Catatan Teknik (Technical Notes) Pengerjaan Metoda Inversi Integral pada Perumusan Persamaan Muka Air Gelombang Air Nonlinier
ISSN 0853-2982
Hutahaean
Jurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa Sipil
Catatan Teknik (Technical Notes)
Pengerjaan Metoda Inversi Integral pada Perumusan Persamaan Muka Air
Gelombang Air Nonlinier
Syawaluddin Hutahaean
Kelompok Keahlian Teknik Kelautan, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, Institut Teknologi Bandung,
Jl. Ganesha No. 10 Bandung 40132, E-mail: syawaluddin@ocean.itb.ac.id
Abstrak
Pada paper ini persamaan muka air dari gelombang air diperoleh dengan mengintegrasikan persamaan syarat
batas kinematik permukaan terhadap waktu. Integrasi dilakukan dengan metoda inversi integral dimana operasi
integrasi diganti dengan operasi diferensiasi. Persamaan muka air yang dihasilkan merupakan superposisi dari
sejumlah gelombang dengan amplitudo gelombang yang berbeda-beda, mempunyai karakteristik breaking dan
dispersif.
Kata-kata kunci: Syarat batas kinematik permukaan, metoda inversi integral.
Abstract
In this paper water surface equation due to water wave is formulated by integrating kinematic surface water
boundary condition equation with respect to time using integration inversion method, where integration operation is changed by differentiation operation. The resulted water surface equation is superposition of several
wave with different amplitude and has breaking characteristic and dispersive.
Keywords: Kinematic water surface bundary condition, integration inversion method.
1. Pendahuluan
Perumusan persamaan gelombang air dimulai dari
perumusan persamaan muka air terlebih dahulu.
Persamaan gelombang air linier (Dean, 1984),
persamaan gelombang air nonlinier dari Stoke
(Sarpkaya, 1981), persamaan gelombang air nonlinier,
Hutahaean (2007a) dan (2008a) dirumuskan dengan
merumuskan persamaan muka air terlebih dahulu.
Karena itu ketepatan suatu teori gelombang sangat
ditentukan dari ketepatan persamaan muka air yang
digunakan.
Pada perumusan persamaan muka air dijumpai suatu
proses integrasi terhadap waktu suatu persamaan
nonlinier. Pada perumusan persamaan gelombang
linier, dilakukan proses linierisasi dengan anggapan
panjang gelombang sangat panjang dan perairan
sangat dalam sehingga tidak dijumpai proses integrasi
persamaan nonlinier. Hutahaean (2007a) dan (2008a),
merumuskan persamaan gelombang nonlinier dengan
mengambil suatu harga konstan pada salah satu
komponen persamaan muka air, sehingga tidak
dijumpai integrasi persamaaan nonlinier.
Pada penelitian ini, persamaan muka air dirumuskan
tanpa melakukan proses linierisasi maupun
pengambilan suatu harga konstan pada komponen
nonlinier, sehingga terdapat suatu proses integrasi
persamaan nonlinier periodik. Integrasi dilakukan
dengan metoda inversi, yaitu operasi integrasi diganti
dengan operasi differensiasi yang dapat dengan mudah
dilakukan meskipun persamaan bersifat nonlinier.
Dengan merumuskan persamaan muka air tanpa
melakukan proses linierisasi ataupun pengerjaan
asumsi yang menyebabkan persamaan menjadi linier,
diharapkan diperoleh suatu persamaan muka air yang
lebih tepat dan selanjutnya diperoleh persamaan
gelombang yang lebih tepat juga.
2. Persamaan-persamaan Dasar
2.1 Persamaan diffrensial muka air
Pada muka air yang bergerak, berlaku persamaan
syarat batas kinematika permukaan air (Dean, 1984)
yaitu
wη =
∂η
∂η
+ uη
∂t
∂x
(1)
Vol. 17 No. 2 Agustus 2010
135
Catatan Teknik (Technical Notes): Pengerjaan Metoda Inversi Integral ...
dimana wη adalah kecepatan partikel air pada arah
vertikal-z pada permukaan air, uη adalah kecepatan
partikel pada arah horisontal-x pada permukaan air
sedangkan η = η(x,t) adalah persamaan muka air yang
menggambarkan fluktuasi muka air dengan referensi
muka air diam. Dengan x sebagai sumbu horisontal
dan z sebagai sumbu vertikal maka elevasi muka air
diam adalah pada z = 0.
Persamaan syarat batas kinematik permukaan,
Persamaan (1), dapat ditulis menjadi persamaan
muka air yaitu,
∂η
∂η
= wη − uη
∂x
∂t
(2)
Untuk mendapatkan bentuk persamaan dari η, maka
Persamaan (2) diintegrasikan terhadap waktu t,
η ( x, t ) =
∫ wη dt − ∫ uη
∂η
dt
∂x
α =
1+
∂h
∂x
∂h
1−
∂x
(7)
G dan k adalah suatu konstanta yang perlu dicari
bentuknya. G dan k adalah suatu besaran yang
merupakan fungsi dari kedalaman. Untuk kedalaman
perairan yang tidak konstan, fungsi dari posisi x, G
dan k juga merupakan fungsi dari x sehingga terdapat
harga-harga ∂G / ∂x dan ∂k / ∂x.
Dari persamaan potensial aliran (5) dapat diperoleh
kecepatan partikel yaitu
kecepatan arah horisontal-x,
∂φ
= Gke kh β ( z ) sin kx sin σt
∂x
∂kh
− Ge kh (β ( z ) + β1 ( z ) )
cos kx sin σt
∂x
∂G kh
(8)
−
e β ( z ) cos kx sin σt
∂x
u=−
(3)
Penyelesaian integrasi pada Persamaan (3) tersebut
sebenarnya terdapat konstanta integrasi c(t), tetapi
untuk suatu fungsi periodik seperti persamaan muka
air akibat gelombang yang bersifat periodik, maka
dapat diambil c(t) = 0 (Dean, 1984).
kecepatan arah vertikal-z,
2.2 Persamaan potensial aliran
w=−
Untuk menyelesaikan integrasi pada Persamaan (3),
diperlukan bentuk dari wη dan uη, yang dapat
diperoleh dari persamaan potensial aliran gelombang
air hasil pnyelesaian persamaan Laplace.
Pada persamaan kecepatan horisontal u terdapat
variabel ∂G / ∂x dan ∂k / ∂x yang perlu dicari
bentuknya.
Penyelesaian persamaan Laplace dengan metoda
pemisahan variabel dan dengan pengerjaan syarat
batas lateral periodik, Dean (1984), menghasilkan
persamaan,
(
)
φ = A Ce kz + De − kz cos kx sin σt
(4)
∂φ
= − Gke kh β1 ( z ) cos kx sin σt
∂z
(9)
3. Formulasi ∂G / ∂x dan ∂k / ∂x
3.1 Tinjauan penyelesaian Persamaan Laplace
Persamaan Laplace pada medan aliran pada bidang
x-z,
A, C dan D adalah suatu kontanta yang perlu dicari
bentuknya, k adalah bilangan gelombang, σ = 2η / T
= frekuensi sudut, T = perioda gelombang.
