Ruang Vektor Vektor vektor Yang Tegak Lu

■ Ruang Vektor

1

Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel
-

Dua vektor A dan B saling tegak lurus atau A ⊥ B (yaitu cos θ = 0), jika
AoB = 0

-

atau

jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0

Dua vektor A dan B saling paralel jika komponen-komponennya sebanding atau
jika :

Ay
Ax

A
=
= z
Bx
By
Bz

Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha
Dalam fisika, usaha = gaya × jarak perpindahan
Jika vektor gaya dan vektor jarak perpindahan tidak sejajar, maka :
Usaha = besarnya komponen gaya yang sejajar dengan arah perpindahan x besarnya
jarak
v
v
W = F cos θ . d

v
F

v

F

= Fod

θ
v
d

v
F cos θ
komponen vektor gaya F yang sejajar dengan jarak perpindahan d

CONTOH :
Diketahui :
F = 2i + 2j – 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang bergerak dari titik (1,0,1)
ke titik (2,4,2)
Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F
Jawab:
W = Fod
d = (2–1)i + (4–0)j + (2–1)k = 2i + 4j + k

W = (2i + 2j – 4k ) o (2i + 4j + k) = 4 + 8 – 4 = 8 satuan usaha

■ Ruang Vektor
a.

2

Hasil Kali Vektor (Cross Product / Vector Product )
Ditulis : A × B = C hasilnya berupa vektor
dengan

A × B = A B sin θ

A ×B

A
C

B

θ
B
B

A

θ
C

A

B× A

Arah dari A × B ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan.

Sifat Hasil Kali Vektor :
1.

A ×B ≠ B× A

A ×B = – (B × A )

anti komutatif

2.

(k A ) × B = k( A × B ) = A × k(B)

3.

A × (B + C ) = ( A × B ) + ( A × C )
( A + B ) × C = ( A × C ) + (B × C )

Dalam R3
i × i = i i sin 0 = 0

Z

dengan cara yang sama

i×i=j×j=k×k=0
i × j = i j sin 90° = 1

k
j

Y

j × k = j k sin 90° = 1
k × i = k i sin 90° = 1

i
X
sehingga :

Jika :

i×j=k

;

j×k=i

j × i = -k

;

k × j = -i

;
;

k×i=j
i × k = -j

A

=

Ax i + Ay j + Az k

B

=

Bx i + By j + Bz k

=

(Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk)

=

(AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k

maka : A × B

■ Ruang Vektor

3

atau :
i
Ax
Bx

A ×B =

j
Ay
By

k
Az
Bz

dan
A × B = A B sin θ =

(A o A )(B o B) − (A o B)

2

CONTOH :
A

=

2i – j + k

B

=

i – 3j + 4k

A o A = 22 + (-1)2 + 12 = 6
BoB

= 12 + (-3)2 + 42 = 26

; A o B = 2(1) + (-1)(-3) + 1(4) = 9

i
j k
A × B = 2 - 1 1 = i ( −4 + 3) − j (8 − 1) + k ( −6 + 1) = - i – 7j – 5k
1 -3 4

A ×B =

12 + 7 2 + 5 2 =

1 + 49 + 25 =

A ×B =

(A o A )(B o B) − (A o B)

2

=

75

6(26 ) − 9 2 =

75

Aplikasi dari Hasil Kali Vektor
Menghitung Torsi / Momen
Dalam mekanika, momen atau torsi dari gaya F terhadap titik Q didefinisikan
sebagai : m = F d
dengan

F

d = jarak (dalam arah ⊥) antara titik Q ke garis gaya F
d
Q

L

r

d

F

θ

θ

Q

■ Ruang Vektor

4

Jika: r = adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik sembarang pada garis
gaya F
Maka d =

r sin θ

θ = sudut antara r dengan F

;

dan m = F r sin θ = F × r
Jika m = M , maka M = F × r = vektor momen dari gaya F terhadap titik Q

CONTOH :
y

Tentukan vektor momen dari gaya F terhadap titik O
(2,1)
r

'

0

'

'

x

'

F

(4,-2)
Jawab :
F = (4 – 2) i + (–2 –1) j + 0k = 2i – 3j + 0k
r

= (2 – 0) i + (1 – 0) j + 0k = 2i + j + 0k

i
M = F xr = 2
2

j
-3
1

k
0 = i (0) − j (0) + k (2 + 6) = 8k
0

m = M = 64 = 8

c.

Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product)
Jika :
A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
C = Cx i + Cy j + Cz k

AxB =

Ay
By

Az i − Ax
Bz
Bx

Ay
AxBoC =
By

Az j + Ax
Bx
Bz

A z Cx − A x
Bz
Bx

Ay k
By

A z Cy + A x
Bx
Bz

Ax
A y Cz
= Bx
By
Cx

Ay
By

Az
Bz

Cy

Cz

■ Ruang Vektor

5

→ disebut hasil kali skalar tripel, karena hasilnya merupakan skalar.

Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat :

(

)

(

)

1. A × B o C = B × C o A = C × A o B
sehingga:

(A × B) o C = A o (B × C)

Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya, letak tanda x
dan o nya tidak mempengaruhi hasilnya.
Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah.
Sehingga:

A × B o C = −B × A o C = −B o A × C
2. Hasil kali skalar tripel: A × B o C = 0 bila dan hanya bila A, B dan C sebidang.
Bukti :
a.

A × B o C = 0 ⇒ A, B dan C sebidang

Jika A × B o C = 0 maka A × B ⊥ C atau salah satu dari A, B atau C vektor nol
Berarti:
i.

Apabila salah satu dari A, B atau C vektor nol, maka pasti
A, B dan C sebidang

ii.

Apabila A × B ⊥ C maka C bisa diletakkan sebidang dengan A dan B
sehingga A, B dan C sebidang

b.

Jika A, B dan C sebidang ⇒ A × B o C = 0
Jika A, B dan C sebidang, maka A × B ⊥ C sehingga A × B o C = 0

Arti Geometris Dari A × B o C
Diberikan vektor A, B dan C

G

F

A = OA
B = OB
C = OC

C
P

E

θ

B

θ C
P = A ×B

O

B
A

A

D

■ Ruang Vektor

6

A × B = luas jajaran genjang OADB
A ×B o C

= P o C = P C cos θ

C cos θ = tinggi C di atas bidang OADB
Jadi A × B o C

= volume bidang enam (paralel epipedum) OADB – CEFG yang
disusun oleh A, B dan C

Catatan :
Luas jajaran genjang OABC =
O

A'

θ)

OB AA ' = OB OA sin θ = OB × OA

B

C

A

CONTOH :

(

)(

) (

)

Buktikan bahwa A + B o A + C × A + B = 0
Bukti :
Misalkan A + B = u
A+C = v

Maka : u o v × u = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u
Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga vektor tersebut
sebidang sehingga : u o v × u = 0

d.

Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product)

(A × B)× C

Hasil kali vektor tripel adalah :

;

(

A × B×C

)

Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak kurungnya ditukar.
Misalkan :
≠

(i × i) × j = 0 × j = 0

Sifat Hasil Kali Vektor Triple :
1.

(

) (

)

A × B × C ≠ A ×B × C

i × (i × j) = i × k = –j

■ Ruang Vektor

7

(

) ( ) ( )
(A × B)× C = (A o C)B − (B o C)A

A × B×C = A o C B– A oB C

2.

CONTOH :
1. Jika:

A = 2i + 2j – k
B =

i - j+k

C = 3i + j – 2k

(

)

(

Hitung : A × B × C ; A × B × C

)

Jawab :

a.

i
j
k
Ax B = 2 2 − 1
1 −1 1

= i (2 − 1) − j (2 + 1) + k ( −2 − 2) = i – 3 j – 4k

i
j
k
( Ax B ) x C = 1 − 3 − 4
3 1 −2

= i (6 + 4) − j ( −2 + 12) + k (1 + 9) = 10i – 10j + 10k

Atau :

(A × B)× C = (A o C)B − (B o C)A = (6 + 2 + 2)(i

- j + k) – (3 -1 -2)( 2i + 2j – k)

= 10 (i - j + k) = 10i – 10j + 10k

b.

