Makalah matematika ekonomi1 (1)
MAKALAH
”PENERAPAN DIFERENSIAL DALAM EKONOMI”
(Elastisitas,Konsumsi & Tabungan)
DISUSUN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH MATEMATIKA EKONOMI
Disusun Oleh :
1) INDAH LESTARI (081631007)
2) INA YANTI (080631034)
3) ELON (080631012)
4) CUCU NURMANSYAH
FKIP MATEMATIKA
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH CIREBON
Jl. Tuparev No. 70 Cirebon Tlp. (0231)209608,209617,209625, Fax : (0231) 209608
http://www.umcirebon.com email : [email protected]
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, berkat rahmat dan
karunia-Nya kami dapat menyelesaikan penyusunan tugas makalah Penerapan Diferensial
Dalam Ekonomi dengan baik tanpa adanya kendala apapun yang berarti.
Tugas makalah Penerapan Deferensial Dalam Ekonomi ini kami susun agar dapat
memenuhi salah satu tugas pada mata kuliah matematika ekonomi. Tujuan lain
penyusunan tugas ini adalah supaya para pembacanya dapat memahami tentang
matematika terapan dalam bisnis dan ekonomi.
Materi pada makalah ini kami buat dengan menggunakan bahasa yang sederhana
supaya dapat dimengerti oleh pembaca.
Akhirnya, kami ucapkan terima kasih kepada pihak – pihak yang telah memberikan
kontribusinya dalam penyelesaian makalah ini.
Saran dan kritik dari berbagai pihak kami harapkan untuk menyempurnakan
makalah ini.
Demikian, terimakasih
Cirebon, Oktober 2010
Tim Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ……………………………………………………………….……i
DAFTAR ISI …………………………………………………………………………...…ii
BAB I PENDAHULUAN ………………………………………………………………..1
BAB II PEMBAHASAN …………………………………………………………………2
2.1 Pengertian Diferensial ………………………………………………………..2
2.2 Penerapan Diferensial ………………………………………………………..3
2.2.1 Elastisitas ……………………………………………………………...3
2.2.2 Pendapatan Konsumsi ………………………………………………...5
2.2.3 Pendapatan Tabungan …………………………………………………6
BAB III PENUTUP ………………………………………………………………………8
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan
perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial
dapat pula disidik kedudukan – kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari
seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan manfaat
– manfaat inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting
dalam bisnis dan ekonomi. Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan ekonomi
sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan tingkat
minimum.
Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar
suatu fungsi non linear. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama (first
derivative) sebuah fungsi, akan dapat dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut. Secara
berurutan seksi-seksi berikut akan membahas hubungan antara fungsi non linear dan
derivative pertamanya, guna mengetahui apakah kurvanya menaik atau kan menurun
pada kedudukan tertentu; hubungan antara fungsi parabolic dan derivativenya, guna
mengetahui letak dan bentuk titik ekstrimnya (maksimum atau minimum) serta hubungan
antara fungsi kubik dan derivativenya guna mengetahui letak dan bentuk titik ekstrim
serta letak titik beloknya. Akan tetapi sebelum semua itu, marilah kita perhatikan
hubungan secara umum antara sebuah fungsi dan fungsi-fungsi turunannya.
Berdasarkan kaidah deferensi, dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi
berderajat “n” adalah sebuah fungsi berderajat “n-1”. Dengan perkataan lain, turunan dari
fungsi berderajat 3 adalah sebuah fungsi berderajat 2, turunan dari fungsi berderajat 2
adalah sebuah fungsi berderajat 1, turunan dari fungsi berderajat 1 adalah sebuah fungsi
berderajat 0 alias sebuah konstanta, dan akhirnya turunan dari sebuah konstanta adalah 0.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1
Pengertian Diferensial
Darivatif atau turunan
dy
pecahan dengan
dy
dx
tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau
sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai
lambang yang menyertakan limit dari
Δy
, sewaktu
Δx
∆x
mendekati nilai nol
sebagai limit. Akan tetapi untuk dapat memahami masalah – masalah tertentu kadang –
kadang bermanfaat juga untuk menafsirkan dx dan dy secara terpisah. Dalam hubungan
ini dx menyatakan diferensial x dan dy diferensial y. pengertian diferensial berguna
sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan
perubahan dalam variabel gayut yang berkaitan dengan perubahan – perubahan kecil
dalam variabel bebas.
Jika fَ (x) merupakan derivative dari fungsi f(x) untuk nilai x tertentu dan
∆x
merupakan kenaikan dalam x, maka diferensial dari f(x), yang dalam hal ini ditulis f(x),
terdefinisikan oleh persamaan.
df (x) = fَ (x) .
dy
∆x
dx
Jika f(x) = x, maka fَ (x) = 1, dan dx =
∆ x . Jadi jika x merupakan variabel bebas,
maka diferensial dx dari x sama dengan ∆ x .
Jika y = f(x), maka
dy = fَ (x) dx =
dy
dx
dx
Jadi diferensial suatu variabel gayut sama dengan hasil kali turunannya dengan
diferensial variabel bebas.
