SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN NONLINIERDENGAN MENGGUNAKAN METODE HOMOTOPY
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN NONLINIERDENGAN MENGGUNAKAN METODE HOMOTOPY
Bukti Ginting Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Andalas , Padang
Abstrak. Pada makalah ini, penulis akan mengkaji suatu cara untuk mendapatkan solusi sistem persamaan nonlinier dengan terlebih dahulu mendifinisikan suatu bentuk fungsi ( ( )) , - dikatakan fungsi homotopy yang memenuhi sifat kekontinuan dan differensiabel. Selanjutnya, dengan defferensiasi fungsi homotopy akan menampilkan suatu bentuk sistem persamaan differensial,
( ) , ( ( ))- ( ( )), , -dengan syarat awal ( )dan ( ( )) adalah matrik Jacobian nonsingular. Kemudian dengan menggunakan metode Runge Kutta orde empat diselesaikan sistem persamaan differensial sehingga solusi yang diperoleh merupakan solusi sistem persamaan nonlinier.
Kata kunci: Sistem nonlinier, Fungsi homotopy, Sistem persamaan differensisl, Matrik Jacobian, Rung- Kutta orde empat.
PENDAHULUAN
ke . Suatu sistem persamaan nonlinier dengan n persamaan dan nvariabel tidak
Proses untuk menentukan solusi diketahui direpresentasikan fungsi oleh suatu sistem persamaan nonlinier secara suatu pemetaan dari ke yaitu, numerik sering digunakan metode ( ) ( ( )
Newton, metode Quasi-Newton dan ( ) ( )) metode Steepest Descent. dimana adalah fungsi-fungsi
Pada makalah ini dikaji tentang koordinat dan jika variabel konsep-konsep metode homotopy kontinu dinyatakan sebagai vektor maka sistem untuk mentransformasikan suatu sistem persamaan nonlinier ditampilkan sebagai persamaan nonlinier kedalam bentuk ( ) = 0. sistem persamaan differensial. Secara
Sebelum membicarakan metode umum konsep dasar yang diterapkan penyelesaian suatu sistem persamaan untuk menentukan solusi suatu sistem nonlinier terlebih dahulu dinyatakan sifat- persamaan nonlinier secara numerik, sifat kekontinuan dan differensiabel fungsi dapat dikatakan merupakan konsep dari ke ke . dan dari kontinuitas dan differensiabelitas suatu
Misalkan, fungsi didifinisikan pada fungsi.Bentuk umum suatu sistem himpunan dengan pemetaan dari persamaan nonlinier dinyatakan sebagai, ke sehingga limit fungsi pada
( ) adalah yaitu ( ) , jika
( ) untuk setiap ada
( ) memenuhi
( )
dan 0 ‖ dimana nilai
( ) ditentukan oleh nilai norm tetapi nilai untuk setiap fungsi , i = 1, 2 , . . . , n limit yaitu tidak bergantung pada nilai dinyatakan sebagai suatu pemetaan vektor norm. Andaikan bahwa nilai
( ) dari suaturuang ( )
HASIL DAN PEMBAHASAN
Suatu sistem persamaan nonlinier dinyatakan dalam bentuk, ( ) = 0, dimana adalah solusi tidak diketahui, diasumsikan sebagai parameter yaitu
. Himpunan * ( ) |
Bukti Ginting: Dengan Menggunakan Metode Homotopy
( )merupakan solusi tunggal persamaan ( , ( )) = 0, untuk
( , ) untuk memperoleh solusi persamaan ( ) .Pertama diasumsikan bahwa fungsi
( )dari ( , )=0 hingga solusi tidak diketahui (1) = dari
Selanjutnya akan ditunjukan bahwa fungsi homotopy ( , )=0 kontinu, melalui proses solusi diketahui
