sejarah singkat nabi tokoh aljabar
ALJABAR
A. SEJARAH SINGKAT TOKOH-TOKOH
1. Aljabar Mesir
Aljabar mesir telah ada sejak 2000 SM. Aljabar digunakan untuk mengekprsikan
hitungan menggunakan huruf. Orang Mesir (Egyptians) menggunakan istilah aha (dalam
bahasa artinya”heap”) untuk sesuatu yang tidak diketahui. Sebagian besar pegetahuan
tentang ahli matematika di Mesir berasal dari 2 papirus yang cukup besar, yaitu Rhind
Papyrus and Moscow Papyrus (dulu disebut Golenischev) diletakkan di museum Inggris.
Rhind Papyrus ini ditulis dalam aksara tangan bersambung (bentuk kursif dari hieroglif
yang lebih baik disesuaikan dengan penggunaan pena dan tinta) oleh seorang juru tulis
bernama Ahmes diperkirakan tahun 1650 SM - 1700 SM , dalam Papyrus ini dituliskan
bagaimana menyelesaikan persamaan linier dengan satu variable yang tidak diketahui.
Contohnya Untuk membagi 91 dengan 7, misalnya, sejumlah x dicari sehingga 7 x = 91.
Gambar 1.1 Rhinhd Papyrus (1650 SM)
Sumber:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus#/
media/File:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg
Gambar 1.2 Rhinhd Papyrus(1700 SM.
Sumber: Cajori, Florian. 1929. A History of Mathematics
Notation
Contoh dalam sebuah papyrus:
Jika tulisannya mengatakan “ 10 has become
Solusinya adalah13
2 1
+ of what ?
3 10
1
23
Dalam notasi kita sekarang masalah ini menjadi:
2
1
x+ x =10
3
10
x
( 32 + 101 )=10
x=10 ÷
( 23 + 101 )
x=¿ 13
1
23
2. Aljabar Babilonia (Babylonian Algebra)
Walaupun temuan bangsa Babilonia lebih dari mesir
besar, namun Mesir tetap dikatakan sebagai bangsa dengan
pencapain terbesar sampai saat ini. Penyebabnya karena
dokumen-dokumen pada bangsa mesir ditulis berbentuk
Papyrus, sedangkan pada bangsa babilonia dokumen ditulis
dengan menggunakan tanah liat. Sehingga dokumen pada
masa Babilonia cepat rusak dan pudar, dengan begitu tidak
Gambar 1.3 Tablet Babilinia
Sumber: http://www-history.mcs.stand.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.html
ada bukti yang ditemukan untuk dibandingkan dengan Rhind
Papyrus Mesir. Pada masa Babilonia menyelesaikan masalah persamaan
kuadrat sudah bisa dilakukan. Buktinya Ada tablet tanah liat yang mengindikasikan bahwa
bangsa Babilonia pada 2000 SM telah familiar dengan rumus untuk menyelesaikan
persamaan kuadrat. Ini diilustrasikan oleh teks orang Babilonia kuno yang berisi
permasalahan:
Aku menambahkan luas dan 2/3 dari sisi persegi dan menghasilkan 0,35, berapakah
sisi dari persegiku?
Jika dinotasikan dengan simbol sekarang seperti:
2
x 2+ x=0,35
3
Dalam hal ini, x merupakan sisi dari persegi tersebut.
Contoh permasalahan lain dalam aljabar babilonia sekitar 2000 SM yakni:
“ 1/4 panjang dan lebar adalah 7 jengkal tangan.
Panjang dan lebar adalah 10 jengkal tangan”
Untuk menyelesaikan persolalan ini, dalam teksnya ditunjukkan dengan:
7 × 4=28
28−10=18
1
18 × =6
3
10−6=4
Pada notasi kita saat ini, persoalan diatas bisa di hubungkan dengan dua persamaan
berikut:
y
+ x=7
i.
4
x+ y=10
ii.
Tahapan untuk menyelesaikannya yaitu
Mengalikan persamaan (i) dengan 4, sehingga
y +4 x =28 … (ia)
Persamaan (ia) dikurangi oleh persamaan (ii). Kemudian mengeliminasi y
( y +4 x )− x+ y =18
1
Didapatkan 3 x=18, maka x=18 × =6 , maka x=6
3
Y dihitung dari persamaan (ii):
( x+ y ¿−x=10−6
y=4
Meskipun tidak ditemukan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan linier
sebelum masa matemtika Yunani (pre-greek mathematic), tetapi setidaknya kita telah
melihat pada masa Babilonia ada metode dasar untuk memanipulasi persamaan linier.
Pada suatu loh terdapat daftar pangkat dua dan pangkat tiga dari bilangan 1 sampai 30,
kemudian disusun daftar dari
n3 +n2 . Pada loh tersebut terdapat soal
Penyelesaian soal itu menggunakan tabel
3
2
n +n
x 3+ x 2=b
. Pada suatu loh Yale yang berasal dari
tahun 1600 BC terdapat soal persamaan simultan yang menuju persamaan derajat empat
tetapi belum terselesaikan.
Sebagai contoh didapati persamaan dua variabel
xy=600 , 150 ( x − y )−( x + y )2=−1000 .
Bentuk lain dari persmaan itu adalah
2
2
bx cy
xy=a ,
+
+ d=0
y
x
Pada loh-loh Babilonia juga memuat table-tabel matematika yang dibuat antara
1900 SM dengan 1600 SM. Bentuk loh loh tersebut Nampak seperti gambar:
Gambar1.3 tabel Plimton 322
Gambar1.3 loh Babilonia
Sumber:http://www.scribd.com/doc/87451574/Matematika-BangsaSumber:http://www.scribd.com/doc/87451574/Matematika-BangsaBabylonia#scribd
Babylonia#scribd
Dalam loh itu terdapat tabel bilangan-bilangan yang digunakan untuk menghitung
hipotenusa segitiga siku-siku. Tabel tersebut di disusun kembali oleh Neugebauer dan
Sache pada tahun 1945 dengan menggunakan bilangan decimal seperti sekarang ini.
Contoh tabelnya adalah
2
2
ab
a
b
2 ab
a −b
1
2
3
4
5
6
12
64
75
9
20
√ 60
5
27
32
4
9
√ 15
120
3456
4800
72
360
60
119
3367
4601
65
319
45
2
2
c =a + b
169
4825
6649
97
481
75
2
3. Aljabar Yunani (Greek Algebra)
a. Pythagoras (ca 500 BCE),
Penelitian
tentang
bilangan
yang
abstak
dimulai di Yunani pada tahun 600 SM. Ditandai
dengan
adanya
Pythagoras
beserta
teorinya.
Pythagoras lahir antara tahun 580 – 569 SM di
Sumber: The
History Of
Mathematics
Aegean (Samos). Meninggal Sekitar 500-475 SM
SM di Metapontum, Lucania, Italia. Ayahnya
bernama Mnesarchus, dia adalah seorang pedagang
permata. Dan ibunya bernama Pythais. Pythagoras tertarik dalam matematika, filsafat,
astronomi dan musik, dan sangat dipengaruhi oleh Pherekydes (dalam bidanga filsafat),
Thales (bidang matematika dan astronomi) dan Anaximander (filsafat, geometri).
Pythagoras meninggalkan Samos dan pergi Mesir sekitar 535 SM. Disana dia
belajar pada imam di kuil-kuil. Sepuluh tahun kemudian, ketika Persia menginvasi Mesir,
Pythagoras ditangkap dan dikirim ke Babel (Irak). Dan disana ia bertemu dengan Magoi,
imam yang mengajarinya ritus suci. Pada 520 SM Pythagoras bebas kemudian
meninggalkan Babel dan kembali ke Samos. Adanya intervensi dari pemerintah yang
memintanya terlibat politik membuat Pythagoras meninggalkan samos lagi. Kemudian
Pythagoras menetap di Crotona, sebuah koloni Yunani di Italia selatan sekitar 518 SM.
Disana dia mendirikan sekolah filsafat dan agama. banyak pengikutnya tinggal dan
bekerja bersamanya. Mereka semua bekerja secara besama dalam hal penemuan dan teoriteori. Pada penemuannya Pythagoras percaya:
Matematika adalah dasar untuk semua hal, dan geometri adalah bentuk tertinggi dari
studi matematika, Dunia fisik dapat dipahami melalui matematika.
Bilangan memiliki kepribadian, karakteristik, kekuatan dan kelemahan.
Simbol-simbol tertentu memiliki makna mistis.
Beberapa teori yang dituliskan oleh siswanya dan kemudian didedikasikan kepada
gurunya Pythagoras. Beberapa teori tersebut yaitu:
Jumlah Sudut Segitiga sama dengan dua sudut siku-siku.
Teorema Pythagoras mengatakan” untuk segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi
miring sama dengan jumlah dari kuadrat panjang dua sisi lainnya”. Dalam hal ini
Orang Babel (Babilonia) memahami hal ini 1000 tahun sebelumnya, namun
Pythagoras membuktikannya.
Membangun angka dari daerah tertentu dan aljabar geometri. Misalnya mereka
memecahkan berbagai persamaan dengan cara geometris.
Pythagoras mengajarkan bahwa bumi adalah sebuah bola di tengah Kosmos
(Universe). Bintang, Planet, dan alam semesta berbentuk bulat seperti bola yang
kokoh dan solid. Dia juga mengajarkan bahwa lintasan dari planet-planet melingkar.
Teorema Pythagoras merupakan landasan matematika, dan terus menjadi sangat
menarik untuk matematika bahwa ada lebih dari 400 bukti yang berbeda dari teorema,
termasuk bukti asli oleh Presiden Garfield (20th President of the United States (1881)).
Pembuktia ini dilakukan 5 tahun sebelum terpilih menjadi presiden. Pencapaian
Pythagoras dalam aritmatika dan ilmu-ilmu matematika lainnya yang diajarkan, ditulis
oleh seorang filsuf suriah bernama Iamblichus (250-330 M).
b. Euclid (ca 300 BCE) and
Kematian Alexander Agung telah menyebabkan konflik
antara para jenderal di tentara Yunani. setelah 300 SM kontrol
lebih kuat dibawah Ptolemic, penguasa Macedonia Mesir.
Ptolemy membangun dua lembaga di Alexandria sebagai
pusat belajar terkemuka bagi generasi yaitu Museum dan
Perpustakaan. Berkat Ptolemy dan putranya Ptolemy II, pusat
belajar menjadi lebih meningkat. Misalnya membangun
universitas dan memangil sarjana terkemuka untuk menjadi
Gambar 1.3 Euclid
Sumber: https://www.google.com/search?q
=euclid&ie=utf-8&oe=utf-8
tenaga pengajar di universitas tersebut termasuk Euclid.
Euclid adalah seoarang penulis buku matematis yang
paling sukses. Diantara buku-bukunya, yang paling sukses yakni buku yang berjudul “
The Element (Stoichia). Walaupun Ketenaran Euclid dan buku yang ditulisnya tidak
diragukan, namun sangat sedikit yang diketahui tentang kehidupan Euclid. Tidak ada
catatan yang jelas mengenai kelahirannya. Meskipun dalam beberapa edisi bukunya “The
Elemen” mengandung identitas penulis yakni Euclid dari Megara dan potret Euclid dari
Megara muncul dalam sejarah matematika, namun dikatakan bahwa ini hal masih
diragukan. Seorang filsuf Yunani bernama Proclus (410–485 ce) bercerita
tentang
matematikawan yunani ini. Dalam ringkasannya dia mengatakan euclid diperkirakan dari
alaxandaria pada masa Ptolemi I (323 to 285 bce). Dari sifat karyanya, dianggap bahwa
Euclid dari Alexandria, yang pernah belajar dari siswa Plato, atau dari Akademi Plato itu
sendiri.