∂ 2φ ∂ 2φ
+
=0
∂x 2 ∂z 2
Pengerjaan syarat batas kinematik dasar perairan
untuk dasar perairan miring, Hutahaean (2008a),
diperoleh
Persamaan potensial aliran, Persamaan (4) diperoleh
dari penyelesaian Persamaan (10) dengan metoda
pemisahan variabel, Dean (1984), yaitu dianggap
φ(x, z, t) = P(x)Q(z)sinσt, dimana berlaku kondisi,
φ = Ge kh β ( z ) cos kx sin σt
(5)
dimana didefinisikan,
∂2P 1
= −k 2
2
∂x P
β ( z ) = αe k ( h + z ) + e − k ( h + z ) ;
β ( z) = αe k ( h+ z ) + e −k ( h+ z )
1
(6)
dan
∂ 2Q 1
= k2
2
∂z Q
(10)
(11)
(12)
dimana sebagai P(x) adalah:
P (x) = Ge kh cos kx
136 Jurnal Teknik Sipil
(13)
Hutahaean
∂P
∂x
= − Ge kh k sin kx + Ge kh
∂G
+
∂x
∂kh
cos kx
∂x
e kh cos kx
+ 2Ge kh (β ( z ) + β 1 ( z ) )k
(14)
Dengan mengabaikan turunan ke 2 dan bentuk
perkalian antar turunan,
∂ 2 P
∂k
sin kx
= − Ge kh k 2 cos kx − Ge kh
2
∂x
∂x
∂G kh
∂kh
− Ge kh k
sin kx −
e k sin kx
∂x
∂x
∂G kh
∂kh
− Ge kh k
sin kx −
e k sin kx (15)
∂x
∂x
∂ P 1
2
∂x P
2
∂k
= −k2 −
tan kx − 2k
∂x
2 ∂G
−
k tan kx
G ∂x
∂kh
tan kx
∂x
−
∂x
− 2k
∂kh 2 ∂G
−
k =0
∂x
G ∂x
(17)
atau
∂G
∂x
G ∂k
=−
2k ∂x
−G
∂kh
∂x
(18)
3.2 Pengerjaan persamaan kontinuitas
Persamaan kontinuitas pada medan aliran arah x-z,
dimana x sumbu horisontal dan z adalah sumbu
vertikal, berbentuk
∂u
∂x
+
∂w
=0
∂z
∂z
= − Ge kh β ( z )k 2 cos kx sin σt
(19)
Dari persamaan ∂w / ∂z dan persamaan kontinuitas,
maka ∂u / ∂x haruslah berbentuk,
∂u
∂x
= Ge kh β ( z )k 2 cos kx sin σt
Dari Persamaan (8),
∂u
∂x
= Ge kh β ( z )k 2 cos kx sin σt
∂k
+ Ge β ( z ) sin kx sin σt
∂x
kh
(20)
(21)
∂k
sin kx sin σt
∂x
∂kh
+ 2Ge kh (β ( z ) + β 1 ( z ) )k
sin kx sin σt
∂x
∂G kh
+2
e β ( z )k sin kx sin σt = 0
∂x
Ge kh β ( z )
(22)
Persamaan dibagi dengan sin kxsin σt, untuk sin kxsin
σt ≠ 0
Ge kh β ( z )
∂k
∂kh
+ 2Ge kh (β ( z ) + β 1 ( z ) )k
∂x
∂x
∂G kh
(23)
+2
e β ( z )k = 0
∂x
Substitusi ∂G / ∂x dari Persamaan (18),
∂k
∂kh
+ 2Ge kh (β ( z ) + β1 ( z ) )k
∂x
∂x
∂kh
∂k
(24)
− 2Ge kh β ( z )k
− Ge kh β ( z )
=0
∂x
∂x
Ge kh β ( z )
Dari persamaan terakhir diperoleh,
∂kh
=0
∂x
k
(25)
∂h
∂k
+h
=0
∂x
∂x
∂k
k ∂h
=−
∂x
h ∂x
Dari Persamaan (9),
∂w
∂G kh
e β ( z )k sin kx sin σt
∂x
Dari Persamaan (14), haruslah
(16)
Substitusi persamaan terakhir ke Persamaan (11),
maka diperoleh persamaan,
∂k
+2
∂kh
sin kx sin σt
∂x
(26)
Persamaan (26) ini bukan berarti perubahan harga k
persatuan panjang, tetapi menyatakan perbedaan
antara harga k pada dasar perairan datar dengan pada
dasar perairan miring. Bila pada dasar perairan datar k
= k0, maka pada dasar perairan miring,
k = k0 −
k 0 ∂h
h ∂x
(27)
Jadi kemiringan dasar perairan akan memperkecil k
atau
memperbesar
panjang
gelombang.
Dari Persamaan (18) dan (25),
G ∂h
∂G
=
2h ∂x
∂x
(18)
Vol. 17 No. 2 Agustus 2010
137
Catatan Teknik (Technical Notes): Pengerjaan Metoda Inversi Integral ...
Sama halnya dengan bilangan gelombang k, maka
Persamaan (28) ini hanya menyatakan perbedaan
antara G pada dasar perairan datar dengan G pada
dasar perairan miring. Bila G0 adalah harga G pada
dasar perairan datar, maka pada dasar perairan
miring,
inversi ini telah dikenal antara lain pada transformasi
Laplace.
Berdasarkan fungsi yang akan diintegrasikan
didefinisikan
suatu
fungsi
f(x,t)
yaitu
f(x,t) = β1 (η)cos kxcosσt
G ∂h
G = G0 + 0
2h ∂x
(29)
Jadi kemiringan dasar perairan akan memperbesar
harga G. Baik Persamaan (26) maupun Persaman
(28) menunjukkan bahwa semakin dalam perairan
semakin kecil pengaruh kemiringan dan pada perairan
yang sangat dalam pengaruh kemiringan akan hilang
dengan sendirinya..
Substitusi Persamaan (25) ke Persamaan (26)
kecepatan partikel arah horisontal-x menjadi,
kh
u = Ge β ( z )k sin kx sin σt
∂G
−
∂x
e kh β ( z ) cos kx sin σt
(30)
Dari Persamaan (30) dan (9), diperoleh kecepatan
partikel air pada permukaan adalah,
uη = Ge kh β (η )k sin kx sin σt
(31)
wη = − Ge kh β1 (η )k cos kx sin σt
(32)
∂x
∂f
= − σβ1 (η ) cos kx sin σt
∂t
∂η
+ kβ (η )
cos kx cos σt
∂t
Substitusi kedua persamaan kecepatan partikel air
tersebut ke Persamaan (3),
Selanjutnya persamaan terakhir dintegrasikan terhadap waktu t,
+
∂x
Dari Persamaan (6), β (η )
∂η
cos kx cos σt dt
∂t
+ k ∫ β (η )
(35)
(36)
Substitusi f(x,t)
β1(η) coskxcosσt = −σ ∫ β (η) coskxsinσt dt
1
∂η
coskxcosσt dt (37)
∂t
Ruas kiri dipindah keruas kanan, suku ke 1 ruas kanan
dipindah kekiri dan persamaan dibagi dengan σ,
(33)
= αe k ( h +η ) + e − k ( h +η ) ;
∫β
1
(η ) sin σt dt = −
+
β (η ) = αe k ( h +η ) + e − k ( h +η )
1
sehingga β1(η)sinσt dan β(η)sinσt adalah persamaan
yang sangat nonlinier. Integral pada Persamaan (33)
tidak bisa diselesaikan sebagaimana halnya integrasi
persamaan linier.
