2EVHUYH WKDW WKH QXPEHUa ij LV WKH i WK HQWU\ IURP WKH WRS RI WKH j WK FROXPQ YHFWRU Dj 7KH GLDJRQDO HQWULHV LQ DQ m n PDWUL[ A D Πa ij DUH a 11 ;a 22 ;a

VXP A /HW

BD 3 5 7 ; CD 0 1 7KHQ

AD 1 3 2 ;

5 1 6 ACBD 2 8 9

EXW A

1 1 1 2 2 2 2B D 2 3 5 7 D 6 10 14

A 2B D

1 3 2 6 10 14 D 7 7 12

CBDBCA

C B/ D rA C rB

C s/A D rA C sA C0DA

C B/ C C D A C .B C C /

D .rs/A

C B/ C C DQG A

jj

C .B C C / DUH

.D j CE j /CF j DQG D j

C .E j CF j /

CBCC

Multiplication Multiplication

A (Bx)

A.B[/ D .AB/[

Multiplication Multiplication

by B

by A

A (Bx)

Bx

Multiplication by AB

,I A LV m

1 ;:::;E p

1 ;:::;x p B[ D x 1 E 1 p E p

A.B[/ D A.x 1 E 1 p E p /

Dx 1 AE 1 p AE p

1 ; : : : ; AE p

A.B[/ D Œ AE 1 AE 2 p [

1 AE 2 p

%&'*/*5*0/

1 ;:::;E p

1 ; : : : ; AE p

AB D A E 1 E 2 p D AE 1 AE 2 p

D 1 DQG B 5 D 1 2 3

40-65*0/ :ULWH B DŒE 1 E 2 E 3

2 3 4 2 3 3 2 3 6 AE 1 D ; AE ; AE

D 1 D 13 D 9

7KHQ

AB D AŒ E 1 E 2 E 3 D

AE 1 AE 2 AE 3

40-65*0/

A B AB

.AB/ ij Da i1 b 1j Ca i2 b 2j

in b nj

DŒE 1 p

FRPSXWH AE j LQ AE j YHFWRU E j

40-65*0/

21 AB D

- 2 3 4 3 6 2.6/ C 3.3/

2 3 4 3 6 21 21 - 1 5 1 2 3 D 1.3/ C 5. 2/ D

AD 6 7 ;

4 6 8 7 5 BD

40-65*0/

4 C 21 12 6C3 8 7 6 7 1 6 7

URZ i .AB/ D URZ i

D .AB/C C C / D AB C AC C C /A D BA C CA

D .rA/B D A.rB/

A D A D AI n

1300'

CDŒF 1 p 

BC D Œ BF 1 p  A.BC / D Œ A.BF 1 p /

A.BC / D Œ .AB/F 1 p  D .AB/C

5 1 2 0 /HW A D DQG B

40-65*0/

5 1 2 0 14 3 AB D 3 2 4 3 D 2 6

2 0 5 1 10 2 BA D 4 3 3 2 D 29 2

k WEB

A k „ ƒ‚ …

n ; WKHQ A k

D 0; WKHQ A 0 0

/HW

a b 1 1 1 1 AD ; BD 4 1 3 5 c ; d CD 3 5 2 7

7KHQ

T / T DA

TT

C B/ T DA CB

D rA T

DB T A T SURGXFW A T B T

/6.&3*$"-/05&4

13"$5*$& 130#-&.4

1 3 5 AD DQG 2 [ 4 D 3

&RPSXWH .A[/ T T A T

T [ T GHÀQHG"

FRPSXWH A 2

AD 4 3 5 5 1 ;BD 4

2 0 1 7 5 1 AD 4 5 2 ; BD 1 4 3 ;

1 2 3 5 5 CD 2 1 ; DD 1 4 ; ED 3

1 1 DQG B D BA"

3 6 1 AD 1

1 2 BD 3 DQG 4 CD

2 A DQG .3I

2 1 2 3 3 2 5 0 3 5I 3 DQG .5I

2 3 D 4 2 4 5 5 DQG D D 4 0 3 0 5

3 5 6 0 0 2 AD 4 4 3 6 5 :

1 DQG AE 2

AD 4 2 4 5 ;BD

5 3 IRU B:

1 ;:::;U p

DI n HTXDWLRQ A[

QDŒT 1 T 2 T 3 T 4 : n DV n

X DQG Y LQ R n

E 1 2 DŒD 1 E 1 D 2 E 2 SURGXFWV X T Y DQG XY T XY T DQG YX T UHODWHG"

