STUDI TENTANG OPERATOR HILBERT SCHIMDT PADA RUANG HILBERT

ABSTRAK

STUDI TENTANG OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG HILBERT

Oleh Viptiana

Operator linier merupakan fungsi linier dari ruang linier ke ruang linier. Sebelum berbicara mengenai operator linier, perlu diketahui tentang macam-macam ruang metrik yang diantaranya adalah ruang bernorma, ruang banach, ruang pre-Hilbert dan ruang Hilbert. Jenis operator yang dikaji dalam penelitian ini adalah operator Hilbert-Schmidt. Operator Hilbert-Schmidt merupakan operator terbatas pada ruang Hilbert, yaitu suatu ruang perkalian dalam yang lengkap.

Diketahui � ruang Hilbert dan ℒ_�merupakan koleksi semua fungsi linier kontinu pada �. Jika diambil sebarang basis orthonormal {��: � ∈ �} maka � ∈ � disebut operator Hilbert-Schmidt jika ∑∞_�= ‖� �� ‖ <∞. Kemudian � �, � merupakan koleksi semua operator Hilbert-Schmidt. Akan diselidiki sifat-sifat operator Hilbert Schmidt pada ruang Hilbert.

STUDI TENTANG OPERATOR HILBERT SCHIMDT PADA RUANG HILBERT

Oleh V i p t i a n a

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG

STUDI TENTANG OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG HILBERT

(Skripsi)

Viptiana 0857031007

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu cabang ilmu dalam matematika adalah analisis fungsional. Pembicaraan di dalam analisis fungsional ini tidak terlepas dari teori operator. Operator yang dimaksud yaitu operator linier. Mulai dari awal perkembangannya hingga saat ini, teori operator telah banyak menyelesaikan berbagai permasalahan baik di bidang terapan maupun matematika itu sendiri. Namun seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, teori operator yang lebih maju dan bersesuaian sangat diperlukan.

Seperti telah diketahui, teori operator muncul setelah dikenal adanya ruang vektor (ruang linier). Operator linier merupakan fungsi linier dari ruang linier ke ruang linier. Jenis operator yang banyak dikaji saat ini antara lain operator Hilbert-Schmidt.

Operator Hilbert-Schmidt merupakan operator terbatas pada ruang Hilbert, yaitu suatu ruang perkalian dalam yang lengkap. Operator ini banyak diterapkan ilmu fisika terutama yang berkaitan dengan mekanika kuantum (Beukema, 2008) dan statistika yang terkait dengan reproducing kernel (Vito, 2005). Karena

sifat-sifatnya dan aplikasinya tersebut, maka peneliti tertarik untuk mempelajari lebih mendalam mengenai materi tentang operator Hilbert-Schmidt tersebut sebagai bahan skripsi atau tugas akhir.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah

1. Menyelidiki sifat – sifat dasar operator Hilbert–Schmidt

2. Memberikan aplikasi operator Hilbert Schimdt pada beberapa ruang Hilbert– Schmidt

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah

1. Memahami lebih mendalam mengenai konsep operator pada ruang Hilbert. 2. Memahami lebih spesifik mengenai operator linier pada ruang Hilbert

khususnya operator Hilbert-Schmidt dan sifat – sifat dasarnya. 3. Memberikan ide penelitian lain terkait operator linier.

4. Menambah wawasan penelitian tentang aspek – aspek materi matematika terpadu.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Ruang Vektor

Definisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui , + grup komutatif dan ℱ, ⨁, . lapangan dengan elemen identitas 1. disebut ruang vektor (vector space) atas ℱ jika ada operasi luar * antara keduanya sehingga untuk setiap ∈ dan ∈ ℱ menentukan dengan tunggal

∈ yang memenuhi sifat – sifat :

(i) + = + ,

(ii) ⨁ = + ,

(iii) . = ,

(iv) = ,

untuk setiap , ∈ dan , ∈ ℱ.

Teorema 2.1.2 (Darmawijaya, 2007)

Jika suatu ruang vektor atas lapangan ℱ, maka berlaku pernyataan – pernyataan berikut:

(i) Untuk setiap , ∈ terdapat tepat satu ∈ sehingga + =

(ii) Jika ∈ dan + = , maka = �. (iii) � = � untuk setiap skalar .

