimana :
Zi+1 = (a ∗ Zi)mod. m
(2.11)
Zi = Angka random number semula
Z i+1 = Angka random number yang baru
a>1;c=0;m>1
Syarat-syarat lainnya adalah sama dengan pembangkit bilangan acak
Additive. Dalam perumusan multiplicate ini terdapat tiga variabel yang
menentukan untuk nilai-nilai random number yang dapat diperoleh seterusnya
dengan tidak ada pengulangan pada angka-angkanya[6].
Dan untuk pemilihan nilai-nilai yang terbaik dijabarkan sebagai berikut:
a. Pemilihan nilai : m (modulo) merupakan satu angka integer yang cukup besar
dan merupakan satu kata (word) dari yang dipakai pada komputer.
b. Pemilihan konstanta multipler : a harus tepat. Pemilihan nilai a harus bilangan
prima terhadap m.a juga harus bilangan ganjil (odd number). Pemilihan yang
terbaik adalah dengan rumus a = 2 b/ 2 ± 3 yang lebih mendekat pada ketepatan.
Universitas Sumatera Utara
c. Pemilihan untuk Z 0 , yang dikenal dengan : Seed = Z0 mengharuskan relative
bilangan prima terhadap m. Hal ini dapat diperhatikan dengan mudah apabila
dicari untuk m adalah angka berpangkat 2 (dua) atau angka eksponen dari angka
2. Dengan demikian untuk Z 0 adalah setiap angka-angka yang ganjil (odd
number) seperti : I Seed = Z 0 = 12357. Dapat diambil sembarangan asalkan
bilangan ganjil, dan biasanya cukup besar.
d. Bilangan c yang dipilih harus bukan merupakan kelipatan dari m dan juga harus
bilangan ganjil.
3. Pembangkit Bilangan Acak Mixed Pseduo
Pseduo Random Number dapat dirumuskan dengan:
Z n =an Z 0 +
�� −1
�−1
C (mod.m)
(2.12)
Rumus Pseudo Random Number Generator diatas adalah dengan syarat
utama n harus sejumlah bilangan integer (bulat) dan lebih besar dari nol, rumus ini
dikenal juga dengan nama “linier Congruential R.N.G”. Namun apabila nilai c = 0
maka akan diperoleh rumus yang dikenal Multiplicative Congruen RNG. Rumus
Multiplicative ini cukup baik untuk masa-masa yang akan datang karena sedikit
sekali storage memori yang dibutuhkan[6].
Adapun beberapa kondisi syarat-syarat dari Mixed Congruential Generator
sebagai berikut :
1. c =
bilangan prima terhadap n yang berarti bahwa pembagi umum yang
terbesar dari c dan m adalah satu. Dan kondisi ini mudah dapat dicapai.
Universitas Sumatera Utara
�
2. a = 1 (mod.q) untuk setiap faktor prima q dari m yang berarti a – q ��� = 1.
�
Apabila k = ��� akan dapat diperoleh untuk a = 1 + qk. Dimana q adalah faktor
prima dari m.
3. a = 1 (mod 4) apabila 4 adalah suatu faktor dari m yang berarti a = 1 + 4k. Jika
m/4 adalah integer, maka m merupakan bilangan bulat dapat dibagi 4.
Kebanyakan bahasa komputer telah memiliki pembangkit bilangan acak
terpasang yang dapat dipanggil untuk membangkitkan bilangan acak. Sebagai
contoh, pascal menggunakan perintah RANDOMIZE. Hasil dari instruksi
randomize adalah permintaan bagi pemakai untuk memasukkan benih Xo[4].
Dalam problem sebelumnya, telah didapatkan nilai W , Wq, L, dan Lq dari
sebuah sistem antrian M/M/1, dengan penurunan rumus dan hubungannya dengan
μ dan λ. Namun, masih ada sebuah problem lagi yang perlu dicari
penyelesaiannya, yaitu bagaimana menghitung seberapa besar peluang sebuah
sistem antrian memiliki waktu total kurang dari sebuah nilai tertentu P(W ≤ t).
Untuk mencari peluang/probabilitas sebuah sistem memiliki waktu total
tertentu, dapat dilakukan dengan melakukan penelusuran dan perumusan dari
fungsi distribusi peluang yang digunakan oleh sistem tersebut. Dalam kasus ini
hanya akan dibahas mengenai probabilitasnya pada sistem antrian M/M/1 dimana
fasilitas layanan direpresentasikan dengan fungsi distribusi eksponensial, dan
kedatangan customer yang acak sesuai dengan distribusi Poisson[4].
