BIMODUL-C* HILBERT.
BIMODUL-C* HILBERT
SKRIPSI
diajukan untuk memenuhi sebagian syarat untuk memperoleh
gelar Sarjana Matematika Konsentrasi Aljabar
oleh
Raden Muhammad Hadi
NIM 1106608
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
2015
BIMODUL-C* HILBERT
Oleh
Raden Muhammad Hadi
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar
Sarjana Matematika Konsentrasi Aljabar pada Fakultas Pendidikan Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Raden Muhammad Hadi 2015
Universitas Pendidikan Indonesia
Agustus 2015
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian,
dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.
ABSTRAK
Raden Muhammad Hadi (2011). Bimodul-C* Hilbert.
Misalkan
(kiri
dan
aljabar-C* dan
ruang vektor kompleks. Modul-C* Hilbert kanan
) adalah modul yang dilengkapi dengan hasil kali dalam kanan
dan lengkap dalam norm modul kanan ‖ ‖ (kiri
(kiri
)
‖ ‖) sedangkan bimodul-C* Hilbert
adalah bimodul yang dilengkapi dengan hasil kali dalam kanan
dan kiri juga
lengkap dalam norm modul kanan dan kiri. Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk
mengetahui bagaimana mengkonstruksi modul-C* Hilbert dan Bimodul-C* Hilbert,
mempelajari sifat-sifat serta memberi contoh. Penelitian dilakukan dengan cara studi
literatur, yaitu dengan mempelajari pokok bahasan yang berhubungan dengan modul-C*
Hilbert. Berdasarkan hasil yang diperoleh, bimodul-C* Hilbert dapat dikonstruksi melalui
modul dengan skalarnya adalah dua aljabar-C* yang dilengkapi dengan hasil kali dalam
dan memenuhi sifat kelengkapan dalam norm modul. Selain itu, akan dijelaskan
bagaimana cara mengaplikasikan modul-C* Hilbert melalui contoh.
Kata kunci: Modul, bimodul, aljabar-C*, ruang Hilbert, ruang hasil kali dalam, modulC* Hilbert, bimodul-C* Hilbert.
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
ABSTRACT
Raden Muhammad Hadi (2011). Hilbert- C* Bimodule
Let
(
and
C*-algebras and
complex vector space. Right (left) Hilbert-C* module
) is a module that completed with right (left) inner product
(
) and satisfied
completeness on right (left) norm module ‖ ‖ ( ‖ ‖) whereas Hilbert-C* bimodule
is bimodule that completed with right and left inner product and satisfied completeness on
right and left norm module. Objectives of this final paper are to how to construct it,
studied its properties along with its application by examples. Research was done by
literatures study, that is studied its main themes that highly related with Hilbert-C*
module and Hilbert-C* bimodule. As the result, Hilbert-C* bimodule can be constructed
through module with two C*-algebras as scalar completed with inner product and
satisfies completeness on norm module. Then, we will show its application by examples.
Keyword: Module, bimodule, C*-algebra, Hilbert space, inner product space, Hilbert-C*
module, Hilbert-C* bimodule.