WKHQ AB

D ΠAE 1 C AE 2 C AE 3 X n

D .A T / 2 a ik .b kj Cc kj /

T DC T A T B T

kD1

.ra i1 /b 1j

in /b nj

1 m 3 3 11

3 5 DQG AB D 1 m 17

nn

:K\"

1 DQG E 2 RI A"

C B/ T DA T CB T DQG

.AB/ T DB T A T

ZKHWKHU AB AB

&RPSXWH S k IRU k

A 30

.A C I /.A I/DA 2 FRPSXWH .A

C B/.A B/ D A 2 B 2 1=4

40-65*0/4 50 13"$5*$& 130#-&.4

A[ D

T DQG [ T A T

[[ T D 5 3

3 D 15 9

3 D Œ 25 C 9  D 34

T [ T LV

SURGXFW A 2

5)& */7&34& 0' " ."53*9

5 1 1 D1

$Q n

CA D I DQG AC D I

ZKHUH I DI n D BI D

A 1 ADI DQG AA 1 DI ,I A D DQG C

AC D

D 3 DQG 7 3 2 0 1

CA D 7KXV C DA 1

a b /HW A D

ad bc c a

,I ad

ad

GHW A

D ad bc

CA D I n DQG AD D I m D

40-65*0/ 6LQFH GHW A

D 3.6/

2 5 3 D 5=. 2/ 3=. 2/ D 5=2 3=2

D E KDV

DA 1

1300'

WKHQ A[

D A.A 1 E 1 / D .AA 1

LI AX AX D A 1 IXDA E ; DQG X DA 1 E

OHW \ LQ R 3

D DI

40-65*0/ :ULWH I 3 DŒH 1 H 2 H 3

D D DI 3 D Œ DH 1 DH 2 DH 3 

1 DD 1

D 1 1 I 3 1 1 DD 1 DŒD H 1 D H 2 D H 3 

D E QXPHULFDOO\

3x 1 C 4x 2 D3 5x 1 C 6x 2 D7

40-65*0/

DA E D 5=2

.A 1 / 1 DA

.AB/ 1 DB 1 A 1

RI A 1

.A T / 1 D .A 1 / T

1300'

A 1 CDI DQG CA 1 DI

.AB/.B 1 A 1 / D A.BB 1 /A 1 1 D AIA 1 D AA DI

D .AA T DI .A 1 / T D

/HW

2 a b c 3 AD 4 d e f 5

g h i &RPSXWH E 1 2 3

40-65*0/

E 1 AD 4 d e f 5 ; E 2 AD 4 a b c 5 ;

g 4a h 4b i 4c g h i

E 3 AD 4 d e f 5 :

5g 5h 5i

E 1 1 1 LWVHOI

4 0 1 40-65*0/

E 1 1 D 4 0 1 0 5 C4 0 1

$Q n

n DOVR WUDQVIRUPV I n LQWR A 1

1300'

PDWULFHV E 1 ;:::;E p

1 2 .E 1 p .E p1

1 A/ D I n

1 ADI n

.E

1 / 1 .E p

1 /A D .E p

A D .E p

A 1 D Œ .E 1 p 1 / 1  DE p

7KHQ A 1 DE p

1 1 ;:::;E p

nn

n DQG I n WR A 1

"-(03*5). '03 '*/%*/( "

4 3 8 40-65*0/

2 3 2 0 3 1 2 1 0 0 1 0 3 0 1 0 ŒAID 4 1 0 3 0 1 0 5 4 0 1 2 1 0 0 5

2 3 2 3 2 0 3 1 2 9=2 7 3=2 1 0 0 AA 1 D 4 1 0 3 5 4 2 4 1 5 D 4 0 1 0 5

n E\ H 1 ;:::;H n

A[ D H 1 ; A[ D H 2 ; :::; A[ D H n

ŒAH 1 H 2 n

/6.&3*$"-/05&

1 DQG A 1

WEB

13"$5*$& 130#-&.4

5 4 8 5 HTXDWLRQV AB

HYHU\ j

DQG E 4 D 5

H 1 ;:::;H n

A[ D E 1 ; A[ D E 2 ; A[ D E 3 ; A[ D E 4

VDPH WLRQ A 1 B:

ŒA E 1 E 2 E 3 E 4 VDWLVÀHV AD

D PBP 1

UHSODFLQJ URZ 2 .I / E\ URZ 2 .I / WKDW .ABC /D

4 9 4 7 WLRQ C 1

n ZKHQ

6 2 2 0 6 0 7 AD 6 3 3 3 0 7 6 7 7 :

n ‹

D 4 2 15 6 5 1

D 4 536

b 154

DI 2 ¤I 3 :

