Kekonvergenan Deret Harmonik Secara Anal
Kekonvergenan Deret Harmonik
secara Analitik dan Numerik
Muhammad Al Kahf
10114032
Matematika ITB 2014
Masalah Pertama
Selidiki apa yang terjadi dengan jika Apakah anda
mengenalinya ?
Pendekatan dengan
Penaksiran
Definisikan
T(n) sedemikian sehingga
Akibatnya,
Karena T(n) adalah fungsi menaik (bukti diserahkan
pada pembaca) dan T(n) terbatas di atas, maka jelas
bahwa T(n) konvergen. Tapi, konvergen kemana ?
Defnisi Integral
Akibatnya,
Programming Matlab
for i = 1 : 100
har(i) = 0;
for j = i+1 : 2*i;
har(i) = har(i) + 1/j;
end;
end;
plot(har - log(2));
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
-0.12
-0.14
-0.16
-0.18
-0.2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Masalah Kedua
Selidiki juga dengan
Gunakan Hasil Sebelumnya
Programming Matlab
for k = 1 : 10;
for i = 1 : 200
har(i, k) = 0;
for j = i+1 : 2^k*i;
har(i, k) = har(i, k)+ 1/j;
end;
end;
plot(har(:, k) - k*log(2));
hold on;
end;
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
-0.3
-0.35
-0.4
-0.45
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Masalah Ketiga
Misalkan n mempunyai nilai tetap, selidiki apa yang terjadi
dengan . Tentu nilainya membesar. Bagaimana ukuran
membesarnya ? Carilah suatu fungsi yang dapat digunakan
sebagai ukuran
Batasi Nilai
Dari
uraian pada masalah 1 telah kita dapatkan
Perhatikan bahwa fungsi monoton turun untuk setiap
dengan (bukti diserahkan ke pembaca), akibatnya
konvergen ke suatu nilai, sebut c.
Dengan cesaro stolz theorem,
Programming Matlab
for i = 1 : 20;
for k = 1 : 20;
har(i, k) = 0;
for j = 1 : i*2^k;
har(i, k) = har(i, k) + 1/j;
end;
end;
plot(har(i, :));
hold on;
end;
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Masalah Keempat
Misalkan
merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari
Hitung dengan dengan cukup besar. Kesimpulan apa yang
diperoleh
Gunakan fungsi ceiling
bahwa . Perhatikan bahwa
Jelas
Karena bernilai bilangan bulat, maka kemungkinan nilai
dari adalah dan
Program Matlab
har(1) = 1;
for i = 2 : 1000;
har(i) = har(i-1) + 1/i;
end;
i = 1 : 500
f = @(x) ceil(har(2*x)) - ceil(har(x))
plot(i, f(i), ‘ro')
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Masalah kelima
Tentukan
kemungkinan nilai jika
Integral lagi
Perhatikan
bahwa
Ambil limit kedua ruas
Program Matlab
har(1) = 1;
for i = 2 : 3000;
har(i) = har(i-1) + 1/i;
end;
f = @(x) ceil(har(x))
i = 1 : 3000;
kom = f(i);
for i = 1 : 600;
kecil(i) = min(find(kom == f(i) + 1))/i;
besar(i) = max(find(kom == f(i) + 1))/i;
end;
i = 1 : 600;
plot(kecil(i), ‘g’); hold on; plot(besar(i), ‘r’);
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0
500
1000
1500
7.5
7
6.5
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
0
100
200
300
400
500
600
Masalah Keenam
Misalkan bilangan terbesar sehingga untuk Tuliskan ini sebagai
Hitung carilah suatu kesimulan mengenai hasil ini. Tentukan
order dari jika membesar tanpa batas.
