SOLUSI PERSAMAAN KONVEKSI DIFUSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE ANALISIS HOMOTOPI (HAM)

SOLUSI PERSAMAAN KONVEKSI DIFUSI DENGAN
MENGGUNAKAN METODE ANALISIS HOMOTOPI (HAM)

( Skripsi )

Oleh
Eka Zuliana Sari

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015

ABSTRAK
SOLUSI PERSAMAAN KONVEKSI DIFUSI DENGAN MENGGUNAKAN
METODE ANALISIS HOMOTOPI (HAM)

Oleh
Eka Zuliana Sari

Persamaan konveksi difusi adalah salah satu persamaan diferensial parsial taklinear
yang sering ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Persamaan ini merupakan
jenis persamaan parabolik dengan nilai diskriminan 2 − 4
= 0. Berkaitan
dengan hal tersebut, maka dikembangkanlah berbagai metode untuk menyelesaikan
berbagai masalah dalam bentuk persamaan taklinear. Salah satu metode yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini adalah metode analisis homotopi
(HAM). Metode Analisis Homotopi memiliki beberapa keunggulan dibandingkan
dengan metode-metode sebelumnya, diantaranya adalah tidak bergantung pada
besar kecilnya parameter dan tetap valid walaupun masalah taklinear tersebut
memiliki sembarang parameter.
Pada penelitian ini menunjukkan bahwa solusi dari masalah atau persamaan
konveksi difusi yang digunakan dapat diselesaikan dengan menggunakan Metode
Analisis Homotopi dengan solusi yang diperoleh sama dengan solusi eksaknya.

Kata kunci : Metode Analisis Homotopi (HAM), Persamaan Konveksi Difusi,
Persamaan Taklinear.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Raman Utara pada tanggal 31 Mei 1993, sebagai anak pertama
dari dua bersaudara dari pasangan Bapak Jumaadi dan Ibu Sutarmi, serta
merupakan kakak dari Ardi Kurniawan.
Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak-kanak di TK LKMD Ratna Daya,
Raman Utara, Lampung Timur pada tahun 1999. Pendidikan sekolah dasar di SD
N 2 Ratna Daya, Raman Utara, Lampung Timur pada tahun 2005. Sekolah
menengah pertama di MTs N Raman Utara, Lampung Timur pada tahun 2008. Dan
selanjutnya menyelesaikan pendidikan sekolah menengah atas di MAN 1 Metro
pada tahun 2011.
Pada tahun 2011, penulis melanjutkan pendidikan ke jenjang perguruan tinggi dan
terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur Undangan SNMPTN.
Selama menjadi mahasiswa, penulis mencari pengalaman berorganisasi yaitu
dengan mengikuti beberapa kegiatan kemahasiswaan serta aktif menjadi pengurus
di beberapa organisasi. Pada periode kepengurusan 2012/2013 penulis aktif sebagai
anggota bidang Keilmuan Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) dan
anggota Badan Khusus Bina Baca Al-Qur’an (BK BBQ) Rohani Islam (ROIS)
FMIPA Universitas Lampung. Selanjutnya pada periode kepengurusan 2013/2014

penulis diamanahkan sebagai Sekretaris Bidang Keilmuan Himpunan Mahasiswa

Matematika (HIMATIKA) FMIPA Universitas Lampung.
Salah satu bentuk aplikasi bidang ilmu dan pengetahuan kepada masyarakat, maka
penulis telah menyelesaikan Kerja Praktik (KP) pada tanggal 27 Januari sampai
dengan 14 Februari 2013 dikantor PT PLN (persero) wilayah Lampung Area Metro
dan juga Kuliah Kerja Nyata (KKN) pada tanggal 11 Agustus – 18 September
2014, bertempat di Desa Poncorejo, Kecamatan Padangcermin, Kabupaten
Pesawaran, Provinsi Lampung.

MOTO

Man Jadda Wa Jadda
Siapa bersungguh-su gguh

aka aka berhasil

(Pepatah Arab)

Man Shabara Zhafira
Siapa yang bersabar maka akan beruntung
(Pepatah Arab)

“Tidak Ada Kata Terlambat Untuk Memulai
Suatu Hal Yang Baik”
(Eka Zuliana Sari)

