Aplikasi pengelompokan data penerima kredit sepeda motor PT. Federal International Finance cabang Cilacap dengan menggunakan metode fuzzy c-means - USD Repository
APLIKASI PENGELOMPOKAN DATA PENERIMA KREDIT SEPEDA
MOTOR PT. FEDERAL INTERNATIONAL FINANCE (FIF) CABANG
CILACAP DENGAN MENGGUNAKAN METODE FUZZY C-MEANS
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika Disusun oleh:
Irene Widya Ratna Utami
NIM : 053114012
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
THE APPLICATION OF FUZZY C-MEANS METHOD OF CLUSTER THE
MOTORCYCLE CREDIT RECIPIENT DATA AT PT. FEDERAL
INTERNATIONAL FINANCE CILACAP
Final Project
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Sains Degree
In Mathematics By:
Irene Widya Ratna Utami
Student Number: 053114012
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTEMENT
FACULTY OF SCIENCE AND OF TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2010
HALAMAN PERSEMBAHAN
Seberapapun tingginya intelejensia, Tidak bisa menciptakan sesuatu yang jenius.... Perlu imajinasi dan (mungkin) kombinasi keduanya (Zeth)
Skripsi ini kupersembahkan kepada: Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang selalu memberkatiku, Papah, Ibu, Eyang Putri dan Kakung yang selalu mendukungku, Kekasihku tercinta yang selalu memberikan semangat dalam keadaan apapun,
Kakak dan Adikku tersayang serta sahabat-sahabatku, Almamaterku Universitas Sanata Dharma.
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, Maret 2010 Penulis,
Irene widya Ratna Utami
ABSTRAK
Metode pengelompokan Fuzzy C-means (FCM) adalah metode mengelompokan data dengan meminimalkan total jarak pada masing-masing data terhadap pusat cluster. Tujuan pengelompokan (cluster) adalah untuk membagi sejumlah data menjadi beberapa kelompok yang memiliki kemiripan. Pada kondisi awal, pusat cluster ditentukan dengan cara membangkitkan bilangan random, kemudian menghitung fungsi objektif untuk memperoleh cluster yang optimum. Tiap-tiap titik data memiliki derajat keanggotaan untuk tiap-tiap cluster. Dengan cara memperbaiki pusat cluster dan derajat keanggotaan tiap-tiap titik data secara berulang, maka akan dapat dilihat bahwa pusat cluster akan bergerak menuju lokasi yang tepat dengan galat yang telah ditentukan.
Output dari Fuzzy C-means (FCM) bukan merupakan fuzzy inference
system, namun merupakan deretan pusat cluster dan beberapa derajat keanggotaan
untuk tiap-tiap titik data. Informasi ini dapat digunakan untuk membantu dalam melihat profil data dan mempresentasikan kelakuan dari suatu kelompok data
ABSTRACT
Fuzzy C-means (FCM) clustering methods is a method of clustering data by minimizing the total distance in each cluster of data to the center. The objective of grouping (clustering) is to divide the amount of data into several groups that have similarities. In the initial conditions, the cluster center is determined by generating random numbers, then calculate the objective function to obtain the optimum of clustering. Each data point has a degree of membership for each cluster. By improving the cluster centers and the degree of membership of each data point, again, it will be seen that the cluster center will move to the right location with a predetermined error.
The output of the Fuzzy C-means (FCM) is not a fuzzy inference system, but a row series of cluster centers and some degree of membership for each data point. This information can be used to assist in viewing the data profile and present the behavior of a group of data
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Berkat dukungan dan bantuan dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Yosef Agung Cahyanta S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
2. Bapak Eko Hari Parmadi, S.Si, M.Kom., selaku dosen pembimbing yang telah memberikan pengarahan dan bimbingan selama penyusunan skripsi ini.
3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Kaprodi Matematika yang selalu memberikan semangat kepada penulis.
4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dosen Penguji tugas akhir yang telah memberikan masukan dan saran.
5. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si., selaku Dosen Penguji tugas akhir yang telah memberikan masukan dan saran.
6. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., selaku Dosen Pembimbing akademik angkatan 2005 yang telah membimbing dan memberikan semangat selama menjalani proses akademik.
7. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis.
8. Bapak Zaerilus Tukija dan Ibu Erma Linda Santyas Rahayu yang telah memberikan pelayanan administrasi kepada penulis selama masa perkuliahan.
9. Bapak M. Andi Noordiawan selaku Branch Manager PT. FIF yang telah meluangkan waktu untuk membimbing penulis dalam melakukan penelitian.
10. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf yang telah menyediakan fasilitas dan memberikan kemudahan kepada penulis selama masa perkuliahan.
11. Kedua orang tuaku tercinta: Bapak Agus Slamet dan Ibu Theresia Ruminingsih yang dengan penuh cinta kasih telah memberikan semangat, saran dan dukungan kepada penulis dalam segala hal.
12. Eyang Putri dan Eyang Kakungku terkasih dan tercinta: T.S Sukirman dan Lucia Roestinah yang sudah mau merawat penulis selama 18 tahun dengan penuh cinta kasih dan selalu memberikan semangat, dukungan, serta kepercayaan diri dalam segala hal.
13. Arie Wibowo tercinta yang selalu mendampingi penulis dalam segala hal.
14. Kakakku, Wiwit, Ratih, Mekar, adikku Sari, Fani, dan keponakanku Aurel serta keluarga besar T.S Sukirman yang telah memberikan doa dan dukungan kepada penulis.
15. Teman-teman angkatan 2005 yang selalu memberikan kebahagian selama proses akademik, khususnya Dedi ”si guru privat”, Zetho ”si Jenius”, Sisiria ”si perempuan Cina” yang selalu sabar dengan segala tingkah penulis, serta teman kos Benteng Lt 1, Siska, Mayan, Rani, Novi, Nila dan Wingga yang telah memberikan kehangatan dan dukungan kepada penulis.
16. Seluruh Kakak angkatanku dan adik angkatanku
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini yang tidak dapat saya sebutkan satu-persatu di sini.
Yogyakarta, Maret 2010 Penulis
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ........................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................... vi ABSTRAK ............................................................................................................. vii ABSTRACT .......................................................................................................... viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ............................................................. ix KATA PENGANTAR .......................................................................................... x DAFTAR ISI.......................................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1 A. Latar Belakang .................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ............................................................................... 3 C. Pembatasan Masalah ........................................................................... 3 D. Tujuan Penulisan ................................................................................. 3 E. Manfaat Penulisan ............................................................................... 4 F. Metode Penulisan ................................................................................ 4 G. Sistematika Penulisan .......................................................................... 4 BAB II HIMPUNAN KABUR DAN ANALISIS CLUSTER................................. 7
A. Himpunan Kabur ................................................................................. 7
1. Definisi Himpunan Kabur .............................................................. 7
2. Fungsi Keanggotaan ....................................................................... 11
3. Operasi Baku pada Himpunan Kabur ............................................. 13
4. Relasi Kabur..................................................................................... 17
5. Ukuran Kabur.................................................................................. 20
6. Indeks Kekeburan............................................................................ 21
B. Analisis Cluster.................................................................................... 22 1. Metode-metode dalam Analisis Cluster ..................................
26 BAB III PENGELOMPOKAN KABUR DENGAN METODE FUZZY C-MEANS 34 A. Pembangkit Bilangan Random...........................................................
34 B. Partisi Kabur ...................................................................................... 37.
C. Konsep Pengelompokan Kabur (Fuzzy Clustering)............................. 38
D. Pengelompokan Kabur Dengan Metode C-Means .............................. 40
E. Algoritma Fuzzy C-Means................................................................... 47
BAB IV APLIKASI DAN ANALISIS……………………................................... 61 A. Gambaran Umum Dan Sejarah Singkat Perusahaan............................. 61 B. Pengelompokan Kabur dengan Metode Fuzzy C-Means ...................... 62
1. Aplikasi Fuzzy C-Means .................................................................. 63
2. Contoh Kasus .......................................... ......................................... 69
BAB V PENUTUP .................................................................................................. 76 A. Kesimpulan ............................................................................................ 76 B. Saran ..................................................................................................... 78
DAFTAR PUSTAKA............................................................................................... 79 LAMPIRAN ............................................................................................................. 80
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Di kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai pengelompokan suatu objek, baik berupa benda atau suatu data. Biasanya objek-objek tersebut hanya
dianalisis menurut perkiraan subjektif, sehingga kenampakan suatu objek yang diamati oleh seseorang tidak akan persis sama dengan kenampakan menurut orang lain yang juga mengamati objek tersebut. Sebagai contoh, dalam penerimaan kredit motor sebelumnya akan dianalisis dengan menggunakan 5 C yaitu
Characteristic , Capacity, Capital, Condition, and Colateral. Pada setiap lembaga
kredit memiliki karakteristik yang berbeda dalam pengambilan keputusan.Misalkan suatu lembaga kredit A menitikberatkan pada analisis Capital, maka akan dibentuk dua kelompok penerima kredit motor berdasarkan banyaknya pendapatan bulanan dan harga motor yang diambil, yaitu penerima kredit dengan pendapatan bulanan kurang dari Rp 1.000.000 dan lebih dari Rp 1.000.000. Pada kelompok pendapatan bulanan kurang dari Rp 1.000.000 cenderung memilih motor dengan harga murah, tidak memperhatikan model motor. Sedangkan pendapatan bulanan lebih dari Rp 1.000.000 memiliki ciri sebaliknya. Berdasarkan ilustrasi di atas diperlukan teknik untuk mengelompokan objek-objek ke dalam kelompok yang anggota-anggotanya adalah objek-objek yang memiliki kemiripan karakteristik atau variabel yang diteliti secara bersama-sama. Suatu
2 informasi yang didapatkan dari hasil pengelompokkan dapat digunakan dalam pemodelan kabur (fuzzy).