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
DAFTAR ISI
LEMBAR HAK CIPTA
LEMBAR PENGESAHAAN TUGAS AKHIR
LEMBAR PERNYATAAN
i
KATA PENGANTAR
ii
UCAPAN TERIMA KASIH
iii
ABSTRAK
v
ABSTRACT
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR SIMBOL
ix
DAFTAR LAMPIRAN
x
BAB I. PENDAHULUAN
1
I.1. Latar Belakang Masalah
1
I.2. Perumusan Masalah
1
I.3. Tujuan Penulisan
2
I.4. Manfaat Penulisan
2
I.5. Struktur Penulisan
2
BAB II. LANDASAN TEORI
4
II.1. Teori Modul
4
II.1.1. Definisi Modul dan Submodul
4
II.1.2. Bimodul
6
II.1.3. Pemetaan Bilinier
6
II.2.Ruang Hilbert dan Operator Linier Terbatas pada Ruang Hilbert
7
II.2.1. Ruang Hilbert
7
II.2.2. Fungsional Linier
12
II.2.3. Operator Linier Terbatas pada Ruang Hilbert
12
II.3. Aljabar-C*
16
II.3.1. Struktur dan Sifat Aljabar-C*
16
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB III. METODE PENELITIAN
25
III.1. Desain Penelitian
25
III.2. Prosedur Penelitian
25
BAB IV. TEMUAN DAN PEMBAHASAN
27
IV.1. Konsep Modul-A Hilbert
27
IV.2. Konsep Bimodul-A-B Hilbert
34
IV.3. Contoh Bimodul-A-B Hilbert
35
IV.3.1. Konstruksi ModulIV.3.2. Konstruksi ModulIV.3.3. Bimodul-
(
(
)-
) Hilbert Kiri
35
Hilbert
42
Hilbert Kanan
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
39
44
V.1. Kesimpulan
44
V.2. Saran
44
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
BIOGRAFI PENULIS
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB I
PENDAHULUAN
I.1. Latar Belakang Masalah
Asal mula ekuivalensi Morita datang dari teori ring: dua ring
adalah
ekuivalen Morita jika kategori modulnya ekuivalen. Teorema Morita mengatakan
terdapat bimodul-R-S
ke
sedemikian sehingga ekuivalensi tersebut membawa
. Pada aljabar-C*, tidak terdapat teorema demikian, setidaknya
jika menggunakan representasi ruang Hilbert sebagai kategori dari modul. Akan
tetapi, Rieffel menunjukkan bahwa terdapat gagasan mengenai ekuivalensi Morita
untuk aljabar-C* dengan diperoleh dengan mengasumsikan keberadaan bimodul
yang sesuai (Raeburn dan Williams, 1998).
Untuk
mengkonstruksi bimodul yang sesuai agar memperoleh gagasan
mengenai ekuivalensi Morita tentunya membutuhkan “alat” yang khusus, yaitu
Modul-C* Hilbert. Modul-C* Hilbert adalah perumuman dari ruang Hilbert yang
lapangan
skalarnya
adalah
aljabar-C*.
Modul-C*
Hilbert
pertama
kali
dikemukakan oleh Irving Kaplansky dalam penelitiannya mengenai modul atas
aljabar operator.
Dalam skripsi ini, penulis memfokuskan diri pada konstruksi modul-C*
Hilbert dan bimodul-C* Hilbert serta bagaimana mengaplikasikan modul-C*
Hilbert dan bimodul-C* Hilbert, maka dari itu penulis memilih judul skripsi
“Bimodul-C* Hilbert”.
I.2. Perumusan Masalah
Perumusan masalah yang dikemukakan penulis adalah sebagai berikut:
1. Bagaimanakah konsep modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert?
2. Bagaimanakah mengkonstruksi modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert
dari aljabar-C*?
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
3. Bagaimanakah sifat-sifat dalam modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert?
I.3. Tujuan Penulisan
Skripsi ini bertujuan untuk
menjelaskan konstruksi modul-C* Hilbert dan
bimodul-C* Hilbert beserta contohnya.
I.4. Manfaat Penulisan
Dengan karya tulis ini penulis berharap:
1. Dapat memberi penjelasan mengenai modul-C* Hilbert dan bimodul-C*
Hilbert beserta sifat-sifatnya;
2. Dapat memberi inspirasi kepada penulis untuk mengkaji dan mengembangkan
bimodul-C* Hilbert dan penerapannya dalam bidang lainnya.
I.5. Struktur Penulisan
Berikut merupakan struktur penulisan pada skripsi ini:
BAB I adalah bagian pendahuluan dari skripsi ini. Pada bagian ini akan dijelaskan
ide dasar dan motivasi dari penulisan skripsi ini. Di dalam pendahuluan terdapat
perumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan dan struktur penulisan
skripsi.
BAB II adalah bagian tinjauan teori yang memuat teori dasar untuk menjelaskan
mengenai modul-C* Hilbert. Pada bab ini dijelaskan mengenai teori modul, ruang
Hilbert dan operator linier terbatas pada ruang Hilbert, dan Aljabar-C*.
BAB III adalah bagian metode penelitian yang akan menjelaskan mengenai desain
penelitan dan prosedur penelitian.
BAB IV adalah bagian temuan dan pembahasan. Pada bagian ini akan dijelaskan
mengenai modul-C* Hilbert dan khususnya bimodul-C* Hilbert yang merupakan
inti permasalah dari skripsi ini. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi
modul-C* Hilbert, sifat-sifatnya serta aplikasinya dalam contoh.
