1. Menggambar Garis - PROGRAM LINIER

PROGRAM LINIER

1. Menggambar Garis

Contoh:

2x + 3y = 6

2 Gambarlah garis dengan persamaan

a) y = 2x + 4

b) 2x +y = 6 x

c) -2x+3y = 6

O O Jawab:

a) y = 2x + 4

2. Menggambar Daerah Penyelesaian

Dicari titik potong dengan sumbu-sumbunya: Pertidaksamaan.

Sumbu Y = 2x - 4 Contoh 1 x

a) Gambarlah garis 2x + 3y = 12 y -4 b) Gambarlah Daerah Penyelesaian

Titik potong (0,-4) (2,0) pertidaksamaan berikut: 2x + 3y 

y= 2x + 4

y Jawab:

a) 2x + 3y = 12 x

2 Titik potong dengan sumbu-sumbunya adalah:

Sumbu 2x + 3y = 12 x 6 y

4 Titik potong (0,4) (6,0)

4 •

b) 2x + y = 6 Dicari titik potong dengan sumbu-sumbunya:

Sumbu 2x + y = 6 2x + 3y = 12 x

3 y

6 Titik potong (0,6) (3,0) x

O O y b) Gambar daerah penyelesaiannya sbb:

Perhatikan: Garis 2x + 3y = 12 membagi bidang koordinat

2x +y = 6 menjadi 2 bagian yaitu di atas dan di bawah garis.Ternyata diperoleh:

Titik-titik yang terletak pada garis memenuhi 3 x

persamaan 2x + 3y = 12

Titik-titik yang terletak di atas garis memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y > 12, dan
Titik-titik yang terletak di bawah garis

c) -2x + 3y = 6 memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y < 12

Dicari titik potong dengan sumbu-sumbunya: Jadi daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 3y  12 adalah daerah dibawah dan

Sumbu -2x + 3y = 6

pada garis 2x + 3y = 12

x -3 y

2 Catatan: Titik potong (0,2) (-3,0) Biasanya Daerah Penyelesaian(DP) dibiarkan bersih dan yang diarsir dagian yang tidak 0 adalah daerah

 Penyelesaian dari x  memenuhi. sebelah kanan dan pada sumbu y ( sebelah kiri diarsir) y

0 adalah daerah di  Penyelesaian dari y 

atas dan pada sumbu x (di bawah sumbu

4 x diarsir.

2x + 3y = 12 4 adalah



 Penyelesaian dari x + y

daerah di bawah dan pada garis x + y = 4 x ( di atas garis diarsir )

O O

 6 adalah

 Penyelesaian dari x + 3y daerah dibawah dan pada garis x + 3y =6 Contoh 2:

(diatas garis diarsir)

a) Gambarlah garis x + 2y = 4

b) Gambarlah daerah penyelesaian Titik potong kedua garis dicari dengan cara pertidaksamaan x + 2y



penyelesaian sistim persamaan linier: Dengan eliminasi :

(Kerjakan sendiri sebagai latihan) _{x  y } _x _{x  y } _{x  3y } _{J a di t t k pot ongnya  3,} _{x  3y } _{ } _{ 2y  } _{x } ₁ _{y } ₄ ₃ _{4 } ₄ ₁ _{6 } ₆ _ _ ₂ _{1 }

3. Menggambar Daerah Penyelesaian Sistem

Darah penyelesaiannya adalah daerah yang Pertidaksamaan. bersih.

Contoh 1: y

Gambarlah Daerah Penyelesaian sistem pertidaksamaan _{x 3y} _{x y} _{x , y} _{  } _{  } _{  } ₄ _{6 } _ Jawab:

4 • x + y = 4 Gambar dahulu garis x + y = 4 dan x + 3y = 6

Titik potong dengan sumbu-sumbunya adalah:
2

(3,1) Sumbu x + y = 4

4 6 x

4 O

4 x + 3y = 6 Ttk (0,4) (4,0) potong

Sumbu x + 3y = 6 Contoh 2: x

6 Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari _{3 x y} _{x , y} _{  } ₇₂ _ y

2 _{x  y } ^{  } _{48 } _ Ttk (0,2) (6,0) potong

Jawab: Gambar dahulu garis 3x + y = 72 dan x + y = 48 y Titik potong dengan sumbu-sumbunya adalah:

4 x + y = 4

Sumbu 3x + y = 72

24 y

(3,1) Ttk (0,72) (24,0)

potong 6 x

4 x + 3y = 6 Sumbu x + y = 48 x

48 y

48 Gambarlah daerah penyelesaian sistim Ttk (0,48) (48,0) potong pertidaksamaan sebagai berikut : _{1. x  y } _{3 . x  3y } _{2. x  2 y } _{x  0, y } _{2x y} _{x 0, y} _{3x 2y } _{x 0, y} _{  } _{  } ₉ _{ } _{  } _ _ _ _ _{5 } _{6 } _{8 } _ _ _ y _{3x 4y 3 6 } _{2  x } _{ y } ^{2x  y } _{ } ₆ _{8 } ⁸ _ _ _

4.  _{5. 3x 2y 1 2} _{x 0, y} _{  } _{  } _

^{5x 6y} ^{  } ^{30 }

72 A

6. Tentukan sistem pertidaksamaan dengan daerah penyelesaian berikut:

DP .

48
B(36,12) y
DP
10 x

3x + y = 72 x + y = 48

8 x

O g g

1 Catatan:

Persamaan Garis yang melalui titik (0,a) dan 7. y

(b,0) adalah ax + by = ab Contoh 3:

5 mempunyai daerah penyelesaian berikut.

2 Tentukan sistim pertidaksamaan yang

DP g

2 x y

8 O g

4. Maksimum atau Minimum Dalam Daerah

Penyelesaian DP

3 •

Jika pada suatu daerah penyelesaian ditentukan x nilai L dan misalkan L = 2x+y maka harga L ini

9 3 akan berubah-ubah tergantung harga x dan y

1 yang disubstitusiksn padanya. g

2 Fungsi L ini biasa disebut fungsi obyektif.

Harga maksimum atau minimum dari L ini

biasanya terjadi diujung-ujung daerah

Jawab:

penyelesaian atau titik-titik disekitarnya (jika

Dicari dahulu persamaan garis g

1 dan g

koordinat titik potongnya pecahan)

Garis g melalui (0,3) dan (9,0) maka

persamaannya 3x + 9y = 27 atau x + 3y = 9 Contoh:

Garis g melalui (0,6) dan (3,0) maka

2 Jika P = x + y dan Q = 5x + 2y maka tentukan

persamaannya 6x + 3y = 18 atau 2x + y = 6 harga P mak dan Q mak pada daerah penyelesaian DP terletak disebelah kanan dan pada sumbu x sistim pertidaksamaan

x 

maka _{2x y} _{x  2y } _{x  0, y  } _{ } _{12 } _{12 } _ _ DP terletak diatas dan pada sumbu y maka

y 

Jawab: DP terletak diatas dan pada g

1 maka x  3 y 

27 Gambar dahulu garis x + 2y = 12 dan

2x + y = 12 DP terletak diatas dan pada g maka

2 2 x

6  y 

Sumbu x + 2y = 12 Jadi sistim pertidaksamaannya adalah _{x 0, y} _{x  3y  2 7} _{2x  y } _{  } _{6 x} _ _ _ _

12 y

6 Soal latihan: Ttk (0,6) (12,0)

C(0,6)

Banyak terigu yang digunakan adalah

12 x
B(4,4) O • •



2x + y = 12

Jawab: Untuk menyelesaikan soal tersebut dengan matematika, pertama-tama haruslah kita terjemahkan soal tersebut dalam bahasa

matematika. Hal ini biasa disebut dengan

membuat model matematika, yaitu membentuk sistim pertidaksamaan. Biasanya hal-hal yang ditanyakan dinyatakan dengan x dan y. Untuk soal tersebut menjadi sebagai berikut: Misal: roti jenis A dibuat x buah dan roti jenis B dibuat y buah

( 200x + 100y) gram, sedangkan hanya tersedia 300 gram. Sehingga diperoleh hubungan 200x + 100y  3000 atau 2x + y

Banyak mentega yang digunakan adalah
Bilangan x dan y menyatakan banyaknya roti, sehingga x dan y adalah bilangan bulat yang tidak negatif. Atau x  dan y  , x,y
Persoalannya adalah menentukan harga x dan y sehingga jumlahnya yaitu x + y maksimum pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan: _ _ _ _ _ _{ } _{ } _{ } _{48 2y x} _{2x 30 y} _{0, y x} Digambar garis 2x + y = 30 dan x + 2y = 48.