Pada ilustrasi di atas dapat diidentifikasi dengan aturan-aturan fuzzy. Salah satu cara untuk menentukan pengelompokan kabur adalah menggunakan metode
fuzzy c-means. Dengan metode ini suatu himpunan dikelompokkan menjadi c
buah himpunan bagian kabur, masing-masing disebut cluster, yang membentuk c μ suatu partisi kabur sedemikian sehingga = ik 1 untuk setiap k = 1,2,…,n,
∑
i1
c=
μ
X x x x
dan 0 < < n untuk setiap i = 1,2,…,c. Misalkan = { , ,..., } adalah ik 1 2 n
∑ k = 1
himpunan data yang diselidiki, konsep dasar fuzzy c-means, menentukan pusat
cluster v yang akan menandai lokasi rata-rata untuk tiap-tiap cluster. Pada
ikondisi awal, pusat cluster ini masih belum akurat. Tiap-tiap titik data memiliki derajat keanggotaan untuk tiap-tiap cluster. Dengan cara memperbaiki pusat
cluster dan derajat keanggotaan tiap-tiap titik data secara berulang, maka akan
dapat dilihat bahwa pusat cluster akan bergerak menuju lokasi yang tepat.Perulangan ini didasarkan pada minimisasi fungsi objektif P yang t menggambarkan jarak dari titik data yang diberikan ke pusat cluster yang terbobot oleh derajat keanggotaan titik data tersebut.
B. Rumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah :
1. Bagaimana membuat pengelompokan kabur dengan metode fuzzy c-
3
2. Bagaimana menerapkan pengelompokan kabur dengan metode Fuzzy C-
Means pada masalah nyata studi kasus pada PT. FIF Cabang Cilacap? C.
Pembatasan Masalah
Dalam skripsi ini, penulis membahas tentang pengelompokan kabur dengan metode Fuzzy C-Means dan penggunaannya. Data penelitian yang digunakan hanya untuk kelompok data kreditor sepeda motor bermerk Honda D Supra X dengan sample berjumlah 100 kreditor, variabel yang dijadikan acuan pengelompokan menurut analisis Capital, yaitu pendapatan bulanan, pengeluaran bulanan, harga barang, uang muka, besarnya angsuran bulanan, dan lama angsuran bulanan. Dalam skripsi ini tidak membahas fuzzy inference system sebagai outputnya.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah : 1. Menghasilkan pengelompokan kabur dengan metode fuzzy c-means.
2. Mengerti penggunaan pengelompokan kabur dengan metode Fuzzy C-
Means
3. Menerapkan pengelompokan kabur dengan metode Fuzzy C-Means pada data penerima kredit sepeda motor PT. FIF Cabang Cilacap.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah :
4
1. Membantu menghasilkan penerapan pengelompokan kabur dengan metode Fuzzy C-Means.
2. Membantu berbagai pihak khususnya PT. FIF Cabang Cilacap dalam menyelesaikan suatu masalah yang berkaitan dengan pengelompokan kabur dengan metode Fuzzy C-Means.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari beberapa bagian dari buku acuan yang berkaitan dengan topik tugas akhir dan bantuan komputer dalam pengaplikasiannya dengan menggunakan program Matlab 7.0.1.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II HIMPUNAN KABUR DAN ANALISIS CLUSTER
5 A. Himpunan Kabur
1. Definisi Himpunan Kabur
2. Fungsi Keanggotaan
3. Operasi Baku pada Himpunan Kabur
4. Relasi Kabur
5. Ukuran Kabur
6. Indeks Kekaburan
B. Analisis Cluster
BAB III PENGELOMPOKAN KABUR DENGAN METODE FUZZY
C-MEANS A. Pembangkitan Bilangan Random B. Partisi Kabur C. Konsep Pengelompokan Kabur (Fuzzy Clustering) D. Pengelompokan Kabur dengan Metode Fuzzy C-Means E. Algoritma Fuzzy C-means BAB IV APLIKASI DAN ANALISIS A. Gambaran Umum dan Sejarah Singkat Perusahaan B. Pengelompokan Kabur dengan Metode Fuzzy C-Means1. Aplikasi Fuzzy C-Means
2. Contoh Kasus
6
BAB
V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
BAB II HIMPUNAN KABUR DAN ANALISIS CLUSTER A. Himpunan Kabur
1. Definisi Himpunan Kabur
Himpunan kabur merupakan perluasan dari konsep himpunan tegas, yaitu himpunan yang terdefinisi secara tegas dalam arti bahwa untuk setiap elemen dalam semestanya selalu dapat ditentukan secara tegas apakah ia merupakan anggota dari himpunan itu atau tidak. Dalam kenyataannya tidak semua himpunan yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara demikian itu, misalnya himpunan orang yang tinggi, himpunan mahasiswa pandai, dan sebagainya. Pada himpunan mahasiswa pandai, misalnya, tidak dapat ditentukan secara tegas apakah seorang mahasiswa itu pandai atau tidak. Kalau misalnya didefinisikan bahwa “mahasiswa pandai” adalah mahasiswa yang mendapat indeks prestasi lebih besar atau sama dengan 3,5, maka mahasiswa yang mendapat indeks prestasi 3,45 menurut definisi tersebut termasuk mahasiswa yang tidak pandai. Sulit rasanya menerima bahwa mahasiswa yang indeks prestasinya 3,45 itu tidak termasuk mahasiswa pandai.
Untuk mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas itu, Zadeh mengaitkan himpunan semacam itu dengan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian unsur-unsur dalam semestanya dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Fungsi itu disebut fungsi keanggotaan dan nilai fungsi itu disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan itu, yang selanjutnya disebut himpunan kabur. Derajat keanggotaan dinyatakan dengan suatu bilangan real dalam selang tertutup [0, 1]. Dengan perkataan lain, fungsi keanggotaan
~ ~
dari suatu himpunan kabur A dalam semesta X adalah pemetaan μ dari X ke selang A μ ~ μ (x) menyatakan derajat keanggotaan ~
[0, 1], yaitu : A A X → [ , 1 ] . Nilai fungsi ~ unsur x ∈ X dalam himpunan kabur A .
Definisi 2.1 ~
A
Secara matematis suatu himpunan kabur dalam semesta X dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut
~ ~ A = x μ x x ∈
X {( , ( )) | } A
(2.1)
~
μ adalah fungsi keanggotaan dari himpunan kabur ~
A
di mana A , yang merupakan suatu pemetaan dari himpunan semesta X ke selang tertutup [0, 1]. Apabila semesta
~ X adalah himpunan yang kontinu, maka himpunan kabur A seringkali dinyatakan
dengan ~ ~
A = μ ( x ) / x A x ∫ X ∈
(2.2) di mana lambang di sini bukan lambang integral seperti yang dikenal dalam
∫
kalkulus, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur x ∈ bersama dengan
X
~
derajat keanggotaannya dalam himpunan kabur A . Apabila semesta X adalah
~ A
himpunan yang diskret, maka himpunan kabur seringkali dinyatakan dengan
~
μ ~
A = ( x ) / x A ∑ x ∈ X
(2.3) di mana lambang di sini tidak melambangkan operasi penjumlahan seperti yang
∑ x ∈
X
dikenal dalam aritmatika, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur
~ bersama dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan kabur A .
Contoh
2.1 Dalam semesta
X = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, misalkan himpunan kabur ~
A
adalah himpunan bilangan real yang dekat dengan nol. Maka
~
μ ~
A = ( x ) / x A ∑ x ∈ X
= 0.1 / -4 + 0.3 / -3 + 0.5 / -2 + 0.7 / -1 + 1 / 0 + 0.7 / 1 + 0.5 / 2 + 0.3 / 3 + 0.1 / 4.
~ ~
Dua buah himpunan kabur A dan B dalam semesta X dikatakan sama, dengan
~ ~ A B
lambang = , bila dan hanya bila μ ~ μ ~ A B ( x ) = ( x )
(2.4)
~
untuk setiap x ∈
X. Himpunan kabur A dikatakan merupakan himpunan bagian dari
~ ~ ~ B A B
himpunan kabur , dengan lambang ⊆ , bila dan hanya bila
~ ~
μ ( x ) ≤ μ ( x ) A B (2.5)
~ ~ ~ ~ ~ ~
∈ A B A B B ⊇ A
untuk setiap x X. Jadi = bila dan hanya bila ⊆ dan .
