Modul matematika trigonometri (1)
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
1
Penyusun : Dra. Nuning Sulistyowati
Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.
Imam Indra Gunawan, S.Si.
I. Pengukuran Sudut
Sebelum membahas satuan pengukuran sudut,kita ulang terlebih dahulu
tentang pengertian sudut. Sudut adalah suatu daerah yang dibatasi oleh dua
sinar(garis) yang bersekutu pada titik pangkalnya. Perhatikan pada gambar dibawah
ini:
B
Garis
dan garis
bersekutu di titik O
A
O
Membentuk sudut AOB ditulis ∠AOB
Sudut satu putaran penuh 3600 atau 2 radian(dalam radian). Dengan demikian besar
sudut satu derajat (1°) didefinisikan sebagai ukuran sudut yang besarnya
putaran
penuh dapat dituliskan :
1° =
1
putaran
360°
Ukuran sudut lainnya adalah radian.
Satu radian(1 rad) didefinisikan sebagai besarnya sudut pusat suatu lingkaran yang
menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran
tersebut (lihat gambar).
P
Dapat dituliskan besar POR adalah 1 rad.
r
Untuk satu putaran penuh nilainya sama dengan
r
keliling lingkaran yaitu 2 ,oleh karena itu
O 1 rad
2 ⋅π ⋅ r
1 putaran penuh =
= 2 rad
r
r
R
Hubungan derajat dan radian
0
2 rad = 360
rad = 1800
180°
1 rad =
π
1 rad = 57,30
atau
1° =
π
180°
radian
Contoh
1.Ubahlah besar sudut dalam satuan derajat ke dalam satuan radian
30°
1
=
a. 300 =
x
180°
6
90°
1
b. 900 =
=
x
180°
2
2. Ubahlah besar sudut dalam satuan radian ke dalam satuan derajad
1
4
2
b.
3
a.
1 180°
= 45°
π
4
2 180°
= π ⋅
= 120°
3
π
= π ⋅
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
2
II. NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DARI SUATU SUDUT
Trigonometri terdiri dari sinus(sin), cosinus(cos), tangens(tan),
cotangens(cot), secan(sec), dan cosecan(cosec). Trigonometri merupakan nilai
perbandingan yang dapat didefinisikan pada koordinat Cartesius atau segitiga
siku-siku.
Misal lingkaran L berjari-jari r. Titik P(a, b) terletak pada lingkaran L dan
OP = r , OP membentuk sudut α dengan sumbu x positif.
b ⎛ ordinat ⎞
y
⎟
sin α = = ⎜⎜
r ⎝ jari − jari ⎟⎠
P(a, b)
r
cos α =
tan α =
a ⎛ absis ⎞
⎟
=⎜
r ⎜⎝ jari − jari ⎟⎠
α
x
O
y ⎛ ordinat ⎞
=⎜
⎟
x ⎝ absis ⎠
x ⎛ absis ⎞
=⎜
⎟
y ⎝ ordinat ⎠
r ⎛ jari − jari ⎞
sec α = = ⎜
⎟
x ⎝ absis ⎠
r ⎛ jari − jari ⎞
cosec α = = ⎜
⎟
y ⎝ ordinat ⎠
cot α =
Jika trigonometri didefinisikan dalam segitiga siku-siku maka definisinya adalah
sebagai berikut:
b
c
cosec α =
sin a =
c
b
c
a
c
cos α =
sec α =
b
c
a
α
a
a
cotα =
b
b
tan α =
a
Contoh
Jika sin α = 12 dan 0O < α < 90O, tentukan nilai cos α dan tan α
Jawab:
sin α = 12 dapat digambarkan pada segitiga siku-siku.
2
1
cosα =
3
2
=
1
2
3
tan α =
1
3
=
1
3
3
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
3
α
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
3
1. Nilai Trigonometri Untuk Sudut-Sudut Istimewa
Di dalam trigonometri ada 5 sudut yang dikategorikan sudut istimewa. Kelima
sudut tersebut adalah sudut-sudut yang besarnya 0O , 30O, 45O , 60O , 90O. Nilai
trigonometri untuk sudut-sudut istimewa ini disajikan pada tabel berikut:
0°
30°
45°
60°
90°
1
1
1
1
Sin α
0
2
2
2 3
2
Cos α
1
1
2
3
Tan α
0
1
3
3
Cosec α
-
Sec α
1
Cot α
-
1
2
1
2
2
3
2
3
3
2
2
1
3
-
3
2
3
0
1
2
2
1
3
1
-
3
0
A. Rumus-Rumus Identitas Trigonometri
9
9
9
sin α
cos α
cos α
cot α =
sin α
1
sec α =
cos α
tan α =
1
sin α
9
cosec α =
9
9
9
sin 2 α + cos 2 α = 1
tan 2 α + 1 = sec 2 α
cot 2 α + 1 = cosec2 α
B. Perbandingan trigonometri suatu sudut di berbagai kuadran.
1. Sudut pada kuadran
Sumbu-sumbu pada koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat
daerah yang disebut dengan kuadran. Sehingga besar sudut α dapat
dikelompokkan menjadi 4 daerah seperti yang terlihat pada gambar berikut :
Y
Kuadran II
( -x, y)
900 – 1800
Kuadran I
( x, y)
0
0 – 900
X
0
0
180 – 270
Kuadran III
( -x, - y)
0
0
270 - 360
Kuadran IV
( x, - y)
Pembagian sudut pada tiap kuadran :
Kuadran I
= 0o < α < 90o
Kuadran II = 90o < α < 180o
Kuadran III = 180o < α < 270o
Kuadran IV = 270o < α < 360o
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Dari gambar tersebut nilai ( tanda ) perbandingan trignometri
kuadran dapat dilihat pada tabel sebagai berikut :
Perbandingan
Kuadran
Kuadran
Kuadran
Trigonometri
I
II
III
+
+
Sinus α
+
Cosinus α
+
+
Tangen α
Cosecan α
+
+
+
Secan α
Tangen α
+
+
diberbagai
Kuadran
IV
+
+
-
2. Sudut Berelasi
a. Sudut di kuadran I ( 0o < x < 90o )
Perhatikan segitiga OAP di kuadran I dan titik P ( x,y)
P(x,y)
r
90°– a
Sin ao = y/r
Cos ao = x/ r
Tan ao = y/ x
Sin ( 90o - a) = x/r
Cos ( 90o - a) = y/r
Tg ( 90o - a) = x/y
y
a
x
O
A
Dapat disimpulkan bahwa :
Sin (90o – a ) = Cos ao
Cos (90o – a ) = Sin ao
Tan (90o – a ) = Cot a o
b. Sudut di kuadran II ( 90o < x < 180o )
Perhatikan segitiga OAP di kuadran I, titik P (x,y) dan titik p’ ( -x,y)
P(–x,y)
y
P(x,y)
(180°– a)
r
a
–x
r
90°– a
y
a
O
x
A
Sudut di kuadran II
Sudut di kuadran I
o
Sin ( 180o – a) = y/r
Sin a = y/r
o
Cos ( 180o – a) = – x/r
Cos a = x/r
Tan ( 180o – a) = y/–x
Tan ao = y/x
Dari beberapa rumusan diatas dapat disimpulkan :
Sin ( 180o – ao) = Sin a o
Cos ( 180o – ao) = – Cos a o
Tan ( 180o – ao) = – Tan a o
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
4
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
c.
Sudut di kuadran III ( 180o < x < 270o )
P(x,y)
(180°+ a)
r
y
a
–x
a
–y
90°– a
O
x
A
r
P(–x, –y)
Perhatikan segitiga OAP di kuadran I dan titik P ( x,y) dan
titik P’ (–x, –y) di kuadran III. Diperoleh relasi sebagai berikut :
Sudut di kuadran III
Sudut di kuadran I
o
Sin ( 180o + a) = – y/r
Sin a = y/r
Cos ( 180o + a) = – x/r
Cos ao = x/ r
Tan ( 180o + a) = y/x
Tan ao = y/ x
Dari beberapa rumusan diatas, dapat disimpulkan :
Sin ( 180o + ao) = – Sin ao
Cos ( 180o + ao) = – Cos ao
Tan ( 180o + ao) = Tan ao
d.
Sudut di kuadran IV ( 270o < x < 360o )
Dengan cara yang sama didapat hubungan(relasi) sebagai berikut :
Sin (360o– ao) = – Sin ao
Cos (360o– ao) = Cos ao
Tan (360o– ao) = – Tan ao
Contoh :
1. Tentukan nilai trigonometri berikut :
a. Sin 600
b. Sin 1200
c. Cos 2100
d. Tan 2400
e. Sin 3150
f. Cos 3000
Jawab :
a. Sin 600 = Sin (900 – 300) = Cos 300 = 12 3
b.Sin 1200 = Sin (1800 – 600) = Sin 600 = 12 3
c. Cos 2100 = Cos (1800 + 300) = – Cos 300 = – 12 3
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
5
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
d. Tan 2400 = Tan (1800 + 600) = Tan 600 =
0
0
0
e. Sin 315 = Sin (360 – 45 ) = – Sin 45
0
0
0
3
0
=– 1 2
0
= 1
2
f. Cos 300 = Cos (360 – 60 ) = Cos 60
2
C. Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub/Polar.
