Handout Rancangan Percobaan

HANDOUT

RANCANGAN PERCOBAAN

Kismiantini
NIP. 19790816 200112 2 001

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2011

Materi Perkuliahan Rancangan Percobaan
) Dosen
D
Ki i ti i, M.Si
M Si.
(MAT 322);
pengampu : Kismiantini
Kismiantini,
M.Si.

Percobaan Tiga Faktor
Rancangan Faktorial, Diagram 
Faktorial, Diagram Blok
Blok

Percobaan Dua Faktor
Rancangan Faktorial, 
Faktorial, Rancangan
Rancangan Petak Terbagi (Split Plot 
Design), 
Design
), Rancangan
Rancangan Petak Teralur (Strip Plot Design)
Strip Plot Design)

Dosen Pengampu
Kismiantini M
Kismiantini,
M.Si.
Si

Percobaan Satu Faktor
RAL, RAKL, RBSL

Pendahuluan
Prinsip, istilah
Prinsip, 
istilah dan klasifikasi
Rancangan Percobaan
1

2

Pendahuluan

Referensi
Wajib :
j
j y
g Percobaan. 

Mattjik, A.A. & Sumertajaya, I.M. 2006. Perancangan
Bogor: IPB Press.

y Ilmu tentang statistik
Anjuran
A
j
:
Kirk, R.E. 1995. Experimental Design: Procedures for the 
Behavioral Sciences  California: Brooks/Cole Publishing 
Behavioral Sciences. California: Brooks/Cole Publishing 
Company. 

y Ilmu yang mempelajari cara‐cara:
1. mengumpulkan data
2. menyajikan data

STATISTIKA DESKRIPTIF

3. mengolah

l h data
d

Montgomery, D.C. 2001. Design and Analysis of Experiments. 
New York: John Wiley & Sons.

4. menganalisis data
5. menarik kesimpulan

Suryanto. 2000. Diagram Blok. Yogyakarta: UNY

STATISTIKA INFERENSIAL

3

4

Metode Pengumpulan Data
POPULASI  : keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian
SAMPEL/CONTOH : himpunan bagian dari populasi

PARAMETER : ukuran ukuran yang diperoleh dari data populasi
PARAMETER : ukuran‐ukuran yang diperoleh dari data populasi
STATISTIK : ukuran‐ukuran yang diperoleh dari data sampel

y Percobaan
Peneliti memiliki keleluasaan untuk melakukan pengawasan terhadap
sumber keragaman data, dapat menciptakan jenis perlakuan yang
dii i k
diinginkan
d mengamatii perubahan
dan
b h yang terjadi
j di pada
d responsnya.
Data diciptakan.

y Observasi
Ob
i

GALAT JENIS I.      α = P(salah jenis I) 
= P(menolak H0; H0 benar)

Peneliti tidak memiliki kendali dalam pengumpulan data kecuali
dalam menentukan faktor yang diamati dan memeriksa ketelitian data,
sulit dalam melihat perubahan yang terjadi pada respons karena
mungkin disebabkan oleh faktor yang tidak diamati atau bahkan
belum diketahui oleh peneliti.

GALAT JENIS II      β = P(salah jenis II) 
GALAT JENIS II.     β
 P( l h j i  II) 
= P(menerima H0; H0 salah)

y Survei
Peneliti mengambil sampel data dengan teknik penarikan sampel
tertentu dari suatu populasi yang telah didefinisikan.
didefinisikan Jumlah data
besar. Data sudah ada di lapangan tinggal dikumpulkan.
5

6

Prinsip Dasar Percobaan

Pengertian rancangan percobaan

y Ulangan
: pengalokasian suatu perlakuan tertentu terhadap
Ul

Rancangan percobaan adalah tata cara penerapan tindakan‐
tindakan dalam suatu percobaan pada kondisi atau
lingkungan tertentu yang kemudian menjadi dasar penataan
dan metode analisis statistik terhadap data hasilnya.

beberapa unit percobaan pada kondisi yang seragam. Tujuan :
1. menduga ragam galat
2. memperkecil galat
3. meningkatkan ketelitian

Mengapa perlu rancangan percobaan
percobaan??

y Pengacakan : dimaksudkan agar setiap unit percobaan memiliki
peluang yang sama untuk diberi suatu perlakuan. Secara statistik
untuk validitas/keabsahan dalam menarik kesimpulan agar
kesimpulan yang diambil obyektif.
obyektif

1. Memperbaiki proses hasil
2. Mengurangi keragaman

y Pengendalian lingkungan (kontrol lokal) : usaha untuk
mengendalikan keragaman yang muncul akibat keheterogenan kondisi
lingkungan.

3. Mengurangi waktu penelitian
4. Mengurangi biaya
7

Beberapa Istilah dalam
Rancangan
g Percobaan

8

Ilustrasi

y Perlakuan : suatu prosedur  atau metode yang diterapkan pada unit 

Penelitian tentang pemberian jenis pupuk (N0, N1, N2,
N3) pada tanaman padi dengan luas lahan 1 ha.

percobaan. Setara dengan taraf dari faktor.

y Unit Percobaan : unit terkecil dalam suatu percobaan yang diberi 
suatu perlakuan. Unit dimana perlakuan diberikan secara acak.

Faktor : jenis pupuk

Perlakuan : pemberian jenis pupuk N0, N1, N2, N3
Unit percobaan : 1 petak sawah
Satuan pengamatan : tanaman padi

y Satuan Pengamatan : anak gugus dari unit percobaan, tempat 
anak gugus dari unit percobaan  tempat 
dimana respon perlakuan diukur. 

y Faktor : peubah bebas yang dicobakan dalam percobaan sebagai 
penyusun struktur perlakuan.

y Taraf : jenis‐jenis suatu faktor yang dicobakan dalam percobaan
jenis jenis suatu faktor yang dicobakan dalam percobaan

9

Kl ifik i Rancangan
R
P
b

Klasifikasi
Percobaan

10

Rancangan Perlakuan
Satu
Faktor
S
F k
2. Dua Faktor
y Faktorial (bersilangan, tersarang)
y Split Plot
y Split blok/Strip Plot
3. Tiga Faktor atau lebih
y Faktorial (bersilangan, tersarang, campuran)
y Split‐split Plot
y Split‐split Blok
S li
li  Bl k
1.

y Rancangan Perlakuan

b k i
berkaitan
d
dengan
b i
bagaimana
perlakuan‐perlakuan
l k
l k
tersebut dibentuk
y Rancangan Lingkungan
berkaitan dengan bagaimana perlakuan
perlakuan‐perlakuan
perlakuan
ditempatkan pada unit‐unit percobaan
y Rancangan
R
P
Pengukuran
k
berkaitan dengan bagaimana respons percobaan
diambil dari unit‐unit percobaan yang diteliti

11

12

Rancangan Lingkungan
y Rancangan Acak Lengkap (RAL)
g
g p(
)
y Rancangan Acak Kelompok Lengkap (RAKL)
y Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL)
R
 B j  S
k  L ti  (RBSL)
y Rancangan Lattice

13

Beberapa keuntungan dari penggunaan RAL

Rancangan Acak Lengkap (RAL)
Complete Randomized Design

y Bagan rancangan percobaan lebih mudah
y Analisis
l statistika
k terhadap
h d subyek
b k percobaan
b sederhana
d h
y Fleksibel dalam penggunaan
gg
jumlah perlakuan dan jumlah

ulangan

Latar Belakang :
Biasanya digunakan
d
k jika
k kondisi
k d unit percobaan
b relatif
l f homogen
h
Umumnya
y percobaan dilakukan di laboratorium
Unit percobaan tidak cukup besar dan jumlah perlakuan terbatas
Sederhana

1

y Kehilangan informasi relatif sedikit dalam hal data hilang

dibandingkan rancangan lain

2

Pengacakan
g
dan Bagan
g Percobaan

Perhatikan kasus berikut

3

y Ingin melihat pemberian jenis ransum terhadap pertambahan

y Misalkan ada 3 perlakuan (A, B, C)

bberat badan
b d sapi
Perlu dilihat sapi
p sama atau tidak dari segi
g umur, jenis → sapi
p
harus homogen
y Ingin melihat pemberian dosis pupuk terhadap peningkatan
hasil padi
P l dilih
Perlu
dilihatt llokasi
k i sawahh → petak
t k sawahh harus
h
hhomogen
y Ingin membandingkan pengaruh jenis media pembelajaran
yang digunakan guru terhadap hasil belajar siswa kelas I SMP
khusus untuk pokok bahasan Geometri
Perlu dilihat kelas → kelas yang relatif homogen (artinya
dengan
g rata-rata kemampuan
p
awal siswa dalam Geometri
yang relatif sama)

2 ulangan
l
y Maka diperlukan
p
3 × 2 = 6 unit ppercobaan
y Bagan percobaan
Salah satu hasil pengacakan adalah
1

2

1

C

2

3

4

3

A

4

B

5

6

5

C

6

B

y Tabulasi data
Ulangan

4

Model linier aditif dalam RAL

Perlakuan
A

B

C

1

Y11

Y21

Y31

2

Y12

Y22

Y32

Total
Perlakuan (Yi.)

