DEFINISI UKURAN PEMUSATAN DATA

Malim Muhammad, M.Sc.

UKURAN PEMUSATAN DATA J U R U S A N A G R O T E K N O L O G I F A K U L T A S P E R T A N I A N

DEFINISI UKURAN PEMUSATAN DATA

Ukuran pemusatan adalah suatu ukuran yang menunjukkan dimana suatu data memusat atau menunjukkan dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok) Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan data untuk mempermudah peneliti membuat interprestasi dan mengambil suatu keputusan

Ukuran pemusatan data meliputi :

1. Rata-rata (average)

a) Rata-rata hitung (arithmetic mean)

b) Rata-rata ukur (geometric mean)

c) Rata-rata harmonis (harmonic mean)

2. Median

3. Modus

1A. RATA-RATA HITUNG

Dirumuskan :  Rata-rata hitung = jumlah semua nilai data banyaknya nilai data banyaknya nilai data

 Bila data merupakan pengamatan dari n sampel,

maka:

X _i



 X  ₁ X  ₂ X  ...  _{3 n i }

₁

atau



X X   n n n

 Bila data merupakan pengamatan dari N

populasi, katakanlah masing-masing nilai data

mengulang dengan frekuensi tertentu, maka: mengulang dengan frekuensi tertentu, maka: f X f X f X ... f X fX

   

3 3 n n 

X  atau X 

CONTINUE..

Contoh 1 (pengamatan dari n sampel):

 Nilai ujian statistik 5 mahasiswa pertanian adalah 80, 60, 75, 70, 65, maka nilai rata-rata hitungnya 80, 60, 75, 70, 65, maka nilai rata-rata hitungnya adalah?

Solusi :

X X X ...

X     80 60 75 70 65    

2 3 n

X X

  n n

70    

5 Contoh 2 (pengamatan dari N populasi): Nilai ujian statistika 15 mahasiswa adalah sebagai berikut : 2 mahasiswa mendapat nilai 95, 4 mahasiswa dengan nilai 80, 5 mahasiswa mendapat nilai 65, 3 mahasiswa dengan nilai 60 dan

1 mahasiswa mendapat nilai 50, maka nilai rata-rata hitungnya

adalah?

Solusi : f X f X f X f X f X f X ... ... f X f X

       

3 3 n n n n

X X   f f f ... f

   

2 3 n (2 95) (4 80) (5 65) (3 60) (1 50) x x x x x 1065    

71    Contoh 3 (data kelompok distribusi frekuensi) Misalkan peneliti melakukan penelitian terhadap tinggi

pohon pinus (dalam cm) dari 40 batang pohon yang disajikan

pada tabel distribusi frekuensi berikut, maka tentukanlah nilai rata-rata hitungnya!

Solusi : Kelas (Tinggi) Nilai Tengah (X) Frekuensi (f) fX

1072 1716

  40 f

2 644 340

161 170

157-165 166-174

Solusi :

760 644

4 464 625

112-120 121-129 130-138

157-165 116 125 134 143 152 161

139-147 148-156

  5621 fX Contoh 4 ( data kelompok distribusi frekuensi menggunakan kode (U))

 Rumus :

   

   

  fU c

X X

Dimana x adalah nilai tengah kelas yang berhimpit dengan nilai U (0), c adalah lebar kelas, U adalah kode kelas

 Berdasarkan data dari contoh soal no 3 dengan menggunakan rumus diatas maka tentukanlah nilai rata- rata hitungnya!

   

   

 f c

X X

rata hitungnya!

  f fU c

    

   

11    

   fU

  11 fU  

 40 f 

6 

166-174 116 125 134 143 152 161 170

130-138 139-147 148-156 157-165

112-120 121-129

Solusi :

112-120 116 -3 4 -12

Kelas Nilai Tengah (X) U Frekuensi (f) fU

CONTINUE..

X X

1B. RATA-RATA UKUR Digunakan jika data memiliki ciri tertentu, banyaknya nilai data satu sama lain saling

berkelipatan sehingga data berukuran tetap atau berkelipatan sehingga data berukuran tetap atau

Biasa digunakan untuk mengetahui persentase

perubahan sepanjang waktu, misalnya rata-rata

Dirumuskan :  Untuk data sampel :



X f log

   f X f

   

   

X G anti atau log log





   

   

1  

   

 n G atau G n n x x x x ... log log . .

   

 Untuk data berkelompok :    

X G atau G n x x x x log ... log log . .



   

G anti log log Contoh 5(untuk data sampel )

 Tentukanlah rata-rata ukur dari 2,4,8!

Solusi :

2 2   , , 3010 3010 log log

4 4   , , 6021 6021 log log 8   , , 9031 9031

8 log 2  log 4  log

8   G anti log

   3  

 G  anti log

, 3010 , 6021 , 9031   

 

3   1 , 8062

  G G   anti anti log log

   

3   G  anti log( , 6021 ) Contoh 6 (untuk data kelompok):  Perhatikan tabel data tinggi pohon pinus pada soal-soal sebelumnya. Tentukanlah rata-rata ukur dari data tersebut!