P(x,y)
r
y
ao
x
O
A
a. Merubah Koordinat Cartesius ke Koordinat Kutub
Diketahui koordinat P(x, y) →P(r, ao) = …..?
Lihat ∆OAP siku-siku di A
r = x2 + y2 ;
Tan ao =
y
x
y
ao = arc Tan ⎛⎜ ⎞⎟
x
⎝ ⎠
b. Merubah Koordinat Kutub ke Koordinat Cartesius
Diketahui koordinat P(r, ao) →P(x, y) = …..?
Lihat ∆OAP siku-siku di A
Sin ao =
y
r
;
y = r Sin a°
Cos ao = x
r
x = r Cos a°
Contoh
1.Tentukan koordinat kartecius dari titik A( 2,1350)
Jawab
x = r Cos a°
y = r Sin a°
= 2 cos 1350
= 2 sin 1350
0
0
= 2 cos(180 – 45 )
= 2 sin (1800 – 450)
0
= 2 sin 450
= 2. – cos 45
=2.
=2.–
= –
=
Jadi Koordinat kartecius titik A(– ,
)
2.Tentukan koordinat kutub dari titk B(- 2, 2)
Jawab
r=
=
=2
y 2
tan a° = = = - 1
x -2
a = arc tan(–1) maka a = 1350 ( dikuadran II sin (+) dan cos (-))
Jadi koordinat kutub titik B(2 ,1350 )
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
6
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Latihan 1
1. Nyatakan dalam bentuk derajat :
rad
b.
rad
a
c.
rad
d.
2. Nyatakan dalam bentuk radian :
b. 1750
c. 720
a. 1200
3. Tentukan nilai berikut :
a.Sin 1500
c.tan 3300
e. Cos
b.Cosec 450
d.Sin
7
rad
d. 480
f. Sin
4. Hitunglah nilai dari :
a. Cos 2 π – Cos 5 π + Sin 2 π
3
3
0
3
0
b. Sin 60 .Cos 330 + tan 2250
c. (Cos 3000 – Sin 2100) x ( Cos 3000 + Sin 2100 )
tan150° + cos 60°
d.
tan150° − cos 60°
4
e. Jika Cot ß = , tentukan nilai trigonometri berikut:
3
* Sin ß dan tg ß.
* Sec ß dan Ctg ß.
* Cos ß dan Cosec ß
* ( Sin ß )2 + (Cos ß)2
5. Nyatakan titik –titik berikut dalam koordinat kutub !
a. A( 4
4 )
b. B( 5,6 )
c. C(–5, –5
6. Nyatakan titik-titik berikut dalam koordinat Cartecius
b.( 9,1500 )
c.C( 12,2400 )
a. A( 6,300 )
)
III. Aturan Sinus dan Kosinus
a.Aturan Sinus
Dalam segitiga ABC seperti pada gambar berikut :
b
a
c
Dalam ADC, kita tentukan panjang DC ditinjau dari Sin α
Sin α =
maka DC = AC Sin α → DC = b Sin α ........1
Dalam BDC,kita tentukan panjang DC ditinjau dari Sin β
maka DC = BC Sin β → DC = a Sin β.......2
Sin β =
Dari persamaan 1 dan 2 :
DC = DC
b Sin α = a Sin β
=
...............1
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
d.D(–2,2
d.D( 4,1500)
)
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
8
Sama dengan diatas coba tentukan panjang AE jika ditinjau dari Sin β dan Sin γ.
Sin β = → AE = AB Sin β maka AE = c. Sin β dan
Sin γ =
→AE = AC Sin γ maka AE = b. Sin γ
Dari kedua pernyataan diatas diperoleh :
c. Sin β = b. Sin γ
=
.........2
Sehingga dari pers. 1 dan 2 diperoleh aturan sinus berikut :
a
b
c
=
=
Sinα Sinβ Sinγ
Contoh :
1. Diketahui : PQR dengan sisi p = 10 cm dan q = 10 cm,
Tentukan : a. R ,
b.panjang sisi r
Jawab :
a.