Lakukan Pengandaian
Asumsikan
dan . Untuk yang cukup besar / menuju
maka berlaku
Simpulkan
Karena maka
Jadi membesar secara eksponensial
Program Matlab
har(1) = 1;
for i = 2 : 1000000;
har(i) = har(i-1) + 1/i;
end;
f = @(x) ceil(har(x))
i = 1 : 1000000;
kom = f(i);
for i = 1 : 14;
nilai(i) = max(find(kom == i));
end;
perbandingan = nilai(2 : end)./nilai(1 : end-1);
plot(perbandingan);
figure; plot(nilai);
3.5
3.4
3.3
3.2
3.1
3
2.9
2.8
2.7
0
2
4
6
8
10
12
14
x 105
7
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Masalah ketujuh
Bagaimana
dengan deret
Apakah konvergen ? Apakah anda mengenalinya ?
Dirichlet’s Test
Teorema
:
Jika adalah barisan monoton turun dengan dan jika jumlah
parsial dari dari terbatas, maka deret konvergen.
Pilih , perhatikan bahwa
Pilih , perhatikan bahwa terbatas
Dengan dirichlet test, konvergen.
Masih ingat dengan deret Mc
Laurin ?
Perhatikan
bahwa
Integralkan kedua ruas dengan batas
Pilih
Program Matlab
har(1) = 1;
for i = 2 : 1000
har(i) = har(i-1) + (-1)^(i+1)/i;
end;
plot(har - log(2));
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Masalah ke Delapan
Bagaimana
dengan deret
Apakah deret konvergen ? Apakah anda mengenalinya ?
Tinjau
Perhatikan
bahwa
Jelas bahwa deret ini divergen karena mengandung
deret harmonik. Tetapi, bagaimana dengan orde
membesarnya ?
Partisi Menjadi 2 Bagian
Bagi
menjadi 2 bagian :
Akibatnya,
Bagaimana dengan
dan
Lakukan hal yang sama untuk . Diperoleh bahwa
konvergen menuju
Program Matlab
har(1) = 1;
for i = 2 : 10000
if mod(i, 3) ~= 0
har(i) = har(i-1) + 1/i;
else
har(i) = har(i-1) - 1/i;
end;
har1(i) = har(i) - 1/3*log(i/3);
end;
plot(har1);
axis([0, 10000, 1.2, 1.4])
1.4
1.38
1.36
1.34
1.32
1.3
1.28
1.26
1.24
1.22
1.2
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Masalah ke Sembilan
Bagaimana
dengan deret
Apakah deret konvergen ? Apakah Anda mengenalinya
Tinjau
Dengan
rearrangemen ulang
Perhatikan bahwa bentuk
Konvergen ke sesuai dengan masalah ketujuh.
Sedangkan bentuk di dalam kurung dapat
diselesaikan menggunakan integral
Akibatnya,
Bagaimana dengan
dan
Kedua
barisan ini tetap konvergen ke . Bukti mirip
dengan masalah ke delapan dan diserahkan kepada
pembaca.
Program Matlab
har(1) = 1;
for i = 2 : 10000
if mod(i, 3) ~= 0
har(i) = har(i-1) + 1/(2*(i - floor(i/3)) - 1);
else
har(i) = har(i-1) - 1/(2*floor(i/3));
end;
end;
plot(har - 3/2*log(2));
axis([0 10000 -0.05 0.05]
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Masalah ke Sepuluh
Kita
mengetahui bahwa deret
Divergen. Selidiki order konvergensinya.
Gambarkan
grafk
Dengan
menggambarkan grafk, kita dapatkan bahwa
Karena menaik dan terbatas maka deret ini konvergen. Jadi,
deret ini konvergen dengan orde
Program Matlab
har(1) = 1;
for i = 2 : 1000;
har(i) = har(i-1) + 1/sqrt(i);
after(i) = har(i) - 2*sqrt(i);
end;
plot(after);
axis([0 1000 -1.5 -1]);
-1
-1.05
-1.1
-1.15
-1.2
-1.25
-1.3
-1.35
-1.4
-1.45
-1.5
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Masalah ke Sebelas
mengetahui bahwa deret
Kita
Divergen. Selidiki order divergensinya
Lakukan hal yang sama dengan masalah ke
sepuluh.