2 6 :0050 :0100 :0040 :0020 7 DI 4 DD 6 4 7 :0020 :0040 :0100 :0050 5 :0010 :0020 :0050 :0130

2 :011 3 :003 :001 DD 4 :003 :009 :003 5

40-65*0/4 50 13"$5*$& 130#-&.4

4 6 . 9/. 4/ D 36

$)"3"$5&3*;"5*0/4 0' */7&35*#-& ."53*$&4

5IF *OWFSUJCMF .BUSJY 5IFPSFN

7! A[ PDSV R n RQWR R n

1300'

n : 7KXV

ZLWK A DQG A T

ZLWK B DA 1 DQG A DB 1

2 1 0 2 3 AD 4 3 1 2 5

40-65*0/

SG &YQBOEFE 5BCMF

Multiplication

by A

Ax Multiplication

by A –1

WR n !R n WLRQ S WR n !R n

nn

/HW T

WR n !R

DA 1

1300'

R n DQG [ DA 1

S.T .[// D S.A[/ D A 1 .A[/ D [

R n LQWR R n " 40-65*0/

T PDSV R n RQWR R n

/6.&3*$"-/05&4

WEB

13"$5*$& 130#-&.4

D E"

D E" :K\"

n " WKHQ

Y LQ R n

HTXDWLRQ F [ VSDQ R DVVXPH

7! A[ PDSV R n LQWR R n

4:5x 1 C 3:1x 2 D 19:249 1:6x 1 C 1:1x 2 D 6:843

HTXDWLRQ A[

4:5x 1 C 3:1x 2 D 19:25

WLRQ A[

1:6x 1 C 1:1x 2 D 6:84

2 LQWR R 2 1 T .x 1 ;x 2 / D . 5x 1 C 9x 2 ; 4x 1 7x 2 /

Y LQ R n : &DQ T PDS R n RQWR R n

[ 1 RI A[

1 DJUHH" )LQG

n LQWR R n

n RQWR R n

WKDW T 1 n RQWR R n : ,V T 1

RQH"