Kelas (Modal) Nilai Tengah (X) Frekuensi (f) log X f log X

112-120 112-120 116 116

4 4 2,064 2,064 8,256 8,256 121-129 125 5 2,097 10,485 130-138 134 8 2,127 17,016

139-147 143 12 2,155 25,860 148-156 152 5 2,182 10,910

157-165 161 4 2,207 8,828 166-174 170 2 2,230 4,460

f  40 f log X  85,815 

     f f log log

X X

85 85 , , 815 815      

  G  anti log  anti log  anti log( 2 , 145 )  139 , 757

    f

40   

 

1C. RATA-RATA HARMONIS

Digunakan jika data memiliki ciri tertentu, data dalam bentuk

 Untuk data sampel:  Untuk data berkelompok :

n R

1 H

X       

           

  Untuk data berkelompok :

   

  

 f R Contoh 7(untuk data sampel):

 Tentukanlah rata-rata harmonis dari 2,4,8!

    

, 397 40 , 08 ,

 n R

  

   

    

  

  

1  

   





  

  

  

  

 

  

 

 

1  

43 ,

1  

   

        

   

   

   

   

  n R

   

H  Tentukanlah rata-rata harmonis dari 1/3,2/5,3/7,4/9!

   

, 397 40 , 08 ,



    

     

    

1  

X R H Contoh 8( untuk data kelompok) :

 Perhatikan tabel data tinggi pohon pinus pada soal-soal

Kelas (Modal) Nilai Tengah (X) Frekuensi (f) f/X

   40 f

X    

R H

 f f

  

   

40      

 138 889 , 288 ,

X       

 85,815 f

2 0,034 0,040 0,060 0,084 0,033 0,025 0,012

112-120 116 112-120 4 0,034 121-129 130-138

161 170

125 134 143 152

166-174 116

139-147 148-156 157-165



2. MEDIAN

Median adalah nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan Dirumuskan : Dirumuskan :  Untuk data sampel :

Median data ganjil = nilai yang paling tengah Median data genap = rata-rata dari dua nilai tengah  Untuk data berkelompok :

   

    

F n L c Med

2 median batas bawah kelas modus

Med L  

   

    f L c Med

2 batas bawah kelas modus lebar kelas banyak data

L c n



 CONTINUE..

Contoh 9:

 Median dari data 3,4,4,5,6,8,8,9,10 adalah? Nilai ke-5, yaitu 6 Nilai ke-5, yaitu 6

 Himpunan bilangan 11,12,5,7,9,5,18,15, memiliki

median? Bilangan terurut : 5,5,7,9,11,12,15,18 Mediannya adalah

1  nilai ke 4  nilai ke

 

1   

 

2 CONTINUE..

Contoh 10:

 Perhatikan tabel data tinggi pohon pinus pada soal-soal sebelumnya. Tentukanlah median dari data tersebut! sebelumnya. Tentukanlah median dari data tersebut!

Kelas (Modal) Frekuensi (f) n

40 Median terletak pada nilai ke atau ke ,

112-120

121-129

yaitu nilai ke

20 Pada kelas 139  147,

130-138

8 139-147

maka L  138,5 f 

12 F  4  5  8 

148-156

      c c 147,5 147,5 138,5 138,5

157-165 157-165

4 166-174



17   Med  138 , 5  9  140 ,

75   f 

40 

12  

3. MODUS

Modus menyatakan gejala yang paling sering terjadi atau paling banyak muncul.

Dirumuskan : Dirumuskan :  Untuk data sampel :

Modus = nilai yang paling sering muncul Mod  modus

 Untuk data berkelompok : L batas bawah kelas modus

   b

1 c  lebar kelas

  Mod L c

  b b  b b b b selisih selisih antara antara frekuensi frekuensi kelas kelas modus modus dengan dengan

 

2 ₁ ₁      frekuensi tepat satu kelas sebelum kelas modus b selisih antara frekuensi kelas modus dengan ₂  frekuensi tepat satu kelas sesudah kelas modus

2 CONTINUE..

Contoh 11:

 Modus dari data 3,4,4,5,6,8,8,8,9 adalah? Mod = 8 Mod = 8

 Himpunan bilangan 3,4,4,6,8,8,9,10, memiliki modus? Memiliki 2 modus yaitu Mod = 4 dan Mod = 8

 Data 3,4,5,6,8,9,10 memiliki modus? Tidak mempunyai modus Data 3,3,3,3,3,3,3 memiliki modus? Data 3,3,3,3,3,3,3 memiliki modus?

 

Tidak mempunyai modus

CONTINUE..

Contoh 12:  Perhatikan tabel data tinggi pohon pinus pada soal-soal sebelumnya. Tentukanlah modus dari data tersebut! sebelumnya. Tentukanlah modus dari data tersebut!

Kelas (Modal) Frekuensi (f) Modus terletak pada kelas 139 147, 

112-120

dengan frekuensi terbesar 12,

121-129

5 130-138

maka L  138 , 5 c  147 , 5  138 , 5 

139-147

12 148-156

b  12  8  4 b  12  5 

157-165 157-165

166-174 166-174

    Mod 138 ,

5 9 141 ,

77      f 



7    TUGAS

Perhatikan nilai ujian statistika untuk 80 orang mahasiswa berikut:

B. Median & modus (untuk data terkelompok) Dikumpul via email : malim.matematikaump@gmail.com

75 A. Rata-rata hitung, Rata-rata ukur & Rata-rata harmonis

86 Hitunglah:

A. Rata-rata hitung, Rata-rata ukur & Rata-rata harmonis

Terima kasih

DEFINISI UKURAN PEMUSATAN DATA