9. Koordinat Polar - 9 Koordinat Polar

9. Koordinat Polar

  

Sudaryatno Sudirham

  Sampai dengan bahasan sebelumnya kita membicarakan fungsi dengan kurva-kurva yang digambarkan dalam koordinat sudut-siku, x-y. Di bab ini kita akan melihat sistem

  koordinat polar.

  9.1. Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku

  Pada pernyataan posisi satu titik P[x ,y ] pada sistem koordinat sudut-siku terdapat

  P P

  hubungan

  y r sin ; x r cos (9.1) = θ = θ

  P P

  dengan r adalah jarak antara titik P dengan titik-asal [0,0] dan adalah sudut yang dibentuk

  θ oleh arah r dengan sumbu-x, seperti terlihat pada Gb. 9.1.

y

  P[r, ] θ y P r

  θ [0,0] x P x Gb.9.1. Posisi titik P pada sistem koordinat polar.

  Dalam koordinat polar, r dan inilah yang digunakan untuk menyatakan posisi titik P. Posisi

  θ titik P seperti pada Gb. 9.1. dituliskan sebagai P[r, ].

  θ

  9.2. Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar

  Di Bab-5 kita telah melihat persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku, yaitu

  2

  2

( x a ) ( y b ) c

  

− − =

• 2

  Kita dapat menyatakan lingkaran ini dalam koordinat polar dengan mengganti x dan y menurut relasi (9.1), yaitu

  2

  2

  

( r cos a ) ( r sin b ) c

θ − θ − = (9.2.a)

• +

  2

  yang dapat dituliskan sebagai

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 ra cos a ) ( r sin 2 rb sin b ) c θ − θ θ − θ − = + +

• ( r cos

  2

  

2

  2

  2

  2 r ( a cos b sin ) a b c (9.2.b) − θ θ − =

• r

• + +

  ( )

  

2

  2

  2

  2 ( a cos b sin ) a b c − θ θ − =

• r r

  ( )

  dengan bentuk kurva seperti Gb.9.2.a Jika lingkaran ini berjari-jari c = a dan berpusat di O[a,0] maka persamaan (9.2.b) menjadi

  r ( r − 2 a cos θ ) = (9.2.c)

  Pada faktor pertama, jika kita mengambil r , kita menemui titik pusat. Faktor ke-dua

  

====

  adalah

  r 2 a cos

  (9.2.d)

  − θ = merupakan persamaan lingkaran dengan bentuk kurva seperti pada Gb.9.2.b. y y

  P[r, ] θ

  P[r, ] θ r r b

  θ x

  [0,0] θ

  [0,0] x a a

  (a) (b) Gb.9.2. Lingkaran Berikut ini tiga contoh bentuk kurva dalam koordinat bola.

  Contoh: r = 2 ( 1 − cos θ ) . Bentuk kurva fungsi ini terlihat pada Gb.9.3 yang disebut kardioid (cardioid) karena bentuk yang seperti hati.

  3 y

  P[r, ] θ

  2 r

  1 θ x

• 5 -3 -1

  1

• 1
• 2
• 3

  Gb.9.3 Kurva kardioid, r =

  2 ( 1 − cos θ )

  Perhatikan bahwa pada = 0, r = 0; pada = /2 , r = 2; pada = , r = 4; pada = 1,5 , r

  θ θ π θ π θ π = 2.

2 Contoh:

  r = 16 cos θ . Bentuk kurva fungsi ini terlihat pada Gb.9.4

  3

y

2 P[r, ]

  θ r

  1 θ

• 5 -3 -1

  1 3 x

  5

• 1
• 2
• 3

  2 Gb.9.4 Kurva r 16 cos = θ

  Perhatikan bahwa pada = 0, r = 4; pada = /2 , r = 0; pada = , r = 4; pada = 1,5 , r

  θ θ π θ π θ π = 0.

