20. Modul Integral Pak Sukani

12.1. Integral Tak Tentu

a. Integral Fungsi Aljabar Rumus Dasar Integral tak tentu :

  2  x

  INTEGRAL

  1. C x

  1 n a dx ax ^{1 n n}   

   

   n  -1

  2. C ax dx a  

   3.

       C x ln dx x dx x

  1

• _-1

  Contoh : 1.

  2 ( =

  2

  1+1

• 3x + C = x
• 3x + C 2.
• 5x + C = x
• – 1
• 5x + C 3.
• – 3x

  1

• 10x
• C 6.
• 6x
• 4x + C 9.

    dx x ²

  

  2 3 ( 

  )

  1 _{2 3} 8. dx x ²

  3

  5

  25

  C x x x   

  =

  25 10 ( ²

  )

    dx x x

  ) 5 ( = 

  3

  2 ^{2 3} 7.

  

  4

  24

    

  C x x x

  =

  8 2 ( ²

  24

  )

     dx x x

  =

  12 2 ( ²

  

4

  24

  =

   

      dx x x x

  5 2 ( ^{3 2 1} =

    dx 3) x

  2

  5 ln

  3

  2

     ₂

  C x x x

  5 ln

2 =

  1

  3

  2

    ^{2 1}

  



 

  

C x x x

 

  3

  dx x x

  )

  )

  4

  12 9 ( ² = 3x

  3

  2

     dx x x x

  3

  )

  5

  2 ( _{3 2}

  =

     

   

  dx x x x

  )

  ) 6 )( 4 2 ( =

  1

  5

  C x x x   

  =

  3 _{2 3}

  2

  3

  2

  5

  2

  

3

  C x x x   

  =

  3 ( ²

  2

  2

  3

  5

  )

     dx x x

  2

  3

  1+1

  6  x

  1

  

2+1

  3  x

  2

  1

  =

  6 (3x ²

     5) dx x

  3

  1

     dx x x

  4 ₄ ⁵ ₃ ⁴

  2

  3

  = 3x

  20 12 ( ²

  )

    dx x x

  5 3 ( 4 =

    dx x x

  3 ^{4 5 3 4} 5.

  4

  2

  3

  C x x x   

  =

  4

  2

  3

  5

  5

  4

  2

  3

  C x x x

  

  =

  5 4 ( ^{4 1 3 1}

  2

  3

  )

     dx x x

  1 _{2 3} 4.

  )

  _{3 2}

  1 ₃ ¹ x x dx x x dx

  10. ( 

  2 ) = ( 

  2 )

    _{3 4 3 4}

  1 ₂

  2 ₃

  2 ₂

  2 ₃

x x C x x C

  =   =  

  3

  4

  3

  3

  2

  3

b. Integral Fungsi Trigonometri Rumus dasar integral :

  1. sin x dx =

• – cos x + C

  

  1

  1

  2. sin ax dx   cos ax  C ; sin (ax 

  b) dx   cos (ax 

  b)  C  

a a

  3. cos x dx = sin x + C

  

  1

  1

  4. cos ax dx  sin ax  C ; cos (ax 

  b) dx  sin (ax 

  b)  C   a a

  Contoh :

  2 xdx x C 1. 2 sin 3 =  cos 3 

  

  3

  3 xdx x C 2. 3 cos 5 = sin

  5  

  5

  4 x dx x C 3. 4 sin( 5  2 ) =  cos( 5  2 )  = 2cos(5

• – 2x) + C

   

  2

  1

  2

  1

  1 x x C x C 4. 2 cos(  dx 1 ) = sin(  )

1  =

4 sin(  ) 1 

  

  1

  2

  2

  2

  2

  5

  3 x x dx x x C

  5. (

  5 cos 2  3 sin( 4  3 )) = sin 2  (  ) cos( 4  3 )  

  2

  4

  5

  3 x x C

  = sin

  2  cos( 4  3 ) 

  2

  4

12.2. Integral Tertentu (Integral Batas) Rumus Dasar : b b f(x)dx  F(x)  F(b)  F(a) a

   a

  a = batas bawah b = batas atas Contoh : _{3 2 3 2 3}

  x x dx x x x

  1. ( 3  6  4 ) = (  3  4 ) ₁

   ₁

  3

  3

  2

  2

  = (3 ) + 3(3 )