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB V adalah bagian kesimpulan dan saran yang merupakan bagian penutup dari
skripsi ini. Pada bab ini terdapat kesimpulan yang akan menjelaskan garis besar
penulisan skripsi ini dan saran yang merupakan pendapat pribadi mengenai apa
yang dapat dilakukan oleh pembaca pada skripsi ini.
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB III
METODE PENELITIAN
III.1. Desain Penelitian
Penyusunan skripsi ini dilakukan dengan cara melakukan studi literatur, yaitu
dengan mempelajari pokok bahasan yang berhubungan dengan bimodul-C*
Hilbert.
Adapun literatur yang menjadi referensi utama, yaitu buku yang ditulis oleh Iain
Raeburn dan Dana P. Williams yang berjudul Morita Equivalence and Continous
Trace-C* Algebra (1998) dan buku yang ditulis oleh V. M. Manuilov dan E. V.
Troitsky yang berjudul Hilbert C*-Modules (2005) yang membahas tentang
konsep modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert.
Dasar teori mengenai teori modul mengacu pada buku yang ditulis oleh
Hungerford (1974) dan Adkins (1992). Dasar teori mengenai ruang Hilbert dan
operator linier terbatas pada ruang Hilbert mengacu pada buku atau artikel ilmiah
yang ditulis MacCluer (2009), Kreyzig (1978), dan Sen (2013). Dasar teori
mengenai aljabar-C* mengacu pada buku yang ditulis oleh Allan (2011),
MacCluer (2009), Conway (1990), Manuilov dan Troitsky (2005), dan Murphy
(1990). Sedangkan untuk pembahasan modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert
mengacu pada buku atau artikel ilmiah yang ditulis oleh Raeburn dan Williams
(1998) dan Tsui (1997).
Selain referensi utama terdapat juga beberapa referensi yang digunakan untuk
membantu memperdalam pemahaman terhadap materi skripsi, diantaranya Lance
(1995), Wegge-Olsen (1993), Landsman (1998) dan lain-lain.
III.2. Prosedur Penelitian
Dalam bagian ini akan dijelaskan langkah-langkah penelitian dalam penyusunan
skripsi ini:
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
1. Mencari topik yang tepat dan melakukan pengkajian teori dasar. Tahap ini
dilakukan selama mata kuliah Kapita Selekta Matematika, Struktur Grup dan
Ring dan Aljabar Operator pada semester 6. Judul dicari melalui jurnal-jurnal
yang dijadikan acuan utama dalam kapita selekta. Tahap ini sepenuhnya
dibimbing oleh dosen pembimbing kapita selekta.
2. Melakukan pengkajian ulang terhadap hasil yang diperoleh pada tulisan yang
dihasilkan selama kapita selekta dengan mencari bagian-bagian yang harus
ditambah, dikurangi, dan diperbaiki. Dalam hal ini juga terjadi perubahan
judul penelitian.
3. Mencari referensi-referensi baru yang relevan untuk melakukan penelitian
yang selanjutnya dapat dijadikan referensi utama untuk penelitian. Tentunya
juga
dicari
referensi-referensi
pendukung
yang
digunakan
untuk
memperdalam pemahaman mengenai topik skripsi.
4. Pengkajian kembali relevansi materi yang dipakai untuk penelitian. Dalam
tahap ini terjadi beberapa perubahan yang diperlukan untuk agar teori-teori
yang dipakai sebagai teori dasar tetap relevan dengan topik skripsi. Dalam hal
ini
penulis
senantiasa
berkonsultasi
mengenai
materi
pembimbing.
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
dengan
dosen
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
IV.1. Kesimpulan
Dalam skripsi mengenai bimodul-C* Hilbert diperoleh beberapa kesimpulan:
1. Untuk mengkonstruksi modul-C* Hilbert diperlukan suatu ruang vektor
kompleks
dan aljabar-C* untuk mengkonstruksi modul
yang selanjutnya
dilengkapi dengan hasil kali dalam dan lengkap dalam norm modul.
2. Untuk mengkonstruksi bimodul-C* Hilbert diperlukan suatu ruang vektor
dan dua aljabar-C* untuk mengkonstruksi modul kiri dan modul kanan dari
yang telah dilengkapi hasil kali dalam dan lengkap dalam norm modul kiri dan
kanan serta kondisi asosiatif perkalian.