  2/8 Sudaryatno Sudirham, Koordinat Polar

  Contoh: . r

2 Untuk > 0 bentuk kurva fungsi ini terlihat pada Gb.9.5

  θ = θ

  2 y y = 2

  1,5

P[r, ]

  

θ

r

  1 0,5 θ

• 1

  

1

  2

  3 x

• 0,5

  θ = 4 π θ = 2 π θ = π θ = 3 π

• 1

  Gb.9.5 Kurva r

  2 θ ====

  Pada persamaan kurva ini jika = 0 maka 0 = 2; suatu hal yang tidak benar. Ini berarti

  θ

  bahwa tidak ada titik pada kurva yang bersesuaian dengan = 0. Akan tetapi jika

  θ θ mendekati nol maka r mendekati ; garis y = 2 merupakan asimptot dari kurva ini. ∞

  Perhatikanlah bahwa perpotongan kurva dengan sumbu-x tidak berarti = 0 dan terjadi

  θ pada = , 2 , 3 , 4 , dst. θ π π π π

9.3. Persamaan Garis Lurus

  Salah satu cara untuk menyatakan persamaan kurva dalam koordinat polar adalah menggunakan relasi (9.1) jika persamaan dalam koordinat sudut-siku diketahui. Hal ini telah kita lakukan misalnya pada persamaan lingkaran (9.2.a) menjadi (9.2.b) atau (9.2.c). Berikut ini kita akan menurunkan persamaan kurva dalam koordinat polar langsung dari bentuk / persyaratan kurva. Gb.9.6 memperlihatkan kurva dua garis lurus l

  1 sejajar sumbu-x dan l 2 sejajar sumbu-y. y y l

  1 l P[r, ]

  2 θ P[r, ]

  θ r r b θ θ

a x x

  O O Gb.9.6 Garis lurus melalui titik-asal [0,0].

  Garis l berjarak a dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini harus memenuhi

  1 r cos a (9.3)

  θ =

  Inilah persamaan garis l 1 . Garis l berjarak b dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini harus memenuhi

  2 r sin θ = b (9.4)

  Inilah persamaan garis l 2 . Kita lihat sekarang garis l yang berjarak a dari titik asal dengan kemiringan positif seperti

  3

  terlihat pada Gb.9.7. Karena garis memiliki kemiringan tertentu maka sudut antara garis tegak-lurus ke l

  3 , yaitu juga tertentu. Kita manfaatkan untuk mencari persamaan garis l 3 .

  β β

  Jika titik P harus terletak pada l

  3 maka r cos( ) a (9.5)

  β − θ =

  Inilah persamaan garis l 3 .

  P[r, ] θ

y

l

  

3 r

A

  θ a

  β α x

  O

  Gb.9.7. Garis lurus l 3 berjarak a dari [0,0], memiliki kemiringan positif. Jika kita bandingkan persamaan ini dengan persamaan (9.3) terlihat bahwa persamaan

  (9.5) ini adalah bentuk umum dari (9.3), yang akan kita peroleh jika kita melakukan perputaran sumbu. Jika perputaran kita lakukan sedemikian rupa sehingga memperoleh kemiringan garis positif, maka akan kita peroleh persamaan garis seperti (9.5). Apabila perputaran sumbu kita lakukan sehingga garis yang kita hadapi, l

  4 , memiliki kemiringan

  negatif, seperti pada Gb.9.8., maka persamaan garis adalah

  r cos( ) a (9.6) θ − β = y

  P[r, ] θ r l

  

4

a

  θ β O x

  Gb.9.8. Garis lurus l 4 berjarak a dari [0,0], kemiringan negatif.

9.4. Parabola, Elips, Hiperbola

  Ketiga bangun geometris ini telah kita lihat pada Bab-5 dalam koordinat sudut-siku. Kita akan melihatnya sekarang dalam koordinat polar.

  Eksentrisitas. Pengertian sehari-hari dari istilah eksentrik adalah menyimpang dari

yang umum. Dalam matematika, eksentrisitas adalah rasio antara jarak suatu titik P

  disebut titik fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks; kedua istilah ini telah kita kenal pada waktu pembahasan mengenai parabola di Bab-5. Sesungguhnya, dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola. Perhatikan Gb.9.8. Jika e adalah eksentrisitas, maka

  s PF e

  = (9.7) s

  PD y

  D P[r, ] θ

r

θ

  A F B x k direktriks Gb.9.8. Titik fokus dan garis direktriks.

