Anova Untuk Analisis Rata Rata Respon Ma

ANOVA UNTUK ANALISIS RATA-RATA RESPON MAHASISWA KELAS LISTENING

Novatiara Fury Pritasari 3) , Hanna Arini Parhusip , Bambang Susanto

1) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2), 3) Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW

Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

novatiarafury@gmail.com 3) , hannaariniparhusip@yahoo.co.id , bsusanto5@gmail.com

Abstract

Data pengukuran berulang (repeated measures) memiliki struktur data longitudinal. Dalam makalah ini, data longitudinal yang dianalisa adalah data hasil penyebaran kuesioner mahasiswa FBS UKSW pada 2 kelas Listening FBS UKSW yang berbeda selama 3 kali pertemuan (3 minggu). Adapun tujuan dari makalah ini adalah untuk mengetahui apakah ada perbedaan yang signifikan antara respon mahasiswa kelas Listening terhadap pertanyaan yang diteliti pada setiap kelas menggunakan one-wayrepeated measures dan dua kelas yang bebeda menggunakan two-way repeated measures. Analisis data menggunakan program SPSS 16.0 sebagai alat bantu. Berdasarkan pengujian one-way repeated measures, pada Kelas A ada perbedaan yang signifikan yaitu ada perbedaan respon minggu kedua dengan minggu ketiga. Sedangkan respon mahasiswa pada Kelas B tidak berbeda secara signifikan. Pada pengujian two-way repeated measures ada perbedaan respon Kelas A dan Kelas B, tetapi tidak ada perbedaan respon mahasiswa dari minggu pertama sampai minggu ketiga. Untuk interaksi Kelas dan Rata-rata respon mahasiswa menunjukkan bahwa respon mahasiswa tergantung pada dua kelas yang berbeda.

Kata Kunci:One-way repeated measures , two-way repeated measures

PENDAHULUAN

Pritasari dkk (2013) telah membahas perbedaan respon mahasiswa kelas Listening antar dua minggu yang berbeda dalam tiga minggu yang bertujuan untuk mengetahui perbedaan respon mahasiswa menggunakan paired comparisons. Pada pengujian tersebut disimpulkan bahwa pada kelas A minggu ke-1 dengan minggu ke-3 tidak ada perbedaan respon mahasiswa. Tetapi pada minggu ke-1 dengan minggu ke-2 dan minggu ke-2 dengan minggu ke-3 ada perbedaan respon. Sedangkan pada kelas B tidak ada perbedaan respon mahasiswa pada minggu ke-2 dengan minggu ke-3, tetapi pada minggu ke-1 dengan minggu ke-2 dan minggu ke-1 dengan minggu ke-3 ada perbedaan respon. Hal ini juga diperkuat dengan hasil analisa penghitungan daerah konfidensi 95%.

Dalam makalah ini ANOVA digunakan untuk menganalisis data yang sama.ANOVA adalah suatu metode untuk menguji hipotesis kesamaan rata-rata dari tiga atau lebih populasi. Analisis terhadap data pengukuran berulang tersebut dilakukan untuk menyelidiki apakah ada perbedaan yang signifikan antara respon mahasiswa kelas Listening pada setiap kelas dan dua kelas yang berbedamenggunakan one-wayrepeated measures dan two-way repeated measures. Program SPSS

16.0 digunakan sebagai alat bantu untuk melakukan analisis data.

Makalah Pendamping: Matematika 3 233

Volume 2

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013

METODE PENELITIAN Jenis Penelitian

Penelitian ini menggunakan pendekatan kuantitatif.

Waktu dan Tempat Penelitian

Penyebaran kuesioner dilakukan pada kelas Listening Fakultas Bahasa dan Sastra (FBS) UKSW selama tiga kali pertemuan pada setiap hari Senin tanggal 11, 18, dan 25 Februari 2013 untuk kelas A. Sedangkan untuk kelas B setiap hari Kamis tanggal 14, 21, dan 28 Februari 2013.

Target atau Subjek Penelitian

Subjek dari penelitian ini adalah mahasiswa baru kelas Listening FBS UKSW pada dua kelas yang berbeda. Data dan Teknik Pengumpulan Data  Data yang digunakan adalah data sekunder dari penelitian Rahandika(2013). Data tersebut

diperoleh melalui penyebaran kuesioner yang berisi 13 pertanyaan yang sama di setiap minggu untuk 29 mahasiswa pada 2 kelas Listening FBS-UKSW selama tiga kali pertemuan. Isi kuesioner mengenai persepsi mahasiswa tentang variasi latihan pada kelas Listening. Jenis data adalah data skala 1-5 (skala likert) sebagai skala untuk menyatakan berturut-turut sangat tidak setuju hingga sangat setuju.

Teknik Analisis Data

ANOVA adalah suatu modelyangcukup komprehensif untukmendeteksi perbedaan kelompok pada variabel terikat tunggal. Teknik yang lebih umum biasa dikenal sebagai multivariat analisis varians (MANOVA). MANOVA dapat dianggap sebagai ANOVA untuk situasi dimana ada beberapa variabel terikat. Pada Tabel 1 dijelaskan perbedaan dari ANOVA dan MANOVA. Informasi lebih lengkap dapat dilihat di Field(2009) dan Stevens (2009).

Tabel 1. Perbedaan ANOVA dan MANOVA

ANOVA

MANOVA

Hanya satu variabel terikat

Beberapa variabel terikat

Menguji perbedaan mean pada Menguji perbedaan vektor mean variabel terikat untuk beberapa

beberapa variabel terikat

variabel bebas

Sedangkan perbedaan one-way repeated measures dan two-way repeated measures hanya pada variabel bebas. One-way repeated measures menggunakan satu variabel bebas dan two-way repeated measures menggunakan dua variabel bebas.

a. Repeated Measures (Pengukuran Berulang) ANOVA

Repeated measures adalah pengukuran berulang terhadap sekumpulan obyek atau partisipan yang sama. Pada prinsipnya Repeated Measures ANOVA sama dengan paired t-test untuk membandingkan rata-rata dua sampel yang saling berhubungan. Perbedaannya dengan ANOVA

Makalah Pendamping: Matematika 3

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013 Volume 2

adalah sampel uji ini adalah sampel pengukuran berulang, sementara ANOVA mensyaratkan sampel bebas.

One-way repeated measures ANOVA biasanya digunakan untuk membandingkan nilai disain sebelum dan sesudah partisipan yang sama pada satu grup. Sedangkan two-way repeated measures ANOVA membandingkan pada dua grup. (Web 4)

Dalam disain general linear model repeated measures, level dari within subject factor mewakili beberapa pengamatan dari skala waktu ke waktu dalam kondisi yang berbeda. Ada 3 jenis tes yang dilakukan jika within subject factormemiliki lebih dari dua level, yaitustandar univariat uji

F , uji univariat alternatif, dantes multivariat. Tiga jenistes ini mengevaluasi hipotesis yang sama, rata-rata populasisama untuk semua level pada faktor (Web 1).  Standarunivariatuji F ANOVAtidak dianjurkanketikawithin subject factormemiliki lebih

daridua levelkarenapadaasumsitersebut, asumsi Sphericity umumnyadilanggardanuji F ANOVAmenghasilkan p-value yangakuratsejauhasumsiini dilanggar.

 Tes univariat alternatif memperhitungkan pelanggaran asumsi Sphericity. Tes ini menggunakan penghitungan statistik F yang sama dengan standar univariat tes. Namun p-value berpotensi berbeda. Dalam menentukan p-value, sebuah epsilon statistikdihitung berdasarkan data sampel untuk mengetahui derajat yang melanggar asumsi Sphericity. Pembilang dan penyebut derajat kebebasan uji standar dikalikan dengan epsilon untuk mendapatkan serangkaian derajat kebebasanyang sudah dikoreksi untuk membuat nilai F yang baru dan menentukan p-value.