(25x + 50y) gram, sedangkan hanya tersedia 1200 gram. Sehingga diperoleh hubungan 25x + 50y  1200, atau x + 2y  48.

= 8 dan Q mak = 42

Dari soal tersebut dapat dibentuk sistem pertidaksamaan: _ _ _ _ _ _{ } _{ } _{ } _{48 2y x} _{2x 30 y} _{0, y x}

2x + y = 30 x 15 y

 B.

42 Terlihat bahwa P

mak

4 y

potong Sumbu 2x + y = 12 x

6 y

12 Ttk potong (0,12) (6,0)

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah daerah OABC. Harga dari P dan Q terlihat pada tabel berikut:

Titik O A B C x

A(6,0)

6 P = x + y

6 Q = 5x + 2y

5. Model Matematika dan Penyelesaian Soal Program Linier

Gambar DP y x + 2y = 12

24 Ttk potong (0,24) (48,0)

48 y

30 Ttk potong (0,30) (15,0) x + 2y = 48 x

Contoh 1: Seorang tukang roti akan membuat 2 jenis roti. Roti jenis A membutukan terigu 200 gram dan mentega 25 gram. Roti jenis B membutuhkan terigu 100 gram dan mentega 50 gram tiap biji. Apabila hanya tersedia terigu 3 kg dan mentega 1,2 kg, sedangkan bahan lain pembuat roti cukup, tentukan berapa roti jenis A dan B harus dibuat agar jumlahnya maksimum dan berapa jumlah maksimum tersebut?

x dan y menyatakan jumlah sepeda sehingga x y



 0 dan y  0 dengan x,y B.

Sehingga diperoleh sistem pertidaksamaan _{x  y } _{4x  3y } ^{x  0, y  } ₈₄ _

₂₅ _ _ ^
Keuntungan yang diperoleh adalah

60000 x + 50000y atau

B(4,22) 10000(6x + 5y)

C(0,24) x + 2y = 48

Persoalannya mencari keuntungan yaitu

10000( 6x + 5y ) maksimum dengan sarat x
^{4 x} ^x ^{  } ^{  } ^{3 y} ^, ^y ^{25 }

⁸⁴

^

^{^{x  y }}

A(15,0)

48 Gambar dahulu garis 4x + 3y = 84 dan x+ y = 25 2x + y = 30

Koordinat titik B dicari sebagai berikut 4x + 3y = 84 _{2 x  y } _{x 2y 4 8} _{     } _{30 } _ _ _{1 2x  y  3 0} _{2 2x 4y 9 6} x _

22 _{3 y  6 6} _ _{J ad i B( 4, 22 )} _{x  2y  4 8} _{x  4 4 } _x _{ Ttk (0,28) (22,0)} ₄ ₄₈ y 28 y 2 2 _ potong Harga dari x + y terlihat pada tabel berikut: x + y = 25 x

25 y

25 Ttk (0,25) (25,0) potong Titik O A B C x

4 y

24 y x + y

24 4x + 3y = 84

Jadi jumlah roti maksimum yang dapat dibuat adalah 26 buah, terjadi jika jenis A

dibuat 4 dan jenis B dibuat 22.
C(0,25)

Contoh 2: Suatu agen sepeda ingin membeli sepeda federal

B(9,16) • dan sepeda biasa untuk dijual kembali.

Sepeda federal dengan harga Rp 400.000 dan

sepeda biasa dengan harga Rp 300.000 tiap x buah. Karena keterbatasan gudang agen tersebut

O A(22,0)

x + y = 25 tidak akan membeli lebih dsri 25 buah dan tidak akan mengeluarkan uang (membayar) lebih dari Rp 8.400.000 .