(iv) = � untuk setiap ∈ . (v) − = − untuk setiap ∈

(vi) Jika suatu skalar dan ∈ sehingga = � maka = atau = �.

2.2 Ruang Vektor Bagian dan Bebas Linear Definisi 2.2.1 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ dan ⊂ . Jika himpunan terhadap operasi – operasi yang sama dengan operasi – operasi di bagian juga merupakan ruang vektor atas ℱ, maka disebut ruang vektor bagian (vector sub-space) dari .

Teorema 2.2.2 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ dan ≠ �. Himpunan merupakan ruang vektor bagian jika dan hanya jika untuk setiap , ∈ dan , ∈ ℱ berlaku + ∈ .

Teorema 2.2.3 (Darmawijaya, 2007)

Jika ruang vektor terhadap lapangan ℱ dan , � masing – masing ruang vektor bagian maka

+ � = { + ∶ ∈ , ∈ �},

Juga merupakan ruang vektor bagian yang memuat dan � sebagai ruang vektor bagiannya.

Teorema 2.2.4 (Darmawijaya, 2007)

Jika ruang vektor terhadap lapangan ℱ dan , � ⊂ masing – masing ruang vektor bagian dan � = {�}, maka untuk setiap ∈ + � terdapat dengan tunggal ∈ dan ∈ � sehingga = + .

Teorema 2.2.5 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapanngan ℱ. Jika , ∈ dan �, , ∈ ℱ untuk setiap � = , , … , maka benar bahwa

(i) ∑�₌ + ∑�₌ = ∑�₌ + , (ii) � ∑�₌ = ∑�₌ � ,

(iii) ∑�₌ = ∑�₌ , dan

(iv) ∑�₌ (∑ ₌ = ∑�₌ ∑ ₌ .

Teorema 2.2.6 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Jika , , … _� ∈ , maka = [ , , … , �] merupakan ruang vektor bagian .

Teorema 2.2.7 (Darmawijaya, 2007)

Jika ruang vektor atas lapangan ℱ dan ⊂ , maka [ ] merupakan ruang vektor bagian . Lebih lanjut, [ ] merupakan ruang vektor terkecil yang memuat M.

Definisi 2.2.8 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , _� ∈ atau { , , … , �} ⊂ dikatakan bebas linier (liniearly independent) jika

+ + ⋯ + � � = � berakibat = = ⋯ = _� = .

Teorema 2.2.9 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , _� ∈ tak bebas linier jika dan hanya jika terdapat � dengan � sehingga vektor merupakan kombinasi linier − vektor – vektor lainnya.

Akibat 2.2.10 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , _� ∈ bebas linier jika dan hanya jika untuk setiap �, � , vektor bukan merupakan kombinasi linier − vektor – vektor lainnya.

Teorema 2.2.11 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , _� bebas linier jika dan hanya jika setiap persamaan

∑ = ∑

� = �

= berakibat = untuk setiap �.

2.3 Basis dan Dimensi

Definisi 2.3.1 (Darmawijaya, 2007)

Ruang vektor dikatakan terbangkitkan secara hingga(finitely generated) jika ada vektor – vektor , , … , _� ∈ sehinggga = [ , , … , _�]. Dalam keadaan seperti itu, { , , … , _�} disebut pembangkit (generator) ruang vektor .

Definisi 2.3.2 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor . Himpunan ℬ ⊂ dikatakan bebas linier jika setiap himpunan bagian hingga di dalam B bebas linier.

Definisi 2.3.3 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Himpunan ℬ ⊂ disebut basis (base)

jika ℬ bebas linier dan = [ℬ].

Teorema 2.3.4 (Darmawijaya, 2007)

Ruang vektor terbangkitkan secara hingga jika dan hanya jika mempunyai basis hingga.

Teorema 2.3.5 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ruang vektor dan ℬ ⊂ basis. Banyaknya anggota ℬ disebut dimensi ruang vektor ,ditulis dim . Jika banyaknya anggota ℬ hingga maka dikatakan berdimensi hingga dan jika banyaknya anggota ℬ tak hingga maka dikatakan berdimensi tak hingga.

Teorema 2.3.6 (Darmawijaya, 2007)

Jika ruang vektor berdimensi , maka setiap + vektor di dalam tak bebas linier.

