DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT

  1 DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT

1 Geometri Ruang Hilbert

  

R

Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K , C disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi

  ∈ { }

  K K

  ( , : V

  V sehingga untuk setiap x, y, z V dan α berlaku:

  · ·) × → ∈ ∈ ( ) > ( ) = =

  (i) x, x 0 dan x, x 0 jika dan hanya jika x

  ) = ( + ( ) + ( )

  (ii) x, y z x, y x, z (iii) ( x, αy ) = α ( x, y )

  ( ) = ( )

  (iv) x, y y, x Fungsi ( ., . ) disebut hasilkali dalam (pada V).

  • Perhatikan bahwa (ii), (iii), dan (iv) berakibat ( x, αy βz ) = α ( x, y ) + β ( x, z ) dan ( αx, y ) = ( )

  

α x, y . Menurut definisi di atas hasilkali dalam bersifat linear terhadap komponen kedua dan

bersifat konjugat linear terhadap komponen pertama. n

  (

  

Contoh 1.2 Diberikan C yaitu himpunan semua n-tupel bilangan kompleks. Fungsi , :

  · ·)

  n n C C C dengan

  × →

  n

  ( x, y ) = x y ,

  j jj =

  1

  n C

untuk setiap x = ( x , . . . , x ) , y = ( y , . . . , y ) mendefinisikan sebuah hasilkali dalam

  1 n 1 n

  n pada C .

  [ ]

  Contoh 1.3 Diberikan C

  a, b yaitu himpunan semua fungsi kontinu bernilai kompleks pada

C

interval [

  a, b ] . Fungsi ( , : C [

  a, b ] C [

  

a, b ] dengan

  · ·) × → Z

  

b

  ( ) = ( ) ( )

  

f , g f x g x dx,

a

  [ ] [ ]

  untuk setiap f , g C

  

a, b mendefinisikan sebuah hasilkali dalam pada C

a, b .

  ∈

  Dua vektor x dan y di dalam ruang hasilkali dalam V dikatakan ortogonal jika ( x, y ) = Definisi 1.4 0.

  Himpunan vektor x V dikatakan himpunan ortonormal jika ( x , x ) = 1 untuk setiap i dan

  { i } ⊂

  i i

  ( ) = x , x 0 jika i j.

  i j 6=

p

Untuk setiap x V didefinisikan x : = ( x, x ) . Akan diperlihatkan bahwa . meru-

  ∈ k k k k pakan norma pada V. Kita ingat kembali definisi norma.

  1 versi 25 Juni 2011, Herry P. Suryawan

  R

Definisi 1.5 Ruang vektor V atas lapangan K , C disebut ruang bernorma jika ada fungsi

  ∈ { }

  R K . : V sehingga untuk setiap x, y V dan α berlaku:

  k k → ∈ ∈

  (i) x

  k k ≥

  (ii) x 0 jika dan hanya jika x =

  k k =

  (iii) αx α x

  k k = | |k k

  • (iv) x y x y (ketaksamaan segitiga)

  k k ≤ k k + k k Fungsi . disebut norma (pada V). k k

  m Diberikan x himpunan ortonormal di dalam ruang hasil-

  Teorema 1.6 (Teorema Phytagoras) n

  { }

  n =

  1

  kali dalam V. Maka untuk setiap x V,

  ∈

  2

  m m

  2

  2

  • = ) ( )

  

x x, x n x x, x n x n

  k k ∑ |( | − ∑

  n =

  1 n =

  1 Bukti . Tulis x sebagai !

  m m

  = ( ) ( ) +

x x, x n x n x x, x n x n .