PERSEMBAHAN

Puji dan syukur kehadirat Allah SWT , karena atas segala nikmat, karunia
dan juga ridho-Nya lah skripsi ini dapat terselesaikan, dan dengan setulus hati,
ku persembahkan karya sederhanaku ini teruntuk:
Kedua orangtuaku tersayang Ibunda Sutarmi dan Ayahanda Jumadi
terimakasih untuk setiap do’a , dukungan, semangat, kasih sayang dan juga
perhatian luar biasa yang tiada henti-hentinya. Adikku Ardi Kurniawan yang
selalu memberikan dorongan dan semangat untuk segera menyelesaikan tugas
akhir ini.
Keluarga besar baik dari pihak ayah maupun ibu yang selalu memberikan
semangat, dukungan serta do’a yang tiada hentinya pula untuk kesuksesanku.
Sahabat-sahabat terbaik dan luar biasa yang selalu ada untukku saat susah
ataupun senang. Terimakasih banyak atas dukungan, nasihat, semangat dan
juga kebersamaannya selama ini. Terima kasih…

SANWACANA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah memberikan
kesehatan serta segala karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi
ini dengan judul “Solusi Persamaan Konveksi Difusi Dengan Menggunakan
Metode Analisis Homotopi (HAM)” tepat pada waktunya. Tak lupa shalawat serta
salam selalu penulis panjatkan pula kepada Nabi Muhammad SAW yang telah
menjadi suri tauladan yang baik bagi kita semua.
Dalam proses menyelesaikan penulisan skripsi ini, tentunya tak lepas dari motivasi,
pengarahan serta dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala
kerendahan hati penulis ingin mengucapkan banyak terima kasih kepada :
1.

Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

2.

Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung serta
selaku Dosen Penguji, terimakasih atas kesediaan dan waktunya untuk
menguji, memberikan kritik, saran dan berbagai pengetahuan yang sangat
bermanfaat dalam proses penyelesaian skripsi ini.

3.

Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku Sekretaris Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lampung dan sekaligus sebagai Dosen Pembimbing Akademik yang telah
membimbing dan memberikan arahan selama masa perkuliahan.
4.

Bapak Suharsono. S, M.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Dosen Pembimbing I,
terimakasih atas kesediaan serta kesabaran Bapak dalam membimbing dan
memberikan arahan kepada penulis dalam proses menyelesaikan penulisan
skripsi ini.

5.

Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si. selaku Dosen Pembimbing II, terimakasih atas
waktu dan kesediaan Ibu dalam membimbing, memberikan arahan, semangat
serta dukungan sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.

6.

Seluruh dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung yang telah
memberikan begitu banyak ilmu pengetahuan, serta staff dan juga karyawan di
lingkungan FMIPA Universitas Lampung yang telah banyak membantu untuk
segala urusan administrasi.

7.

Kedua orang tuaku tersayang, adikku Ardi Kurniawan, dan juga seluruh
keluarga yang tak henti-hentinya selalu mendo’akan, memberikan dukungan,
semangat dan kasih sayang kepada penulis.

8.

Sahabat-sahabat yang selalu mendukung, Annastasia Nika S, Andzirnie Bil
Haqqi, Rizka Pitri, Faradhika Nitasya, Dian Surida, Nafisah dan Ahmad Antoni
terimakasih banyak atas segala nasihat, semangat, bantuan, serta suka dukanya
selama ini.

9.

Keluarga baruku di Asrama Safitri, Deni Mulyani, Rusmi Purwanti, Sri
Wulandari, Ofi Megariani, Andzirnie Bil Haqqi, Dewi Oktaviani, Mbak Nova
dan Anis, atas segala dukungan, nasihat, keceriaan serta kebersamaannya.

10. Teman-teman Matematika 2011, terimakasih telah menjadi teman terbaik
selama masa perkuliahan, semoga tali silaturahmi tak pernah terputus dan
sukses untuk kita semua.
11. Keluarga besar HIMATIKA FMIPA Universitas Lampung, khususnya para
Pimpinan dan Presidium serta rekan-rekan Bidang Keilmuan periode 20132014 atas pembelajaran serta pengalaman yang sangat luar biasa yang penulis
dapatkan ketika bersama kalian.
12. Almamaterku tercinta Universitas Lampung dan seluruh pihak yang telah
membantu dalam penyususnan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu
persatu.

Bandar Lampung,
Penulis,

Eka Zuliana Sari
1117031019

Februari 2015

DAFTAR ISI

Halaman
I.

PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ................................................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ............................................................................... 2
1.3 Manfaat Penelitian ............................................................................. 2

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

Persamaan Diferensial Parsial .........................................................
Persamaan Difusi .............................................................................
Persamaan Konveksi Difusi ............................................................
Metode Analisis Homotopi (HAM) .................................................
Parameter Kontrol Kekonvergenan .................................................
Konsep Deret Taylor dan Deret Maclaurin ....................................

4
6
8
9
13
13

III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1
3.2

Waktu dan Tempat Penelitian .......................................................... 15
Metodologi Penelitian ..................................................................... 15

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 21
5.2 Saran ................................................................................................... 22
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN

I.