Berbicara karya, lebih dari setengah karyanya hilang. Termasuk komposisi penting
seperti risalah pada conics ( bentuk krucut) yang termuat dalam empat buku. Karya
lainnya yang hilang yaitu Solid Loci (nama Yunani untuk bagian berbentuk kerucut)
dengan ilmu ukur agak tua. Sealin itu Euclid juga kehilangan surface Loci, dan tiga buku
tentang Porisms.
Pappus, seorang matematikawan Yunani (290 – 350 masehi)
melaporkan bahwa porism adalah perantara antara teorema, ada juga yang menjelaskan
bahwa porism sebagai proposisi untuk menentukan hubungan antara jumlah diketahui dan
variabel atau belum ditentukan, mungkin pendekatan yang paling dekat di zaman kuno
dengan konsep fungsi.
Lima karya Euclid yang bertahan sampai hari: the Elements, the Data, the Division
of Figures( Pembagian Bilangan), the Phaenomena, and the Optics. The Elemen adalah
buku teks yang mencakup semua matematika dasar seperti, Aritmatika (dalam arti bahasa
Inggris "aritmetika yang lebih tinggi" atau Amerika "teori angka"), Geometri Sintetis
(titik, garis, bidang, lingkaran, and bola), dan aljabar (bukan dalam arti simbolik modern,
tetapi setara dalam pakaian geometris). Buku Euclid yang berbicara tentang aljabar adalah
“book II element”. Buku ini
merupakan buku pendek, yang penggunaannya sangat
signifikan pada era Euclid. Perbedaan mencolok antara pandangan kuno dan modern
mudah dijelaskan. Sekarang kita memiliki symbol aljabar dan trigonometri yang telah
menggantikan geometries dari yunani. Buku II dari Elemen, tentang aljabar geometri,
disajikan dengan tujuan yang sama seperti halnya symbol aljabar pada saat ini. Dimana
penggunaan aljabar dalam pengukuran. Dan banyak yang mengatakan Aljabar geometri
kuno bukanlah alat yang ideal, tapi sangat efektif.
Pembagian Bilangan (the devision of figures) adalah sebuah karya yang berbahasa
arab. Walaupun berbahasa arab namun Pada dasarnya karya ini belum dipelajari oleh
orang arab. Karena pada waktu itu yang tersisa adalah buku berbehasa arab. Kemudian
karya ini diterjemahkan dalam bahasa latin dan akhirya dalam bahasa modern pada saat
ini. Buku the devision of figures (Pembagian bilangan) meliputi tiga puluh enam proposisi
mengenai pembagian.
Pembagian bilangan yang terkenal saat ini yaitu algoritme Euclid tentang
pembagian. Salah satu definisi dari pembagian Euclid:
Bilangan bulat b dikatakan divisible (dapat dibagi) oleh suatu bilangan bulat a ≠
0, disimbolkan a∨b , jika ada suatu bilangan bulat c sedemikian sehingga b =
ac. Notasi a ∤ b menunjukkan bahwa b tidak habis dibagi oleh a.
Sehingga dapat dikatakan 63 habis dibagi 9 karena 63=9∙ 7 . Tetapi 8 tidak
habis dibagi 3. Karena tidak ada perkalian c yang menyebabkan 8=3 c .
Algoritme Euclid yang terkenal sampai saat ini yaitu penggunaanya dalam menentukan
Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan a dan b .
Langkah pertama menerapkan algoritma pembagian terhadap a dan b diperoleh
a=q1 b+r 1 , 0 ≤r 1 …≥ 0 tidak dapat berisi lebih dari b bilangan bulat.
Hasilnya adalah sistem persamaan:
a=q1 b+r 1 , 0 0 .
Sehingga √3 2+ √−121=a+b √ −1
⟺ 2+ √−121=( a+b √ −1 )
3
√−1
¿
¿
√−1
¿
¿
3
2
¿ a +3 a b √−1+3 ab 2 ¿
a
¿ a(¿ ¿2−3 b )+ b(3 a2 −b2 ) √−1 .
¿
2
a
Karena a(¿ ¿ 2−3 b2 )=2 dan b ( 3 a2 −b2 )=11
¿
Maka diperoleh a=2 dan b=1 ,
sehingga memenuhi kondisi:
2+ √−121= ( 2+ √−1 )
3
dan 2−√ −121=( 2− √−1 )3
Bombelli menyimpulkan suatu solusi untuk persamaan kubik
3
x 3=15 x+ 4 adalah:
3
x=√ 2+ √ −121+ √ 2−√−121 .
3
3 3
3
⟺ x= ( 2+ √−1 ) + ( 2− √−1 )
⟺ x=( 2+ √−1 ) + ( 2−√−1 ) =4
√
√
Solusi Ferrari dari Persamaan Kuadratik (menentukan akar dari persamaan
kuadratik dengan menggunakan operasi dasar aritmatika)
Ferrari, anak dari orang miskin, dibawa ke rumah Cardan sebagai anak hamba pada
usia 14 tahun. Meskipun Ferarri belum sekolah formal, ia memiliki bakat luar biasa. Cardan
mengajarinya dalam bahasa Latin, Yunani, dan matematika. Kemudian Cardan
menjadikannya sekretaris pribadinya. Ferrari menjadi guru besar matematika di Bologna
pada tahun 1565 dan meninggal pada tahun yang sama, kemungkinan karena diracuni.
Cardan pernah gagal dalam memecahkan persamaan dengan pangkat 4, kemudian Cardan
memberikannya kepada muridnya yaitu Ludovico Ferrari (1522-1565). Ferrari,
menggunakan aturan memecahkan kubik, akhirnya berhasil.
4
x +4 x+8=10 x
4
2
2
⟺ x −10 x =−4 x−8
⟺( x 2−10)2=−10 x2−4 x +92
2
⟺ ( x 2−10+ z ) =(2 z−10) x 2−4 x +(92−20 z + z 2) ditambah
x
2 z (¿ ¿2−10)+ z 2 ... (1)
¿
92−20 z+ z
4 (2 z−10 ) (¿¿ 2)=16
⟺¿
3
2
⟺ z −25 z +192 z=462
Misalkan
z=u+
25
, kemudian dengan menggunakan teknik reduksi, maka
3
menghasilkan persamaan bentuk
3
u=
49
524
u+
3
27
Berdasarkan persamaan ini, maka diperoleh u=
Substitusikan
z=7
−4
3
dan
z=7
ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
2
( x 2−3 ) =4 x 2−4 x+ 1=( 2 x−1)2 ,
⟺ ( x 2−3 ) =(2 x−1)2
⟺ x2 −3=±(2 x−1) .
Untuk tanda positif, maka diperoleh persamaan
⟺ x2 −3=2 x−1
2
⟺ x −2 x−2=0
Untuk tanda positif, maka diperoleh persamaan
⟺ x2 −3=−2 x+1
2
⟺ x +2 x−4=0
Berdasarkan solusi dari dua persamaan tersebut, maka terdapat 4 solution dari
persamaan kuadratik yaitu 1+ √ 3 ,1+ √ 3 ,−1+ √5 , dan−1−√ 5 .
Operasi Pada Bentuk Aljabar
Sebelum berbicara tentang operasi pada bentuk-bentuk aljabar, ada beberapa hal yang perlu
untuk dipahami dengan baik, karena operasi-operasi dalam bentuk aljabar menjadi dasar
yang penting dalam memahami bahasan-bahasan berikutnya. Operasi-operasi pada bentuk
aljabar mancakup operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dalam
bentuk-bentuk aljabar termasuk bentuk-bentuk penyederhanaan dan aplikasinya.
Penjumlahan dan Pengurangan Suku-suku serta Bentuk-bentuk Sejenis
Pastinya kita telah mengenal bentuk-bentuk seperti 6x – 13x, dan 7y + 2 –5y –3, dan
sebagainya.
Sekarang
akan
dipelajari
bagaimana
cara
menyederhanakannya.
Menyederhanakan suatu bentuk ialah mencari bentuk lain yang sama artinya dengan bentuk
semula tetapi bentuknya lebih sederhana. Untuk menyederhanakan bentuk-bentuk itu
digunakan sifat-sifat seperti:
(i ) sifat komutatif penjumlahan dan perkalian
a+b=b+a
ab = ba
(ii) sifat asosiatif penjumlahan dan perkalian
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a (bc)
(iii) sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
ab + ac = a (b + c); a disebut faktor persekutuan.
Contoh:
Sederhanakanlah
2
2
4x +5x − x + 3x !
Penyelesaian:
4 x2 + 5 x − x2 + 3 x
¿ 4 x2 − x 2 + 5x + 3 x ..........(hukum komutatif penjumlahan)
2
¿ ( 4 − 1) x + (5 + 3) x..........( hukum distributif perkalian terhadap
penjumlahan dan pengurangan)
¿ 3 x2 + 8 x
Contoh
Kurangkanlah
Penyelesaian:
3a − 8b dari 2a + 10b
(2a + 10 b) −(3a − 8b)
= 2a + 10b − 3a + 8b
= 2a − 3 a+ 10b + 8b
= −a + 1 8b
Catatan
Bentuk seperti
3
2
k −2k + 3 k− 2 dinamakan suku banyak atau polinom dengan
satu peubah.
Bentuk
3a2 b −2ab 2 + 5b− 2 disebut suku banyak atau polinom dengan dua
peubah.
Suku banyak dengan tiga suku disebut suku tiga atau trinom misalnya
Menyatakan Perkalian Faktor-faktor sebagai Penjumlahan Suku-suku
Seperti telah dipelajari bentuk yang mempunyai dua suku seperti
x + 1 atau
x + 3 disebut suku dua atau binom. Kita dapat menghitung hasil perkalian suku dua
dengan memakai hukum distributif sebagai berikut:
( x + 1) ( x + 3) = x ( x + 3) + 1 ( x + 3)
2
= x + 3 x + x +3
= x2 + 4 x + 3
Hasil itu dapat juga diperoleh dengan menggambar persegipanjang yang lebarnya
satuan dan panjangnya
x + 3 satuan. Kemudian persegipanjang itu dibagi
seperti tampak pada Gambar. 1.
=
=
\
x +1
Gambar 1
Contoh 8
(3x − 2) (2x − 4) = 3 x (2 x − 4) −2 (2 x − 4)
2
= 6 x − 12x − 4 x +8
= 6 x 2 − 16 x + 8
Dua Pengkuadratan yang Penting
Perkalian dua buah bentuk pengkuadratan berikut:
( x + y)2 = ( x + y) ( x + y )
= x ( x + y) + y ( x+ y)
2
2
= x + xy + xy + y
= x 2 + 2 xy + y 2
( x − y )2 = ( x − y) ( x − y)
= x ( x − y) − y ( x− y )
2
2
= x − xy − xy + y
= x 2 − 2 xy + y 2
Perhatikanlah benar-benar
Contoh
( x + 2 y )2 = ( x + 2 y) (x + 2 y )
= x (x + 2 y ) + 2 y ( x+2 y )
2
2
= x + 2 xy + 2 xy + 4 y
= x2 + 4 xy + 4 y 2
Contoh:
(3x − 2 y)2 = (3x − 2 y) (3 x − 2 y)
= 3 x (x − 2 y) − 2 y (3x−2 y )
2
2
= 3 x − 6 xy − 6 xy + 4 y
= x 2 + 4 xy + 4 y 2
Menguraikan Bentuk Aljabar ke dalam Faktor-faktornya
Masih terkait dengan operasi-operasi pada bentuk-bentuk aljabar, maka bahasan
selanjutnya adalah bagaimana menguraikan bentuk-bentuk aljabar ke dalam
faktor-faktornya. Dalam bahasan berikut hanyalah mencakup beberapa konsep dasar
tentang faktorisasi bentuk-bentuk aljabar yang bersifat elementer dan pemakaiannya akan
banyak kita jumpai dalam bahasan-bahasan berikutnya.