  ∑ − ∑ n =

  1 n =

  1 Dengan menggunakan sifat-sifat hasilkali dalam diperoleh bahwa

  m m

  ( ) ( )

  x, x x dan x x, x x

n n − ∑ n n

  = = n

  1 n

  1

  ortogonal. Oleh karena itu

  2

  2

  2

  m m m m

  2 + ( x, x ) = ( x, x ) x x ( x, x ) x = x, x ) x ( x, x ) x . +

  

n nn n |( | −

n n n ∑ ∑ ∑ ∑ n =

  1 n = 1 n = 1 n =

  1

  m

Akibat 1.7 (Ketaksamaan Bessel) Diberikan x himpunan ortonormal di dalam ruang hasil-

  { n }

  n =

  1

  kali dalam V. Maka untuk setiap x

  V

  ∈

  

m

  2

  2

x x, x ) .

k k ≥ |( n |

  

=

n

  1 Akibat 1.8 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika x dan y dua vektor di dalam ruang hasilkali dalam

  V, maka

x, y ) x y .

  |( | ≤ k kk k n o

  y

  =

  Bukti . Kasus y 0 trivial, jadi diasumsikan y

  0. Himpunan merupakan himpunan

  6=

  y k || ortonormal, maka dengan menerapkan ketaksamaan Bessel pada sebarang x V diperoleh

  ∈

  2

  2 ( )

  y x, y yakni diperoleh x, y ) x y .

  |( | ≤ k kk k

  

Diingat bahwa setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik. Teorema berikut menun-

jukkan bahwa setiap ruang hasilkali dalam merupakan ruang bernorma.

  1/2 )

Teorema 1.9 Setiap ruang hasilkali dalam V merupakan ruang bernorma dengan norma x x, x .

k k = (

  

Bukti . Karena V adalah ruang vektor, maka tinggal diperiksa bahwa . memenuhi sifat-sifat

  k k

  

norma. Di sini hanya akan ditunjukkan bahwa ketaksamaan segitiga berlaku. Ambil x, y V,

  ∈

  maka dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz

  2

  • x y = ( x, x ) + ( x, y ) + ( y, x ) + ( y, y ) k k

  = ( ) + ) + ( )

  x, x 2 x, y y, y

  ℜ(

  

x, x ) + x, y ) y, y )

  2

  ≤ ( |( | + ( 1/2 1/2

  ) + ( ) ( ) + ( )

  x, x 2 x, x y, y y, y .

  ≤ (

  Jadi

  2

  2

  • x y x y k k ≤ (k k + k k) dan terbuktilah ketaksamaan segitiga.

  

Teorema 1.9 menunjukkan bahwa di dalam ruang hasilkali dalam V terdapat metrik natural

yang diinduksi oleh hasilkali dalam q

d ( x, y ) = x y ( x y, x y ) .

  k − k = − −

  

Dengan menggunakan metrik ini kita dapat mendefinisikan konsep kekonvergenan, kelengka-

pan, dan kepadatan di dalam V. Khususnya, kita dapat melengkapkan V ke suatu ruang

bernorma ˜ V dimana V tersisip secara isometrik sebagai subhimpunan padat. Catat bahwa

˜

V juga merupakan ruang hasilkali dalam sebab hasilkali dalam di V dapat diperluas ke ˜

  V menggunakan sifat kekontinuan.

  Norma yang berasal dari hasilkali dalam haruslah memenuhi hukum jajargenjang

  2

  2

  2

  2

  x y x y =

  2 x 2 y .

  k k k − k k k k k

  

Dengan kata lain, apabila hukum jajargenjang berlaku di dalam sebuah ruang bernorma, maka

ruang tersebut merupakan ruang hasilkali dalam. Lebih lanjut hasilkali dalam tersebut dapat

diperoleh kembali dari norma melalui identitas polarisasi

  1

  2

  2

  2

  2 ( ) = + + +

x, y x y x y i x iy i x iy .

k k − k − k k k − k − k

4 Lebih jelasnya kita mempunyai teorema berikut.

  

Teorema 1.10 Ruang bernorma ( V, merupakan ruang hasilkali dalam jika dan hanya jika norma

  k · k) memenuhi hukum jajargenjang. k · k

  2 Definisi 1.11 Ruang hasilkali dalam yang lengkap disebut ruang Hilbert . Ruang hasilkali dalam seringkali disebut ruang pra-Hilbert.

