21. Modul Persamaan Lingkaran Pak Sukani

PERSAMAAN LINGKARAN

  a. Persamaan lingkaran dengan titik pusatnya O (0, 0) dan jari-jarinya R

  2

  2

  2 ^{2 2}

  x + y = R atau R  x  y Contoh : 1 Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O (0, 0) dan :

  a. Berjari-jari 6

  b. Melalui tiik (6, 8) Jawab :

  a. Berjari-jari r = 6

  b. Melalui titik (6, 8) _{2 2}

  2

  2

  2

  2

  2

  x + y = 6 + y = 36 R =

  6 8 =

  36 64 = 100 = 10

   x  

  2

  2

  2

  2

  2

  x + y = 10  x + y = 100

  b. Persamaan lingkaran yang pusatnya P (a, b) dan berjari-jari R A (x, y) PA = R _{2 2} R ( x  a )  ( y  b )  R atau :

   2

  2

  2 P (a, b) (x + (y = R

• – a) – b) Contoh : 2 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut :

  2

  2

  2

  2

  a. (x + (y + 2) = 49

  b. (x + 3) + y = 25

• – 4)

  2

  2

  2

  2

  c. x + (y = 36

  c. x + y = 64

• – 5) Jawab :

  2

  2

  2

  2

  a. (x + (y + 2) = 49

  b. (x + 3) + y = 25

• – 4) Pusat = (4, -2) dan R = 49 = 7 Pusat = (-3, 0) dan R = 25 = 5

  2

  2

  2

  2

  c. x + (y = 36

  d. x + y = 64

• – 5) Pusat = (0, 5) dan R = 36 = 6 Pusat = (0, 0) dan R = 64 = 8

  Contoh 3 : Tentukan persamaan lingkaran dengan :

  a. Pusat (2, 5) dan R = 7

  b. Pusat (3, -1) dan menyinggung sumbu y Jawab :

  2

  2

  2

  a. (x + (y = R

  b. Karena menyinggung sumbu y, maka R = 3

• – a) – b)

  2

  2

  2

  2

  2

  (x + (y (x + (y = 3

• – 2) – 5) = 7 – 3) – (-1))

  2

  2

  2

  2

  (x + (y = 49 (x + (y + 1) = 9

• – 2) – 5) – 3) Contoh 4 : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4, 3) dan menyinggung garis 3x + 4y + 1 = 0. Jawab : 3x + 4y + 1 = 0

  Ax  By  C _{1 1} R  _{2 2} A  B

  R

  ( 3 . 4 )  ( 4 . 3 ) 

  1

  (4, 3) R = _{2 2}

  3 

  4

  12  12 

  1

  25 R = = = 5

  5

  25 Persamaan lingkaran :

  2

  2

  (x + (y

• – 4) – 3) = 5

  2

  (x + (y

• – 4) – 3) = 25

  c. Persamaan Umum Lingkaran

  2

  2

  x + y + Ax + By + C = 0

  1

  1

  1 ²

  1 ² Dengan pusat lingkaran P { A  B  C  A ,  B} dan jari-jari R =

  2

  2

  4

  4 Contoh 5 : Tentukan persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (3, 1) dan berjari-jari R = 5 Jawab : Pusat = (3, 1) dan R = 5

  2

  2

  2

  (x + (y = 5

• – 3) – 1)

  2

  2

  x

• – 6x + 9 + y – 2y + 1 = 25

  2

  2

  x + y

• – 6x – 2y + 9 + 1 – 25 = 0

  2

  2

  x + y

• – 6x – 2y – 15 = 0 Contoh 6 : Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum lingkaran :

  2

  2

  2

  2

  a. x + y + 8x

  b. x + y

• – 6y + 9 = 0 – 2x + 10y – 23 = 0 Jawab :

  1

  1

  1

  1

  a. Pusat = (  . A ,  . B) = (  . 8 ,  . (-6) = (-4, 3)

  2

  2

  2

  2

  1 ²

  1 ²

  1

²

  1 ² Jari-jari R = A B C = 8 ( 6 ) 9 =

  16

  9 9 = 16 = 4

        

  4

  4

  4

  4

  1

  1

  1

  1

  b. Pusat = (  . A ,  . B) = (  . (-2) ,  . 10) = (1, -5)

