REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN

ABSTRAK

REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN

Oleh

HERLISA ANGGRAINI

Operator Hilbert-Schmidt merupakan operator terbatas pada ruang Hilbert, yaitu suatu ruang perkalian dalam yang lengkap (setiap barisan Cauchy didalamnya konvergen). Suatu operator linier �: � → � dinamakan operator Hilbert-Schmidt disingkat operator-HS jika terdapat basis ortonormal {�_�} pada � sehingga ‖�‖��= ∑∞�= ‖� �� ‖ <∞. Pendefinisian tersebut tidak bergantung pada

pemilihan basis ortonormal di �. Pada penelitian kali ini, akan menunjukkan representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang barisan diperoleh dengan mengubah �: � → � menjadi �: ℓ → ℓ . Hasil penelitian dan pembahasan menunjukkan ∑ ‖��_{� �}‖ = ∑ |�_{�,� ��}| , sehingga A terdefinisi sebagai operator Hilbert-Schmidt.

REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN

(Skripsi)

HERLISA ANGGRAINI 0817031003

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN

Oleh

HERLISA ANGGRAINI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Pada

Jurusan Matematika

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Dr. Muslim Ansori, S.Si,. M.Si ………

Sekretaris : Amanto, S.Si., M.Si. ………

Penguji

Bukan Pembimbing : Dra. Dorrah Azis, M.Si. ………

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D.

NIP. 19690530 199512 1 001

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Dr. Muslim Ansori, S.Si,. M.Si ………

Sekretaris : Amanto, S.Si., M.Si. ………

Penguji

Bukan Pembimbing : Dra. Dorrah Azis, M.Si. ………

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D.

PERSEMBAHAN

Tiada kata terindah yang pantas ku ucapkan, selain kata syukur pada ALLAH

SWT, karena atas izinNya sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Setulus

hatiku kupersembahkan karya sederhana kepada orang-orang yang aku cintai,

Ibunda (Lekat Kesuma) dan Ayahanda (Khoirudin, B.A.),

sebagai motivasi terbesar dalam menyelesaikan studiku, kepada Udo dan

adik-ku terimakasih atas perhatian, do’a, semangat, dan bantuanya, kepada seluruh

pejuang ADK di Universitas Lampung dan teman- teman Exotic matematika

angkatan 2008, terimak kasih atas segala bantuan dan motivasinya, kalian

adalah teman terbaikku.

PERSEMBAHAN

Tiada kata terindah yang pantas ku ucapkan, selain kata syukur pada ALLAH

SWT, karena atas izinNya sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Setulus

hatiku kupersembahkan karya sederhana kepada orang-orang yang aku cintai,

Ibunda (Lekat Kesuma) dan Ayahanda (Khoirudin, B.A.),

sebagai motivasi terbesar dalam menyelesaikan studiku, kepada Udo dan

adik-ku terimakasih atas perhatian, do’a, semangat, dan bantuanya, kepada seluruh

pejuang ADK di Universitas Lampung dan teman- teman Exotic matematika

angkatan 2008, terimak kasih atas segala bantuan dan motivasinya, kalian

adalah teman terbaikku.

Judul Skripsi : REPRESENTASI OPERATOR HILBERT- SCHMIDT PADA RUANG BARISAN

Nama Mahasiswa : Herlisa Anggraini Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031003

Jurusan : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI

1. Komisi Pembimbing

Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si Amanto,S.Si., M.Si.

NIP. 19631108 198902 2 001 NIP. 19730314 200012 1 002 2. Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika

Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. NIP. 19620704 198803 1 002

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu cabang ilmu dalam matematika adalah analisis fungsional. Dalam analisis fungsional ada banyak topik yang mengacu pada ruang, misal ruang Hilbert, dalam ruang Hilbert ada beberapa konsep dasar yang perlu diketahui terlebih dahulu yaitu ruang vektor, ruang metrik, ruang bernorma, ruang Banach dan ruang pre-Hilbert. Ruang bernorma merupakan ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu norma. Ruang bernorma yang sudah lazim dibicarakan yaitu ruang bernorma yang dilengkapi inner product (hasil kali dalam). Ruang hasil kali dalam yang bersifat lengkap disebut sebagai ruang Hilbert ℋ. Lengkap disini berarti setiap barisan Cauchy didalamnya konvergen.