Penyelesaian integral pada Persamaan (33) akan
diselesaikan dengan metoda inversi dimana operasi
integral diganti dengan operasi diferensial. Metoda
138 Jurnal Teknik Sipil
∂η
cos kx cos σt dt
∂t
+ k∫ β(η)
∫
sin kx ∫ β (η ) sin σ dt
e kh cos kx ∫ β (η ) sin σt dt
(η ) cos kx sin σt dt
f ( x, t ) = − σ ∫ β (η ) cos kx sin σt dt
1
∂G
1
+ k ∫ β (η )
η ( x, t ) = − Gke kh cos kx β (η ) sin σt dt
− Gke kh
(34)
1
e kh β (η ) cos kx sin σt
−
Pengambilan bentuk cosσt adalah agar ketika
diturunkan terhadap t akan diperoleh bentuk sinσt
yang merupakan bentuk dari persamaan yang
diintegrasikan. Persamaan f(x,t) diturunkan terhadap t,
∫ df = − σ ∫ β
4. Persamaan Muka Air
∂G
Sebagai ilustrasi dari metoda inversi ini akan
diselesaikan ∫β1(η)kcos kxsinσt dt
1
σ
β1 (η ) cos σt
k
∂η
β (η ) cos σt dt
∂t
σ∫
(38)
Ruas kiri persamaan adalah suku yang diselesaikan
integrasinya. Integrasi suku ke 2 pada ruas kanan
persamaan diselesaikan dengan cara yang sama.
Didefinisikan
f ( x, t ) =
k
σ
β (η )
∂η
sin σt
∂t
(39)
Hutahaean
Persamaan diturunkan terhadap t,
∂f
∂t
=
k2
σk
∂η
∂η
β (η ) cos σt + β1 (η)⎛⎜ ⎞⎟ sinσt
σ
∂t
σ
⎝ ∂t ⎠
k
∂ 2η
+ β (η ) 2 sin σt
σ
∂t
2
(40)
Integrasi, substitusi f(x,t), disusun lagi dan dibagi
dengan σ
∂η
k
∂η
β (η ) cos σtdt = 2 β (η ) sin σt
∫
σ
∂t
∂t
σ
2
k2
⎛ ∂η ⎞
− 2 ∫ β (η )⎜
⎟ sin σt dt
1
σ
⎝ ∂t ⎠
k
∂ 2η
− 2 ∫ β (η ) 2 sin σt dt
∂t
σ
k
(41)
∂η 3 ∂η ∂ 2η
⎛
⎞
∂ 3η
dan
∂t 3
Dalam hal ⎜
⎟
2
⎝ ∂t ⎠ ∂t ∂t
dianggap sangat kecil dan dapat diabaikan, maka
integrasi suku ke 2 dan ke 3 dapat diselesaikan secara
langsung dengan mengintegrasikan sin σt saja.
∂η
sin σt
∂t
2
k2
k
∂ 2η
⎛ ∂η ⎞
+
β
(
η
)
cosσt
+ 3 β1 (η )⎜ ⎟ cosσt
σ3
∂t 2
σ
⎝ ∂t ⎠
k
∂η
k
β (η ) cos σtdt =
σ
σ∫
∂t
2
β (η )
(42)
1
(η ) sin σt dt = −
1
+
β1 (η ) cos σt
σ
k
σ
2
β (η )
k2
∂η
sin σt
∂t
2
(43)
Persamaan (43) adalah hasil integrasi dengan tingkat
ketelitian O(δ2) dimana integrasi dilakukan hanya
sampai dijumpai suku
⎜
⎟
⎝ ∂t ⎠
∂ 2η
dan
∂t 2
n
dan pada derajad turunan
∂ nη
∂t n
Dengan cara yang sama, diperoleh
∂η
∂η
1
∫ β (η ) ∂x sin σtdt = − σ β (η ) ∂x cos σt
∂η ∂η
sin σt
∂t ∂x
σ
∂ 2η
1
+ 2 β (η )
sin σt
∂t∂x
σ
+
k
2
β1 (η )
(44)
Hasil integrasi pada Persamaan (44) ini juga
mempunyai tingkat ketelitian O(δ2), dimana
2
2
∂η ∂η
setara dengan ⎛⎜ ∂η ⎞⎟ dan ∂ η
∂t ∂x
∂t∂x
⎝ ∂t ⎠
2
∂η
setara dengan
∂t 2
Substitusi Persamaan (28), (43) dan (44) ke
Persamaan (33) diperoleh persamaan muka air
adalah,
⎛ G kh
⎞
e kβ 1 (η ) ⎟ cos kx cos σt
⎝σ
⎠
η ( x, t ) = ⎜
2
⎞
⎛ G kh k 3
η
∂
⎛
⎞
β1 (η )⎜ ⎟ ⎟ cos kx cosσt
−⎜ e
2
⎜σ
σ
⎝ ∂t ⎠ ⎟⎠
⎝
⎛ ∂η ⎞
+ 3 β1 (η )⎜
⎟ cos σt
σ
⎝ ∂t ⎠
k
∂ 2η
+ 3 β (η ) 2 cos σt
∂t
σ
∂η 2
⎛
⎞
⎛ ∂η ⎞
⎟
⎜
⎝ ∂t ⎠
⎛G
k2
∂η ⎞
β (η ) ⎟⎟ cos kx sin σt
− ⎜⎜ e kh
∂t ⎠
σ
⎝σ
Substistusi hasil integrasi ini ke Persamaan (38),
∫β
Pada Persamaan (43) tersebut terlihat bahwa
konvergensi integrasi terjadi dengan semakin
tingginya harga n pada pangkat dari kn dimana k
adalah bilangan yang berharga < 1, dan naiknya
harga n pada pangkat dari
⎛G
k2
∂ 2η ⎞
− ⎜⎜ e kh 2 β (η ) 2 ⎟⎟ cos kx cos σt
σ
∂t ⎠
⎝σ
∂η ⎞
⎛G
+ ⎜ e kh kβ (η )
⎟ sin kx cos σt
∂x ⎠
⎝σ
⎛G
∂η ∂η ⎞
k2
⎟ sin kx sinσt
− ⎜⎜ e kh
β1 (η )
∂t ∂x ⎟⎠
σ
⎝σ
⎛G
∂ 2η ⎞
k
⎟ sin kx sin σt
− ⎜⎜ e kh β (η )
∂t∂x ⎟⎠
σ
⎝σ
∂η ⎞
⎛ G 1 ∂h kh
e β (η )
−⎜
⎟ cos kx cos σt
∂x ⎠
⎝ σ 2h ∂x
Vol. 17 No. 2 Agustus 2010
139
Catatan Teknik (Technical Notes): Pengerjaan Metoda Inversi Integral ...