Masalah ke Dua Belas
Selidiki
kekonvergenan
Selidiki kekonvergenan
Selidiki kekonvergenan
Gunakan Teorema Residu untuk
Integral ....
Hah :o >o< :o
Residu itu apa ?
Lemma
Kasus
Perhatikan
bahwa
Gunakan deret laurent
Akibatnya
Kasus
Di dalam matematika, dikenal istilah Apery’s
Constant. Istilah ini muncul oleh matematikawan
Prancis, Roger Apery yang membuktikan bahwa
bilangan ini irrasional (1978). Sampai saat ini belum
ada pembuktian apakah bilangan ini transenden atau
tidak.
Yang jika diapproksimasi oleh komputer menghasilkan
Kasus
Perhatikan
bahwa
Gunakan deret laurent
Akibatnya
Program Matlab 1
har(1) = 1;
for i = 2 : 1000;
har(i) = har(i-1) + 1/i^2;
end;
plot(har - pi^2/6, 'g--', 'LineWidth', 5);
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Program Matlab 2
Program Matlab 3
har(1) = 1;
for i = 2 : 50;
har(i) = har(i-1) + 1/i^4;
end;
plot(har - pi^4/90, 'g--', 'LineWidth', 5);
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
-0.07
-0.08
-0.09
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Daftar Pustaka
• Andrescu, Titu dan Gelca, Razvan. 2007. Putnam and Beyond. Springer
• Bak, Joseph dan Newman, Donald J. 2010. Complex Analysis (Third
Edition). Springer.
• Bartle, Robert G. dan Sherbert, Donald R.. 2011. Introduction to Real
Analysis (Fourth Edition). John Wiley & Sons, Inc.
• Churchill, Ruel V. Dan Brown, James Ward. 2014. Complex Variables and
Applications (Ninth Edition). McGraw Hill Education.
• Purcell, dkk. 2011. Kalkulus (Edisi 9) Jilid 2. Jakarta : Penerbit Erlangga
secara Analitik dan Numerik
Muhammad Al Kahf
10114032
Matematika ITB 2014
Masalah Pertama
Selidiki apa yang terjadi dengan jika Apakah anda
mengenalinya ?
Pendekatan dengan
Penaksiran
Definisikan
T(n) sedemikian sehingga
Akibatnya,
Karena T(n) adalah fungsi menaik (bukti diserahkan
pada pembaca) dan T(n) terbatas di atas, maka jelas
bahwa T(n) konvergen. Tapi, konvergen kemana ?
Defnisi Integral
Akibatnya,
Programming Matlab
for i = 1 : 100
har(i) = 0;
for j = i+1 : 2*i;
har(i) = har(i) + 1/j;
end;
end;
plot(har - log(2));
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
-0.12
-0.14
-0.16
-0.18
-0.2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Masalah Kedua
Selidiki juga dengan
Gunakan Hasil Sebelumnya
Programming Matlab
for k = 1 : 10;
for i = 1 : 200
har(i, k) = 0;
for j = i+1 : 2^k*i;
har(i, k) = har(i, k)+ 1/j;
end;
end;
plot(har(:, k) - k*log(2));
hold on;
end;
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
-0.3
-0.35
-0.4
-0.45
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Masalah Ketiga
Misalkan n mempunyai nilai tetap, selidiki apa yang terjadi
dengan . Tentu nilainya membesar. Bagaimana ukuran
membesarnya ? Carilah suatu fungsi yang dapat digunakan
sebagai ukuran
Batasi Nilai
Dari
uraian pada masalah 1 telah kita dapatkan
Perhatikan bahwa fungsi monoton turun untuk setiap
dengan (bukti diserahkan ke pembaca), akibatnya
konvergen ke suatu nilai, sebut c.