Apabila keuntungan untuk sepeda federal Rp Koordinat titik potong _{4 x} _{x  y } _{3 y} _{25 } ₈₄ _{ } _ ₁ ₄ _{4 x} _{4 x } _{3 y} _{4 y  100} ₈₄

60.000 dan untuk sepeda biasa Rp 50.000 tiap      _ _{x  y } _x ₁₆ ₂₅ ₂₅ _y _ ₁₆ _ buah, tentukan banyak sepeda biasa dan sepeda ^{ } _{x } ₉ federal yang harus dibeli agar keuntungannya Jadi B(9,16) maksimum dan berapa keuntungan maksimum Harga 6x+5y dalam daerah penyelesaian tersebut? terlihat pada tabel berikut:

Jawab: Misal sepeda federal dibeli x buah dan sepeda

Titik O A B C biasa dibeli y buah x

9 Jumlah harga = 400000 x + 300000 y y

25 = 100000 (4x + 3y)

6x + 5y 132 134 125 Uang yang tesedia = 8400000 Sehingga diperoleh:

Jadi keuntungan maksimum 10000 x 134 100000(4x + 3y)  8400000 atau

=Rp1.340.000, terjadi jika sepeda federal 4x + 3y 

84 dibeli 9 buah dan sepeda biasa 16 buah. Jumlah sepeda yang dibeli = x + y tidak akan lebih dari 25

Soal latihan: Sehingga diperoleh x + y 

1. Suatu pesawat terbang mempunyai kapasitas biayanya minimum dan berapa biaya 48 penumpang dan kapasitas bagasi 1440 minimum tersebut? kg. Pesawat tersebut akan disusun dalam dua kelas, yaitu kelas Utama dan kelas Ekonomi. Setiap penumpang kelas Utama boleh membawa barang maksimal 60 kg sedangkan dan untuk setiap kelas Ekonomi boleh membawa barang maksimal 20 kg. Apabila tiket untuk kelas Utama adalah Rp 1.000.000,- dan tiket kelas ekonomi adalah Rp 500.00,- tentukan banyak kelas Utama dan Ekonomi yang disusun agar diperoleh pendapatan yang maksimum dan berapa pendapatan maksimum tersebut?

2. Seorang penjahit memiliki 30 m wol dan 20 m katun. Ia akan membuat setelan jas dan rok untuk dijual. 1 stel jas memerlukan 3 m wol dan 1 m katun sedangkan 1 stel rok memerlukan 1 m wol dan 2 m katun. Berapa setelan jas dan rok yang harus dibuat agar mendapat untung yang sebanyak- banyaknya jika untung 1 stel jas adalah Rp 50.000,- dan untung 1 stel rok adalah Rp 25.000,-?

3. Suatu rombongan olahraga yang terdiri dari 60 orang pria akan menginap di suatu penginapan. Penginapan tersebut menyediakan 2 tipe kamar. Kamar tipe A dapat ditempati 5 orang dengan tarif sewa Rp 120.000,- sedangkan tipe B dapat ditempati 3 orang dengan tarif sewa Rp 80.000,- per hari. Pemilik penginapan tersebut menghendaki rombongan harus menyewa paling sedikit 16 kamar. Berapa kamar tipe A dan tipe B yang harus disewa agar tarif uang sewa minimum dan berapa tarif sewa minimum itu?

4. Luas suatu tempat daerah parkir khusus

kendaraan roda empat adalah 360 m . Luas yang diperlukan oleh sebuah sedan adalah 6

m , sedangkan luas yang diperlukan oleh

sebuah bus truk adalah 24 m . Tempat parkir tersebut tidak boleh memuat lebih dari 30 kendaraan. Apabila biaya parkir adalah Rp 10.000,- untuk bus dan Rp 5.000,- untuk sedan, tentukanlah pendapat maksimum yang diperoleh!

5. Suatu pabrik akan mengirim barang produksinya dengan menggunakan 21 kotak A yang berukuran sedang dan 24 kotak B yang berukuran besar. Pabrik tersebut menyewa beberapa truk dan mobil pick up. Setiap truk dapat memuat 3 kotak A dan 12 kotak B, sedangkan setiap mobil pick up dapat memuat 9 kotak A dan 6 kotak B. Jika ongkos untuk 1 truk adalah Rp 450.000,- dan untuk 1 mobil pick up adalah Rp 300.000,-, tentukan banyak truk dan mobil pick up yang harus disewa agar

1. Menggambar Garis - PROGRAM LINIER

PROGRAM LINIER