 Uji multivariat

Perbedaan nilai dihitung dengan membandingkan nilai-nilai dari berbagai levelwithin subject factor.Misalnya untuk within subject factor dengan tiga level, nilai perbedaan mungkin dihitung antara level pertama dengan kedua dan antara level kedua dengan ketiga. Uji multivariat kemudian akan mengevaluasi apakah rata-rata populasi untuk nilai perbedaan kedua pasangan secara simultan sama dengan nol. Tes ini tidak hanyamengevaluasi rata-rata terkait dengan dua pasangan nilai perbedaan, tetapi juga mengevaluasi apakah rata-rata dari nilai selisih antara level pertama dan ketiga faktor tersebut sama dengan nol sebagaikombinasi linier dari nilai perbedaan.

Menurut Carey (1998), semua perhitungan statistik multivariat didasarkan pada akar-akar karakteristik dari matriks A yang dibentuk dari

𝐴 = 𝐻𝐸 −1 (1) dengan H : matriks varians-kovarians perlakuan pada MANOVA

E : matriks varians-kovarians error pada MANOVA. Dalam uji multivariat sendiri ada beberapa uji yang digunakan, yaitu:

 Wilks’ Lamda

Makalah Pendamping: Matematika 3 235

Volume 2

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013

Statistik uji digunakan jika asumsi homogenitas dipenuhi. Nilai Wilks’ Lamda berkisar antara 0-1. Statistik uji ini yang sering dipakai (Web 2). Statistik uji Wilks’ Lamda dirumuskan sebagai:

dengan 𝛬 : Wilks’ Lamda; 𝐸 : determinan dari matriks E;𝑠 : banyaknya akar-akar karakteristikdari matriks A; 𝜆 𝑖 : akar-akar karakteristik ke-i matriks A. Statistik Wilks’ Lamda di atas dapat ditransformasikan menjadi suatu statistik yang berdistribusi F. Khususnya Kasus 1: 𝑝 = 1, 𝑔 ≥ 2

𝐹 𝑝,𝑛−𝑝−1 (4) dengan 𝑝 : banyaknya variabel; 𝑔 : banyaknya grup; 𝑛 : banyaknya partisipan. Informasi lebih lanjut dapat dilihat pada Patel dkk (2013).

 Pillai’s Trace

Statistik uji ini paling cocok digunakan jika asumsi homogenitas tidak dipenuhi (Web 2). Statistik uji Pillai’s Trace 𝑉 dirumuskan sebagai:

Beberapa ahli statistik menganggapnya paling kuat dari 4 statistik yang lain. Adapun aturan pengujiannya adalah tolak 𝐻 0 ketika 𝑉 ≥ 𝐶, dengan nilai 𝐶 diperoleh dari tabel nilai kritis statistik tersebut (Giri, 2004).

 Hotelling’s Trace

Statistik uji ini jarang digunakan oleh para ahli (Web 2). Berikut rumus dari Hotelling’s Trace :

(6) Statistik Hotelling’s Trace di atas dapat ditransformasikan menjadi suatu statistik yang berdistribusi F (Web 3). Khususnya

dimana 𝑣 1 = 𝑝𝑞 1 dan 𝑣 2 = 𝑛 − 𝑝 − 1 𝑚𝑖𝑛 𝑝, 𝑞 1 , dengan p : akar-akar karakteristik dari matriks

A ; n : banyaknya partisipan. Adapun aturan pengujiannya adalah tolak 𝐻 0 ketika 𝐻𝑜𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑛𝑔 ≥ 𝐶, dengan nilai 𝐶 diperoleh dari tabel nilai kritis statistik tersebut (Giri, 2004).

 Roy’s Largest Root

Makalah Pendamping: Matematika 3

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013 Volume 2

Roy’s Largest Root digunakan jika asumsi dipenuhi dan berkorelasi dengan kuat. Tetapi uji ini harus hati-hati dalam penggunaanya (Web 2).

(8) Adapun aturan pengujiannya adalah tolak 𝐻 0 ketika 𝑅𝑜𝑦 ′ 𝑠 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑒𝑠𝑡 𝑅𝑜𝑜𝑡 ≥ 𝐶, dengan nilai 𝐶 diperoleh dari tabel nilai kritis statistik tersebut (Giri, 2004).

Keempat tes multivariat tersebut menggunakan uji statistik sebagai berikut: 𝐻 0 : 𝜇 1 = 𝜇 2 = ⋯=𝜇 𝑘 (tidak ada perbedaan antar perlakuan)

𝐻 𝑎 : 𝜇 1 ≠𝜇 2 ≠⋯≠𝜇 𝑘 (setidaknya ada perbedaan antar dua perlakuan).

Kriteria pengujiannya tolak 𝐻 0 jika p-value < 0.05 dan 𝐹 𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐹 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 .

b. Sphericity

Pada dasarnya, asumsi Sphericitymengacu padakesamaanvariansdariperbedaan diantaralevel pada faktorrepeated measures.Dengan kata lain, kitamenghitungperbedaanantara setiap pasanganlevelfaktorrepeated

measures dankemudian menghitungvariansdarinilaiperbedaan.Sphericitymensyaratkan

bahwavariansuntuk setiapnilaiperbedaansama.

hubunganantara tiap pasangkelompokadalahsama. Untuk menguji asumsi Sphericity dapat menggunakan tes Mauchly, uji Greenhouse Geisser dan tes Huynh Feldt. Hipotesis untuk Sphericity:

Kita

mengasumsikanbahwa

: 2 2 𝐻 2 0 𝜎 𝑦 1 −𝑦 2 = 𝜎 𝑦 1 −𝑦 3 = 𝜎 𝑦 2 −𝑦 3 (tidak ada perbedaan yang signifikan diantara varians perbedaan)

1 −𝑦 2 ≠𝜎 𝑦 1 −𝑦 3 ≠𝜎 𝑦 2 −𝑦 3 (ada perbedaan yang signifikan diantara varians perbedaan)

dengan 𝑦 1 −𝑦 2 : perbedaan level 1 dengan level 2 pada faktorrepeated measure 𝑦 1 −𝑦 3 : perbedaan level 1 dengan level 3 pada faktorrepeated measure 𝑦 2 −𝑦 3 : perbedaan level 2 dengan level 3 pada faktorrepeated measure.

Kriteria pengujiannya tolak 𝐻 0 jika hasil p-value dari Mauchly Tests< 0.05, yang artinya bahwa ada perbedaan yang signifikan diantara varians perbedaan, dengan kata lain bahwa kondisi Sphericity tidak ditemui (Field, 2012). Jika tes Mauchly dari Sphericity tidak signifikan, maka tes within-subjects effects dapat dilakukan. Sedangkan jika tes Mauchly dari Sphericity signifikan, tes multivariat yang digunakan (Ho, 2006).

Jika data melanggar asumsi Sphericity, ada beberapa pembenaran yang dapat diterapkan untuk menghasilkan rasio Fyang valid. SPSS membuat tiga pembenaran berdasarkan perkiraan Sphericity yang dianjurkan oleh Greenhouse Geisser dan Huynh Feldt. Kedua perkiraan ini menimbulkan faktor koreksi yang diterapkan pada derajat kebebasan yang digunakan untuk menilai rasio Fyang telah diteliti.

Koreksi Greenhouse Geisser biasanya dilambangkan dengan 1 𝜀 bervariasi antara dan 1,

dimana k adalah jumlah kondisi repeated measures. Semakin 𝜀 dekat ke 1, varians dari perbedaan semakin homogen.