Faktor
Tentunya Anda masih ingat dengan hukum distributif, dan hukum tersebut dapat dinyatakan
sebagai berikut:
ab+ ac=a( b+c ) untuk setiap a , b dan c
.
Hukum di atas menunjukkan dengan cara bagaimana jumlah suku-suku yang mempunyai
faktor persekutuan dapat dinyatakan sebagai perkalian. Jadi faktor
a
pada setiap suku
ruas kiri dapat dipindahkan sebagai faktor persekutuan dari seluruhbentuk tesebut, seperti
tampak pada ruas kanan.
Contoh
Faktorkanlah x2yz + xy2z + xyz
Penyelesaian:
Faktor persekutuan terbesar dari ketiga suku itu adalah xyz. Jika tiap suku
dibagi xyz terdapat faktor lain (x + y + z) sehingga:
x2yz + xy2z + xyz = xyz (x + y + z).
Catatan:
Dalam perkalian, pemakaian faktor-faktor seringkali dapat mempermudah
perhitungan, misalnya:
(34 ×57) + (34 × 43) = 34(57 + 43)
= 34 × 100
= 3400
2. Selisih Dua Kuadrat
Sekarang kita perhatikan jika a dan b masing-masing bilangan real
sembarang, maka dengan hukum distributif didapat:
(a – b)(a + b) = a(a + b) – b(a + b)
= a2 + ab – ab – b2
= a2 –b2
Jadi, a2 –b2=(a – b)(a + b)
Pada ruas kiri terdapat selisih dua kuadrat dan pada ruas kanan terdapat perkalian
dua faktor.
Contoh
Faktorkanlah 2x2 – 18y2!
Penyelesaian:
2x2 – 18y2 = 2(x2 – 9y2)
= 2 [x2 – (3y)2]
= 2(x – 3y)(x + 3y)
Ingatlah bahwa setiap faktor persekutuan harus dipisahkan lebih dahulu.
Bentuk Kuadrat dan Faktor-faktornya
Dalam bahasan-bahasan yang terdahulu kita telah mempelajari cara menyatakan perkalian
faktor-faktor sebagai penjumlahan dengan menggunakan
hukum distributif.
Misalnya:
(x – 3)(x – 5)
= x(x – 5) – 3(x – 5)
= x2 – 5x – 3x + 15
= x2 – 8x + 15
Sekarang kita pelajari cara-cara memfaktorkan bentuk-bentuk kuadrat yang
bentuknya ax2 + bx + c.
Terlebih dahulu kita bicarakan untuk a = 1.
Karena (x – 3)(x – 5) = x2 – 8x + 15
maka x2 – 8x + 15 = (x – 3)(x – 5)
Perhatikanlah bahwa: 15 = (-3)(-5) dan -8 = (-3) + (-5).
Demikian pula karena:
(x + 5)(x – 2) = x2 + 3x - 10
maka x2 + 3x – 10 = (x + 5)(x – 2)
Ternyata bahwa: -10 = (5)(-2) dan 3 = (5) + (-2)
Kesimpulan:
1. Suku konstanta (suku tetap) atau disingkat konstanta dalam bentuk kuadrat sama
dengan hasil perkalian konstanta-konstanta dalam kurung. Jika tanda padakonstanta
pada bentuk kuadrat positif, maka tanda konstanta-konstanta dalam kurung
keduanya positif atau keduanya negatif. Sedangkan jika tanda pada konstanta
negatif, maka konstanta dalam kurung harus berlawanan.
2. Koefisien dari x pada bentuk kuadrat sama dengan jumlah konstantakonstantadalam kurung. Kedua hal tersebut di atas dapat ditulis dalam pernyataan:
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q).
Contoh
Faktorkanlah: x2 – 8x + 12
Penyelesaian:
Lebih dahulu harus didapat dua bilangan yang hasil-kalinya 12 dan
jumlahnya -8. Bilangan-bilangan yang memenuhi hal tersebut adalah -6 dan -2.
Jadi, x2 – 8x + 12= (x – 6)(x – 2).
C. AWAL-AWAL SIMBOLISASI ALJABAR AL-KHAWARIZM
1. Biograf
Nama
: Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī
Lahir
: 780 M di Khwārizm (Khiva, Uzbekistan)
Wafat
: 847 M di Baghdad
Suku
: Persia
2. Al-Khawarizmi di Bidang Aljabar
Salah satu karya terkanal al-Khawarizmi adalah Kitab al-Jabr
wa’l-Muqabalah, buku ini berkaitan dengan teori persamaan linier dan
kuadrat dengan satu variabel. Ilmu pengetahuan aljabar merupakan
penyempurnaan terhadap pengetahuan yang telah dicapai oleh bangsa
Mesir dan Babylonia. Dan di dalam buku Arithmetica of Diophantus
terdapat beberapa catatan tentang persamaan kuadrat. Sebagian para
ahli sejarah menyebutkan bahwa al-Khawarizmi berkiblat pada ilmu
matematika Yunani (Euclid atau Diophantus), namun sebagian lagi
menyebutkan suku bangsa India dan Babylonia sebagai inspirasi karya
al-Khawarizmi.
Karya al-Khawarizmi tidak dipengaruhi oleh sumber-sumber
naskah India, karena masyarakat Hindu tidak mengenal aturan seperti
penambahan dan pengurangan yang di ungkapkan oleh al-Khawarizmi
dalam karyanya Algebra. Karya al-Khawarizmi juga tidak mengutip
tulisan Diophantus, karena 1) al-Khawarizmi mencantumkan akar
pangkat dua dan Diophantus mencantumkan akar pangkat satu. 2) tidak
satupun kasus-kasus dalam Diophantus ditemukan dalam karya alKhawarizmi yang berjudul Algebra. 3) kedua buku berbeda antara kubu
barat dan kubu timur. 4) karya Diophantus cenderung abstrak dan karya
al-Khawarizmi berkaitan dengan pernyataan tentang kehidupan
manusia. 5) al-Khawarizmi tidak memiliki pemahaman tentang Yunani. 6)
karya Diophantus tidak diterjemahkan ke bahasa Arab pada masa itu
(Mohamed, 2001).
Kitab al-Jabr wa’l-Muqabalah merupakan buku pertama yang
membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Sehingga ia
disebut sebagai Bapak Aljabar. Translasi bahasa Latin dari Aritmatika alKhowarizmi yang mengenalkan angka India. Dalam buku tersebut
diberikan penyelesaian persamaan linear dan kuadrat dengan
menyederhanakan persamaan menjadi salah satu dari enam bentuk
standar (b dan c adalah bilangan bulat positif), Enam persamaan dasar
menurut al-Khawarizmi, sebagai berikut (Mohamed, 2001 & Dharmawan,
2011):
1. Akar kuadrat sama dengan bilangan ( bx=c )
2. Kuadrat sama dengan akar kuadrat ( ax 2=bx )
3. Kuadrat sama dengan bilangan ( ax 2=c )
4. Kuadrat dan bilangan sama dengan akar kuadrat ( c +ax 2=bx )
5. Kuadrat dan akar kuadrat sama dengan bilangan ( ax 2+ bx=c )
6. Akar kuadrat dan bilangan sama dengan kuadrat ( ax 2=bx +c )
Keenam persamaan tersebut menunjukkan bahwa al-Khawarizmi tidak
mengenal keberadaan bilangan negatif atau bilangan nol sebagai suatu
koefisien.
Sebagai contoh, di dalam tulisan aljabar muncul: x 2=40 x−4 x 2
2
Dapat diubah menjadi bentuk aljabar
5 x =40 x
Contoh lain dari buku al-Khawarizmi adalah
50+x 2=29+10 x
Proses al-muqabalah (-), direduksi menjadi
2
21+ x =10 x
Kedua operasi tersebut digabungkan dengan operasi aritmatika seperti
perkalian, penambahan, pengurangan, dan pembagian dari bilangan
binomial dan monomial sebagai konsep dasar dari perhitungan akar
kuadrat dalam karya Algebra al-khawarizmi (Mohamed, 2001).
Dalam notasi modern, persamaan sebagai berikut:
x 2+10 x=39
Penyelesaian menggunakan prosedur al-Khawarizmi:
( x+5 )2=39+25=64
x+ 5=√ 64=8
x=8−5=3
2
x =9
Hal ini diilustrasikan dengan kemajuan yang dicapai danpendekatan
sistematis
terhadapaljabar.
Untuk
menyelesaikan
persamaan
2
x +10 x=39, dideskripsikan oleh al-Khawarizmi dengan metode seprti
berikut:
Metode Pertama:
x 2+10 x=39
Misalkan ABCD merupakan sebuah bujur sangkar dengan sisi x
(gambar 1). Pada setiap sisi bujur sangkar dibuat suatu persegi panjang
10 5
=
dengan sisi
(gambar 2). Ini mewakili sisi bagian kiri dari
4 2
persamaan yaitu
x 2+ 4
( 52 ) x=x +10 x
2
. Sekarang bujur sangkar besar
yang lengkap terdapat pada gamabr 3.
25
,
4
didapat luas bujur sangkar yang besar yaitu 39+25=64 . Maka panjang
5 5
sisi bujur sangkar yang besar adalah 8, karena x+ + =8 , sehingga
2 2
2
x=3 . Maka x =9 (Mohamed, 2001).
Keempat daerah bujur sangkar yang total daerahnya adalah
4
Metode Kedua:
2
x +10 x=39
Buat sebuah bujur sangkar ABCD dengan sisi x (gambar 4).
Jika ditarik garis dari AD ke titik E dan garis AB ke titik F
1
DE=BF= ( 10 )=5 . Lengkapi bujur sangkar
sedemikian sehingga
2
AFKE dan perluas DC ke G dan BC ke H . daerah AFKE dapat
25
diekspresikan sebagai:
harus ditambahkan
x 2+10 x=39 . Lalu,
pada masing-masing bagian dari persamaan ini untu kmendapatkan:
2
x +10 x +25=39+ 25
Sederhanakan menjadi: x 2+10 x +25=64
Ini akan membuat persamaan kuadrat ( x+5 )2 hasilnya akan sama
dengan 64. Dimensi dari AFKE akan menjadi 8 x 8 , tapi AF =x +5=8 ,
sehingga x=3 , maka x 2=9 (Mohamed, 2001).
3. Karya Lain al-Khawarizmi
Karya al-Khowarizmi selain Aljabar, yaitu sebagai berikut:
1)Dixit algorizmi
Buku kedua besar dia adalah tentang aritmatika, yang bertahan
dalam Bahasa Latin, tapi hilang dari Bahasa Arab yang aslinya.
Translasi dilakukan padaabad ke-12 oleh Adelard of Bath. AlKhowarizm menyusun sebuah risalah kecil di aritmatika dengan judul
seperti buku penambahan dan pengurangan menurut perhitungan
Hindu. Ini awal di Arab untuk menjelaskan penggunaan sistem desimal
angka Hindu, meskipun hanya "sembilan huruf" yaitu simbol untuk
angka 1 sampai 9. Ia juga menggunakan nol ketika tidak ada sisa
dalam pengurangan, meletakkan lingkaran kecil sehingga tempat
menjadi tidak kosong.