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Banyak fenomena yang terjadi di alam dapat dijelaskan dalam suatu model
matematika. Model matematika tersebut umumnya dinyatakan dalam bentuk
persamaan taklinear. Masalah taklinear ini biasanya sulit diselesaikan baik
secara analitik maupun secara numerik jika dihadapkan pada perhitungan
komputasi yang rumit. Model matematika sering muncul dalam permasalahan
diberbagai cabang ilmu pengetahuan. Misalnya permasalahan dalam bidang
biologi, fisika, ekonomi, teknik, dan lainnya. Salah satu contoh dalam bidang
fisika adalah masalah konveksi dan difusi.
Beberapa penelitian difokuskan pada penemuan metode untuk memperoleh
solusi dari masalah yang dimodelkan dalam persamaan taklinear. Beberapa
metode yang digunakan antara lain, metode perturbasi. Metode perturbasi
digunakan untuk masalah taklinear yang mengandung parameter ketaklinearan
yang kecil.

Karena tidak semua masalah taklinear memuat parameter

ketaklinearan yang kecil, maka dikembangkan metode non-perturbasi seperti
metode dekomposisi adomian.

Metode Dekomposisi Adomian adalah

penyelesaian masalah taklinear yang dinyatakan dalam suatu deret pangkat dan
hanya terdefinisi pada daerah kekonvergenannya.

2

Namun karena metode perturbasi dan non-perturbasi tersebut tidak dapat
menentukan cara sederhana untuk mengontrol kekonvergenan dari pendekatan
daerah penyelesaiannya. Tahun 1992, Liao menggunakan ide-ide dasar
homotopi dari topologi untuk mengusulkan suatu metode untuk menyelesaikan
masalah taklinear secara umum yang dinamakan metode homotopi. Terdapat
beberapa keunggulan dari metode ini yaitu tetap valid walaupun masalah
taklinear tersebut memiliki sembarang parameter.

Dalam penelitian ini akan digunakan metode analisis homotopi (Liao, 2004)
yang merupakan suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu
masalah taklinear. Dalam metode ini, akan didefinisikan suatu operator
taklinear yang didasarkan pada bentuk taklinear dari masalah taklinear
tersebut.

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari dilakukannya penelitian ini adalah :
1. Memahami secara lebih dalam tentang konsep metode analisis homotopi
(HAM).
2. Menerapkan metode analisis homotopi untuk memperoleh solusi dari
persamaan konveksi difusi.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat dari dilakukannya penelitian ini adalah penulis dapat memahami cara
menyelesaikan suatu masalah atau persamaan dalam hal ini adalah persamaan

3

konveksi difusi dengan menggunakan metode analisis homotopi dan
diharapkan metode ini juga dapat dijadikan referensi untuk menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan persamaan diferensial parsial ataupun pada
persamaan taklinear lainnya.

II.

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan parsial suatu fungsi (yang
diketahui) dengan dua atau lebih peubah bebas dinamakan persamaan
diferensial parsial.

Persamaan diferensial parsial memegang peranan penting di dalam
penggambaran keadaan fisis, di mana besaran-besaran yang terlibat di
dalamnya berubah terhadap ruang dan waktu. Di dalam pembahasan tentang
persamaan diferensial biasa, variabel bebas yang terlibat dalam masalah hanya
satu, sedangkan untuk persamaan diferensial parsial variabel bebas berjumlah
lebih dari satu.

Ordo turunan tertinggi dinamakan ordo persamaan tersebut. Baik persamaan
diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau
taklinier. Sebuah persamaan diferensial disebut linier apabila persamaan itu
berderajat satu dalam peubah biasanya dan turunan parsialnya. (hasil kali tidak
dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah
taklinier. Jika setiap suku persamaan demikian ini mengandung peubah tak
bebasnya atau salah satu dari turunannya, maka persamaan itu dikatakan

5

homogen. Dan bila tidak, maka persamaan itu dikatakan tak homogen.
Bentuk umum dari persamaan diferensial parsial ini adalah:
�2 �

∑�=

� �� 2
�

��
� ��
�

+ ∑�=

+

+

=

(2.1)

Orde dari persamaan diferensial parsial ini adalah turunan tertinggi yang
muncul pada persamaan diferensial parsial tersebut.
 Persamaan diferensial orde 1
��
��

−

��

=

�

(2.2)

 Persamaan diferensial orde 2
�2 �
�� 2

��

+

�

=

(2.3)

 Persamaan diferensial orde 3
�

��

−

�2

���

+

�

=

�

(2.4)

Selanjutnya, persamaan diferensial parsial juga dibagi menjadi tiga jenis, yaitu
persamaan diferensial eliptik, parabolik, dan hiperbolik. Misal, diberikan suatu
persamaan diferensial parsial orde dua dalam variable ruang x dan waktu t,
�2

��

+
2

�2

���

�2

+

� 2

+

�, , ,

�

,

�

�� �

=

(2.5)

di mana A, B dan C merupakan fungsi dari x dan t, sedangkan D adalah fungsi
dari u dan derivative

�

��

dan

�

�

, serta x dan t. Yang membedakan atas tiga

kelas persamaan diferensial parsial tersebut adalah pada nilai diskriminan
−

pada persamaan (2.5) tersebut.

