Linear Programming (Pemrograman Linier)

  Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2012/2013

  Metode Dual Simplex 

  Dapat dimanfaatkan untuk 1.

  Menentukan solusi optimal baru setelah menambah kendala baru pada LP 2. Menentukan solusi optimal baru

setelah perubahan rhs dari LP Maksimisasi 

  

Kriteria optimal bukan lagi pada

baris nol 

  

Kriteria optimal berdasarkan rhs



  Baris pivot ditentukan dulu, baru ditentukan kolom pivot Langkah-langkah:

  1. Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua?

  ◦ Ya: solusi sudah diperoleh

  ◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya

  2. Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot) yang harus meninggalkan BV. Pilih kolom pivot, sebagai pemenang ratio test dari setiap peubah dengan koefsien negatif pada baris pivot Ratio test= Koefsien baris nol/Koefsien baris pivot

  ◦ Pemenangnya adalah ratio terkecil: BV yang baru

  ◦ Lakukan ERO 3. Selesai jika rhs setiap kendala>=0. pada LP 

  Terdapat tiga kemungkinan:

  

1. Solusi optimal yang ada memenuhi kendala

baru

  2. Solusi optimal yang ada tidak memenuhi kendala baru, tapi LP tetap mempunyai solusi feasibel

  3. Tambahan kendala menyebabkan LP tidak mempunyai solusi feasibel Dakota max z 60 x 30 x 20 x   

  1

  2

  3 s . t . 8 x 6 x x 48 (bahan kayu)   

  1

  2

  3 x :# produksi bangku ₁

  4 x 2 x 1 . 5 x 20 (jam finishing)   

  1

  2

  3 x :# produksi meja ₂

  2 x 1 . 5 x . 5 x 8 (jam carpentry)   

  1

  2

  3 x :# produksi kursi ₃ x , x , x

  

  1

  2

  3 BFS : x 2 , x , x 8 , s 24 , s s , z 280       

  1

  2

  

3

  1

  2

  3 Misalkan dipunyai kendala baru dalam Kasus 1 bentuk sbb:

x x x

  11   

  1

  2

  3 Misalkan pihak pemasaran menentukan Kasus 2 bahwa paling sedikit 1 meja harus diproduksi.

   Maka akan ada kendala baru sbb: x

  1 

  

2



  Dari solusi yang ada x =0

  2 

  Tidak memenuhi kendala baru 

  Solusi tidak lagi feasibel dan tidak optimal 

  Digunakan metode dual simpleks, Kendala baru dalam bentuk standar: x

  

1

 e 

  2

  4 

  

Untuk memperoleh bentuk kanonik

pada peubah excess: x e

  1    

  2

  4 Tableau

  2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV z=28 Baris 0

  1

  5

  10 10 280 s1=2 pada kasus ini

  Tableau x2 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV

  5 z=28

• 2 Baris 0

  1

  5

  10 10 280

• 2

  s1=2

  1.25 Baris 1 -2

  1 2 -8

  24

  4

• 1

  e4=- Baris 2 -2

  1 2 -4 8 x3=8 Baris 4 -1

  1 -1

  1 Baris 3

  1 1.25 -0.5

  1.5 2 x1=2

  e4=-

  ◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya

  Baris 4 -1 1 -1

  1 2. Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot).

  2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV z=28 Baris 0

  1

  5

  10 10 280 s1=2 Baris 1 -2

  1 2 -8

  24

  4 Baris 2 -2

  1 2 -4 8 x3=8 Baris 3

  1 1.25 -0.5

  1.5 2 x1=2

  Baris 4 ( 2 )

  e4=-

  Dengan ERO ingin diperoleh Tableau Baris 4 ( 3 )

  

  Baris 4 -1 1 -1

  1

  1  3: baris 4 didahulukan (pivot row)

  Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs

  2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV z=28 Baris 0

  1

  5

  10 10 280 s1=2 Baris 1 -2

  1 2 -8

  24

  4 Baris 2 -2

  1 2 -4 8 x3=8 Baris 3

  1 1.25 -0.5

  1.5 2 x1=2

  Baris ( 3 ) Baris ( 2 )