  4/8 Sudaryatno Sudirham, Koordinat Polar

  Jika kita mengambil titik fokus F sebagai titik asal, maka

  

PF r

=

  dan dengan (9.7) menjadi r = e PD ; sedangkan

  s

• PD = AB = AF FB = k r cos θ

  sehingga r e ( k r cos ) e k e r cos

  = θ = θ + + s s s

  Dari sini kita dapatkan

  e k s r =

  (9.8)

  1 − e cos θ s Nilai e menentukan persamaan bangun geometris yang kita akan peroleh. s Parabola.

  Jika e =

  1 , yang berarti PF = PD, maka s k r =

  (9.9)

  1 − cos θ Inilah persamaan parabola.

  Perhatikan bahwa jika mendekati nol, maka r mendekati tak hingga. Jika = /2 maka r =

  θ θ π

k. Jika titik P akan mencapai puncak kurva dan r = k/2, yang berarti bahwa puncak

  θ = π

  parabola berada di tegah-tengah antara garis direktriks dan titik fokus. Hal ini telah kita lihat di Bab-5.

  Elips. Jika e < 1, misalnya e , 5 , PF = PD/2, maka s = s

k

r

  (9.10)

  =

2 cos

  − θ Inilah persamaan elips.

  1 cos 1 maka penyebut pada persamaan (9.10) tidak akan − ≤ θ ≤

• Perhatikan bahwa karena

  pernah nol. Oleh karena itu r selalu mempunyai nilai untuk semua nilai . Jika = 0 maka r =

  θ θ k, titik P mencapai jarak terjauh dari F. dan jika

  θ π θ π k/3, titik P mencapai jarak terdekat dengan F.

  Hiperbola.

  Jika e

  1 , misal e 2 , berarti PF

  2 PD , maka > = = × s s

  2k r (9.11)

  =

  1 2 cos − θ Inilah persamaan hiperbola.

  Jika mendekati /3 maka r menuju tak hingga. Jika θ = π /

  2 maka r = 2k. Jika θ = π , titik P θ π ada di puncak kurva, dan r = k/3 = PF.

9.4. Lemniskat dan Oval Cassini

  Di laut Aegea di hadapan selat Dardanella, terdapat sebuah pulau yang penting dalam mitologi Yunani yaitu pulau Lemnos atau Limnos. Pulau vulkanik ini berbentuk tak beraturan dengan dua teluk yang menjorok dalam ke daratan di pantai utara dan pantai selatan.

  Giovanni Domenico Cassini dikenal juga dengan nama Jean Dominique Cassini (1625 – 1712) adalah astronom Italia. Cassini menemukan empat di antara sembilan atau sepuluh satelit planet Saturnus. Ia pula yang menemukan celah cincin Saturnus, antara cincin terluar dengan cincin ke-dua yang paling terang; celah itu kemudian disebut Cassini’s division.

  Bangun-geometris yang disebut lemniskat dan oval Cassini merupakan situasi khusus dari kurva yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan. Misalkan dua titik tertentu tersebut adalah F

  1 [a, ] dan π

  F 2 [a,0]. Lihat Gb.9.9.

  

= /2

θ π

  P[r, ] θ r

  θ

= = 0

  θ π θ F 2 [a,0] F

  1 [a, ] π

  Gb.9.9. Menurunkan persamaan kurva dengan persyaratan PF

  

1 PF

2 = konstan

×

  Dari Gb.9.9. kita dapatkan

  2

  

2

  2 PF r sin a r cos

= θ θ

+ +

  ( ) (

1 ) ( )

  2

  

2

r a 2 ar cos

  

= θ

+ +

  2

  

2

  2 PF r sin a r cos = + θ − θ

  ( ) (

2 ) ( )

  

2

r a 2 ar cos

  

= − θ

• 2

2 PF PF b

  Misalkan hasil kali × = , maka kita peroleh relasi

  1

  2

  4

  2

  2

  2

  2 b = r a + + + 2 ar cos θ × r a − 2 ar cos θ

  ( ) ( )

  4

  4

  2

  2

  2 r a 2 a r ( 2 ar cos )

  = − θ (9.12) + +

  4

  4

  2

  2

  2 r a 2 a r (

  