Eropa Barat pertama belajar tentang aljabar dari karya alKhowarizm. Nama "aljabar" Eropa al-jabr, bagian dari judul risalah alKhowarizm itu Hisab al-jabr w'al muqabalah. Judul berarti "ilmu
reunion (reuni) dan reduction (pengurangan)”. Reunion mengacu pada
pemindahan istilah negatif dari satu sisi persamaan yang lain dan
Reduction untuk kombinasi.
Sebagai contoh, persamaan (notasi modern):
2
2
6 x −4 x +1=5 x +3
Reunion
Reduction
2
2
6 x +1=5 x + 4 x+3
2
x =4 x +2
2)Rekonstruksi Planetarium
Buku ketiga adalah Kitāb ṣūrat al-Arḍ "Buku Pemandangan Dunia" atau
"Kenampakan Bumi" diterjemahkan oleh Geography pada 833. Buku ini terdiri dari
daftar 2402 koordinat dari kota-kota dan tempat geografis lainnya mengikuti
perkembangan. Judul lengkap buku ini adalah “Buku Pendekatan Tentang Dunia,
dengan Kota-Kota, Gunung, Laut, Semua Pulau dan Sungai”, ditulis oleh Abu Ja’far
Muhammad bin Musa al-Khawarizmi berdasarkan pendalaman geografis yamg ditulis
oleh Ptolemeus dan Claudius. Buku ini dimulai dengan daftar dan lintang, termasuk
“Zona Cuaca”, yang menulis pengaruh lintang dan bujur terhadap cuaca.
3)Astronomi
Buku keempat Zīj al-sindhind adalah karya yang terdiri dari 37 simbol pada
kalkulasi kalender astronomi dan 116 tabel dengan kalenderial, astronomial dan data
astrologi. Versi aslinya dalam Bahasa Arab hilang pada 820M, tapi versi lain oleh
astronomer Spanyol Maslama al-Majrīṭī 1000 M.
4)Kalender Yahudi
Al-Khawārizmī juga menulis tentang Penanggalan Yahudi “Risāla
fi istikhrāj taʾrīkh al-yahūd” atau disebut “Petunjuk Penanggalan
Yahudi") yang menerangkan 19 tahun siklus interkalasi, hukum yang
mengatur pada hari, minggu dan bulan serta memperhitungkan
interval pada era Yahudi (penciptaan Adam) dan era Seleucid. Dan
memberikan hukum tentang bujur matahari dan bulan menggunakan
kalender Yahudi. sama dengan yang ditemukan oleh al-Bīrūnī dan
Maimonides.
D. Latihan soal
1. Terdapat suatu kumpulan benda jika dijumlahkan
1
2
bagian ,
1
3
1
bagian maka jumlah benda itu?
4
2. Gunakan algoritma Euclid untuk memperoleh x dan y yang memenuhi
a. FPB(119,272) = 119x + 272y
bagian dan
b. FPB(306,657) = 306x +657y
n+20
n−13
3. Tentukan semua bilangan bulat n sehingga
merupakan bilangan bulat.
4. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (m, n) dengan sifat
2 3
+ =1
m n
5. Tentukan:
2
2
2
2
a. Jumlah dari 2 p + 5 pq − 3q dan p − 3 pq − 5q !
b. Penjumlahan 10x2 + 6xy – 12 dan –4x2 – 2xy + 10,
c. Pengurangan 8p2 + 10p + 15 dari 4p2 – 10p – 5.
6. Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar
(6x– 2) cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut.
7. Sebuah model kerangka balok dibuat dari kawat dengan ukuran panjang (2x - 3) cm,
lebar (3x + 10) cm dan tinggi x cm. tentukanlah:
a. Panjang kawat dalam x
b. nilai x jika panjang kawat adalah 388cm
c. ukuran kerangka balok
8. Bagaimana menyelesaikan x 2+21=10 x versi al-Khowarizm?
Kunci Jawaban
1. Misalkan kumpulan itu adalah x
Maka dapat dinyatakan dengan notasi aljabar saat ini
1
1
1
x+ x + x = 26
2
3
4
Maka sebut saja x =12 maka
1
1
1
x+ x + x=6+ 4+3=13
2
3
4
26 adalah kelipatan 2 dari 13
maka x=12 harus dilipat duakan
jadi x=24
2. Bentuk linier dari
a. FPB(119,272) = 119x + 272y
Jawab
272=2 ∙119 +34
119=3∙ 34+ 17
34=2∙ 17+0
Dengan menggunakan metode balikan
17=119−34
17=119−( 272−2∙ 119 )
17=3∙ 119−272
17=3∙ 119+ (−1 ) 272
Maka ¿ 3 , y=−1
b. FPB(306,657) = 306x +657y
657=2∙ 306+ 45
306=6 ∙ 45+36
45=1∙ 36+ 9
36=4 ∙ 9+0
FPB=9
Dengan metode balikan
9=45−36
9=45−( 306−6 ∙ 45 )
9=7 ∙ 45−306
9=7 ( 657−2 ∙ 306 )−306
9=7 ∙657−14 ∙ 306−306
9=7 ∙657−15 ∙306
9=7 ∙657+ (−15 ) 306
Jadi
x=7 ,
y=−15
3. Penyelesaian
n+20 n−13+30
30
=
=1+
n−13
n−13
n−13
n+20
30
Jika
bulat, maka
bulat. Artinya n − 13|33 atau n − 13 faktor dari
n−13
n−13
33. Karena faktor dari 33 adalah −33, −11, −3, −1, 1, 3, 11 dan 33, maka
diperoleh nilai n yang mungkin adalah −20, 2, 10, 12, 14, 16, 24 atau 46. Dapat
dicek bahwa semua nilai n tersebut memenuhi kondisi yang diberikan. Jadi, nilai n
yang memenuhi adalah −20, 2, 10, 12, 14, 16, 24 dan 46.
Diperhatikan bahwa
4. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (m, n) dengan sifat
Penyelesaian. Misalkan bilangan bulat positif n dan m memenuhi
2 3
+ =1
m n
2 3
+ =1
m n
maka berlaku 2 n+3 m=mn
⇔ (m−2)(n−3)=6 .
Diperoleh bahwa m−2 dan n−3 merupakan faktor dari 6.
Karena m bilangan bulat positif, maka m−2>−2 . Diperoleh nilai m−2 yang
mungkin adalah 1, 2, 3 atau 6, sehingga nilai m yang mungkin adalah 3, 4, 5 atau 8.
Akibatnya diperoleh pasangan (m, n) yang memenuhi adalah (3, 9), (4, 6), (5, 5) dan
(8, 4)
5. Penyelesaian:
a.
2
2
2
2
2
2
(2 p + 5 pq − 3q ) + ( p − 3 pq − 5q )
2
2
= 2 p + 5 pq − 3q + p − 3 pq − 5q
2
2
2
2
= 2 p + p + 5 pq − 3 pq− 3q − 5q
= (2 + 1) p 2 + (5 − 3) pq + (− 3 − 5)q2
2
2
= 3 p + 2 pq − 8q
b. 10x2+ 6xy – 12 + (–4x2 – 2xy + 10)
= 10x2 – 4x2 + 6xy – 2xy – 12 + 10
= 6x2 + 4xy – 2
c. Pengurangan (4p2 – 10p – 5) – (8p2 + 10p + 15)
= 4p2 – 8p2 – 10p –10p – 5 – 15
= –4p2 – 20p – 20
6. Penyelesaian:
Diketahui : p = (5x + 3) cm dan l = (6x – 2) cm
Ditanyakan : luas persegipanjang
Luas = p × l
= (5x + 3)(6x – 2)
= (5x + 3)6x + (5x + 3)(–2)
= 30x2 + 18x – 10x – 6
= 30x2 + 8x – 6
Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x2 + 8x – 6) cm2
7. Jawab
a. Panjang kawat dalam x adalah (2 x −3)
b. Besar x jika panajang kawat 338
2 x −3=338
2 x =338−3
335
x=
2
c. Kerangka balok adalah
( 4 × p ) + ( 4 × l )+ ( 4+ t ) =¿
4 ( p+l+t )
¿ 4 ( ( 2 x−3 )+3 x +10 ) + x ¿
¿ 4 ( 6 x +7 )
335
¿4 6
+7
2
¿ 4 ( 1005+7 )
¿ 4048
(
)
8. Menggunakan metode al-Khawarizmi,buat sebuah bujur sangkar
ABCD dengan sisi x . Ambil sebuah titik E pada garis AB
sedemikian hingga BE=3 satuan, sehingga didapat persegi empat
AEFD . Bidang ABCD memiliki luas daerah x 2 yang diwakili
3 x+ 4 dengan asumsi bahwa x 2=3 x+ 4 .
Miasalkan
EB , dan membentuk bujur
membagi garis
3
sangkar EHKM yang memiliki sisi
. Jika garis HK dilanjutkan ke
2
KS= AE=DF
SW ⏊ DA
titik S sehingga
dan buat titik
dan
MKSN=WNDF disebabkan oleh DW =HB=HE=KM .
Jadi luas daera
H
AHSW
=
( AENW + M KNS ) + EHKM
=
( AENW +WNFD )+ EHKM
=
AEFD + EHKM
Selanjutnya luas BCFE adalah 3x sehingga AEFD adalah 4. =
9 25
4+ =
.
4 4
AH merupakan salah satu sisi bujur sangkar AHSW yang luasnya adalah
25
5
, sisi AH =
.
4
2
Daftar Rujukan
Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C. 1989. A History of Mathematics
Second Edition. Canada: Jonh Wiley & Sons, Inc
Burthon, David W. (2011). The History Of Mathematics: An Introduction, Seventh
Edition.New York: McGraw-Hill
Cajori, Florian. 1929. A History of Mathematics Notation (online)
Dharmawan, Eko P. 2011. Pengantar Aljabar. Jakarta: PT prestasi Pustaka
Raya (online)http://www.mathopenref.com/pythagoras.html
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus#/media/File:Rhind_Mathematic
al_Papyrus.jpg
https://www.google.com/search?q=diopanathus&ie=utf-8&oe=utf-8
Merzbach Uta C. & Carl B. Boyer.(2011). A History Of Mathematics Third Edition.Canada:
John Wiley & Sons, Inc
Mohamed, Mohaini. 2001. Matematika Muslim Terkemuka. Jakarta:
Salemba
Teknika
Naga,
Dali
S.(1980).Berhitung:
Sejarah
Dan
Perkembangannya.jakarta:PT Gramedia
Sellers, James( online). An Introduction to Pythagoras and the Pythagorean Theorem
http://www.personal.psu.edu/jxs23/courses/math035/fa11/handouts/18_intro_to_pythag
oras.pdf
Sitorus,T.1990. Pengantar sejarah matematika dan pembaharan pengajaran matematika
disekolah.Bandung:Tarsito
Popp, walter.(1978). History of mathematics: topic for school.great Britain:The open press.