SG

40-65*0/4 50 13"$5*$& 130#-&.4

E LQ R n

2 3 0 1 5 9 2 3 AD 4 5 2 4 0 3 1 5

A 11 A 12 A 13 AD A 21 A 22 A 23

A 11 D ; A

2 4 12 D ; 5 A 0 3 13 D 1

A 21 D 8 6 3 ; A 22 D 1 7 ; A 23 D 4

11 A 12 A 13 AD 6 4 A 21 A 22 7 A 23 5

A 31 A 32 A 33

/HW

1 5 2 3 1 A 11 A 12 6 6 3 4 B 5 ; 7 7 7 AD 1 D

A 21 A 22 BD 6 7 D B

A 11 A 12 B 1 A 11 B 1 CA 12 B 2

AB D A A B D 4 6 2 5

21 22 21 B 1 CA 22 B 2

A 11 B 1 D 4 2 1 5

A 12 B 2 D

A 11 B 1 CA 12 B 2 D

k .A/

/HW A D 4 5 DQG B D 4 c 1 d 5

e f AB D FRO 1 .A/ URZ 1 .B/ C FRO 2 .A/ URZ 2 .B/ C FRO 3 .A/ URZ 3 .B/

40-65*0/

a b 3a 3b

FRO 1 .A/ URZ 1 .B/ D

FRO 2 .A/ URZ 2 .B/ D

4 D 4c 4d

2 2e 2f

5 D 5e 5f 7KXV

FRO 3 .A/ URZ 3 .B/ D

X 3 FRO

3b C d C 2f k .A/ URZ k .B/ D

3a C c C 2e

1 4c C 5e

4d C 5f

,I A LV m

2 URZ 3

1 .B/

6 URZ 2 .B/ 7 AB D Œ FRO 1 .A/ FRO 2 n .A/  6 6 7 7

5 URZ n .B/

D FRO 1 .A/ URZ 1 n .A/ URZ n .B/

1300' k .A/ URZ k .B/ ik IURP FRO k .A/ DQG b kj IURP URZ k

a in b nj .k D 1/

a i1 b 1j C a i2 b 2j

.k D 2/

.k D n/

A 11 A 12 AD 0 A

11 LV p

22 LV q

40-65*0/ 'HQRWH A 1

A 11 A 12 B 11 B 12 I p 0

0 A 22 B 21 B 22 D 0 I q

B 11 ;:::;B 22

A 11 B 11 CA 12 B 21 DI p

A 11 B 12 CA 12 B 22 D0

A 22 B 21 D0

A 22 B 22 DI q

22 22 LV

B 22 1 DA 1 22 22

B 21 DA 1 22 0D0

A 11 B 11 C0DI p

6LQFH A 11 11 11 DA 11 1

A 11 B 1 1 12 1 DA 12 B 22 DA 12 A 22 DQG B 12 DA 11 A 12 A 22 7KXV

1 A 11 A 12 A 11 A 1 A A A 1 11 12 22

0 A 22 0 A 22 1

/6.&3*$"-/05&4

13"$5*$& 130#-&.4

AI T

DŒA 1 A 2  DQG B D Œ B 1 B 2 1 DQG

A 2 1 DQG B 2

ACBDŒA 1 CB 1 A 2 CB 2

BDŒB 1 B 2

A 31 0 I B 31 B 32 0 C 32 [ 1 ;:::;[ k

IRUP G kC1 IRUP G kC1

IRUP W .s/X

IXQFWLRQ W .s/ 1

BC sI n

A BC sI n B

D I ZKHQ A D

11 A 12

D A 21 A 22 11

2 D I ZKHQ

WUL[ S DA 22 A 21 A 11 1 A 12

PHQW RI A

6XSSRVH A

PDWUL[ M D 4 0 B 0 5 D I: 0DNH C D

A 11

11 QRQ]HUR 2

A 11 1

DI m X.X T X/ 1 X T

WD X [ 0 &RPSXWH W T

A 1 D Y SG A

5IF 1SJODJQMF PG

2 1 0 0 0 3 ZKHUH A LV n

0 1 1 BD 0 6 6 7 7

DVVXPH A DQG B DUH

6 6 3 5 0 0 0 7 7 AD 6 6 0 0 2 0 0 7 7

50 ij

ZLWK A 11 22

40-65*0/4 50 13"$5*$& 130#-&.4

I 0 W X AI Y Z X AI Y Z D AW C Y AX C Z

I 0 I 0 I 0 AI AI D 0I AI

1 1 XD 2 X 1 1 T

DQG X DUH

T DUH

."53*9 '"$503*;"5*0/4

A[ D E 1 ; A[ D E 2 ; :::; A[ D E p

* * A= *

L\ D E U[D\

6 3 5 1 0 7 6 0 7 6 AD 7 7 D 6 1 1 0 7 6 0 2 1 2 7

4 6 4 0 5 5 4 2 5 1 0 5 4 0 0 1 1 5 D LU

Multiplication by A

xb

Multiplication

Multiplication by U

by L

11 40-65*0/

1 ;:::;E p

1 ADU 7KHQ

A D .E 1

1 / U D LU

ZKHUH

L D .E p

1 L D .E p

1 /.E p

"-(03*5). '03 "/ -6 '"$503*;"5*0/

.E p

1 /L D I

1 ;:::;E p

1 /DL 1 1

6 4 5 3 8 1 7 AD 6 4 7 2 5 4 1 8 5

6 0 7 3 1 40-65*0/

6 2 1 0 0 7 LD 6 4 7 1 1 0 5

6 4 5 3 8 1 7 6 0 3 1 2 3 7 AD 6 7 6 4 7 2 5 4 1 8 5 4 0 9 3 4 10 5 DA 1

4 0 0 0 2 1 5 4 0 0 0 2 1 5 DU

6 7 DQG

4 1 3 1 5 LD 4 1 3 1 0 5

IDFWRUL]DWLRQ VROYHV A[

Œ L E  WR Œ I \

SG 1FSNVUFE -6

/6.&3*$"-/05&4

1 DQG A 1 E

WEB

ZKHUHDV A 1

WUDQVIRUPDWLRQ

i 1 7! i 2 PDWUL[

i 2 DA i 1

input

electric

terminals v 1 circuit

v 2 terminals

output

A series circuit

A shunt circuit

DQG

0 1 1=R 2 1

1 8 :5 5 40-65*0/

1 DQG A 2

1 2 .A 1 [

A A 1 1 R 2 1 1 D 1=R

1 2 D 1 0 1=R 2 1CR 1 =R 2

1 DQG R 2

1 R 1 1 8 1=R 2 1CR 1 =R 2 D :5 5

1 2 D :5 RKP

DQG R 2

UHDOL]DWLRQ 13"$5*$& 130#-&.