IV.2. Saran
Dalam skripsi ini disampaikan pula saran-saran yang sekiranya dapat membantu
dalam penelitian mengenai bimodul-C* Hilbert:
1. Perlu diperhatikan bahwa dalam mengkonstruksi bimodul-C* Hilbert dalam
beberapa teks memiliki pendekatan yang berbeda, maka perlu pengkajian yang
berbeda pula;
2. Ada baiknya pada penelitian selanjutnya juga disertakan mengenai penerapan
bimodul-C* Hilbert sebagai contoh konkrit penggunaan bimodul-C* dalam
bidang tertentu.
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
DAFTAR PUSTAKA
Adkins, W.A. dan Weintraub, S.H. (1992). Algebra: An approach via module theory. New
York: Springer.
Allan, G.R. (2011). Introduction to Banach spaces and algebras. New York: Cambridge
University Press, Inc.
Binmore, K.G. (1981). The foundations of analysis: A straightforward introduction book 2:
Topological ideas. Cambridge: Cambridge University Press, Inc.
Conway, J.B. (1990). A course in functional analysis: 2nd ed. New York: Springer.
Hungerford, T.W. (1974). Algebra. New York: Springer.
Keating, M.E. (1998). A first course in module theory. London: Imperial Collehe Press.
Kreyzig, Erwin. (1978). Introductory functional analysis with applications. New York: John
Wiley & Sons, Inc.
Lance, E.C. (1995). Hilbert C*-modules: A toolkit for operator algebraist. Cambridge:
Cambridge University Press, Inc.
MacCluer, B.D. (2009). Elementary functional analysis. New York: Springer.
Manuilov, V.M. dan Troitsky, E.V. (2005). Hilbert C*-modules. Rhode Island: American
Mathematical Society.
Murphy, G.J. (1990). C*-algebras and operator theory. San Diego: Academic Press, Inc.
Raeburn, Iain dan Williams, D.P. (1998). Morita equivalence and continuous-trace C*algebras. Rhode Island: American Mathematical Society.
Tsui, Sze-Kai. (1997). Hilbert C*-modules: A useful tool. Taiwanese Journal of
Mathematics, 1 (2), hlm. 111-126.
Wegge-Olsen, N.E. (1993). K-theory and C*-algebras: A friendly approach. New York:
Oxford University Press, Inc.
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
SKRIPSI
diajukan untuk memenuhi sebagian syarat untuk memperoleh
gelar Sarjana Matematika Konsentrasi Aljabar
oleh
Raden Muhammad Hadi
NIM 1106608
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
2015
BIMODUL-C* HILBERT
Oleh
Raden Muhammad Hadi
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar
Sarjana Matematika Konsentrasi Aljabar pada Fakultas Pendidikan Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Raden Muhammad Hadi 2015
Universitas Pendidikan Indonesia
Agustus 2015
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian,
dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.
ABSTRAK
Raden Muhammad Hadi (2011). Bimodul-C* Hilbert.
Misalkan
(kiri
dan
aljabar-C* dan
ruang vektor kompleks. Modul-C* Hilbert kanan
) adalah modul yang dilengkapi dengan hasil kali dalam kanan
dan lengkap dalam norm modul kanan ‖ ‖ (kiri
(kiri
)
‖ ‖) sedangkan bimodul-C* Hilbert
adalah bimodul yang dilengkapi dengan hasil kali dalam kanan
dan kiri juga
lengkap dalam norm modul kanan dan kiri. Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk
mengetahui bagaimana mengkonstruksi modul-C* Hilbert dan Bimodul-C* Hilbert,
mempelajari sifat-sifat serta memberi contoh. Penelitian dilakukan dengan cara studi
literatur, yaitu dengan mempelajari pokok bahasan yang berhubungan dengan modul-C*
Hilbert. Berdasarkan hasil yang diperoleh, bimodul-C* Hilbert dapat dikonstruksi melalui
modul dengan skalarnya adalah dua aljabar-C* yang dilengkapi dengan hasil kali dalam
dan memenuhi sifat kelengkapan dalam norm modul. Selain itu, akan dijelaskan
bagaimana cara mengaplikasikan modul-C* Hilbert melalui contoh.
Kata kunci: Modul, bimodul, aljabar-C*, ruang Hilbert, ruang hasil kali dalam, modulC* Hilbert, bimodul-C* Hilbert.