KONTRIBUTOR
Nama : Ahmad Masroni
Asal : Lombok Timur, NTB
Email : 13121990onie@gmail.com
Nama: Yusuf Arifuddin
Asal : Lumajang Jawa Timur
Email : arifuddinyusuf@gmail.com
Nama : Dewi Sri Wahyuningsih
Asal : Pasuruan, Jawa Timur
Email : deeww_2211@yahoo.com
A. SEJARAH SINGKAT TOKOH-TOKOH
1. Aljabar Mesir
Aljabar mesir telah ada sejak 2000 SM. Aljabar digunakan untuk mengekprsikan
hitungan menggunakan huruf. Orang Mesir (Egyptians) menggunakan istilah aha (dalam
bahasa artinya”heap”) untuk sesuatu yang tidak diketahui. Sebagian besar pegetahuan
tentang ahli matematika di Mesir berasal dari 2 papirus yang cukup besar, yaitu Rhind
Papyrus and Moscow Papyrus (dulu disebut Golenischev) diletakkan di museum Inggris.
Rhind Papyrus ini ditulis dalam aksara tangan bersambung (bentuk kursif dari hieroglif
yang lebih baik disesuaikan dengan penggunaan pena dan tinta) oleh seorang juru tulis
bernama Ahmes diperkirakan tahun 1650 SM - 1700 SM , dalam Papyrus ini dituliskan
bagaimana menyelesaikan persamaan linier dengan satu variable yang tidak diketahui.
Contohnya Untuk membagi 91 dengan 7, misalnya, sejumlah x dicari sehingga 7 x = 91.
Gambar 1.1 Rhinhd Papyrus (1650 SM)
Sumber:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus#/
media/File:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg
Gambar 1.2 Rhinhd Papyrus(1700 SM.
Sumber: Cajori, Florian. 1929. A History of Mathematics
Notation
Contoh dalam sebuah papyrus:
Jika tulisannya mengatakan “ 10 has become
Solusinya adalah13
2 1
+ of what ?
3 10
1
23
Dalam notasi kita sekarang masalah ini menjadi:
2
1
x+ x =10
3
10
x
( 32 + 101 )=10
x=10 ÷
( 23 + 101 )
x=¿ 13
1
23
2. Aljabar Babilonia (Babylonian Algebra)
Walaupun temuan bangsa Babilonia lebih dari mesir
besar, namun Mesir tetap dikatakan sebagai bangsa dengan
pencapain terbesar sampai saat ini. Penyebabnya karena
dokumen-dokumen pada bangsa mesir ditulis berbentuk
Papyrus, sedangkan pada bangsa babilonia dokumen ditulis
dengan menggunakan tanah liat. Sehingga dokumen pada
masa Babilonia cepat rusak dan pudar, dengan begitu tidak
Gambar 1.3 Tablet Babilinia
Sumber: http://www-history.mcs.stand.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.html
ada bukti yang ditemukan untuk dibandingkan dengan Rhind
Papyrus Mesir. Pada masa Babilonia menyelesaikan masalah persamaan
kuadrat sudah bisa dilakukan. Buktinya Ada tablet tanah liat yang mengindikasikan bahwa
bangsa Babilonia pada 2000 SM telah familiar dengan rumus untuk menyelesaikan
persamaan kuadrat. Ini diilustrasikan oleh teks orang Babilonia kuno yang berisi
permasalahan:
Aku menambahkan luas dan 2/3 dari sisi persegi dan menghasilkan 0,35, berapakah
sisi dari persegiku?
Jika dinotasikan dengan simbol sekarang seperti:
2
x 2+ x=0,35
3
Dalam hal ini, x merupakan sisi dari persegi tersebut.
Contoh permasalahan lain dalam aljabar babilonia sekitar 2000 SM yakni:
“ 1/4 panjang dan lebar adalah 7 jengkal tangan.
Panjang dan lebar adalah 10 jengkal tangan”
Untuk menyelesaikan persolalan ini, dalam teksnya ditunjukkan dengan:
7 × 4=28
28−10=18
1
18 × =6
3
10−6=4
Pada notasi kita saat ini, persoalan diatas bisa di hubungkan dengan dua persamaan
berikut:
y
+ x=7
i.
4
x+ y=10
ii.
Tahapan untuk menyelesaikannya yaitu
Mengalikan persamaan (i) dengan 4, sehingga
y +4 x =28 … (ia)
Persamaan (ia) dikurangi oleh persamaan (ii). Kemudian mengeliminasi y
( y +4 x )− x+ y =18
1
Didapatkan 3 x=18, maka x=18 × =6 , maka x=6
3
Y dihitung dari persamaan (ii):
( x+ y ¿−x=10−6
y=4
Meskipun tidak ditemukan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan linier
sebelum masa matemtika Yunani (pre-greek mathematic), tetapi setidaknya kita telah
melihat pada masa Babilonia ada metode dasar untuk memanipulasi persamaan linier.
Pada suatu loh terdapat daftar pangkat dua dan pangkat tiga dari bilangan 1 sampai 30,
kemudian disusun daftar dari
n3 +n2 . Pada loh tersebut terdapat soal
Penyelesaian soal itu menggunakan tabel
3
2
n +n
x 3+ x 2=b
. Pada suatu loh Yale yang berasal dari
tahun 1600 BC terdapat soal persamaan simultan yang menuju persamaan derajat empat
tetapi belum terselesaikan.
Sebagai contoh didapati persamaan dua variabel
xy=600 , 150 ( x − y )−( x + y )2=−1000 .
Bentuk lain dari persmaan itu adalah
2
2
bx cy
xy=a ,
+
+ d=0
y
x
Pada loh-loh Babilonia juga memuat table-tabel matematika yang dibuat antara
1900 SM dengan 1600 SM. Bentuk loh loh tersebut Nampak seperti gambar:
Gambar1.3 tabel Plimton 322
Gambar1.3 loh Babilonia
Sumber:http://www.scribd.com/doc/87451574/Matematika-BangsaSumber:http://www.scribd.com/doc/87451574/Matematika-BangsaBabylonia#scribd
Babylonia#scribd
Dalam loh itu terdapat tabel bilangan-bilangan yang digunakan untuk menghitung
hipotenusa segitiga siku-siku. Tabel tersebut di disusun kembali oleh Neugebauer dan
Sache pada tahun 1945 dengan menggunakan bilangan decimal seperti sekarang ini.
Contoh tabelnya adalah
2
2
ab
a
b
2 ab
a −b
1
2
3
4
5
6
12
64
75
9
20
√ 60
5
27
32
4
9
√ 15
120
3456
4800
72
360
60
119
3367
4601
65
319
45
2
2
c =a + b
169
4825
6649
97
481
75
2
3. Aljabar Yunani (Greek Algebra)
a. Pythagoras (ca 500 BCE),
Penelitian
tentang
bilangan
yang
abstak
dimulai di Yunani pada tahun 600 SM. Ditandai
dengan
adanya
Pythagoras
beserta
teorinya.
Pythagoras lahir antara tahun 580 – 569 SM di
Sumber: The
History Of
Mathematics
Aegean (Samos). Meninggal Sekitar 500-475 SM
SM di Metapontum, Lucania, Italia. Ayahnya
bernama Mnesarchus, dia adalah seorang pedagang
permata. Dan ibunya bernama Pythais. Pythagoras tertarik dalam matematika, filsafat,
astronomi dan musik, dan sangat dipengaruhi oleh Pherekydes (dalam bidanga filsafat),
Thales (bidang matematika dan astronomi) dan Anaximander (filsafat, geometri).
Pythagoras meninggalkan Samos dan pergi Mesir sekitar 535 SM. Disana dia
belajar pada imam di kuil-kuil. Sepuluh tahun kemudian, ketika Persia menginvasi Mesir,
Pythagoras ditangkap dan dikirim ke Babel (Irak). Dan disana ia bertemu dengan Magoi,
imam yang mengajarinya ritus suci. Pada 520 SM Pythagoras bebas kemudian
meninggalkan Babel dan kembali ke Samos. Adanya intervensi dari pemerintah yang
memintanya terlibat politik membuat Pythagoras meninggalkan samos lagi. Kemudian
Pythagoras menetap di Crotona, sebuah koloni Yunani di Italia selatan sekitar 518 SM.
Disana dia mendirikan sekolah filsafat dan agama. banyak pengikutnya tinggal dan
bekerja bersamanya. Mereka semua bekerja secara besama dalam hal penemuan dan teoriteori. Pada penemuannya Pythagoras percaya:
Matematika adalah dasar untuk semua hal, dan geometri adalah bentuk tertinggi dari
studi matematika, Dunia fisik dapat dipahami melalui matematika.
Bilangan memiliki kepribadian, karakteristik, kekuatan dan kelemahan.
Simbol-simbol tertentu memiliki makna mistis.
Beberapa teori yang dituliskan oleh siswanya dan kemudian didedikasikan kepada
gurunya Pythagoras. Beberapa teori tersebut yaitu:
Jumlah Sudut Segitiga sama dengan dua sudut siku-siku.
Teorema Pythagoras mengatakan” untuk segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi
miring sama dengan jumlah dari kuadrat panjang dua sisi lainnya”. Dalam hal ini
Orang Babel (Babilonia) memahami hal ini 1000 tahun sebelumnya, namun
Pythagoras membuktikannya.
Membangun angka dari daerah tertentu dan aljabar geometri. Misalnya mereka
memecahkan berbagai persamaan dengan cara geometris.
Pythagoras mengajarkan bahwa bumi adalah sebuah bola di tengah Kosmos
(Universe). Bintang, Planet, dan alam semesta berbentuk bulat seperti bola yang
kokoh dan solid. Dia juga mengajarkan bahwa lintasan dari planet-planet melingkar.
Teorema Pythagoras merupakan landasan matematika, dan terus menjadi sangat
menarik untuk matematika bahwa ada lebih dari 400 bukti yang berbeda dari teorema,
termasuk bukti asli oleh Presiden Garfield (20th President of the United States (1881)).
Pembuktia ini dilakukan 5 tahun sebelum terpilih menjadi presiden. Pencapaian
Pythagoras dalam aritmatika dan ilmu-ilmu matematika lainnya yang diajarkan, ditulis
oleh seorang filsuf suriah bernama Iamblichus (250-330 M).
b. Euclid (ca 300 BCE) and
Kematian Alexander Agung telah menyebabkan konflik
antara para jenderal di tentara Yunani. setelah 300 SM kontrol
lebih kuat dibawah Ptolemic, penguasa Macedonia Mesir.
Ptolemy membangun dua lembaga di Alexandria sebagai
pusat belajar terkemuka bagi generasi yaitu Museum dan
Perpustakaan. Berkat Ptolemy dan putranya Ptolemy II, pusat
belajar menjadi lebih meningkat. Misalnya membangun
universitas dan memangil sarjana terkemuka untuk menjadi
Gambar 1.3 Euclid
Sumber: https://www.google.com/search?q
=euclid&ie=utf-8&oe=utf-8
tenaga pengajar di universitas tersebut termasuk Euclid.
Euclid adalah seoarang penulis buku matematis yang
paling sukses. Diantara buku-bukunya, yang paling sukses yakni buku yang berjudul “
The Element (Stoichia). Walaupun Ketenaran Euclid dan buku yang ditulisnya tidak
diragukan, namun sangat sedikit yang diketahui tentang kehidupan Euclid. Tidak ada
catatan yang jelas mengenai kelahirannya. Meskipun dalam beberapa edisi bukunya “The
Elemen” mengandung identitas penulis yakni Euclid dari Megara dan potret Euclid dari
Megara muncul dalam sejarah matematika, namun dikatakan bahwa ini hal masih
diragukan. Seorang filsuf Yunani bernama Proclus (410–485 ce) bercerita
tentang
matematikawan yunani ini. Dalam ringkasannya dia mengatakan euclid diperkirakan dari
alaxandaria pada masa Ptolemi I (323 to 285 bce). Dari sifat karyanya, dianggap bahwa
Euclid dari Alexandria, yang pernah belajar dari siswa Plato, atau dari Akademi Plato itu
sendiri.