Y1.1

Y2.2

Y3.3

Total
Keseluruhan

Y..

Model linier aditif dari RAL

y Model Tetap

i = 1, 2,K , a

Yijj = μ + τ i + ε ijj

merupakan model dimana perlakuan-perlakuan yang
g
dalam ppercobaan berasal dari ppopulasi
p
yyangg
digunakan
terbatas dan pemilihan perlakuan ditentukan langsung oleh
peneliti dan kesimpulan yang diperoleh terbatas hanya pada
perlakuan-perlakuan yang dicobakan saja tidak bisa
digeneralisasikan.
digeneralisasikan
y Model Acak
merupakan model dimana perlakuan-perlakuan yang
dicobakan merupakan sampel acak dari populasi perlakuan
dan kesimpulan yang diperoleh berlaku secara umum untuk
seluruh populasi perlakuan.
5

A

j = 1, 2, K , r

g
dengan

ε ij ~ N (0, σ 2 )
iid

Yij : pengamatan
t pada
d perlakuan
l k
kke-ii dan
d ulangan
l
kke-jj
μ : rataan umum
τi : pengaruhh perlakuan
l k
kke-ii
εij : pengaruh acak pada perlakuan ke-i ulangan ke-j
a

Asumsi untuk model tetap ialah

∑τ

Asumsi untuk model acak ialah

τ i ~ N (0, σ τ2 )

i =1

i

iid

6

=0

Analisis Model Tetap
p

Analisis Model Acak

y Ingin menguji persamaan dari rata-rata a perlakuan, diketahui
E (Yij ) = μ + τ i = μ i , i = 1, 2, K , a

Sehingga bentuk hipotesis
H0 : μ1 = μ 2 = K = μ a (Semua perlakuan memberikan respons yang sama)
H1 : ∃μ i ≠ μ i ' , i ≠ i ′, i = 1, 2,K, a
y Diketahui μ + τ i = μ i
a

Sehingga bentuk hipotesis diatas ekuivalen

a

∑ (μ + τ ) = ∑ μ
i

i =1

i =1

i

a

i =1

i =1

⇒ aμ + ∑τ i = ∑ μ i

,μ =

sehingga berakibat
a

∑τ
i =1

7

i

Var (Yij ) = Var (μ + τ i + ε ij )

= Var (τ i + ε ij ), μ konstanta

= Var (τ i ) + Var (ε ij ) , τ i dan ε ij saling bebas
= σ τ2 + σ 2

y Sehingga bentuk hipotesisnya adalah

H0 : σ τ2 = 0 (Keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
2
H1 : σ τ > 0 (Keragaman perlakuan berpengaruh positif terhadap respons yang

dengan hipotesis berikut
a

a

y Diketahui

∑μ
i =1

i

H0 : τ 1 = τ 2 = K = τ a = 0

diamati)

(perlakuan tidak berpengaruh terhadap

a

respons yang diamati)
H1 : ∃τ i ≠ 0, i = 1, 2, K , a

=0
8

Dekomposisi
p
Jumlah Kuadrat Total

Perhitungan Analisis Variansi (Anava
Anava))
Ulangan sama
Y2
FK = ••
ar

y Keragaman total dapat diuraikan sbb:
Yij − Y•• = Yij − Yi• + Yi• − Y••

(Y

ijj

− Y•• ) = (Yi• − Y•• ) + (Yijj − Yi• )

y Jika kedua ruas dikuadratkan maka akan diperoleh

(Y

ij

a

− Y•• ) = (Yi• − Y•• ) + (Yij − Yi• ) + 2(Yi• − Y•• )(Yij − Yi• )
2

2

2

y Kemudian jika dijumlahkan untuk semua pengamatan

∑∑ (Y
a

r

i =1 j =1

ij

a

r

2

i =1 j =1

∑∑ (Y
a

karena

JKP =

− Y•• ) = ∑∑ (Yi• − Y•• ) + ∑∑ (Yij − Yi• )
2

r

i =1 j =1

i•

a

r

2

i =1 j =1

− FK

r

i =1 j =1

JKT = JKP + JKG

JKG = JKT − JKP
10

Perhitungan Analisis Variansi (Anava
Anava))
Ulangan tidak sama
FK =

Tabel Analisis Variansi
y Ulangan sama

SV
Perlakuan
Galat
Total

Y•2•
a

∑r
i =1

i

Yi•2
− FK
i =1 ri
a

a

db
a-1
a(r-1)
ar 1
ar-1

JK
JKP
JKG
JKT

KT
KTP
KTG

Fhitung
KTP/KTG

Kriteria Keputusan : Ho ditolak jika Fhit > Fα(a-1,
(
a(r-1))
( ))

JKP = ∑

y Ulangan tidak sama

SV
Perlakuan
Galat
Total

r

JKT = ∑∑ Yij2 − FK
i =1 j =1

JKG = JKT − JKP
11

r

JKT = ∑∑ Yij2 − FK

JJumlah Kuadrat Total = JJumlah Kuadrat Perlakuan + JJumlah Kuadrat Galat

Penyebab ulangan tidak sama :
1. Menurut rancangan sejak
awal ulangan tidak sama
(mungkin faktor biaya)
2. Menurut rancangan ulangan
sama pada saat percobaan
ada yang mati

2
i•

i =1

a

− Y•• )(Yij − Yi• ) = 0

y Sehingga
9

∑Y

12

db
a-1
∑(ri -1)
∑ri -1

JK
JKP
JKG
JKT

KT
KTP
KTG

Fhitung
KTP/KTG

Kriteria Keputusan : Ho ditolak jika Fhit > Fα (a −1,∑ (r −1))
i

Soal 1
Soal 2

Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh persentase kandungan
paracetamol dalam obat penurun panas terhadap waktu yang diperlukan untuk
menurunkan
k panas dari
d i 39° menjadi
j di 37°.
37° Untuk
U t k keperluan
k
l
i i telah
ini
t l h dipilih
di ilih secara acakk
25 penderita sakit panas dengan suhu 39° dari usia yang hampir sama dan tanpa
keluhan sakit yyangg lain. Keduapuluh
p
lima ppasien tersebut dibagi
g secara acak menjadi
j 5
kelompok dan masing-masing kelompok yang terdiri dari 5 orang tersebut diberi obat
penurun panas dengan persentase kandungan paracetamol tertentu. Berikut data
t t
tentang
waktu
kt (dalam
(d l jam)
j ) yang diperlukan
di l k oleh
l h para pasien
i tersebut
t
b t sampaii dengan
d
panas badan mereka turun menjadi 37 °.
Apakah ada pengaruh
persentase kandungan
paracetamol dalam obat
penurun p
p
panas terhadap
p
waktu yang diperlukan untuk
menurunkan panas dari 39°
menjadi 37
37°?? Gunakan taraf
nyata 0,05.

KADAR PARACETAMOL
40%

50%

60%

75%

90%

7

9

5

3

2

6

7

4

5

3

9

8

8

2

4

4

6

6

3

1

7

9

3

7

4
Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi.

Anggap asumsi-asumsi dalam anava terpenuhi.

13

Tiga kelas kuliah matematika dasar diberikan oleh tiga dosen
(A, B, C). Usia dan prestasi mahasiswa dari ketiga kelas
tersebut relatif homogen. Materi kuliah, ujian, metode
g
dan media yyangg digunakan
g
sama. Karakteristik dosen
mengajar,
juga relatif sama. Nilai akhirnya tercatat sebagai berikut.
A

73 89,
73,
89 82,
82 43,
43 80,
80 73,
73 66,
66 60,
60 45,
45 93,
93 36,
36 77

B

88, 78, 48, 91, 51, 85, 74, 77, 31, 78, 62, 76, 96, 80, 56

C

68 79,
68,
79 56,
56 91,
91 71,
71 71,
71 87,
87 41,
41 59,
59 68,
68 53,
53 79,
79 15

Apakah
p
ada pperbedaan yyangg nyata
y antara nilai rata-rata yyangg
diberikan oleh ketiga dosen tersebut? Gunakan taraf nyata 0,05.
14

Anggap asumsi-asumsi dalam anava terpenuhi.

Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi.