Pembicaraan di dalam analisis fungsional ini tidak terlepas dari teori operator. Operator yang dimaksud yaitu operator linier. Misalkan X dan Y

masing – masing adalah ruang bernorm. Suatu pemetaan T yang mengaitkan setiap unsur pada domain D(T) ∈ X dengan unsur tunggal y ∈

2

Seperti telah diketahui, teori operator muncul setelah dikenal adanya ruang vektor (ruang linier). Operator linier merupakan fungsi linier dari ruang linier ke ruang linier. Jenis operator yang banyak dikaji saat ini antara lain operator Hilbert-Schmidt. Operator Hilbert-Schmidt merupakan operator terbatas pada ruang Hilbert, yaitu suatu ruang perkalian dalam yang lengkap. Melihat sifat dan aplikasinya serta saran dari skripsi tahun 2012 yang berjudul Studi Tentang Operator Hilbert-Schmidt pada Ruang Hilbert dan Operator Hilbert-Hilbert-Schmidt pada Integral Lebesque , maka peneliti tertarik untuk mempelajari lebih mendalam mengenai materi tentang representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang barisan sebagai bahan skripsi atau tugas akhir.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah

1. Menguraikan dan menyelidiki sifat- sifat dasar operator Hilbert-Schmidt.

2. Mempelajari operator Hilbert-Schmidt.

3. Mencari representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang barisan.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah

1. Memahami lebih mendalam mengenai konsep operator pada ruang Hilbert.

3

2. Memberikan ide penelitian lain terkait operator linier. 3. Memahami konsep dasar barisan.

4. Memahami konsep dasar operator Hilbert-Schmidt.

II. TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian.

2.1 Ruang Vektor

Definisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui , + grup komutatif dan ℱ, ⨁, . lapangan dengan elemen identitas 1. disebut ruang vektor (vector space) atas ℱ jika ada operasi luar * antara keduanya sehingga untuk setiap ∈ dan ∈ ℱ menentukan dengan tunggal

∈ yang memenuhi sifat – sifat :

(i) + = + ,

(ii) ⨁ = + ,

(iii) . = ,

(iv) = ,

untuk setiap , ∈ dan , ∈ ℱ. Teorema 2.1.2 (Darmawijaya, 2007)

Jika suatu ruang vektor atas lapangan ℱ , maka berlaku pernyataan-pernyataan berikut:

5

(ii) Jika ∈ dan + = , maka = � (� vektor nol). (iii) � = �untuk setiap skalar .

(iv) = �untuk setiap x∈ .

(v) − = − untuk setiap ∈ .

(vi) Jika suatu scalar dan ∈ sehingga = �, maka = atau = �.

2.2 Ruang Vektor Bagian dan Bebas Linear

Definisi 2.2.1 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ dan ⊂ . Jika himpunan terhadap operasi – operasi yang sama dengan operasi – operasi di bagian juga merupakan ruang vektor atas ℱ, maka disebut ruang vektor bagian (vector sub-space) dari .

Teorema 2.2.2 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ dan ≠ �. Himpunan merupakan ruang vektor bagian jika dan hanya jika untuk setiap , ∈ dan , ∈ ℱ berlaku + ∈ .

Teorema 2.2.3 (Darmawijaya, 2007)

Jika ruang vektor terhadap lapangan ℱ dan , � masing – masing ruang vektor bagian maka

6

juga merupakan ruang vektor bagian yang memuat dan � sebagai ruang vektor bagiannya.

Teorema 2.2.4 (Darmawijaya, 2007)

Jika ruang vektor terhadap lapangan ℱ dan , � ⊂ masing – masing ruang vektor bagian dan � = {�}, maka untuk setiap ∈ + � terdapat dengan tunggal ∈ dan ∈ � sehingga = + .

Teorema 2.2.5 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapanngan ℱ. Jika , ∈ dan �, , ∈ ℱ untuk setiap � = , , … , maka benar bahwa

(i) ∑ ₌ + ∑ ₌ = ∑ ₌ + ,

(ii) � ∑ ₌ = ∑ ₌ � ,

(iii) ∑ ₌ = ∑ ₌ , dan

(iv) ∑ ₌ (∑ ₌ = ∑ ₌ ∑ ₌ .

