MODUL MATEMATIKA EKONOMI MODUL MATEMATIKA EKONOMI
OLEH
NI NYOMAN JULI NURYANI, SE.MM
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
HIMPUNAN
BILANGAN
FUNGSI
FUNGSI LINIER
FUNGSI KUADRAT
PENERAPAN FUNGSI DALAM BISNIS DAN
EKONOMI
MATRIK DAN DETERMINAN
PENGGUNAAN MATRIK & DETERMINAN
DALAM BISNIS DAN EKONOMI
HIMPUNAN
Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda.
Objek di dalam himpunan disebut elemen,
unsur, atau anggota.
Enumerasi
Simbol-simbol
Notasi
Baku
Pembentuk Himpunan
Diagram
Venn
Himpunan
Himpunan
Himpunan
Himpunan
Himpunan
Himpunan
Kosong
Bagian (Subset)
yang Sama
yang Ekivalen
Saling Lepas
Kuasa
Irisan
(intersection)
Gabungan (union)
Komplemen (complement)
Selisih (difference)
Beda Setangkup (Symmetric
Difference)
Perkalian Kartesian
(cartesian product)
n
A1 A2 ... An Ai
n
i 1
A1 A2 ... An Ai
i 1
n
A1 A2 ... An i
A
1 i
n
A1 A2 ... An
A
i
i 1
1. Hukum identitas
- A ᴗØ = A
- A ᴖU = A
2. Hukum null/dominasi:
- A ᴖØ = Ø
- A ᴗU = U
3. Hukum komplemen:
- Aᴗ A = U
- Aᴖ A = Ø
4. Hukum idempoten:
- Aᴗ A = A
- Aᴖ A = A
5. Hukum involusi:
- (A)= A
•
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
- Aᴗ (Aᴖ B) = A
-Aᴖ (Aᴗ B) = A
7. Hukum komutatif:
- Aᴗ B = Bᴗ A
- A ᴖB = B ᴖA
8. Hukum asosiatif:
- Aᴗ (B ᴗC) = (Aᴗ B) ᴗ C
- Aᴖ (Bᴖ C) = (Aᴖ B) ᴖ C
9. Hukum distributif:
- Aᴗ (Bᴖ C) = (A ᴗB) ᴖ (Aᴗ C)
- Aᴖ (Bᴗ C) = (Aᴖ B) ᴗ (A ᴖC)
10 Hukum De Morgan:
-AᴖB=AᴗB
-AᴗB=AᴖB
11 Hukum 0/1
- Ø=U
- U=
Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda
dapat dipertukarkan namun tetap
memberikan jawaban yang benar
Prinsip Dualitas pada Himpunan
Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang
melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan
komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti
, , U, U , sedangkan komplemen dibiarkan
seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan
disebut dual dari kesamaan S.
Untuk dua himpunan A dan B:
A B = A + B – A B
A B = A +B – 2A B
Partisi dari sebuah himpunan A adalah
sekumpulan himpunan bagian tidak kosong
A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
a. A1 A2 … = A, dan
b. Ai Aj = untuk i j
•
•
•
Himpunan yang elemennya boleh berulang
(tidak harus berbeda) disebut himpunan
ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2,
3, 4}, {}.
Multiplisitas dari suatu elemen pada
himpunan ganda adalah jumlah kemunculan
elemen tersebut pada himpunan ganda.
Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 },
multiplisitas 0 adalah 4.
Himpunan (set) merupakan contoh khusus
dari suatu multiset, yang dalam hal ini
multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0
atau 1.
Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan
sebagai kardinalitas himpunan padanannya
(ekivalen), dengan mengasumsikan elemenelemen di dalam multiset semua berbeda.
•
•
P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas
elemennya sama dengan multiplisitas maksimum
elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b,
c, c },
P Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }
P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas
elemennya sama dengan multiplisitas minimum
elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b,
c, c }
P Q = { a, a, c }
•
P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas
elemennya sama dengan:
multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi
multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif
0, jika selisihnya nol atau negatif.
Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q
= { a, a, b, b, b, c,
c, d, d, f } maka P – Q = { a, e }
•
P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum)
dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset
yang multiplisitas elemennya sama dengan
penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut
pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b,
d },
P + Q = { a, a, a, b, b, b, c,
c, d }
Pernyataan himpunan adalah argumen yang
menggunakan notasi himpunan.
Pernyataan dapat berupa:
◦ Kesamaan (identity)
Contoh: Buktikan “A (B C) = (A B) (A C)”
◦ Implikasi
Contoh: Buktikan bahwa “Jika A B = dan A (B
C) maka selalu berlaku bahwa A C”.
Pembuktian dengan menggunakan
diagram Venn
Pembuktikan dengan menggunakan
tabel keanggotaan
Pembuktian dengan menggunakan
aljabar himpunan.
Pembuktian dengan menggunakan
definisi
BILANGAN
BIL.PECAHAN
BIL.BULAT
NEGATIF
BIL.BULAT
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Bilangan
Bilangan
Bilangan
Bilangan
Bilangan
Bilangan
Bilangan
Bulat
Asli
Cacah
Prima
Rasional
Irasional
Komplek
Bilangan bulat adalah hasil bagi antara dua
bilangan yang hasilnya bulat termasuk nol.