Makalah Pendamping: Matematika 3 237

Volume 2

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013

Ketika estimasi Greenhouse Geisser lebih besardari 0,75 maka hipotesis nol ditolak. Ketika perkiraan Sphericity lebihbesar dari 0.75 maka koreksi Huynh Feldtharus digunakan, tetapi ketika perkiraan Sphericity kurang dari 0,75 atau Sphericity sama sekali tidak diketahui maka koreksi Greenhouse Geisser harus digunakansebagai gantinya(Field, 2009).

c. Pengukuran Pengaruh atau Dampak

Ukuran pengaruh keseluruhan untuk pendekatan univariat adalah parsial eta kuadrat 2 𝜂 dan dapat dihitung menggunakan persamaan berikut:

Ukuran pengaruh keseluruhan untuk uji multivariat terkait dengan Wilks’ Lamda 𝛬 adalah multivariat eta kuadrat dan dapat dihitung menggunakan persamaan berikut:

(10) Nilai parsial eta kuadrat dan multivariat eta kuadrat berkisar antara 0 sampai 1. Nilai 0 menunjukkan tidak ada hubungan antara faktor repeated measures dan variabel terikat, sedangkan nilai 1 menunjukkan adanya hubungan yang kuat. (Web 1)

Multivariat 2 𝜂 =1 − 𝛬.

d. Pairwise Comparisons

Desain within-subjects direkomendasikan menggunakan pendekatan Bonferroni. Pendekatan ini harus digunakan terlepas dari apakah peneliti merencanakan untuk menguji semua perbandingan berpasangan atau hanya membuat keputusan untuk memeriksa data (Maxwell dkk, 2004) Uji statistik disusun sebagai berikut:

𝐻 0 : 𝜇 1 = 𝜇 2 = ⋯=𝜇 𝑘 (tidak ada perbedaan antar perlakuan) 𝐻 : 𝑎 𝜇 1 ≠𝜇 2 ≠⋯≠𝜇 𝑘 (ada perbedaan antar perlakuan).

Kriteria pengujiannya tolak 𝐻 0 jika p-value < 0.05.

Prosedur

a. Variabel Penelitian

1. Variabel terikat (level) : banyaknya perlakuan, yaitu minggu pertama, minggu kedua dan minggu ketiga.

2. Variabel bebas (faktor repeated measures) : One-way repeated measures : rata-rata respon mahasiswa. Two-way repeated measures : kelas dan rata-rata respon mahasiswa.

b. Langkah-langkah dalam Analisis Data

1. Menghitung rata-rata respon tiap mahasiswa pada tiap minggu.

2. Menganalisa hasil Sphericity. Jika signifikan (p-value< 0.05) dilanjutkan tes multivariat, sebaliknya jika tidak signifikan dilanjutkan tes within-subject effects.

Makalah Pendamping: Matematika 3

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013 Volume 2

3. Jika dilanjutkan tes multivariat, setelah itu menganalisa keempat uji pada tes multivariat. Tolak Ho saat p-value < 0.05 dan sebaliknya. Untuk memperkuat hasil tersebut,kemudian menghitung nilai-nilai dari keempat uji menggunakan persamaan (1), (2) , (5), (6) dan (8). Statistik uji yang dianalisis adalah Wilks’ Lamda sehingga untuk menghitung penolakan Ho digunakan persamaan (3) dan (4). Tolak Ho saat 𝐹 𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐹 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dan sebaliknya.

4. Jika dilanjutkan tes within-subject effects, setelah itu menganalisa p-value dari Greenhouse Geisser dan Huynh-Feldt. Tolak Ho saat p-value < 0.05 dan sebaliknya. Untuk memperkuat hasil tersebut, kemudian membuat perubahan derajat kebebasan untuk pembilang dan penyebut yang baru.

5. Menghitung pengaruh faktor dari repeated measures menggunakan persamaan (9) atau (10).

6. Menganalisa hasil p-value dari Pairwise Comparisons. Tolak 𝐻 0 jika p-value < 0.05.

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

One-Way Repeated Measures Kasus 1

Akan diuji apakah ada perbedaan yang signifikan pada Kelas A minggu pertama, minggu kedua dan minggu ketiga. Hasil dari analisis mengindikasikan bahwa tes Mauchlydari Sphericity signifikan (p-value = 0 < 0.05). Artinya bahwa ada perbedaan yang signifikan diantara varians perbedaan, dengan kata lain bahwa kondisi Sphericity tidak ditemui. Oleh karena itu, teswithin- subject effects tidak dapat digunakan, tetapi yang dapat digunakan adalah tes multivariat.

Dari Tabel 2a dapat disimpulkan bahwa rata-rata minggu pertama sampai rata-rata minggu ketiga semakin meningkat, tetapi perbedaannya tidak terlalu jauh. Sedangkan standart deviasi dari minggu pertama sampai minggu ketiga semakin menurun.

Tabel 2a. Rata-rata dan standar deviasi Tabel 2b. Hasil dari tes multivariat untuk Kelas A

Kelas A minggu pertama, kedua dan ketiga

Mean Standart Deviasi

Nama Uji

p-value

Minggu pertama 4.019 0.396

0.008 Minggu kedua

Pillai’s Trace

0.008 Minggu ketiga

Wilks’ Lamda

Hotelling’s Trace

0.008 Roy’s Largest Root 0.008

Untuk mengetahui apakah rata-rata dari minggu pertama sampai minggu ketiga berbeda secara signifikan, dapat dilakukan tes multivariat dengan melihat Tabel 2b. Dari semua uji diperoleh kesimpulan bahwa semua menolak Ho karena semua uji menghasilkan p-value yang

Makalah Pendamping: Matematika 3 239

Volume 2

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013

sama yaitu 0.008 < 0.05. Maka ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata respon mahasiswa pada minggu pertama sampai minggu ketiga.

Pada tes multivariat yang meliputi uji Pillai’s Trace, Wilks’ Lamda, Hotelling’s Trace dan Roy’s Largest Root, nilai-nilai dari keempat uji tersebut juga digunakan untuk memperkuat hasil hipotesis. Setiap uji dapat dihitung nilainya dengan menghitung akar-akar karakteristik terlebih dahulu. Dengan menggunakan persamaan (1) dapat diperoleh:

Sehungga matriks 0.4290 𝐴= dan didapatkan akar-akar karakteristik .

0.0001 Setelah akar-akar karakteristik diperoleh maka uji-uji dalam tes multivariat dapat dihitung menggunakan persamaan (2), (5), (6) dan (8) sehingga diperoleh:

𝐻𝑜𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑛𝑔 = 0.4290 + 0.0001 = 0.4291; 𝑅𝑜𝑦 ′ 𝑠 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑒𝑠𝑡 𝑅𝑜𝑜𝑡 = 0.4290. Dalam kasus ini yang dianalisis adalah 1 variabel dan 3 grup. Dari persamaan (3) diperoleh

statistik F (hanya untuk Wilks Lamda karena uji yang lain tabel nilai kritis tidak diketahui)

Dengan 𝛼 = 0.05 diperoleh nilai dari 𝐹 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 yaitu 𝐹 3 −1,29−3 = 𝐹 2,26 = 3.37 . Jadi 𝐻 0 ditolak karena 𝐹 𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐹 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 . Artinya bahwa ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata respon mahasiswa pada minggu pertama sampai minggu ketiga.

Kemudian mengukur pengaruh rata-rata respon mahasiswa tersebut menggunakan multivariat eta kuadrat sehingga diperoleh

Multivariat 2 𝜂 =1 − 0.6997 = 0.3003.