Teorema 2.2.6 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Jika , , … ∈ , maka =

[ , , … , ] merupakan ruang vektor bagian .

Teorema 2.2.7 (Darmawijaya, 2007

Jika ruang vektor atas lapangan ℱ dan ⊂ , maka [ ] merupakan ruang vektor bagian . Lebih lanjut, [ ] merupakan ruang vektor terkecil yang memuat

7

Definisi 2.2.8 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , ∈ atau

{ , , … , } ⊂ dikatakan bebas linier (liniearly independent) jika

, , … , ∈ ℱ dan + + ⋯ + = � (� vektor nol)

berakibat = = ⋯ = = . Teorema 2.2.9 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , ∈ tak bebas linier jika dan hanya jika terdapat � dengan � sehingga vektor merupakan kombinasi linier − vektor – vektor lainnya.

Akibat 2.2.10 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , ∈ bebas linier jika dan hanya jika untuk setiap �, � .

Vektor bukan merupakan kombinasi linier − vektor – vektor lainnya. Teorema 2.2.11 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , bebas linier jika dan hanya jika setiap persamaan

∑ = ∑

= =

8

2.3 Basis dan Dimensi

Definisi 2.3.1 (Darmawijaya, 2007)

Ruang vektor dikatakan terbangkitkan secara hingga (finitely generated) jika ada vektor – vektor , , … , ∈ sehinggga = [ , , … , ]. Dalam keadaan seperti itu, { , , … , } disebut pembangkit (generator) ruang vektor

.

Definisi 2.3.2 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor . Himpunan ℬ ⊂ dikatakan bebas linier jika setiap himpunan bagian hingga di dalam B bebas linier.

Definisi 2.3.3 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Himpunan ℬ ⊂ disebut basis (base) jika ℬ bebas linier dan = dim ℬ .

Teorema 2.3.4 (Darmawijaya, 2007)

Ruang vektor terbangkitkan secara hingga jika dan hanya jika mempunyai basis hingga.

Teorema 2.3.5 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ruang vektor dan ℬ ⊂ basis. Banyaknya anggota ℬ disebut dimensi ruang vektor ,ditulis dim . Jika banyaknya anggota ℬ hingga maka dikatakan berdimensi hingga dan jika banyaknya anggota ℬ tak hingga maka dikatakan berdimensi tak hingga.

9

Teorema 2.3.6 (Darmawijaya, 2007)

Jika ruang vektor berdimensi , maka setiap + vektor di dalam tak bebas linier.

Akibat 2.3.7 (Darmawijaya, 2007)

Jika { , , … , } dan { , , … , } masing – masing basis untuk ruang vektor , maka = .

2.4 Fungsi Linear

Fungsi dari suatu ruang vektor ke ruang vektor lain yang banyak digunakan dan mudah dalam memahaminya adalah fungsi linear, yaitu fungsi yang bersifat aditif dan homogen.

Definisi 2.4.1 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan dua ruang vektor dan , masing – masing atas lapangan ℱ yang sama. Fungsi : → disebut fungsi linear jika

(i) fungsi aditif (additive)

+ = + untuk setiap , ∈ , dan

(ii) fungsi homogen (homogeneous)

= untuk setiap dan vektor ∈ . Teorema 2.4.2 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan dua ruang vektor dan masing – masing atas lapangan ℱ yang sama (ℛ atau �). Fungsi : → merupakan fungsi linear jika dan hanya jika untuk sebarang skalar , dan vektor , ∈ , berlaku

10

Teorema 2.4.3 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor atas lapangan ℱ yang sama. Jika : → merupakan fungsi linear maka

(i) − = − untuk setiap ∈ .

(ii) − = − untuk setiap , ∈ .

(iii) � = �̅, dengan � ∈ dan �̅ ∈ masing – masing menyatakan vektor nol.

(iv) ∑ ₌ = ∑ ₌ untuk setiap skalar , , … , dan vektor

– vektor , , … , ∈ . Teorema 2.4.4 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika : → merupakan fungsi linear dan : → sehingga = untuk setiap ∈ , maka linear dan = .