Jika himpunan bilangan bulat dilambangkan
B maka:
B = {. . . -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,
5, . . .}
Bilangan Asli adalah bilangan-bilangan bulat
positif.
Jika himpunan bilangan asli dilambangkan
A, maka:
A = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}
Bilangan cacah adalah bilangan asli dan nol
(0)
Jika himpunan bilangan cacah
dilambangkan C, maka:
C = { 0,1,2,3,4,5,. . .}
Bilangan prima adalah bilangan asli yang
besarnya tidak sama dengan 1, dan hanya
habis dibagi dirinya sendiri dan juga hanya
habis dibagi oleh 1.
Jika himpunan bilangan prima
dilambangkan dengan P, maka:
P = {2,3,5,7,11,13,. . .}
Bilangan rasional adalah bilanga yang dapat
dinyatakan sebagai dengan a dan b
bilangan bulat dan b ≠ 0.
Jika himpunan bilangan rasional
dilambangkan dengan Q, maka:
Q = {x│x = a dan b bulat dan b≠0}
Contoh:
Q= {2,3,4,5,6}
Q= {-4,-3,-2,-1,0}
Bilangan irrasional adalah bilangan yang
tidak dapat dituliskan sebagai dengan a dan
b bilangan bulat b ≠ 0.
Jika himpunan bilangan irrasional
dilambangkan dengan Q , maka:
c
Q = {x│x Real dan x ϵ Q}
c
Contoh:
Q = {√3,√5 ,√7 ,√1 }
Q = {π,2π,3π}
c
Q = {log 5,log 6, log 7}
c
c
Bilangan komplek adalah sebuah bilangan
yang berbentuk a + b, dengan a dan b
bilangan-bilangan real dan “I” adalah
lambang dari suatu bilangan yang bersifat
bahwa, kuadratnya sama dengan -1, jadi i²
=-1.
Jika himpunan bilangan komplek
dilambangkan dengan K, maka:
K = {a + b .i a,b adalah bilangan real}
Contoh: K = { 5+2i, 5-2i, 4+8i,. . .}
FUNGSI
1.
2.
3.
4.
PENGERTIA FUNGSI
UNSUR-UNSUR FUNGSI
JENIS-JENIS FUNGSI
GRAFIK FUNGSI
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B
adalah suatu relasi khusus yang
mengaitkan atau memasangkan setiap
anggota A dengan satu dan hanya satu
anggota B.
Fungsi dari himpunan A ke B dapat
dinyatakan sebagai berikut:
f : A
B
Artinya:
Jika x ϵ A dan y ϵ B dan a dikaitkan
dengan b maka f(a)=b dengan:
1.
2.
3.
4.
A disebut daerah asal (domain)
B disebut daerak kawan (kodomain)
b desebut bayangan dari a
Himpunan semua bayangan dari setiap x ϵ A
disebut daerah hasil/ daerah jajahan atau range
a. Cara Daftar Lajur
b. Cara Penulisan Dengan Lambang
c. Cara Grafik
Fungsi ditujukan dengan cara daftar lajur.
X
Y
1
-1
2
0
3
3
4
8
5
15
Lajur pertama mengandung yang elemenelemen pertama pasangan urut dan lajur kedua
mengandung elemen kedua pasangan urut.
Perhatikan di sini, pada daftar lajur tersebut tidak
terdapat pasangan urut yang anggota
pertamanya sama. Anggota kedua pada
himpunan pasangan urut bisa terjadi sama.
a.
b.
c.
d.
y = x² - 2x
f(x) = x² - 2x
f(x,y) ialah fungsi yang pasangan urutnya
(x, x² - 2x)
{(x,y) │ y = x² - 2x}
Cara penulisan dengan lambang yang
sering dipakai adalah cara a atau b, karena
lebih singkat bila dibandingkan dengan
cara yg lain.
P
0
x
a.
Perubahan/Variabel
b. Parameter & Koefisien
c. Konstanta
Adalah suatu besarnya yang nilainya bisa
berubah-ubah.
Berdasarkan sifatnya di dalam suatu
fungsi terdapat dua macam variabel
- variabel bebas (independent variable)
adalah variabel yang nilainnya tidak
bergabung dari nilai variabel lainnya
atau
variabel yang nilainya boleh
ditentukan sembarang.
- variabel terikat (dependent variable)
adalah variabel yang nilainya
tergantung pada nilai variabel bebasnya.
Parameter adalah suatu konstanta
tertentu yang nilainya belum ditetapkan,
yang terkait langsung pada suatu variabel
dalam sebuah fungsi. Parameter ini
umumnya dilambangkan dengan huruf
awal abjad Yunani atau Arab,misalnya:α, β,
ϒ atau a, b dan c.
Koefisien adalah bilangan (berupa
konstanta tertentu yang nilainya telah
ditetapkan) yang terkait langsung pada
suatu variabel dalam sebuah fungsi, dan
biasannya terletak di depan suatu variabel.
Konstanta adalah bilangan yang (jika ada)
turut membentuk sebuah fungsi dan tidak
terkait langsung dengan suatu variabel.
a.
b.
c.