Dari hasil tersebut menunjukkan bahwa tidak ada hubungan antara rata-rata respon mahasiswa dan perlakuan yang diberikan setiap minggunya.

Tabel 2d menunjukkan semua perbandingan berpasangan (dengan interval konfidensi Bonferroni ) diantara 3 level. Dengan membandingkan respon setiap minggunya, kita dapat memasang-masangkan data rata-rata respon antar minggu pertama sampai minggu ketiga.

Tabel 2d. Hasil analisa perbandingan berpasangan Kelas A

Respon mahasiswa

p-value Analisa

Minggu ke-1 dan ke-2

1 𝐻 0 diterima

Minggu ke-1 dan ke-3

𝐻 0 diterima

Minggu ke-2 dan ke-3

Makalah Pendamping: Matematika 3

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013 Volume 2

Dapat dilihat dari Tabel 2d, dengan = 5% maka rata-rata respon mahasiswa minggu kedua dan minggu ketiga berbeda secara signifikan (p-value< 0.05). Rata-rata respon mahasiswa minggu pertama dengan minggu kedua dan rata-rata respon minggu pertama dengan minggu ketiga tidak berbeda secara signifikan (p-value> 0.05).

Kasus 2

Akan diuji apakah ada perbedaan yang signifikan pada Kelas B minggu pertama, minggu kedua dan minggu ketiga. Dari hasil analisis mengindikasikan bahwa tes Mauchlydari Sphericity tidak signifikan (p-value= 0.299 > 0.05). Hasiltes within-subject effects mengindikasikan bahwa within-subjects variabel rata-rata respon mahasiswa tidak signifikan karena p-value = 0.736 >0.05. Artinya, tidak ada perbedaan yang signifikan diantara varians perbedaan dari minggu pertama, minggu kedua dan minggu ketiga.

Setelah hasil tes Mauchlydari Sphericity sudah diperoleh, kemudian dari tes within- subject effects dibuat sebuah perubahan derajat kebebasan untuk pembilang dan penyebut. Hal ini dapat diperoleh dengan mengalikan kedua nilai ini menggunakan Huynh-Feldt karena perkiraan Sphericity lebih dari 0.75. Perubahan derajat kebebasan pembilangnya adalah

2 × 0.921 = 1.966 . Rasio F = 0.308 harus dievaluasi dengan derajat kebebasan yang baru ini. Setelah dihitung dengan derajat kebebasan yang baru diperoleh F yang sama yaitu 0.308 dan p- value = 0.733 > 0.05. Ternyata setelah dievaluasi dengan derajat kebebasan yang baru tetap memperoleh kesimpulan yang sama dengan sebelumnya, yaitu tidak ada perbedaan yang signifikan diantara varians perbedaan dari minggu pertama, minggu kedua dan minggu ketiga.

Dari Tabel 3a dapat disimpulkan bahwa rata-rata minggu pertama sampai rata-rata minggu ketiga perbedaannya tidak terlalu jauh. Tabel 3a. Rata-rata dan standar deviasi

Tabel 3b. Hasil analisa perbandingan Kelas B

berpasangan Kelas B

Mean Standar deviasi

Respon mahasiswa

p-value Analisa

Minggu pertama 3.939 0.300 Minggu ke-1 dan ke-2 1 𝐻 0 diterima Minggu kedua

3.989 0.184 Minggu ke-1 dan ke-3 1 𝐻 0 diterima Minggu ketiga

3.955 0.219 Minggu ke-2 dan ke-3 1 𝐻 0 diterima

Kemudian mengukur pengaruh rata-rata respon mahasiswa tersebut menggunakan parsial eta kuadrat sehingga diperoleh

Dari hasil tersebut menunjukkan bahwa tidak ada hubungan antara rata-rata respon mahasiswa dan perlakuan yang diberikan setiap minggunya.

Makalah Pendamping: Matematika 3 241

Volume 2

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013

Tabel 3b menunjukkan semua pairwise comparisons (dengan interval konfidensi Bonferroni ) diantara 3 level. Dengan membandingkan setiap minggunya, kita dapat memasang- masangkan data rata-rata antar minggu pertama sampai minggu ketiga.

Dapat dilihat dari Tabel 3b dengan = 5% maka rata-rata respon mahasiswa minggu pertama, kedua dan ketiga tidak berbeda secara signifikan (p-value> 0.05).

Two-Way Repeated Measures

Akan diuji apakah ada perbedaan yang signifikan interaksi respon dari mahasiswa pada Kelas A dan Kelas B pada minggu pertama, minggu kedua dan minggu ketiga.Dari Tabel 4a, variabel Kelas menghasilkan hasil yang sangat signifikan untuk semua tes multivariat dengan p- value = 0 < 0.05. Artinya ada perbedaan respon Kelas A dan Kelas B.Dari Tabel 4b dapat dilihat bahwa pada respon Kelas A lebih besar daripada rata-rata respon Kelas B.

Tabel 4a. Hasil tes multivariat Kelas A dan

B untuk variabel Kelas Tabel 4b. Perbedaan rata-rata respon Kelas

A dan B untuk variabel Kelas Pillai’s Trace

Nama Uji

Wilks’ Lamda

0 A 4.113 Hotelling’s Trace

0 B 3.961 Roy’s Largest Root

Selanjutnya diuji variabel Rata-rata respon mahasiswa.Padates MauchlydariSphericity menghasilkan nilai 0.731, dan signifikan karena p-value = 0.015 < 0.05. Asumsi Sphericity dilanggar, maka harus menginterpretasi tes multivariat. Keempat tes multivariat pada Tabel 4c menunjukkan bahwa variabel Rata-rata respon mahasiswa tidak signifikan. Hal ini dapat dilihat dari p-value = 0.170 > 0.05 yang artinya tidak ada perbedaan rata-rata respon mahasiswa dari minggu pertama sampai minggu ketiga. Tetapi dari Tabel 4ddapat dilihat bahwa rata-rata respon mahasiswa minggu pertama, minggu kedua dan minggu ketiga semakin meningkat.

Tabel 4c. Hasil tes multivariat rata-rata

Respon mahasiswa Mean

respon mahasiswa

Minggu ke-1

Nama Uji

4.044 Pillai’s Trace

p-value Minggu ke-2

4.089 Wilks’ Lamda

Minggu ke-3

Hotelling’s Trace

Roy’s Largest Root

Tabel 4d. Rata-rata respon mahasiswa

Makalah Pendamping: Matematika 3

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013 Volume 2

Untuk interaksi Kelas dengan Rata-rata respon mahasiswa, tes Mauchlydari Sphericity menghasilkan nilai 0.454 dan signifikan karena p-value = 0.042 < 0.05. Asumsi Sphericity juga dilanggar, maka harus menginterpretasi tes multivariat. Keempat tes multivariat pada Tabel 4e menunjukkan bahwa efek interaksi signifikan karena p-value = 0.023 < 0.05. Hal ini menunjukkan bahwa respon mahasiswa tergantung pada dua kelas yang berbeda.