Soal 3
SSuatu percobaan
b
telah
l h dilakukan
dil k k
untukk menyelidiki
lidiki pengaruhh
pelumas motor terhadap tingkat kemampuan kinerja mesin motor.
D i berbagai
Dari
b b i merkk pelumas
l
motor
t yang ada,
d telah
t l h dipilih
di ilih secara acakk
diantaranya merk A, C dan T. Mengingat terbatasnya biaya dalam
melakukan percobaan,
percobaan ulangan hanya dilakukan sebanyak 5 kali.
kali
Percobaan tersebut dilakukan terhadap jenis motor yang mempunyai
mesin yang sama (mesin 4 tak).
tak) Berikut data tingkat kinerja
kemampuan mesin yang diukur dari kecepatan (km/jam) :
Merk
M
k
Pelumas

a)
b))
c)
d)
15

32
52
58

55
67
42

28
55
76

24
52
46

y Sebuah lembaga penelitian di suatu perguruan tinggi ingin mengetahui pengaruh

metode mengajar yang digunakan dosen terhadap hasil belajar mahasiswa khusus
untuk mata kuliah Statistika Elementer.
Elementer Ada berbagai macam metode mengajar
dalam pembelajaran, pada penelitian ini telah dipilih secara acak empat metode
yang dianggap sesuai dengan karakteristik mata kuliah tersebut yaitu metode
ceramah, tanya jawab, problem solving dan diskusi. Untuk keperluan itu telah
dipilih secara acak 20 kelas yang relatif seragam, dengan rata-rata kemampuan
awal mahasiswa dalam Statistika Elementer yang relatif sama.
sama Secara acak 20
kelas tersebut dibagi menjadi 4 kelompok, masing-masing kelompok
mendapatkan pembelajaran dengan salah satu metode tersebut. Dosen yang
mengajar di kelas-kelas tersebut telah dipilih sedemikian hingga dapat dianggap
mempunyai karakteristik yang hampir sama. Setelah pembelajaran selesai,
semua kelas mendapat tes dengan soal dan waktu yang sama.
sama Berikut ini adalah
data tentang rata-rata nilai tes mahasiswa dari ke-20 kelas yang digunakan dalam
penelitian.

30
53
25

Tentukan rancangan apa yang sesuai dengan penelitian yang dimaksud!
Tentukan model linear dan maknanya!
y
Model tetap atau model acak? Sebutkan alasannya!
Lakukan analisis sesuai yyangg dimaksud. Gunakan taraf nyata
y 0,05.
Anggap asumsi-asumsi dalam anava terpenuhi.

Kelas
l
1
2
3
4
5
Jumlah
Ju
a

Ceramah
8,
8,2
9,2
9,4
7,5
6,2
40,5

Metode Mengajar
P bl
Problem
Solving
7,0
,0
8,7
8,
6,8
7,5
5,8
9,3
5,3
8,9
8,0
7,6
332,9
,9
442

Tanya Jawab

16

Diskusi
6,
6,2
6,8
7,5
5,5
5,7
331,7
,7

Jumlah
lh
30,
30,1
30,3
32,0
27,2
27,5
147,1
47,

Tentukan rancangan apa yang sesuai dengan penelitian yang
dimaksud.
b)) Tentukan model linear dan maknanya
y
c) Model tetap atau model acak? Sebutkan alasannya.
d Anggap
d)
A
asumsi-asumsi
i
i dalam
dl
A
Anava
terpenuhi,
hi lakukan
lk k
pengujian hipotesis sesuai dengan penelitian yang
d k d Gunakan
dimaksud.
k taraff nyata 0,05.
a)

17

A
C
T

Soal 4

Anggap asumsi-asumsi dalam anava terpenuhi.

Soal 5
Suatu penelitian akan dilakukan untuk mengetahui pengaruh metode mengajar yang
digunakan guru terhadap hasil belajar siswa untuk mata pelajaran matematika SMA
kelas I. Pada penelitian ini telah dipilih secara acak empat metode yang dianggap
sesuai dengan
g karakteristik mata ppelajaran
j
tersebut yyaitu metode contextual teachingg
learning, cooperative learning, tutor sebaya dan local material learning. Untuk keperluan
itu telah dipilih secara acak 16 kelas (16 kelas I SMA) yang relatif seragam dan guru
yang mengajar
j di kelas-kelas
k l k l tersebut
b telah
l h dipilih
di ilih sedemikian
d iki hingga
hi
d
dapat
di
dianggap
mempunyai karakteristik yang hampir sama. Setiap metode mengajar diterapkan
pada empat kelas.
kelas Data yang diperoleh berupa data tentang rata
rata-rata
rata nilai tes
matematika siswa untuk masing-masing metode mengajar.
Tentukan rancangan
g apa
p yyangg sesuai dengan
g ppenelitian yyangg dimaksud.
a) Sebutkan apa yang menjadi pengamatan dan jumlah ulangannya.
b) Tentukan model linear dan maknanya
c) Model tetap atau model acak? Sebutkan alasannya.
18

P h tik kasus
Perhatikan
k
berikut
b ik t
€ Ingin mengetahui pengaruh jenis obat terhadap kecepatan
penyembuhan
Faktor : jenis obat

Rancangan
g Acak Kelompok
p
Lengkap (RAKL)

€ Apakah ada faktor lain yang mempengaruhi kecepatan
penyembuhan
b h selain
l i jenis
j i obat?
b t? Mungkin
M
ki saja,
j misalkan
i lk
umur pasien, jenis kelamin

Randomized Complete Block Design

€ Bila umur pasien sama atau jenis kelamin sama maka
gunakan saja
g
j RAL.
€ Bila faktor-faktor lain yang dapat mempengaruhi keragaman
respon (selain faktor yang diteliti) tidak dapat diseragamkan
(dikendalikan) oleh peneliti, maka RAL tidak dapat diterapkan.

Dosen Pengampu
g p : Kismiantini
Kismiantini,, M.Si
M.Si..

2

Mengapa RAKL?

Pengacakan dan Bagan Percobaan

€ Keheterogenan unit percobaan berasal dari satu sumber
keragaman

• Misalkan ada 6 perlakuan (P1, P2, P3, P4, P5, P6)
3 kelompok
• Ada 6 unit percobaan pada setiap kelompok
• Total
T l unit
i percobaan
b
ada
d 3×6
3 6 = 18 unit
i percobaan
b
• Pengacakan dilakukan pada masing-masing kelompok
• Salah satu bagan percobaan

€ Mengatasi kesulitan dalam
percobaan dalam jumlah besar

mempersiapkan

unit

€ Kelompok yang dibentuk harus merupakan kumpulan
percobaan yyang
g relatif homogen
g
dari unit-unit p
sedangkan keragaman antar kelompok diharapkan
cukup tinggi

P1

P3

P2

P4

P6

P5

Kelompok 1

P3

P5

P6

P4

P1

P2

Kelompok 2

P1

P5

P3

P4

P2

P6

Kelompok 3

3

Model linier aditif dari RAKL

Tabulasi
T b l i data
d t
Kelompok
1

Perlakuan
P2

P3

P4

P5

P6

Y11

Y21

Y31

Y41

Y51

Y61

Y•1
Y•2

2

Y12

Y22

Y32

Y42

Y52

Y62

Y13

Y23

Y33

Y43

Y53

Y63

Y1•

Y2•

Y3•

Y4•

Y5•

Y6•

Yijj = μ + τ i + β j + ε ijj

Total kelompok (Y•j)

P1

3
Total Perlakuan ((Yii•)

4

Y•3
Total keseluruhan ((Y••)

dengan

j = 1, 2, K , b

ε ij ~ N (0, σ 2 )
iid

Yij : pengamatan
t pada
d perlakuan
l k
k i dan
ke-i
d kelompok
k l
k ke-j
k j
μ : rataan umum
τi : pengaruhh perlakuan
l k
k i
ke-i
βj : pengaruh kelompok ke-j
εij : pengaruh acak pada perlakuan ke-i
ke i kelompok ke-j
ke j
a

Asumsi untuk model tetap ialah

∑τ

Asumsi untuk model acak ialah

τ i ~ N (0, σ τ2 )

i =1

i

iid

5

i = 1, 2,K , a

= 0 dan

b

∑β
j =1

dan

j

=0

β j ~ N (0, σ β2 )
iid

6

Hipotesis Model Tetap

Hipotesis Model Acak

• Hipotesis pengaruh perlakuan

• Hipotesis pengaruh perlakuan
H 0 : σ τ2 = 0 (keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

H 0 :τ1 = τ 2 = K = τ a = 0
H 1 : ∃τ i ≠ 0 , i = 1, 2, K , a

(perlakuan tidak berpengaruh terhadap

H 1 : σ τ2 > 0

respons yang diamati)

• Hipotesis pengaruh kelompok
H 0 : β1 = β 2 = K = β b = 0
H 1 : ∃β j ≠ 0 , j = 1, 2, K , b