Berbicara karya, lebih dari setengah karyanya hilang. Termasuk komposisi penting
seperti risalah pada conics ( bentuk krucut) yang termuat dalam empat buku. Karya
lainnya yang hilang yaitu Solid Loci (nama Yunani untuk bagian berbentuk kerucut)
dengan ilmu ukur agak tua. Sealin itu Euclid juga kehilangan surface Loci, dan tiga buku
tentang Porisms.
Pappus, seorang matematikawan Yunani (290 – 350 masehi)
melaporkan bahwa porism adalah perantara antara teorema, ada juga yang menjelaskan
bahwa porism sebagai proposisi untuk menentukan hubungan antara jumlah diketahui dan
variabel atau belum ditentukan, mungkin pendekatan yang paling dekat di zaman kuno
dengan konsep fungsi.
Lima karya Euclid yang bertahan sampai hari: the Elements, the Data, the Division
of Figures( Pembagian Bilangan), the Phaenomena, and the Optics. The Elemen adalah
buku teks yang mencakup semua matematika dasar seperti, Aritmatika (dalam arti bahasa
Inggris "aritmetika yang lebih tinggi" atau Amerika "teori angka"), Geometri Sintetis
(titik, garis, bidang, lingkaran, and bola), dan aljabar (bukan dalam arti simbolik modern,
tetapi setara dalam pakaian geometris). Buku Euclid yang berbicara tentang aljabar adalah
“book II element”. Buku ini
merupakan buku pendek, yang penggunaannya sangat
signifikan pada era Euclid. Perbedaan mencolok antara pandangan kuno dan modern
mudah dijelaskan. Sekarang kita memiliki symbol aljabar dan trigonometri yang telah
menggantikan geometries dari yunani. Buku II dari Elemen, tentang aljabar geometri,
disajikan dengan tujuan yang sama seperti halnya symbol aljabar pada saat ini. Dimana
penggunaan aljabar dalam pengukuran. Dan banyak yang mengatakan Aljabar geometri
kuno bukanlah alat yang ideal, tapi sangat efektif.
Pembagian Bilangan (the devision of figures) adalah sebuah karya yang berbahasa
arab. Walaupun berbahasa arab namun Pada dasarnya karya ini belum dipelajari oleh
orang arab. Karena pada waktu itu yang tersisa adalah buku berbehasa arab. Kemudian
karya ini diterjemahkan dalam bahasa latin dan akhirya dalam bahasa modern pada saat
ini. Buku the devision of figures (Pembagian bilangan) meliputi tiga puluh enam proposisi
mengenai pembagian.
Pembagian bilangan yang terkenal saat ini yaitu algoritme Euclid tentang
pembagian. Salah satu definisi dari pembagian Euclid:
Bilangan bulat b dikatakan divisible (dapat dibagi) oleh suatu bilangan bulat a ≠
0, disimbolkan a∨b , jika ada suatu bilangan bulat c sedemikian sehingga b =
ac. Notasi a ∤ b menunjukkan bahwa b tidak habis dibagi oleh a.
Sehingga dapat dikatakan 63 habis dibagi 9 karena 63=9∙ 7 . Tetapi 8 tidak
habis dibagi 3. Karena tidak ada perkalian c yang menyebabkan 8=3 c .
Algoritme Euclid yang terkenal sampai saat ini yaitu penggunaanya dalam menentukan
Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan a dan b .
Langkah pertama menerapkan algoritma pembagian terhadap a dan b diperoleh
a=q1 b+r 1 , 0 ≤r 1 …≥ 0 tidak dapat berisi lebih dari b bilangan bulat.
Hasilnya adalah sistem persamaan:
a=q1 b+r 1 , 0 0 .
Sehingga √3 2+ √−121=a+b √ −1
⟺ 2+ √−121=( a+b √ −1 )
3
√−1
¿
¿
√−1
¿
¿
3
2
¿ a +3 a b √−1+3 ab 2 ¿
a
¿ a(¿ ¿2−3 b )+ b(3 a2 −b2 ) √−1 .
¿
2
a
Karena a(¿ ¿ 2−3 b2 )=2 dan b ( 3 a2 −b2 )=11
¿
Maka diperoleh a=2 dan b=1 ,
sehingga memenuhi kondisi:
2+ √−121= ( 2+ √−1 )
3
dan 2−√ −121=( 2− √−1 )3
Bombelli menyimpulkan suatu solusi untuk persamaan kubik
3
x 3=15 x+ 4 adalah:
3
x=√ 2+ √ −121+ √ 2−√−121 .
3
3 3
3
⟺ x= ( 2+ √−1 ) + ( 2− √−1 )
⟺ x=( 2+ √−1 ) + ( 2−√−1 ) =4
√
√
Solusi Ferrari dari Persamaan Kuadratik (menentukan akar dari persamaan
kuadratik dengan menggunakan operasi dasar aritmatika)
Ferrari, anak dari orang miskin, dibawa ke rumah Cardan sebagai anak hamba pada
usia 14 tahun. Meskipun Ferarri belum sekolah formal, ia memiliki bakat luar biasa. Cardan
mengajarinya dalam bahasa Latin, Yunani, dan matematika. Kemudian Cardan
menjadikannya sekretaris pribadinya. Ferrari menjadi guru besar matematika di Bologna
pada tahun 1565 dan meninggal pada tahun yang sama, kemungkinan karena diracuni.
Cardan pernah gagal dalam memecahkan persamaan dengan pangkat 4, kemudian Cardan
memberikannya kepada muridnya yaitu Ludovico Ferrari (1522-1565). Ferrari,
menggunakan aturan memecahkan kubik, akhirnya berhasil.
4
x +4 x+8=10 x
4
2
2
⟺ x −10 x =−4 x−8
⟺( x 2−10)2=−10 x2−4 x +92
2
⟺ ( x 2−10+ z ) =(2 z−10) x 2−4 x +(92−20 z + z 2) ditambah
x
2 z (¿ ¿2−10)+ z 2 ... (1)
¿
92−20 z+ z
4 (2 z−10 ) (¿¿ 2)=16
⟺¿
3
2
⟺ z −25 z +192 z=462
Misalkan
z=u+
25
, kemudian dengan menggunakan teknik reduksi, maka
3
menghasilkan persamaan bentuk
3
u=
49
524
u+
3
27
Berdasarkan persamaan ini, maka diperoleh u=
Substitusikan
z=7
−4
3
dan
z=7
ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
2
( x 2−3 ) =4 x 2−4 x+ 1=( 2 x−1)2 ,
⟺ ( x 2−3 ) =(2 x−1)2
⟺ x2 −3=±(2 x−1) .
Untuk tanda positif, maka diperoleh persamaan
⟺ x2 −3=2 x−1
2
⟺ x −2 x−2=0
Untuk tanda positif, maka diperoleh persamaan
⟺ x2 −3=−2 x+1
2
⟺ x +2 x−4=0
Berdasarkan solusi dari dua persamaan tersebut, maka terdapat 4 solution dari
persamaan kuadratik yaitu 1+ √ 3 ,1+ √ 3 ,−1+ √5 , dan−1−√ 5 .
Operasi Pada Bentuk Aljabar
Sebelum berbicara tentang operasi pada bentuk-bentuk aljabar, ada beberapa hal yang perlu
untuk dipahami dengan baik, karena operasi-operasi dalam bentuk aljabar menjadi dasar
yang penting dalam memahami bahasan-bahasan berikutnya. Operasi-operasi pada bentuk
aljabar mancakup operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dalam
bentuk-bentuk aljabar termasuk bentuk-bentuk penyederhanaan dan aplikasinya.
Penjumlahan dan Pengurangan Suku-suku serta Bentuk-bentuk Sejenis
Pastinya kita telah mengenal bentuk-bentuk seperti 6x – 13x, dan 7y + 2 –5y –3, dan
sebagainya.
Sekarang
akan
dipelajari
bagaimana
cara
menyederhanakannya.
Menyederhanakan suatu bentuk ialah mencari bentuk lain yang sama artinya dengan bentuk
semula tetapi bentuknya lebih sederhana. Untuk menyederhanakan bentuk-bentuk itu
digunakan sifat-sifat seperti:
(i ) sifat komutatif penjumlahan dan perkalian
a+b=b+a
ab = ba
(ii) sifat asosiatif penjumlahan dan perkalian
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a (bc)
(iii) sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
ab + ac = a (b + c); a disebut faktor persekutuan.
Contoh:
Sederhanakanlah
2
2
4x +5x − x + 3x !
Penyelesaian:
4 x2 + 5 x − x2 + 3 x
¿ 4 x2 − x 2 + 5x + 3 x ..........(hukum komutatif penjumlahan)
2
¿ ( 4 − 1) x + (5 + 3) x..........( hukum distributif perkalian terhadap
penjumlahan dan pengurangan)
¿ 3 x2 + 8 x
Contoh
Kurangkanlah
Penyelesaian:
3a − 8b dari 2a + 10b
(2a + 10 b) −(3a − 8b)
= 2a + 10b − 3a + 8b
= 2a − 3 a+ 10b + 8b
= −a + 1 8b
Catatan
Bentuk seperti
3
2
k −2k + 3 k− 2 dinamakan suku banyak atau polinom dengan
satu peubah.
Bentuk
3a2 b −2ab 2 + 5b− 2 disebut suku banyak atau polinom dengan dua
peubah.
Suku banyak dengan tiga suku disebut suku tiga atau trinom misalnya
Menyatakan Perkalian Faktor-faktor sebagai Penjumlahan Suku-suku
Seperti telah dipelajari bentuk yang mempunyai dua suku seperti
x + 1 atau
x + 3 disebut suku dua atau binom. Kita dapat menghitung hasil perkalian suku dua
dengan memakai hukum distributif sebagai berikut:
( x + 1) ( x + 3) = x ( x + 3) + 1 ( x + 3)
2
= x + 3 x + x +3
= x2 + 4 x + 3
Hasil itu dapat juga diperoleh dengan menggambar persegipanjang yang lebarnya
satuan dan panjangnya
x + 3 satuan. Kemudian persegipanjang itu dibagi
seperti tampak pada Gambar. 1.
=
=
\
x +1
Gambar 1
Contoh 8
(3x − 2) (2x − 4) = 3 x (2 x − 4) −2 (2 x − 4)
2
= 6 x − 12x − 4 x +8
= 6 x 2 − 16 x + 8
Dua Pengkuadratan yang Penting
Perkalian dua buah bentuk pengkuadratan berikut:
( x + y)2 = ( x + y) ( x + y )
= x ( x + y) + y ( x+ y)
2
2
= x + xy + xy + y
= x 2 + 2 xy + y 2
( x − y )2 = ( x − y) ( x − y)
= x ( x − y) − y ( x− y )
2
2
= x − xy − xy + y
= x 2 − 2 xy + y 2
Perhatikanlah benar-benar
Contoh
( x + 2 y )2 = ( x + 2 y) (x + 2 y )
= x (x + 2 y ) + 2 y ( x+2 y )
2
2
= x + 2 xy + 2 xy + 4 y
= x2 + 4 xy + 4 y 2
Contoh:
(3x − 2 y)2 = (3x − 2 y) (3 x − 2 y)
= 3 x (x − 2 y) − 2 y (3x−2 y )
2
2
= 3 x − 6 xy − 6 xy + 4 y
= x 2 + 4 xy + 4 y 2
Menguraikan Bentuk Aljabar ke dalam Faktor-faktornya
Masih terkait dengan operasi-operasi pada bentuk-bentuk aljabar, maka bahasan
selanjutnya adalah bagaimana menguraikan bentuk-bentuk aljabar ke dalam
faktor-faktornya. Dalam bahasan berikut hanyalah mencakup beberapa konsep dasar
tentang faktorisasi bentuk-bentuk aljabar yang bersifat elementer dan pemakaiannya akan
banyak kita jumpai dalam bahasan-bahasan berikutnya.