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
ABSTRACT
Raden Muhammad Hadi (2011). Hilbert- C* Bimodule
Let
(
and
C*-algebras and
complex vector space. Right (left) Hilbert-C* module
) is a module that completed with right (left) inner product
(
) and satisfied
completeness on right (left) norm module ‖ ‖ ( ‖ ‖) whereas Hilbert-C* bimodule
is bimodule that completed with right and left inner product and satisfied completeness on
right and left norm module. Objectives of this final paper are to how to construct it,
studied its properties along with its application by examples. Research was done by
literatures study, that is studied its main themes that highly related with Hilbert-C*
module and Hilbert-C* bimodule. As the result, Hilbert-C* bimodule can be constructed
through module with two C*-algebras as scalar completed with inner product and
satisfies completeness on norm module. Then, we will show its application by examples.
Keyword: Module, bimodule, C*-algebra, Hilbert space, inner product space, Hilbert-C*
module, Hilbert-C* bimodule.
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
DAFTAR ISI
LEMBAR HAK CIPTA
LEMBAR PENGESAHAAN TUGAS AKHIR
LEMBAR PERNYATAAN
i
KATA PENGANTAR
ii
UCAPAN TERIMA KASIH
iii
ABSTRAK
v
ABSTRACT
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR SIMBOL
ix
DAFTAR LAMPIRAN
x
BAB I. PENDAHULUAN
1
I.1. Latar Belakang Masalah
1
I.2. Perumusan Masalah
1
I.3. Tujuan Penulisan
2
I.4. Manfaat Penulisan
2
I.5. Struktur Penulisan
2
BAB II. LANDASAN TEORI
4
II.1. Teori Modul
4
II.1.1. Definisi Modul dan Submodul
4
II.1.2. Bimodul
6
II.1.3. Pemetaan Bilinier
6
II.2.Ruang Hilbert dan Operator Linier Terbatas pada Ruang Hilbert
7
II.2.1. Ruang Hilbert
7
II.2.2. Fungsional Linier
12
II.2.3. Operator Linier Terbatas pada Ruang Hilbert
12
II.3. Aljabar-C*
16
II.3.1. Struktur dan Sifat Aljabar-C*
16
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB III. METODE PENELITIAN
25
III.1. Desain Penelitian
25
III.2. Prosedur Penelitian
25
BAB IV. TEMUAN DAN PEMBAHASAN
27
IV.1. Konsep Modul-A Hilbert
27
IV.2. Konsep Bimodul-A-B Hilbert
34
IV.3. Contoh Bimodul-A-B Hilbert
35
IV.3.1. Konstruksi ModulIV.3.2. Konstruksi ModulIV.3.3. Bimodul-
(
(
)-
) Hilbert Kiri
35
Hilbert
42
Hilbert Kanan
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
39
44
V.1. Kesimpulan
44
V.2. Saran
44
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
BIOGRAFI PENULIS
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB I
PENDAHULUAN
I.1. Latar Belakang Masalah
Asal mula ekuivalensi Morita datang dari teori ring: dua ring
adalah
ekuivalen Morita jika kategori modulnya ekuivalen. Teorema Morita mengatakan
terdapat bimodul-R-S
ke
sedemikian sehingga ekuivalensi tersebut membawa
. Pada aljabar-C*, tidak terdapat teorema demikian, setidaknya
jika menggunakan representasi ruang Hilbert sebagai kategori dari modul. Akan
tetapi, Rieffel menunjukkan bahwa terdapat gagasan mengenai ekuivalensi Morita
untuk aljabar-C* dengan diperoleh dengan mengasumsikan keberadaan bimodul
yang sesuai (Raeburn dan Williams, 1998).
Untuk
mengkonstruksi bimodul yang sesuai agar memperoleh gagasan
mengenai ekuivalensi Morita tentunya membutuhkan “alat” yang khusus, yaitu
Modul-C* Hilbert. Modul-C* Hilbert adalah perumuman dari ruang Hilbert yang
lapangan
skalarnya
adalah
aljabar-C*.
Modul-C*
Hilbert
pertama
kali
dikemukakan oleh Irving Kaplansky dalam penelitiannya mengenai modul atas
aljabar operator.
Dalam skripsi ini, penulis memfokuskan diri pada konstruksi modul-C*
Hilbert dan bimodul-C* Hilbert serta bagaimana mengaplikasikan modul-C*
Hilbert dan bimodul-C* Hilbert, maka dari itu penulis memilih judul skripsi
“Bimodul-C* Hilbert”.