(keragaman perlakuan berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)

• Hipotesis pengaruh kelompok
H 0 : σ β2 = 0 (keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

(kelompok tidak berpengaruh terhadap
respons yang diamati)

H 1 : σ β2 > 0

(keragaman kelompok berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)

7

Tabel Analisis Variansi
SV
e a ua
Perlakuan
Kelompok
Galat
Total

db
a
a-1
b-1
(a 1)(b 1)
(a-1)(b-1)
ab-1

JK
J
JKP
JKK
JKG
JKT

8

P hit
Perhitungan
A li i Variansi
Analisis
V i
i
KT
KTP
KTK
KTG

Fhitung
KTP/KTG
/ G
KTK/KTG

FK =

Y•2•
ab

b

JKK =

a

JKP =

∑Y
i =1

b

2
i•

− FK

∑Y

2
•j

j =1

a
a

− FK

b

JKT = ∑∑ Yij2 − FK
i =1 j =1

Kriteria Keputusan :
1. Ho ditolak jika Fhit > Fα(a-1, (a-1)(b-1))
2. Ho ditolak jika Fhit > Fα(b-1, (a-1)(b-1))

JKG = JKT − JKP − JKK

9

Soal 1

Efisiensi Relatif (ER) dari RAK terhadap RAL

•

€ Ukuran kebaikan RAK dengan RAL
ER =

(dbb + 1)(dbr + 3) σˆ r2
×
(dbb + 3)(dbr + 1) σˆ b2

σˆ r2 =

dbb = derajat
d j t bebas
b b galat
l t dari
d i RAK
dbr = derajat bebas galat dari RAL
σˆ b2 = ragam galat dari RAK (KTG dari RAK)
σˆ r2 = ragam galat dari RAL

σˆ b2 = KTG

(r − 1)KTK + r (t − 1)KTG
tr − 1

10

Suatu percobaan di bidang peternakan telah dilakukan untuk
mengetahui pengaruh berbagai campuran ransum makanan
terhadap pertambahan berat badan domba jantan selama
percobaan (diukur dalam kg). Hewan (domba) percobaan yang
tersedia berbeda umur,
umur karenanya dilakukan pengelompokan
menjadi 4 kelompok umur. Data pertambahan bobot badan dari 16
ekor domba jantan yang digunakan dalam percobaan adalah sbb.
Apa yang dapat anda
simpulkan? Gunakan
taraf nyata α = 0,05.

r = banyaknya
b
k
k l
kelompok
k
a = banyaknya perlakuan

€ Nilai ER = 2, maka untuk memperoleh sensitifitas RAL
sama dengan RAK maka ulangan yang digunakan
dengan RAL harus 2 kali dari ulangan (kelompok) RAK.
11

Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi.

12

Soal 2
Suatu
S
t percobaan
b
yang telah
t l h dilakukan
dil k k untuk
t k mengetahui
t h i pengaruh
h
berbagai suplemen makanan terhadap perkembangan kecerdasan
anak (diukur dengan pertambahan skor IQ).
IQ) Unit percobaan dalam
hal ini anak yang tersedia berbeda umur, karenanya dilakukan
pengelompokkan menjadi 4 kelompok umur. Berikut rata-rata
pertambahan kecerdasan anak untuk keempat suplemen adalah
Jenis Suplemen
A B C
D
Rata-rata pertambahan skor IQ
Q 7,5 1,5 5,75 7
Diasumsikan asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi. Kerjakanlah
A
Anava
b ik t dengan
berikut
d
cara melengkapi
l
k i Tabel
T b l Anava
A
b ik t
berikut:
Sumber Variasi db JK
KT
F hitung F tabel
Perlakuan
89,1875
Kelompok
4,7292
Galat
Total
111,9375

Soal 3
Suatu penelitian akan dilakukan untuk membandingkan pengaruh
jenis media pembelajaran yang digunakan guru terhadap hasil
belajar siswa kelas 2 SMA khusus untuk pokok bahasan peluang.
Jenis media yang dimaksudkan adalah cetak,
cetak audio,
audio visual dan
berbasis komputer. Untuk keperluan tersebut telah dipilih secara
p
awal
acak 12 kelas, namun setelah dilakukan tes kemampuan
ternyata kelas-kelas tersebut dapat digolongkan menjadi 3
kelompok (kategori kemampuan awal rendah, kategori kemampuan
awall sedang,
d
k t
kategori
i kemampuan
k
awall tinggi).
ti
i) Masing-masing
M i
i
kelompok mendapatkan perlakuan 4 jenis media tersebut. Setelah
pembelajaran selesai,
selesai semua kelas mendapat tes dengan soal dan
waktu yang sama. Berikut adalah data tentang rata-rata nilai tes
siswa dari keduabelas kelas yang digunakan dalam penelitian.

Lakukan pengujian hipotesis sesuai dengan yang dimaksud gunakan
Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi.
α = 0,05 dalam menyimpulkannya.

Tests of Between-Subjects Effects

Kategori kelas
kemampuan
awal
Rendah
Sedang
g
Tinggi
Jumlah

Jenis Media
Cetak
8,1
8,9
,
7,7
24,7

Audio
6,5
6,8
,
5,9
19,2

Visual
7,4
6
5,9
19,3

Dependent Variable: bobot_badan
bobot badan

Berbasis
Komputer
8,4
7,4
,
9,4
25,2

Apa
p saja
j yyang
g dapat
p Anda simpulkan
p
dari data di atas?
Gunakan α = 0,05.

Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi.

Source
C
Corrected
t dM
Model
d l
Intercept
kelompok
perlakuan
Error
Total
Corrected Total

Type III Sum
of Squares
103 375a
103.375
473.063
14.188
89.187
8.563
585 000
585.000
111.937

df
6
1
3
3
9
16
15

Mean Square
17 229
17.229
473.063
4.729
29.729
.951

a. R Squared = .924 (Adjusted R Squared = .873)

F
18.109
18
109
497.234
4.971
31.248

Sig.
.000
000
.000
.026
.000

Latar Belakang
Keheterogenan unit percobaan tidak bisa dikendalikan
hanya dengan pengelompokkan satu sisi keragaman.
keragaman

Kelebihan

Rancangan Bujur Sangkar Latin
(RBSL)
Latin Square Design

Mampu mengendalikan komponen keragaman unit-unit
p
percobaan dari dua arah ((arah baris dan arah kolom))

Kekurangan
RBSL tidak efektif bila percobaan melibatkan perlakuan
dalam jjumlah besar

Syarat RBSL
y Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom
y Pengacakan,
g
, setiap
pp
perlakuan harus muncul sekali di setiap
p

baris dan sekali di setiap kolom

Pengacakan
g
dan Bagan
g Percobaan

• Penempatan
P
t
perlakuan (searah
diagonal)
1 A D C B

y Pengacakan
P
k

Tabulasi Data

y Pengacakan
P
k

penempatan kolom

penempatan baris

3 B D C A

3 C B A D

2 B A D C

2 B A D C

2 A C B D

3 C B A D

4 D C B A

4 C A D B

4 D C B A

1 A D C B

1 D B A C

1 2 3 4

2 4 1 3
Hasil Akhir
Pengacakan
( Bagan Percobaan
Percobaan))

Model Linier Aditif dari RBSL

Yijk = μ + α i + β j + τ k + ε ijk

i = 1, 2, K , r
j = 1, 2, K , r

dengan

k = 1, 2, K , r

ε ijk ~ N (0, σ 2 )
iid

Yijk : pengamatan pada perlakuan ke-k dalam baris ke-i kolom ke-j
μ : rataan umum
αi : pengaruh baris ke-i
βj : pengaruh kolom ke-j
τk : pengaruh perlakuan ke-k
εijk : pengaruh acak pada perlakuan ke-k dalam baris ke-i dan kolom ke-j
r

Asumsi untuk model tetap ialah

∑α
i =1

iid

i

=0

r

∑β
j =1

(

2
Asumsi untuk model acak ialah α i ~ N 0, σ α

)

j

=0

r

∑τ
k =1

β j ~ N (0, σ β2 )
iid

k

=0

Kolom

K1

Baris
B1

K2

B

D

A

B3

C

B4

D

Y124
C
Y223
A

Y232

Y321
B

Y141

Y1• •

Y244

Y2• •

Y342

Y3• •

D

D

Y313

Jumlah

A
Y133

B

Y211

Jumlah

K4

C

Y112
B2

K3

B
Y334

A

C

Y414

Y422

Y431

Y443

Y4• •

Y• 1•

Y• 2•

Y• 3•

Y• 4•

Y• • •

Hipotesis Model Tetap
Hipotesis pengaruh perlakuan

H 0 :τ1 = τ 2 = K = τ r = 0
H 1 : ∃τ k ≠ 0 , k = 1, 2, K , r

((perlakuan
l k
tidak
id k b
berpengaruh
h terhadap
h d
respons yang diamati)