∂η ∂η ⎞
k
+⎜
e kh β 1 (η )
⎟ cos kx sin σt
∂t ∂x ⎠
σ
⎝ σ 2h ∂x
⎛ G 1 ∂h
1
2h
1
+
2h
1
+
2h
−
⎛ G 1 ∂h
∂ 2η ⎞
1
⎟ cos kx sin σt
+ ⎜⎜
e kh β (η )
∂t∂x ⎟⎠
σ
⎝ σ 2h ∂x
(45)
Persamaan (45), menunjukkan bahwa persamaan
muka air pada gelombang air merupakan superposisi
dari sejumlah gelombang dengan amplitudo yang
berbeda-beda, dimana sebagai amplitudo adalah unsur
dalam kurung pada masing-masing suku pada ruas
kanan persamaan. Amplitudo terbesar adalah pada
suku ke 1, dengan perbedaan yang cukup besar
dibandingkan dengan amplitudo suku-suku lainnya.
Amplitudo terbesar ke 2 adalah amplitudo pada suku
ke 5, tetapi amplitudo pada suku ini adalah (∂η/∂x)
kali lebih kecil dari suku ke amplitudo suku ke 1.
Karena itu profil muka air akibat gelombang
mempunyai bentuk utama dengan bentuk persamaan
Acos kxcos σt sebagaimana halnya dengan bentuk
persamaan suku ke 1.
cos kx = sin kx =
Dengan mengambil kondisi cos kx= sin kx dan cos σt
= sin σt, maka Persamaan (45) dapat ditulis menjadi,
F = e kh kβ1 (η ) + e kh kβ (η )
η ( x, t ) =
GF
σ
cos kx cos σt
(46)
Persamaan potensial aliran dirumuskan dengan
anggapan bahwa potensial aliran tersebut bersifat
periodik, sehingga ruas kanan Persamaan (45)
maupun (46) juga akan bersifat periodik. Untuk suatu
fungsi periodik, maka GF / σ haruslah suatu bilangan
konstan sehingga Persamaan (46) menjadi
η ( x, t ) = A cos kx cos σt
(47)
A adalah amplitudo gelombang, dimana
∂h kh
∂η
e β (η )
∂x
∂x
∂h kh k
∂η ∂η
β 1 (η )
e
∂x
∂t ∂x
σ
∂h kh 1
∂ 2η
β (η )
e
(49)
σ
∂x
∂t∂x
A=
GF
σ
dan G =
σA
F
k2
∂η
F = e kh kβ 1 (η ) − e kh
β (η )
σ
∂t
2
3
k
⎛ ∂η ⎞
− e kh 2 β 1 (η )⎜
⎟
σ
⎝ ∂t ⎠
2
kh k
∂ 2η
β
η
(
)
−e
σ2
∂t 2
kh
∂η
+ e kβ (η )
∂x
kh k 2
∂η ∂η
−e
β 1 (η )
∂t ∂x
σ
2
kh k
∂ η
β (η )
−e
σ
∂t∂x
140 Jurnal Teknik Sipil
(48)
Pada persamaan untuk F, terdapat unsur η dan
turunannya ∂η / ∂t , ∂η / ∂x dan seterusnya. Harga
dari unsur-unsur tersebut dapat dihitung dengan
menggunakan Persamaan (47), dengan mengambil
kondisi
2
2
dan cos σt = sin σt =
2
2
4.1 Analisis karakteristik breaking
Bila harga F dihitung hanya dengan menggunakan
suku ke 1 dan ke 5 saja, dimana hal ini berarti
integrasi dilakukan dengan tingkat ketelitian O(δ0),
maka bentuk F adalah
∂η
∂x
(50)
Dengan menggunakan Persamaan (47) dan dengan
mengambil kondisi
sin kx = cos kx = cos σt = sin σt =
∂η
kA
=−
∂x
2
2
maka
2
substitusi harga ini pada Persamaan (50),
kh
F = e kβ1 (η ) − e kh kβ (η )
kA
2
(51)
Pada F → 0 maka η(x, t) → 0 pada seluruh panjang
gelombang. Kondisi ini adalah breaking pertama yang
dialami gelombang dan terjadi pada perairan yang
relatif masih dalam, dimana gelombang seolah-olah
menghilang kemudian muncul lagi didepannya.
Pada F → 0,
e kh kβ1 (η ) − e kh kβ (η )
kA
=0
2
(52)
atau
kA β 1 (η )
=
2
β (η )
(53)
Pada dasar perairan datar, persamaan terakhir
menjadi,
kA
= tanh k (h + η )
2
(54)
Hutahaean
Dengan H = 24, dimana H adalah tinggi gelombang
dan k = 2 π / L, L adalah panjang gelombang, maka
diperoleh kriteria breaking adalah
H
L
=
2
π
tanh k (h + η )
(55)
Kriteria breaking dari Miche, Sarpkaya (1981), yang
diperoleh dari hasil eksperimen di laboratorium
adalah H / L = 0.143tanhkh. Dari hal ini maka
persamaan muka air Persamaan (45) mempunyai
karakteristik breaking dengan kondisi breaking
mempunyai bentuk yang sama dengan kondisi
breaking dari Miche. Hutahaean (2007b) dan
(2008b), mengembangkan model transformasi
gelombang dengan persamaan muka air yang
dirumuskan dengan tingkat ketelitian, dimana model
ternasformasi gelombang yang dihaslkan dapat
memodelkan breaking
4.2 Analisis karakteristik dispersif
Analisis karaktristik dispersif akan dapat diamati
dengan jelas bila dilakukan pada dasar perairan datar.