B×C =

i
j
k
1 −1 1
3 1 −2

A x (B × C) =

Atau :

(

= i (2 − 1) − j ( −2 − 3) + k (1 + 3) = i + 5 j + 4k

i j k
2 2 −1
1 5 4

) (

= i (8 + 5) − j (8 + 1) + k (10 − 2) = 13i − 9 j + 8k

) (

)

A × B × C = A o C B – A o B C = (6 + 2 + 2)(i - j + k) – (2 – 2 – 1)(3i + j – 2k)
= 10 (i - j + k) + (3i + j – 2k) = 13i − 9 j + 8k

2. Buktikan : A × [ A × ( A × B)] = ( A o A )(B × A )
Bukti :
Misalkan A × B = C

) ( ) ( )
= (A o A × B) A − (A o A )(A × B)
= 0 (A ) − (A o A )(A × B )
(

Maka A × [ A × ( A × B)] = A × A × C = A o C A − A o A C

■ Ruang Vektor

8

(

)( )
(A o A )(B × A )

= − A o A A ×B
=

■ Ruang Vektor

9

PENGGUNAAN VEKTOR DALAM GEOMETRI

a. Persamaan Garis
Dalam R3 :
Andaikan ℓ sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan sebuah vektor
v = Ai + Bj + Ck. Maka ℓ merupakan tempat kedudukan semua titik P(x,y,z) sedemikian
hingga P1P sejajar dengan v

l

P(x,y,z)
V = Ai + Bj + Ck

P1(x1,y1,z1)

Jadi titik P(x,y,z) terletak pada garis ℓ bila dan hanya bila P1P = t v dengan t adalah suatu
skalar.
Atau :
(x – x1)i + (y – y1) j + (z – z1) k = t (Ai + Bj + Ck) = t Ai + t Bj + t Ck
Ini berarti :
x − x1 = t A
y − y1 = t B
z − z1 = t C





x = x1 + t A
y = y1 + t B
z = z1 + t C

Persamaan parameter garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan paralel dengan vektor v .
Atau:

t=
(x1,

x − x1 y − y1 z − z1
=
=
A
B
C

Persamaan standard garis yang melalui titik
y1, z1) dan paralel dengan v = Ai + Bj + Ck

Dalam hal ini v = Ai + Bj + Ck disebut vektor arah garis ℓ , dan A, B, C merupakan bilangan
arah garis.

Jika salah satu dari A, B dan C nol
Misalkan A = 0 maka

x – x1 = 0

Persamaan standardnya ditulis :

→ x = x1

y − y 1 z − z1
=
; dan
B
C

x = x1

CONTOH :
Tentukan persamaan garis melalui titik A ( 5,4,1) dan titik B (3, 1, 6)

⇒
Vektor arah garis v = AB = –2i – 3j + 5k

■ Ruang Vektor
10
Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x,y,z) dan titik tertentu yang terletak pada
garis diambil titik A(5,4,1) maka
Persamaan standard garis :

x − 5 y − 4 z −1
=
=
−2
−3
5

Atau :
x−5 y−4
⇒ 3x – 2y – 7 = 0
=
−3
−2

∴

Persamaan standard garis :
3 x − 2y − 7 = 0
5 y − 3z − 17 = 0

y − 4 z −1
⇒ 5y – 3z – 17 = 0
=
−3
5
Persamaan parameter garis :
x = 5 − 2t
y = 4 − 3t
z = 1 + 5t

Dalam R2 :
Jika suatu garis mempunyai gradien (bilangan/tangen arah) = m
maka vektor arah garis ℓ = i + mj

b. Persamaan Bidang
Vektor N ⊥ bidang W sehingga N disebut Vektor

N

Normal dari bidang W
Jika N = Ai + Bj + Ck
Q(x, y, z)

W ) P(x 1, y 1, z 1 )
PQ = (x – x1) i + (y – y1) j + (z – z1) k

→ PQ terletak pada bidang W

Sehingga PQ ⊥ N ⇒ N o PQ = 0
Atau :

A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0

→ Persamaan bidang melalui titik (x1, y1, z1) dengan normal bidang N = Ai + Bj + Ck
CONTOH :
1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3, 2,1) ; Q(4,1, 5) ; R(2, 4, 3).