Dengan asumsi tersebut ada dua problema yaitu; Pertama, (0) dengan
memenuhi
=0 memenuhi ( ) = 0 adalah syarat awal berati solusi diketahui. Kedua
(1) dengan =1 adalah solusi tidak diketahui yang akan ditentukan sehingga memenuhi
( ) = 0. Berdasarkan problema, maka didefinisikan suatu fungsi yaitu,
, - dimana,
( , )= ( ) ( )[ ( ) ( ( ))] ( ) ( ) ( ( ))
dan dikatakan solusi jika memenuhi persamaan
( , ) = 0.Jika disubstitusi untuk = 0 maka persamaan ( , ) = ( ) ( ( )) dan solusi fungsi dinyatakan oleh
METODE PENELITIAN
( , ( )) =
( )
( , ) = ( ) – ( ( )) ( , ) = ( )
jika dan hanya jika
ada yaitu ( ) maka dikatakan fungsi kontinu pada . Jika fungsi kontinu untuk setiap maka dikatakan fungsi kontinu pada himpunan sehingga fungsi dari
ke
dikatakan kontinu pada dinotasikan oleh ( ) Selanjutnya untuk menyatakan fungsi-fungsi koordinat kontinu dari ke dilakukan dengan penerapan konsep yang sama seperti menyatakan fungsi-fungsi koordinat kontinu dari ke
. Misalkan fungsidari ke dipresentasikanoleh,
( ) ( ( ) ( ) ( ))
dengan limit fungsi dari ke yaitu
( ) ( )
( ) .
Maka untuk suatu ( ) ada suatu fungsi tunggal
Andaikan nilai ( ) ada yaitu
( ) maka fungsi dikatakan kontinu pada Jika nilai ( ) ada untuk setiap maka dapat dikatakan bahwa fungsi kontinu pada himpunan sehingga fungsi kontinu dari
Kajian dilakukan pada makalah ini, pertama sekali menetapkan suatu fungsi homotopy yang memenuhi konsep-konsep kontinuitas dan differensiabelitas. Fungsi homotopy mentransformasikan sistem persamaan nonlinier kedalam bentuk sistem persamaan differensial dinyatakan dalam teorema berikut:
Teorema (Homotopy Convergence)
Misalkan ( ) defferensiabel kontinu untuk setiap . Andaikan
( ) matrik Jacobian nonsingular untuk semua dan ada suatu konstanta M dimana
( ) ‖ untuk semua .
( )diketahui sebagaisyarat awal. Jika disubstitusi untuk = 1 maka persamaan ( , ) = ( ) dan solusi fungsi dinyatakanoleh (1) = tidak diketahui. Maka dikatakan fungsihomotopy diantara
- menyatakan suatu kurva dalam dari
, untuk setiap .Selanjutnya solusi sistem persamaan differensial ditentukan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat.
( ) , ( ( )) - ( ( ))
differensiabel kontinu yaitu
( )
, -
( )hingga (1) = dengan sebagai parameter. Sepanjang kurva
, untuk setiap
dengan
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
( ( ))fungsi ( ) dinyatakan oleh barisan
( )
dalam himpunan )+ ( ( ))
- (
- ( ) ( ) ( ) +,
( ( )) ( ( ) )
. Sehingga kurva
- , fungsi
( )adalah kontinu untuk setiap adalah suatu sistem persamaan differensial , - maka dapat dikatakan fungsi dengan syarat awal
( ). ( , ( ))=0 juga kontinu. Oleh karena
Oleh karena, ( , ( ))
( )dan ( , ( )) kontinu dan jika dan ( ( )) ( ) ( ( )) fungsi
( )dan ( , ( )) deferensiasi ( , ( )) terhadap differensiabel terhadap maka adalah
( ( )) ( ( )) ( )
( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
( ( )) ( ))
( ( ( )) ( ( ))
[ ( ( ))] dimana matrik Jacobian dapat dituliskan dalam bentuk ( ( ))
( ) nonsingular dan diferensiasi ( , ( ))
, ( ( )) - ( ( )), untuk 0
( ( ) )
terhadap dengan syarat awal adalah adalah ( )atau secara umum dapat dituliskan