Secara geometrical perhatikanlah kurva y = f(x) (lihat gambar 9 dibawah ini), dan
misalkan turunannya pada titik P = fَ (x). Maka dx = PQ dan dy = fَ (x) = ( tan α )(PQ) =
PT
. PQ=QT
PQ
Oleh karena itu dy atau df (x) adalah kenaikan ordinat dari tangens yang
berpadanan dengan dx. Argumentasi geometrical ini membawa kita kepada penfsiran
derivative sebagai suatu hasil bagi atau pecahan, jika sembarang kenaikan dari variabel
bebas x pada suatu titik P (x,y) pada kurva y = f(x) dinyatakan dengan dx, maka dalam
rumusan turunannya.
dy
dx
= fَ (x) = ( tan α )
dy menyatakan kenaikan yang berpadan dari koordinat tangens pada P.
∆y
Perhatikan, bahwa diferensial dy dan kenaikan
yang berpadan dengan nilai dx =
∆x
dari fungsi
yang sama, pada
umumnya tidaklah sama. Dalam gambar.9 disamping dy = QT
sedang ∆ y
= QPَ
Dari gambar itu dapat dilihat dengan jelas, bahwa
dan dy = QT kurang lebih sama, jika
∆x
∆y
= QP',
= PQ sangatlah kecil.
Pada hakekatnya jika variabel bebas kecil sekali perubahannya, maka diferensial fungsi
itu hamper sama dengan kenaikan fungsi. Jika diferensial fungsi dapat dipakai untuk
mendekati perubahannya, apabila perubahan variabel bebas keci sekali.
2.2
Penerapan Diferensial Ekonomi
2.2.1
Elastisitas
Elastisitas dari suatu fungsi
y=f (x)
berkenaan dengan x dapat didefinisikan
sebagai :
∆y
)
Ey
y
dy x
η= = lim
= .
Ex ∆ x→ 0 ∆ x
dx y
(
)
x
(
Ini berarti bahwa elastisitas
y=f ( x)
merupakan limit dari rasio antara
perubahan relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang
sangat kecil atau mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat
juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x.
a) Elastisitas Permintaan
Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan,
price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan
jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara
persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga.
Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya :
∆ Qd
)
∆ Qd E Q d
Qd
d Qd P
ηd=
=
= lim
=
.
∆P
EP ∆ P →0 ∆ P
dP Qd
(
)
P
(
Dimana
d Qd
dP
tak lain adalah Q'd atau f'(P)
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila
– uniter jika
|ηd|>1 , elastic
|ηd|=1 , dan inelastic bila |ηd|
”PENERAPAN DIFERENSIAL DALAM EKONOMI”
(Elastisitas,Konsumsi & Tabungan)
DISUSUN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH MATEMATIKA EKONOMI
Disusun Oleh :
1) INDAH LESTARI (081631007)
2) INA YANTI (080631034)
3) ELON (080631012)
4) CUCU NURMANSYAH
FKIP MATEMATIKA
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH CIREBON
Jl. Tuparev No. 70 Cirebon Tlp. (0231)209608,209617,209625, Fax : (0231) 209608
http://www.umcirebon.com email : [email protected]
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, berkat rahmat dan
karunia-Nya kami dapat menyelesaikan penyusunan tugas makalah Penerapan Diferensial
Dalam Ekonomi dengan baik tanpa adanya kendala apapun yang berarti.
Tugas makalah Penerapan Deferensial Dalam Ekonomi ini kami susun agar dapat
memenuhi salah satu tugas pada mata kuliah matematika ekonomi. Tujuan lain
penyusunan tugas ini adalah supaya para pembacanya dapat memahami tentang
matematika terapan dalam bisnis dan ekonomi.
Materi pada makalah ini kami buat dengan menggunakan bahasa yang sederhana
supaya dapat dimengerti oleh pembaca.
Akhirnya, kami ucapkan terima kasih kepada pihak – pihak yang telah memberikan
kontribusinya dalam penyelesaian makalah ini.
Saran dan kritik dari berbagai pihak kami harapkan untuk menyempurnakan
makalah ini.
Demikian, terimakasih
Cirebon, Oktober 2010
Tim Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ……………………………………………………………….……i
DAFTAR ISI …………………………………………………………………………...…ii
BAB I PENDAHULUAN ………………………………………………………………..1
BAB II PEMBAHASAN …………………………………………………………………2
2.1 Pengertian Diferensial ………………………………………………………..2
2.2 Penerapan Diferensial ………………………………………………………..3
2.2.1 Elastisitas ……………………………………………………………...3
2.2.2 Pendapatan Konsumsi ………………………………………………...5
2.2.3 Pendapatan Tabungan …………………………………………………6
BAB III PENUTUP ………………………………………………………………………8
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan
perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial
dapat pula disidik kedudukan – kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari
seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan manfaat
– manfaat inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting
dalam bisnis dan ekonomi. Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan ekonomi
sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan tingkat
minimum.
Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar
suatu fungsi non linear. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama (first
derivative) sebuah fungsi, akan dapat dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut. Secara
berurutan seksi-seksi berikut akan membahas hubungan antara fungsi non linear dan
derivative pertamanya, guna mengetahui apakah kurvanya menaik atau kan menurun
pada kedudukan tertentu; hubungan antara fungsi parabolic dan derivativenya, guna
mengetahui letak dan bentuk titik ekstrimnya (maksimum atau minimum) serta hubungan
antara fungsi kubik dan derivativenya guna mengetahui letak dan bentuk titik ekstrim
serta letak titik beloknya. Akan tetapi sebelum semua itu, marilah kita perhatikan
hubungan secara umum antara sebuah fungsi dan fungsi-fungsi turunannya.
Berdasarkan kaidah deferensi, dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi
berderajat “n” adalah sebuah fungsi berderajat “n-1”. Dengan perkataan lain, turunan dari
fungsi berderajat 3 adalah sebuah fungsi berderajat 2, turunan dari fungsi berderajat 2
adalah sebuah fungsi berderajat 1, turunan dari fungsi berderajat 1 adalah sebuah fungsi
berderajat 0 alias sebuah konstanta, dan akhirnya turunan dari sebuah konstanta adalah 0.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1
Pengertian Diferensial
Darivatif atau turunan
dy
pecahan dengan
dy
dx
tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau
sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai
lambang yang menyertakan limit dari
Δy
, sewaktu
Δx
∆x
mendekati nilai nol
sebagai limit. Akan tetapi untuk dapat memahami masalah – masalah tertentu kadang –
kadang bermanfaat juga untuk menafsirkan dx dan dy secara terpisah. Dalam hubungan
ini dx menyatakan diferensial x dan dy diferensial y. pengertian diferensial berguna
sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan
perubahan dalam variabel gayut yang berkaitan dengan perubahan – perubahan kecil
dalam variabel bebas.
Jika fَ (x) merupakan derivative dari fungsi f(x) untuk nilai x tertentu dan
∆x
merupakan kenaikan dalam x, maka diferensial dari f(x), yang dalam hal ini ditulis f(x),
terdefinisikan oleh persamaan.
df (x) = fَ (x) .
dy
∆x
dx
Jika f(x) = x, maka fَ (x) = 1, dan dx =
∆ x . Jadi jika x merupakan variabel bebas,
maka diferensial dx dari x sama dengan ∆ x .
Jika y = f(x), maka
dy = fَ (x) dx =
dy
dx
dx
Jadi diferensial suatu variabel gayut sama dengan hasil kali turunannya dengan
diferensial variabel bebas.
Secara geometrical perhatikanlah kurva y = f(x) (lihat gambar 9 dibawah ini), dan
misalkan turunannya pada titik P = fَ (x). Maka dx = PQ dan dy = fَ (x) = ( tan α )(PQ) =
PT
. PQ=QT
PQ
Oleh karena itu dy atau df (x) adalah kenaikan ordinat dari tangens yang
berpadanan dengan dx. Argumentasi geometrical ini membawa kita kepada penfsiran
derivative sebagai suatu hasil bagi atau pecahan, jika sembarang kenaikan dari variabel
bebas x pada suatu titik P (x,y) pada kurva y = f(x) dinyatakan dengan dx, maka dalam
rumusan turunannya.
dy
dx
= fَ (x) = ( tan α )
dy menyatakan kenaikan yang berpadan dari koordinat tangens pada P.
∆y
Perhatikan, bahwa diferensial dy dan kenaikan
yang berpadan dengan nilai dx =
∆x
dari fungsi
yang sama, pada
umumnya tidaklah sama. Dalam gambar.9 disamping dy = QT
sedang ∆ y
= QPَ
Dari gambar itu dapat dilihat dengan jelas, bahwa
dan dy = QT kurang lebih sama, jika
∆x
∆y
= QP',
= PQ sangatlah kecil.
Pada hakekatnya jika variabel bebas kecil sekali perubahannya, maka diferensial fungsi
itu hamper sama dengan kenaikan fungsi. Jika diferensial fungsi dapat dipakai untuk
mendekati perubahannya, apabila perubahan variabel bebas keci sekali.
2.2
Penerapan Diferensial Ekonomi
2.2.1
Elastisitas
Elastisitas dari suatu fungsi
y=f (x)
berkenaan dengan x dapat didefinisikan
sebagai :
∆y
)
Ey
y
dy x
η= = lim
= .
Ex ∆ x→ 0 ∆ x
dx y
(
)
x
(
Ini berarti bahwa elastisitas
y=f ( x)
merupakan limit dari rasio antara
perubahan relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang
sangat kecil atau mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat
juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x.
a) Elastisitas Permintaan
Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan,
price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan
jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara
persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga.
Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya :
∆ Qd
)
∆ Qd E Q d
Qd
d Qd P
ηd=
=
= lim
=
.
∆P
EP ∆ P →0 ∆ P
dP Qd
(
)
P
(
Dimana
d Qd
dP
tak lain adalah Q'd atau f'(P)
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila
– uniter jika
|ηd|>1 , elastic
|ηd|=1 , dan inelastic bila |ηd|