I.2. Perumusan Masalah
Perumusan masalah yang dikemukakan penulis adalah sebagai berikut:
1. Bagaimanakah konsep modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert?
2. Bagaimanakah mengkonstruksi modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert
dari aljabar-C*?
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
3. Bagaimanakah sifat-sifat dalam modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert?
I.3. Tujuan Penulisan
Skripsi ini bertujuan untuk
menjelaskan konstruksi modul-C* Hilbert dan
bimodul-C* Hilbert beserta contohnya.
I.4. Manfaat Penulisan
Dengan karya tulis ini penulis berharap:
1. Dapat memberi penjelasan mengenai modul-C* Hilbert dan bimodul-C*
Hilbert beserta sifat-sifatnya;
2. Dapat memberi inspirasi kepada penulis untuk mengkaji dan mengembangkan
bimodul-C* Hilbert dan penerapannya dalam bidang lainnya.
I.5. Struktur Penulisan
Berikut merupakan struktur penulisan pada skripsi ini:
BAB I adalah bagian pendahuluan dari skripsi ini. Pada bagian ini akan dijelaskan
ide dasar dan motivasi dari penulisan skripsi ini. Di dalam pendahuluan terdapat
perumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan dan struktur penulisan
skripsi.
BAB II adalah bagian tinjauan teori yang memuat teori dasar untuk menjelaskan
mengenai modul-C* Hilbert. Pada bab ini dijelaskan mengenai teori modul, ruang
Hilbert dan operator linier terbatas pada ruang Hilbert, dan Aljabar-C*.
BAB III adalah bagian metode penelitian yang akan menjelaskan mengenai desain
penelitan dan prosedur penelitian.
BAB IV adalah bagian temuan dan pembahasan. Pada bagian ini akan dijelaskan
mengenai modul-C* Hilbert dan khususnya bimodul-C* Hilbert yang merupakan
inti permasalah dari skripsi ini. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi
modul-C* Hilbert, sifat-sifatnya serta aplikasinya dalam contoh.
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB V adalah bagian kesimpulan dan saran yang merupakan bagian penutup dari
skripsi ini. Pada bab ini terdapat kesimpulan yang akan menjelaskan garis besar
penulisan skripsi ini dan saran yang merupakan pendapat pribadi mengenai apa
yang dapat dilakukan oleh pembaca pada skripsi ini.
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB III
METODE PENELITIAN
III.1. Desain Penelitian
Penyusunan skripsi ini dilakukan dengan cara melakukan studi literatur, yaitu
dengan mempelajari pokok bahasan yang berhubungan dengan bimodul-C*
Hilbert.
Adapun literatur yang menjadi referensi utama, yaitu buku yang ditulis oleh Iain
Raeburn dan Dana P. Williams yang berjudul Morita Equivalence and Continous
Trace-C* Algebra (1998) dan buku yang ditulis oleh V. M. Manuilov dan E. V.
Troitsky yang berjudul Hilbert C*-Modules (2005) yang membahas tentang
konsep modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert.
Dasar teori mengenai teori modul mengacu pada buku yang ditulis oleh
Hungerford (1974) dan Adkins (1992). Dasar teori mengenai ruang Hilbert dan
operator linier terbatas pada ruang Hilbert mengacu pada buku atau artikel ilmiah
yang ditulis MacCluer (2009), Kreyzig (1978), dan Sen (2013). Dasar teori
mengenai aljabar-C* mengacu pada buku yang ditulis oleh Allan (2011),
MacCluer (2009), Conway (1990), Manuilov dan Troitsky (2005), dan Murphy
(1990). Sedangkan untuk pembahasan modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert
mengacu pada buku atau artikel ilmiah yang ditulis oleh Raeburn dan Williams
(1998) dan Tsui (1997).
Selain referensi utama terdapat juga beberapa referensi yang digunakan untuk
membantu memperdalam pemahaman terhadap materi skripsi, diantaranya Lance
(1995), Wegge-Olsen (1993), Landsman (1998) dan lain-lain.
III.2. Prosedur Penelitian
Dalam bagian ini akan dijelaskan langkah-langkah penelitian dalam penyusunan
skripsi ini:
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
1. Mencari topik yang tepat dan melakukan pengkajian teori dasar. Tahap ini
dilakukan selama mata kuliah Kapita Selekta Matematika, Struktur Grup dan
Ring dan Aljabar Operator pada semester 6. Judul dicari melalui jurnal-jurnal
yang dijadikan acuan utama dalam kapita selekta. Tahap ini sepenuhnya
dibimbing oleh dosen pembimbing kapita selekta.