Hipotesis pengaruh baris

H 0 : α1 = α 2 = K = α r = 0
H 1 : ∃α i ≠ 0 , i = 1, 2, K , r

(baris tidak berpengaruh terhadap
respons yang diamati)

Hipotesis pengaruh kolom

H 0 : β1 = β 2 = K = β r = 0
H 1 : ∃β j ≠ 0 , j = 1, 2, K , r

(kolom tidak berpengaruh terhadap
respons yang diamati)

τ k ~ N (0, σ τ2 )
iid

6

Hipotesis
po es s Model
ode Acak
ca

Tabel Analisis Variansi

Hipotesis pengaruh perlakuan

SV

db

JK

KT

Fhitung

H 0 : σ τ2 = 0

(keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

Perlakuan

rr-1
1

JKP

KTP

KTP/ KTG

H 1 : σ τ2 > 0

(keragaman perlakuan berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)

Baris

r-1

JKB

KTB

KTB/ KTG

Kolom

r 1
r-1

JKK

KTK

KTK/ KTG

Galat

(r-1)(r-2)

JKG

KTG

Total

r 2-1

JKT

Hi t i pengaruh
Hipotesis
h baris
b i

H 0 : σ α2 = 0

(k
(keragaman
b
baris
i tid
tidakk berpengaruh
b
h terhadap
t h d respons yang di
diamati)
ti)

H 1 : σ α2 > 0

(keragaman baris berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)

Hipotesis pengaruh kelompok

H0 :σ β = 0

Kriteria Keputusan :
1, 2, 3. Ho ditolak jika Fhit > Fα(r(r-1,
1, (r
(r-1)(r-2))
1)(r 2))

2

H1 : σ β > 0
2

(keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
(keragaman kelompok berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)

7

Soal 1

Perhitungan Analisis Variansi
FK =

2
•••
2

JKK =

r

JKP =

∑Y

2
•• k

k =1

r

− FK

∑ Yi•2•
i =1

r

∑Y

2
• j•

j =1

− FK

r
r

r

r

JKT = ∑∑∑ Yijk2 − FK
i =1 j =1 k =1

r

JKB =

Jurusan Pendidikan Matematika di sebuah universitas besar bermaksud
mengevaluasi
kemampuan
mengajar
4
profesornya.
Untuk
menghilangkan pengaruh yang diakibatkan oleh mata kuliah yang
berlainan dan waktu mengajar yang tidak sama maka dilakukan
kl ifik i keragaman
klasifikasi
k
d i dua
dari
d
arah.
h Setiap
S ti
profesor
f
mengajar
j 4 kelas:
k l
Aljabar, Geometri, Statistika dan Kalkulus, masing-masing pada 4
waktu berbeda. Data berikut adalah nilai yang diberikan oleh keempat
profesor A, B, C, dan D pada 16 mahasiswa yang mempunyai
kemampuan kira-kira sama.

r

Y
r

8

− FK

Anggap asumsi-asumsi dalam
Anava terpenuhi
A
p

JKG = JKT − JKP − JKB − JKK

Analisislah data diatas sesuai maksud penelitiannya! Gunakan taraf
nyata α = 0,05.
9

Soal 3

Soal 2
Sebuah penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh posisi tempat
duduk siswa terhadap nilai hasil ujian pada sebuah kelas. Keragaman nilai hasil
ujian siswa dapat disebabkan diantaranya oleh tingkat kemampuan intelegensi
siswa dan waktu ujian yang berbeda sehingga dilakukan klasifikasi keragaman dari
dua arah. Tingkat kemampuan intelegensi siswa diukur dengan skor I Q yang
selanjutnya dapat digolongkan menjadi tingkatan kemampuan rendah,
rendah sedang dan
tinggi. Waktu ujian yang dipilih adalah pagi (jam 7.00-9.00), siang (11.00-13.00)
dan sore (15.00-17.00). Posisi tempat duduk yang dicobakan adalah depan,
tengah, belakang. Untuk keperluan penelitian tersebut dipilih 9 siswa yang
mewakili tiga golongan tingkat kemampuan intelegensi dan tiga kelompok waktu
ujian.
j
Berikut rata-rata nilai hasil ujian
j
untuk ketiga
g p
posisi tempat
p duduk.

Sumber
Derajat Jumlah Kuadrat
V i i
Variasi
b b
bebas
Kuadrat
K
d t Tengah
T
h
Perlakuan
4,634
Kemampuan
p
1,642
,
Waktu
0,188
Galat
T t l
Total
11 722
11,722

Analisislah data diatas sesuai
maksud penelitiannya! Gunakan
taraf nyata α = 0,05.

Anggap asumsi-asumsi dalam
Anava terpenuhi
A
p

Suatu
S
t percobaan
b
t l h dilakukan
telah
dil k k
untuk
t k membandingkan
b di k
k lit empatt
kualitas
jenis pemutih wajah keluaran terbaru yaitu A, B, C dan D. Pemutih
wajah
j
diujicobakan
j
pada wanita dengan
p
g
tipe
p kulit wajah
j
berbeda
(normal, kering, berminyak dan sensitif) dan waktu penggunaan yang
berbeda (pagi, siang, sore, dan malam). Data yang diperoleh berupa
d t tingkat
data
ti k t keberhasilan
k b h il obat
b t pemutih
tih dengan
d
skala
k l 1-50.
1 50
Perlakuan

Y..k

Tipe Kulit Wajah

Yi..

A
B
C
D

140
142
160
113

Normal
Kering
Berminyak
Sensitif

105
169
143
138

Waktu
Penggunaan
P
Pagi
Siang
Sore
Malam

Y.j.
135
147
149
124

Diketahui : 122 + 342 + … + 452 + 122 = 21143
a)

Tentukan rancangan apa yang sesuai dengan penelitian yang
dimaksud.

b) Lakukan pengujian hipotesis yang dimaksud dengan taraf nyata
0,05(Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi).

Beda
d Nyata Terkecil
k il ( BNT))
Least Significant
g f
Difference
ff
(LSD)

Uji
j Lanjut
j Setelah Anava
( Perbandingan Rata
Rata-- rata Perlakuan)
Perlakuan)

Uji lanjut ini hanya berlaku
untuk pengujian model tetap
bila hipotesis nol pengaruh perlakuan ditolak
Dosen Pengampu : Kismiantini
Kismiantini,, M.Si
M.Si..

H1 : μi ≠ μi’

• Taraf nyata : α
• Statistik Uji : BNT = t α
2

⎛1 1⎞
sYi • −Yi '• = KTG ⎜⎜ + ⎟⎟
⎝ ri ri ' ⎠

( db ( G ) )

sYi • −Yi '•

• Kriteria Keputusan : Yi• − Yi '• > BNT
maka H1 diterima (kedua perlakuan
b b d )
berbeda)

Beda
d Nyata Jujur
j ( BNJ))
Honest Significant
g f
Difference
ff
(Tukeyy test)

Uji
ji Perbandingan
b di
Berganda
d Duncan
Duncan Multiple
p Range
g Test (DMRT)

• Hipotesis
H0 : μi = μi’

• Hipotesis
H0 : μi = μi’

H1 : μi ≠ μi’

• Taraf nyata
y
: α
• Statistik Uji : BNJ = qα (a ,db ( g ) ) sY

sY = KTG r
rh =

a
a

∑1 r

i

i =1

ulangan
l
sama

ulangan tidak sama
sama, ganti r dengan rh
a menyatakan banyaknya perlakuan

• K
Kriteria
i i Keputusan
K
: Yi• − Yi '• > BNJ
maka H1 diterima (kedua perlakuan
berbeda)

Perhatikan Kasus RAL berikut!
Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh persentase kandungan
paracetamol dalam obat penurun panas terhadap waktu yang diperlukan untuk
menurunkan panas dari 39° menjadi 37°. Untuk keperluan ini telah dipilih secara acak
25 penderita sakit panas dengan suhu 39° dari usia yang hampir sama dan tanpa
keluhan sakit yang lain.
lain Keduapuluh lima pasien tersebut dibagi secara acak menjadi 5
kelompok dan masing-masing kelompok yang terdiri dari 5 orang tersebut diberi obat
penurun panas dengan persentase kandungan paracetamol tertentu. Berikut data
tentang waktu (dalam jam) yang diperlukan oleh para pasien tersebut sampai dengan
panas badan mereka turun menjadi 37 °.
KADAR PARACETAMOL

5

• Hipotesis
H0 : μi = μi’

40%

50%

60%

75%

90%

7

9

5

3

2

6

7

4

5

3

9

8

8

2

4

4

6

6

3

1

7

9

3

7

4

Lakukan uji lanjut setelah
Anava bila hipotesis nol
pengaruh perlakuan
ditolak? Gunakan taraf
nyata 0,05.