  

Definisi 1.12 Dua ruang Hilbert dan dikatakan isomorfik jika ada operator linear surjektif T

  H

  1 H

  2 ( ) = ( )

  

dari ke sehingga Tx, Ty x, y untuk setiap x, y . Operator demikian dikatakan

  H

  1 H

  2 ∈ H

  1 H 2 H 1 uniter.

  2 [ ]

  Contoh 1.13 Didefinisikan L

  a, b adalah himpunan semua fungsi terukur Lebesgue yang berni- R b

  2 <

  lai kompleks pada interval hingga [

  a, b ] yang memenuhi f ( x ) dx

  | | ∞. Untuk f , g

  a

  2 [ ]

  L

  a, b didefinisikan hasilkali dalam Z b

  ( ) = ( ) ( )

f , g f x g x dx.

  a Hasilkali dalam ini terdefinisi dengan baik sebab

  1

  1

  2

  2

  

f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x )

  | | ≤ | | | |

  2

  2

  1

  2

  sehingga f ( x ) g ( x ) L [

  a, b ] . Dapat ditunjukkan bahwa L [

  a, b ] lengkap dan karenanya meru-

  ∈

  2 [ ] [ ]

  pakan ruang Hilbert. Selain itu L

  a, b merupakan lengkapan dari C

  a, b terhadap norma Z 1/2 b

  2

f f ( x ) dx .

k k = | |

  a

  ∞

  2 Contoh 1.14 Didefinisikan l adalah himpunan semua barisan bilangan kompleks x { n }

  n =

  1 ∞

  2 <

  yang memenuhi ∑ x n dx ∞ dengan hasilkali dalam n =

  1 | | ∞

  ∞ ∞ ( ) =

x , y x y .

  { n } = { n } = ∑ n n

  n

  1 n

  1

  n =

  1 Norma yang diinduksi oleh hasilkali dalam ini diberikan oleh ! 1/2

  ∞ ∞

  2

x x .

  n n

  k{ } n = 1 k = ∑ | |

  n =

  1 Pertama kita periksa bahwa hasilkali dalam di atas terdefinisi dengan baik. Perhatikan jumlah

  parsial berikut ! ! ! !

  1/2 1/2 1/2 1/2 ∞ ∞

  N N N

  2

  2

  2

  2 <

  x y x y x y n n n n n n ∞.

  ∑ | | ≤ ∑ | | ∑ | | ≤ ∑ | | ∑ | | n =

  1 n = 1 n = 1 n = 1 n =

  1 ∞ ∞

  Karena jumlah parsialnya terbatas maka deret ∑ x y konvergen, dan akibatnya ∑ x y

  | n n | n n

  n =

  1 n =

  1

  2

  

konvergen. Mudah ditunjukkan bahwa l merupakan ruang vektor dan aksioma hasilkali

  2

  

dalam dipenuhi. Sekarang kita buktikan kelengkapan l . Diberikan sebarang barisan Cauchy

( l )

  ∞

  2 N >

  x di l dan sebarang ε 0, maka ada M sehingga

  { n } ∈

  = l,n

  1 ! 1/2

  ( l ) ∞ ( k ) ∞ ( k ) ( l )

  2 1/2 <

  

x x = x x ε ,

  { n } − { n } ∑ | nn |

  n =

  1 n =

  1

  =

n

  1

  

N

untuk setiap k, l M. Jadi untuk setiap N ,

  ≥ ∈

  N ( ) ( ) k l

  2 <

  

x x ε, untuk setiap k, l M ... (

  | nn | ≥ ∗)

  ∑ n =

  1 Untuk sebuah n yang tetap dan menggunakan (*) diperoleh

  ( k ) ( l )

  1/2

x x ε , untuk setiap k, l M.

  | nn | < ≥

  ( k )

  ∞

  

Dengan demikian barisan x adalah barisan Cauchy di C, dan karenanya konvergen,

  { n }

  k =

  1

  katakan

( k )

  N

  =

y : lim x , n .

  

n n

  ∞

  k

  ∞

  N

Hal ini berlaku untuk setiap n sehingga diperoleh barisan bilangan kompleks y .

  ∈ { n }

  = n

  1

  ( k )

  ∞ >

  

Karena setiap barisan Cauchy terbatas, maka ada K 0 sehingga x K untuk setiap

  { n } ≤

  n =

  1 N

  k . Akibatnya

  ∈

  N ( k )

  2

  2 N < x K , untuk setiap k, N .

  ∑ | n | ∈ = n

  1 Dengan mengambil k ∞, →

  N

  2

  2 < N

  y K n , untuk setiap N .