Definisi 2.2 ~
Pendukung (support) dari suatu himpunan kabur A , yang dilambangkan
~ A
Pend( ) adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang
~
mempunyai derajat keanggotaan taknol dalam A , yaitu
~
A ∈ μ ~
Pend( ) = {x X | ( x ) > 0}. (2.6) A
Definisi 2.3 ~
A
Tinggi (height) dari suatu himpunan kabur , yang dilambangkan dengan
~
Tinggi( A ), didefinisikan sebagai
~ ~ Tinggi( A ) = sup { ( x )}. x X μ A ∈
(2.7) Himpunan kabur yang tingginya sama dengan 1 disebut himpunan kabur normal, sedangkan himpunan kabur yang tingginya kurang dari 1 disebut himpunan kabur
subnormal .
Definisi 2.4
Untuk suatu bilangan ∈ [ ,
1 ], potongan- α lemah dari suatu himpunan kabur α ~
A
, yang dilambangkan dengan A , adalah himpunan tegas yang memuat semua
α ~
A
elemen dari semesta dengan derajat keanggotaan dalam yang lebih besar atau sama dengan α , yaitu μ ~ α
A = { x ∈ X | ( x ) ≥ }.
α A
(2.8)
~
Sedangkan potongan- α kuat dari himpunan kabur A adalah himpunan tegas
′
= ∈ μ ~ > α
A { x X | ( x ) }.α A n (2.9)
Suatu himpunan kabur dalam semesta disebut konveks bila untuk setiap α ∈ ( ,
1 ]
ℝ potongan- α dari himpunan kabur itu adalah himpunan (tegas) yang konveks.
2. Fungsi Keanggotaan
Setiap himpunan kabur dapat dinyatakan dengan suatu fungsi keanggotaan. Ada beberapa cara untuk menyatakan himpunan kabur dengan fungsi keanggotaannya.
Untuk semesta hingga diskret biasanya dipakai cara daftar, yaitu daftar angota- anggota semesta bersama derajat keanggotaannya, seperti misalnya diberikan dalam Contoh 2.1.
Untuk semesta takhingga yang kontinu, cara yang paling sering digunakan adalah cara analitik untuk menyatakan fungsi keanggotaan himpunan kabur yang bersangkutan dalam bentuk suatu formula matematis yang dapat disajikan dalam bentuk grafik.
Contoh
2.2 ~
Himpunan kabur A adalah bilangan real yang dekat dengan 2 dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi keanggotaan sebagai berikut:
x – 1 untuk 1 ≤ x ≤ 2
~ 3 – x untuk 2 ≤ x ≤ 3μ ( x ) = A 0 untuk lainnya yang grafiknya adalah sebagai berikut
1
0.5 R
1
1.5
2
2.5
3 Gambar 2.1
Kebanyakan himpunan kabur berada dalam semesta himpunan semua bilangan real dengan fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam bentuk suatu formula yang matematis.
a. Fungsi keanggotaan segitiga
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan
segitiga jika memilikai tiga buah parameter, yaitu a b c ∈ a < b < c , .
ℝ dengan dan dinyatakan dengan Segitiga (x,a,b,c) dengan aturan : untuk a ≤ x ≤ b
⎧ x − a
⎪ b − a
⎪
untuk b ≤ x ≤ c
Segitiga ( x ; a , b , c ) = c − x ⎨ ⎪ c − b ⎪ untuk x lainnya ⎩
Fungsi keanggotaan ini dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai berikut: ⎛ x − a c − x ⎞
⎛ ⎞
Segitiga ( x ; a , b , c ) = max min , ,
⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
b a c b
− − ⎝ ⎠
⎝ ⎠ 3.
Operasi Baku pada Himpunan Kabur
Operasi baku pada himpunan kabur yang akan didefinisikan adalah operasi biner “komplemen” dan operasi-operasi biner “gabungan” dan “irisan”.
Definisi 2.5 ~
Komplemen dari suatu himpunan kabur A adalah himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan ~ ~
x x μ ( ) = A ′ A 1 − μ ( ) untuk setiap x ∈
X.
2.6 Gabungan dua buah himpunan kabur
~
) ( ~ ~ x B A
μ min )} ( ), ( { ~ ~
B A x x
μ μ untuk setiap x
∈ X.