Dilihat dari operasinya
- Fungsi aljabar
- Fungsi transenden
Dilihat dari hubungan antar variabel
- Fungsi eksplisit
- fungsi implisit
Dilihat dari jumlah variabel bebas
- Fungsi univariabel
- Fungsi multivariabel
CONTOH GRAFIK
f(x)
Grafik fungsi f(x)= 2x-3
0
x
Fungsi linier adalah fungsi yang paling
sederhana karena hanya mempunyai satu
variabel bebas dan berpangkat satu pada
variabel bebas tersebut, sehingga sering
disebut sebagai fungsi berderajad satu.
Bentuk umum persamaan linier adalah:
y = a + bx; Atau sering dinyatakan dalam bentuk
implisit berikut: Ax + By + C = 0
Kemiringan (slope) dari fungsi linier adalah
sama dengan perubahan variabel terikat x
dibagi dengan perubahan dalam variabel
bebas y. Kemiringan juga disebut gradien
yang dilambangkan dengan huruf m. Jadi
Sebuah persamaan linier dapat dibentuk
melalui beberapa macam cara, antara lain:
◦ (1) metode dua titik dan
◦ (2) metode satu titik dan satu kemiringan
Apabila diketahui dua titik A dan B dengan
koordinat masing-masing (x1, y1) dan (x2,
y2), maka rumus persamaan liniernya adalah:
• misal diketahui titik A (2,3) dan titik B (6,5),
maka persamaan liniernya adalah:
Dari sebuah titik A (x1, y1) dan suatu kemiringan
(m)dapat dibentuk sebuah persamaan linier
dengan rumus sebagai berikut:
• Misal diketahui titik A (2,3) dan kemiringan m=0,5 maka
persamaan liniernya adalah:
Berimpit, dua buah garis akan berimpit apabila
persamaan garis yang satu merupakan kelipatan
dari (proporsional terhadap) persamaan garis yang lain.
Sejajar, dua buah garis akan sejajar apabila
kemiringan garis yang satu sama dengan
kemiringan garis yang lain (m1 = m2).
Berpotongan, dua buah garis akan berpotongan
apabila kemiringan garis yang satu tidak sama
dengan kemiringan garis yang lain (m1≠m2).
Tegak lurus, dua garis akan saling tegak lurus
apabila kemiringan garis yang satu merupaka
kebalikan dari kemiringan garis yang lain dengan tanda
yang berlawanan
FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat ialah pemetaan dari
himpunan bilangan nyata R ke dirinya
sendiri yang dinyatakan dengan:
f(x) = y = ax2 + bx + c
dengan a, b, c R dan a 0
Bentuk grafik fungsi kuadrat adalah
parabola
Coba gambarkan 6 Sketsa Grafik fungsi
kuadrat!
Untuk melukis grafik fungsi y = ax2 + bx + c diperlukan
sebagai berikut:
1. Menentukan titik potong dengan sumbu x
Hal ini didapat apabila y = f(x) = 0 jadi ax2 + bx + c = 0
Apabila akar-akarnya x1 dan x2 maka titik potong dengan
sumbu x ialah (x1, 0) dan (x2, 0).
Ada tidaknya akar-akar tergantung dari diskriminan
persamaan itu.
Jika D > 0, grafik memotong sumbu x di dua buah titik
(x1, 0) dan (x2, 0).
Jika D = 0, grafik menyinggung di sebuah titik pada
sumbu x di (x1, 0)
Jika D < 0, grafik tidak memotong sumbu x.
2. Menentukan titik potong dengan
sumbu y
Hal ini didapat apabila x = 0, jadi y = c,
maka titik potong dengan sumbu y adalah
(0,c)
3. Menentukan Sumbu Simetri
Grafik dari fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c
mempunyai
simetri yang persamaannya
b
x=
2a
4. Menentukan Koordinat titik balik / titik
puncak.
Fungsi y = ax2 + bx + c dapat diberi bentuk
b
(x2a+
y= a
D
4a2
) +
Parabola
mempunyai titik balik minimum dengan
koordinat
(
b
2a
D
4a
,
)
5. Menghubungkan semua titik-titik sehingga
membentuk parabola
•
•
•
•
•
•
Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan
keseimbangan pasar
Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk
Pengaruh Pajak dan Subsidi Terhadap
Keseimbangan Pasar.
Fungsi biaya, fungsi pendapatan dan analisis
Pulang Pokok (BEP=Break Even Point)
Fungsi Konsumsi dan Tabungan
Model Penentuan Pendapatan Nasional
menunjukkan hubungan antara jumlah
produk yang diminta oleh konsumen
dengan harga produk.
dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika
harga naik maka jumlah barang yang
diminta turun, demikian juga sebaliknya
Fungsi penawaran menunjukkan hubungan
antara jumlah produk yang ditawarkan oleh
produsen untuk dijual dengan harga produk.
Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa
jika harga naik maka jumlah barang yang
ditawarkan bertambah, demikian juga
sebaliknya
Pasar suatu macam barang dikatakan
berada dalam keseimbangan (equilibrium)
apabila jumlah barang yang diminta di
pasar tersebut sama dengan jumlah barang
yang ditawarkan.
Secara matematik dan grafik ditunjukan
oleh kesamaan:
Diketahui fungsi permintaan dan fungsi
penawaran dari dua macam produk yang
mempunyai hubungan substitusi sebagai
berikut dibawah ini, carilah harga dan
jumlah keseimbangan pasar!