H1 : μi ≠ μi’

rp

• Taraf nyata
y
: α
• Statistik Uji : R p = rα ( p ,db ( g ) ) sY

sY = KTG r
rh =

a
a

∑1 r
i =1

i

p = 2, 3, K , a

ulangan
l
sama

ulangan tidak sama
sama, ganti r dengan rh
a menyatakan banyaknya perlakuan

• K
Kriteria
i i Keputusan
K
: Yi• − Yi '• > Rp maka
k
H1 diterima (kedua perlakuan berbeda)

Uji lanjut dengan BNT
• Hipotesis
H0 : μi = μi’
H1 : μi ≠ μi’,
i’ i ≠ i’,
i’ i = 1,
1 22, 3,
3 4,
4 5
• Taraf nyata : α = 0,05
• Statistik Uji :

BNT = t α
2

• Kriteria Keputusan :

( db ( G ) )

⎛1 1⎞
KTG ⎜⎜ + ⎟⎟
⎝ ri ri ' ⎠

t 0,025(20) = 2,086

⎛1 1⎞
BNT = 2,086 2,880⎜ + ⎟ = 2,2389
⎝5 5⎠

H0 ditolak jika Yi• − Yi '• > 2,2389

• Hitungan:
Y1• − Y2• = 1,2

Y2• − Y5• = 5∗

Y1• − Y3• = 1,4
Y1• − Y4• = 2,6 ∗
Y1• − Y5• = 3,8

Uji lanjut dengan BNJ

Y2• − Y4• = 3,8∗
Tanda * menunjukkan
hasil nyata/signifikan

• Hipotesis
H0 : μi = μi’
H1 : μi ≠ μi’, i ≠ i’, i = 1, 2, 3, 4, 5
• Taraf nyata : α =0,05
• Statistik Uji :

Y3• − Y4• = 1,2

∗

Y3• − Y5• = 2,4 ∗

Y2• − Y3• = 2,6 ∗

Y4• − Y5• = 1,2

BNJ = qα (a ,db ( g ) )

• Kesimpulan
μ1=μ2, μ1=μ3, μ3=μ4, μ4=μ5
μ1≠μ4, μ1≠μ5, μ2≠μ5, μ2≠μ3, μ2≠μ4, μ3≠μ5
Y5•

Y4•

2,8

4

Y3•

Y1•

Y2•

Y2• − Y5• = 5∗

Y1• − Y4• = 2,6

Y3• − Y4• = 1,2

Y1• − Y5• = 3,8∗

Y3• − Y5• = 2,4

Y2• − Y3• = 2,6

Y4• − Y5• = 1,2

Tanda * menunjukkan
hasil nyata/signifikan

Y4•

2,8

4

Y3•

Y1•

Y2•

5,2 6,6 7,8

• Hitungan
g :

Y5• Y4•
2,8 4

Y2• − Y5• = 5 > 2,47 (R5 )

∗

Y2• − Y4• = 3,8 > 2,41 (R4 )

∗

Y1• − Y5• = 3,8 > 2,41 (R4 )

Uji Lanjut
L j t dengan
d
DMRT
• Hipotesis
H0 : μi = μi’
H1 : μi ≠ μi’, i ≠ i’, i = 1, 2, 3, 4, 5
• Taraf nyata : α = 0,05
0 05
• Statistik Uji :

KTG
r
• Kriteria Keputusan : H0 ditolak jika Yi• − Yi '• > Rp

• Kesimpulan
μ1=μ2=μ3, μ3=μ4=μ5, μ1=μ3=μ4
μ1≠μ5, μ2≠μ5, μ2≠μ4
Y5•

H0 ditolak jika Yi• − Yi '• > 3,2179

Y2• − Y4• = 3,8∗

Y1• − Y3• = 1,4

Y3• Y1• Y2•
5,2 6,6 7,8

R p = rp

Lihat di tabel DMRT

p

2

3

4

5

rp

2,95

3,10

3,18

3,25

Rp

2,24

2,35

2,41

2,47

• Kesimpulan
μ1=μ2, μ1=μ3, μ3=μ4, μ4=μ5
μ1≠μ4, μ1≠μ5, μ2≠μ5, μ2≠μ3, μ2≠μ4, μ3≠μ5

∗

Y5•

Y4•

Y2• − Y3• = 2,6 > 2,35 (R3 )

2,8

4

∗

q0,05(5,20) = 4,24

2,880
= 3,2179
5

BNJ = 4,24

Garis tersebut melambangkan
memiliki rata
rata--rata sama (tidak
b b d secara nyata
berbeda
nyata)
t )

5,2 6,6 7,8

• Hitungan:
Y1• − Y2• = 1,2

• Kriteria Keputusan :

KTG
r

Y3•

Y1•

Y2•

5,2 6,6 7,8

Y1• − Y4• = 2,6 > 2,35 (R3 )

∗

Y3• − Y5• = 2,4 > 2,35 (R3 )

∗

Y2• − Y1• = 1,2 < 2,24 (R2 )
Y1• − Y3• = 1,4 < 2,24 (R2 )

Y3• − Y4• = 1,2 < 2,24 (R2 )

Y4• − Y5• = 1,2 < 2,24 (R2 )

Untuk kasus ini
ini,, uji DMRT dan uji BNT memberikan
k i
kesimpulan
l yang sama

Asum sisi - asum si dalam Anava

Asu
A m sisii - a su m sii da
d lla m
An a lisis Va r ia n si

• Galat percobaan memiliki ragam yang homogen
• Galat percobaan saling bebas
• Galat percobaan menyebar normal

Dosen Pengampu
Pengampu:: Kismiantini,
Kismiantini, M.Si.
M.Si.

2

1. Penguj ian Kehom ogenan Ragam
Uj i Bart let t ( 1937)

2. Melihat kebebasan galat sat u dengan
yang lainnya

• Hipotesis:
p
H0: σ12= σ22= … = σa2 

• Untuk melihat keacakan galat percobaan dibuat plot antara nilai
dugaan galat (eij) dengan nilai dugaan respons (Yˆ )
ij

(Ragam semua perlakuan sama)

H1: ∃ σi2≠ σi’2, i ≠ i’, i=1,2,…,a
• Taraf nyata: α

• Apabila plot yang dibuat diperoleh bahwa titik-titik
titik titik amatan
(sisaan) berfluktuasi secara acak di sekitar nol maka dapat
dikatakan bahwa galat percobaan saling bebas.

(Minimal ada satu perlakuan yang
ragamnya tidak sama dengan yang lain)

• Statistik Uji:  χ2 = (ln 10){[Σ(ri‐1)]log(s2) ‐ Σ(ri‐1)log(si2)}
s2 = [Σ(ri‐1) si2]/[Σ(ri‐1)]

⎤ s2 =
⎡ 1 ⎤⎡ ⎛ 1 ⎞
1
⎟⎟ −
FK = 1 + ⎢
⎥ i
⎥ ⎢∑ ⎜⎜
⎣ 3(a − 1) ⎦ ⎣⎢ ⎝ ri − 1 ⎠ ∑ (ri − 1) ⎦⎥

∑ (Y

ij

− Yi• )

2

j

ri − 1

ri ∑ Yij2 − (∑ Yi• )

2

=

ri (ri − 1)

• Kriteria Keputusan: 

H0 ditolak jika χ2terkoreksi =(1/FK)χ2hit > χ2α(a‐1)
Plot nilai dugaan galat dengan nilai dugaan respons juga dapat untuk melihat
h kehomogenan
h
ragam galat
(titik-titik amatan (sisaan) tidak membentuk suatu pola tertentu )

3

4

Model RAL
iid

(

Yij = μ + τ i + ε ij , ε ij ~ N 0, σ 2
E (Yij ) = μ + τ i akan diduga oleh

Model RAKL

)

iid

E (Yij ) = μ + τ i + β j

)

akan diduga oleh

Yˆij = μˆ + τˆi

Yˆij = μˆ + τˆi + βˆ j

Sehingga galat (εij) akan diduga oleh sisaan (eij)

Sehingga galat (εij) akan diduga oleh sisaan (eij)

= Y•• + (Yi• − Y•• ) + (Y• j − Y•• ) = Yi• + Y• j − Y••

= Y•• + (Yi• − Y•• ) = Yi•

eij = Yij − Yˆij = Yij − Yi• − Y• j + Y••

eij = Yij − Yˆij = Yij − Yi•

5

(

Yij = μ + τ i + β j + ε ij , ε ij ~ N 0, σ 2

6

Model RBSL
iid

3.
3 Melihat kenorm alan galat

(

Yijk = μ + α i + β j + τ k + ε ijk , ε ijk ~ N 0, σ 2

E (Yijk ) = μ + α i + β j + τ k

)