Tabel 4e. Hasil tes multivariat dari interaksi Kelas dengan Rata-rata respon mahasiswa

Nama Uji

p-value

Pillai’s Trace

Wilks’ Lamda

Hotelling’s Trace

Roy’s Largest Root

Nilai-nilai dari keempat uji pada tes multivariat yang meliputi uji Pillai’s Trace, Wilks’ Lamda , Hotelling’s Trace dan Roy’s Largest Root untuk interaksi Kelas dengan Rata-rata

respon mahasiswa juga digunakan untuk memperkuat hasil hipotesis. Setiap uji dapat dihitung nilainya dengan menghitung akar-akar karakteristik terlebih dahulu. Menggunakan persamaan (1) dapat diperoleh:

0.3389 0.5795 Sehingga matriks 0.0482 −0.1379

𝐴= − dan didapatkan akar-akar karakteristik

0.3784 . Setelah akar-akar karakteristik diperoleh maka uji-uji dalam tes multivariat dapat dihitung menggunakan persamaan (2), (5), (6) dan (8) sehingga diperoleh:

𝑅𝑜𝑦 ′ 𝑠 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑒𝑠𝑡 𝑅𝑜𝑜𝑡 = 0.3784. Dalam kasus ini yang dianalisis adalah 3 variabel dan 2 grup. Dari persamaan (4) diperoleh statistik F (hanya untuk Wilks Lamda karena uji yang lain tabel nilai kritis tidak diketahui)

Dengan 𝛼 = 0.05 diperoleh nilai dari 𝐹 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 yaitu 𝐹 𝑝,𝑛−𝑝−1 = 𝐹 3,25 = 2.99 . Jadi 𝐻 0 ditolak karena 𝐹 𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐹 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 . Hal ini menunjukkan bahwa respon mahasiswa tergantung pada dua kelas yang berbeda.

Kemudian mengukur pengaruh interaksi Kelas dengan Rata-rata respon mahasiswa tersebut menggunakan multivariat eta kuadrat sehingga diperoleh

Multivariat 2 𝜂 =1 − 0.7257 = 0.2743.

Dari hasil tersebut menunjukkan bahwa tidak ada hubungan antara Kelas dengan Rata-rata respon mahasiswa terhadap perlakuan yang diberikan setiap minggunya.

Makalah Pendamping: Matematika 3 243

Volume 2

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013

Gambar 1. Grafik rata-rata respon mahasiswa pada Kelas A dan Kelas B

Gambar 1 menunjukkan bahwa rata-rata respon mahasiswa yang diberikan pada 3 minggu tergantung pada perbedaan kelas. Pada kelas A, rata-rata respon mahasiswa semakin meningkat tetapi pada kelas B rata-rata respon mahasiswa meningkat dan mengalami penurunan lagi pada minggu ketiga.

Tabel 4f. Hasil analisa perbandingan berpasangan minggu pertama sampai minggu ketiga

Respon mahasiswa

p-value

Analisa

Minggu ke-1 dan ke-2 1 𝐻 0 diterima

Minggu ke-1 dan ke-3 0.248

𝐻 0 diterima

Minggu ke-2 dan ke-3 0.868

𝐻 0 diterima

Tabel 4f menunjukkan semua perbandingan berpasangan antara dua kelas dan rata-rata respon mahasiswa tiga minggu dengan menggunakan interval konfidensi Bonferroni 95%. Dapat dilihat dari Tabel 4f dengan = 5%, rata-rata respon mahasiswa di Kelas A dan Kelas B pada minggu pertama, kedua dan ketiga tidak berbeda secara signifikan (p-value> 0.05). Artinya tidak ada perbedaan rata-rata respon mahasiswa di minggu pertama sampai ketiga.

SIMPULAN

Pada makalah ini telah dibahas studi tentang respon mahasiswa dengan metode one-way dan two-wayrepeated measures untuk dua kelas Listening FBS-UKSW. Berdasarkan hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa: One-wayRepeated Measures 

Pada kelas A Berdasarkan tes multivariat, ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata respon mahasiswa pada minggu pertama sampai minggu ketiga. Tetapi varians dari minggu pertama, minggu kedua dan minggu ketiga tidak berbeda secara signifikan. Dari hasil parsial eta kuadrat menunjukkan bahwa tidak ada hubungan antara rata-rata respon mahasiswa dan perlakuan setiap minggunya. Dalam pengujian pairwise comparisons,

Makalah Pendamping: Matematika 3

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013 Volume 2

respon minggu kedua dengan respon minggu ketiga berbeda secara signifikan sedangkan respon minggu pertama dengan minggu kedua dan respon minggu pertama dengan minggu ketiga tidak berbeda secara signifikan.

 Pada kelas B Berdasarkan tes within-subject effects, varians dari minggu pertama, minggu kedua dan minggu ketiga tidak berbeda secara signifikan. Dari hasil parsial eta kuadrat menunjukkan

bahwa tidak ada hubungan antara rata-rata respon mahasiswa dan perlakuan setiap minggunya. Dalam pengujian pairwise comparisons, rata-rata respon mahasiswa minggu pertama, kedua dan ketiga juga tidak berbeda secara signifikan.

Two-way Repeated Measures Berdasarkan uji yang dilakukan, dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan respon Kelas A dengan Kelas Btetapi tidak ada perbedaan respon mahasiswa dari minggu pertama sampai minggu ketiga. Untuk interaksi Kelas dengan Rata-rata respon mahasiswa menunjukkan bahwa respon mahasiswa tergantung pada dua kelas yang berbeda. Pengujian Pairwise Comparisons yang dilakukan untuk dua kelas yang berbeda mengindikasikan tidak ada perbedaan antara respon mahasiswa di minggu pertama sampai ketiga.

DAFTAR PUSTAKA

Carey, G. (1998). Multivariate Analysis of Variance (MANOVA): I. Theory. Diakses tanggal 1 November

12.40 WIB dari http://ibgwww.colorado.edu/~carey/p7291dir/handouts/manova1.pdf. Field, A. (2009). Discovering Statistics Using SPSS. (3 th ed.) . India : Sage. Field, A. (2012). Discovering Statistics Repeated Measures ANOVA. Diakses tanggal 29

pukul

Oktober 2013 dari http://www.discoveringstatistics.com. Giri, N.C. (2004). Multivariate Statistical Analysis. (2 nd ed) . New York : Marcel Dekker.

Ho, R. (2006). Handbook of Univariate and Multivariate Data Analysis and Interpretation with SPSS . New York : Chapman & Hall/CRC Taylor & Francis Group. Maxwell, S.E. & Delaney, H.D. (2004). Designing Experiments And Analyzing Data A Model

Comparison Perspective nd . (2 ed.) . London: Lawrence Erlbaum Associates. Patel, S. & Bhavsar, C.D. (2013). Analysis of Pharmocokinetic Data by Wilk‟s Lamda (An

Important Tool of Manova). International Journal of Pharmaceutical Science Invention, Vol. 2, 36-44.

Pritasari, N.F., Parhusip, H.A. & Susanto, B. (2013). Analisis Respon Mahasiswa Kelas Listening Menggunakan Metode Paired Comparisons . Prosiding, Seminar Nasional Matematika VII yang diselenggarakan oleh Jurusan Matematika FMIPA dan Prodi Pendidikan Matematika Program Pascasarjana UNNES tanggal 26 Oktober 2013. Semarang: Universitas Negeri Semarang.

Makalah Pendamping: Matematika 3 245

Volume 2

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013

Rahandika, A. (2013). The Students Perceptions toward Different Task Types in Public Listening Class . Skripsi. Program Studi Pendidikan Bahasa Inggris, Fakultas Bahasa dan Sastra, Universitas Kristen Satya Wacana. Salatiga.

Stevens, J.P. (2009). Applied Multivariate Statistics For The Social Sciences. (5 th ed.) . New York : Routledge Taylor & Francis Group.

Web 1: http://oak.ucc.nau.edu/rh232/courses/EPS625/Handouts/RM- ANOVA/Understanding%20Repeated-Measures%20ANOVA.pdf. Diakses tanggal 30 Oktober 2013 pukul 09.53 WIB.