Adanya pajak yang dikenakan pemerintah
atas penjualan suatu barang akan
menyebabkan produsen menaikkan harga
jual barang tersebut sebesar tarif pajak per
unit (t), sehingga fungsi penawaran akan
berubah yang pada akhirnya keseimbangan
pasar akan berubah pula
BAB VII
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Matriks Baris
Matriks kolom
Matriks Nol
Matriks Bujur
Sangkar
Matriks Diagonal
Matriks Satuan (I)
Matriks Skalar
Matriks Segitiga Atas
Matriks Segitiga
Bawah
Matriks Simetris
11.
Matriks Simetri Skew
1. aij = -aji, dan
diagonalnya nol
12.
13.
14.
Matriks Tridiagonal
Matriks Transpose
Matriks Ortogonal
1. Matriks bujur sangkar
yg memenuhi [A][A]T
= [A]T[A]=[ I ]
Determinants are useful in eigenvalue
problems and differential equations.
Can be found only for square matrices.
Simple example: 2nd order determinant
1 3
det A
1* 7 3 * 4 5
4 7
The determinant of a 3X3 matrix is found as
follows:
a11
a12
a13
det A a21
a22
a23 a11
a22
a23
a
a
a12
a21
a23
a
a
a13
a21
a22
a
a32
32
33
31
33
31
The aterms
on
the
RHS
can
be
evaluated
as
a
a
31
32
33
shown for a 2nd order determinant.
det A
a11
a12
a13
a14
a21
a22
a23
a14
a31
a32
a33
a41
a42
a43
a34
a11
0
0
a12
a22
0
a13
a23
a33
a14
a14
a34
a44
0
0
0
a44
det A a11 . a22 . a33 . a44
Bila semua unsur dari suatu baris/kolom = nol,
determinan = nol.
Harga determinan tidak berubah bila semua
unsur baris diubah menjadi unsur kolom dan
semua kolom menjadi baris.
Pertukaran tempat antara baris dengan baris
atau antara kolom dengan kolom akan mengubah
tanda determinan
Bila unsur-unsur baris/kolom dikalikan suatu
faktor, maka determinan harus dikalikan juga.
Bila suatu matriks ada dua baris/ dua kolom yg
identik maka determinannya = nol
Tanpa mengubah harga determinan semua unsur
sebarang baris/kolom dapat dikalikan dgn sebuah
faktor dan menambahkan atau mengurangkan
dari sebarang baris/kolom
Cramer’s: If the determinant of a system of
n equations with n unknowns is nonzero,
that system has precisely one solution.
det(AB)=det(BA)=det(A)det(B)
a11
a12
a13
A a21
a22
a23
a31
a32
a33
minor dari a21
Kofaktor cij ( 1)
i j
a12
a13
a32
a33
cij
Penghitungan Determinan berdasar Ekspansi Baris ke-1
11
Det A a11 ( 1)
a22
a23
a32
a33
1 2
a12 ( 1)
a21
a23
a31
a33
13
a13 ( 1)
a21
a22
a31
a32
Jika det matriks ≠ 0, maka rank r = orde
matriks (n).
Jika det matriks = 0, maka harus dilihat
minor dari matrik tsb. Jika matriks
bujursangkar di dalam determinan ≠ 0,
maka rank =2.
Matriks bujur sangkar orde n dengan rank =
n (det A≠0) disebut matiks non-singular.
Matriks zero memiliki rank = 0.
The rank of a matrix is simply the number
of independent row vectors in that matrix.
The transpose of a matrix has the same
rank as the original matrix.
To find the rank of a matrix by hand, use
Gauss elimination and the linearly
dependant row vectors will fall out, leaving
only the linearly independent vectors, the
number of which is the rank.
Menggunakan Eliminasi Gauss
1 3 3
A 1 4 3
1 3 4
Invers Matrik A
7 3 3
1 1
0
1 0
1
I
II
VI IX
IV VIII
III
V
VII
1 3 31 0 0
1 4 30 1 0
1 3 40 0 1
1 0 0a
b
c
0 1 0d
0 0 1g
e
h
f
i
PENERAPAN
MATRIKS DAN
DETERMINAN
Metode Cramer
Metode Gauss Seidel
Menggunakan Invers Matriks
◦ Ax=b. maka x=A-1b
Metode Gauss
Menentukan invers suatu matrik
Mencari penyelesaian suatu sistem
persamaan linear yang simultan
Determinan Matriks berordo 2x2
Determinan Matriks berordo 3x3
Adjoin Matriks
1.
2.
3.
4.
5.
6.
MATEMATIKA TERAPAN UNTUK BISNIS &
EKONOMI (DUMAIRY/BPFE YOGYAKARTA)
MATEMATIKA UNTUK PERGURUAN TINGGI
(YUSUF YAHYA,D.SURYADI H, AGUS S./GHALIA)
MATEMATIKA EKONOMI (NATA
WIRAWAN/KERARAS EMAS)
MATEMATIKA EKONOMI (WAHYU WIDAYAT/BPFE
YOGYAKARTA)
MATEMATIKA DASAR (DANANG
MURSITA/REKAYASA SAINS)
MATRIKS (RUMIANTA/REKAYASA SAINS)
NI NYOMAN JULI NURYANI, SE.MM
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
HIMPUNAN
BILANGAN
FUNGSI
FUNGSI LINIER
FUNGSI KUADRAT
PENERAPAN FUNGSI DALAM BISNIS DAN
EKONOMI
MATRIK DAN DETERMINAN
PENGGUNAAN MATRIK & DETERMINAN
DALAM BISNIS DAN EKONOMI
HIMPUNAN
Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda.
