RANCANGAN PERCOBAAN RANCANGAN BUJUR SANGKAR YOUDEN

Disusun Oleh : Ferry Harsi Purniawati M0105006 Airenda Huttayana S M0105020 Betty Febriyanti M0105028 Dyah Asri W M0105033 Dinny Oktapiany M0106009 Gerry Lineker M0106011 Dewi Anugraheni M0106035 Drajat Indra Purnama M0106038 Ratna Dewi Ayu N M0106059 Widya Pratesa A M0106068

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PRNGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2008

1. PENDAHULUAN

Dalam suatu percobaan atau suatu penelitian sering bergantung pada kecakapan dalam pemilihan metode analisis yang tepat, termasuk juga cara-cara perencanaan yang tepat untuk mendapatkan data yang diperlukan atau yang dikenal dengan rancangan percobaan. Tujuan dari rancangan percobaan adalah untuk mengumpulkan informasi sebanyak-banyaknya sehingga berguna dalam penelitian yang dibahas.

Dalam suatu percobaan atau penelitian seringkali dihadapkan pada kondisi yang beraneka ragam, termasuk unit-unit percobaan dan perlakuan yang diamati. Apabila dalam suatu percobaan ingin menghilangkan dua jenis variasi dimana dalam menghilangkan dua jenis variasi tersebut dilakukan dengan pemblokan dua arah maka pada kasus ini dapat digunakan beberapa metode, tergantung dari banyaknya baris, kolom dan perlakuan yang diamati. Apabila banyaknya kolom sama dengan banyaknya baris dan perlakuan yang diamati maka digunakan Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL) akan tetapi apabila banyaknya kolom tidak sama dengan banyaknya baris dan perlakuan yang diamati maka digunakan Rancangan Bujur Sangkar Youden (RBSY).

2. RANCANGAN BUJUR SANGKAR YOUDEN

2.1 Pengertian

Rancangan Bujur Sangkar Youden (RBSY) dikembangkan oleh W.J Youden. Bujur sangkar Youden adalah bujur sangkar Latin yang tidak lengkap karena jumlah kolomnya tidak sama dengan jumlah baris dan perlakuan yang diteliti. Contoh dari rancangan bujur sangkar Youden adalah sebagai berikut

Posisi Blok

1 A B C

2 B A D

3 C D B

4 D C A Contoh di atas merupakan contoh bujur sangkar Youden dengan jumlah kolom = 3, jumlah baris = 4, dan jumlah perlakuan = 4 (A, B,C, dan D). Terlihat jumlah baris sama dengan jumlah perlakuan dan jumlah kolom berbeda dengan jumlah baris dan perlakuan.

Selain itu Rancangan Bujur Sangkar Youden (RBSY) dapat merupakan Rancangan Bujur Sangkar Latin tak lengkap yaitu dengan menambah paling sedikit satu kolom, baris , atau diagonal, karena dengan penambahan tersebut akan didapat bujur sangkar Latin. Misalkan pada contoh RBSY di atas apabila pada baris pertama ditambah perlakuan D, pada baris kedua ditambah perlakuan C, pada baris ketiga ditambah perlakuan A, dan pada baris keempat ditambah perlakuan B maka akan didapat RBSL dengan ukuran 4 x 4 sebagai berikut

Posisi Blok

1 A B C D

2 B A D C

3 C D B A

4 D C A B Selain itu RBSY juga dapat dibuat dari semua Rancangan Blok tak lengkap seimbang.

2.2 Analisis Statistik

Rancangan Bujur Sangkar Youden memiliki model statistik sebagai berikut

Y = µ α τ β ε + + + + _{ijk i j h ijh}

dengan

Y : hasil observasi yang dicatat dari blok ke- i , perlakuan ke- j , dan posisi _ijk h

ke- µ : mean keseluruhan

α : efek blok ke-i _i τ : efek perlakuan ke-j _j

β : efek posisi ke-h _h ₂ ε : sesatan random, dimana ε ~ DNI ( , σ ) . _{ijh ijh} Selanjutnya jika diasumsikan bahwa banyaknya perlakuan sama dengan a dan banyaknya blok sama dengan b maka pada RBSY banyaknya perlakuan sama dengan banyaknya blok atau a=b. Jika banyak masing- masing perlakuan muncul dalam seluruh percobaan (replikasi) sama dengan r dan banyaknya perlakuan dalam tiap blok sama dengan k maka setiap dua perlakuan muncul atau tampak bersama-sama dalam jumlah yang sama dalam seluruh percobaan dapat dituliskan dengan

r k ( − 1)

λ =

a −

1 Selanjutnya, JKT = JKPerlakuan + JKBlok + JKPosisi + JKS , dengan

(Diperbaiki) ₂ ₂ Y ...