2. Melakukan pengkajian ulang terhadap hasil yang diperoleh pada tulisan yang
dihasilkan selama kapita selekta dengan mencari bagian-bagian yang harus
ditambah, dikurangi, dan diperbaiki. Dalam hal ini juga terjadi perubahan
judul penelitian.
3. Mencari referensi-referensi baru yang relevan untuk melakukan penelitian
yang selanjutnya dapat dijadikan referensi utama untuk penelitian. Tentunya
juga
dicari
referensi-referensi
pendukung
yang
digunakan
untuk
memperdalam pemahaman mengenai topik skripsi.
4. Pengkajian kembali relevansi materi yang dipakai untuk penelitian. Dalam
tahap ini terjadi beberapa perubahan yang diperlukan untuk agar teori-teori
yang dipakai sebagai teori dasar tetap relevan dengan topik skripsi. Dalam hal
ini
penulis
senantiasa
berkonsultasi
mengenai
materi
pembimbing.
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
dengan
dosen
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
IV.1. Kesimpulan
Dalam skripsi mengenai bimodul-C* Hilbert diperoleh beberapa kesimpulan:
1. Untuk mengkonstruksi modul-C* Hilbert diperlukan suatu ruang vektor
kompleks
dan aljabar-C* untuk mengkonstruksi modul
yang selanjutnya
dilengkapi dengan hasil kali dalam dan lengkap dalam norm modul.
2. Untuk mengkonstruksi bimodul-C* Hilbert diperlukan suatu ruang vektor
dan dua aljabar-C* untuk mengkonstruksi modul kiri dan modul kanan dari
yang telah dilengkapi hasil kali dalam dan lengkap dalam norm modul kiri dan
kanan serta kondisi asosiatif perkalian.
IV.2. Saran
Dalam skripsi ini disampaikan pula saran-saran yang sekiranya dapat membantu
dalam penelitian mengenai bimodul-C* Hilbert:
1. Perlu diperhatikan bahwa dalam mengkonstruksi bimodul-C* Hilbert dalam
beberapa teks memiliki pendekatan yang berbeda, maka perlu pengkajian yang
berbeda pula;
2. Ada baiknya pada penelitian selanjutnya juga disertakan mengenai penerapan
bimodul-C* Hilbert sebagai contoh konkrit penggunaan bimodul-C* dalam
bidang tertentu.
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
DAFTAR PUSTAKA
Adkins, W.A. dan Weintraub, S.H. (1992). Algebra: An approach via module theory. New
York: Springer.
Allan, G.R. (2011). Introduction to Banach spaces and algebras. New York: Cambridge
University Press, Inc.
Binmore, K.G. (1981). The foundations of analysis: A straightforward introduction book 2:
Topological ideas. Cambridge: Cambridge University Press, Inc.
Conway, J.B. (1990). A course in functional analysis: 2nd ed. New York: Springer.
Hungerford, T.W. (1974). Algebra. New York: Springer.
Keating, M.E. (1998). A first course in module theory. London: Imperial Collehe Press.
Kreyzig, Erwin. (1978). Introductory functional analysis with applications. New York: John
Wiley & Sons, Inc.
Lance, E.C. (1995). Hilbert C*-modules: A toolkit for operator algebraist. Cambridge:
Cambridge University Press, Inc.
MacCluer, B.D. (2009). Elementary functional analysis. New York: Springer.
Manuilov, V.M. dan Troitsky, E.V. (2005). Hilbert C*-modules. Rhode Island: American
Mathematical Society.
Murphy, G.J. (1990). C*-algebras and operator theory. San Diego: Academic Press, Inc.
Raeburn, Iain dan Williams, D.P. (1998). Morita equivalence and continuous-trace C*algebras. Rhode Island: American Mathematical Society.
Tsui, Sze-Kai. (1997). Hilbert C*-modules: A useful tool. Taiwanese Journal of
Mathematics, 1 (2), hlm. 111-126.
Wegge-Olsen, N.E. (1993). K-theory and C*-algebras: A friendly approach. New York:
Oxford University Press, Inc.
Raden Muhammad Hadi , 2015
Bimodul-C* Hilbert
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu