BAB 4. FUNGSI - BAB 4 FUNGSI

BAB 4. FUNGSI

Jurusan Manajemen Informatika
Fakultas Teknik
Universitas Muhammadiyah Jember

31st October 2016

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

1 / 23

Outline

1

Fungsi

Definisi Fungsi
Bentuk fungsi
Macam-macam Fungsi
Komposisi fungsi
Fungsi Karakteristik

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

2 / 23

Fungsi

Definisi Fungsi

BAB 4. FUNGSI

1

Fungsi
Definisi Fungsi
Bentuk fungsi
Macam-macam Fungsi
Komposisi fungsi
Fungsi Karakteristik

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

3 / 23

Fungsi

Definisi Fungsi

Definisi

Fungsi adalah sebuah relasi binary dimana masing-masing anggota dalam himpunan
A (domain) hanya mempunyai satu bayangan pada himpunan B (kodomain).

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

4 / 23

Fungsi

Definisi Fungsi

Definisi
Notasi Fungsi :

f :A→B
dibaca f adalah fungsi dari A ke B atau f memetakan A ke B
A disebut daerah asal(domain) dari f dan B disebut daerah hasil
(kodomain) dari f .
Nama lain untuk fungsi adalah pemetaanatau transformasi
Kita menuliskan f (a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan
dengan elemen bdi dalam B.
Jika f (a) = b, maka b dinamakan bayangan(image) dari a dan a
dinamakan pra-bayangan(pre-image) dari b.
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range)
dari f . Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian
(mungkin proper subset) dari B.

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

5 / 23

Fungsi

Definisi Bentuk fungsi

BAB 4. FUNGSI

1

Fungsi
Definisi Fungsi
Bentuk fungsi
Macam-macam Fungsi
Komposisi fungsi
Fungsi Karakteristik

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

6 / 23

Fungsi

Definisi Bentuk fungsi

Definisi
Bentuk fungsi diantaranya:
1

Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.

2

Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f (x) = x 2 + 10

3

Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1
di dalam suatu string biner.

4

Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x|
fungction abs (x:integer):integer;
begin
if x < 0 then
abs:=−x
else
abs:=x;
end;

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

7 / 23

Fungsi

Definisi Bentuk fungsi

Definisi
Bentuk fungsi diantaranya:
1

Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.

2

Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f (x) = x 2 + 10

3

Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1
di dalam suatu string biner.

4

Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x|
fungction abs (x:integer):integer;
begin
if x < 0 then
abs:=−x
else
abs:=x;
end;

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

7 / 23

Fungsi

Definisi Bentuk fungsi

Definisi
Bentuk fungsi diantaranya:
1

Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.

2

Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f (x) = x 2 + 10

3

Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1
di dalam suatu string biner.

4

Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x|
fungction abs (x:integer):integer;
begin
if x < 0 then
abs:=−x
else
abs:=x;
end;

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

7 / 23

Fungsi

Definisi Bentuk fungsi

Definisi
Bentuk fungsi diantaranya:
1

Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.

2

Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f (x) = x 2 + 10

3

Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1
di dalam suatu string biner.

4

Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x|
fungction abs (x:integer):integer;
begin
if x < 0 then
abs:=−x
else
abs:=x;
end;

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

7 / 23

Fungsi

Macam-macam Fungsi

BAB 4. FUNGSI

1

Fungsi
Definisi Fungsi
Bentuk fungsi
Macam-macam Fungsi
Komposisi fungsi
Fungsi Karakteristik

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

8 / 23

Fungsi

Macam-macam Fungsi

1. Fungsi satu-satu (Injektif)
Sebuah fungsi f : A → B dikatakan fungsi satu-satu jika dan hanya jika
setiap elemen pada himpunan A mempunyai bayangan yang tidak
sama pada elemen B. Contoh:
A=himpunan sistem operasi = {MacOS, OS/2}
B=himpunan komputer = {IBM, Macitosh}