; (db) = N-1 ,

JKT = Y − _ijh _{i j h} N

dimana : Y… adalah jumlah dari seluruh hasil observasi yang dicatat dan N adalah banyaknya hasil observasi yang dicatat _a ₂

k ϕ _{j =} ₁ _j

JKP = ; (db) = a-1,

(Diperbaiki)

dimana : ϕ : jumlah perlakuan ke-j yang diperbaiki dan dapat dituliskan : _j _{a b}

1 ϕ : Y. n Y , dengan * . - _{j ij i ..}

j k = = _i _{1 j} ₁ Y .. : jumlah dari observasi yang dicatat pada blok ke-i dan i

n : 1, jika perlakuan ke-j ada dalam blok ke-i

0, jika perlakuan ke-j tidak ada dalam blok ke-i Tujuan dari JKP adalah untuk memisahkan antara efek

(Diperbaiki)

perlakuan dan blok, hal ini perlu karena setiap perlakuan diwakili dalam himpunan yang berbeda dari r blok. _b ₂ ₂ Y Y ... _{i ..}

JKBlok = − ; (db) = b-1 _i _{= k N} ₁

2 ² Y Y ... _{.. h}

JKPosisi = − ; (db) = k-1 _{h =} ₁ b N JKSesatan = JKT - JKP - JKBlok - JKPosisi ; (db) = N-a-b-k+2

(Diperbaiki)

Selain itu dari uraian diatas dapat dibentuk tabel ANAVA sebagai berikut : Sumber Db JK RK F Variasi Perlakuan a-1 JKP RKP =

(Diperbaiki) (Diperbaiki)

RKP _{( Diperbaiki )}

F =

JKP _{( Diperbaiki )} RKS a

1 −

Blok b-1 JKBlok JKB

RKBlok = b-1 Posisi k-1 JKPosisi

JKP RKPosisi = k-1

Sesatan N-a-b-k+2 JKS JKS

RKS = N-a-b -k+2

Total N-1 JKT Untuk uji hipotesis adalah sebagai berikut :

H : τ = τ = ... = τ = ₁ _{2 a} H : τ ≠ , untuk paling sedikit sebuah i

1 _i

Daerah kritis H ditolak jika F > F _{( ; α a 1; N a b k 2)} _{− − − − +} Statistik uji

RKP _{( Diperbaiki )}

F =

RKS Menarik kesimpulan.

Jika Ho ditolak maka dilakukan uji jarak berganda Duncan, dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. efek perlakuan ke i diurutkan dari kecil ke besar 2. menghitung sesatan standar

k . RKS S

= . a

3. Menacari nilai r α,p,f), p = 2,3, ...., a

(

f adalah derajat bebas sesatan

4. Mencari nilai Rp = r

α,p,f) . S (

5. Membandingkan selisih rata-rata perlakuan dengan Rp _{^ ^} τ − τ dibandingkan dengan Ra _{^ ^} _{a .} _{1 .} τ − τ dibandingkan dengan Ra- _{^ ^} _{a .} _{2 .}

τ τ − dibandingkan dengan R ₋ _{a . ( a} _{1 ).}

2 6. Jika selisih efek perlakuan > Rp maka berbeda .

Jika terdapat dua efek perlakuan berbeda, tetapi terletak diantara dua efek perlakuan yang sama, maka perbedaan tersebut tidak signifikan.

3. CONTOH APLIKASI RANCANGAN BUJUR SANGKAR YOUDEN

Ada lima cara menanam tanaman yang ingin diteliti, apakah cara tanam mempengaruhi hasil produksi tanaman? cara mana yang menghasilkan produksi tanaman yang paling baik? Untuk percobaan tersedia lima lokasi akan tetapi di setiap lokasi hanya tersedia empat petak tanah percobaan yang bisa digunakan. Hasil percobaan dari tiap petak diperoleh data sebagai berikut:

Petak Percobaan Lokasi

1 A(12) B(10) C(12) D(9)

2 B(9) C(9) D(15) E(17)

3 C(7) D(13) E(14) A(18)

4 D(11) E(10) A(20) B(16)

5 E(13) A(16) B(18) C(9) Akan dilakukan analisis terhadap data tersebut sebagai berikut :

A. Penyelesaian dengan cara manual : Petak Percobaan

Lokasi Total

1 A(12) B(10) C(12) D(9)

2 B(9) C(9) D(15) E(17)

3 C(7) D(13) E(14) A(18)

4 D(11) E(10) A(20) B(16)

5 E(13) A(16) B(18) C(9)

56 Total

79 69 258

Dari data , diperoleh, N = 20 ; b = a = 5 ; k = r = 4 ; dan

λ = 3 Jumlah perlakuan A = 66 Jumlah perlakuan B = 53 Jumlah peralkuan C = 37 Jumlah perlakuan D = 48 Jumlah perlakuan E = 54

2 Y 2 ... JKTotal = Y

−

IJK N

I J K ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ( 258 ) 12 ) (

9 ) ( 7 ) ... ( 16 ) ( + + + + + = [( 7 ) ] −

20 = 3590 − 3328 ,

2 = 261,8 _b ₂ ₂ Y Y ... _{i ..}

JKBlok = − _{i =} ₁ k N ₂ ₂ ₂ 43 ) ( 50 ) ... ( + + + ( 56 )

= − 3328 ,

4 = 3359,5 − 3328 ,

2 = 31,3 _k ₂ ₂ Y Y ... _{.. h}

JKPosisi = − _{h =} ₁ ₂ b N ₂ ₂ ₂

52 ) ( + + + ( 58 ) ( 79 ) ( 69 ) = − 3328 ,

5 = 3414 − 3328 ,

2 = 85,8 Untuk j = 1 ( perlakuan A )

Q1 = 66 ¼ ( 43+52+57+56 ) −

= 66 52 = 14 −

Untuk j = 2 ( perlakuan B ) Q2 = 53

− ¼ ( 43+50+57+56 ) = 53 − 51,5 = 1,5

Untuk j = 3 ( perlakuan C ) Q3 = 37 − ¼ ( 43+50+52+56 )

= 37 − 50,25 = -13,25

Untuk j = 4 ( perlakuan D ) Q4 = 48

− ¼ ( 43+50+52+57 ) = 48 − 50,5 = -2,5

Untuk j = 5 ( perlakuan E ) Q5 = 54

− ¼ ( 50+52+57+56 ) = 54 − 53,75 = 0,25 _a ₂

k ϕ _{j =} ₁ _j

JKPerlakuan = ₂ λ a ₂ ₂ ₂ ₂

4{ (14) (1,5) (- 13,25) (-2,5) (0, 25) } =

( 3 )( 5 ) = 101,367

JKSesatan = JKTotal − JKPerlakuan − JKBlok − JKPosisi = 261,8

− 101,367 − 31,3 − 85,8 = 43,333 Tabel Anava

Sumber Variansi db JK RK F Perlakuan ( diperbaiki 4 101,367 25,34175 4,6785 ) 4 31,3 7,825 Blok

3 85.8 28,6 Posisi 8 43,333 5,416625 Sesatan 19 261,8 Total

Dari tabel anava di atas dapat dilakukan uji hipotesis untuk melihat apakah kelima cara tanam mempengaruhi hasil produksi tanaman dan cara mana yang menghasilkan lebih baik, yaitu sebagai berikut

H : Tidak terdapat pengaruh lima cara tanam terhadap hasil produksi

tanaman H : Terdapat pengaruh cara tanam terhadap hasil produksi tanaman. ₁ = 0.05

H di tolak jika F > F = 3,84

, 05 ; 4 ;

8 Statistik uji Didapat F = 4,6785 Kesimpulan Karena F= 4,6785 > F 8 ;

4 ; 05 , = 3,84 , maka Ho ditolak yang artinya terdapat pengaruh cara tanam terhadap hasil produksi tanaman.

= ₂ R (3,26)(1,2018) =3,9179 = ₃ R (3,39)(1,2018) =4.0741

( α,p,f) . S

4. Mencari nilai Rp = r

_{( 05 ,} 3 ₎ _{8 ;} _{5 ;} = r

_{( 05 ,} 3 ₎ _{8 ;} _{4 ;} = r 39 , _{( 05 ,} 3 ₎ _{8 ;} _{3 ;} = r 52 ,

_{( 05 ,} 3 ₎ _{8 ;} _{2 ;} = r 47 ,

p = 2,3, ...., a f adalah derajat bebas sesatan 26 ,

( α,p,f),

3. Menacari nilai r

x x S

4 = =

3 416625 .