• – 1 – 1 – 4(3 – 1) = (27
• – 1) + 3(9 – 1) – 4(3 – 1) = 26
• – 8 = 42

  _{4 4 2}

  4 ₂ x x dx x x x dx x x dx

  2. ( 2  4 )(  3 ) = ( 2  6  4  12 ) = ( 2  2  12 )

     ₄

  2 _{3 2}

  x x x

  = (   12 )

  3

  2

  3

  3

  

2

  2

  = (4 ) + (4 )

• – 0 – 0 – 12(4 – 0)

  3

  2

  = (64

• – 0) + (16 – 0) – 12(4 – 0)

  3

  2

  = 42 + 16

• – 48

  3

  2

  = 10 _{2 2 2 2}

  3 x dx x x dx

  3. ( 2  3 ) = ( 4  12  9 )

    _{1 1}   ₂

  4 _{3 2}

  x x x

  = (  6  9 )

  3 ₁

  

  4

  3

  3

  2

  2

  = (2 ) ) + 9(2

• – (-1) – 6(2 – (-1) – (-1))

  3

  4

  = (8 + 1)

• – 6(4 – 1) + 9(2 + 1)

  3

  = 12

• – 18 + 27
_{4 4} = 21 _{2 1}

  3 =

  x dx x dx 4.

  3

    _{1 1 4}

    _{3 3 4}   ⁴

  3 _{2 2 3}

  x x

    = = ( x 2 ) = ( 2 ) ₁

  3   ₁

     2  _{3 1 3 2 3}

  = 2 ( 4  1 ) =

  2 ( (

2 ) 

1 )

  3

  = 2(2

• – 1) = 2(8 – 1) = 14
_{3 3}

  2

  6 ^{2 3}

    dx x x dx

  5. (  ) = ( _{2 3} 2  6 )

    ₁ x x ₁

₃

₃

  2 ¹

  6 ²

  2

  6

    x x

  = (  ) = (   ) ₂

  x x

  1

  2   _{1 1}

  1

  1

  1

  1 =  2 (  )  6 (  ) ₂

  3

  1

  3

  1

  1

  1

  = 

  2 (  1 )  6 ( 

1 )

  3

  9

  2

  8

  = 

  2 (  )  6 (  )

  3

  9

  16

  12 = 4  = 

  3

  3

  3 =

• –4
• – sin 0
• – 0) = 2 7.
• – cos 2(90
• – cos 180
• – (-1)) =
• –3 8.
• – sin 3(0
• – cos 3(0
• – sin 0
• – cos 0
• – 0) + 4(–1 – 1) =
• –8

  )) =

  o

  )

  o

  )) + 4(cos 3(60

  o

  )

  (sin 3(60

  

o

  2

  3

   =

  

x x

  2 (

  3

  4 3 sin

  3

  2 (sin 180

  o

    b a

  (daerah dibawah sumbu x) a b x y y = f(x) a b x y y = f(x)

  (x) dx f L

  



 

b

a

  2. Daerah dibawah sumbu x Jika y = f (x) < 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x), sumbu x, garis x = a dan x = b dapat dihitung dengan rumus :

  (daerah diatas sumbu x)

  (x) dx f L

  1. Daerah diatas sumbu x Jika y = f (x) > 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x), sumbu x, garis x = a dan x = b dapat dihitung dengan rumus :

  o

  (0

  2

  3

  ) =

  o

  o

  ) + 4(cos 180

  = ³ ) cos

   dx x x

  4 3 cos 2 (

  o

  xdx

  3

  2 sin

     ₂

  ) = 2(1

  o

  = 2(sin 90

    ₂ ) 2 cos

   x

  = ² ) sin 2 (

   xdx

  2

  cos

   ²

  6.

  =

  2

   ³ ) sin

  3 ( x

  

  3  (1

  2

  ) =

  o

  o

  3  (cos 360

  2

  ) =

  o

  )

  o

  3  (cos 2(180

  2

  =

  

12.3. Pemakaian Integral

a. Luas Daerah

  3. Daerah diatas dan dibawah sumbu x y Jika y = f (x) > 0 dan y = f (x) < 0, (daerah diatas dan dibawah sumbu x), maka dapat dihitung dengan rumus :

  c b f (x) dx f (x) dx

• – L =

   

  a b

  a c x b y = f(x)

  Contoh :

  2

  ₂ Jawab :

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x – 3x – 10 dan sumbu x.