Dengan cesaro stolz theorem,
Programming Matlab
for i = 1 : 20;
for k = 1 : 20;
har(i, k) = 0;
for j = 1 : i*2^k;
har(i, k) = har(i, k) + 1/j;
end;
end;
plot(har(i, :));
hold on;
end;
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Masalah Keempat
Misalkan
merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari
Hitung dengan dengan cukup besar. Kesimpulan apa yang
diperoleh
Gunakan fungsi ceiling
bahwa . Perhatikan bahwa
Jelas
Karena bernilai bilangan bulat, maka kemungkinan nilai
dari adalah dan
Program Matlab
har(1) = 1;
for i = 2 : 1000;
har(i) = har(i-1) + 1/i;
end;
i = 1 : 500
f = @(x) ceil(har(2*x)) - ceil(har(x))
plot(i, f(i), ‘ro')
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Masalah kelima
Tentukan
kemungkinan nilai jika
Integral lagi
Perhatikan
bahwa
Ambil limit kedua ruas
Program Matlab
har(1) = 1;
for i = 2 : 3000;
har(i) = har(i-1) + 1/i;
end;
f = @(x) ceil(har(x))
i = 1 : 3000;
kom = f(i);
for i = 1 : 600;
kecil(i) = min(find(kom == f(i) + 1))/i;
besar(i) = max(find(kom == f(i) + 1))/i;
end;
i = 1 : 600;
plot(kecil(i), ‘g’); hold on; plot(besar(i), ‘r’);
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0
500
1000
1500
7.5
7
6.5
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
0
100
200
300
400
500
600
Masalah Keenam
Misalkan bilangan terbesar sehingga untuk Tuliskan ini sebagai
Hitung carilah suatu kesimulan mengenai hasil ini. Tentukan
order dari jika membesar tanpa batas.
Lakukan Pengandaian
Asumsikan
dan . Untuk yang cukup besar / menuju
maka berlaku
Simpulkan
Karena maka
Jadi membesar secara eksponensial
Program Matlab
har(1) = 1;
for i = 2 : 1000000;
har(i) = har(i-1) + 1/i;
end;
f = @(x) ceil(har(x))
i = 1 : 1000000;
kom = f(i);
for i = 1 : 14;
nilai(i) = max(find(kom == i));
end;
perbandingan = nilai(2 : end)./nilai(1 : end-1);
plot(perbandingan);
figure; plot(nilai);
3.5
3.4
3.3
3.2
3.1
3
2.9
2.8
2.7
0
2
4
6
8
10
12
14
x 105
7
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Masalah ketujuh
Bagaimana
dengan deret
Apakah konvergen ? Apakah anda mengenalinya ?
Dirichlet’s Test
Teorema
:
Jika adalah barisan monoton turun dengan dan jika jumlah
parsial dari dari terbatas, maka deret konvergen.
Pilih , perhatikan bahwa
Pilih , perhatikan bahwa terbatas
Dengan dirichlet test, konvergen.
Masih ingat dengan deret Mc
Laurin ?
Perhatikan
bahwa
Integralkan kedua ruas dengan batas
Pilih
Program Matlab
har(1) = 1;
for i = 2 : 1000
har(i) = har(i-1) + (-1)^(i+1)/i;
end;
plot(har - log(2));
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Masalah ke Delapan
Bagaimana
dengan deret
Apakah deret konvergen ? Apakah anda mengenalinya ?
Tinjau
Perhatikan
bahwa
Jelas bahwa deret ini divergen karena mengandung
deret harmonik. Tetapi, bagaimana dengan orde
membesarnya ?
Partisi Menjadi 2 Bagian
Bagi
menjadi 2 bagian :
Akibatnya,
Bagaimana dengan
dan
Lakukan hal yang sama untuk . Diperoleh bahwa
konvergen menuju
Program Matlab
har(1) = 1;
for i = 2 : 10000
if mod(i, 3) ~= 0
har(i) = har(i-1) + 1/i;
else
har(i) = har(i-1) - 1/i;
end;
har1(i) = har(i) - 1/3*log(i/3);
end;
plot(har1);
axis([0, 10000, 1.2, 1.4])
1.4
1.38
1.36
1.34
1.32
1.3
1.28
1.26
1.24
1.22
1.2
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Masalah ke Sembilan
Bagaimana
dengan deret
Apakah deret konvergen ? Apakah Anda mengenalinya
Tinjau
Dengan
rearrangemen ulang
Perhatikan bahwa bentuk
Konvergen ke sesuai dengan masalah ketujuh.