Bila persamaan potensial aliran (5) dikerjakan pada
dasar perairan datar, maka akan diperoleh persamaan
φ = G 2e kh cosh k (h + z ) cos kx sin σt
(56)
Mengingat kedalaman konstan, maka ekh juga
konstan, maka sebagai konstanta baru
G = G2e kh
(57)
φ = G cosh k ( h + z ) cos kx sin σt
(58)
∂φ
∂u
= Gk cosh k ( h + z ) sin kx sin σt
=
∂x
∂x
G2e kh G cosh k (h + z ) cos kx sin σt (59)
Pada perairan dalam
η
∂u
∫ ∂x dz+ wη − w
−h
=0
(60)
−h
Substitusi syarat batas kinematik permukaan
∂η
∂η
pada dasar perairan datar
+uη
∂x
∂t
∂h
w−h =−u−h =0 substitusi u serta integrasi diselesaikan,
∂x
∂η
= − Gk sinh k ( h + η ) cos kx sin σt
∂t
∂η
(61)
cosh kh sin kx sin σt
− Gk
∂x
wη =
h
Hutahaean
Jurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa Sipil
Catatan Teknik (Technical Notes)
Pengerjaan Metoda Inversi Integral pada Perumusan Persamaan Muka Air
Gelombang Air Nonlinier
Syawaluddin Hutahaean
Kelompok Keahlian Teknik Kelautan, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, Institut Teknologi Bandung,
Jl. Ganesha No. 10 Bandung 40132, E-mail: syawaluddin@ocean.itb.ac.id
Abstrak
Pada paper ini persamaan muka air dari gelombang air diperoleh dengan mengintegrasikan persamaan syarat
batas kinematik permukaan terhadap waktu. Integrasi dilakukan dengan metoda inversi integral dimana operasi
integrasi diganti dengan operasi diferensiasi. Persamaan muka air yang dihasilkan merupakan superposisi dari
sejumlah gelombang dengan amplitudo gelombang yang berbeda-beda, mempunyai karakteristik breaking dan
dispersif.
Kata-kata kunci: Syarat batas kinematik permukaan, metoda inversi integral.
Abstract
In this paper water surface equation due to water wave is formulated by integrating kinematic surface water
boundary condition equation with respect to time using integration inversion method, where integration operation is changed by differentiation operation. The resulted water surface equation is superposition of several
wave with different amplitude and has breaking characteristic and dispersive.
Keywords: Kinematic water surface bundary condition, integration inversion method.
1. Pendahuluan
Perumusan persamaan gelombang air dimulai dari
perumusan persamaan muka air terlebih dahulu.
Persamaan gelombang air linier (Dean, 1984),
persamaan gelombang air nonlinier dari Stoke
(Sarpkaya, 1981), persamaan gelombang air nonlinier,
Hutahaean (2007a) dan (2008a) dirumuskan dengan
merumuskan persamaan muka air terlebih dahulu.
Karena itu ketepatan suatu teori gelombang sangat
ditentukan dari ketepatan persamaan muka air yang
digunakan.
Pada perumusan persamaan muka air dijumpai suatu
proses integrasi terhadap waktu suatu persamaan
nonlinier. Pada perumusan persamaan gelombang
linier, dilakukan proses linierisasi dengan anggapan
panjang gelombang sangat panjang dan perairan
sangat dalam sehingga tidak dijumpai proses integrasi
persamaan nonlinier. Hutahaean (2007a) dan (2008a),
merumuskan persamaan gelombang nonlinier dengan
mengambil suatu harga konstan pada salah satu
komponen persamaan muka air, sehingga tidak
dijumpai integrasi persamaaan nonlinier.
Pada penelitian ini, persamaan muka air dirumuskan
tanpa melakukan proses linierisasi maupun
pengambilan suatu harga konstan pada komponen
nonlinier, sehingga terdapat suatu proses integrasi
persamaan nonlinier periodik. Integrasi dilakukan
dengan metoda inversi, yaitu operasi integrasi diganti
dengan operasi differensiasi yang dapat dengan mudah
dilakukan meskipun persamaan bersifat nonlinier.
Dengan merumuskan persamaan muka air tanpa
melakukan proses linierisasi ataupun pengerjaan
asumsi yang menyebabkan persamaan menjadi linier,
diharapkan diperoleh suatu persamaan muka air yang
lebih tepat dan selanjutnya diperoleh persamaan
gelombang yang lebih tepat juga.
2. Persamaan-persamaan Dasar
2.1 Persamaan diffrensial muka air
Pada muka air yang bergerak, berlaku persamaan
syarat batas kinematika permukaan air (Dean, 1984)
yaitu
wη =
∂η
∂η
+ uη
∂t
∂x
(1)
Vol. 17 No. 2 Agustus 2010
135
Catatan Teknik (Technical Notes): Pengerjaan Metoda Inversi Integral ...
dimana wη adalah kecepatan partikel air pada arah
vertikal-z pada permukaan air, uη adalah kecepatan
partikel pada arah horisontal-x pada permukaan air
sedangkan η = η(x,t) adalah persamaan muka air yang
menggambarkan fluktuasi muka air dengan referensi
muka air diam. Dengan x sebagai sumbu horisontal
dan z sebagai sumbu vertikal maka elevasi muka air
diam adalah pada z = 0.
Persamaan syarat batas kinematik permukaan,
Persamaan (1), dapat ditulis menjadi persamaan
muka air yaitu,
∂η
∂η
= wη − uη
∂x
∂t
(2)
Untuk mendapatkan bentuk persamaan dari η, maka
Persamaan (2) diintegrasikan terhadap waktu t,
η ( x, t ) =
∫ wη dt − ∫ uη
∂η
dt
∂x
α =
1+
∂h
∂x
∂h
1−
∂x
(7)
G dan k adalah suatu konstanta yang perlu dicari
bentuknya. G dan k adalah suatu besaran yang
merupakan fungsi dari kedalaman. Untuk kedalaman
perairan yang tidak konstan, fungsi dari posisi x, G
dan k juga merupakan fungsi dari x sehingga terdapat
harga-harga ∂G / ∂x dan ∂k / ∂x.
Dari persamaan potensial aliran (5) dapat diperoleh
kecepatan partikel yaitu
kecepatan arah horisontal-x,
∂φ
= Gke kh β ( z ) sin kx sin σt
∂x
∂kh
− Ge kh (β ( z ) + β1 ( z ) )
cos kx sin σt
∂x
∂G kh
(8)
−
e β ( z ) cos kx sin σt
∂x
u=−
(3)
Penyelesaian integrasi pada Persamaan (3) tersebut
sebenarnya terdapat konstanta integrasi c(t), tetapi
untuk suatu fungsi periodik seperti persamaan muka
air akibat gelombang yang bersifat periodik, maka
dapat diambil c(t) = 0 (Dean, 1984).
kecepatan arah vertikal-z,
2.2 Persamaan potensial aliran
w=−
Untuk menyelesaikan integrasi pada Persamaan (3),
diperlukan bentuk dari wη dan uη, yang dapat
diperoleh dari persamaan potensial aliran gelombang
air hasil pnyelesaian persamaan Laplace.
Pada persamaan kecepatan horisontal u terdapat
variabel ∂G / ∂x dan ∂k / ∂x yang perlu dicari
bentuknya.
Penyelesaian persamaan Laplace dengan metoda
pemisahan variabel dan dengan pengerjaan syarat
batas lateral periodik, Dean (1984), menghasilkan
persamaan,
(
)
φ = A Ce kz + De − kz cos kx sin σt
(4)
∂φ
= − Gke kh β1 ( z ) cos kx sin σt
∂z
(9)
3. Formulasi ∂G / ∂x dan ∂k / ∂x
3.1 Tinjauan penyelesaian Persamaan Laplace
Persamaan Laplace pada medan aliran pada bidang
x-z,
A, C dan D adalah suatu kontanta yang perlu dicari
bentuknya, k adalah bilangan gelombang, σ = 2η / T
= frekuensi sudut, T = perioda gelombang.