Teorema 2.4.5 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor dan ⊂ generator untuk . Jika : → merupakan fungsi linear dan : → sehingga = untuk setiap ∈ , maka fungsi linear dan = ; lebih lanjut merupakan

generator .

Teorema 2.4.6 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika : → merupakan fungsi linear, maka _� = merupakan ruang bagian di dalam . Himpunan

11

Teorema 2.4.7 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika : → merupakan fungsi linear, maka

� = { ∈ : = �̅}

dan

= ( − � {�̅}

masing – masing merupakan ruang bagian di dalam . Selanjutnya, himpunan _� disebut ruang nol (null space) fungsi .

Teorema 2.4.8 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika berdimensi dan : → merupakan fungsi linear, maka dim .

Teorema 2.4.9 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika berdimensi dan : → merupakan fungsi linear, maka

� + � =

2.5 Operator Linear

Definisi 2.5.1 (Kreyzig, 1978)

Suatu pemetaan dengan daerah asal � dan daerah hasil ℜ adalah suatu operator linear jika memenuhi:

12

2. Untuk semua , ∈ � dan skalar berlaku + = + dan

= .

2.6 Fungsi Linear dan Metrik

Teorema 2.6.1 (Darmawijaya, 2007)

Jika merupakan ruang vektor real (kompleks) berdimensi n, maka isomorfis dengan ℛ � , yaitu terdapat fungsi linear dan bijektif dari ke ℛ � . Akibat 2.6.2 (Darmawijaya, 2007)

Jika dan , masing – masing ruang vektor (atas lapangan yang sama), dim dim , dan fungsi : → linear dan injektif, maka isomorfis dengan _�= .

Teorema 2.6.3 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor (atas lapangan yang sama), dim = dan dim = . Setiap fungsi linear : → menentukan matriks A berukuran × :

� = =

… …

… … … …

… ) … )

sebaliknya juga berlaku.

Definisi 2.6.4 (Darmawijaya, 2007)

Dua ruang vektor dan dikatakan isomorfik (isomorphic) jika ada fungsi linear bijektif : → . Dalam hal ini, fungsi tersebut dinamakan isomorfisma ruang vektor (vector space isomorphism) antara dan .

13

Teorema 2.6.5 (Darmawijaya, 2007)

Jika , dan masing – masing adalah ruang vektor – ruang vektor atas lapangan yang sama, maka pernyataan – pernyataan di bawah ini benar :

(i) Untuk setiap ∈ ℒ , dan ∈ ℒ , , maka ∈ ℒ , . (ii) ℒ , merupakan ruang vektor.

(iii)ℒ = ℒ , merupakan aljabar assosiatif yang mempunyai elemen satuan.

2.7 Ruang Bernorma

Definisi 2.7.1 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang linier �. Fungsi ∈ � ↦ ‖ ‖ ∈ ℛ, yang mempunyai sifat-sifat:

(N1) ‖ ‖ , untuk setiap ∈ �

‖ ‖ = , jika dan hanya jika = �, (� vektor nol) (N2) ‖ ‖ = | |. ‖ ‖, untuk setiap skalar dan ∈ � (N3) ‖ + ‖ ‖ ‖ + ‖ ‖, untuk setiap , ∈ �,

disebut norma (norm) pada � dan bilangan nonnegatif ‖ ‖ disebut norma vektor . Ruang linear � yang dilengkapi dengan suatu norma ‖. ‖ disebut ruang bernorma (norm space) dan dituliskan singkat dengan �, ‖. ‖ atau � saja asalkan normanya telah diketahui.

14

2.8 Ruang Banach

Definisi 2.8.1 (Darmawijaya, 2007)

Ruang Banach (Banach Space) adalah ruang bernorma yang lengkap (sebagai ruang metrik yang lengkap).