  2

  2

  2

  2

  1 ²

  1 ²

  1 ²

  1 ² Jari-jari R = A  B  C = (  2 )  ( 10 )  (  23 )

  4

  4

  4

  4

  =

  1  25  23 = 49 = 7

  Soal laihan :

  1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari :

  a. Pusat = (3, -2) dan R = 4

  b. Pusat (0, 0) dan R = 10 Jawab : …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

  2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran :

  2

  2

  2

  2

  a. (x + 5) + (y = 9

  b. x + (y + 1) = 25

• – 3) Jawab : …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

  3. Tentukan persamaan lingkaran yang perpusat di titik (4, -2) dan menyinggung :

  a. sumbu x

  b. sumbu y Jawab : ……………………………………………………………………………………………..

  ……………………………………………………………………………………………..

  4. Tentukan persamaan umum lingkaran jika :

  a. Pusat = (1, 3) dan R = 4

  b. Pusat (-4, 1) dan R = 6 Jawab : …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

  5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum lingkaran :

  2

  2

  2

  2

  a. x + y

  b. x + y + 6x

• – 4x + 8y – 5 = 0 – 2y + 1 = 0 Jawab : …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

E. Persamaan Garis Singgung

  

2

  2

  2

  a. Persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = R di titik (x , y ) adalah :

  1

  1

  2

  x

  1 x + y 1 y = r

  Contoh 1 :

  2

  2 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x + y = 52 di titik (4, 6)

  Jawab :

  2

  x

  1 x + y 1 y = r  x 1 = 4 dan y 1 = 6

  4x + 6y = 52 Contoh 2 :

  2

  2 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x + y = 25 di titik yang ordinatnya 4.

  Jawab :

  2

  x

  1 x + y 1 y = r  y 1 = 4

  2

  2

  2

  x + 4 = 25 = 25  x

• – 16 = 9 x = 3 untuk x = 3  3x + 4y = 25 untuk x =
• –3  –3x + 4y = 25

  

2

  2

  2

  b. Persamaan garis singgung lingkaran (x + (y = R dan melalui titik (x

  1 , y 1 ) adalah :

• – a) – b)

  2

  (x

  1

  1

• – a) (x – a) + (y – b ) (y – b) = R Contoh 3 :

  2

  2 Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x + 2) + (y = 25 yang melalui

• – 3) titik (4, 2). Jawab : Persamaan garis yang melalui titik (4, 2) : (x

  1 + 2) (x + 2) + (y

  1

• – 3 ) (y – 3) = 25 (4 + 2) (x + 2) + (2
• – 3) (y – 3) = 25 6x
• – y + 3 – 25 = 0 6x
• – y – 10 = 0

  2

  

2

  c. Persamaan garis singgung lingkaran x + y + Ax + By + C = 0 di titik (x

  1 , y 1 ) adalah :

  1

  1

  1

  

1

  x x +y y + + +

  1

  1 Ax

  1 Ax + By

  1 By + C = 0

  2

  2

  2

  

2

Contoh : 4

  2

  2 Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x + y

• – 4x + 8y + 4 = 0 melaui titik (3, 5). Jawab :

  1

  1

  1

  

1

1 x +y 1 y + (-4)x 1 (-4)x + (8)y 1 (8)y + 4 = 0

• x

  2

  2

  2

  

2

  x

  1 x +y 1 y

  1 1 + 4y + 4 = 0

• – 2x – 2x + 4y 3x + 5y
• – 2 (3) – 2x + 4 (5) + 4y + 4 = 0

x + 9y

• – 6 + 20 + 4 = 0 x + 9y + 18 = 0

  Soal latihan

  2

  2

  1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x + y = 40 di titik dengan absis = 2.

  Jawab : ……………………………………………………………………………………………..

  2

  2 2. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x + y = 65 di titik (7, -4).

  Jawab : ……………………………………………………………………………………………..

  2

  2

  3. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x + 2) + (y = 25 di titik

• – 3) (2, 0). Jawab : ……………………………………………………………………………………………..

  4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan menyinggung lingkaran

  2

  2

  (x + (y + 1) – 4) – 32 = 0. Jawab : ……………………………………………………………………………………………..

  2

  2

  5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x + y + 6x

• – 4y – 45 = 0 di titik (4, -1) Jawab : ……………………………………………………………………………………………..

  EVALUASI 7

  A. Pilihlah jawaban yang paling benar !

  1. Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik O (0, 0) dan melaui titik (3, 5) adalah ….