∂ 2φ ∂ 2φ
+
=0
∂x 2 ∂z 2
Pengerjaan syarat batas kinematik dasar perairan
untuk dasar perairan miring, Hutahaean (2008a),
diperoleh
Persamaan potensial aliran, Persamaan (4) diperoleh
dari penyelesaian Persamaan (10) dengan metoda
pemisahan variabel, Dean (1984), yaitu dianggap
φ(x, z, t) = P(x)Q(z)sinσt, dimana berlaku kondisi,
φ = Ge kh β ( z ) cos kx sin σt
(5)
dimana didefinisikan,
∂2P 1
= −k 2
2
∂x P
β ( z ) = αe k ( h + z ) + e − k ( h + z ) ;
β ( z) = αe k ( h+ z ) + e −k ( h+ z )
1
(6)
dan
∂ 2Q 1
= k2
2
∂z Q
(10)
(11)
(12)
dimana sebagai P(x) adalah:
P (x) = Ge kh cos kx
136 Jurnal Teknik Sipil
(13)
Hutahaean
∂P
∂x
= − Ge kh k sin kx + Ge kh
∂G
+
∂x
∂kh
cos kx
∂x
e kh cos kx
+ 2Ge kh (β ( z ) + β 1 ( z ) )k
(14)
Dengan mengabaikan turunan ke 2 dan bentuk
perkalian antar turunan,
∂ 2 P
∂k
sin kx
= − Ge kh k 2 cos kx − Ge kh
2
∂x
∂x
∂G kh
∂kh
− Ge kh k
sin kx −
e k sin kx
∂x
∂x
∂G kh
∂kh
− Ge kh k
sin kx −
e k sin kx (15)
∂x
∂x
∂ P 1
2
∂x P
2
∂k
= −k2 −
tan kx − 2k
∂x
2 ∂G
−
k tan kx
G ∂x
∂kh
tan kx
∂x
−
∂x
− 2k
∂kh 2 ∂G
−
k =0
∂x
G ∂x
(17)
atau
∂G
∂x
G ∂k
=−
2k ∂x
−G
∂kh
∂x
(18)
3.2 Pengerjaan persamaan kontinuitas
Persamaan kontinuitas pada medan aliran arah x-z,
dimana x sumbu horisontal dan z adalah sumbu
vertikal, berbentuk
∂u
∂x
+
∂w
=0
∂z
∂z
= − Ge kh β ( z )k 2 cos kx sin σt
(19)
Dari persamaan ∂w / ∂z dan persamaan kontinuitas,
maka ∂u / ∂x haruslah berbentuk,
∂u
∂x
= Ge kh β ( z )k 2 cos kx sin σt
Dari Persamaan (8),
∂u
∂x
= Ge kh β ( z )k 2 cos kx sin σt
∂k
+ Ge β ( z ) sin kx sin σt
∂x
kh
(20)
(21)
∂k
sin kx sin σt
∂x
∂kh
+ 2Ge kh (β ( z ) + β 1 ( z ) )k
sin kx sin σt
∂x
∂G kh
+2
e β ( z )k sin kx sin σt = 0
∂x
Ge kh β ( z )
(22)
Persamaan dibagi dengan sin kxsin σt, untuk sin kxsin
σt ≠ 0
Ge kh β ( z )
∂k
∂kh
+ 2Ge kh (β ( z ) + β 1 ( z ) )k
∂x
∂x
∂G kh
(23)
+2
e β ( z )k = 0
∂x
Substitusi ∂G / ∂x dari Persamaan (18),
∂k
∂kh
+ 2Ge kh (β ( z ) + β1 ( z ) )k
∂x
∂x
∂kh
∂k
(24)
− 2Ge kh β ( z )k
− Ge kh β ( z )
=0
∂x
∂x
Ge kh β ( z )
Dari persamaan terakhir diperoleh,
∂kh
=0
∂x
k
(25)
∂h
∂k
+h
=0
∂x
∂x
∂k
k ∂h
=−
∂x
h ∂x
Dari Persamaan (9),
∂w
∂G kh
e β ( z )k sin kx sin σt
∂x
Dari Persamaan (14), haruslah
(16)
Substitusi persamaan terakhir ke Persamaan (11),
maka diperoleh persamaan,
∂k
+2
∂kh
sin kx sin σt
∂x
(26)
Persamaan (26) ini bukan berarti perubahan harga k
persatuan panjang, tetapi menyatakan perbedaan
antara harga k pada dasar perairan datar dengan pada
dasar perairan miring. Bila pada dasar perairan datar k
= k0, maka pada dasar perairan miring,
k = k0 −
k 0 ∂h
h ∂x
(27)
Jadi kemiringan dasar perairan akan memperkecil k
atau
memperbesar
panjang
gelombang.
Dari Persamaan (18) dan (25),
G ∂h
∂G
=
2h ∂x
∂x
(18)
Vol. 17 No. 2 Agustus 2010
137
Catatan Teknik (Technical Notes): Pengerjaan Metoda Inversi Integral ...
Sama halnya dengan bilangan gelombang k, maka
Persamaan (28) ini hanya menyatakan perbedaan
antara G pada dasar perairan datar dengan G pada
dasar perairan miring. Bila G0 adalah harga G pada
dasar perairan datar, maka pada dasar perairan
miring,
inversi ini telah dikenal antara lain pada transformasi
Laplace.
Berdasarkan fungsi yang akan diintegrasikan
didefinisikan
suatu
fungsi
f(x,t)
yaitu
f(x,t) = β1 (η)cos kxcosσt
G ∂h
G = G0 + 0
2h ∂x
(29)
Jadi kemiringan dasar perairan akan memperbesar
harga G. Baik Persamaan (26) maupun Persaman
(28) menunjukkan bahwa semakin dalam perairan
semakin kecil pengaruh kemiringan dan pada perairan
yang sangat dalam pengaruh kemiringan akan hilang
dengan sendirinya..
Substitusi Persamaan (25) ke Persamaan (26)
kecepatan partikel arah horisontal-x menjadi,
kh
u = Ge β ( z )k sin kx sin σt
∂G
−
∂x
e kh β ( z ) cos kx sin σt
(30)
Dari Persamaan (30) dan (9), diperoleh kecepatan
partikel air pada permukaan adalah,
uη = Ge kh β (η )k sin kx sin σt
(31)
wη = − Ge kh β1 (η )k cos kx sin σt
(32)
∂x
∂f
= − σβ1 (η ) cos kx sin σt
∂t
∂η
+ kβ (η )
cos kx cos σt
∂t
Substitusi kedua persamaan kecepatan partikel air
tersebut ke Persamaan (3),
Selanjutnya persamaan terakhir dintegrasikan terhadap waktu t,
+
∂x
Dari Persamaan (6), β (η )
∂η
cos kx cos σt dt
∂t
+ k ∫ β (η )
(35)
(36)
Substitusi f(x,t)
β1(η) coskxcosσt = −σ ∫ β (η) coskxsinσt dt
1
∂η
coskxcosσt dt (37)
∂t
Ruas kiri dipindah keruas kanan, suku ke 1 ruas kanan
dipindah kekiri dan persamaan dibagi dengan σ,
(33)
= αe k ( h +η ) + e − k ( h +η ) ;
∫β
1
(η ) sin σt dt = −
+
β (η ) = αe k ( h +η ) + e − k ( h +η )
1
sehingga β1(η)sinσt dan β(η)sinσt adalah persamaan
yang sangat nonlinier. Integral pada Persamaan (33)
tidak bisa diselesaikan sebagaimana halnya integrasi
persamaan linier.