  ∑ | | ∈ n =

  1 ∞

  2

  

dan dengan mengambil N y l . Kembali ke (*) untuk N

  → ∞ disimpulkan bahwa { n } ∈

  = n

  1

  yang tetap, l M yang tetap, dan k ∞, maka

  ≥ →

  N N

( l ) ( l ) ( k )

  2

  2 = x y lim x x ε.

  

∑ | nn | ∑ | nn | ≤

  ∞

  kn =

  1 n =

  1 Dengan mengambil N ∞, maka →

  ( l ) ∞ ∞

  1/2 x y ε , untuk setiap l M.

  { n } − { n } ≤ ≥

  l,n =

  1 n =

  1

  ( l )

  ∞

  2

  2 Ini memperlihatkan kekonvergenan x di l . Terbukti l ruang Hilbert. Pada subbab 3 { n }

  l,n =

  1

  

akan diperlihatkan bahwa setiap ruang Hilbert berdimensi tak hingga yang memiliki subhim-

  2

  2

  

punan terhitung yang padat isomorfik dengan l . Dalam konteks ini l adalah contoh kanonik

dari ruang Hilbert. n

  2 n

  R

  ( )

  

Contoh 1.15 Diketahui µ adalah ukuran Borel pada R dan L , adalah himpunan se-

R n

  2 2 n < R

  

mua fungsi terukur bernilai kompleks pada R yang memenuhi f ( x ) ( , )

R | | n ∞. L adalah ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam Z ( f , g ) = f ( x ) g ( x ) . R n

  2 ( )

  (

  Contoh 1.16 Misalkan X, µ adalah ruang ukuran dan adalah ruang Hilbert. L X, ;

  H

  H)

  menotasikan himpunan semua fungsi terukur pada X dengan nilai di yang memenuhi Z H

  Himpunan ini merupakan ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam Z

  ( ) = ( ( ) ( )) ( )

f , g f x , g x dµ x .

  H

  X Contoh 1.17 (Jumlah langsung) Diberikan ruang Hilbert dan . Himpunan

  H

  1 H

  2

  x, y ) : x , y

  {( ∈ H 1 ∈ H 2 }

  merupakan ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam (( x , y ) , ( x , y )) = ( x , x ) + ( y , y ) .

  1

  1

  2

  2

  1

  2 1

  1

  2 2 H H

  

Ruang ini disebut jumlah langsung dari dan , dan dinotasikan dengan . Dua

  H

  1 H

  2 H 1 ⊕ H

  2

  

ukuran µ dan µ pada ruang M yang dilengkapi dengan aljabar-σ dikatakan saling sin-

  1

2 A

  ( ) = ( ) =

  gular jika ada A dengan µ A 0 dan µ M A

  0. Jika µ dan µ adalah dua

  ∈ A

  1 2 \

  1

  2

  2

  = ( )

  • R

  ukuran Borel pada R yang saling singular dan µ µ µ

  2 , maka L , isomorfik den-

  1

  2

  2 R R

  

gan L ( , ) L ( , ) . Kita juga dapat mengkonstruksi jumlah langsung terhitung ru-

  1 ⊕

  2 ∞

  

ang Hilbert. Diberikan barisan ruang Hilbert n . Misalkan adalah himpunan semua

  {H } H

  n =

  1 ∞

  barisan x dengan x yang memenuhi

  { n } n ∈ H n

  = n

  1 ∞

  2 <

  ∑ n

H

n =

  x k n k ∞.

  1 Maka adalah ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam H

  ∞ ∞ ∞

  ( ) = ( ) x n , y n x n , y n .