Akibat 2.3.7 (Darmawijaya, 2007)

Jika { , , … , _�} dan { , , … , _�} masing – masing basis untuk ruang vektor , maka = .

2.4 Fungsi Linear

Fungsi dari suatu ruang vektor ke ruang vektor lain yang banyak digunakan dan mudah dalam memahaminya adalah fungsi linear, yaitu fungsi yang bersifat aditif dan homogen.

Definisi 2.4.1 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan dua ruang vektor dan , masing – masing atas lapangan ℱ yang sama. Fungsi : → disebut fungsi linear jika

(i) fungsi aditif (additive)

+ = + untuk setiap , ∈ , dan (ii) fungsi homogen (homogeneous)

= untuk setiap dan vektor ∈ .

Teorema 2.4.2 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan dua ruang vektor dan masing – masing atas lapangan ℱ yang sama (ℛ atau �). Fungsi : → merupakan fungsi linear jika dan hanya jika untuk sebarang skalar , dan vektor , ∈ , berlaku

+ = + Teorema 2.4.3 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor atas lapangan ℱ yang sama. Jika : → merupakan fungsi linear maka

(i) − = − untuk setiap ∈ .

(ii) − = − untuk setiap , ∈ .

(iii) � = �̅, dengan � ∈ dan �̅ ∈ masing – masing menyatakan vektor nol.

(iv) ∑�₌ = ∑�₌ untuk setiap skalar , , … , _� dan vektor – vektor , , … , _� ∈ .

Teorema 2.4.4 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika : → merupakan fungsi linear dan : → sehingga = untuk setiap ∈ , maka linear dan = .

Teorema 2.4.5 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor dan ⊂ generator untuk . Jika : → merupakan fungsi linear dan : → sehingga = untuk setiap ∈ , maka fungsi linear dan = ; lebih lanjut merupakan generator .

Teorema 2.4.6 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika : → merupakan fungsi linear, maka = merupakan ruang bagian di dalam . Himpunan

disebut ruang jelajah (range space) fungsi .

Teorema 2.4.7 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika : → merupakan fungsi linear, maka

= { ∈ : = �̅} dan

= − {�}

masing – masing merupakan ruang bagian di dalam . Selanjutnya, himpunan disebut ruang nol (null space) fungsi .

Teorema 2.4.8 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika berdimensi dan : → merupakan fungsi linear, maka dim .

Teorema 2.4.9 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika Jika berdimensi dan : → merupakan fungsi linear, maka

2.5 Fungsi Linear dan Matriks Teorema 2.5.1 (Darmawijaya, 2007)

Jika merupakan ruang vektor real (kompleks) berdimensi n, maka isomorfis dengan ℛ� �� , yaitu terdapat fungsi linear dan bijektif dari ke ℛ� �� .

Akibat 2.5.2 (Darmawijaya, 2007)

Jika dan , masing – masing ruang vektor (atas lapangan yang sama), dim dim , dan fungsi : → linear dan injektif, maka isomorfis dengan = .

Teorema 2.5.3 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor (atas lapangan yang sama), dim = dan dim = . Setiap fungsi linear : → menentukan matriks A berukuran × :

� = =

… �

… �

… … … …

… �

) … �

)

sebaliknya juga berlaku.

Definisi 2.5.4 (Darmawijaya, 2007)

Dua ruang vektor dan dikatakan isomorfik (isomorphic) jika ada fungsi linear bijektif : → . Dalam hal ini, fungsi tersebut dinamakan isomorfisma ruang vektor (vector space isomorphism) antara dan .

Teorema 2.5.5 (Darmawijaya, 2007)

Jika , dan masing – masing adalah ruang vektor – ruang vektor atas lapangan yang sama, maka pernyataan – pernyataan di bawah ini benar :

(i) Untuk setiap ∈ ℒ , dan ∈ ℒ , , maka ∈ ℒ , . (ii) ℒ , merupakan ruang vektor.

(iii)ℒ = ℒ , merupakan aljabar assosiatif yang mempunyai elemen satuan.