1

2 cos ) = θ + − +

  Kita manfaatkan identitas trigonometri

  2

  2

  2 cos 2 cos sin 2 cos

  1

θ = θ − θ = θ −

  untuk menuliskan (9.12) sebagai

  4

  4

  2

  2 b r a 2 a r cos 2 (9.13)

  

= − θ

• 4

  Jika b kita buat ber-relasi dengan a yaitu b = ka maka persamaan (9.13) ini dapat kita tuliskan

  2

  2

  4

  4 r 2 a r cos 2 a ( 1 k )

  = − θ −

• 4

  Untuk r > 0, persamaan ini menjadi

  2

  2

  2

  2

  4 r a cos 2 a cos 2 ( 1 k ) (9.14)

  = θ ± θ − − Lemniskat.

  Bentuk kurva yang disebut lemniskat ini diperoleh pada kondisi khusus

  2

  (9.14) yaitu k = 1, yang berarti b = a atau PF × PF = a . Pada kondisi ini persamaan (9.14)

  

1

  2

  menjadi

  2

  2

  2 r ( r 2 a cos 2 )

  

= − θ

  Faktor pertama r = 0 akan memberikan sebuah titik. Faktor yang ke-dua memberikan persamaan

  6/8 Sudaryatno Sudirham, Koordinat Polar

  2

  

2

r

2 a cos

  2

= θ

Dengan mengambil a = 1, kurva dari persamaan ini terlihat pada Gb.9.10.

  

θ = π /2

0,6 0,2

  = 0 = θ θ π

• 1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5
• 0,2
• 0,6 Gb.9.10. Kurva persamaan (9.14), k = 1 = a.

  Bentuk lemniskat masih akan diperoleh pada k > 1, misalnya k = 1,1. Pada keadaan ini, dengan tetap mengambil a = 1, bentuk kurva yang akan diperoleh terlihat seperti pada Gb.9.11.

  

= /2

θ π

  1,5

  1 0,5

θ = π = 0

θ

• 2 -1

  1

  2

• 0,5
<
• 1,5 Gb.9.11. Kurva persamaan (9.14), k = 1,1 &amp; a = 1.

  Oval Cassini. Kondisi khusus yang ke-tiga adalah k &lt; 1, misalkan k = 0,8. Dengan tetap

  mengambil a = 1, bentuk kurva yang diperoleh adalah seperti pada Gb.9.12, yang disebut “oval Cassini”. Kurva ini terbelah menjadi dua bagian, mengingatkan kita pada Cassini’s division di planet Saturnus.

  

= /2

θ π

  1,5

  1 0,5

= = 0

  θ π θ

• 2 -1

  1

  2

• 0,5
<
• 1,5 Gb.9.12. Kurva persamaan (9.14), k = 0,8 &amp; a = 1.

9.5. Luas Bidang Dalam Koordinat Polar

  Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva dan dua garis masing- masing mempunyai sudut kemiringan dan . Lihat Gb.9.12

  α β y

  = θ β ∆θ

  = θ α

θ

x Gb.9.12. Mencari luas bidang antara kurva dan dua garis.

  Antara dan kita bagi dalam n segmen.

  α β β − α ∆ θ = n

• Luas setiap segmen bisa didekati dengan luas sektor lingkaran. Antara dan ( ) ada

  θ θ ∆θ

  suatu nilai sedemikian rupa sehingga luas sektor lingkaran adalah

  θ k

  

2

A ( r ) /

  2

= ∆ θ

k k

  Luas antara = dan = menjadi

  θ α θ β

  2

  2 A ( r ) / 2 f ( ) /

  2

= ∆ θ = θ ∆ θ

  αβ k ( k ) ∑ ∑

  Jika n menuju , menuju nol, kita dapat menuliskan luas bidang menjadi

  ∞ ∆θ

  2

  2 A = lim ( r ∆ θ ) / 2 = lim f ( θ ) ∆ θ /

  2 k [ ]

  αβ ∑ ∑ ∆ θ → ∆ θ → β

  1

  2 f ( ) d

  = θ θ [ ]

  ∫ α

  2

  2 β r

  atau A = d θ (9.15)

  αβ ∫

  α

  2 8/8 Sudaryatno Sudirham, Koordinat Polar