Web 2: https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&cad=rja&ved =0CFQQFjAF&url=http%3A%2F%2Fwww.chsbs.cmich.edu%2Fk_han%2Fpsy613%2F manova1.doc&ei=4tZ5UvzpOqzwiQfH- oCwAw&usg=AFQjCNFOCcK9hRRVQczMgt0tSqX6Al8z5Q&sig2=w5KyDbLxz-Ma- MqVVyntzA&bvm=bv.55980276,d.aGc. Diakses tanggal 6 November 2013 pukul

12.45 WIB. Web 3: http://www.stat.ncsu.edu/people/bloomfield/courses/st784/twa-08-3.pdf. Diakses tanggal 7 November 2013 pukul 08.27 WIB. Web

4: http://www.zu.ac.ae/main/files/contents/research/training/one-

wayrepeatedmeasureanova.pdf. Diakses tanggal 7 November 2013 pukul 09.12 WIB.

Makalah Pendamping: Matematika 3

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013 Volume 2

ANALISIS BIPLOT PADA PEMETAAN KARAKTERISTIK KEMISKINAN DI PROVINSI NUSA TENGGARA BARAT

Desy Komalasari 3) , Mustika Hadijati , Marwan

1) Program Studi Matematika FMIPA UNRAM, email: Desi_its@yahoo.com

2) Program Studi Matematika FMIPA UNRAM, email: Ika_wikan@yahoo.co.id

3) Program Studi Matematika FMIPA UNRAM, email: marwanmath@yahoo.co.id

1), 2), 3). Jln. Majapahit No.62 Mataram- NTB.

Abstrak

Penelitian ini bertujuan memberikan inovasi baru mengenai pemetaan karakteristik kemiskinan pada kabupaten/kota di provinsi Nusa Tenggara Barat, menggunakan metode analisis Biplot. Analisis Biplot didasarkan pada singular value decomposition , matriks orthonormal, dan faktorisasi dari matriks data. Penelitian ini menghasilkan Square Root Biplot (SQRT) atau Biplot Simetri, yaitu grafik Biplot yang memetakan secara bersamaan kabupaten/kota dengan karakteristik kemiskinan di provinsi NTB. Analisis Biplot dalam penelitian ini memberikan penyajian yang cukup

baik mengenai informasi data yang sebenarnya berdasarkan nilai 2 𝑝 sebesar 84,59%. Grafik Biplot menampilkan wilayah yang memiliki kesamaan karakteristik kemiskinan ada pada kabupaten Bima dan kabupaten Sumbawa, dengan jarak Euclid terdekat sebesar 0.266. Sedangkan jarak terjauh ada pada kabupaten Lombok Tengah dan kota Mataram, sebesar 9.779. Keragaman karakteristik kemiskinan ditunjukkan dengan panjang vektor, vektor terpanjang pada penduduk miskin yang bekerja di sektor

pertanian ( 𝑋 7 ) dan vektor terpendek pada angka partisipasi sekolah penduduk miskin ( 𝑋 3 ) .

Kata kunci : Analisis Biplot, Singular Value Decomposition, Karakteristik Kemiskinan.

PENDAHULUAN

Kemiskinan merupakan masalah yang sering dihadapi di setiap daerah di Indonesia seperti halnya provinsi Nusa Tenggara Barat. Jumlah penduduk miskin di provinsi Nusa Tenggara Barat (NTB) pada Maret 2011 sebesar 19,73%, dan menurun pada Maret 2012 sebesar 18,63% (Berita Resmi Statistik, 2012). Angka penurunan sebsar 1,10% dipengaruhi oleh beberapa faktor karakteristik kemiskinan di antaranya faktor sosial ekonomi dan faktor pendidikan. Penurunan yang kurang signifikan menyebabkan perlunya pemetaan karakteristik kemiskinan, sehingga upaya pengentasan kemiskinan tepat sasaran. Karakteristik kemiskinan yang digunakan merupakan data kemiskinan makro. Data kemiskinan makro menunjukkan jumlah dan persentase penduduk miskin di setiap daerah berdasarkan estimasi. Data ini digunakan untuk perencanaan dan evaluasi program kemisikinan dengan target geografis. Oleh karena itu, perlunya dilakukan pemetaan karakteristik kemiskinan pada kabupaten/kota di Provinsi NTB menggunakan analisis Biplot. Analisis Biplot merupakan teknik statistik deskriptif dimensi ganda dengan menyajikannya secara visual dan simultan sejumlah objek pengamatan dan variabel dalam suatu grafik. Oleh karena itu, tujuan penelitian ini yaitu untuk mengetahui gambaran pemetaan karakteristik kemiskinan di Provinsi NTB menggunakan analisis Biplot. Sehingga manfaat dari pemetaan ini dapat digunakan sebagai bahan acuan Pemerintah Daerah Provinsi NTB untuk melakukan upaya pengentasan kemiskinan yang tepat sasaran pada karakteristik kemiskinan di wilayah tersebut.

Makalah Pendamping: Matematika 3 247

Volume 2

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013

METODE PENELITIAN Jenis Penelitian

Penelitian ini menggunakan pendekatan kuantitatif dan aplikatif, yaitu mengaplikasikan data – data numerik ke dalam analisis Biplot. Analisis Biplot adalah salah satu upaya menggambarkan data - data yang ada pada tabel ringkasan kedalam grafik berdimensi dua.

Grafik yang dihasilkan dari Biplot ini merupakan grafik yang berbentuk bidang datar. Dengan penyajian seperti ini, ciri-ciri variabel dan objek pengamatan serta posisi relatif antara objek pengamatan dengan variabel dapat dianalisis (Kohler dan Luniak, 2005).

Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian dilaksanakan mulai bulan Juni 2013 sampai dengan bulan Oktober 2013. Tempat penelitian di Universitas Mataram dan Badan Pusat Statistik Provinsi NTB.

Data Penelitian

Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Nusa Tenggara barat. Data yang digunakan yaitu data karakteristik kemiskinan tahun 2011, terdiri dari 10 kabupaten/kota yang merupakan Objek penelitian dan 10 karakteristik kemiskinan yang merupakan variabel penelitian. Objek penelitian meliputi Kab. Lombok Barat, Kab. Lombok Tengah, Kab. Lombok Timur, Kab. Sumbawa, Kab. Dompu, Kab. Bima, Kab. Sumbawa Barat, Kab. Lombok Utara, Kota Mataram, Kota Bima. Variabel

penelitian merupakan karakteristik kemiskinan meliputi Jumlah Penduduk Miskin ( 𝑋 1 ) , Angka Melek Huruf Penduduk Miskin ( 𝑋 2 ) , Angka Partisipasi Sekolah Penduduk Miskin ( 𝑋 3 ) , Penduduk miskin yang tidak bekerja ( 𝑋 4 ) , Penduduk miskin yang bekerja di sektor Informal ( 𝑋 5 ) , Penduduk miskin yang bekerja di sektor formal ( 𝑋 6 ) , Penduduk miskin yang bekerja di sektor pertanian ( 𝑋 7 ) , Penduduk bekerja di bukan sektor pertanian ( 𝑋 8 ) , Pengeluaran perkapita

untuk makanan ( 𝑋 9 ) , Luas lantai perkapita rumah tangga miskin ( 𝑋 10 ) .