2.6 Ruang Banach

Definisi 2.6.1 (Darmawijaya, 2007)

Ruang Banach (Banach Space) adalah ruang bernorma yang lengkap (sebagai ruang metrik yang lengkap)

2.7 Ruang Hilbert

Definisi 2.7.1 (Darmawijaya, 2007)

Ruang Hilbert (Hilbert Space) adalah ruang pre-Hilbert yang lengkap

Definisi 2.7.2 (Darmawijaya, 2007) Diketahui ℋ ruang linier

(i) Fungsi ℋ × ℋ → ∁ dengan rumus

( , ∈ ℋ × ℋ → , ∈ ∁ yang memenuhi sifat-sifat

(I1) , = ,̅̅̅̅̅̅̅̅, (I2) , = , , (I3) , , = , + ,

Untuk setiap , , ∈ ℋ dan skalar , dan (I4) , > 0 jika dan hanya jika ≠ �,

disebut inner-product atau dot product, atau scalar product pada ℋ.

(ii) Ruang linier ℋ yang dilengkapi dengan suatu inner-product disebut ruang pre-Hilbert (pre-Hilbert space) atau ruang inner-product (inner-product space).

Di bawah ini akan diberikan contoh - contoh Ruang Hilbert :

1. Ruang linier �� dan ℛ� masing-masing merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inner-product :

̃, ̃ = ∑ k̅k n

k=

untuk setiap ̃ = , , … , _� , ̃ = , , … , _� ∈ ∁� ℛ� . Catatan: Jika ̃, ∈ℛ� maka

̃, ̃ = ∑ k̅k n

k=

= ∑ xk n k=

k

Karena ̅_� = _� (komponen-komponen anggota ℛ� merupakan bilangan real). 2. Contoh yang lebih umum dari pada contoh 1 adalah ruang linier ℓ . ℓ

merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inner-product:

̃, ̃ = ∑ k̅k n

k= Untuk setiap ̃ = { }, ̃ = { } ∈ ℓ .

3. �[ , ] merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inner-product:

, = ∫ ̅

untuk setiap , ∈ C[a, b]. C[a, b] dapat dianggap sebagai koleksi semua fungsi kontinu bernilai bilangan kompleks. Jadi, ∈ C[a, b] jika dan hanya jika = + � dengan dan masing-masing fungsi kontinu pada [a, b] bernilai bilangan real. Mudah dipahami bahwa jika = + � ∈ C[a, b] maka ̅ = − � ∈ C[a, b]

2.8 Ruang Bernorma

Definisi 2.8.1 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang linier �. Fungsi ∈ � ↦ ‖ ‖ ∈ ℛ, yang mempunyai sifat-sifat:

(N1) ‖ ‖ , untuk setiap ∈ �

‖ ‖ = , jika dan hanya jika = �, (� vektor nol)

(N2) ‖ ‖ = | |. ‖ ‖, untuk setiap skalar dan ∈ �

(N3) ‖ + ‖ ‖ ‖ + ‖ ‖, untuk setiap , ∈ �,

Disebut norma (norm) pada � dan bilangan nonnegatif ‖ ‖ disebut norma vektor . Ruang linear � yang dilengkapi dengan suatu norma ‖. ‖ disebut ruang bernorma (norma space) dan dituliskan singkat dengan �, ‖. ‖ atau � saja asalkan normanya telah diketahui.

2.9 Basis Orthonormal

Definisi 2.9.1 (Darmawijaya, 2007)

(i) Basis ortogonal (ortogonal basis) di dalam ruang pre-Hilbert adalah basis yang setiap dua vektornya saling tegak lurus.

(ii) Basis ortonormal (orthonormal basis) di dalam suatu ruang pre-Hilbert adalah basis ortogonal dan setiap anggotanya merupakan vektor satuan (normanya sama dengan 1).

Teorema 2.9.2 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ruang Hilbert ℋ mempunyai basis orthonormal { _�}. Diperoleh pernyataan ∈ ℋ jika dan hanya jika ada { �} ∈ ℓ sehingga

= ∑ ∞

=

2.10 Operator pada Ruang Hilbert Teorema 2.10.1 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ℋ dan � masing – masing ruang Hilbert. Untuk setiap ∈ ℒ �, ℋ terdapat ∈ ℒ �, ℋ tunggal sehingga untuk setiap ∈ ℋ dan ∈ � berakibat

, = , Definisi 2.10.2 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan dua ruang Hilbert ℋdan �. Menurut Teorema 2.10.1, untuk setiap operator ∈ ℒ �, ℋ terdapat ∈ ℒ �, ℋ sehingga

Untuk setiap ∈ ℋ dan ∈ �. Operator disebut operator adjoint atau operator pendamping terhadap operator T.