Penyelesaian integral pada Persamaan (33) akan
diselesaikan dengan metoda inversi dimana operasi
integral diganti dengan operasi diferensial. Metoda
138 Jurnal Teknik Sipil
∂η
cos kx cos σt dt
∂t
+ k∫ β(η)
∫
sin kx ∫ β (η ) sin σ dt
e kh cos kx ∫ β (η ) sin σt dt
(η ) cos kx sin σt dt
f ( x, t ) = − σ ∫ β (η ) cos kx sin σt dt
1
∂G
1
+ k ∫ β (η )
η ( x, t ) = − Gke kh cos kx β (η ) sin σt dt
− Gke kh
(34)
1
e kh β (η ) cos kx sin σt
−
Pengambilan bentuk cosσt adalah agar ketika
diturunkan terhadap t akan diperoleh bentuk sinσt
yang merupakan bentuk dari persamaan yang
diintegrasikan. Persamaan f(x,t) diturunkan terhadap t,
∫ df = − σ ∫ β
4. Persamaan Muka Air
∂G
Sebagai ilustrasi dari metoda inversi ini akan
diselesaikan ∫β1(η)kcos kxsinσt dt
1
σ
β1 (η ) cos σt
k
∂η
β (η ) cos σt dt
∂t
σ∫
(38)
Ruas kiri persamaan adalah suku yang diselesaikan
integrasinya. Integrasi suku ke 2 pada ruas kanan
persamaan diselesaikan dengan cara yang sama.
Didefinisikan
f ( x, t ) =
k
σ
β (η )
∂η
sin σt
∂t
(39)
Hutahaean
Persamaan diturunkan terhadap t,
∂f
∂t
=
k2
σk
∂η
∂η
β (η ) cos σt + β1 (η)⎛⎜ ⎞⎟ sinσt
σ
∂t
σ
⎝ ∂t ⎠
k
∂ 2η
+ β (η ) 2 sin σt
σ
∂t
2
(40)
Integrasi, substitusi f(x,t), disusun lagi dan dibagi
dengan σ
∂η
k
∂η
β (η ) cos σtdt = 2 β (η ) sin σt
∫
σ
∂t
∂t
σ
2
k2
⎛ ∂η ⎞
− 2 ∫ β (η )⎜
⎟ sin σt dt
1
σ
⎝ ∂t ⎠
k
∂ 2η
− 2 ∫ β (η ) 2 sin σt dt
∂t
σ
k
(41)
∂η 3 ∂η ∂ 2η
⎛
⎞
∂ 3η
dan
∂t 3
Dalam hal ⎜
⎟
2
⎝ ∂t ⎠ ∂t ∂t
dianggap sangat kecil dan dapat diabaikan, maka
integrasi suku ke 2 dan ke 3 dapat diselesaikan secara
langsung dengan mengintegrasikan sin σt saja.
∂η
sin σt
∂t
2
k2
k
∂ 2η
⎛ ∂η ⎞
+
β
(
η
)
cosσt
+ 3 β1 (η )⎜ ⎟ cosσt
σ3
∂t 2
σ
⎝ ∂t ⎠
k
∂η
k
β (η ) cos σtdt =
σ
σ∫
∂t
2
β (η )
(42)
1
(η ) sin σt dt = −
1
+
β1 (η ) cos σt
σ
k
σ
2
β (η )
k2
∂η
sin σt
∂t
2
(43)
Persamaan (43) adalah hasil integrasi dengan tingkat
ketelitian O(δ2) dimana integrasi dilakukan hanya
sampai dijumpai suku
⎜
⎟
⎝ ∂t ⎠
∂ 2η
dan
∂t 2
n
dan pada derajad turunan
∂ nη
∂t n
Dengan cara yang sama, diperoleh
∂η
∂η
1
∫ β (η ) ∂x sin σtdt = − σ β (η ) ∂x cos σt
∂η ∂η
sin σt
∂t ∂x
σ
∂ 2η
1
+ 2 β (η )
sin σt
∂t∂x
σ
+
k
2
β1 (η )
(44)
Hasil integrasi pada Persamaan (44) ini juga
mempunyai tingkat ketelitian O(δ2), dimana
2
2
∂η ∂η
setara dengan ⎛⎜ ∂η ⎞⎟ dan ∂ η
∂t ∂x
∂t∂x
⎝ ∂t ⎠
2
∂η
setara dengan
∂t 2
Substitusi Persamaan (28), (43) dan (44) ke
Persamaan (33) diperoleh persamaan muka air
adalah,
⎛ G kh
⎞
e kβ 1 (η ) ⎟ cos kx cos σt
⎝σ
⎠
η ( x, t ) = ⎜
2
⎞
⎛ G kh k 3
η
∂
⎛
⎞
β1 (η )⎜ ⎟ ⎟ cos kx cosσt
−⎜ e
2
⎜σ
σ
⎝ ∂t ⎠ ⎟⎠
⎝
⎛ ∂η ⎞
+ 3 β1 (η )⎜
⎟ cos σt
σ
⎝ ∂t ⎠
k
∂ 2η
+ 3 β (η ) 2 cos σt
∂t
σ
∂η 2
⎛
⎞
⎛ ∂η ⎞
⎟
⎜
⎝ ∂t ⎠
⎛G
k2
∂η ⎞
β (η ) ⎟⎟ cos kx sin σt
− ⎜⎜ e kh
∂t ⎠
σ
⎝σ
Substistusi hasil integrasi ini ke Persamaan (38),
∫β
Pada Persamaan (43) tersebut terlihat bahwa
konvergensi integrasi terjadi dengan semakin
tingginya harga n pada pangkat dari kn dimana k
adalah bilangan yang berharga < 1, dan naiknya
harga n pada pangkat dari
⎛G
k2
∂ 2η ⎞
− ⎜⎜ e kh 2 β (η ) 2 ⎟⎟ cos kx cos σt
σ
∂t ⎠
⎝σ
∂η ⎞
⎛G
+ ⎜ e kh kβ (η )
⎟ sin kx cos σt
∂x ⎠
⎝σ
⎛G
∂η ∂η ⎞
k2
⎟ sin kx sinσt
− ⎜⎜ e kh
β1 (η )
∂t ∂x ⎟⎠
σ
⎝σ
⎛G
∂ 2η ⎞
k
⎟ sin kx sin σt
− ⎜⎜ e kh β (η )
∂t∂x ⎟⎠
σ
⎝σ
∂η ⎞
⎛ G 1 ∂h kh
e β (η )
−⎜
⎟ cos kx cos σt
∂x ⎠
⎝ σ 2h ∂x
Vol. 17 No. 2 Agustus 2010
139
Catatan Teknik (Technical Notes): Pengerjaan Metoda Inversi Integral ...