  { } n = { } n = ∑ n

  1

  1 H

  n =

  1

2 Teorema Representasi Riesz

  

Salah satu cara untuk mengkonstruksi ruang Hilbert adalah dengan membatasi hasilkali dalam

pada suatu subruang tertutup dari ruang Hilbert yang diberikan. Terhadap hasilkali

  M H

  

dalam di , merupakan ruang Hilbert. Komplemen ortogonal dari , dinotasikan dengan

  H M M

  ⊥ , adalah himpunan semua vektor di yang ortogonal terhadap . Mudah ditunjukkan

  M H M

  ⊥ ⊥

bahwa merupakan subruang tertutup dari . Jadi merupakan ruang Hilbert. Catat

  M H M

  ⊥

  =

  

bahwa . Teorema berikut menunjukkan bahwa terdapat vektor yang tegaklurus

  M ∩ M { }

  dengan setiap subruang proper tertutup , yakni ⊥ ⊥

  = + x y : x , y . H = M + M { ∈ M ∈ M }

  

Lema 2.1 Diketahui ruang Hilbert, subruang tertutup dari , dan x . Maka terdapat

  H M H ∈ H dengan tunggal z yang jaraknya terdekat ke x. ∈ M

  =

  Bukti . Misalkan d inf y x . Pilih barisan y di sehingga y k − k { n } M

  ∈M Maka

  2

  2

  y y = y x ) y x )

  k nm k k( n − − ( m − k

  2

  2

  2

  • = +

  2 y n x 2 y m x 2x y n y m

  k − k k − k − k − k

  1

  2

  2

  2 =

  2 y x 2 y x 4 x ( y y )

  n m k

  • k n − k k m − k − k −

  2

  2

  2

  2

  • 2 y x

  2 y x 4d

  ≤ k n − k k m − k −

  2

  2

  2

  2d + 2d 4d = 0 untuk m → − → ∞, n → ∞.

Identitas kedua berasal dari hukum jajargenjang sementara ketaksamaan diperoleh dari fakta

  1 ( ) +

  

bahwa y n y m . Jadi y n adalah barisan Cauchy dan karena tertutup, y n

  ∈ M { } M { }

  2

  konvergen ke suatu elemen z . Jadi diperoleh x z

  d. Misalkan z , z M dengan

  ∈ M k − k =

  1 2 ∈

  jarak masing-masing ke x adalah d, maka

  2

  2

  2

  • =

  z z

  2

  2 z x 2 z

  2 x 4d 0. k − k ≤ 1 k 1 − k k − k − Ini menunjukkan ketunggalan titik dengan jarak terdekat.

  

Teorema 2.2 (Teorema proyeksi) Diketahui ruang Hilbert dan subruang tertutup dari .

  H M H

  ⊥

  • =

    Maka setiap x dapat dituliskan secara tunggal sebagai x z w dengan z dan w .

  ∈ H ∈ M ∈ M

  

Bukti . Ambil x . Maka menurut Lema 2.1 terdapat dengan tunggal z dengan jarak

  ∈ H ∈ M

  R terdekat ke x. Definisikan w = x z. Ambil y dan t . Jika d = x z , maka

  − ∈ M ∈ k − k

  2

  2

  2

  2

  2

  2 + d x z ty ) = w ty = d 2t w, y ) + t y .

  ≤ k − ( k k − k − ℜ( k k

  2

  2 ) +

  ) =

  Jadi, 2t w, y t y 0 untuk setiap t, yang berakibat w, y

  0. Secara analog dengan

  − ℜ( k k ≥ ℜ(

  ⊥

w, y ) =

mengganti peranan t dengan it diperoleh

  0. Jadi w . Bukti ketunggalan untuk

  ℑ( ∈ M latihan.

  ⊥

Teorema proyeksi memberikan isomorfisma natural antara dengan melalui

  M ⊕ M H ( z, w ) z w. 7→

  • ⊥ Di dalam konteks isomorfisma ini kita tulis .

  H = M ⊕ M

  Proposisi 2.3 Diketahui ruang Hilbert dan subruang dari . Maka

  H M H

  ⊥ ⊥ M = .

  M

  ⊥ Khususnya, apabila = , maka padat di dalam .

  M { } M H

  ⊥ ⊥ ⊥

  ⊥

Bukti . Karena tertutup dan memuat maka jelas bahwa M . Selanjutnya,

  M M ⊂ M

  ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

  • = =

  

ambil sebarang x , x m m dengan m M, m . Jadi berlaku

  ∈ M M ∈ ∈ M

  ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

  ( ) = = ( ) ( ) = = = x, m m, m . Akibatnya m , m 0, yang berarti m 0 dan x m M.