Teorema 2.10.3 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan dua ruang Hilbert ℋdan �. Jika , ∈ ℒ ℋ, � dan sebarang skalar maka

(i) + = +

(ii) = ̅

(iii) = =

(iv) ‖ ‖ = ‖ ‖ = ‖ ‖ = ‖ ‖ (v) = ⟺ = (O operator nol).

Teorema 2.10.4 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ℋ, � dan masing – masing ruang Hilbert. Jika ∈ ℒ ℋ, � dan ∈ ℒ �, maka ∈ ℒ , ℋ dan

= Teorema 2.10.5 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ℋ � � masing – masing ruang Hilbert. ∈ ℒ ℋ, � , � ⊂ ℋ dan ℬ ⊂ �. Jika � ⊂ ℬ, maka ℬ⊥ ⊂ �⊥.

Teorema 2.10.6 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui M dan N berturut-turut merupakan ruang bagian yang tertutup di dalam ruang Hilbert ℋ � �. Untuk setiap ∈ ℒ ℋ, � diperoleh ⊂ jika dan hanya jika ⊥ ⊂ ⊥.

Teorema 2.10.7 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui ℋ � � masing – masing ruang Hilbert. Jika ∈ ℒ ℋ, � maka (i) { : ∈ ℋ � = �̅} = { � }⊥

(ii) { : ∈ ℋ � = �̅}⊥= ̅̅̅̅̅̅̅̅̅� (iii) { : ∈ � � = �} = { ℋ }⊥ (iv) { : ∈ � � = �}⊥= ℋ̅̅̅̅̅̅̅

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahhirrabbil’alamiin. Segala puji bagi Allah SWT atas segala karunia limpahan kasih sayang dan kemudahan jalan yang diberikan. Shalawat serta salam untuk pemimpin terbaik ummat Rasulullah Muhammad SAW. Tak lupa ucapan terima kasih yang mendalam kepada Mama dan Papa atas doa tulus yang tidak henti-hentinya diberikan sehingga penulis menyelesaikan skripsi yang berjudul “Studi Tentang Operator Hilbert-Schmidt Pada Ruang Hilbert” yang merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

Dengan selesainya skripsi ini, penulis ingin memberikan penghargaan yang tulus dan setinggi-tingginya terhadap pihak-pihak yang telah membantu. Serta penulis ingin mengucapkan terima kasih yang setulusnya kepada :

1. Bapak Dr. Muslim Ansori, M.Si. selaku dosen Pembimbing I yang telah memberikan arahan, bantuan, bimbingan dalam menyelesaikan Skripsi ini. 2. Ibu Dorah Aziz, M.Si. selaku dosen Pembimbing II yang telah

memberikan arahan, bantuan, bimbingan, serta saran kepada penulis. 3. Bapak Agus Sutrisno, M.Si. selaku Pembahas yang telah memberikan

4. Ibu Dr. Ir. Netty Herawati, M.Sc. selaku Pembimbing Akademik.

5. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc, Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku dekan FMIPA Unila.

7. Mahasiswa Matematika angkatan 1998 s/d 2011. Terutama untuk keluarga besar “EXOTIC 2008” (Excelent of Mathematics angkatan 2008) atas kebersamaan selama ini, semoga terjalin sampai kapanpun.

8. CIMB Niaga Scholarship yang telah banyak membantu tidak hanya berupa materi namun dorongan serta motivasi sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan gelar Sarjana Sains.

9. Seorang motivator yang selalu hadir dengan sebuah ketulusan, Bambang Kiki Saputra.

10.Teman Seperjuangan, Bang Ales, Septiyani, Isna dan Ma’rufah. 11.Seluruh civitas Matematika, dosen dan staf Jurusan Matematika.

12.Kepada semua pihak yang membantu dalam penyelesaian skripsi ini, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Harapan penulis semoga Allah SWT membalas seluruh kebaikan mereka. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat serta menambah wawasan dan ilmu pengetahuan khususnya bagi penulis, dan terhadap semua pihak yang memerlukan.