Faktor
Tentunya Anda masih ingat dengan hukum distributif, dan hukum tersebut dapat dinyatakan
sebagai berikut:
ab+ ac=a( b+c ) untuk setiap a , b dan c
.
Hukum di atas menunjukkan dengan cara bagaimana jumlah suku-suku yang mempunyai
faktor persekutuan dapat dinyatakan sebagai perkalian. Jadi faktor
a
pada setiap suku
ruas kiri dapat dipindahkan sebagai faktor persekutuan dari seluruhbentuk tesebut, seperti
tampak pada ruas kanan.
Contoh
Faktorkanlah x2yz + xy2z + xyz
Penyelesaian:
Faktor persekutuan terbesar dari ketiga suku itu adalah xyz. Jika tiap suku
dibagi xyz terdapat faktor lain (x + y + z) sehingga:
x2yz + xy2z + xyz = xyz (x + y + z).
Catatan:
Dalam perkalian, pemakaian faktor-faktor seringkali dapat mempermudah
perhitungan, misalnya:
(34 ×57) + (34 × 43) = 34(57 + 43)
= 34 × 100
= 3400
2. Selisih Dua Kuadrat
Sekarang kita perhatikan jika a dan b masing-masing bilangan real
sembarang, maka dengan hukum distributif didapat:
(a – b)(a + b) = a(a + b) – b(a + b)
= a2 + ab – ab – b2
= a2 –b2
Jadi, a2 –b2=(a – b)(a + b)
Pada ruas kiri terdapat selisih dua kuadrat dan pada ruas kanan terdapat perkalian
dua faktor.
Contoh
Faktorkanlah 2x2 – 18y2!
Penyelesaian:
2x2 – 18y2 = 2(x2 – 9y2)
= 2 [x2 – (3y)2]
= 2(x – 3y)(x + 3y)
Ingatlah bahwa setiap faktor persekutuan harus dipisahkan lebih dahulu.
Bentuk Kuadrat dan Faktor-faktornya
Dalam bahasan-bahasan yang terdahulu kita telah mempelajari cara menyatakan perkalian
faktor-faktor sebagai penjumlahan dengan menggunakan
hukum distributif.
Misalnya:
(x – 3)(x – 5)
= x(x – 5) – 3(x – 5)
= x2 – 5x – 3x + 15
= x2 – 8x + 15
Sekarang kita pelajari cara-cara memfaktorkan bentuk-bentuk kuadrat yang
bentuknya ax2 + bx + c.
Terlebih dahulu kita bicarakan untuk a = 1.
Karena (x – 3)(x – 5) = x2 – 8x + 15
maka x2 – 8x + 15 = (x – 3)(x – 5)
Perhatikanlah bahwa: 15 = (-3)(-5) dan -8 = (-3) + (-5).
Demikian pula karena:
(x + 5)(x – 2) = x2 + 3x - 10
maka x2 + 3x – 10 = (x + 5)(x – 2)
Ternyata bahwa: -10 = (5)(-2) dan 3 = (5) + (-2)
Kesimpulan:
1. Suku konstanta (suku tetap) atau disingkat konstanta dalam bentuk kuadrat sama
dengan hasil perkalian konstanta-konstanta dalam kurung. Jika tanda padakonstanta
pada bentuk kuadrat positif, maka tanda konstanta-konstanta dalam kurung
keduanya positif atau keduanya negatif. Sedangkan jika tanda pada konstanta
negatif, maka konstanta dalam kurung harus berlawanan.
2. Koefisien dari x pada bentuk kuadrat sama dengan jumlah konstantakonstantadalam kurung. Kedua hal tersebut di atas dapat ditulis dalam pernyataan:
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q).
Contoh
Faktorkanlah: x2 – 8x + 12
Penyelesaian:
Lebih dahulu harus didapat dua bilangan yang hasil-kalinya 12 dan
jumlahnya -8. Bilangan-bilangan yang memenuhi hal tersebut adalah -6 dan -2.
Jadi, x2 – 8x + 12= (x – 6)(x – 2).
C. AWAL-AWAL SIMBOLISASI ALJABAR AL-KHAWARIZM
1. Biograf
Nama
: Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī
Lahir
: 780 M di Khwārizm (Khiva, Uzbekistan)
Wafat
: 847 M di Baghdad
Suku
: Persia
2. Al-Khawarizmi di Bidang Aljabar
Salah satu karya terkanal al-Khawarizmi adalah Kitab al-Jabr
wa’l-Muqabalah, buku ini berkaitan dengan teori persamaan linier dan
kuadrat dengan satu variabel. Ilmu pengetahuan aljabar merupakan
penyempurnaan terhadap pengetahuan yang telah dicapai oleh bangsa
Mesir dan Babylonia. Dan di dalam buku Arithmetica of Diophantus
terdapat beberapa catatan tentang persamaan kuadrat. Sebagian para
ahli sejarah menyebutkan bahwa al-Khawarizmi berkiblat pada ilmu
matematika Yunani (Euclid atau Diophantus), namun sebagian lagi
menyebutkan suku bangsa India dan Babylonia sebagai inspirasi karya
al-Khawarizmi.
Karya al-Khawarizmi tidak dipengaruhi oleh sumber-sumber
naskah India, karena masyarakat Hindu tidak mengenal aturan seperti
penambahan dan pengurangan yang di ungkapkan oleh al-Khawarizmi
dalam karyanya Algebra. Karya al-Khawarizmi juga tidak mengutip
tulisan Diophantus, karena 1) al-Khawarizmi mencantumkan akar
pangkat dua dan Diophantus mencantumkan akar pangkat satu. 2) tidak
satupun kasus-kasus dalam Diophantus ditemukan dalam karya alKhawarizmi yang berjudul Algebra. 3) kedua buku berbeda antara kubu
barat dan kubu timur. 4) karya Diophantus cenderung abstrak dan karya
al-Khawarizmi berkaitan dengan pernyataan tentang kehidupan
manusia. 5) al-Khawarizmi tidak memiliki pemahaman tentang Yunani. 6)
karya Diophantus tidak diterjemahkan ke bahasa Arab pada masa itu
(Mohamed, 2001).
Kitab al-Jabr wa’l-Muqabalah merupakan buku pertama yang
membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Sehingga ia
disebut sebagai Bapak Aljabar. Translasi bahasa Latin dari Aritmatika alKhowarizmi yang mengenalkan angka India. Dalam buku tersebut
diberikan penyelesaian persamaan linear dan kuadrat dengan
menyederhanakan persamaan menjadi salah satu dari enam bentuk
standar (b dan c adalah bilangan bulat positif), Enam persamaan dasar
menurut al-Khawarizmi, sebagai berikut (Mohamed, 2001 & Dharmawan,
2011):
1. Akar kuadrat sama dengan bilangan ( bx=c )
2. Kuadrat sama dengan akar kuadrat ( ax 2=bx )
3. Kuadrat sama dengan bilangan ( ax 2=c )
4. Kuadrat dan bilangan sama dengan akar kuadrat ( c +ax 2=bx )
5. Kuadrat dan akar kuadrat sama dengan bilangan ( ax 2+ bx=c )
6. Akar kuadrat dan bilangan sama dengan kuadrat ( ax 2=bx +c )
Keenam persamaan tersebut menunjukkan bahwa al-Khawarizmi tidak
mengenal keberadaan bilangan negatif atau bilangan nol sebagai suatu
koefisien.
Sebagai contoh, di dalam tulisan aljabar muncul: x 2=40 x−4 x 2
2
Dapat diubah menjadi bentuk aljabar
5 x =40 x
Contoh lain dari buku al-Khawarizmi adalah
50+x 2=29+10 x
Proses al-muqabalah (-), direduksi menjadi
2
21+ x =10 x
Kedua operasi tersebut digabungkan dengan operasi aritmatika seperti
perkalian, penambahan, pengurangan, dan pembagian dari bilangan
binomial dan monomial sebagai konsep dasar dari perhitungan akar
kuadrat dalam karya Algebra al-khawarizmi (Mohamed, 2001).
Dalam notasi modern, persamaan sebagai berikut:
x 2+10 x=39
Penyelesaian menggunakan prosedur al-Khawarizmi:
( x+5 )2=39+25=64
x+ 5=√ 64=8
x=8−5=3
2
x =9
Hal ini diilustrasikan dengan kemajuan yang dicapai danpendekatan
sistematis
terhadapaljabar.
Untuk
menyelesaikan
persamaan
2
x +10 x=39, dideskripsikan oleh al-Khawarizmi dengan metode seprti
berikut:
Metode Pertama:
x 2+10 x=39
Misalkan ABCD merupakan sebuah bujur sangkar dengan sisi x
(gambar 1). Pada setiap sisi bujur sangkar dibuat suatu persegi panjang
10 5
=
dengan sisi
(gambar 2). Ini mewakili sisi bagian kiri dari
4 2
persamaan yaitu
x 2+ 4
( 52 ) x=x +10 x
2
. Sekarang bujur sangkar besar
yang lengkap terdapat pada gamabr 3.
25
,
4
didapat luas bujur sangkar yang besar yaitu 39+25=64 . Maka panjang
5 5
sisi bujur sangkar yang besar adalah 8, karena x+ + =8 , sehingga
2 2
2
x=3 . Maka x =9 (Mohamed, 2001).
Keempat daerah bujur sangkar yang total daerahnya adalah
4
Metode Kedua:
2
x +10 x=39
Buat sebuah bujur sangkar ABCD dengan sisi x (gambar 4).
Jika ditarik garis dari AD ke titik E dan garis AB ke titik F
1
DE=BF= ( 10 )=5 . Lengkapi bujur sangkar
sedemikian sehingga
2
AFKE dan perluas DC ke G dan BC ke H . daerah AFKE dapat
25
diekspresikan sebagai:
harus ditambahkan
x 2+10 x=39 . Lalu,
pada masing-masing bagian dari persamaan ini untu kmendapatkan:
2
x +10 x +25=39+ 25
Sederhanakan menjadi: x 2+10 x +25=64
Ini akan membuat persamaan kuadrat ( x+5 )2 hasilnya akan sama
dengan 64. Dimensi dari AFKE akan menjadi 8 x 8 , tapi AF =x +5=8 ,
sehingga x=3 , maka x 2=9 (Mohamed, 2001).
3. Karya Lain al-Khawarizmi
Karya al-Khowarizmi selain Aljabar, yaitu sebagai berikut:
1)Dixit algorizmi
Buku kedua besar dia adalah tentang aritmatika, yang bertahan
dalam Bahasa Latin, tapi hilang dari Bahasa Arab yang aslinya.
Translasi dilakukan padaabad ke-12 oleh Adelard of Bath. AlKhowarizm menyusun sebuah risalah kecil di aritmatika dengan judul
seperti buku penambahan dan pengurangan menurut perhitungan
Hindu. Ini awal di Arab untuk menjelaskan penggunaan sistem desimal
angka Hindu, meskipun hanya "sembilan huruf" yaitu simbol untuk
angka 1 sampai 9. Ia juga menggunakan nol ketika tidak ada sisa
dalam pengurangan, meletakkan lingkaran kecil sehingga tempat
menjadi tidak kosong.