• Secara visual kenormalan g
galat dapat
p dilihat dari
plot peluang normal (plot kuantil-kuantil atau plot
Q-Q). Bila titik-titik amatan mengikuti arah garis
di
diagonal
l maka
k galat
l t menyebar
b normal.
l

akan diduga oleh

Yˆijk = μˆ + αˆ i + βˆ j + τˆk

= Y••• + (Yi•• − Y••• ) + (Y• j • − Y••• ) + (Y•• k − Y••• ) = Yi•• + Y• j • + Y•• k − 2Y••

Sehingga galat (εijk) akan diduga oleh sisaan (eijk)

eijk = Yijk − Yˆijk = Yijk − Yi•• − Y• j • − Y•• k + 2Y•••
• Uji formal untuk menguji apakah suatu data
menyebar normal adalah uji Lilliefors
7

8

Plot p
peluang
g norm al

Uj i Lilliefors

• Plot peluang normal bagi sisaan yaitu ei versus hi
KTG = JKG / db(G )
⎡ ⎛ i − 0,375 ⎞⎤
hi = KTG ⎢ z ⎜
⎟⎥
⎣ ⎝ n + 0,25 ⎠⎦
hi adalah nilai harapan di bawah asumsi kenormalan
• Sisaan
S
diurutkan dari kecil ke besar

z=

ei

Gambar disamping
menunjukkan bahwa galat
menyebar normal
karena titik-titik amatan
(sisaan) mengikuti arah
garis diagonal.

Yi − Y
sY

S ( zi ) =

banyaknya z1 , z 2 ,..., z n yang ≤ zi
n

hi
10

9

I lu st r a si:
si : Misalkan diket ahui dat a sam pel sbb 23, 27,

y Hipotesis:

33, 40,
33
40 48,
48 48,57,59,62,
48 57 59 62 68,69,70.
68 69 70 Uj ilah
il h apakah
k h dat
d ta
sam pel ini berasal dari populasi berdist ribusi norm al.

H0: Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal

Y = 50,3; sY = 16,55; n = 12

11

H1: Sampel berasal dari populasi tidak berdistribusi normal

Yi

zi

F(zi)

S(zi)

|F(zi)- S(zi)|

23
27
33
40
48
48
57
59
62
68
69
70

-1,65
-1,41
1,41
-1,05
-0,62
-0,14
0 14
-0,14
0,40
0,53
0,71
1 07
1,07
1,13
1,19

0,0495
0,0793
0,1469
0,2676
0 4443
0,4443
0,4443
0,6554
0,7019
0,7611
0 8577
0,8577
0,8708
0,8830

0,0833
0,1667
0,2500
0,3333
0 5000
0,5000
0,5000
0,5833
0,6667
0,7500
0 8333
0,8333
0,9167
1

0,0338
0,0874
0,1031
0,0657
0 0557
0,0557
0,0557
0,0721
0,0352
0,0111
0 0244
0,0244
0,0459
0,1170

y Taraf nyata: α = 0,05
y Statistik Uji: L0
Kriteria Keputusan: L0,05(12) = 0,242
H0 ditolak jika L0 > 0,242

L0 = 0 ,,1170
7

y Hitungan : L0 = 0,1170
y Kesimpulan:
Karena L0 = 0,1170
0 1170 < 0
0,242
242 maka H0 diterima.
diterima Jadi dengan
taraf nyata 0,05 dapat disimpulkan bahwa sampel berasal
dari populasi berdistribusi normal.
12

Soal 1 ( RAL)
Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh persentase kandungan
paracetamol dalam obat penurun panas terhadap waktu yang diperlukan untuk
menurunkan panas dari 39° menjadi 37°. Untuk keperluan ini telah dipilih secara acak
25 penderita sakit panas dengan suhu 39° dari usia yang hampir sama dan tanpa
keluhan sakit yang lain. Keduapuluh lima pasien tersebut dibagi secara acak menjadi 5
kelompok dan masing-masing kelompok yang terdiri dari 5 orang tersebut diberi obat
penurun panas dengan
d
persentase
t
k d
kandungan
paracetamol
t
l tertentu.
t t t Berikut
B ik t data
d t
tentang waktu (dalam jam) yang diperlukan oleh para pasien tersebut sampai dengan
panas badan mereka turun menjadi 37 °.
KADAR PARACETAMOL

13

40%

50%

60%

75%

90%

7

9

5

3

2

6

7

4

5

3

9

8

8

2

4

4

6

6

3

1

7

9

3

7

4

Periksalah apakah asumsiasumsi dalam Anava
terpenuhi? Gunakan taraf
nyata 0,05 bila diperlukan.

14

Soal 2 ( RAL)

Soal 3 ( RAKL)

Tiga kelas kuliah matematika dasar diberikan oleh tiga
dosen (A, B, C). Usia dan prestasi mahasiswa dari
g kelas tersebut relatif homogen.
g
Materi kuliah,,
ketiga
ujian, metode mengajar, dan media yang digunakan
sama. Karakteristik dosen juga relatif sama. Nilai
akhirnya
khi
t
tercatat
t t sebagai
b
i berikut.
b ik t
A

73 89,
73,
89 82,
82 43,
43 80,
80 73,
73 66,
66 60,
60 45,
45 93,
93 36,
36 77

B

88, 78, 48, 91, 51, 85, 74, 77, 31, 78, 62, 76, 96, 80, 56

C

68 79,
68,
79 56,
56 91,
91 71,
71 71,
71 87,
87 41,
41 59,
59 68,
68 53,
53 79,
79 15

• Suatu percobaan di bidang peternakan telah dilakukan untuk
mengetahui pengaruh berbagai campuran ransum makanan
terhadap pertambahan berat badan domba jantan selama percobaan
(di k dalam
(diukur
d l
k ) Hewan
kg).
H
(d b ) percobaan
(domba)
b
yang tersedia
t
di berbeda
b b d
umur, karenanya dilakukan pengelompokan menjadi 4 kelompok
umur. Data p
pertambahan bobot badan dari 16 ekor domba jjantan
yang digunakan dalam percobaan adalah sbb.
Periksalah apakah asumsiasumsiasumsi terpenuhi
terpenuhi?
? Gunakan
taraf nyata 0
0,05
05 bila
diperlukan..
diperlukan

Periksalah apakah
p
asumsi-asumsi terpenuhi?
p
Gunakan
taraf nyata 0,05 bila diperlukan.

15

16

Soal 4 ( RBSL)

Jawab Soal 1

Jurusan Pendidikan Matematika di sebuah universitas besar
bermaksud mengevaluasi kemampuan mengajar 4 profesornya. Untuk
menghilangkan pengaruh yang diakibatkan oleh mata kuliah yang
berlainan dan waktu mengajar yang tidak sama maka dilakukan
klasifikasi keragaman dari dua arah. Setiap profesor mengajar 4 kelas:
Aljabar, Geometri, Statistika dan Kalkulus, masing-masing pada 4
waktu berbeda.
berbeda Data berikut adalah nilai yang diberikan oleh keempat
profesor A, B, C, dan D pada 16 mahasiswa yang mempunyai
kemampuan kira-kira sama.
Periksalah apakah asumsiasumsi terpenuhi?
Gunakan taraf nyata 0,05
bila diperlukan.

Source
perlakuan
p
Error
Total
S = 1.697

17

18

DF
4
20
24

SS
79.44
57.60
137.04

MS
19.86
2.88

R-Sq = 57.97%

F
6.90

P
0.001

R-Sq(adj) = 49.56%

Jawab Soal 2

Source
perlakuan
Error
Total
S = 18.99

DF
2
37
39

SS
335
13350
13685

MS
168
361

R-Sq = 2.45%

F
0
0.46
46

Jawab Soal 3

P
0
0.632
632

Analysis of Variance for bobot badan, using Adjusted SS for Tests
Source
kelompok
jenis ransum
Error
Total

R-Sq(adj) = 0.00%

19

20

Jawab Soal 4

Analysis of Variance for nilai, using Adjusted SS for Tests
Source
waktu
mata kuliah
profesor
Error
Total
21

DF
3
3
3
6
15

Seq SS
474.50
252.50
723
723.50
50
287.50
1738.00

Adj SS
474.50
252.50
723 50
723.50
287.50

Adj MS
158.17
84.17
241 17
241.17
47.92

F
3.30
1.76
5
5.03
03

P
0.099
0.255
0
0.045
045

DF
3
3
9
15

Seq SS
14.188
89.187
8.562
111.937

Adj SS
14.187
89.187
8.562

Adj MS
4.729
29.729
0.951

F
4.97
31.25

P
0.026
0.000

Percobaan Faktorial
PERCOBAAN DUA FAKTOR

• Ci
Cirii : perlakuan
l k
merupakan
k kombinasi
k bi
i dari
d i semua
kemungkinan kombinasi dari taraf-taraf dua faktor atau
l bih
lebih.