Contoh 2.3
Misalkan dalam semesta X = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} diketahui himpunan-himpunan kabur A
= 0.3 / -3 + 0.5 / -2 + 0.7 / -1 + 1 / 0 + 0.7 / 1 + 0.5 / 2
dengan fungsi keanggotaan
B ~
= 0.1 / -1 + 0.3 / 0 + 0.8 / 1 + 1 / 2 + 0. 7 / 3 + 0.4 / 4 + 0.2 / 5, maka
A′ ~
= 1 / -4 + 0.7 / -3 + 0.5 / -2 + 0.3 / -1 + 0.3 / 1 + 0.5 / 2 + 0.7 / 3 + 1 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6
B A ~ ~ ∪ = 0.3 / -3 + 0.5 / -2 + 0.7 / -1 + 1 / 0 + 0.8 / 1 + 1 / 2 + 0.7 / 3 + 0.4 / 4 +
0.2 / 5
B A ~ ~ ∩ = 0.1 / -1 + 0.3 / 0 + 0.7 / 1 + 0.5 / 2 + 0.3 / 3.
= ∩
~ ~ ∩
Definisi
) ( ~ ~ x B A
A
~
dan
B ~
adalah himpunan kabur
B A ~ ~ ∪
dengan fungsi keanggotaan
= ∪
μ max )} ( ), ( { ~ ~
adalah himpunan kabur B A
B A x x
μ μ untuk setiap x
∈ X.
Definisi 2.7 Irisan dua buah himpunan kabur A
~
dan B
~
- 0.3 / 3 dan
Definisi 2.8
Suatu pemetaan k : [ ,
1 ] × [ , 1 ] → [ , 1 ] disebut komplemen kabur jika memenuhi
aksioma-aksioma sebagai berikut:
a. k (0) = 1 dan k(1) = 0 (syarat batas)
b. Jika x y k ( x ) ≥ k ( y ) untuk semua x y (syarat taknaik) < maka , ∈ [ ,
1 ] Definisi 2.9
Suatu pemetaan s : [ ,
1 ] × [ , 1 ] → [ , 1 ] disebut gabungan kabur (norma-s) jika
memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:
s ( , x ) s ( , x ) x
a. = = dan s(1, 1) = 1 (syarat batas)
s ( x , y ) s ( y , x )
b. = (syarat komutatif)
x ≤ x ′ y y ′ s x y s x ′ y ′
c. Jika dan ≤ , maka ( , ) ≤ ( , ) (syarat takturun)
s ( s ( x , y ), z ) s ( x , s ( y , z ))
d. = (syarat asosiatif)
x y
Operasi max{x, y} untuk , ∈ [ ,
1 ] merupakan suatu contoh dari norma-t:
a. max{0, x} = max{x,0} = x dan max{1, 1} = 1 (syarat batas)
b. max{x, y} = max{y, x} (syarat komutatif)
x ≤ x ′ y y ′ x ′ y ′
c. Jika dan ≤ , maka max{x, y} ≤ max { , } (syarat takturun)
d. max{max{x, y}, z} = max{x, max{y, z}} (syarat asosiatif) Contoh norma-s lainnya misalnya adalah
- x y
a. Jumlah Einstein : s ( x , y ) = je + 1 xy
y =
⎧ x jika
⎪ s x y = =
b. Jumlah drastis : ( , ) y jika x jd ⎨
⎪ 1 jika lainnya ⎩
Definisi 2.10
Suatu pemetaan t : [ ,
1 ] × [ , 1 ] → [ , 1 ] disebut irisan kabur (norma-t) jika
memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:
t x t x x
a. ( ,
1 ) = ( 1 , ) = dan t(0, 0) = 0 (syarat batas) t x y t y x
b. ( , ) = ( , ) (syarat komutatif)
x ≤ x ′ y y ′ t x y t x ′ y ′
c. Jika dan ≤ , maka ( , ) ≤ ( , ) (syarat takturun)
t t x y z t x t y z
d. ( ( , ), ) = ( , ( , )) (syarat asosiatif)
x y
Operasi min{x, y} untuk , ∈ [ ,
1 ] merupakan suatu contoh dari norma-t:
a. min{x, 1} = min{1, x} = x dan min{0, 0} = 0 (syarat batas)
b. min{x, y} = min{y, x} (syarat komutatif) ′ ′ ′ ′
c. Jika x ≤ x dan y ≤ y , maka min{x, y} ≤ min { x , y } (syarat takturun)
d. min{min{x, y}, z} = min{x, min{y, z}} (syarat asosiatif) Contoh norma-t lainnya misalnya adalah
a. Darab aljabar : xy y x t da = ) , ( .
itu juga disebut relasi kabur pada himpunan (semesta) X
= 0.3 / (31, 1) + 0.1 / (31, 27) + 0.5 / (78, 1) + 0.3 / (78, 27) + 0.9 / (205, 1) + 0.7 / (205, 27) + 0.4 / (205, 119).