Bandar Lampung, April 2012

Judul Skripsi : STUDI TENTANG OPERATOR HILBERT SCHIMDT PADA RUANG HILBERT

Nama : Viptiana

No. Pokok Mahasiswa : 0857031007 Jurusan : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI 1. KOMISI PEMBIMBING

Dr. Muslim Ansori, M.Si.__ Dorrah Aziz, M.Si._______ NIP.19720227 199802 1 001 NIP. 19610128 198811 2 001

MENGETAHUI

Ketua Jurusan Matematika Ketua Program Studi

Tiryono Ruby, M.Sc, Ph.D Dorrah Aziz, M.Si._______ NIP. 19620704 198803 1 002 NIP. 19610128 198811 2 001

MENGESAHKAN 1. Tim Penguji

Ketua : Dr. Muslim Ansori, M.Si.

Sekretaris : Dorrah Aziz, M.Si.

Penguji

Bukan Pembimbing : Agus Sutrisno, M.Si.

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D.______ NIP. 19690530 199512 1 001

Tanggal Lulus Ujian Skripsi : 30 April 2012

Alhamdulillah, karya kecil ini ingin kupersembahan untuk :

Keluargaku Tercinta

Mama dan Papa terima kasih atas doa yang senantiasa menyertai setiap langkahku serta segala pengorbanan yang selama ini diberikan untukku. CIMB Niaga Scholarship terima kasih sudah bersedia menjadi orang tua kedua

yang selalu memberikan dukungan tidak hanya berupa materi, namun dorongan serta motivasi

Guru-guruku

Terima kasih atas segala ilmu yang telah diberikan, semoga kelak ilmu tersebut berguna bagi agama ,nusa, dan bangsa.

Sahabat-sahabatku

Ida Safitri, Latusia Nia Oktamia, Nurashri Partasiwi, Rafyanti Widyarini, Selvi Nila Puspita, Septiyani dan Wiwik Sudestri.

Terimakasih karena kalian

tidak pernah bosan mengingatkanku dan selalu setia mendengarkan keluh kesahku.

Teman-teman Seperjuangan

Teman-teman Matematika 2008

Terimakasih atas persahabatan serta persaudaraan yang hangat dan memberikan kenangan

Don’t think the best, but think to do the best

(Motto Hidup)

Membacalah maka kau tahu, menulislah maka kau ada

(Fahri Azisa, Penulis)

Pelaut yang ulung tak akan lahir di laut yang tenang

(Jamil Azzaini, Motivator)

Bermental “to give” bukan “to get” apa yang bisa saya

berikan bukan apa yang bisa saya dapatkan

(Jamil Azzaini, Motivator)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 17 April 1990. Anak pertama dari pasangan Bapak Supriyadi dan Ibu Yulianis. Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak–kanak di TK PTPN X Pewa Natar pada tahun 1996, pendidikan di tingkat Sekolah Dasar di SD Al-Kautsar pada tahun 2002, Sekolah Menengah Pertama di SMP Al-Kautsar pada tahun 2005, Sekolah Menengah Atas di SMA Al-Kautsar pada tahun 2008 dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai Mahasiswa di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama kuliah, penulis aktif dalam kegiatan kemahasiswaan Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) sebagai anggota bidang Kaderisasi dan Kepemimpinan periode 2009/2010 dan sebagai anggota bidang Eksternal periode 2010/2011.

Selama menjadi mahasiswa di Jurusan Matematika FMIPA UNILA penulis telah melaksanakan Magang di Bank CIMB Niaga Syariah Lampung pada Juli 2010 dan pada Juni 2011 penulis melaksanakan Kerja Praktek di Kantor Gubernur Provinsi Lampung pada Biro Administrasi Pembangunan Bagian Sosial Budaya.

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Operator Hilbert-Schmidt merupakan operator terbatas pada ruang Hilbert, yaitu suatu ruang perkalian dalam yang lengkap. Suatu operator linier �: � → � dikatakan operator Hilbert-Schmidt disingkat operator-HS jika terdapat basis ortonormal { _�} pada H sehingga

‖�‖�� = (∑‖� � ‖ ∞

�=

) <∞

dan pendefinisian tersebut tidak bergantung pada pemilihan basis ortonormal di H. Operator Hilbert Schmidt dalam ruang Hilbert .