  y = x

• – 3x – 10

  Menentukan titik potong kurva dengan sumbu x

  y

  2

  x

• – 3x – 10 = 0 (x + 2) (x
• – 5) = 0

  x

• 2

  5

  x + 2 = 0  x = -2 x

• – 5 = 0  x = 5
_{5 5 2}

  1 ³

  3 ²

  x x x x x dx

  L = (

  3 10 ) = ( 10 )      

   _{2 }

  3

  2 ₂

  

  1 _{3 3}

  3 _{2 2}

  = { (

  5 ( 2 ) ) ( 5 ( 2 ) ) 10 ( 5 ( 2 ))}         

  3

  2

  1

  3

  = { ( 125

  8 ) (

  25 4 ) 10 (

  5 2 )}      

  3

  2

  1

  1

  1

  = satuan luas

• –(44 – 31 – 70) = 57

  3

  2

6 Untuk luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu x dapat juga dihitung dengan :

  D . D

2 L   D = b

  ₂ – 4ac

  6a

  2

  y = x

• – 3x – 10  a = 1 ; b = -3 ; c = -10

2 D = (-3)

• – 4 . 1 . (-10) = 9 + 40 = 49 49 .

  49 343 L = = ₂ 6 .(

  1 )

  6

  1 L = 57 satuan luas

  6

  2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4

• – x, x = 0 dan x = 8 Jawab : Luas daerah ada di atas sumbu x dan di bawah sumbu x
_{4 8} y

  4 x dx x dx

  L = ( 4  )  ( 4  )

    _{4 4 8}

  1 ₂

  1 ₂

  x x x x

  = ( 4  )  ( 4  )

  2

  2 ₄

  4 8 x

  1 _{2 2}

  1 _{2 2}

  = {

  4 ( 4  )  ( 4  )}  { 4 ( 8  4 )  ( 8  4 )}

  2

  2

  = (16

• – 8) – (16 – 24) = 8 + 8

  y = 4

• – x
L = 16 satuan luas

  2

  3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x , x = 2 dan x = 4

• – x Jawab :

  y

  Kurva ada di atas sumbu x _{4 4 2 2}

  1 ₃

  x x dx x x

  L = ( 4  ) = ( 2  )

   ₂

  3 _{2 2 2}

  1 _{3 3}

  =

  2 ( 4  2 )  ( 4  2 )

  3

  1 2 4 x

  =

  2 ( 16  4 )  ( 64  8 )

  3

  2

  = 24

• – 18
₂

  3 y = 4x

• – x

1 L = 5 satuan luas

  3

  4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 sin 2x, x = 0 dan x =  Jawab :

  y y = 4 sin 2x

  Kurva ada di atas sumbu x dan di bawah sumbu x

   ₂  xdx xdx

  L = 4 sin 2  4 sin

  2

   x /2   ₂  

   x ^{2 x}

  

  = ( 2 cos 2 ) ( 2 cos 2 )    ₂

  

o o o o

  = ) )) + 2(cos 2(180 ) )

• –2(cos 2(90 – cos 2(0 – cos 2(90

  o o o o

  = ) + 2(cos 360 )

• –2(cos 180 – cos 0 – cos 180 =
• –2(-1 – 1) + 2(1 – (-1)) =
• –2(-2) + 2(2) = 4 + 4 L = 8 satuan luas

b. Volume Benda Putar

1. Perputaran terhadap sumbu x

  

y Jika daerah yang dibatasi kurva y = f (x), garis x = a

  dan x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka akan didapatkan benda yang volumenya :

  b

2 V = y dx

  π  a

  a b x

2. Perputaran terhadap sumbu y

  y x = f (y) Jika daerah yang dibatasi kurva x = f (y), garis y = a dan y = b diputar mengelilingi sumbu y, maka akan b didapatkan benda yang volumenya :

  b

2 V = x dy

  π  a

  a x Contoh :

  1. Tentukan volume benda yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 1, x = 0, dan x = 4 yang

  o

  diputar 360 mengelilingi sumbu x

  y = 2x + 1

  Jawab : _{4 2 4 2}

  y x dx x x dx

  V = ( 2  1 ) = ( 4  4  1 )  

    ₄

  4 ^{3 2}

  x x x

  = (  2  ) 

  3

  4

  3

  3

  2

  2 4 x

  = { (4 ) + 2(4 ) + (4

• – 0 – 0 – 0)}

  3

  4

  = { (64) + 2(16) + 4

  3

  1

  = (85 + 32 + 4)