( ( )),sehingga sistem persamaan dalam bentuk differensial
( ) ( ( )) ( ) ( ( ))
[ ] ( ) [ ]
( ) ( ( ))dimana ( ) ( )
( ) Selanjutnya, digunakan metode Runge- pendekatan
. Misalkan Kutta orde empat untuk menentukan terhadap
( ) untuk setiap solusi dari sistem persamaan differensial. dan dengan
Pertama, ditetapkan integer syarat awal = = ( ) , ( ) ,
( ) dan interval [0,1] ..., = Andaikan, ( ). dipartisimenjadi subinterval dengan
, sudah ditentukan maka titik-titik
- atau [ ( ) ( ) ( )]
Sehingga, penyelesaian sistem persamaan differensial ditentukan oleh
( ) ( ) ( ) ( ) + [ ] diselesaikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. Pertama tentukan dengan N=4 dan h=0,25 yaitu,
( ) ( )
( ) , ( ( )) - ( ( ))sehingga sistem persamaan nonlinier dalam bentuk sistem persamaan differensial
( ) . Ketiga, substitusikan pada persamaan
Kedua, ditetapkan syarat awal x(0)= ( ) sehingga F(x(0)) =
J ( ) = * ( ) ( ) ( ) ( ) +
( ) ( ) ( ) = 0, ( )
( ) ( )
yaitu ( ) ( )merupakansolusi approksimasi terhadap yang tidak diketahui. Sebagai contoh, misalkan sistem persamaan nonlinier
( ) ( ) ( ) ( )
F ( x (0)),
F ( x (0)), [ ( )]
F ( x (0)), 0 . /1
[ ( )] ( ( ) [ ( )] ( ( )), 0 . /1
[ ], [ ], [ ] = [ ] dan =
) untuk setiap = 1,2, ... , n dan . Jika digunakan notasi vektor dapat ditulis dalam bentuk
) (
) (
( ), (
dapat diperoleh ( )dimana
Bukti Ginting: Dengan Menggunakan Metode Homotopy
- 20 + = 0 ditransformasikan kesistem persamaan differensial.Pertama, dari sistem persamaan nonlinier ditentukan matrik Jacobian
- ( )
, ( ( ))- F(x(0))
- =
[ ] [ ] sehingga dapat dikatakan bahwa nilai approksimasi hampir sama nilai sebenarnya atau kesalahan sebenarnya sangat kecil yaitu dimana
MacCamy,R. C. & Mizel, V. J. 1969.
Hoffman, Joe D. 2001. Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second EditionRevised and Expanded, by Marcel Dekker. Inc. New York.
B. Russell, 1988. Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations, Prentice-Hall, EnglewoodCliffs, NJ.
Numerical Continuation Methods: an introduction, Springer-Verlag, New York. Ascher, U. M. , R. M. M. Mattheij, and R.
DAFTAR PUSTAKA Allgower,E. and Georg K. 1990.
Berdasarkan kajian yang telah dilakukan pada fungsi homotopy kontinu dan differensiabel dapat disimpulkan; Pertama, fungsi homotopy mentransformasikan sistem persamaan nonlinier kebentuk sistem persamaan differensial. Kedua, solusi approksimasi yang diperoleh dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat hampir sama dengan solusi sebenarnya dengan faktor kesalahan relatif sangat kecil.
KESIMPULAN
̇ ̇ ̇ ( )
] [ ] sedangkan solusi sebenarnya ( ) adalah
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
= 0.25 [ ] * + ( ) , ( - ( ) =0.25 [[ ̇ ̇ ̇
x
( ̇ ̇ ̇ ) yaitu
( ) x( ) = ( ) x( ) = ( ) x( )= x(1)= (0.4999999954, 0.126782 ) yang merupakan penyelesaian sistem persamaan nonlinier dalam bentuk approksimasi x =
Sehingga diperoleh solusi persamaan differensial x ( ) = ,
= ( )
= ( ) k 4 =
, ( )- ( )
] [ ] = ( )
, ( )- ( )
Linear Analysis and Differensial Equations, TheMacmillan Company, Printed in the United States of America.