⇒

■ Ruang Vektor
11
PQ = i − j + 4k  vektor PQ dan PR terletak pada bidang

PR = −i + 2 j + 2k 
i
N = PQ × PR = 1
-1

j
-1
2

k
4 = 10i - 6 j + k
2

∴ Persamaan bidang:
A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0
10 (x – 3) – 6 (y – 2) + 1( z – 1) = 0
10x – 6y + z + 41 = 0

Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai :
Ax + By + Cz + D = 0
dengan N = Ai + Bj + Ck

2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2) ;

tegak lurus pada bidang

U = 2x + 3y + z = 8 dan tegak lurus pada bidang V = x – y + 3z = 0
⇒

U : 2x + 3y + z = 8

→

NU = 2i + 3 j + k

V : x – y + 3z = 0

→

N V = i – j + 3k

Dicari bidang W yang ⊥ bidang U dan V, berarti N w ⊥ Nu dan N V
Atau
i
Nw = Nu × Nv = 2
1

j
3
-1

k
1 = 10i − 5 j - 5k
3

Persamaan bidang W :
10(x – 4) – 5(y – 1) – 5(z + 2) = 0
10x – 5y – 5z – 45 = 0
2x – y – z = 9

c.

Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang
Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan persamaan bidang
V : Ax + By + Cz + D = 0
→ Normal bidang N v = Ai + Bj + Ck

■ Ruang Vektor
12
 D

Jika A ≠ 0 ⇒ Titik Q − ; 0 ; 0  terletak pada bidang tersebut.
 A

D

k = QP =  r + i + sj + tk
A

P(r,s,t)

N θ

k
d

Q(-D/A,0,0)
θ = sudut antara N dan k

sehingga d = k cos θ
N o k = N k cos θ = N d ⇒ d =

Nok
N

D

A  r +  + Bs + Ct
A
sehingga : d = 
A 2 + B2 + C2
atau
d =

Ar + Bs + Ct + D
A 2 + B 2 + C2

Jarak titik P(r,s,t) ke bidang : Ax + By + Cz + D = 0

CONTOH :
Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jika A = (2,4,2) ; B = (6,4,3) ; C = (0,5,1)
⇒

AC = -2i + j + k
AB = 4i + k

i

j

k = − i + 2 j + 4k

Normal bidang N = AB × AC = 4 0 1
− 2 1 −1
Persamaan bidang ABC :
–(x – 0) + 2 (y – 5) + 4 (z – 1) = 0
–x + 2y + 4z – 14 = 0
Jarak titik P(5, 5, 4) ke bidang : –x + 2y + 4z – 14 = 0 adalah :

■ Ruang Vektor
13
d= d =

d.

− 1(5) + 2(5) + 4( 4) − 14
1 + 4 + 16

=

− 5 + 10+!6 − 14

=

7

21

21

Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang
Diberikan bidang v dengan normal Nv
Diberikan bidang w dengan normal N w
(W

V)

Nv

l
Nw

Jika bidang V dan W berpotongan pada satu garis maka vektor arah garis tersebut akan ⊥
dengan N v maupun N w
Sehingga jika vektor arah garis tersebut l , maka l = Nv × Nw
CONTOH :
Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang
2x + y – 2z = 5 dan 3x – 6y – 2z = 7
⇒

V = 2x + y – 2z = 5

→ Nv = 2i + j – 2k

W = 3x + 6y – 2z = 5

→ Nw = 3i + 6j – 2k

Vektor arah garis:
L = Nv × Nw = i

j

k = −14i − 2 j − 15k

2 1 −2
3 −6 −2
Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang :
(i) 2x + y + 2z = 5
(ii) 3x – 6y – 2z = 7
–––––––––––– –
–x + 7y
= –2
Misalkan diambil : y = 0 → – x = –2
(i). 2(2) + 0 – 2z = 5

→ x = 2

→ –2z = 5 – 4 → z = – ½

■ Ruang Vektor
14
Jadi titik (2, 0, -½ ) terletak pada garis potong 2 bidang.
Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :

e.

x − 2 y − 0 z + 12
=
=
− 15
− 14
−2

Sudut Antara Garis dan Bidang
Jika :
l = ai + bj + ck → vektor arah garis l

N = Ai + Bj + Ck → normal bidang V = Ax + By + Ck + D = 0

l

N

θ

v)

φ

cos θ =

No l

=

Nl

Aa + Bb + Cc
( A + B 2 + C 2 )(a 2 + b 2 + c 2 )
2

sin φ = sin (90 – θ)
= cos θ =

Aa + Bb + Cc
( A + B 2 + C 2 )(a 2 + b 2 + c 2 )
2

Sehingga sudut antara garis dengan vektor arah l = ai + bj + ck dengan bidang V dengan
normal bidang N v = Ai + Bj + Ck adalah
φ = arcsin

Aa + Bb + Cc
( A 2 + B 2 + C 2 )(a 2 + b 2 + c 2 )