Prosedur Penelitian

Prosedur penelitian ini meliputi observasi pendahuluan, perancangan penelitian, pengumpulan data, analisis data, interpretasi hasil, dan kesimpulan. Observasi pendahuluan dilakukan dengan survey data-data yang relevan, dengan tujuan untuk memberikan gambaran dan informasi mengenai karakteristik kemiskinan di setiap kabupaten/kota di provinsi NTB. Perancangan penelitian meliputi penetapan rumusan masalah, tujuan penelitian, penentuan alat dan bahan, pengumpulan data, serta penentuan teknik analisis data. Langkah selanjutnya yaitu pengumpulan data, data yang dikumpulkan disini adalah data sekunder yang berhubungan dengan karakteristik kemiskinan. Selanjutnya analisis data menggunakan Biplot, kemudian

Makalah Pendamping: Matematika 3

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013 Volume 2

interpretasi hasil Biplot yaitu memberikan gambaran atau penjelasan secara deskriptif mengenai kedekatan antar objek yang diamati, keragaman variabel, hubungan atau korelasi antar variabel, dan nilai variabel pada suatu objek. Berdasarkan hasil interpretasi akan ditarik kesimpulan mengenai analisis Biplot terhadap posisi kabupaten/kota terhadap karakteristik yang dimilikinya serta karakteristik kemiskinan mana saja yang paling dominan di suatu kabupaten/kota di provinsi NTB.

Teknik Analisis Data

Analisis data menggunakan teknik analisis Biplot. Prosedur analisis biplot meliputi menentukan matriks data yang dikoreksi terhadap rata-rata ( 𝒀), menentukan matriks 𝒀 𝑻 𝒀, menentukan nilai eigen dan vektor eigen, mencari Singular Value Decomposition (SVD) yaitu mendapatkan matriks U, L dan A, menentukan matriks koordinat dengan 𝛼yang digunakan berkisar pada 0 ≤ 𝛼 ≤ 1. Namun nilai 𝛼yang lazim digunakan dalah 𝛼 = 1; 𝛼0.5; dan 𝛼0 (Nugroho, 2008). Menentukan matriks G(objek) dan H(variabel) terpilih berdasarkan 𝒀 ≅ 𝑮𝑯 𝑻 , menggambar grafik menggunakan program, interpretasi hasil dan kesimpulan.

Analisis Biplot bertujuan menggambarkan suatu matriks dengan menumpang tindihkan vektor-vektor baris dengan vektor-vektor kolom matriks. Analisis Biplot didasarkan pada penguraian nilai-nilai singular (Singular Value Decomposition) dari suatu matriks data yang telah dikoreksi oleh rataanya. Biplot dibentuk dari suatu matriks data, dimana setiap kolom mewakili variabel-variabel penelitian, dan setiap baris mewakili objek penelitian.

Misalkan matriks Xadalah matriks yang terdiri dari variabel-variabel sebanyak p dan objek penelitian sebanyak n. Misalkan matriks Y merupakan hasil dari matriks X yang dikoreksi terhadap rataannya, maka akan diuraikan menjadi perkalian tiga buah matriks berikut:

𝒀 𝑻 ( 𝒏×𝒑) = 𝒏×𝒓) 𝑳 𝒓×𝒓 𝑨 𝒓×𝒑 (1) Matriks 𝑳 merupakan nilai singular 𝒀 dengan unsur-unsur diagonalnya akar kuadrat dari nilai eigen 𝒀 𝑻 𝒀, sedangkan matriks 𝑼diperoleh dari 𝑼 = 𝒀𝑨𝑳 −𝟏 . Sehingga 𝑼 𝑻 𝑼=𝑨 𝑻 𝑨=

𝑰, I adalah matriks identitas dan L adalah matriks diagonal berukuran (rxr) dengan unsur-unsur diagonalnya adalah akar dari nilai eigen –nilai eigen tak nol 𝒀 𝑻 𝒀 yaitu 𝜆 𝟏 ≥𝜆 𝟐 …≥

𝜆 𝒓 (Menurut Matjik dan Sumertajaya, 2011)). Menurut Joellife (1986) dalam Matjik dan Sumertajaya, 2011, dari matriks Y akan

dibentuk matriks G dan H, dimana 𝜶 dan 𝑻 = 𝟏−𝜶 𝑮 = 𝑼𝑳 𝑻 𝑯 𝑳 𝑨 dengan 𝛼 besarnya 0 ≤ 𝛼 ≤

1 , yang masing-masing berukuran 𝑛 × 𝑟 dan 𝑟 × 𝑝maka persamaan (1) menjadi: 𝒀 = 𝑼𝑳 𝜶 𝑳 𝟏−𝜶 𝑨 𝑻 = 𝑮𝑯 𝑻 (2)

Masing-masing merupakan matriks G baris ke-i , dimana 𝑖 = 1,2, … , 𝑛serta matriks H kolom ke- j dimana 𝑗 = 1,2, … , 𝑝, dan r adalah rank matriks data Y. Jika matriks Ymempunyai rank dua,

Makalah Pendamping: Matematika 3 249

Volume 2

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013

maka vektor baris 𝒈 𝒊 dan vektor 𝒉 𝒋 akan digambarkan dalam dimensi dua. Namun, jika Y mempunyai rank lebih dari dua maka persamaan di atas menjadi :

𝒓 𝒚 𝟐 𝑻 𝒊𝒋 = 𝒌=𝟏 𝒖 𝒊𝒌 𝝀 𝒌 𝜶 𝒌𝒋 (3) dengan 𝒖

𝒊𝒌 merupakan elemen ke-(i,k) pada matriks U, 𝜶 𝒌𝒋 merupakan elemen ke-(k,j) pada

matriks A T serta 𝟐 𝝀 𝒌 adalah elemen diagonal ke-k matriks Lyang merupakan akar kuadrat nilai eigen 𝒀 𝑻 𝒀.

Menurut Gabriel (1971) dalam Matjik dan Sumertajaya, 2011, data pengamatan awal matriks X yang terdiri dari n objek dan p variabel tereduksi menjadi beberapa himpunan data yang terdiri dari n baris dengan m kolom. Jika ada sebanyak m kolom yang ditentukan, maka persamaan (2) menjadi;

Persamaan di atas dapat dibentuk sebagai berikut :

𝒈 ∗ 𝒊 dan 𝒉 𝒋 masing-masing merupakan elemen vektor 𝒈 𝒊 dan 𝒉 𝒋 . Jika 𝑚 = 2 pada persamaan (5) maka dikatakan sebagai Biplot, sehingga dapat dibentuk menjadi : 𝒚

Dengan 𝟐 𝒚 𝒊𝒋 merupakan elemen matriks Yberdimensi dua, sedangkan 𝒈 ∗ 𝒊 mengandung elemen dua kolom pertama vektor 𝒈

𝒊 , dan 𝒉 𝒊 mengandung dua kolom pertama vektor 𝒉 𝒋 . Sehingga dari matriks Y pada dimensi dua diperoleh matriks dengan ukuran tereduksi yaitu matriks Gdan H sebagai berikut (Johnson danWichern, 2002) :

Masing-masing pada matriks G dan H merupakan titik-titik koordinat dari n objek dan titik- titik koordinat dari p variabel.

Rencer (2002), mengemukakan ukuran Biplot dengan pendekatan matriks Y berdimensi dua dalam bentuk :

Makalah Pendamping: Matematika 3

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013 Volume 2

Dengan 𝜆 1 adalah nilai eigen terbesar pertama, 𝜆 2 adalah nilai eigen terbesar kedua dan 𝜆 𝑘 ,

𝑘 = 1,2, … , 𝑟 adalah nilai eigen ke-k. Apabila nilai 𝑝 2 mendekati satu, maka Biplot memberikan penyajian yang semakin baik mengenai informasi data yang sebenarnya.

Biplot mempunyai beberapa tipe. Perbedaan tipe ini berdasarkan pada nilai 𝛼yang digunakan. Nilai 𝛼yang digunakan dalam Biplot adalah 0 ≤ 𝛼 ≤ 1. Namun nilai 𝛼yang lazim digunakan dalah 𝛼 = 1; 𝛼0.5; dan 𝛼0 (Nugroho, 2008).