Objek di dalam himpunan disebut elemen,
unsur, atau anggota.
Enumerasi
Simbol-simbol
Notasi
Baku
Pembentuk Himpunan
Diagram
Venn
Himpunan
Himpunan
Himpunan
Himpunan
Himpunan
Himpunan
Kosong
Bagian (Subset)
yang Sama
yang Ekivalen
Saling Lepas
Kuasa
Irisan
(intersection)
Gabungan (union)
Komplemen (complement)
Selisih (difference)
Beda Setangkup (Symmetric
Difference)
Perkalian Kartesian
(cartesian product)
n
A1 A2 ... An Ai
n
i 1
A1 A2 ... An Ai
i 1
n
A1 A2 ... An i
A
1 i
n
A1 A2 ... An
A
i
i 1
1. Hukum identitas
- A ᴗØ = A
- A ᴖU = A
2. Hukum null/dominasi:
- A ᴖØ = Ø
- A ᴗU = U
3. Hukum komplemen:
- Aᴗ A = U
- Aᴖ A = Ø
4. Hukum idempoten:
- Aᴗ A = A
- Aᴖ A = A
5. Hukum involusi:
- (A)= A
•
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
- Aᴗ (Aᴖ B) = A
-Aᴖ (Aᴗ B) = A
7. Hukum komutatif:
- Aᴗ B = Bᴗ A
- A ᴖB = B ᴖA
8. Hukum asosiatif:
- Aᴗ (B ᴗC) = (Aᴗ B) ᴗ C
- Aᴖ (Bᴖ C) = (Aᴖ B) ᴖ C
9. Hukum distributif:
- Aᴗ (Bᴖ C) = (A ᴗB) ᴖ (Aᴗ C)
- Aᴖ (Bᴗ C) = (Aᴖ B) ᴗ (A ᴖC)
10 Hukum De Morgan:
-AᴖB=AᴗB
-AᴗB=AᴖB
11 Hukum 0/1
- Ø=U
- U=
Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda
dapat dipertukarkan namun tetap
memberikan jawaban yang benar
Prinsip Dualitas pada Himpunan
Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang
melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan
komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti
, , U, U , sedangkan komplemen dibiarkan
seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan
disebut dual dari kesamaan S.
Untuk dua himpunan A dan B:
A B = A + B – A B
A B = A +B – 2A B
Partisi dari sebuah himpunan A adalah
sekumpulan himpunan bagian tidak kosong
A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
a. A1 A2 … = A, dan
b. Ai Aj = untuk i j
•
•
•
Himpunan yang elemennya boleh berulang
(tidak harus berbeda) disebut himpunan
ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2,
3, 4}, {}.
Multiplisitas dari suatu elemen pada
himpunan ganda adalah jumlah kemunculan
elemen tersebut pada himpunan ganda.
Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 },
multiplisitas 0 adalah 4.
Himpunan (set) merupakan contoh khusus
dari suatu multiset, yang dalam hal ini
multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0
atau 1.
Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan
sebagai kardinalitas himpunan padanannya
(ekivalen), dengan mengasumsikan elemenelemen di dalam multiset semua berbeda.
•
•
P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas
elemennya sama dengan multiplisitas maksimum
elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b,
c, c },
P Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }
P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas
elemennya sama dengan multiplisitas minimum
elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b,
c, c }
P Q = { a, a, c }
•
P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas
elemennya sama dengan:
multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi
multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif
0, jika selisihnya nol atau negatif.
Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q
= { a, a, b, b, b, c,
c, d, d, f } maka P – Q = { a, e }
•
P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum)
dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset
yang multiplisitas elemennya sama dengan
penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut
pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b,
d },
P + Q = { a, a, a, b, b, b, c,
c, d }
Pernyataan himpunan adalah argumen yang
menggunakan notasi himpunan.
Pernyataan dapat berupa:
◦ Kesamaan (identity)
Contoh: Buktikan “A (B C) = (A B) (A C)”
◦ Implikasi
Contoh: Buktikan bahwa “Jika A B = dan A (B
C) maka selalu berlaku bahwa A C”.
Pembuktian dengan menggunakan
diagram Venn
Pembuktikan dengan menggunakan
tabel keanggotaan
Pembuktian dengan menggunakan
aljabar himpunan.
Pembuktian dengan menggunakan
definisi
BILANGAN
BIL.PECAHAN
BIL.BULAT
NEGATIF
BIL.BULAT
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Bilangan
Bilangan
Bilangan
Bilangan
Bilangan
Bilangan
Bilangan
Bulat
Asli
Cacah
Prima
Rasional
Irasional
Komplek
Bilangan bulat adalah hasil bagi antara dua
bilangan yang hasilnya bulat termasuk nol.