R ~
tersebut dapat disajikan sebagai
R ~
adalah relasi kabur “jauh lebih besar” antara elemen-elemen dalam X dengan elemen-elemen dalam Y. Maka relasi
~
X = {31, 78, 205}, Y = {1, 27, 119}, dan R
Misalkan
Contoh 2.4
X = Y, maka R ~ disebut relasi kabur pada himpunan X.
Y. jika
×
b. Darab Einstein : ) (
2 ) , (
(2.10) Relasi kabur
}. ) , ( | )) , ( ), , {(( ~
~ Y
X y x y x y x R R × ∈ = μY, yaitu himpunan kabur
X ×
antara elemen-elemen dalam himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan Y didefinisikan sebagai himpunan bagian kabur dari darab Cartesius
~
Relasi Kabur Relasi kabur R
1 jika x ) , ( y y x t dd 4.
= = lainnya jika 1 x jika y
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =
c. Darab drastis :
− + − =
xy y x xy y x t de
R ~ Bila himpunan
X dan Y keduanya berhingga, misalnya X = { x , x , L , x } dan 1 2 m ~
Y = { y , y , L , y } , maka relasi kabur R antara elemen-elemen dalam himpunan X
1 2 ndengan elemen-elemen dalam himpunan Y dapat dinyatakan dalam bentuk suatu
m × n
matriks berukuran sebagai berikut
a a a
⎛ L ⎞ 11 12 1 n ⎜ ⎟
a a L a
~ ⎜ 21 22 2 n ⎟
R
= ⎜ ⎟
M M M ⎜⎜ ⎟⎟
L a a a mi m mn
2
⎝ ⎠
= ~
di mana a μ x y untuk i =
R 1 , 2 , L , m dan j = 1 , 2 , L , n . Bila X = Y, maka relasi ij i j ( , ) ~
kabur R pada himpunan X itu dapat disajikan dengan suatu matriks bujur-sangkar.
Contoh
2.5 Relasi kabur “jauh lebih besar” antara elemen-elemen dalam X dengan elemen-
elemen dalam Y dalam Contoh 2.3.1 di atas dapat disajikan dalam bentuk matriks bujur-sangkar sebagai berikut: ⎛ . 3 . 1 . ⎞ ⎜ ⎟
~
5 . 3 . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . 9 . 7 .
R = .
4 ⎝ ⎠ dengan elemen baris ke-i kolom ke-j dalam matriks tersebut menyatakan derajat
~ ~
keanggotaan ( x , y ) dalam relasi R itu, yaitu μ ( x , y ), di mana x ∈ i j i j i R X dan
∈ y Y . j
Definisi 2.11
Himpunan semua himpunan bagian dari A disebut himpunan kuasa dari A, dan dinotasikan dengan }. | { ) (
A
X X A P ⊆ =
Definisi
2.12 Suatu fungsi tegas dikatakan dikaburkan bila fungsi tersebut diperluas
menjadi fungsi , di mana F(X) dan F(Y) berturut-turut adalah
himpunan kuasa kabur dari semesta X dan Y, yaitu himpunan semua himpunan kabur
dalam X dan dalam Y.Y X f → : ) ( ) ( : Y F
X F f → Contoh 2.6
Bilangan kabur “kurang lebih 6” dapat dinyatakan sebagai himpunan kabur 6 ~ dengan fungsi keanggotaan segitiga sebagai berikut:
1
6 R
Gambar 2.2. Bilangan kabur6 ~
Definisi
2.13 ~ ~
A B
Misalkan dan adalah dua buah bilangan kabur dalam ℝ. Dengan Prinsip
~ ~ ~ A B ~ + A B
Perluasan dapat didefinisikan penjumlahan dan , yaitu , sebagai bilangan kabur dalam ℝ dengan fungsi keanggotaan ~ ~ ~ ~
μ ( z ) = sup μ ( x , y )
- A B A × B
x y z
=
- = μ ~ x μ ~ y .
sup min{ ( ), ( )} A B
+ x y = z
~ ~ ~
Demikian pula operasi perkalian bilangan kabur A dan B , yaitu A ~ ⋅ B , adalah bilangan kabur dalam ℝ dengan fungsi keanggotaan ~ ~ ~ ~ μ ( z ) = sup min{ μ ( x ), μ ( y )} . A B A B
⋅ xy = z 5.