5.2 Saran

Disini peneliti sarankan bagi para peneliti yang akan datang untuk mengembangkan penelitian terhadap operator Hilbert-Schmidt pada ruang lain seperti ruang terintegral dan ruang barisan.

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Dr. Muslim Ansori, M.Si.

Sekretaris : Dorrah Aziz, M.Si.

Penguji

Bukan Pembimbing : Agus Sutrisno, M.Si.

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D.______ NIP. 19690530 199512 1 001

Tanggal Lulus Ujian Skripsi : 30 April 2012

P E R S E M B A H AN

Alhamdulillah, karya kecil ini ingin kupersembahan untuk :

Keluargaku Tercinta

Mama dan Papa terima kasih atas doa yang senantiasa menyertai setiap langkahku serta segala pengorbanan yang selama ini diberikan untukku. CIMB Niaga Scholarship terima kasih sudah bersedia menjadi orang tua kedua

yang selalu memberikan dukungan tidak hanya berupa materi, namun dorongan serta motivasi

Guru-guruku

Terima kasih atas segala ilmu yang telah diberikan, semoga kelak ilmu tersebut berguna bagi agama ,nusa, dan bangsa.

Sahabat-sahabatku

Ida Safitri, Latusia Nia Oktamia, Nurashri Partasiwi, Rafyanti Widyarini, Selvi Nila Puspita, Septiyani dan Wiwik Sudestri.

Terimakasih karena kalian

tidak pernah bosan mengingatkanku dan selalu setia mendengarkan keluh kesahku.

Teman-teman Seperjuangan

Teman-teman Matematika 2008

Terimakasih atas persahabatan serta persaudaraan yang hangat dan memberikan kenangan

Don’t think the best, but think to do the best

(Motto Hidup)

Membacalah maka kau tahu, menulislah maka kau ada

(Fahri Azisa, Penulis)

Pelaut yang ulung tak akan lahir di laut yang tenang

(Jamil Azzaini, Motivator)

Bermental “to give” bukan “to get” apa yang bisa saya

berikan bukan apa yang bisa saya dapatkan

(Jamil Azzaini, Motivator)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 17 April 1990. Anak pertama dari pasangan Bapak Supriyadi dan Ibu Yulianis. Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak–kanak di TK PTPN X Pewa Natar pada tahun 1996, pendidikan di tingkat Sekolah Dasar di SD Al-Kautsar pada tahun 2002, Sekolah Menengah Pertama di SMP Al-Kautsar pada tahun 2005, Sekolah Menengah Atas di SMA Al-Kautsar pada tahun 2008 dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai Mahasiswa di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama kuliah, penulis aktif dalam kegiatan kemahasiswaan Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) sebagai anggota bidang Kaderisasi dan Kepemimpinan periode 2009/2010 dan sebagai anggota bidang Eksternal periode 2010/2011.

Selama menjadi mahasiswa di Jurusan Matematika FMIPA UNILA penulis telah melaksanakan Magang di Bank CIMB Niaga Syariah Lampung pada Juli 2010 dan pada Juni 2011 penulis melaksanakan Kerja Praktek di Kantor Gubernur Provinsi Lampung pada Biro Administrasi Pembangunan Bagian Sosial Budaya.

Penulis merupakan penerima beasiswa CIMB Niaga Scholarship sejak tahun 2008 hingga menyelesaikan pendidikan Sarjana pada Juni 2012.

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Operator Hilbert-Schmidt merupakan operator terbatas pada ruang Hilbert, yaitu suatu ruang perkalian dalam yang lengkap. Suatu operator linier �: � → � dikatakan operator Hilbert-Schmidt disingkat operator-HS jika terdapat basis ortonormal { _�} pada H sehingga

‖�‖�� = (∑‖� � ‖

∞

�=

) <∞

dan pendefinisian tersebut tidak bergantung pada pemilihan basis ortonormal di H. Operator Hilbert Schmidt dalam ruang Hilbert .

5.2 Saran

Disini peneliti sarankan bagi para peneliti yang akan datang untuk mengembangkan penelitian terhadap operator Hilbert-Schmidt pada ruang lain seperti ruang terintegral dan ruang barisan.