Bahan Ajar Pengantar Persamaan Diferensial

PERSAMAAN DIFERENSIAL
review:
y = ax + b  persamaan linier
y = ax2 + bx + c  persamaan kuadrat
y = ax3 + bx2 + cx + d  persamaan kubikal
Persamaan diferensial muncul pada permasalahan-permasalahan dalam
bidang ilmu pengetahuan dan teknologi yang membahas tentang hubungan
dinamis antara suatu variabel dengan varibel lainnya, seperti permasalahan
pada rangkaian listrik, lendutan balok, teori getaran, dan sebagainya.
Persamaan diferensial dibedakan menjadi dua kelompok, yaitu persamaan
diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang memuat
derivatif-derivatif (minimal satu derivatif) dari suatu fungsi yang
melibatkan satu variabel bebas saja sehingga bentuk derivatifnya adalah
derivatif biasa, yang memuat bentuk-bentuk sebagai berikut:

d3 y
dy d2 y
, Dy,D2 y, D3 y, ...
,

,
y, y , y ,
2
3
dx dx
dx
l

ll

lll

Bentuk yang lain adalah Persamaan diferensial parsial, persamaan ini
merupakan suatu persamaan yang memuat derivatif-derivatif dari suatu fungsi
yang melibatkan lebih dari satu variabel bebas sehingga bentuk derivatifnya
adalah derivatif parsial

y
,
x

2

y
,
z x

3
2

y

t x

, ...

Contoh:

1.

dy
dx

dy
2. 4
dx
2

3.

y

x2
f
4. x
x

5. yll +3 yl +2y = cos t

cos x

d2 y
dx 2
2

y

z2
f
y
y

6. 5
3y

0

7.
0

dx
dt

d2 x
dt

2

d2 x
dt 2
3

6x

dx
5
dt

cos t
4

x7y

sin x

nf

1

tingkat (orde)

: ditentukan oleh tingkat derivatif yang tertinggi

pangkat (degree) : pangkat dari derivatif tertinggi

Dari contoh di atas:
1, 2, 5, 6, 7 merupakan persamaan diferensial biasa
3, 4 merupakan persamaan diferensial parsial
Dinyatakan sesuai dengan bentuknya:
1.

2.
3.
4.
5.
6.
7.

persamaan
persamaan
persamaan
persamaan
persamaan
persamaan
persamaan

diferensial
diferensial
diferensial
diferensial
diferensial

diferensial
diferensial

biasa tingkat (orde) satu pangkat satu
biasa tingkat (orde) dua pangkat satu
parsial tingkat (orde) dua pangkat satu
parsial tingkat (orde) satu pangkat satu
biasa tingkat (orde) dua pangkat satu
biasa tingkat (orde) dua pangkat satu
biasa tingkat (orde) dua pangkat tiga

2

FUNGSI HOMOGEN
Sebuah fungsi F(x,y) dikatakan homogen pangkat n bila:

F( x, y)
Contoh:
1. F(x,y) = x2 + y2 – 6xy
2. G(x,y) = 5x – 7y + 13

3. H( x , y )

y
ex

tg

y
x

4. F(x,y) = 4 x3 + 3y3 – 6xy
5. F(x,y) = x2 + 5y – 6x2y

n

F(x, y)

 fungsi homogen pangkat 2
 bukan fungsi homogen
 fungsi homogen pangkat 0

 bukan fungsi homogen
 bukan fungsi homogen

3