Eropa Barat pertama belajar tentang aljabar dari karya alKhowarizm. Nama "aljabar" Eropa al-jabr, bagian dari judul risalah alKhowarizm itu Hisab al-jabr w'al muqabalah. Judul berarti "ilmu
reunion (reuni) dan reduction (pengurangan)”. Reunion mengacu pada
pemindahan istilah negatif dari satu sisi persamaan yang lain dan
Reduction untuk kombinasi.
Sebagai contoh, persamaan (notasi modern):
2
2
6 x −4 x +1=5 x +3
Reunion
Reduction
2
2
6 x +1=5 x + 4 x+3
2
x =4 x +2
2)Rekonstruksi Planetarium
Buku ketiga adalah Kitāb ṣūrat al-Arḍ "Buku Pemandangan Dunia" atau
"Kenampakan Bumi" diterjemahkan oleh Geography pada 833. Buku ini terdiri dari
daftar 2402 koordinat dari kota-kota dan tempat geografis lainnya mengikuti
perkembangan. Judul lengkap buku ini adalah “Buku Pendekatan Tentang Dunia,
dengan Kota-Kota, Gunung, Laut, Semua Pulau dan Sungai”, ditulis oleh Abu Ja’far
Muhammad bin Musa al-Khawarizmi berdasarkan pendalaman geografis yamg ditulis
oleh Ptolemeus dan Claudius. Buku ini dimulai dengan daftar dan lintang, termasuk
“Zona Cuaca”, yang menulis pengaruh lintang dan bujur terhadap cuaca.
3)Astronomi
Buku keempat Zīj al-sindhind adalah karya yang terdiri dari 37 simbol pada
kalkulasi kalender astronomi dan 116 tabel dengan kalenderial, astronomial dan data
astrologi. Versi aslinya dalam Bahasa Arab hilang pada 820M, tapi versi lain oleh
astronomer Spanyol Maslama al-Majrīṭī 1000 M.
4)Kalender Yahudi
Al-Khawārizmī juga menulis tentang Penanggalan Yahudi “Risāla
fi istikhrāj taʾrīkh al-yahūd” atau disebut “Petunjuk Penanggalan
Yahudi") yang menerangkan 19 tahun siklus interkalasi, hukum yang
mengatur pada hari, minggu dan bulan serta memperhitungkan
interval pada era Yahudi (penciptaan Adam) dan era Seleucid. Dan
memberikan hukum tentang bujur matahari dan bulan menggunakan
kalender Yahudi. sama dengan yang ditemukan oleh al-Bīrūnī dan
Maimonides.
D. Latihan soal
1. Terdapat suatu kumpulan benda jika dijumlahkan
1
2
bagian ,
1
3
1
bagian maka jumlah benda itu?
4
2. Gunakan algoritma Euclid untuk memperoleh x dan y yang memenuhi
a. FPB(119,272) = 119x + 272y
bagian dan
b. FPB(306,657) = 306x +657y
n+20
n−13
3. Tentukan semua bilangan bulat n sehingga
merupakan bilangan bulat.
4. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (m, n) dengan sifat
2 3
+ =1
m n
5. Tentukan:
2
2
2
2
a. Jumlah dari 2 p + 5 pq − 3q dan p − 3 pq − 5q !
b. Penjumlahan 10x2 + 6xy – 12 dan –4x2 – 2xy + 10,
c. Pengurangan 8p2 + 10p + 15 dari 4p2 – 10p – 5.
6. Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar
(6x– 2) cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut.
7. Sebuah model kerangka balok dibuat dari kawat dengan ukuran panjang (2x - 3) cm,
lebar (3x + 10) cm dan tinggi x cm. tentukanlah:
a. Panjang kawat dalam x
b. nilai x jika panjang kawat adalah 388cm
c. ukuran kerangka balok
8. Bagaimana menyelesaikan x 2+21=10 x versi al-Khowarizm?
Kunci Jawaban
1. Misalkan kumpulan itu adalah x
Maka dapat dinyatakan dengan notasi aljabar saat ini
1
1
1
x+ x + x = 26
2
3
4
Maka sebut saja x =12 maka
1
1
1
x+ x + x=6+ 4+3=13
2
3
4
26 adalah kelipatan 2 dari 13
maka x=12 harus dilipat duakan
jadi x=24
2. Bentuk linier dari
a. FPB(119,272) = 119x + 272y
Jawab
272=2 ∙119 +34
119=3∙ 34+ 17
34=2∙ 17+0
Dengan menggunakan metode balikan
17=119−34
17=119−( 272−2∙ 119 )
17=3∙ 119−272
17=3∙ 119+ (−1 ) 272
Maka ¿ 3 , y=−1
b. FPB(306,657) = 306x +657y
657=2∙ 306+ 45
306=6 ∙ 45+36
45=1∙ 36+ 9
36=4 ∙ 9+0
FPB=9
Dengan metode balikan
9=45−36
9=45−( 306−6 ∙ 45 )
9=7 ∙ 45−306
9=7 ( 657−2 ∙ 306 )−306
9=7 ∙657−14 ∙ 306−306
9=7 ∙657−15 ∙306
9=7 ∙657+ (−15 ) 306
Jadi
x=7 ,
y=−15
3. Penyelesaian
n+20 n−13+30
30
=
=1+
n−13
n−13
n−13
n+20
30
Jika
bulat, maka
bulat. Artinya n − 13|33 atau n − 13 faktor dari
n−13
n−13
33. Karena faktor dari 33 adalah −33, −11, −3, −1, 1, 3, 11 dan 33, maka
diperoleh nilai n yang mungkin adalah −20, 2, 10, 12, 14, 16, 24 atau 46. Dapat
dicek bahwa semua nilai n tersebut memenuhi kondisi yang diberikan. Jadi, nilai n
yang memenuhi adalah −20, 2, 10, 12, 14, 16, 24 dan 46.
Diperhatikan bahwa
4. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (m, n) dengan sifat
Penyelesaian. Misalkan bilangan bulat positif n dan m memenuhi
2 3
+ =1
m n
2 3
+ =1
m n
maka berlaku 2 n+3 m=mn
⇔ (m−2)(n−3)=6 .
Diperoleh bahwa m−2 dan n−3 merupakan faktor dari 6.
Karena m bilangan bulat positif, maka m−2>−2 . Diperoleh nilai m−2 yang
mungkin adalah 1, 2, 3 atau 6, sehingga nilai m yang mungkin adalah 3, 4, 5 atau 8.
Akibatnya diperoleh pasangan (m, n) yang memenuhi adalah (3, 9), (4, 6), (5, 5) dan
(8, 4)
5. Penyelesaian:
a.
2
2
2
2
2
2
(2 p + 5 pq − 3q ) + ( p − 3 pq − 5q )
2
2
= 2 p + 5 pq − 3q + p − 3 pq − 5q
2
2
2
2
= 2 p + p + 5 pq − 3 pq− 3q − 5q
= (2 + 1) p 2 + (5 − 3) pq + (− 3 − 5)q2
2
2
= 3 p + 2 pq − 8q
b. 10x2+ 6xy – 12 + (–4x2 – 2xy + 10)
= 10x2 – 4x2 + 6xy – 2xy – 12 + 10
= 6x2 + 4xy – 2
c. Pengurangan (4p2 – 10p – 5) – (8p2 + 10p + 15)
= 4p2 – 8p2 – 10p –10p – 5 – 15
= –4p2 – 20p – 20
6. Penyelesaian:
Diketahui : p = (5x + 3) cm dan l = (6x – 2) cm
Ditanyakan : luas persegipanjang
Luas = p × l
= (5x + 3)(6x – 2)
= (5x + 3)6x + (5x + 3)(–2)
= 30x2 + 18x – 10x – 6
= 30x2 + 8x – 6
Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x2 + 8x – 6) cm2
7. Jawab
a. Panjang kawat dalam x adalah (2 x −3)
b. Besar x jika panajang kawat 338
2 x −3=338
2 x =338−3
335
x=
2
c. Kerangka balok adalah
( 4 × p ) + ( 4 × l )+ ( 4+ t ) =¿
4 ( p+l+t )
¿ 4 ( ( 2 x−3 )+3 x +10 ) + x ¿
¿ 4 ( 6 x +7 )
335
¿4 6
+7
2
¿ 4 ( 1005+7 )
¿ 4048
(
)
8. Menggunakan metode al-Khawarizmi,buat sebuah bujur sangkar
ABCD dengan sisi x . Ambil sebuah titik E pada garis AB
sedemikian hingga BE=3 satuan, sehingga didapat persegi empat
AEFD . Bidang ABCD memiliki luas daerah x 2 yang diwakili
3 x+ 4 dengan asumsi bahwa x 2=3 x+ 4 .
Miasalkan
EB , dan membentuk bujur
membagi garis
3
sangkar EHKM yang memiliki sisi
. Jika garis HK dilanjutkan ke
2
KS= AE=DF
SW ⏊ DA
titik S sehingga
dan buat titik
dan
MKSN=WNDF disebabkan oleh DW =HB=HE=KM .
Jadi luas daera
H
AHSW
=
( AENW + M KNS ) + EHKM
=
( AENW +WNFD )+ EHKM
=
AEFD + EHKM
Selanjutnya luas BCFE adalah 3x sehingga AEFD adalah 4. =
9 25
4+ =
.
4 4
AH merupakan salah satu sisi bujur sangkar AHSW yang luasnya adalah
25
5
, sisi AH =
.
4
2
Daftar Rujukan
Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C. 1989. A History of Mathematics
Second Edition. Canada: Jonh Wiley & Sons, Inc
Burthon, David W. (2011). The History Of Mathematics: An Introduction, Seventh
Edition.New York: McGraw-Hill
Cajori, Florian. 1929. A History of Mathematics Notation (online)
Dharmawan, Eko P. 2011. Pengantar Aljabar. Jakarta: PT prestasi Pustaka
Raya (online)http://www.mathopenref.com/pythagoras.html
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus#/media/File:Rhind_Mathematic
al_Papyrus.jpg
https://www.google.com/search?q=diopanathus&ie=utf-8&oe=utf-8
Merzbach Uta C. & Carl B. Boyer.(2011). A History Of Mathematics Third Edition.Canada:
John Wiley & Sons, Inc
Mohamed, Mohaini. 2001. Matematika Muslim Terkemuka. Jakarta:
Salemba
Teknika
Naga,
Dali
S.(1980).Berhitung:
Sejarah
Dan
Perkembangannya.jakarta:PT Gramedia
Sellers, James( online). An Introduction to Pythagoras and the Pythagorean Theorem
http://www.personal.psu.edu/jxs23/courses/math035/fa11/handouts/18_intro_to_pythag
oras.pdf
Sitorus,T.1990. Pengantar sejarah matematika dan pembaharan pengajaran matematika
disekolah.Bandung:Tarsito
Popp, walter.(1978). History of mathematics: topic for school.great Britain:The open press.
KONTRIBUTOR
Nama : Ahmad Masroni
Asal : Lombok Timur, NTB
Email : 13121990onie@gmail.com
Nama: Yusuf Arifuddin
Asal : Lumajang Jawa Timur
Email : arifuddinyusuf@gmail.com
Nama : Dewi Sri Wahyuningsih
Asal : Pasuruan, Jawa Timur
Email : deeww_2211@yahoo.com