• Percobaan Faktorial

• Keuntungan adalah mampu mendeteksi respons dari
1.Taraf masing-masing
g
g faktor (p
(pengaruh
g
utama))
2.Interaksi antara dua faktor (pengaruh interaksi)
• Bila sudah ada dugaan kuat (ada literatur) bahwa faktor
A dan faktor B tidak ada interaksi maka tidak perlu
menggunakan rancangan faktorial.
2

1

Plot interaksi antara faktor A dengan
g faktor B

Pengar h Interaksi
Pengaruh
Interaksi nyata/signifikan maka
a.uji pada pengaruh utama tidak bermakna
b pengaruh faktor A dan B tidak saling
b.pengaruh
bebas

3

4

P
Percobaan
b
D
Dua Faktor
F kt dalam
d l
RAL
• Latar Belakang : unit percobaan yang digunakan relatif
homogen

Faktorial RAL

• Misal ada dua faktor (A dan B)
Faktor A mempunyai 3 taraf (A1, A2, A3)
Faktor B mempunyai 2 taraf (B1, B2)
Maka kombinasi perlakuan ada 3 × 2 = 6
(A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2)
Ulangan ada sebanyak 3
Maka unit percobaan yang diperlukan 3 × 2 × 3 = 18.
6

Tab lasi Data
Tabulasi

B
Bagan
Percobaan
P
b
d
dan C
Cara P
Pengacakan
k
1

2

3

4

5

Ulangan

6
A1B1

7

8

9

10

A1

A2

A3

1

Y111

Y211

Y311

2

Y112

Y212 Y312

3

Y113

Y213 Y313

Total

Y11•

Y21•

B1

11

12

A1B1
13

14

15

16

17

18
A1B1
B2

Cara mengacak, misalkan A1B1 akan diletakkan pada 3
nomor kocokan pertama yaitu pada tempat 5, 9 dan 18,
dan seterusnya.

Total

Y31•

Y•1•

1

Y121 Y221 Y321

2

Y122 Y222 Y322

3
Total
Total

Y123 Y223 Y323
Y12•

Y22•

Y32•

Y•2•

Y1••

Y2••

Y3••

Y•••

7

Model Linier Aditif dari Faktorial RAL

M d lT
Model
Tetap
t (F
(Faktor
kt A dan
d B tetap)
t t )

i = 1, 2, K , a

Yijk = μ + α i + β j + (αβ )ij + ε ijk

dengan

j = 1, 2, K , b
k = 1, 2, K , r

ε ijk ~ N (0, σ 2 )
Yijk : pengamatan pada faktor A taraf ke-i, faktor B taraf ke-j dan ulangan ke-k
μ : rataan
t
umum
αi : pengaruh utama faktor A taraf ke-i
βj : pengaruh utama faktor B taraf ke
ke-jj
(αβ)ij : pengaruh interaksi dari faktor A taraf ke-i dan faktor B taraf ke-j
εijk : pengaruh acak pada faktor A taraf ke-i, faktor B taraf ke-j dan ulangan ke-k

∑α
i =1

i

b

a

b

j =1

i =1

j =1

Sumber
Keragaman

Derajat
Bebas
(db)

Jumlah Kuadrat
Kuadrat Tengah
(JK)
(KT)

Nilai Harapan Kuadrat Tengah
E(KT)

A

a-1

JKA

σ2 +r

iid

B
AB

Asumsi untuk model tetap ialah
a

8

= 0, ∑ β j = 0, ∑ (αβ )ij = ∑ (αβ )ij = 0

b-1
(a-1)(b-1)

JKB
JKAB

G l t
Galat

ab(r-1)
b( 1)

JKG

Total

abr-1
abr
1

JKT

KTA
KTB
KTAB
KTG

σ2 +r
σ2 +r

∑∑ αβ

2
ij

(a − 1)(b − 1)

∑∑ αβ

2
ij

(a − 1)(b − 1)

∑∑ αβ

+ br
+ ar

∑α

2
i

∑β

2
j

(a − 1)
(b − 1)

2
ij

(a − 1)(b − 1)

σ2

Asumsi untuk model acak ialah
2
)
α i ~ N (0, σ α2 ), β j ~ N (0, σ β2 ), (αβ )ij ~ N (0, σ αβ
iid

iid

iid

10

9

M d lA
Model
Acak
k (F
(Faktor
kt A d
dan B acak)
k)

M d lC
Model
Campuran (F
(Faktor
kt A acak
kd
dan B ttetap)
t )

Sumber
Keragaman

Derajat
Bebas
(db)

Jumlah Kuadrat
Kuadrat Tengah
(JK)
(KT)

Nilai Harapan Kuadrat Tengah
E(KT)

Sumber
Keragaman

Derajat
Bebas
(db)

Jumlah Kuadrat
Kuadrat Tengah
(JK)
(KT)

A

a-1

JKA

KTA

2
σ 2 + rσ αβ
+ brσ α2

A

a-1

JKA

KTA

B

b-1

JKB

KTB

2
σ 2 + rσ αβ
+ arσ β2

B

b-1

JKB

KTB

2
σ 2 + rσ αβ

AB

(a-1)(b-1)

JKAB

KTAB

G l t
Galat

ab(r-1)
b( 1)

JKG

KTG

Total

abr-1
abr
1

JKT

AB

(a-1)(b-1)

JKAB

KTAB

G l t
Galat

ab(r-1)
b( 1)

JKG

KTG

Total

abr-1
abr
1

JKT

σ2

11

Nilai Harapan Kuadrat Tengah
E(KT)
2
σ 2 + rσ αβ
+ brσ α2

2
+ ar
σ 2 + rσ αβ

∑β

2
j

(b − 1)

2
σ 2 + rσ αβ

σ2

12

M d lC
Model
Campuran (F
(Faktor
kt A ttetap
t dan
d B acak)
k)
Sumber
Keragaman

Derajat
Bebas
(db)

Jumlah Kuadrat
Kuadrat Tengah
(JK)
(KT)

Nilai Harapan Kuadrat Tengah
E(KT)

A

a-1

JKA

KTA

B

b-1

JKB

KTB

2
σ 2 + rσ αβ
+ arσ β2

AB

(a-1)(b-1)

JKAB

KTAB

2
σ 2 + rσ αβ

G l t
Galat

ab(r-1)
b( 1)

JKG

KTG

Total

abr-1
abr
1

JKT

2
σ 2 + rσ αβ
+ br

∑α

Hi t i M
Hipotesis
Model
d lT
Tetap
t (F
(Faktor
kt A d
dan B ttetap)
t )
• Hipotesis pengaruh utama faktor A

H 0 : α 1 = α 2 = K = α a = 0 (faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

H 1 : ∃α i ≠ 0 , i = 1, 2, K , a

2
i

(a − 1)

(faktor A berpengaruh terhadap respons yang diamati)

• Hipotesis pengaruh utama faktor B
H 0 : β1 = β 2 = K = β b = 0 (faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)
H 1 : ∃β j ≠ 0 , j = 1, 2, K , b

(faktor B berpengaruh terhadap respons yang diamati)

• Hipotesis pengaruh interaksi
H 0 : (αβ )11 = (αβ )12 = K = (αβ )abb = 0
H 1 : ∃(αβ )ij ≠ 0 , i = 1, 2, K , a, j = 1, 2, K , b

σ2

(Interaksi faktor A dengan faktor B
tidak berpengaruh terhadap
respons yang diamati)
(Interaksi faktor A dengan faktor B
berpengaruh terhadap respons
yang diamati)
14

13

Hi t i M
Hipotesis
Model
d lA
Acak
k (F
(Faktor
kt A d
dan B acak)
k)
• Hipotesis pengaruh utama faktor A
H0 :σα = 0
2

• Hipotesis pengaruh utama faktor A

(Keragaman faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

H 1 : σ α > 0 (Keragaman faktor A berpengaruh positif
2

terhadap respons yang diamati)

• Hipotesis pengaruh utama faktor B
H0 :σ β =
2

Hi t i Model
Hipotesis
M d l Campuran
C
(Faktor
(F kt A acak
k d
dan B ttetap)
t )

H 0 : σ α2 = 0

(Keragaman faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

H1 : σ α > 0

(Keragaman faktor A berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)

2

• Hipotesis pengaruh utama faktor B

0 (Keragaman faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

H 1 : σ β2 > 0 (K