Jika himpunan bilangan bulat dilambangkan
B maka:
B = {. . . -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,
5, . . .}
Bilangan Asli adalah bilangan-bilangan bulat
positif.
Jika himpunan bilangan asli dilambangkan
A, maka:
A = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}
Bilangan cacah adalah bilangan asli dan nol
(0)
Jika himpunan bilangan cacah
dilambangkan C, maka:
C = { 0,1,2,3,4,5,. . .}
Bilangan prima adalah bilangan asli yang
besarnya tidak sama dengan 1, dan hanya
habis dibagi dirinya sendiri dan juga hanya
habis dibagi oleh 1.
Jika himpunan bilangan prima
dilambangkan dengan P, maka:
P = {2,3,5,7,11,13,. . .}
Bilangan rasional adalah bilanga yang dapat
dinyatakan sebagai dengan a dan b
bilangan bulat dan b ≠ 0.
Jika himpunan bilangan rasional
dilambangkan dengan Q, maka:
Q = {x│x = a dan b bulat dan b≠0}
Contoh:
Q= {2,3,4,5,6}
Q= {-4,-3,-2,-1,0}
Bilangan irrasional adalah bilangan yang
tidak dapat dituliskan sebagai dengan a dan
b bilangan bulat b ≠ 0.
Jika himpunan bilangan irrasional
dilambangkan dengan Q , maka:
c
Q = {x│x Real dan x ϵ Q}
c
Contoh:
Q = {√3,√5 ,√7 ,√1 }
Q = {π,2π,3π}
c
Q = {log 5,log 6, log 7}
c
c
Bilangan komplek adalah sebuah bilangan
yang berbentuk a + b, dengan a dan b
bilangan-bilangan real dan “I” adalah
lambang dari suatu bilangan yang bersifat
bahwa, kuadratnya sama dengan -1, jadi i²
=-1.
Jika himpunan bilangan komplek
dilambangkan dengan K, maka:
K = {a + b .i a,b adalah bilangan real}
Contoh: K = { 5+2i, 5-2i, 4+8i,. . .}
FUNGSI
1.
2.
3.
4.
PENGERTIA FUNGSI
UNSUR-UNSUR FUNGSI
JENIS-JENIS FUNGSI
GRAFIK FUNGSI
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B
adalah suatu relasi khusus yang
mengaitkan atau memasangkan setiap
anggota A dengan satu dan hanya satu
anggota B.
Fungsi dari himpunan A ke B dapat
dinyatakan sebagai berikut:
f : A
B
Artinya:
Jika x ϵ A dan y ϵ B dan a dikaitkan
dengan b maka f(a)=b dengan:
1.
2.
3.
4.
A disebut daerah asal (domain)
B disebut daerak kawan (kodomain)
b desebut bayangan dari a
Himpunan semua bayangan dari setiap x ϵ A
disebut daerah hasil/ daerah jajahan atau range
a. Cara Daftar Lajur
b. Cara Penulisan Dengan Lambang
c. Cara Grafik
Fungsi ditujukan dengan cara daftar lajur.
X
Y
1
-1
2
0
3
3
4
8
5
15
Lajur pertama mengandung yang elemenelemen pertama pasangan urut dan lajur kedua
mengandung elemen kedua pasangan urut.
Perhatikan di sini, pada daftar lajur tersebut tidak
terdapat pasangan urut yang anggota
pertamanya sama. Anggota kedua pada
himpunan pasangan urut bisa terjadi sama.
a.
b.
c.
d.
y = x² - 2x
f(x) = x² - 2x
f(x,y) ialah fungsi yang pasangan urutnya
(x, x² - 2x)
{(x,y) │ y = x² - 2x}
Cara penulisan dengan lambang yang
sering dipakai adalah cara a atau b, karena
lebih singkat bila dibandingkan dengan
cara yg lain.
P
0
x
a.
Perubahan/Variabel
b. Parameter & Koefisien
c. Konstanta
Adalah suatu besarnya yang nilainya bisa
berubah-ubah.
Berdasarkan sifatnya di dalam suatu
fungsi terdapat dua macam variabel
- variabel bebas (independent variable)
adalah variabel yang nilainnya tidak
bergabung dari nilai variabel lainnya
atau
variabel yang nilainya boleh
ditentukan sembarang.
- variabel terikat (dependent variable)
adalah variabel yang nilainya
tergantung pada nilai variabel bebasnya.
Parameter adalah suatu konstanta
tertentu yang nilainya belum ditetapkan,
yang terkait langsung pada suatu variabel
dalam sebuah fungsi. Parameter ini
umumnya dilambangkan dengan huruf
awal abjad Yunani atau Arab,misalnya:α, β,
ϒ atau a, b dan c.
Koefisien adalah bilangan (berupa
konstanta tertentu yang nilainya telah
ditetapkan) yang terkait langsung pada
suatu variabel dalam sebuah fungsi, dan
biasannya terletak di depan suatu variabel.
Konstanta adalah bilangan yang (jika ada)
turut membentuk sebuah fungsi dan tidak
terkait langsung dengan suatu variabel.
a.
b.
c.