2.9 Ruang Hilbert

Definisi 2.9.1 (Darmawijaya, 2007)

Ruang Hilbert (Hilbert Space) adalah ruang pre-Hilbert yang lengkap. Definisi 2.9.2 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ℋ ruang linier

(i) Fungsi ℋ × ℋ → ∁ dengan rumus

( , ∈ ℋ × ℋ → , ∈ ∁

yang memenuhi sifat-sifat (I1) , = ,̅̅̅̅̅̅̅̅, (I2) , = , , (I3) , , = , + , ,

Untuk setiap , , ∈ ℋ dan skalar , dan

(I4) , > 0 jika dan hanya jika ≠ � (� vektor nol),

disebut inner-product atau dot product, atau scalar product pada ℋ.

(ii) Ruang linier ℋ yang dilengkapi dengan suatu inner-product disebut ruang pre-Hilbert (pre-Hilbert space) atau ruang inner-product (inner-product space).

15

2.10 Basis Orthonormal

Definisi 2.10.1 (Darmawijaya, 2007)

(i) Basis ortogonal (ortogonal basis) di dalam ruang pre-Hilbert adalah basis yang setiap dua vektornya saling tegak lurus.

(ii) Basis ortonormal (orthonormal basis) di dalam suatu ruang pre-Hilbert adalah basis ortogonal dan setiap anggotanya merupakan vektor satuan (normanya sama dengan 1).

Teorema 2.10.2 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ruang Hilbert ℋ mempunyai basis orthonormal { }. Diperoleh pernyataan ∈ ℋ jika dan hanya jika ada { } ∈ ℓ sehingga

= ∑ ∞

=

2.11 Operator pada Ruang Hilbert

Teorema 2.11.1 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ℋ dan � masing – masing ruang Hilbert. Untuk setiap ∈ ℒ �, ℋ terdapat ∈ ℒ �, ℋ tunggal sehingga untuk setiap ∈ ℋ dan ∈ � berakibat

, = ,

Definisi 2.11.2 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan dua ruang Hilbert ℋdan �. Menurut teorema 2.11.1, untuk setiap operator ∈ ℒ �, ℋ terdapat ∈ ℒ �, ℋ sehingga

16

Untuk setiap ∈ ℋ dan ∈ �. Operator disebut operator adjoint atau operator pendamping terhadap operator .

Teorema 2.11.3 (Darmawijaya, 2007)

Ini adalah sifat – sifat operator pedamping. Diberikan dua ruang Hilbert ℋ dan �. Jika , ∈ ℒ ℋ, � dan sebarang skalar maka

(i) + = +

(ii) = ̅

(iii) = =

(iv) ‖ ‖ = ‖ ‖ = ‖ ‖ = ‖ ‖

(v) = ⟺ = ( operator nol).

Teorema 2.11.4 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ℋ, � dan masing – masing ruang Hilbert. Jika ∈ ℒ ℋ, � dan

∈ ℒ �, maka ∈ ℒ , ℋ dan

= Teorema 2.11.5 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ℋ � masing – masing ruang Hilbert. ∈ ℒ ℋ, � , � ⊂ ℋ dan

ℬ ⊂ �. Jika � ⊂ ℬ, maka ℬ⊥ ⊂ �⊥.

Teorema 2.11.6 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan berturut-turut merupakan ruang bagian yang tertutup di dalam ruang Hilbert ℋ �. Untuk setiap ∈ ℒ ℋ, � diperoleh ⊂ jika dan hanya jika ⊥ ⊂ ⊥.

17

Teorema 2.11.7 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ℋ � masing – masing ruang Hilbert. Jika ∈ ℒ ℋ, � maka

(i) { : ∈ ℋ = �̅} = { � }⊥

(ii) { : ∈ ℋ = �̅}⊥= ̅̅̅̅̅̅̅̅̅�

(iii) { : ∈ � = �} = { ℋ }⊥

(iv) { : ∈ � = �}⊥ = ℋ̅̅̅̅̅̅̅

Definisi 2.11.8 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ℋ suatu ruang Hilbert ∈ ℒ ℋ disebut :

1. Operator isometrik (isometric operator) jika = ; 2. Operator uniter (unitary operator) jika = = ; 3. Operator mandiri (self adjoint operator) jika = ;

4. Operator proyeksi (projection operator) jika = dan = ; 5. Operator normal (normal operator) jika = .

2.12 Operator Hilbert Schmidt

Ruang Hilbert dimaksudkan sebagai ruang Hilbert yang mempunyai basis dan elemen-elemen di dalam yang dinamakan vektor.