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  a. x + y = 4

  c. x + y = 8

  e. x + y = 34

  2

  2

  2

  2

  b. x + y = 34

  d. x + y = 16 2. Persamaan lingkarran yang pusatnya (4, 3) dan menyinggung sumbu x adalah ….

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  a. x + y = 9

  c. (x + (y = 9

  e. (x + 4) + (y + 3) = 16

• – 4) – 3)

  2

  2

  2

  2

  b. x + y = 16

  d. (x + (y = 16

• – 4) – 3)

  3. Persamaan lingkaran yang pusatnya (2, - 1) dan menyinggung sumbu y adalah ….

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  a. (x + (y + 1) = 4

  c. (x + 2) + (y = 1

  e. (x + 2) + (y + 1) = 4

• – 2) – 1)

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  b. (x + (y + 1) = 1

  d. (x + 2) + (y = 4

• – 2) – 1)

  2

  2

  4. Pusat dan jari-jari lingkaran x + y + 6x – 8y – 11 = 0 adalah ….

  a. P (3, 4) dan R = 6

  c. P (3, -4) dan R = 6

  e. P (4, -3) dan R = 6

  b. P (-3, 4) dan R = 6

  d. P (-3, -4) dan R = 6

  2

  2

  5. Bentuk baku dari persamaan lingkaran x + y + 6x – 4y – 12 = 0 adalah ….

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  a. (x + 3) + (y = 25

  c. (x + 3) + (y + 2) = 25

  e. (x + (y = 25

• – 2)
• – 3) – 2)

  2

  2

  2

  2

  b. (x + (y + 2) = 25

  d. (x + 2) + (y = 25

• – 3) – 3)

  6. Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (3, -2) dan jari- jari 7 adalah ….

  2

  2

  2

  2

  a. x + y + 6x + y

• – 4y + 36 = 0 d. x – 6x + 4y – 36 = 0

  2

  2

  2

  2

  b. x + y + y

• – 6x + 4y + 36 = 0 e. x – 6x – 4y – 36 = 0

  2

  2

  c. x + y + 6x + 4y + 36 = 0

  

2

  2

  7. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x + y = 20 di titik (4, - 2) adalah ….

  a. 4x

  c. 2x

  e. 4x + 2y + 20 = 0

• – 2y – 20 = 0 – 4y – 20 = 0

  b. 4x + 2y - 20 = 0

  d. 4x

• – 2y + 20 = 0

  

2

  2

  8. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x + y = 45 pada titik dengan ordinat = 6 adalah ….

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  a. 6x + 3y = 45

  c. 6x = 45

  e. = 45

• – 3y –3x – 6y

  2

  2

  2

  2

  b. 3x = 45

  d. + 6y = 45

• – 6y –3x

  2

  2

  9. Persamaan garis yang menyingung lingkaran (x + (y = 25 di titik (5, 7) adalah

• – 2) – 3) ….

  a. 4x + 3y + 43 = 0

  c. 4x + 3y + 43 = 0

  e. 3x + 4y

• – 43 = 0

  b. 4x

  d. 3x + 4y

• – 3y + 43 = 0 – 43 = 0

  

2

  2

  10. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x + y

• – 4x + 6y – 12 = 0 di titik (5, 1) adalah ….

  a. 4x + 3y

  c. 3x + 4y

  e. 3x

• – 19 = 0 – 19 = 0 – 4y + 19 = 0

  b. 4x

  d. 3x + 4y + 19 = 0

• – 3y – 19 = 0 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.

  1. Tentukan bentuk baku persamaan lingkaran dengan pusat (-5, 2) dan jari-jari = 4.

  Jawab : …………………………………………………………………………………………......

  2

  2

2. Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran x + y – 10x + 2y + 17 = 0.

  Jawab : ……………………………………………………………………………………………..

  2

  2 3. Ubah bentuk baku persamaan lingkaran (x + 3) + (y + 1) = 25 ke bentuk umum.

  Jawab : ……………………………………………………………………………………………..

  2

  2

  4. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x + (y + 3) = 16

• – 1) di titik (1, 1). Jawab : ……………………………………………………………………………………………..

  2

  2

  5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x + y

• – 4x – 2y – 20 = 0 di titik (7, 1). Jawab : ……………………………………………………………………………………………..