Karena terdapat pengaruh cara tanam terhadap hasil produksi tanaman, maka dicari cara tanam mana yang memberikan hasil produksi tanaman yang paling baik. Yaitu dengan menggunakan Uji Duncan. 1. efek perlakuan diurutkan dari kecil ke besar 73 .

λ = 2018 ,

a RKS k S .

2. menghitung sesatan standar

3 ^{^ ^ ^ ^ ^} ^{A B E D C τ τ τ τ τ} − −

3 4 . 06 . 6 . 53 .

73 .

− = C τ 3 ^{^} Kemudian rata-rata tersebut diurutkan dari kecil ke besar, urutannya adalah

− = ^{D τ} 4 . ^{^} = B τ 06 . ^{^} = E τ 53 .

3 ^{^} = ^{A τ} 6 . ^{^}

= ₄ R (3,47)(1,2018) =4.1702 = ₅ R (3,52)(1,2018) =4.2303

5. Membandingkan selisih efek perlakuan dengan Rp _^ _. _. ₁ _^ τ τ − _a dibandingkan dengan Ra _{^ ^} _{C A} τ τ − = 7,26 > ₅ R

( efek perlakuan A berbeda dengan efek perlakuan C ) _{^ ^} _{D A} τ τ − = 4,33 > ₄ R ( efek perlakuan A berbeda dengan efek perlakuan D ) _{^ ^} _{E A}

τ τ − = 3,67< ₃ R ( efek perlakuan A sama dengan efek perlakuan E ) _{^ ^} _{B A}

τ τ − = 3,33 < ₂ R ( efek perlakuan A sama dengan efek perlakuan B ) _{^ ^} _{C B} τ τ − = 3,93 < ₄ R ( efek perlakuan B sama dengan efek perlakuan C ) _{^ ^} _{D B}

τ τ − = 1 < ₃ R ( efek perlakuan B sama dengan efek perlakuan D ) _{^ ^} _{E B} τ τ − = 0,34 < ₂ R ( efek perlakuan B sama dengan efek perlakuan E ) _{^ ^} _{C E}

τ τ − = 3,59 < ₃ R ( efek perlakuan E sama dengan efek perlakuan C ) _{^ ^} _{D E} τ τ − = 0.66 < ₂ R

( efek perlakuan E sama dengan efek perlakuan D ) _{^ ^} _{C D} τ τ − = 2,93 < ₂ R ( efek perlakuan D sama dengan efek perlakuan C ) 6. Jika selisih rata-rata perlakuan > Rp maka berbeda .

Dari perhitungan di atas yang berbeda adalah Perlakuan A dan D, dengan efek terbesar adalah A Perlakuan A dan C, dengan efek terbesar adalah A

Dari pernyataan di atas, dapat disimpulkan bahwa antara perlakuan B,C,D dan E memberikan efek yang sama, dan perlakuan A,B dan E juga memberikan efek yang sama. _{A B E D C} _{^ ^ ^ ^ ^}

τ τ τ τ τ

B. Penyelesaian dengan Menggunakan Software Minitab # Pengaruh lima cara tanam terhadap hasil produksi tanaman

H : Tidak terdapat pengaruh lima cara tanam terhadap hasil produksi

tanaman ₁ H : Terdapat pengaruh cara tanam terhadap hasil produksi tanaman = 0.05

H di tolak jika P < Statistik uji Dari output minitab di dapat

General Linear Model: respon versus cara tanam, lokasi, petak percobaan

Factor Type Levels Values cara tan fixed 5 1 2 3 4 5 lokasi fixed 5 1 2 3 4 5 petak pe fixed 4 1 2 3 4 Analysis of Variance for respon, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P cara tan 4 110.300 101.367 25.342 4.68 0.031 lokasi 4 22.367 22.367 5.592 1.03 0.447 petak pe 3 85.800 85.800 28.600 5.28 0.027 Error 8 43.333 43.333 5.417 Total 19 261.800

Kesimpulan Karena P = 0.031< = 0.05 maka H ditolak, artinya terdapat pengaruh cara tanam terhadap hasil produksi tanaman.

# Pengaruh lokasi terhadap hasil produksi tanaman

H : Tidak terdapat pengaruh lokasi terhadap hasil produksi tanaman H : Terdapat pengaruh lokasi terhadap hasil produksi tanaman ₁

= 0.05

H di tolak jika P <

Statistik uji Dari output minitab di dapat

General Linear Model: respon versus cara tanam, lokasi, petak percobaan

Kesimpulan Karena P = 0.447 > = 0.05 maka H ditolak, artinya tidak terdapat pengaruh lokasi terhadap hasil produksi tanaman. Maka tidak perlu dilakukan pemblokan untuk lokasi.