1) Biplot dengan 𝛼1 disebut juga dengan Biplot komponen utama. Jika 𝛼 yang digunakan adalah 𝛼 = 1 maka Biplot yang dibentuk disebut Biplot RMP (Row Metric Preserving ). Biplot RMP ini digunakan untuk menduga jarak Euclid secara optimal. Sehingga Biplot untuk 𝛼 = 1 diperoleh: 𝑮 = 𝑼𝑳 𝟏 = 𝑼𝑳dan 𝑯 = 𝑨𝑳 𝟏−𝟏 = 𝑨

(8) Pada kondisi ini jarak Euclid antara 𝑔 𝑖 dan 𝑔 𝑗 sama dengan jarak antara 𝑦 𝑖 dan 𝑦 𝑗 pada pengamatan sesungguhnya. Selain itu koordinat 𝑇 𝑕 𝑗 merupakan koefisien variabel ke-j dalam dua komponen utama pertama.

2) Nilai 𝛼lain yang digunakan dalam pembuatan Biplot yaitu 𝛼 = 0.5. Untuk nilai 𝛼ini, Biplot yang dibentuk disebut Biplot Simetri atau Biplot SQRT (Square Root Biplot).. Biplot untuk 𝛼 = 0.5 diperoleh:

𝑮 = 𝑼𝑳 𝟎,𝟓 dan 𝑯 = 𝑨𝑳 𝟏−𝟎,𝟓 = 𝑨𝑳 𝟎,𝟓 (9)

3) Jika 𝛼yang digunakan adalah 𝛼0, maka akan terbentuk tipe Biplot yang disebut Biplot CMP (Column Metric Preserving). Saat 𝛼 = 0 diperoleh matriks G dan H sebagai berikut

diperoleh 𝟎 = 𝑮 = 𝑼𝑳 𝟏−𝟎 𝑼 dan 𝑯 = 𝑨𝑳 = 𝑨𝑳

sehingga terbentuk

Matriks U merupakan matriks orthonormal dan 𝒀 𝑻 𝒀 = 𝑛 − 1 𝑺dengan n merupakan banyaknya objek serta Smerupakan matriks varian kovarian dari matriks Y, sehingga 𝑯 𝑻 =

𝑛 − 1 𝑺 .Hasil kali elemen 𝑕 𝑗 𝑕 𝑇 𝑘 akan sama dengan ( 𝑛 − 1) kali kovarian 𝑠 𝑗𝑘 variabel ke-j dan

2 2 2 2 2 variabel ke-k. Elemen diagonal utama matriks 2 𝑯𝑯 𝑻 , 𝑕

2 merupakan variansi dari variabel. Sedangkan 2 𝑕 𝑗1 + 𝑕 𝑗2 , 𝑗 = 1,2, . . , 𝑝 merupakan panjang vektor variabel (dengan pusat jarak Euclid di titik O(0,0)). Sehingga dapat dikatakan bahwa panjang

vektor variabel sebanding dengan variansi variabel (Matjik dan Sumertajaya, 2011).

Makalah Pendamping: Matematika 3 251

Volume 2

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013

HASIL DAN PEMBAHASAN Deskripsi data penelitian

Gambaran data penelitian di tampilkan pada tabel Deskriptif Statistik berikut.

Tabel 1. Deskriptif Statistik N

Mean Std. Deviation Variance Penduduk Miskin (X1)

Minimum Maximum

7.46983 55.798 AMH (X2)

6.12581 37.526 APS (X3)

2.54088 6.456 Tidak Bekerja (X4)

5.46294 29.844 Bekerja Informal (X5)

9.49724 90.197 Bekerja Formal (X6)

4.85856 23.606 Bekerja Sektor Pertanian (X7)

16.41475 269.444 Bekerja Bukan Pertanian (X8)

11.71297 137.194 Pengeluaran Makanan (X9)

4.13745 17.118 Luas Lantai (X10)

12.71368 161.638 Valid N (listwise)

Pada tabel 1 terlihat Gambaran karakteristik kemiskinan di provinsi NTB, rata-rata penduduk miskin di 10 kabupaten tersebut sebesar 19.92%, dengan rata-rata angka melek huruf 84.32%, rata-rata angka partisipasi sekolah yang tinggi oleh penduduk miskin sebesar 96.33% yang berarti semangat penduduk miskin untuk bersekolah sangat tinggi. Persentase penduduk miskin yang tidak bekerja 37.25%, rata-rata penduduk miskin yang bekerja di sektor informal 54.77%, sedangkan yang bekerja di sektor formal masih sangat kecil yaitu 7.98%. Penduduk miskin yang bekerja di sektor pertanian 39.64% lebih tinggi daripada penduduk miskin yang bekerja di bukan sektor pertanian sebesar 23.11%. Rata-rata pengeluaran perkapita untuk makanan rumah tangga miskin sebesar 67.24%. Pengeluaran perkapita adalah rata-rata pengeluaran makanan rumah tangga dibagi dengan jumlah anggota rumah tangga yang bersangkutan. Rata-rata luas lantai rumah tangga miskin di provinsi NTB sebesar 59.35%,

2 dengan luas lantai setiap rumah tangga lebih kecil dari 8m 2 ≤ 8𝑚 .

Hasil Analisis Biplot

Berdasarkan prosedur analisis Biplot diperoleh hasil berupa grafik Biplot seperti pada Gambar 1.

Makalah Pendamping: Matematika 3

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013 Volume 2

a. Hasil grafik Biplot untuk 𝛼 = 0.5 ditunjukkan pada gambar di bawah ini:

Gambar 1. Pemetaan Biplot data karakteristik kemiskinan di provinsi NTB

Pada penelitian ini dihasilkan grafik biplot dengan 𝛼 = 0.5. Alasan terpilihnya biplot dengan 𝛼 = 0.5 yaitu karena hasil kali matriks koordinat Objek (G) dan matriks koordinat variabel (H) sama dengan elemen-elemen pada matriks data awal 𝒀 ≅ 𝑮𝑯 𝑻 .Sehingga biplot dalam penelitian ini merupakan Square Root Biplot (SQRT) atau Biplot Simetri. Biplot Simetri merupakan tipe Biplot yang membuat kesamaan penskalaan atau pembobotan pada baris dan kolom secara bersamaan, sehingga digunakan untuk menggambarkan gabungan vektor objek yaitu kabupaten/kota serta variabel yang merupakan karakteristik kemiskinan secara bersamaan dalam satu plot (grafik).

b. Interpretasi Informasi Biplot Biplot adalah upaya membuat gambar di ruang berdimensi banyak menjadi gambar di ruang dimensi dua. Informasi data yang disajikan dalam Biplot ditentukan berdasarkan nilai

𝑝 2 ,semakin mendekati nilai satu berarti Biplot yang diperoleh dari matriks pendekatan berdimensi dua akan memberikan penyajian data yang semakin baik mengenai informasi-

informasi yang terkandung pada data yang sebenarnya. Penyajian informasi ini bergantung pada nilai eigen( 𝜆). Pada penelitian ini diperoleh nilai 𝜆 1 sebesar 5231.74, dan 𝜆 2 sebesar 1078.05,

Makalah Pendamping: Matematika 3 253

Volume 2

Prosiding SNMPM Universitas Sebelas Maret 2013

sehingga diperoleh nilai 2 sebesar 84.59%. Nilai 𝑝 2 𝑝 mendekati satu, maka Biplot dalam penelitian ini memberikan penyajian yang cukup baik mengenai informasi dari data yang sebenarnya.