Dilihat dari operasinya
- Fungsi aljabar
- Fungsi transenden
Dilihat dari hubungan antar variabel
- Fungsi eksplisit
- fungsi implisit
Dilihat dari jumlah variabel bebas
- Fungsi univariabel
- Fungsi multivariabel
CONTOH GRAFIK
f(x)
Grafik fungsi f(x)= 2x-3
0
x
Fungsi linier adalah fungsi yang paling
sederhana karena hanya mempunyai satu
variabel bebas dan berpangkat satu pada
variabel bebas tersebut, sehingga sering
disebut sebagai fungsi berderajad satu.
Bentuk umum persamaan linier adalah:
y = a + bx; Atau sering dinyatakan dalam bentuk
implisit berikut: Ax + By + C = 0
Kemiringan (slope) dari fungsi linier adalah
sama dengan perubahan variabel terikat x
dibagi dengan perubahan dalam variabel
bebas y. Kemiringan juga disebut gradien
yang dilambangkan dengan huruf m. Jadi
Sebuah persamaan linier dapat dibentuk
melalui beberapa macam cara, antara lain:
◦ (1) metode dua titik dan
◦ (2) metode satu titik dan satu kemiringan
Apabila diketahui dua titik A dan B dengan
koordinat masing-masing (x1, y1) dan (x2,
y2), maka rumus persamaan liniernya adalah:
• misal diketahui titik A (2,3) dan titik B (6,5),
maka persamaan liniernya adalah:
Dari sebuah titik A (x1, y1) dan suatu kemiringan
(m)dapat dibentuk sebuah persamaan linier
dengan rumus sebagai berikut:
• Misal diketahui titik A (2,3) dan kemiringan m=0,5 maka
persamaan liniernya adalah:
Berimpit, dua buah garis akan berimpit apabila
persamaan garis yang satu merupakan kelipatan
dari (proporsional terhadap) persamaan garis yang lain.
Sejajar, dua buah garis akan sejajar apabila
kemiringan garis yang satu sama dengan
kemiringan garis yang lain (m1 = m2).
Berpotongan, dua buah garis akan berpotongan
apabila kemiringan garis yang satu tidak sama
dengan kemiringan garis yang lain (m1≠m2).
Tegak lurus, dua garis akan saling tegak lurus
apabila kemiringan garis yang satu merupaka
kebalikan dari kemiringan garis yang lain dengan tanda
yang berlawanan
FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat ialah pemetaan dari
himpunan bilangan nyata R ke dirinya
sendiri yang dinyatakan dengan:
f(x) = y = ax2 + bx + c
dengan a, b, c R dan a 0
Bentuk grafik fungsi kuadrat adalah
parabola
Coba gambarkan 6 Sketsa Grafik fungsi
kuadrat!
Untuk melukis grafik fungsi y = ax2 + bx + c diperlukan
sebagai berikut:
1. Menentukan titik potong dengan sumbu x
Hal ini didapat apabila y = f(x) = 0 jadi ax2 + bx + c = 0
Apabila akar-akarnya x1 dan x2 maka titik potong dengan
sumbu x ialah (x1, 0) dan (x2, 0).
Ada tidaknya akar-akar tergantung dari diskriminan
persamaan itu.
Jika D > 0, grafik memotong sumbu x di dua buah titik
(x1, 0) dan (x2, 0).
Jika D = 0, grafik menyinggung di sebuah titik pada
sumbu x di (x1, 0)
Jika D < 0, grafik tidak memotong sumbu x.
2. Menentukan titik potong dengan
sumbu y
Hal ini didapat apabila x = 0, jadi y = c,
maka titik potong dengan sumbu y adalah
(0,c)
3. Menentukan Sumbu Simetri
Grafik dari fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c
mempunyai
simetri yang persamaannya
b
x=
2a
4. Menentukan Koordinat titik balik / titik
puncak.
Fungsi y = ax2 + bx + c dapat diberi bentuk
b
(x2a+
y= a
D
4a2
) +
Parabola
mempunyai titik balik minimum dengan
koordinat
(
b
2a
D
4a
,
)
5. Menghubungkan semua titik-titik sehingga
membentuk parabola
•
•
•
•
•
•
Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan
keseimbangan pasar
Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk
Pengaruh Pajak dan Subsidi Terhadap
Keseimbangan Pasar.
Fungsi biaya, fungsi pendapatan dan analisis
Pulang Pokok (BEP=Break Even Point)
Fungsi Konsumsi dan Tabungan
Model Penentuan Pendapatan Nasional
menunjukkan hubungan antara jumlah
produk yang diminta oleh konsumen
dengan harga produk.
dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika
harga naik maka jumlah barang yang
diminta turun, demikian juga sebaliknya
Fungsi penawaran menunjukkan hubungan
antara jumlah produk yang ditawarkan oleh
produsen untuk dijual dengan harga produk.
Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa
jika harga naik maka jumlah barang yang
ditawarkan bertambah, demikian juga
sebaliknya
Pasar suatu macam barang dikatakan
berada dalam keseimbangan (equilibrium)
apabila jumlah barang yang diminta di
pasar tersebut sama dengan jumlah barang
yang ditawarkan.
Secara matematik dan grafik ditunjukan
oleh kesamaan:
Diketahui fungsi permintaan dan fungsi
penawaran dari dua macam produk yang
mempunyai hubungan substitusi sebagai
berikut dibawah ini, carilah harga dan
jumlah keseimbangan pasar!