2.8. Distribusi Poisson
Distribusi Poisson yang memiliki kaitan erat dengan distribusi
eksponensial sering digunakan pada simulasi yang berhubungan dengan
Universitas Sumatera Utara
kedatangan dan kepergian suatu peristiwa. Perlu diketahui bahwa jika waktu antar
kejadian berdistribusi eksponensial maka jumlah kejadian yang terjadi pada
selang waktu tertentu akan berdistribusi Poisson.
Proses Poisson adalah proses
kedatangan yang paling mendasar yang merupakan proses kedatangan acak yang
murni. Cara memandangnya adalah sebagai berikut. Anggap bahwa sumbu waktu
dibagi-bagi kedalam sejumlah segmen waktu yang kecil dengan lebar Δt.
Kemudian diambil probabilitas satu pelanggan tiba pada sebuah segmen (Δt),
dengan konstanta perbandingan λ yang mewakili rata-rata laju kedatangan,
maka[4] :
P ( tepatnya, kedatangan pada [t, t+ Δt] ) = λΔt
P ( tidak ada kedatangan pada [t, t+ Δt] ) = 1- λΔt
P ( lebih dari 1 kedatangan pada [t, t+ Δt] ) = 0
Selanjutnya dapat dibuat analogi antara proses kedatangan dengan
pelemparan koin. Anggap bahwa setiap segmen sama dengan satu pelemparan
koin dengan probabilitas kedatangan λ Δt (sebut sebagai kepala) dan 1- Δt adalah
probabilitas tidak ada kedatangan (sebut sebagai ekor). Bila Δt
0, dibentuk
proses poisson yang kontiniu. Dari analogi pelemparan koin kita dapat melihat
bahwa kedatangan adalah berdiri sendiri satu dengan yang lain, karena
kedatangan-kedatangan tersebut dapat dipandang semata-mata hanya hasil positif
dari sejumlah pelemparan koin yang sangat banyak. Dari proses Poisson ini
berkembang konsep random split (pemisahan acak) dan penggabungan dari proses
Poisson[4].
Universitas Sumatera Utara
2.8.1. Dasar-Dasar Proses Poisson
Berikut ini akan diturunkan persamaan differensial dari proses Poisson
dengan menggunakan argumen-argumen persamaan perbedaan dan menganggap
bahwa Δt
0. Ambil P n (t) = P ( # kedatangan = n pada waktu t) dan ambil bahwa
P i,j (Δt) adalah probabilitas berangkat dari i kedatangan menuju ke j kedatangan
didalam interval waktu Δt detik. Jumlah kedatangan adalah state dari sistem, yang
berisi semua informasi yang diperlukan untuk menjelaskan sistem secara
keseluruhan. Hal ini dapat dituliskan sebagi berikut[4] :
P n (t+Δt) = P n (t)pn,n ( Δt)+P n-1 (t)pn−1,n (Δt)
R
R
Persamaan diatas menyatakan bahwa pelanggan dapat tiba pada suatu
keadaan dengan n pelanggan pada waktu t+ Δt dari salah satu memiliki n
pelanggan pada waktu t, atau memiliki n-1 pelanggan pada waktu t. Gambar 3.1
memperlihatkan diagram transisi kondisi proses poisson.
λ
0
λ
1
2
λ
3
λ
4
λ
5
λ
Gambar 2.7 Diagram transisi proses poisson
Lingkaran mewakili state dari sistem (jumlah kedatangan). Dan laju
transisi λ adalah bersesuaian dengan tiap-tiap transisi. Selanjutnya diperlukan
persamaan khusus untuk state 0 untuk menyelesaikan persamaan differensial,
yaitu[4] :
P0 (t+ Δt) = P0 (t)P0,0 (Δt)
R
R
Jika dilakukan substitusi terhadap ekspresi sebelumnya untuk probabilitas
tepatnya satu kedatangan dan probabilitas tidak ada kedatangan di dalam interval
(t, t+ Δt), diperoleh :
Universitas Sumatera Utara
P n (t+ Δt) = P n (t) (1- λΔt) + P n-1 (t) (λΔt)
P0 (t+ Δt) = P0 (t) (1- λΔt)
Dengan mengalikan dan menyusun kembali ekspresi diatas diperoleh :
Pn (t + Δt)− Pn(t)
Δt
= −λ Pn (t + Δt) + λP n-1 (t)
P0 (t + Δt)− P0 (t)
Δt
R
= −λP0 (t)
Jika dianggap Δt
R
0 maka persamaan diatas menjadi persamaan differensial
berikut:
dpn (t)
dt
dpn (t)
dt
= -λP n (t) + λ P n-1 (t) ; n ≥ 1
= -λP 0 (t)
Yang ingin diperoleh dari persamaan differensial diatas adalah P n (t).
Sedangkan P0 (t) = e-λt, sehingga persamaan berikutnya dapat diperoleh :
dP1 (t)
dt
= -λP1 (t) + λe-λt
P 1 (t) = λte-λt
Persamaan berikutnya menjadi:
dP2 (t)
dt =
-λP 2 (t) + λ2 te-λt
P 2 (t) =
λ2 t2
2
e-λt
Bila dilanjutkan terus maka diperoleh rumus distribusi Poisson yaitu :
P n (t) =
(λt)n
n!
e-λt
P n (t) merupakan probabilitas terdapat n kedatangan didalam interval t
detik untuk suatu proses Poisson dengan laju kedatangan λ[4].
Universitas Sumatera Utara
2.8.2. Waktu Antar Kedatangan
Waktu diantara event-event yang berurutan didalam suatu proeses
kedatangan ( inter arrival times ). Untuk proses Poisson, waktu antar kedatangan
ini adalah variabel acak yang terdistribusi secara eksponensial yang berdiri
sendiri (independent). Untuk membuktikan bahwa hal ini benar, kita dapat
menulis probabilitas bahwa antar kedatangan ≤ t sebagai berikut[4] :
P (waktu antar kedatangan ≤ t) = 1-P (waktu antar kedatangan > t)
P (waktu antar kedatangan ≤ t) = 1-P 0 (t)
P (waktu antar kedatangan ≤ t) = 1- e-λt
Jika didifferensialkan maka diperoleh kerapatan waktu antar kedatangan
(t) = λe-λt. Pada sistem antrian M/M/1 dinyatakan bahwa laju kedatangan tidak
pernah lebih besar dari laju pelayanan.
2.9. Distribusi Eksponensial
Pada suatu sistem antrian M/M/1 waktu pelayanan adalah variabel acak
yang terdistribusi secara eksponensial yang berdiri sendiri (independent)[4].
Banyak masalah simulasi membutuhkan pemecahan dengan menggunakan
distribusi eksponensial, khususnya problem-problem yang melibatkan suatu
rentetan kedatangan dan kepergian, seperti simulasi antrian pada bank,
pembayaran di supermarket, airport dan lain-lain.
Fungsi umum untuk densitas peluang dari distribusi eksponensial adalah sebagai
berikut[5]:
1
f(x) = � e−(e−μ)/β dimana
x≥ �; � >0
(2.15)
Universitas Sumatera Utara
Dimana � adalah location parameter dan � adalah scale parameter (sering
dikenal sebagai λ yang sama dengan 1/ �). Kasus dimana � = 0 dan � = 1 disebut
sebagai standard eksponential distribution (distribusi eksponensial yang standar).
Berikut ini adalah persamaan dari standar distribusi eksponensial[5] :
f (x) = e –x , dimana
x≥0
(2.16)
Dan berikut ini adalah persamaan fungsi dari distrubusi eksponensial[5]:
f (x) = 1- e-x/β , dimana x ≥ 0 ; � > 0
(2.17)
Dimana :
� = rata-rata yang didekati dengan X
X = nilai tengah
e = bilangan napier= 2,7182818......
2.9.1. Waktu Pelayanan Eksponensial
Pada suatu sistem antrian M/M/1, waktu pelayanan adalah variabel acak
yang terdistribusi secara eksponensial yang berdiri sendiri (independent). Waktu
pelayanan terjadi sesuai dengan probabilitas density μe-μt dimana μ adalah ratarata waktu pelayanan dan
1
�
adalah rata-rata waktu pelayanan. Jenis pelayanan
(server) adalah tanpa ingatan (memory less). Pada dasarnya state space dari sistem
antrian M/M/1 adalah tak berhingga. Secara fisik dapat dikaitan bahwa sistem
antrian kemungkinan memiliki tempat antri yang tak berhingga[4].
Utilisasi (ρ) dari suatu sistem antrian probabilitas yaitu bahwa sistem
antrian tersebut tidak kosong. Kuantitas ρ dapat juga dipandang sebagai beban
yang ditawarkan, yaitu λ dapat berubah - ubah dari mendekati nol hingga
Universitas Sumatera Utara
mendekati � tetapi tidak lebih besar dari �. Jadi dapat berubah – ubah diantara 0
dan 1. Pada sistem antrian M/M/1, laju kedatangan tidak pernah lebih besar laju
pelayanan. Dengan kata lain, ρ tidak pernah lebih besar dari 1 karena ukuran
antrian menjadi bertambah hingga tak berhingga yang menyebabkan sistem
antrian tidak lagi didalam kondisi setimbang[4].
Nilai utilisasi (ρ) diperoleh dengan persamaan[4] :
λ
dimana : ρ = utilisasi
ρ=�
(2.18)
λ = laju kedatangan
� = laju perjalanan
Universitas Sumatera Utara