Definisi 2.12.1

Suatu operator linier �: → dinamakan operator Hilbert-Schmidt disingkat operator-HS jika terdapat basis ortonormal { } pada sehingga

‖�‖�� = (∑‖� ‖

∞

18

Pendefinisian tersebut tidak bergantung pada pemilihan basis ortonormal di .

2.13 Barisan

Definisi 2.13.1 ( Darmawijaya, 2006)

Barisan (sequence) bilangan nyata adalah fungsi dari � ke ℛ. Menurut definisi tersebut, jika suatu barisan bilangan nyata, nilai di biasa ditulis dengan ; jadi

= Barisan biasa dituliskan dengan

{ } atau { , , … }

Dengan = disebut unsur (element) ke- barisan itu. Barisan juga dapat dipandang sebagai himpunan terurut.

Misalkan {

+ } adalah barisan bilangan nyata dengan unsur ke- adalah = +

Jadi barisan itu adalah fungsi : � → ℛ dengan rumus = = + . Aljabar barisan disusun sebagai berikut.

Definisi 2.13.2 ( Darmawijaya, 2006)

Jika { } dan { } dua barisan bilangan nyata, didefinisikan

(i) Jumlah (addition,sum) dua barisan { } dan { } adalah suatu barisan dengan + sebagai unsur ke- . Jadi

19

(ii) Perkalian skalar (scalar multiplication). Jika k suatu konstanta, maka �{ } adalah suatu barisan bilangan nyata dengan � sebagai unsur ke- . Jadi

�{ } = {� }.

(iii) Hasil ganda (product) dua barisan bilangan nyata { } dan { } adalah suatu barisan dengan sebagai unsur ke- . Jadi

{ }{ } = { }.

(iv) Hasil bagi (division) barisan bilangan nyata { } dengan barisan bilangan nyata { } adalah suatu barisan bilangan nyata dengan �

� sebagai suku ke- , asalkan ≠ untuk setiap . Jadi

{ }

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, pada semester ganjil tahun ajaran 2012/2013.

3.2 Metode Penelitian

Langkah – langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah

1. Mengumpulkan referensi berupa jurnal buku-buku, literatur dari

internet dan perpustakaan yang berhubungan dengan penelitian ini.

2. Menjabarkan definisi, teorema, dan sifat yang berhubungan dengan

penelitian.

3. Menguraikan konsep ruang Hilbert, ruang bernorm, ruang Banach,

operator Hilbert-Schmid dan konsep dasar barisan.

4. Mencari contoh representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang

MOTTO

“Wahai Orang

-orang yang beriman! Jika kamu menolong

agama Allah, niscaya Dia akan menolongmu dan meneguhkan

kedudukanmu”

(Qs. Muhammad:7)

“Barang

siapa merintis jalan mencari ilmu, maka Allah akan

memudahkan baginya

jalan ke syurga”

(HR. Muslim)

“Seorang penuntut ilmu yang ingin memperbanyak ilmunya

wajib menyerahkan segenap tenaganya, sabar menghadapi

segala cobaan, dan kesulitan”

(Imam Syafi’i)

“O

rang yang memiliki semangat ia akan mencintai semua yang

dihadapinya , jangan pernah sekalipun ragu untuk sebuah cita

kebaikan yang kita impikan. Sekalipun itu tak mungkin.

Maka akan menjadi mungkin dengan-

Nya”

vi

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Krui, Pesisir Barat pada tanggal 26 November 1989, anak ketiga dari empat bersaudara, dari pasangan Bapak Khoirudin, B.A dan Ibu Lekat Kesuma.

Penulis memulai pendidikan formalnya di TK Dharma Wanita Pesisir Tengah pada tahun 1996. Kemudian pendidikan tingkat dasar dilalui dan diselesaikan di SD Negeri 2 Gunung Kemala pada tahun 2002, kemudian melanjutkan pendidikan tingkat menengah di SMP Negeri 2 Pesisir Tengah pada tahun 2005 dan menyelesaikan pendidikan sekolah tingkat atas pada tahun 2008 di SMA Negeri 1 Pesisir Tengah Krui.

Penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada tahun 2008 melalu jalur PKAB. Selama menjadi mahasiswa penulis pernah menjadi anggota muda HIMATIKA, ROIS FMIPA, BEM FMIPA pada tahun 2008. Kemudian pada Periode 2009-2010 penulis menjadi Sekretaris Biro Keputrian ROIS FMIPA dan anggota Bidang Kesekretaritan HIMATIKA. Pada periode kepengurusan 2010-2011 penulis menjadi Bendahara Umum ROIS FMIPA. Berakhir kepengurusan di ROIS FMIPA, penulis menjadi staf Bendahara Puskomnas FSLDK Indonesia priode 2010-2012. Sebagai bentuk pengabdian mahasiswa kepada masyarakat penulis telah mengikuti Kuliah Kerja Nyata (KKN) yang merupakan mata kuliah

vi

wajib untuk strata satu di Desa Mercu Buana Kecamatan Way Kenanga, Kabupaten Tulang Bawang Barat yang dilaksanakan pada tanggal 01 Juli 2011 sampai 10 Agustus 2011. Kemudian sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu yang telah dipelajari penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Bank Muamalat Indonesia Kantor Cabang Bandar Lampung pada tanggal 16 Januari 2012 sampai dengan 15 Februari 2012.

SANWACANA

Puji syukur kepada Allah SWT atas izin dan ridho-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam selalu tercurah kepada baginda Nabi Muhammad SAW, tauladan terbaik sepanjang masa.

Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si, selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu dari padatnya kesibukan beliau untuk membimbing hingga skripsi ini selesai.

2. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah banyak membantu, mengoreksi dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku dosen penguji bukan pembimbing yang memberi penulis masukan dan saran untuk skripsi ini.

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

5. Ibu Dr. Ir. Netty Herawati. M.Sc., selaku pembimbing akademik.

x

7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

8. Bak, Emak, Udo Win beserta keluarga, adikku Reti, atas doa, nasehat, dukungan dan semangatnya selama ini.

9. Bundo Mira, Mami Lina, Ririn, Nuy, Dyah, Tiwi, Eflin, Recan, Ma’ruf, Tika, Wiwid, Tyas, Papi Fajri, Pak de dan keluarga Excotic jurusan matematika 2008 atas dukungan, kritik dan saran serta kebersamaan yang telah diberikan. 10. Keluarga Besar ROIS FMIPA 2007 sampai 2012 khususnya periode

2010/2011, Presidium, pimpinan dan seluruh anggota bidang atau biro yang telah memberikan ukhuwah dan kebersamaan yang bermakna.

11. Enam pejuang FMIPA atas semangat, doa, dan ukhuwah yang telah diberikan.

12. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Bandar Lampung, Januari 2013 Penulis

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang barisan diperoleh dengan mengubah �: � → � menjadi �: ℓ → ℓ , dengan

ℓ = {�̃ = {� } ∈ �: ∑|� |

∞ =

< ∞}

dan ∑∞₌ � � , �_� = �_� dimana ‖�‖ = ∑ ‖��_{� �}‖ == ∑ |�_{�, �}| , sehingga A terdefinisi sebagai operator Hilbert-Schmidt.

5.2 Saran

Disarankan kepada para peneliti yang akan datang untuk dapat mengembangkan penelitian terhadap operator Hilbert-Schmidt pada ruang lain seperti ruang

MOTTO

“Wahai Orang

-orang yang beriman! Jika kamu menolong

agama Allah, niscaya Dia akan menolongmu dan meneguhkan

kedudukanmu”

(Qs. Muhammad:7)

“Barang

siapa merintis jalan mencari ilmu, maka Allah akan

memudahkan baginya

jalan ke syurga”

(HR. Muslim)

“Seorang penuntut ilmu yang ingin memperbanyak ilmunya

wajib menyerahkan segenap tenaganya, sabar menghadapi

segala cobaan, dan kesulitan”

(Imam Syafi’i)

“O

rang yang memiliki semangat ia akan mencintai semua yang

dihadapinya , jangan pernah sekalipun ragu untuk sebuah cita

kebaikan yang kita impikan. Sekalipun itu tak mungkin.