  3

  1 V = 121  satuan volum

  3 Atau dapat juga dihitung dengan menggunakan rumus volume kerucut terpotong

   ^{2 2} V t R R r r

   . .(  .  )

  3 R = jari-jari lingkaran besar, r = jari-jari lingkaran kecil, dan t = tinggi kerucut

  y = 2x + 1 untuk x = 0  r = 1 ; untuk x = 4  R = 9 dan t = 4

  

  2

2 V = . t . (R + R . r + r )

  3 

  2

  2

  = . 4 . (9 + 9 . 1 + 1 )

  3 

  = . 4 . (81 + 9 + 1)

  3

1 V = 121  satuan volum

  3

  2. Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 3

• – x, x = 0, dan x = 3 jika

  o

  diputar 360 mengelilingi sumbu x Jawab : _{3 2 y 3 2}

  x dx x x dx

  V = ( 3 ) = (

  9 6 )     

    _{3 2}

  1 ₃

  x x x

  = (

  9 3 )   

  3

  1

  2

  2

  3 3 x

  3

  = ) + (3 )} {9(3

• – 0) – 3(3 – 0 – 0

  y = 3 3 – x

  1

  = (27)} {9(3)

• – 3(9) +

  3

  = (27

• – 27 + 9) V = 9  satuan volum

  2

  3. Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x dan sumbu x jika

• – x

  o

  diputar 360 mengelilingi sumbu x Jawab : Batasnya adalah x = 0 dan x = 2 _{2 2 2 2 2 3 4}

  x x dx x x x dx

  V =  ( 2  ) =  ( 4  4  )

   

  2

  4 _{3 4}

  1 ₅

  4

  1

  3

  3

  4

  4

  5

  5 x x x

  =  (   ) = { (2 ) ) + (2 )

• – 0 – (2 – 0 – 0

  3

  5

  3

  5

  4

  1

  = { (8 (32

• – 0) – (16 – 0) + – 0)

  3

  5

  2

  2

  = (10 )

• – 16 + 6

  3

  5

16 V =  satuan volum

  15 Pembahasan soal-soal : dx

  1. _{3 5} = ….

   x ₂

₂

_{- -}

₈

  3 ₃

  3

₃

  5 ₅ A. x C

  C. x C

  E. x C

  

   

  2 ₂

  2 ₂

  8 ^-

  5 ₅

  

5

₅ B. x C

  D. x C

     

  2

2 UN 03/04

  Jawab : A Penyelesaian : ₅

• ^- dx dx
_{3 3} = = x dx ₅

   ^{5  } x ₃

  x _{5 2}

   ^{1 - -}

  1 ₃

  1 ₃

  = x  C = x  C

  5

  2   1 

  3 ₂

  3

• ^- 3
₃

  =  x  C

  2

  2

  3

  2

  2. ( x  3x  9x) dx = ….

  

  A. 14

  B. 9

  C. 6 D.

  E.

• –4 –8 UN 04/05 Jawab : A Penyelesaian :

  

2

  2

  1

  9

  3

  2

  4

  3

  2 ( x  3x  9x) dx = x  x  x

  

  4

  2

  1

  9

  4

  3

  2

  = (2 (2

• – 0) – (2 – 0) + – 0)

  4

  2

  1

  9

  = . 16 . 4

• – 8 +

  4

  2

  = 4

• – 8 + 18
_{3 2} = 14 3. Nilai dari ( 9x  2x  3) dx adalah ....

    ¹ A. 20

  B. 34

  C. 74

  D. 80

  E. 88 UN 07/08 Jawab : E Penyelesaian :

  3 _{2 3 2 3} x x x

  ( 9x  2x  3) dx = 3  

  3

    ¹ 

   ₁ 

  3

  3

  2

  2

  = 3 (3 - (-1) ) - (3 - (-1) ) + 3(3 - (-1)) = 3 (27 + 1) - (9 - 1) + 3 (3 + 1)

  = 84 - 8 + 12 ₂ = 88 4. ( 2x  1) dx = ….

  

  4

  4

  3

  2

  

3

  2

  3

  2 A. x + 4x + 1 + C

  C. x + 4x + x + C

  E. x + 2x + x + C

  3

  3

  4

  3

  2

  

3

  2 B. x + 2x + x + C

  D. x + 2x + 1 + C

3 UN 07/08

  Jawab : E Penyelesaian : _{2 2}

  ( 2x  1) dx = ( 4x  4x  1) dx  

  4

  3

  2

  = x + 2x + x + C

  3  ₂

  5. ( 4 sin 2x 2 - cos 5x) dx = ….