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

9 / 23

Fungsi

Macam-macam Fungsi

2. Fungsi Pada (Surjektif)
Sebuah fungsi f : A → B dikatakan fungsi pada jika dan hanya jika
setiap elemen pada himpunan B muncul sebagai bayangan dari
sekurang-kurangnya satu elemen himpunan A. Contoh:
A=himpunan software aplikasi
B=himpunan sistem operasi

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

10 / 23

Fungsi

Macam-macam Fungsi

3. Fungsi konstan
Sebuah fungsi f : A → B dikatakan fungsi konstan jika dan hanya jika
setiap elemen pada himpunan B yang menjadi bayangan dari seluruh
elemen himpunan A. Contoh:
A=himpunan software aplikasi
B=himpunan sistem operasi

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

11 / 23

Fungsi

Macam-macam Fungsi

4. bijeksi

Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi(bijection)
jika ia fungsi satu ke satu dan juga fungsi pada. Contoh:
f = {(1, u), (2, w ), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w } adalah fungsi yang berkoresponden
satu ke satu,karena f adalah fungsi satu ke satu maupun fungsi pada.

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

12 / 23

Fungsi

Macam-macam Fungsi

5. Fungsi invers
Fungsi invers f −1 : B → A adalah fungsi dimana untuk setiap b ∈ B
mempunyai bayangan tunggal dalam himpunan A. Dengan demikian
hanya fungsi satu-satu yang memiliki invers.Contoh 1:

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

13 / 23

Fungsi

Macam-macam Fungsi

5. Fungsi invers

Contoh 2:
Misalkan f (x) =3 log(x − 2), maka f −1 (x) adalah
y =3 log(x − 2)
3y = (x − 2)
x = 3y + 2
y = 3x + 2
sehingga f −1 = 3x + 2

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

14 / 23

Fungsi

Komposisi fungsi

BAB 4. FUNGSI

1

Fungsi
Definisi Fungsi
Bentuk fungsi
Macam-macam Fungsi
Komposisi fungsi
Fungsi Karakteristik

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

15 / 23

Fungsi

Komposisi fungsi

Komposisi fungsi
Komposisi fungsi dinyatakan oleh (g ◦ f ) atau (gf ).
jika f : A → B dan g : B → C, maka:
(g ◦ f ) : A → C
(g ◦ f )(a) ≡ g(f (a))

maka:
(g ◦ f )(1) = g(f (1)) = g(b) = z
(g ◦ f )(2) = g(f (2)) = g(c) = x
(g ◦ f )(3) = g(f (3)) = g(b) = z
Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

16 / 23

Fungsi

Komposisi fungsi

Contoh Komposisi fungsi

1. Misalkan f (x) = x 2 − 1 dan g(x) = x + 3
maka:
(f ◦ g)(2) = f (g(2)) = f (5) = 24
(g ◦ f )(2) = g(f (2)) = g(3) = 6

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

17 / 23

Fungsi

Fungsi Karakteristik

BAB 4. FUNGSI

1

Fungsi
Definisi Fungsi
Bentuk fungsi
Macam-macam Fungsi
Komposisi fungsi
Fungsi Karakteristik

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

18 / 23

Fungsi

Fungsi Karakteristik

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik adalah sebuah fungsi yang memetakan semesta
pembicaraan ke dalam himpunan (1, 0), dinotasikan:
KA : U → (0, 1)
dimana

1; jika x ∈ A
KA (x) =
0; jika x 6∈ A

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

19 / 23

Fungsi

Fungsi Karakteristik

Contoh Fungsi Karakteristik
1. Misalkan U = {a, b, c, d , e, f } dan A = {a, c, e}
maka KA : U → (0, 1) dapat didefinisikan melalui diagram berikut:

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

20 / 23

Fungsi

Fungsi Karakteristik

Contoh Fungsi Karakteristik

2. Misalkan U = {a, e, i, o, u}, A = {a, e, i} dan B = {e, i, o}
buktikan KA∩B = KA KB
jawab :
e ∈ (A ∩ B) maka e ∈ A dan e ∈ B
jadi KA∩B (e) = 1, KA (e) = 1, dan KB (e) = 1 maka
KA∩B (e) = (KA KB )(e) = 1.1 = 1
jadi KA∩B = KA · KB

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

21 / 23

Fungsi

Fungsi Karakteristik

Latihan Soal
1

2

Diberikan dua fungsi f (x) = 2x 2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x.
Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) !
Diketahui f (x) = x 2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan
(f ◦ g)(x) !

3

Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dan
g(x) = x 2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentuka nilai 2a − 1 !

4

Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukan
rumus dari g(x) !

5

Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukan
rumus dari f (x) !

6

Carilah fungsi invers dari f (x) =

Ilham Saifudin (MI)

2x+5
3

BAB 4. FUNGSI

!

31st October 2016

22 / 23

Fungsi

Fungsi Karakteristik

Latihan Soal
1

2

Diberikan dua fungsi f (x) = 2x 2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x.
Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) !
Diketahui f (x) = x 2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan
(f ◦ g)(x) !

3

Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dan
g(x) = x 2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentuka nilai 2a − 1 !

4

Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukan
rumus dari g(x) !

5

Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukan
rumus dari f (x) !

6

Carilah fungsi invers dari f (x) =

Ilham Saifudin (MI)

2x+5
3

BAB 4. FUNGSI

!

31st October 2016

22 / 23

Fungsi

Fungsi Karakteristik

Latihan Soal
1

2

Diberikan dua fungsi f (x) = 2x 2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x.
Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) !
Diketahui f (x) = x 2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan
(f ◦ g)(x) !

3

Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dan
g(x) = x 2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentuka nilai 2a − 1 !

4

Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukan
rumus dari g(x) !

5

Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukan
rumus dari f (x) !

6

Carilah fungsi invers dari f (x) =

Ilham Saifudin (MI)

2x+5
3

BAB 4. FUNGSI

!

31st October 2016

22 / 23

Fungsi

Fungsi Karakteristik

Latihan Soal
1

2

Diberikan dua fungsi f (x) = 2x 2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x.
Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) !
Diketahui f (x) = x 2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan
(f ◦ g)(x) !

3

Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dan
g(x) = x 2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentuka nilai 2a − 1 !

4

Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukan
rumus dari g(x) !

5

Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukan
rumus dari f (x) !

6

Carilah fungsi invers dari f (x) =

Ilham Saifudin (MI)

2x+5
3

BAB 4. FUNGSI

!

31st October 2016

22 / 23

Fungsi

Fungsi Karakteristik

Latihan Soal
1

2

Diberikan dua fungsi f (x) = 2x 2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x.
Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) !
Diketahui f (x) = x 2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan
(f ◦ g)(x) !

3

Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dan
g(x) = x 2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentuka nilai 2a − 1 !

4

Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukan
rumus dari g(x) !

5

Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukan
rumus dari f (x) !

6

Carilah fungsi invers dari f (x) =

Ilham Saifudin (MI)

2x+5
3

BAB 4. FUNGSI

!

31st October 2016

22 / 23

Fungsi

Fungsi Karakteristik

Latihan Soal
1

2

Diberikan dua fungsi f (x) = 2x 2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x.
Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) !
Diketahui f (x) = x 2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan
(f ◦ g)(x) !

3

Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dan
g(x) = x 2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentuka nilai 2a − 1 !

4

Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukan
rumus dari g(x) !

5

Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukan
rumus dari f (x) !

6

Carilah fungsi invers dari f (x) =

Ilham Saifudin (MI)

2x+5
3

BAB 4. FUNGSI

!

31st October 2016

22 / 23

Fungsi

Fungsi Karakteristik

Thank You

Ilham Saifudin (MI)

BAB 4. FUNGSI

31st October 2016

23 / 23