  ∈

  Selanjutnya kita mengingat kembali pengertian dan sifat-sifat dasar operator linear terbatas

  Definisi 2.4 Operator linear terbatas dari ruang bernorma ( V , . ) ke ruang bernorma ( V , . )

  1 k k

  1 2 k k

  2 K

  adalah pemetaan T : V V yang memenuhi untuk setiap u, v V dan α, β :

  1 → 2 ∈ 1 ∈

  • (i) T ( αu βv ) = αTu βTv

  (ii) Tu C u

  k k 2 ≤ k k

  1 Konstanta terkecil C yang memenuhi (ii) disebut norma dari T, ditulis T . Jadi k k

  T inf C : Tu C u sup Tu : u 1 .

  k k = { k k 2 ≤ k k 1 } = {k k 2 k k 1 ≤ }

  

Teorema 2.5 Diberikan T suatu operator linear dari suatu ruang bernorma ke ruang bernorma yang

lain. Maka ketiga pernyataan berikut ekuivalen: (a) T kontinu di satu titik

  (b) T kontinu di setiap titik (c) T terbatas

  ( )

  Teorema 2.6 Misalkan T operator linear terbatas dari ruang bernorma V , . ke ruang Banach

  1 k k

  1 (

  

V , . ) . Maka T dapat diperluas secara tunggal ke operator linear terbatas ˜ T dari lengkapan V ke

  2

  2

  1 k k

  ( ) V , . .

  2 k k

  2 Misalkan , ) adalah himpunan semua operator linear terbatas dari ruang Hilbert

L(H

  1 H

  2 )

  ke ruang Hilbert . Maka , merupakan ruang Banach terhadap norma

  H

  1 H

  2 L(H

  1 H

  2 T sup Tx : x 1 . k k = {k k k k ≤ }

  H 2 H 1 K Untuk bagian selanjutnya akan dibicarakan kasus khusus yakni untuk = .

  H

  2

  ∗ ∗

  )

  Definisi 2.7 Ruang , K disebut ruang dual dari dan dinotasikan dengan . Anggota

  L(H H H H disebut fungsional linear kontinu.

  Teorema berikut menyatakan bahwa setiap fungsional linear kontinu di dalam ruang Hilbert dapat dinyatakan sebagai hasilkali dalam.

  ∗ Untuk setiap T , terdapat dengan tunggal y

  Teorema 2.8 (Teorema representasi Riesz) T

  ∈ H ∈ H

  T ∈ H k T k k k H H

  ∗ sehingga Tx = ( y , x ) untuk setiap x . Lebih jauh y = T .

  = x =

  

Bukti . Definisikan : : Tx , yakni kernel dari T. Dengan menggunakan

  N { ∈ H }

  

kekontinuan T, merupakan subruang tertutup. Jika , maka Tx = = ( 0, x ) untuk

  N N = H

  

setiap x. Selanjutnya diasumsikan . Menurut teorema proyeksi terdapat vektor tak nol

  N 6= H

  2

  ⊥ −

x . Kita definisikan y : = Tx x x . Akan diperlihatkan bahwa y memiliki sifat

  ∈ N T k k T = = ( ) =

  yang diinginkan. Jika x , maka Tx y , x . Selanjutnya apabila x αx , maka

  ∈ N T

  

Karena fungsi-fungsi T dan ( y , . ) bersifat linear dan bernilai sama pada dan x , maka

T

  N

  

keduanya bernilai sama pada ruang yang dibangun oleh dan x . Di lain pihak dan x

  N N

  membangun sebab setiap elemen y dapat ditulis sebagai

  H ∈ H

  Ty Ty + y = y x x .