# Pengaruh petak percobaan terhadap hasil produksi tanaman

H : Tidak terdapat pengaruh petak percobaan terhadap hasil produksi

tanaman

H : Terdapat pengaruh petak percobaan terhadap hasil produksi ₁

tanaman = 0.05

H di tolak jika P <

Statistik uji Dari output minitab di dapat

General Linear Model: respon versus cara tanam, lokasi, petak percobaan

Kesimpulan Karena P = 0.027 < = 0.05 maka H ditolak, artinya terdapat pengaruh petak percobaan terhadap hasil produksi tanaman.

Dilakukan uji kecocokan model untuk melihat kecocokan antara model dengan data. Model dikatakan cocok dengan data apabila a.

Memenuhi asumsi kenormalan Asumsi normal dipenuhi apabila plot data mendekati garis lurus b. Memenuhi asumsi independensi

Asumsi independensi dipenuhi apabila plot antara sisa dengan urutan memperoleh data tidak membentuk pola tertentu c. Memenuhi asumsi homogenitas variansi

Asumsi homogenitas variansi dipenuhi apabila plot antara sisa dan model tidak membentuk pola tertentu atau dapat di uji lebih lanjut dengan menggunakan uji bartlet’s

Untuk melakukan uji kecocokan model harus dipenuhi beberapa asumsi

1. Asumsi Normal

5 ⁴ ³ ² ^{-2 1 -1 -3 -4 -5} ²

^-2 ¹ ^-1

N o rm a l S c o re

Residual Normal Probability Plot of the Residuals _{(response is respon)}

Terlihat dari plot di atas titik – titiknya mendekati garis lurus maka asumsi kenormalan dipenuhi

2. plot sisaan dalam urutan waktu memperoleh data (asumsi independensi)

20 ¹⁸ ¹⁶ ¹⁴ ¹² ¹⁰ ⁸ ⁶ ⁴ ² ³ ²

^-2 ¹ ^-1

Observation Order R e si d u a l

Residuals Versus the Order of the Data _{(response is respon)}

Terlihat dari plot di atas titik – titiknya dapat dikatakan berpola acak atau tidak membentuk pola tertentu sehingga asumsi independensi dipenuhi atau asumsi independensi tidak dilanggar 3. plot sisaan Vs _ij

y ^{^}

(Asumsi homogenitas variansi)

¹⁵

¹⁰ ³ ²

^-2 ¹ ^-1

Fitted Value R e si d u a l

Residuals Versus the Fitted Values _{(response is respon)}

Terlihat dari plot di atas titik – titiknya dapat dikatakan berpola acak atau tidak membentuk pola tertentu sehingga asumsi homogenitas variansi tidak dilanggar. Untuk lebih jelasnya akan di lakukan uji sebagai berikut ; Uji homogenitas variansi dengan menggunakan metode bartlet’s : Terdapat homogenitas variansi pada perlakuan

H : Tidak terdapat homogenitas variansi pada perlakuan

₁

= 0.05

H di tolak jika P <

Statistik uji _{95% Confidence Intervals for Sigmas Factor Levels} Test for Equal Variances for respon ₁ _{Bartlett's Test} ₃ ₂ Test Statistic: 1.765 _{P-Value : 0.779} ₄ ₅ _{Test Statistic: 1.534} _{P-Value : 0.243} Levene's Test

10 ²⁰ ³⁰ Dari output terlihat di gunakan uji Bartlett di dapat P = 0.779

Kesimpulan Karena P = 0.779 > maka H tidak di tolak artinya terdapat homogenitas variansi pada model atau dengan kata lain asumsi homogenitas variansi dipenuhi atau tidak dilanggar.

Karena ketiga asumsi di atas di penuhi maka dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat kekurangcocokan antara model dengan data atau model sesuai dengan data.

4. KESIMPULAN 1.

Rancangan bujur sangkar Youden merupakan bujur sangkar Latin yang tidak lengkap karena jumlah kolomnya tidak sama dengan jumlah baris dan perlakuan yang diteliti.

2. Rancangan bujur sangkar Youden memiliki model statistik _{ijk i j h ijh}

Y µ α τ β ε

= + + + +

RANCANGAN PERCOBAAN RANCANGAN BUJUR SANGKAR YOUDEN