  

  18

  4

  3

  2 A.

  B. 2 C.

  D.

  E.

  5

  5

  5

  5 UN 03/04

  Jawab : A Penyelesaian :

   ₂  ₂

  2 

  ( 4 sin 2x - 2 cos 5x) dx  = 2 cos - 2x sin 5x

  

  5  

  2 o o o o

  = -2 (cos 2 . 90 ) - (sin 5 . 90 )

• – cos 0 – sin 0

  5

  2 o o o o

  = -2 (cos 180 ) - (sin 450 )

• – cos 0 – sin 0

  5

  

2

  = -2 (-1 (1

• – 1) – – 0)

  

5

  2

  = -2 (-2) -

  5

  2

• – = 4

  5

  20

  2

• – =

  5

  5

  18

  =

  5

  

2

6. Luas daerah yang dibatasi oleh y = 4x – x , y = 0, x = 1, x = 3 adalah ….

  20

  32

  64 A. satuan luas

  C. satuan luas

  E. satuan luas

  3

  3

  3

  22

  40 B. satuan luas

  D. satuan luas

  3

  3 UN 03/04

  Jawab : B

  Penyelesaian : _{3 2} L = ( 4x - x ) dx ₁  ₃

  1  ^{2 3 }

  = 2x  x

  3   ₁

  1

  1

  3

  3

  3

  = 2 (3 ) (3 ) = 2 (9 (27

• – 1 – 1 – 1) – – 1)
• – 2

  3

  3

  1

• – = 2 . 8 . 26

  3

  26

• – = 16

  3

  48

  26

• – =

  3

  3

22 L = satuan luas

  3 7.

  Luas daerah yang dibatasi kurva y = x + 2, garis x = 1, garis x = 2, dan sumbu x adalah … satuan luas.

  1

  1

  1

  1

  1 A. 6

  B. 4

  C. 5

  D. 3

  E. 2

  2

  2

  4

  2

  4 UN 04/05

  Jawab : D Penyelesaian :

  y = x + 2 y

  2

  2

  1

  4

2 L = (x  2) dx = x  2x

  

  2

  1

  3

  1

  1

  2

  2

  2

  = (2 ) + 2 (2

• – 1 – 1)

  2

  1

  1

  = . 3 + 2 = 1 + 2

  1

  2 x

  2

  2

  1

  = 3 satuan luas

  2 atau dengan menggunakan rumus luas trapesium.

  1 L = . jumlah sisi sejajar . tinggi

  2

  1 L = (3 + 4) . (2

• – 1)

  2

  1

  = . 7 . 1

  2

1 L = 3 satuan luas

  2

  2

8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x – 3x dan y – x = 0 adalah … satuan luas.

  34

  32

  28 A. 12 B.

  C.

  D. 10 E.

  3

  3

  3 UN 05/06

  Jawab : C Penyelesaian :

  2 Menentukan titik potong dua kurva y y = x

• – 3x

  2 y = x

  x

• – 3x – x = 0

  2

  x

• – 4x = 0 x (x
• – 4) = 0 x = 0 dan x = 4

  4

  2 L = x  x  3x dx    

  

  4 4 3 x

  2 L = x  x  3x dx  

  

  4

  2 L = 4x  x dx  

  

  4

  1

  2

  3 L = 2x  x

  3

  1

  2

  3 L = 2 (4 (4

• – 0) – – 0)

  3

  1

• – L = 2 . 16 . 64

  3

  64

• – L = 32

  3

  96

  64

• – L =

  3

  3

  32 L = satuan luas

  3 D D .

  L

  Atau dengan cara rumus :  ₂

  a

  6

  2

  x

• – 3x = x

  2

  x

• – 3x – x = 0

  2

  x

• – 4x = 0  a = 1 ; b = -4 ; c = 0

  2

  2 D = b

• – 4ac = (-4) – 4 . 1 . 0 = 16 16 .

  16

  64 L = = ₂ 6 .(

  1 )

  6

  32 L = satuan luas

  3

  2

  9. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 6x, garis x = -5, garis x = -2, dan sumbu x adalah ... satuan luas.