Ukuran Kabur (Fuzzy Measure)
Ukuran kabur menunjukkan derajat kekaburan dari himpunan kabur. Secara umum ukuran kekaburan dapat dinyatakan sebagai suatu pemetaan :
f
X R Ρ → : ( )
~ Ρ
dengan ( X ) adalah himpunan kuasa dari X. f ( A ) adalah suatu fungsi yang
~ A memetakan himpunan bagian ke karakteristik derajat kekaburannya.
Dalam mengukur nilai kekaburan, fungsi f harus mengikuti hal-hal sebagai berikut :
~ ~ = A
1. f ( A ) jika dan hanya jika adalah himpunan tegas
2. jika dan hanya jika
~ (B f ) ~ ( )
) ~ ( A f B
~
= 0.3/1 + 0.5/2 + 0.7/3 + 0.8/4 + 0.8/5 + 0.4/6 + 0.3/7, maka jelas bahwa
A ~
kurang kabur dari
B ~
dan = 0.4, yaitu )
~ ( B f A f ≤ 6.
A ~
Indeks Kekaburan
Indeks kekaburan adalah jarak antara suatu himpunan kabur
A ~
dengan himpunan tegas C yang terdekat. Himpunan tegas C terdekat dari himpunan kabur
A ~
dinotasikan sebagai berikut : 1. 0 ) ( = x C
μ jika
) 5 , ( ~ ≤ x A
adalah = 0.2. jika diketahui pula himpunan kabur
= 0.3/1 + 0.6/2 + 0.8/3 + 0.9/4 + 0.8/5 + 0.4/6 + 0.2/7. Dengan definisi ukuran kekaburan f di atas ,derajat kekaburan dari himpunan kabur
1 ) ~ ( =
≤
A f A ~
adalah himpunan yang paling kabur, yaitu
) 5 , ( ~ = x A
μ untuk setiap
X x ∈
3. Jika
B A ~ ~ < maka yang berarti )
~ ( ) ~ ( B f A f
) ( ) ( x x B A μ μ ≤ , jika ) 5 , ( ≤ x B
A ~
μ dan ) ( ) ( x x B A
μ μ ≥ , jika ) 5 , ( ≥ x B μ
4. untuk setiap ) '
~ ( ) ~ ( A f A f
=
) (
~X P A ∈
Contoh 2.7
Misalkan pada semesta X = {1,2,3,4,5,6,7} diketahui himpunan kabur
μ
~
2. 1 ( x ) = jika μ x ≥ μ ( ) , C A
5 Ada 3 kelas yang paling sering digunakan dalam mencari indeks kekaburan, yaitu :
a. Jarak Hamming
f ( A ) = | ( x ) − ( x ) |
μ μ atau A C
∑ f ( A ) = min | ( x ),
1 − ( x ) | μ μ A A
∑
b. Jarak Euclidean 2 1 / 2
f ( A ) = ( μ ( x ) − μ ( x )) A C { }
∑
c. Jarak Minkowski w 1 / w
f ( A ) = μ ( x ) − μ ( x ) { ( A C ) }
∑
dengan w ∈ , [ ] 1 ∞
B. Analisis Cluster
Analisis cluster merupakan suatu alat analisis yang berguna untuk meringkas data yang dapat dilakukan dengan jalan mengelompokkan objek-objek berdasarkan kesamaan karakteristik tertentu di antara objek-objek yang hendak diteliti. Kesamaan tersebut dinyatakan dalam ukuran similaritas atau disimilaritas.
Pembentukan kelompok-kelompok observasi berdasarkan jarak, objek yang mirip seharusnya berada dalam kelompok yang sama dan sebaliknya objek yang mempunyai banyak perbedaan berada dalam kelompok yang berbeda. Pembentukan kelompok tersebut akan diikuti dengan terjadinya pengelompokan yang menunjukkan kedekatan kesamaan antar objek.
Berikut ini contoh kasus sederhana yang dapat dipakai sebagai ilustrasi bagaimana analisis cluster bekerja. Gambar berikut menunjukkan contoh data yang akan dilakukan klasterisasi
Gambar 2.3. Data sebelum diclusterJika data dilakukan clustering (pengelompokkan) berdasarkan warna, maka pengelompokkannya seperti yang terlihat pada gambar berikut
Gambar
2.4. Cluster berdasarkan similaritas (kesamaan) warna Jika data dilakukan clustering (pengelompokkan) berdasarkan bentuk, maka pengelompokkannya dapat dilihat seperti gambar berikut
Gambar