6

a. Persamaan diferensial parsial dikatakan persamaan hiperbolik jika nilai
−

diskriminan

>

(2.6)

Salah satu contoh persamaan hiperbolik adalah pada persamaan gelombang
�2

� 2

�2

−

�� 2

=

(2.7)

b. Persamaan diferensial parsial dikatakan persamaan parabolik jika nilai
−

diskriminan

=

(2.8)

Salah satu contoh persamaan parabolik adalah pada persamaan difusi dalam
bentuk

�

�

−�

�2

�� 2

=

(2.9)

c. Persamaan diferensial parsial dikatakan persamaan eliptik jika nilai
−

diskriminan

<

(2.10)

Salah satu contoh persamaan eliptik adalah pada persamaan Laplace dalam
bentuk

�2

�� 2

+

�2

� 2

=

(2.11)
(Farlow, 1982)

2.2 Persamaan Difusi

Misalkan sebuah tabung atau pipa berisi cairan yang tidak bergerak dan sebuah
substansi kimia yang berdifusi di dalam cairan. Substansi kimia tersebut
bergerak dari daerah yang memiliki konsentrasi tinggi ke daerah yang memiliki
konsentrasi lebih rendah. Kecepatan gerak dari substansi kimia tersebut
proporsional terhadap gradien konsentrasi. Misal u(x,t) adalah konsentrasi
(massa per satuan panjang) dari substansi kimia tersebut pada posisi-x dari pipa
pada saat-t.

7

Pada bagian pipa dari � sampai �

(lihat gambar 1), massa dari substansi

kimia tersebut adalah
�

= ∫�

�,

� , sehingga

�

�

�

= ∫�

�

�,

�.

(2.12)

�

Gambar 1. Difusi substansi kimia dalam pipa

Massa pada bagian ini tidak dapat berubah kecuali oleh adanya perubahan pada
aliran masuk (flowing in ) atau aliran keluar ( flowing out). Dengan
menggunakan Fick’s Law,
�

�

= aliran masuk – aliran keluar = −�

�

� ,

− [−�

�

� , ].

(2.13)

dengan k adalah konstan. Dengan demikian persamaan (2.12) dan persamaan
(2.13) sama dengan :
�

�,

∫�

�=�

�

� ,

−�

�

� ,

.

(2.14)
�

ruas kanan pada persamaan (2.14) sama dengan � ∫�
persamaan (2.14) dapat ditulis menjadi
=�

��

��

�,

� sehingga
(2.15)

Persamaan di atas merupakan persamaan difusi untuk kasus ruang dimensi 1.
Persamaan difusi atau bisa disebut juga dengan persamaan panas adalah contoh
lain dari persamaan diferensial parsial.

8

Konduksi panas diilustrasikan dalam persamaan difusi dengan

�,

didefinisikan sebagai temperatur pada posisi-x dan waktu-t (Riancelona, 2007).

2.3 Persamaan Konveksi Difusi

Misalkan pada reservoir dengan panjang x dan ketebalan y kemudian dilakukan
injeksi uap dengan temperatur tertentu dan kecepatan V. Pada saat injeksi uap
dilakukan, terjadi konveksi di dalam reservoir sehingga panas yang dihasilkan
oleh uap tersebut akan berpindah ke minyak. Panas tersebut akan mengurangi
viskositas dari minyak tersebut agar mudah terangkat. Bersamaan dengan itu,
uap tersebut akan kehilangan panas yang disebut dengan konduksi. Dengan
demikian, temperatur dari uap yang diinjeksikan tersebut akan semakin
menurun hingga pada nantinya akan sama dengan temperatur reservoir.

Pada reservoir ini, konduksi panas yang bisa diilustrasikan dalam persamaan
difusi yang dijelaskan sebelumnya sedangkan konveksi yang merupakan
perpindahan dari minyak, air dan uap dari reservoir ke arah sumur produksi
diilustrasikan dengan persamaan �

�

��

sehingga persamaan konveksi dan

konduksi panas yang terjadi saat injeksi uap tersebut dapat diilustrasikan dalam
persamaan
�

�

+ �

dengan

�

��

=

�,

�2

�� 2

,