  5 Baris 4 ( 3 * )  

  Dengan ERO ingin diperoleh baris 0 di e4=- tableau 3: dengan memanfaatkan baris

  Baris 4 -1 1 -1

  1

  4 di tableu 3 (pivot row)

  Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs Baris 0

  1

  10

  10 5 275

  2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV z=28 Baris 0

  1

  5

  10 10 280 s1=2 Baris 1 -2

  1 2 -8

  24

  4 Baris 2 -2

  1 2 -4 8 x3=8 Baris 3

  1 1.25 -0.5

  1.5 2 x1=2 Dengan ERO ingin diperoleh baris 1 di tableau 3: e4=-

  dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3

  Baris 4 -1 1 -1

  1

  (pivot row) Baris 1 ( 3 ) Baris 1 ( 2 )

  2 Baris * 4 ( 3 )

  

 

  Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs Baris 0

  1

  10

  10 5 275 Baris 1

  1 2 -8 -2

  26

  2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV z=28 Baris 0

  1

  5

  10 10 280 s1=2 Baris 1 -2

  1 2 -8

  24

  4 Baris 2 -2

  1 2 -4 8 x3=8 Baris 3

  1 1.25 -0.5

  1.5 2 x1=2 Dengan ERO ingin diperoleh baris 2 di tableau 3: e4=-

  dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3

  Baris 4 -1 1 -1

  1

  (pivot row) Baris 2 ( 3 * ) Baris 2 ( 2 )

  2 Baris 4 ( 3 )     

  Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs Baris 0

  1

  10

  10 5 275 Baris 1

  1 2 -8 -2

  26 Baris 2

  1 2 -4 -2

  10

  2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV z=28 Baris 0

  1

  5

  10 10 280 s1=2 Baris 1 -2

  1 2 -8

  24

  4 Baris 2 -2

  1 2 -4 8 x3=8 Baris 3

  1 1.25 -0.5

  1.5 2 x1=2 Dengan ERO ingin diperoleh baris 3 di tableau 3: e4=-

  dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3

  Baris 4 -1 1 -1

  1

  (pivot row) Baris 3 ( 3 ) Baris

3 * (

2 ) 1 .

  25 Baris 4 ( 3 )  

  Tableau

  BV

  3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs Baris 0

  1

  10

  10 5 275

  z=275

  Baris 1 1 2 -8 -2

  26

  s1=26 x3=10

  Baris 2

  1 2 -4 -2

  10

  x1=0.75

   Memproduksi 2 bangku, dan 8 kursi tanpa memproduksi meja dengan proft 280 x :# produksi bangku _{1 BFS : x}

  2 , x , x 8 , s 24 , s s , z 280       

  1

  2

  3

  1

  2

  3 x :# produksi meja ₂ x :# produksi kursi ₃

   Dengan tambahan batasan bahwa paling sedikit 1 meja harus diproduksi

   Solusi optimal berubah menjadi: BFS : x . 75 , x 1 , x 10 , s 26 , s s , z 275

        

  1

  

2

  3

  1

  2

  3 

  Meja diproduksi 1 buah, dengan konsekuensi mengurangi produksi bangku dan menambah produksi kursi

   Misalkan pihak manajemen memberi syarat bahwa jumlah produksi bangku dan meja paling sedikit 12 buah: x

  12  x 

  1

  2 

  Solusi optimal awal: 

  Memproduksi 2 bangku, dan 8 kursi tanpa memproduksi meja 

Tidak memenuhi syarat tersebut

  2

  12  

   Tambahan kendala baru dalam bentuk standar: x x e

12 x x e

  12         

  1

  2

  4

  

1

  2

  4 Tableau

  2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV z=28 Baris 0

  1

  5

  10 10 280 s1=2 Baris 1 -2

  1 2 -8

  24

  4 e4=- Baris 2 -2

  1 2 -4 8 x3=8 Baris 4 -1 -1

  1 -12

  12 Baris 3

  1 1.25 -0.5

  1.5 2 x1=2 e4=- Baris 4 -1 -1

  1 -12

  12 Karena X BV, kolom bagi X harus disesuaikan

  1

  1 menjadi bentuk kanonik di baris 3 Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV z=28