  −

  tx Tx

Jadi Tx = ( y , x ) untuk setiap x . Untuk bukti ketunggalan, misalkan Tx = ( z, x ) , maka

  T ∈ H

  2 = ( ) ) = ( ) ( ) = =

  z y z, z y y , z y T z y T z y

  0. Jadi z y . Terakhir

  k − T k − T − ( TTT − − T T

  ∗ dibuktikan bahwa y = T . Perhatikan bahwa

  T

  k k k k

  H H

  )

  T sup Tx : x 1 sup y , x : x 1 sup y x : x 1 y

  k k = {| | k k ≤ } = {|( T | k k ≤ } ≤ {k T kk k k k ≤ } = k T k

  dan y y

  T T T sup Tx : x 1 T = y , = y .

  k k = { k k ≤ } ≥ T k T k

  y y

  k T k k T k

  Catat bahwa ketaksamaan Cauchy-Schwarz menunjukkan bahwa konvers dari teorema rep-

resentasi Riesz berlaku: setiap y mendefinisikan sebuah fungsional linear kontinu T y pada

  ∈ H

  dengan T x = ( y, x ) . Subbab ini diakhiri dengan sebuah akibat penting dari teorema repre-

  H y sentasi Riesz.

  Jika B ( , sebuah fungsi dari ke K yang memenuhi untuk setiap x, y, z , Akibat 2.9

  · ·) H × H ∈ H

  K α, β :

  ∈ ( ) = + ( ) + ( )

  (i) B x, αy βz αB x, y βB x, z (ii) B ( + αx βy, z ) = αB ( x, z ) + βB ( y, z )

  > ( )

  (iii) B x, y k x y untuk suatu k 0,

  | | ≤ k kk k

  maka terdapat dengan tunggal operator linear terbatas A dari ke sehingga

  H H

B ( x, y ) = ( Ax, y ) untuk setiap x, y .

  ∈ H Norma dari A adalah konstanta terkecil k sehingga (iii) berlaku.

  

Bukti . Pilih sebuah x tetap, maka (i) dan (iii) menunjukkan bahwa B ( x, adalah fungsional

  ·)

  ′ linear kontinu pada . Teorema representasi Riesz menjamin adanya x sehingga

  H ∈ H

  ′

  ( ) = ( )

B x, y x , y untuk setiap y .

  ∈ H

  ′

Definisikan operator A dengan Ax = x . Mudah ditunjukkan bahwa A adalah operator linear

kontinu dengan sifat yang diinginkan.

  Fungsi B seperti pada Akibat 2.9 sering disebut bentuk seskuilinear.

3 Basis Ortonormal

  

Pada subbab ini kita akan memperluas konsep basis dari ruang vektor dimensi hingga ke ruang

Hilbert. Jika S adalah sebuah himpunan ortonormal di dalam ruang Hilbert dan tidak ada

  H

  

himpunan ortonormal lain yang memuat S sebagai subhimpunan proper, maka S disebut basis

ortonormal (sistem ortonormal lengkap) dari .

  H Teorema 3.1 Setiap ruang Hilbert tak nol mempunyai basis ortonormal. H

  

Bukti . Misalkan adalah himpunan semua himpunan ortonormal di dalam . Catat bahwa

  O H yaitu S S jika S S .

  O 6= ∅ (mengapa?). Selanjutnya didefinisikan relasi urutan pada O 1 ≺

  2 1 ⊂

  2 (

  

Jelas bahwa , merupakan himpunan terurut parsial. Ambil sebarang S subhim-

  O ≺) { i } i S

  ∈I S

punan terurut linear dari . Maka merupakan himpunan ortonormal yang memuat

  O i i

  ∈I

semua S , dan karenanya merupakan batas atas untuk S . Oleh karena itu menurut Lema

i

  { i } i

  ∈I

Zorn memiliki elemen maksimal, yakni himpunan ortonormal yang tidak termuat secara

  O proper di dalam setiap himpunan ortonormal yang lain.

  Teorema berikut memperlihatkan bahwa seperti halnya pada kasus ruang vektor dimensi

hingga setiap elemen dari ruang Hilbert dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear

(mungkin tak hingga) dari elemen-elemen basis.

  =

  

Teorema 3.2 Diberikan ruang Hilbert dan S x sebuah basis ortonormal. Maka untuk

  H { α } α

  Isetiap y

  ∈ H

  y = ( x , y ) x (1) ∑ α α α

  

I

dan

  2

  2 = )

  y x , y (2)

  k k ∑ |( α |

  α

  

I

  

Kesamaan (1) berarti bahwa jumlahan di ruas kanan konvergen (tidak bergantung pada urutan α) ke y

  2 < C

  ∞, c di . Sebaliknya, jika c α α , maka c α x α konvergen ke suatu elemen dari .