2 1 0 0 3 2 2 4 2 3 DE AD 4 2 1 0 5 4 0 3 6 5

AD 2

4 3 5 1 5 ;ED 4 5 5 1 1 2 3 2 0 3

6 4 0 2 AD 4 1 3 1 5 ;ED 4 5 5

1 0 0 3 7 2 2 3 2 3 AD 4 1 1 0 5 4 0 2 1 5 1 0 0 1 1 2

2 5 1 0 0 1 AD 4 1 1 0 5 4 0 2 1 5

2 6 4 2 AD 4 4 8 0 5 ;ED 4 4 5 2

4 1 2 4 7 5 ;ED 4 0 5 AD 4 2 1 0 5 4 0 4 8 5 3 6 26 2 3

6 AD 7 7

2 4 2 6 6 3 1 0 0 7 6 0 3 6 0 7 AD 4 4 5 2 5 ;ED 4 0 5 AD 4 6 7 6 1 7 0 1 0 5 4 0 0 2 4 5

4 3 3 1 0 5 4 0 0 2 0 5 IDFWRUL]DWLRQ A

3 4 12 5 T

2 3 1 2 3 2 5 0 4 3 HTXDWLRQ A[

3 2 3 6 5 4 ZKHUH U DQG V DUH n

3 1 3 1 5 3 U D I DQG V

6 6 1 5 8 4 6 5 20 6 31 1 7 n 7 6 7 7 1

2 3 4 3 D PDP

4 9 16 17 4 6 9 12 5 DD 4 0 3 0 5

D 1=3

ZKHUH E

D 1 DQG W 0 D .10; 15; 15; 10/ T

40-65*0/ 50 13"$5*$& 130#-&.

6 6 9 5 8 7 7 6 6 0 3 1 1 7 7 AD 6 6 2 7 3 9 7 7 6 6 0 3 1 6 7 7

6 0 0 0 5 7 6 0 0 0 5 7 DU

6 1 1 1 7 LD 6 1 1 1 0 0 7

5)& -&0/5*&' */165 065165 .0%&-

WEB

< DPRXQW =

ÀQDO

LQWHUPHGLDWH

< = SURGXFHG D C GHPDQG

GHPDQG

0DQXIDFWXULQJ $JULFXOWXUH 6HUYLFHV 0DQXIDFWXULQJ $JULFXOWXUH 6HUYLFHV

40-65*0/ &RPSXWH

2 3 2 :50 3 50 100F 1 D 100 4 :20 5 D 4 20 5

1 2 DQG x 3

2 F 2 DQG x 3 F 3

1 F 1 Cx 2 F 2 Cx 3 F 3 DC[

2 :50 3 :40 :20 CD 4 :20 :30 :10 5

D C[

$PRXQW

,QWHUPHGLDWH )LQDO

.I

C /[ D G

40-65*0/

I CD 4 0 1 0 5 4 :2 :3 :1 5 D 4 :2 :7 :1 5

C /[ D G REWDLQ [ D .I C/ 1

WKHQ .I C/ 1

D .I 1 C/ G

[ DC[CG

C/ 1

DC 2

2 G /DC 3

2 DGCCGCC 3 G CC G

2 D .I C C C C 3 CC

.I

m C C C /.I C C C C 1 /DI

C m C 1 m !0

.I C/ 1 ICCCC 2 CC 3 m

C/ 1

C/ 1

C/ 1

C/ 1

/6.&3*$"-/05&

DE

13"$5*$& 130#-&.

Open Sector

CD :6 :2 ;

G D 30

D :6 :1 DQG G D 12

C/ 1 2 3 C/ 1 :1588 :0064 :0025 :0304 :0014 :0083 :1594 6

G D .99640; 75548; 14444; 33501; 23527; 263985; 6526/

.k/ .k 1/

DGCC[

T G DY T

$PHULFDQ

$PHULFDQ

40-65*0/ 50 13"$5*$& 130#-&.

*RRGV

6HUYLFHV

*RRGV 6HUYLFHV

CD :5 ; :3

G D 30

"11-*$"5*0/4 50 $0.165&3 (3"1)*$4

0DWUL[

0 0 6:42 0 8 8 1:58 8 DD

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After Scaling

2 1 0 :5 3 2 0 1 0 3 2 :3 0 0 3 2 x 3

7UDQVODWH !

4 0 1 2 5 4 1 0 0 5 4 0 :3 0 5 4 y 5

After Rotating

D 4 1 0 2 5 4 0 :3 0 5 D 4 :3 0 2 5

After Translating

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40-65*0/

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(a) Original figure.

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x 2 X Cx 4 Y Cx 5 2 4 5

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3 D 3E 1 C 2E 2 DQG E 4 D 5E 1 E 2

D 3 D 3D 1 C 2D 2 DQG D 4 D 5D 1 D 2

3 DQG D 4

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D 6SDQ fY 1 ;Y 2 ;Y 3 g DQG B D fY 1 ;Y 2 ;Y 3 g: 6KRZ WKDW B B

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