Sedangkan bentuk di dalam kurung dapat
diselesaikan menggunakan integral
Akibatnya,
Bagaimana dengan
dan
Kedua
barisan ini tetap konvergen ke . Bukti mirip
dengan masalah ke delapan dan diserahkan kepada
pembaca.
Program Matlab
har(1) = 1;
for i = 2 : 10000
if mod(i, 3) ~= 0
har(i) = har(i-1) + 1/(2*(i - floor(i/3)) - 1);
else
har(i) = har(i-1) - 1/(2*floor(i/3));
end;
end;
plot(har - 3/2*log(2));
axis([0 10000 -0.05 0.05]
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Masalah ke Sepuluh
Kita
mengetahui bahwa deret
Divergen. Selidiki order konvergensinya.
Gambarkan
grafk
Dengan
menggambarkan grafk, kita dapatkan bahwa
Karena menaik dan terbatas maka deret ini konvergen. Jadi,
deret ini konvergen dengan orde
Program Matlab
har(1) = 1;
for i = 2 : 1000;
har(i) = har(i-1) + 1/sqrt(i);
after(i) = har(i) - 2*sqrt(i);
end;
plot(after);
axis([0 1000 -1.5 -1]);
-1
-1.05
-1.1
-1.15
-1.2
-1.25
-1.3
-1.35
-1.4
-1.45
-1.5
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Masalah ke Sebelas
mengetahui bahwa deret
Kita
Divergen. Selidiki order divergensinya
Lakukan hal yang sama dengan masalah ke
sepuluh.
Masalah ke Dua Belas
Selidiki
kekonvergenan
Selidiki kekonvergenan
Selidiki kekonvergenan
Gunakan Teorema Residu untuk
Integral ....
Hah :o >o< :o
Residu itu apa ?
Lemma
Kasus
Perhatikan
bahwa
Gunakan deret laurent
Akibatnya
Kasus
Di dalam matematika, dikenal istilah Apery’s
Constant. Istilah ini muncul oleh matematikawan
Prancis, Roger Apery yang membuktikan bahwa
bilangan ini irrasional (1978). Sampai saat ini belum
ada pembuktian apakah bilangan ini transenden atau
tidak.
Yang jika diapproksimasi oleh komputer menghasilkan
Kasus
Perhatikan
bahwa
Gunakan deret laurent
Akibatnya
Program Matlab 1
har(1) = 1;
for i = 2 : 1000;
har(i) = har(i-1) + 1/i^2;
end;
plot(har - pi^2/6, 'g--', 'LineWidth', 5);
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Program Matlab 2
Program Matlab 3
har(1) = 1;
for i = 2 : 50;
har(i) = har(i-1) + 1/i^4;
end;
plot(har - pi^4/90, 'g--', 'LineWidth', 5);
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
-0.07
-0.08
-0.09
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Daftar Pustaka
• Andrescu, Titu dan Gelca, Razvan. 2007. Putnam and Beyond. Springer
• Bak, Joseph dan Newman, Donald J. 2010. Complex Analysis (Third
Edition). Springer.
• Bartle, Robert G. dan Sherbert, Donald R.. 2011. Introduction to Real
Analysis (Fourth Edition). John Wiley & Sons, Inc.
• Churchill, Ruel V. Dan Brown, James Ward. 2014. Complex Variables and
Applications (Ninth Edition). McGraw Hill Education.
• Purcell, dkk. 2011. Kalkulus (Edisi 9) Jilid 2. Jakarta : Penerbit Erlangga