  H α

  I | | ∈ α

  I H ∈ ∈

  

Bukti . Pada subbab 1 telah ditunjukkan (ketaksamaan Bessel) bahwa untuk setiap subhim-

  2

  2

  ′ punan berhingga A

  A, ∑ ′ x , y ) y . Jadi ( x , y ) 0 untuk sejumlah paling α α

  ⊂ α A |( | ≤ k k 6=

  ∈

banyak terhitung α di dalam A yang dapat kita urutkan sebagai α , α , . . .. Lebih jauh karena

  1

  2 N

  2

  ∑ ) x α , y naik monoton dan terbatas, maka konvergen untuk N ∞. Misalkan

  = |( j |

  →

  j

  1

  n

y = ( x , y ) x ,

n α α

  ∑ j j j =

  1 >

  maka untuk setiap n m,

  2

  n n

  2

  2

y y = ( x , y ) x = x , y ) .

k nm k α α |( α |

  ∑ j jj j = m

  1 + j = m 1 +

  ′

Jadi y n adalah barisan Cauchy dan karenanya konvergen ke suatu y . Perhatikan bahwa

  { } ! ∈ H

  n ′ dan jika α α untuk suatu l maka

  6=

  l ! n

  ( y y , x ) = lim y ( x , y ) x , x = 0.

  

α α α α

  − − ∑ j j

  nj =

  1

  ′

Oleh karena itu y y ortogonal dengan semua x α S. Mengingat bahwa S adalah sistem

  − ∈

  ′ ortonormal lengkap maka haruslah y y =

0. Jadi

  −

  

n

  = ( )

  

y lim x , y x ,

α α j j

  ∞

  n

=

j

  1

  yakni (1) berlaku. Lebih jauh

  2 !

  n n

  2

  2

  2

  2 = lim y ( x , y ) x = lim y x , y ) = y x , y ) ,

  − ∑ α α k k − ∑ |( α | k k − ∑ |( α | j j j ∞ ∞

  n n → → = = j

  1 j 1 α

  I ∈ yakni (2) berlaku. Bukti pernyataan konvers ditinggalkan sebagai latihan.

  ( )

  

Identitas (2) seringkali disebut sebagai identitas Parseval dan bilangan x , y seringkali disebut

α sebagai koefisien Fourier dari y terhadap basis x α .

  { }

  Sekarang kita akan membicarakan suatu prosedur untuk mengkonstruksi sebuah him-

punan ortonormal dari sebarang barisan vektor yang bebas linear. Prosedur ini dikenal sebagai

ortogonalisasi Gram-Schmidt. Diberikan barisan vektor yang bebas linear u , u

  2 , . . . dan kita

  1

  definisikan

w

  1 = =

  w u , v

  1

  1

  1

  

w

  k 1 k

  w

  2

  w = u v ) v v =

  2

  2 1 , u

  2 1 ,

  2 − (

  w

  k 2 k ..

  . n

  1

  − w n w = u ( v , u ) v , v = n n − ∑ k n k n w n

  k k

  k =

  1 ..

  .

Himpunan v merupakan sebuah himpunan ortonormal dan mempunyai sifat bahwa untuk

  { j }

  m m

setiap m, u dan v membangun ruang vektor yang sama. Khususnya, himpunan

  { j } { j }

  j =

  1 j =

  1 =

  

kombinasi linear berhingga dari v , j 1, 2, . . . sama dengan himpunan kombinasi linear

j

berhingga dari u , j = 1, 2, . . .. Sebagai contoh polinomial Legendre diperoleh dengan men-

j

  2

  3 [ ]

  

erapkan proses Gram-Schmidt ke fungsi 1, x, x , x , . . . pada interval 1, 1 terhadap hasilkali

  −

  2 [ ] dalam baku di L 1, 1 .

  −

  

Definisi 3.3 Sebuah ruang metrik dikatakan separabel apabila memiliki subhimpunan terhitung yang

padat.

  

Dokumen yang terkait

Dokumen baru