Maka akan menjadi mungkin dengan-

Nya”

vi

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Krui, Pesisir Barat pada tanggal 26 November 1989, anak ketiga dari empat bersaudara, dari pasangan Bapak Khoirudin, B.A dan Ibu Lekat Kesuma.

Penulis memulai pendidikan formalnya di TK Dharma Wanita Pesisir Tengah pada tahun 1996. Kemudian pendidikan tingkat dasar dilalui dan diselesaikan di SD Negeri 2 Gunung Kemala pada tahun 2002, kemudian melanjutkan pendidikan tingkat menengah di SMP Negeri 2 Pesisir Tengah pada tahun 2005 dan menyelesaikan pendidikan sekolah tingkat atas pada tahun 2008 di SMA Negeri 1 Pesisir Tengah Krui.

Penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada tahun 2008 melalu jalur PKAB. Selama menjadi mahasiswa penulis pernah menjadi anggota muda HIMATIKA, ROIS FMIPA, BEM FMIPA pada tahun 2008. Kemudian pada Periode 2009-2010 penulis menjadi Sekretaris Biro Keputrian ROIS FMIPA dan anggota Bidang Kesekretaritan HIMATIKA. Pada periode kepengurusan 2010-2011 penulis menjadi Bendahara Umum ROIS FMIPA. Berakhir kepengurusan di ROIS FMIPA, penulis menjadi staf Bendahara Puskomnas FSLDK Indonesia priode 2010-2012. Sebagai bentuk pengabdian mahasiswa kepada masyarakat penulis telah mengikuti Kuliah Kerja Nyata (KKN) yang merupakan mata kuliah

vi

wajib untuk strata satu di Desa Mercu Buana Kecamatan Way Kenanga, Kabupaten Tulang Bawang Barat yang dilaksanakan pada tanggal 01 Juli 2011 sampai 10 Agustus 2011. Kemudian sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu yang telah dipelajari penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Bank Muamalat Indonesia Kantor Cabang Bandar Lampung pada tanggal 16 Januari 2012 sampai dengan 15 Februari 2012.

SANWACANA

Puji syukur kepada Allah SWT atas izin dan ridho-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam selalu tercurah kepada baginda Nabi Muhammad SAW, tauladan terbaik sepanjang masa.

Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si, selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu dari padatnya kesibukan beliau untuk membimbing hingga skripsi ini selesai.

2. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah banyak membantu, mengoreksi dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku dosen penguji bukan pembimbing yang memberi penulis masukan dan saran untuk skripsi ini.

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

5. Ibu Dr. Ir. Netty Herawati. M.Sc., selaku pembimbing akademik.

x

7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

8. Bak, Emak, Udo Win beserta keluarga, adikku Reti, atas doa, nasehat, dukungan dan semangatnya selama ini.

9. Bundo Mira, Mami Lina, Ririn, Nuy, Dyah, Tiwi, Eflin, Recan, Ma’ruf, Tika, Wiwid, Tyas, Papi Fajri, Pak de dan keluarga Excotic jurusan matematika 2008 atas dukungan, kritik dan saran serta kebersamaan yang telah diberikan. 10. Keluarga Besar ROIS FMIPA 2007 sampai 2012 khususnya periode

2010/2011, Presidium, pimpinan dan seluruh anggota bidang atau biro yang telah memberikan ukhuwah dan kebersamaan yang bermakna.

11. Enam pejuang FMIPA atas semangat, doa, dan ukhuwah yang telah diberikan.

12. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Bandar Lampung, Januari 2013 Penulis

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang barisan diperoleh dengan mengubah �: � → � menjadi �: ℓ → ℓ , dengan

ℓ = {�̃ = {� } ∈ �: ∑|� |

∞ =

< ∞}

dan ∑∞₌ � � , �_� = �_� dimana ‖�‖ = ∑ ‖��_{� �}‖ == ∑ |�_{�, �}| , sehingga A terdefinisi sebagai operator Hilbert-Schmidt.

5.2 Saran

Disarankan kepada para peneliti yang akan datang untuk dapat mengembangkan penelitian terhadap operator Hilbert-Schmidt pada ruang lain seperti ruang reproducing Kernel.