  Baris 0

  1

  5

  10 10 280 s1=2 Baris 1 -2

  1 2 -8

  24

  4 Baris 2 -2

  1 2 -4 8 x3=8 Baris 3

  1 1.25 -0.5

  1.5 2 x1=2

Baris

  4 2 ' Baris

  

4

  2 Baris

  3

  2        

  e4=- Baris 4 -1 -1

  1 -12

  12 Tableau 2’ z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV z=28

  Baris 0

  1

  5

  10 10 280 s1=2 Baris 1 -2

  1 2 -8

  24

  4 e4=- Baris 2 -2

  1 2 -4 8 x3=8 Baris 4 0.25 -0.5

  1.5 1 -10

  10 Baris 3

  1 1.25 -0.5

  1.5 2 x1=2 s2 Tableau

  2’ z x1 x2 x3 s1 10 s2 s3 e4 rhs BV 2 z=28 Baris 0

  1

  5

  10 10 280

  2

• 0.5 s1=2 Baris 1 -2

  1 2 -8

  24

  4

• 0.5 e4=-

  Baris 2 -2

  1 2 -4 8 x3=8 Baris 4 0.25 -0.5

  1.5 1 -10

  10 Baris 3

  1 1.25 -0.5

  1.5 2 x1=2 1. Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua?

  s menggantika

  e4=-

  2 ◦ Tidak: lanjutkan langkah berikutnya

  Baris 4 0.25 -0.5

  1.5 1 -10

  10

  n e

  4

  2. Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 4 Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari

  Tableau 2’ z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV

  1.5 2 x1=2 Baris 4 0.25 -0.5

  20 80 z=80 Baris 1 -1 1 -2 4 -16 s1=-

  40

  10

  1

  Baris 0

  10 Dengan ERO diperoleh Tableau 3 Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV

  1.5 1 -10 e4=-

  1 1.25 -0.5

  Baris 0

  1 2 -4 8 x3=8 Baris 3

  4 Baris 2 -2

  24 s1=2

  1 2 -8

  10 10 280 z=28 Baris 1 -2

  5

  1

  16 Tableau x2 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV

  10 Baris 0

  1

  10

  40

  20 80 z=80

• 1

  s1=- x3=-

• 1 Baris 1 -1

  1 -2 4 -16

  16 Baris 2 -1

  1

  2 4 -32

  32

  1 x3=-

• 0.5 Baris 2 -1

  1

  2 4 -32

  32 Baris 3

  1

  1

• 1 12 x1=2 1.

  Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua? s2=2 Tidak: lanjutkan langkah berikutnya

  ◦

  Baris 4 -0.5 1 -3 -2

  20

  2. Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 2 Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari setiap peubah dengan koefsien negatif pada baris pivot

  Tidak perlu ratio test karena:

  1

  1

  1

  10

  40

  20 80 z=80 Baris 1 -1 1 -2 4 -16 s1=-

  16 Baris 2 -1

  1

  2 4 -32 x3=-

  32 Baris 3

  Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0

• 1 12 x1=2

Dengan ERO diperoleh Tableau 4

  Baris 4 -0.5 1 -3 -2

  20 s2=2

  Tableau 4 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1

  10

  60 60 -240 z=- 240

  Baris 1 0 -1 1 -4

  16 s1=1

  6 Tableau 4 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV z=-

  Baris 0 1

  10

  60 60 -240 240 s1=1 x1=-

  Baris 1 0 -1 1 -4

  16

  6 Baris 3 0

  1

  1

  2 3 -20

  20 x2=3 Baris 2 0 1 -1 -2 -4

  32

  2 1. Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua? x1=-

  Tidak: lanjutkan langkah berikutnya

  ◦

  Baris 3 0

  1

  1

  2 3 -20

  20 s2=3 Baris 4 0 -0.5 1 -4 -4

  36

  6

  2. Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 3 Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari

setiap peubah dengan koefsien negatif pada

baris pivot

  Tidak ada peubah dengan koefsien negatif pada