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6 0 7 3 1 40-65*0/
6 2 1 0 0 7 LD 6 4 7 1 1 0 5
6 4 5 3 8 1 7 6 0 3 1 2 3 7 AD 6 7 6 4 7 2 5 4 1 8 5 4 0 9 3 4 10 5 DA 1
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4 1 3 1 5 LD 4 1 3 1 0 5
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i 2 DA i 1
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v 2 terminals
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1 2 .A 1 [
A A 1 1 R 2 1 1 D 1=R
1 2 D 1 0 1=R 2 1CR 1 =R 2
1 DQG R 2
1 R 1 1 8 1=R 2 1CR 1 =R 2 D :5 5
1 2 D :5 RKP
DQG R 2
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4 3 5 1 5 ;ED 4 5 5 1 1 2 3 2 0 3
6 4 0 2 AD 4 1 3 1 5 ;ED 4 5 5
1 0 0 3 7 2 2 3 2 3 AD 4 1 1 0 5 4 0 2 1 5 1 0 0 1 1 2
2 5 1 0 0 1 AD 4 1 1 0 5 4 0 2 1 5
2 6 4 2 AD 4 4 8 0 5 ;ED 4 4 5 2
4 1 2 4 7 5 ;ED 4 0 5 AD 4 2 1 0 5 4 0 4 8 5 3 6 26 2 3
6 AD 7 7
2 4 2 6 6 3 1 0 0 7 6 0 3 6 0 7 AD 4 4 5 2 5 ;ED 4 0 5 AD 4 6 7 6 1 7 0 1 0 5 4 0 0 2 4 5
4 3 3 1 0 5 4 0 0 2 0 5 IDFWRUL]DWLRQ A
3 4 12 5 T
2 3 1 2 3 2 5 0 4 3 HTXDWLRQ A[
3 2 3 6 5 4 ZKHUH U DQG V DUH n
3 1 3 1 5 3 U D I DQG V
6 6 1 5 8 4 6 5 20 6 31 1 7 n 7 6 7 7 1
2 3 4 3 D PDP
4 9 16 17 4 6 9 12 5 DD 4 0 3 0 5
D 1=3
ZKHUH E
D 1 DQG W 0 D .10; 15; 15; 10/ T
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6 6 9 5 8 7 7 6 6 0 3 1 1 7 7 AD 6 6 2 7 3 9 7 7 6 6 0 3 1 6 7 7
6 0 0 0 5 7 6 0 0 0 5 7 DU
6 1 1 1 7 LD 6 1 1 1 0 0 7
5)& -&0/5*&' */165 065165 .0%&-
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< DPRXQW =
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2 F 2 DQG x 3 F 3
1 F 1 Cx 2 F 2 Cx 3 F 3 DC[
2 :50 3 :40 :20 CD 4 :20 :30 :10 5
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$PRXQW
,QWHUPHGLDWH )LQDO
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40-65*0/
I CD 4 0 1 0 5 4 :2 :3 :1 5 D 4 :2 :7 :1 5
C /[ D G REWDLQ [ D .I C/ 1
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D .I 1 C/ G
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2 G /DC 3
2 DGCCGCC 3 G CC G
2 D .I C C C C 3 CC
.I
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C/ 1
C/ 1
C/ 1
C/ 1
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DE
13"$5*$& 130#-&.
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D :6 :1 DQG G D 12
C/ 1 2 3 C/ 1 :1588 :0064 :0025 :0304 :0014 :0083 :1594 6
G D .99640; 75548; 14444; 33501; 23527; 263985; 6526/
.k/ .k 1/
DGCC[
T G DY T
$PHULFDQ
$PHULFDQ
40-65*0/ 50 13"$5*$& 130#-&.
*RRGV
6HUYLFHV
*RRGV 6HUYLFHV
CD :5 ; :3
G D 30
"11-*$"5*0/4 50 $0.165&3 (3"1)*$4
0DWUL[
0 0 6:42 0 8 8 1:58 8 DD
1 :25 *LYHQ A D 0 1
WLRQ [ 40-65*0/
3 AD D 0 0 6:420 0 8 8 1:580 8
40-65*0/ :75 0
SD
:75 0 1 :25 SA D 0 1 0 1
2 3 2 3 2 1 3 0 h x xCh
4 0 1 k 5 4 y 5 D 4 yCk 5
2 3 2 3 2 FRV ' 3 VLQ ' 0 0 1 0 s 0 0
4 VLQ '
FRV ' 0 5 ;
&RXQWHUFORFNZLVH
5HÁHFWLRQ
6FDOH x E\ s
WKURXJK y Dx
DQG y E\ t
40-65*0/ ,I '
Original Figure
KDYH
2 3 2 3 2 x 3 :3 0 0 x
6FDOH
4 y 5 ! 4 0 :3 0 5 4 y 5
2 0 1 0 3 2 :3 0 0 3 2 x 3
5RWDWH !
4 1 0 0 5 4 0 :3 0 5 4 y 5
After Scaling
2 1 0 :5 3 2 0 1 0 3 2 :3 0 0 3 2 x 3
7UDQVODWH !
4 0 1 2 5 4 1 0 0 5 4 0 :3 0 5 4 y 5
After Rotating
D 4 1 0 2 5 4 0 :3 0 5 D 4 :3 0 2 5
After Translating
.x; y; ´/ LI H ¤ 0 DQG
X Y Z xD ;
; DQG
H yD H ´D H
*LYH 4
40-65*0/
p 1 ; 0; VLQ 30 ı /D.
3 ; 0; FRV 30 ı
p / D .:5; 0;
6 0 1 0 0 7 AD 6 4 p :5 7 0 3=2 0
;y
(x*, y* , 0)
x* x
(x, y, z)
zx
d –z
(0, 0, d ) z
(a)
(b)
;y ;y
DQG x
D d ´ D 1 ´=d
1 ´=d
1 ´=d 1 ´=d
1 0 0 1=d 1 1 1 ´=d
40-65*0/
6 1 0 7 PD D 7 7 6 1 1 0 0 1 1 0 0 7
WEB
/6.&3*$"-/05& ZLWK 4
ERDUGV KDYH 4
13"$5*$& 130#-&.
E\ WKH 3
(a) Original figure.
(b) Translated to
(c) Rotated about
(d) Translated
origin by – p.
the origin.
back by p.
ı DERXW
:61 :29 :150 3 2 R 3 2 4 3 0 1 0 5 X
0 0 1 4 :35 :59 :063 5 4 G 5 D 4 Y 5
2 3 2 3 2 Y 3 :299 :587 :114 R
4 I 5 D 4 :596 :275 :321 5 4 G 5
40-65*0/ 50 13"$5*$& 130#-&.
p /D ı
8VLQJ S
FRV. 30 ı
D 4 1=2
3=2 3 3C5 5
46#41"$&4 0' R n
%&'*/*5*0/
$ VXEVSDFH RI R n
,I Y DQG Y
x 2 1 2 DQG H
D 6SDQ fY 1 ;Y 2
RI R n
1 C 0Y 2 LV
1 DQG Y 2
6SDQ fY 1 ;Y 2 X Ds
1 Y 1 Cs 2 Y 2 DQG Y Dt 1 Y 1 Ct 2 Y 2
7KHQ
X C Y D .s 1 Ct 1 /Y 1 C .s 2 Ct 2 /Y 2
1 DQG Y 2
D c.s 1 Y 1 Cs 2 Y 2 / D .cs 1 /Y 1 C .cs 2 /Y 2
,I Y 1 2 1 1 DQG Y 2
)RU Y 1 ;:::;Y p LQ R n
1 ;:::;Y p
fY 1 ;:::;Y p
1 ;:::;Y p
%&'*/*5*0/
,I A DŒD 1 n
6SDQ fD 1 ;:::;D n
2 3 2 1 3 3 4 3 /HW A D 4 4 6 2 5 DQG E D 4 3 5
0 Col A
40-65*0/
%&'*/*5*0/
HTXDWLRQ A[
1300'
7KXV X
x 3 %&'*/*5*0/
1 ;:::;H n
e 2 x 2 6 0 7 6 1 7 6 :: 7
4 : :: 5 2 D 4 :: 7 ; :::; H : 6 n D 5 7 4 0 5
x 1 fH
1 ;:::;H n
2 3 6 1 1 7 3 AD 4 1 2 2 3 1 5
40-65*0/
2 1 3 2 0 1 3 0 x 1 2x 2 x 4 C 3x 5 D0
x 3 C 2x 4 2x 5 D0
0 0 0 0 0 0 0D0
1 D 2x 2 Cx 4 3x 5 3 D 2x 4 C 2x 5 2 4 5
1 2x
2 Cx 4 3x 5 2 1 3
6 x 3 7 6 2x
6 7 D 6 4 C 2x 5 7 Dx 2 6 7 Cx 4 6 7 Cx 5 6 7
Dx 2 X Cx 4 Y Cx 5 Z
x 2 X Cx 4 Y Cx 5 2 4 5
2 X Cx 4 Y Cx 5
6 0 1 2 1 0 7 BD 6 4 7 0 0 0 0 1 5
40-65*0/
1 ;:::;E 5 3 D 3E 1 C 2E 2 DQG
E 4 D 5E 1 E 2 3 DQG E 4
1 ;:::;E 5 1 2 5
Y Dc 1 E 1 Cc 2 E 2 Cc 3 E 3 Cc 4 E 4 Cc 5 E 5
3 DQG E 4 Y Dc 1 E 1 Cc 2 E 2 Cc 3 . 3E 1 C 2E 2 /Cc 4 .5E 1 E 2 /Cc 5 E 5
1 2 5 fE 1 ;E 2 ;E 5 1
6 2 2 2 8 2 7 ADŒD 1 D 2 5 D 6 4 7 2 3 0 7 1 5
40-65*0/
3 D 3E 1 C 2E 2 DQG E 4 D 5E 1 E 2
D 3 D 3D 1 C 2D 2 DQG D 4 D 5D 1 D 2
3 DQG D 4
fD 1 ;D 2 ;D 5 1 2 5
DPRQJ E 1 2 5 fE 1 ;E 2 ;E 5 1 ;D 2 ;D 5
13"$5*$& 130#-&.4
D 4 2 0 7 5 DQG X D 4 3 5
SG
1XO A"
S D 4 10 5 ; DQG AD Y 1 Y 2 Y 3 :
fY 1 ;Y 2 ;Y 3 g"
DQG S D 4 1 5 D
17 ŒY 1 Y 2 Y 3
2 3 2 1 5 3 AD 4 9 4 1 7 5
4 5 7 AD 7 6 7 5 1 0
1 DQG Y 2
RU R
6 6 3 7 7 6 6 4 7 7 6 6 3 1 7 2 7 2 3 5 D 10
4 1 5 JHQHUDWHG
4 8 5 4 2 5 4 6 5 4 6 5 4 7 5 4 7 5 E\ fY 1 ;Y 2 ;Y 3
6 6 3 1 3 0 2 AD 7 4 7 0 3 9 1 4 5
1 ;:::;Y p
1 ;:::;Y p
IRU R n
1 D ŒD
fD 1 ;:::;D p
1 ;:::;Y p LQ R n
WEB $PMVNO 4QBDF BOE /VMM 4QBDF WEB " #BTJT GPS $PM "
40-65*0/4 50 13"$5*$& 130#-&.4
2 3 2 3 2 1 3 1 5 7 0 AX D 4 2 0 7 5 4 3 5 D 4 0 5
1 ;x 2 ;x 3 /; WKHQ
x 2 D 0; x 3 D 0; DQG x 1
D .1; 0; 0/:
nn
HTXDWLRQ A[
B D fE 1 ;:::;E p
[ Dc 1 E 1 p E p DQG [ Dd 1 E 1 p E p
D[ [
D .c 1 d 1 /E 1 p d p /E p
6LQFH B
j Dd j
IRU 1
%&'*/*5*0/
B D fE 1 ;:::;E p
B 1 ;:::;c p
[ Dc 1 E 1 p E p
1 Œ[ B D 6 4 :: 7 : 5
2 3 2 3 2 3 3 1 3 /HW Y 1 D 4 6 5 2 D 4 0 5 D 4 12 5 B D fY 1 ;Y 2
B D 6SDQ fY 1 ;Y 2 g EHFDXVH Y 1 DQG Y 2
B 40-65*0/
c 1 4 6 5 Cc 2 4 0 5 D 4 12 5
1 DQG c 2 B WKDW
2 7KXV c 1 2 B D B
3v 2
2v 2 x = 2v 1 + 3v 2
0 v 1 2v 1
2 7! Œ [ B
EHWZHHQ H DQG R 2
B D fE 1 ;:::;E p
%&'*/*5*0/
%&'*/*5*0/
6 4 7 4 3 9 7 AD 6 4 7 6 9 5 2 4 5
40-65*0/
5IF 3BOL 5IFPSFN 5IF #BTJT 5IFPSFN
5IF *OWFSUJCMF .BUSJY 5IFPSFN DPOUJOVFE
n : DR n
Dn Dn
D0
1300'
E LQ R n
WKHQ GLP 1XO A
SG &YQBOEFE 5BCMF
/6.&3*$"-/05&4
WEB
13"$5*$& 130#-&.4
3 1 ;Y 2 ;
DQG Y 3
B 1 D :2 ;
:2
3 IRU R 2 B D 2
B 1 D B ;E 3 2 D 5 ;[D 7
1 2 3 5 2 D 3 ;[D B 9
1 D ;E
D ; ; Œ[ B
1 D 4 4 5 ;E 2 D 4 7 5 ;[D 4 9 5
B 3 ; 3 ; Œ[ B 1 3 5 D 7
1 D 4 2 5 ;E 2 D 4 3 5 ;[D 4 0 5
B D fE 1 ;E 2 B
B 1 D fY ;:::;Y p
[ Dc 1 Y 1 p Y p ; WKHQ c 1 ;:::;c p
0 0 0 1 0 5 7 HTXDWLRQ A[
B D fY 1 ;:::;Y p
1 ;:::;E p
7! Œ[ B fD 1 ;:::;D q
WKDW fD 1 ;:::;D q
BDŒE 1 p DQG A D Œ D 1 q :
VXEVSDFH W RI R n
D 6SDQ fY 1 ;Y 2 g DQG B 1 D fY ;Y 2 GLP 6SDQ
fY 1 ;:::;Y 5 g LQ R n
D 6SDQ fY 1 ;Y 2 ;Y 3 g DQG B D fY 1 ;Y 2 ;Y 3 g: 6KRZ WKDW B B
40-65*0/4 50 13"$5*$& 130#-&.4
0 D ŒY 1 Y 2 Y 3 1 ;Y 2 ;Y 3
vv
2 3 2 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 2 3 1 3 AD 4 8 7 6 5 4 0 5 2 5 4 0 5 2 5
GLP H
D 2:
D 3E 1 C 2E 2 D3 :2 C2 1 D 2:6
fE 1 ;E 2 2
3 3 KDV
VSDFH R 3 3 3
,I BC 7!A[ PDSV ,I AC
2 2 3 DQG 7 LQWR 1 DQG ,I A DQG B DUH n 1 B/ D A B
D 2 3 DQG B D 2 1
1 D .A T A/ 1 A T
1 ;:::;x n
1 ;:::;E p
D .y 1 ;:::;y n / LQ R D rA n
1 1 *LYHQ \
0 D .c ;:::;c n 1 / LQ
2 3 R 1 n VDWLVÀHV V F
1 ;:::;x n
0 1 0 1 KDYH"@
A/.I C A C A 2
1 ;:::;x n
1 ;:::;y n
1 IRU .x 1 ;y 1 /; : : : ; .x n ;y n
3 D 3A 2I DQG A 4 D 4A
6XSSRVH C DE 3 E 2 E 1 1 2 3 DQG Q DI
n ZLWK X T X T
2 DP T DP
2 DI
DQ n
D 3 LQ R 1 5 3
D 4 0 5 DQG [ 4 5 5
x 3 k DQG B k Px
2 :4 :2 :3 3 2 x 2 0 :2 :3 3
x ⫺ Px
AD 4 :3 :6 :3 5 ; BD 4 :1 :6 :3 5
:9 :2 :4 x
:3 :2 :4
>0@ /HW A
Qx
IRU n