∂η ∂η ⎞
k
+⎜
e kh β 1 (η )
⎟ cos kx sin σt
∂t ∂x ⎠
σ
⎝ σ 2h ∂x
⎛ G 1 ∂h
1
2h
1
+
2h
1
+
2h
−
⎛ G 1 ∂h
∂ 2η ⎞
1
⎟ cos kx sin σt
+ ⎜⎜
e kh β (η )
∂t∂x ⎟⎠
σ
⎝ σ 2h ∂x
(45)
Persamaan (45), menunjukkan bahwa persamaan
muka air pada gelombang air merupakan superposisi
dari sejumlah gelombang dengan amplitudo yang
berbeda-beda, dimana sebagai amplitudo adalah unsur
dalam kurung pada masing-masing suku pada ruas
kanan persamaan. Amplitudo terbesar adalah pada
suku ke 1, dengan perbedaan yang cukup besar
dibandingkan dengan amplitudo suku-suku lainnya.
Amplitudo terbesar ke 2 adalah amplitudo pada suku
ke 5, tetapi amplitudo pada suku ini adalah (∂η/∂x)
kali lebih kecil dari suku ke amplitudo suku ke 1.
Karena itu profil muka air akibat gelombang
mempunyai bentuk utama dengan bentuk persamaan
Acos kxcos σt sebagaimana halnya dengan bentuk
persamaan suku ke 1.
cos kx = sin kx =
Dengan mengambil kondisi cos kx= sin kx dan cos σt
= sin σt, maka Persamaan (45) dapat ditulis menjadi,
F = e kh kβ1 (η ) + e kh kβ (η )
η ( x, t ) =
GF
σ
cos kx cos σt
(46)
Persamaan potensial aliran dirumuskan dengan
anggapan bahwa potensial aliran tersebut bersifat
periodik, sehingga ruas kanan Persamaan (45)
maupun (46) juga akan bersifat periodik. Untuk suatu
fungsi periodik, maka GF / σ haruslah suatu bilangan
konstan sehingga Persamaan (46) menjadi
η ( x, t ) = A cos kx cos σt
(47)
A adalah amplitudo gelombang, dimana
∂h kh
∂η
e β (η )
∂x
∂x
∂h kh k
∂η ∂η
β 1 (η )
e
∂x
∂t ∂x
σ
∂h kh 1
∂ 2η
β (η )
e
(49)
σ
∂x
∂t∂x
A=
GF
σ
dan G =
σA
F
k2
∂η
F = e kh kβ 1 (η ) − e kh
β (η )
σ
∂t
2
3
k
⎛ ∂η ⎞
− e kh 2 β 1 (η )⎜
⎟
σ
⎝ ∂t ⎠
2
kh k
∂ 2η
β
η
(
)
−e
σ2
∂t 2
kh
∂η
+ e kβ (η )
∂x
kh k 2
∂η ∂η
−e
β 1 (η )
∂t ∂x
σ
2
kh k
∂ η
β (η )
−e
σ
∂t∂x
140 Jurnal Teknik Sipil
(48)
Pada persamaan untuk F, terdapat unsur η dan
turunannya ∂η / ∂t , ∂η / ∂x dan seterusnya. Harga
dari unsur-unsur tersebut dapat dihitung dengan
menggunakan Persamaan (47), dengan mengambil
kondisi
2
2
dan cos σt = sin σt =
2
2
4.1 Analisis karakteristik breaking
Bila harga F dihitung hanya dengan menggunakan
suku ke 1 dan ke 5 saja, dimana hal ini berarti
integrasi dilakukan dengan tingkat ketelitian O(δ0),
maka bentuk F adalah
∂η
∂x
(50)
Dengan menggunakan Persamaan (47) dan dengan
mengambil kondisi
sin kx = cos kx = cos σt = sin σt =
∂η
kA
=−
∂x
2
2
maka
2
substitusi harga ini pada Persamaan (50),
kh
F = e kβ1 (η ) − e kh kβ (η )
kA
2
(51)
Pada F → 0 maka η(x, t) → 0 pada seluruh panjang
gelombang. Kondisi ini adalah breaking pertama yang
dialami gelombang dan terjadi pada perairan yang
relatif masih dalam, dimana gelombang seolah-olah
menghilang kemudian muncul lagi didepannya.
Pada F → 0,
e kh kβ1 (η ) − e kh kβ (η )
kA
=0
2
(52)
atau
kA β 1 (η )
=
2
β (η )
(53)
Pada dasar perairan datar, persamaan terakhir
menjadi,
kA
= tanh k (h + η )
2
(54)
Hutahaean
Dengan H = 24, dimana H adalah tinggi gelombang
dan k = 2 π / L, L adalah panjang gelombang, maka
diperoleh kriteria breaking adalah
H
L
=
2
π
tanh k (h + η )
(55)
Kriteria breaking dari Miche, Sarpkaya (1981), yang
diperoleh dari hasil eksperimen di laboratorium
adalah H / L = 0.143tanhkh. Dari hal ini maka
persamaan muka air Persamaan (45) mempunyai
karakteristik breaking dengan kondisi breaking
mempunyai bentuk yang sama dengan kondisi
breaking dari Miche. Hutahaean (2007b) dan
(2008b), mengembangkan model transformasi
gelombang dengan persamaan muka air yang
dirumuskan dengan tingkat ketelitian, dimana model
ternasformasi gelombang yang dihaslkan dapat
memodelkan breaking
4.2 Analisis karakteristik dispersif
Analisis karaktristik dispersif akan dapat diamati
dengan jelas bila dilakukan pada dasar perairan datar.
Bila persamaan potensial aliran (5) dikerjakan pada
dasar perairan datar, maka akan diperoleh persamaan
φ = G 2e kh cosh k (h + z ) cos kx sin σt
(56)
Mengingat kedalaman konstan, maka ekh juga
konstan, maka sebagai konstanta baru
G = G2e kh
(57)
φ = G cosh k ( h + z ) cos kx sin σt
(58)
∂φ
∂u
= Gk cosh k ( h + z ) sin kx sin σt
=
∂x
∂x
G2e kh G cosh k (h + z ) cos kx sin σt (59)
Pada perairan dalam
η
∂u
∫ ∂x dz+ wη − w
−h
=0
(60)
−h
Substitusi syarat batas kinematik permukaan
∂η
∂η
pada dasar perairan datar
+uη
∂x
∂t
∂h
w−h =−u−h =0 substitusi u serta integrasi diselesaikan,
∂x
∂η
= − Gk sinh k ( h + η ) cos kx sin σt
∂t
∂η
(61)
cosh kh sin kx sin σt
− Gk
∂x
wη =
h