  A. 20

  B. 24

  C. 32

  D. 36

  E. 38 UN 07/08 Jawab : B

  y

  Penyelesaian ; ₂

   _{2 2} x x dx y = x + 6x

  L =  (  6 )

   ₅  ₂ 

  1  ^{3 2 }

  x x

  =  

  3

  3 ₅   

• 2 x
• 6 -5

  1

  3

  3

  2

  2

  = - { ((-2) - (-5) ) + 3 ((-2) - (-5) }

  3

  1

  = - { (-8 + 125) + 3(4 - 25)

  3

  = - {39 - 63} = - (-24) L = 24 satuan luas

  10. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 1, x = 1 dan x = 2 diputar

  o

  mengelilingi sumbu x sejauh 360 adalah … satuan volum

  1

  1

  

1

  1

  1 A. 21 

  B. 18 

  C. 13 

  D. 6 

  E. 16 

  3

  3

  

3

  3

  3 UN 04/05 y = 2x + 1

  Jawab : C

  y

  Penyelesaian :

  5

  2

  2

  3

  2

  2 V =  y dx =  (2x  1) dx  

  1

  1

  2

  2

  =  (4x  4x  1) dx

   x

  1

  2

  1

  2

  4

  3

  2

  =  x  2x  x

  3

  1

  4 _{3 3 2 2} (2 ) + 2(2 ) + (2

  = { – 1 – 1 – 1)}

  3

  4

  =  ( . 7 + 2 . 3 + 1)

  3

  1

  =  (9 + 6 + 1)

  3

  1 V = 16  satuan volum

  3 atau dihitung dengan rumus kerucut terpotong.

  

  2

  2 V = . t (R + R . r + r ) ; R = 5, r = 3

  3 

  2

  2

  = . (2 + 5 . 3 + 3 )

• – 1) (5

  3 

  = . 1 . (25 + 15 + 9)

  3 

  = . 49

  3

  1 V = 16

   satuan volume

  3

  11. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 8, x = 1 dan x = 3 diputar

  o

  mengelilingi sumbu x sejauh 360 adalah … satuan volum.

  1

  1

  

2

  2

  2 A. 244 

  B. 274 

  C. 290 

  D. 300 

  E. 320 

  3

  3

  

3

  3

  3 UN 05/06

  Jawab : C

  y = 2x + 8 y

  Penyelesaian :

  3

  2 V =  2x 

  8 dx

    

  8

  1

  3

  2 V =  4x  32x 

  64 dx

    

  1 1 3 x

  3

  4

  3

  2 V =  x  16x  64x

  3

  1

  4

  3

  3

  2

  2 V =  { (3 ) + 16 (3 ) + 64 (3

• – 1 – 1 – 1)}

  3

  4 V =  { (27

• – 1) + 16 (9 – 1) + 64 (3 – 1)}

  3

  2 V =  {34 + 128 + 128}

  3

  2 V = 290  satuan volum

  3 Atau dengan menggunakan rumus volume kerucut terpotong t

  2

  2 V = (R + R . r + r )  .

  3 R = 2 . 3 + 8 = 14 ; r = 2 . 1 + 8 = 10 dan t = 3

• – 1 = 2

  2

  2

  2 V =  . (14 + 14 . 10 + 10 )

  3

  2 V =  . (196 + 140 + 100)

  3

  2 V =  . . 436

  3 872

  V =  .

  3

  2 V = 290  satuan volum

  3

  12. Volume yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x + 4, sumbu x, x = -2, dan x = 0,

  o diputar 360 mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.

  42

  20

  16

  38  32 

  A.  B.

  C.

  D. 

  E. 

  3

  3

  3

  3

  3 UN 07/08

  Jawab : C

  y = 2x + 4

  Penyelesaian : _{2 2 2} y

  x dx x x dx

  V =  ( 2  4 ) =  ( 4  16  16 )

    _{2 2}  

  4  ^{3 2 }

  x x x

  =   8 

  16

  3    ²

  x

• 2

  4

  3

  3

  2

  2

  =  { (0 - (-2) ) + 8 (0 - (-2) ) + 16 (0 - (-2))}

  3

  4

  =  { (0 + 8) + 8 (0 - 4) + 16 (0 + 2)}

  3

  32 =  ( - 32 + 32)

  3 32  satuan volum =

  3 Atau dengan rumus volume kerucut.

  1

  2 V =  . r . t

  3

  untuk x = -2  r = 2 (-2) + 4 = 0 untuk x = 0  r = 2 (0) + 4 = 4 tinggi t = 0 - (-2) = 2

  1

  2 V =  . 4 . 2

  3

  1

  =  . 16 . 2

  3

  32  satuan volum =

  3 Soal latihan :

  4

  1. Nilai dari : ( 6x 2) dx  = ….

  

  1 A. 51 _{3 2} B. 49

  C. 45

  D. 36

  E. 20

  x dx

  2. ( 3  2 )  ....