Adanya pajak yang dikenakan pemerintah
atas penjualan suatu barang akan
menyebabkan produsen menaikkan harga
jual barang tersebut sebesar tarif pajak per
unit (t), sehingga fungsi penawaran akan
berubah yang pada akhirnya keseimbangan
pasar akan berubah pula
BAB VII
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Matriks Baris
Matriks kolom
Matriks Nol
Matriks Bujur
Sangkar
Matriks Diagonal
Matriks Satuan (I)
Matriks Skalar
Matriks Segitiga Atas
Matriks Segitiga
Bawah
Matriks Simetris
11.
Matriks Simetri Skew
1. aij = -aji, dan
diagonalnya nol
12.
13.
14.
Matriks Tridiagonal
Matriks Transpose
Matriks Ortogonal
1. Matriks bujur sangkar
yg memenuhi [A][A]T
= [A]T[A]=[ I ]
Determinants are useful in eigenvalue
problems and differential equations.
Can be found only for square matrices.
Simple example: 2nd order determinant
1 3
det A
1* 7 3 * 4 5
4 7
The determinant of a 3X3 matrix is found as
follows:
a11
a12
a13
det A a21
a22
a23 a11
a22
a23
a
a
a12
a21
a23
a
a
a13
a21
a22
a
a32
32
33
31
33
31
The aterms
on
the
RHS
can
be
evaluated
as
a
a
31
32
33
shown for a 2nd order determinant.
det A
a11
a12
a13
a14
a21
a22
a23
a14
a31
a32
a33
a41
a42
a43
a34
a11
0
0
a12
a22
0
a13
a23
a33
a14
a14
a34
a44
0
0
0
a44
det A a11 . a22 . a33 . a44
Bila semua unsur dari suatu baris/kolom = nol,
determinan = nol.
Harga determinan tidak berubah bila semua
unsur baris diubah menjadi unsur kolom dan
semua kolom menjadi baris.
Pertukaran tempat antara baris dengan baris
atau antara kolom dengan kolom akan mengubah
tanda determinan
Bila unsur-unsur baris/kolom dikalikan suatu
faktor, maka determinan harus dikalikan juga.
Bila suatu matriks ada dua baris/ dua kolom yg
identik maka determinannya = nol
Tanpa mengubah harga determinan semua unsur
sebarang baris/kolom dapat dikalikan dgn sebuah
faktor dan menambahkan atau mengurangkan
dari sebarang baris/kolom
Cramer’s: If the determinant of a system of
n equations with n unknowns is nonzero,
that system has precisely one solution.
det(AB)=det(BA)=det(A)det(B)
a11
a12
a13
A a21
a22
a23
a31
a32
a33
minor dari a21
Kofaktor cij ( 1)
i j
a12
a13
a32
a33
cij
Penghitungan Determinan berdasar Ekspansi Baris ke-1
11
Det A a11 ( 1)
a22
a23
a32
a33
1 2
a12 ( 1)
a21
a23
a31
a33
13
a13 ( 1)
a21
a22
a31
a32
Jika det matriks ≠ 0, maka rank r = orde
matriks (n).
Jika det matriks = 0, maka harus dilihat
minor dari matrik tsb. Jika matriks
bujursangkar di dalam determinan ≠ 0,
maka rank =2.
Matriks bujur sangkar orde n dengan rank =
n (det A≠0) disebut matiks non-singular.
Matriks zero memiliki rank = 0.
The rank of a matrix is simply the number
of independent row vectors in that matrix.
The transpose of a matrix has the same
rank as the original matrix.
To find the rank of a matrix by hand, use
Gauss elimination and the linearly
dependant row vectors will fall out, leaving
only the linearly independent vectors, the
number of which is the rank.
Menggunakan Eliminasi Gauss
1 3 3
A 1 4 3
1 3 4
Invers Matrik A
7 3 3
1 1
0
1 0
1
I
II
VI IX
IV VIII
III
V
VII
1 3 31 0 0
1 4 30 1 0
1 3 40 0 1
1 0 0a
b
c
0 1 0d
0 0 1g
e
h
f
i
PENERAPAN
MATRIKS DAN
DETERMINAN
Metode Cramer
Metode Gauss Seidel
Menggunakan Invers Matriks
◦ Ax=b. maka x=A-1b
Metode Gauss
Menentukan invers suatu matrik
Mencari penyelesaian suatu sistem
persamaan linear yang simultan
Determinan Matriks berordo 2x2
Determinan Matriks berordo 3x3
Adjoin Matriks
1.
2.
3.
4.
5.
6.
MATEMATIKA TERAPAN UNTUK BISNIS &
EKONOMI (DUMAIRY/BPFE YOGYAKARTA)
MATEMATIKA UNTUK PERGURUAN TINGGI
(YUSUF YAHYA,D.SURYADI H, AGUS S./GHALIA)
MATEMATIKA EKONOMI (NATA
WIRAWAN/KERARAS EMAS)
MATEMATIKA EKONOMI (WAHYU WIDAYAT/BPFE
YOGYAKARTA)
MATEMATIKA DASAR (DANANG
MURSITA/REKAYASA SAINS)
MATRIKS (RUMIANTA/REKAYASA SAINS)