   ₁ A. 56

  B. 48

  C. 42

  D. 38

  E. 33 3. 2x) dx - (2 cos x sin = ....

  

  1 A. 2 sin x

  C. 2 sin x + cos 2x + C

  E. 2 sin x

• – 2 cos 2x + C
• – cos 2x + C

  2

  1

  D. 2 sin x + cos 2x + C _{3 2}

• – B. 2 sin x cos 2x + C

  2 x dx

  4. (  3 )  ....

  

  A. 27 ₂ B. 18

  C. 9

  D. 6

  E. 3

  2

  1  

  5.  dx   = …. _{3 2}

  

  x x  

  1

  3

  3

  9

  1

  B.

  C.

  D.

  1 A.

  E.

  8

  4

  4

  4 _{2 2}

  4

  x x dx

  6. ( 3  2  4 ) = ….

   ₁ 

  A. 18

  B. 19

  C. 22

  D. 24

  E. 26

  3

  2

  7. Nilai dari : ( x  5x  6) dx = ….

  

  2

  1

  1

  5

  1

  2

  B.

  C.

  D. 1

  E. 1

• –1
• – A.

  6

  6

  6

  3

  3

  2 8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x - x , y = 2x, dan sumbu x adalah ... satuan luas.

  1

  

2

  1 A. 21

  B. 18

  C. 10

  D. 9

  E. 4

  3

  

3

  2

  2 9. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x , x = 0, dan x = 4 adalah ... satuan luas.

• – x

  1

  2

  1 A. 21

  B. 18

  C. 16

  D. 10

  E. 5

  3

  3

  3

  10. Luas daerah yang terjadi jika kurva y = 4x, yang dibatasi oleh sumbu x ; x = -2 dan x = 2 adalah … satuan luas.

  A. 16

  B. 14

  C. 10

  D. 8

  E. 0

  2

  11. Luas daerah yang terjadi jika kurva y = 6x – x , dibatasi sumbu x, adalah … satuan luas.

  118 114 108 115 112 A.

  B.

  C.

  D.

  E.

  3

  3

  3

  6

  6

  2

  12. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x – 5x + 4 dan sumbu x adalah … satuan luas.

  2

  1

  1 A. 12

  B. 9

  C. 6

  D. 5

  E. 4

  3

  4

  2

  2

  13. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x – 4x + 3, dan sumbu x adalah … satuan luas.

  1

  2

  1

  2

  1 A. 1

  B. 1

  C. 2

  D. 2

  E. 3

  3

  3

  3

  3

  3

  14. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, x = 0, x = 3, dan sumbu x jika

  o

  diputar 360 mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.

  A. 27 

  B. 45 

  C. 54 

  D. 63 

  E. 76 

  15. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 3, x = 1, x = 4 dan diputar

  o

  mengelilingi sumbu x sejauh 360 adalah … satuan volum.

  1

  2

  2 A. 198 

  B. 200 

  C. 201 

  D. 211 

  E. 231 

  3

  3

  3

16. Volume yang terjadi kurva y = -3x yang dibatasi oleh sumbu x, x = 0 dan x = -3 diputar 360° dengan sumbu x adalah … satuan volume.

  A. 36

  B. 48

  C. 56

  D. 64

  E. 81     

  17. Volume benda putar yang terjadi jika kurva y = x

• – 1, yang dibatasi oleh sumbu x, x = 1 dan x = 5, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360  adalah … satuan volume.

  49

  51

  64 A.

  B.

  C.

  D.

  E.   54   68 

  3

  3

  3

  3

  3

  18. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, sumbu x, x = 0, dan x = 2 diputar

  o 360 mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.

  2

  3

  1 A. 18 

  B. 19 

  C. 21 

  D. 21 

  E. 24 

  3

  5

  3

  19. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x, x = 0, x = 2, dan sumbu x jika diputar

  o

  360 mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.

  A. 3 1 

  B. 4 2 

  C. 5 1 

  D. 6 2 

  E. 10 2 

  3

  3