R = 1800 – ( P + Q)
= 1800 – ( 600 + 300 )
= 900
=
b. Panjang sisi r →
P = 600 dan
Q = 300
=
r
=
r
=
=
20
3 cm
3
b. Aturan Cosinus
Dalam Segitiga ABC sembarang telah diketahui ukuran sebuah sudut dan dua
sisi yang mengapitnya.Bagaimana menentukan panjang sisi lainnya?perhatikan
gambar dibawah ini
Pada gambar diatas ABC segitiga lancip dan CD
Misal AD = x maka BD = (c – x )
Pada ADC ; CD2 =.........( 1)
Pada BDC ; CD2 = a2 – ( c – x)2 =...... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh :
CD2 = CD2
b2 – x2 = a2 – c2 + 2cx– x2
b2 = a2 – c2 + 2cx
atau
a2 = b2 + c2 – 2bc.....(3)
Cos A =
x = b cos A........(4)
Dalam ADC
Dari persamaan( 3) dan( 4)
AB
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
9
Dengan cara yang serupa dapat kita buktikan pula bahwa :
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B dan c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
Aturan Cosinus :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
Contoh :
1. Diketahui segitiga ABC panjang AB = 7 cm,AC = 8 cm,dan BC = 5 cm
besar sudut-sudut segitiga ABC.
Jawab :
Misal AB = c = 7 cm,AC = b = 8 cm, BC = a = 5 cm
= ,
=
,
=
Degan aturan cosinus diperoleh
a2 = b2 + c2 – 2bc cos
=
Jadi
0,7857
α= 38,21°
= arc cos 0,7857
dapat ditentukan dengan cara berikut :
Sudut
2
=
2
b = a + c2 – 2ac cos
=
Cos
=
=
Jadi
=
= arc cos 0,1429
0, 1429
β = 81,790
Dengan demikian, kita dapat menentukan
yaitu :
= 1800 – 38,210 – 81,790 = 600
c. Luas Segitiga
Misal diketahui segitiga ABC sembarang
Jika panjang alas dan tinggi segitiga diketahui maka
kita dapat menentukan luas daerah yaitu:
L=
1
x alas x tinggi
2
Rumus luas segitiga tersebut dapat dikembangkan
menjadi luas segitiga yang lain dengan menggunakan
Unsur trigonometri.
•
L=
x alas x tinggi
L=
xcxt
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Pada segitiga ACP
Sehingga L =
•
t = b.sin A
x c .b.sin A
L=
x alas x tinggi
L=
xcxt
Pada segitiga BPC
Sin B =
t = a.sin B
x c .a.sin B
Sehingga L =
•
Sin A =
10
Pada aturan sinus berlaku :
Sin B =
L=
x a.c.sin B
Sehingga, L =
•
L=
x a.c.
x a.b.sin C
Berdasarkan penjelasan diatas,Luas daerah segitiga ABC dapat ditentukan
apabila panjang dua sisi dan satu sudut apitnya diketahui.
Luas ∆ABC = 12 .a.b. sin C
Luas ∆ABC = 12 .a.c. sin B
Luas ∆ABC = 12 .b.c. sin A
Luas segitiga ABC dapat pula ditentukan apabila panjang ketiga sisinya diketahui
L = s( s − a)(s − b)(s − c)
1
1
Dengan S = keliling = (a+b+c)
2
2
Contoh :
1. Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui a = 3 cm,b = 6 cm,dan
Jawab :
=
cm2
L = a.b. sin C = 3.6.sin 450 = 18
= 450
2. Tentukan luas segitiga ABC bila diketahui panjang sisi- sisinya, masing-masing
AB = 4 cm,AC = 5 cm dan BC = 7 cm!
Jawab :
Keliling segitiga = AB + AC + BC
= 4 + 5 + 7 = 16 cm
Sehingga :
S = x 16 = 8 cm
L=
L =
=
=4
cm2
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
11
Latihan 2.
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar!
1. Dari segitiga ABC , jika diketahui dengan panjang a = 2 cm, panjang b = 2 3
cm, dan besar sudut C = 30O. Tentukan Panjang sisi c = ....
2. Pada segitiga PQR sudut P = 300,p = 4 cm,dan q = 5 cm.Tentukan
dan
panjang sisi r !
3. Pada segita ABC,diketahui BC =4 cm,AC = 5cm dan
= 450,Tentukan
panjang AB dan besar sudut B!
4. Suatu segitiga ABC diketahui
= 450,
= 650 jika panjang c = 18
cm.Tentukan luas segitiga tersebut!
5. Tentukan luas segitiga ABC,jika diketahui panjang AB = 10 cm, BC = 8
cm,dan AC = 6 cm.
6. Dalam segitiga PQR diketahui panjang PQ = 6 cm dan PR = 10 cm jika luas
segitiga PQR = 15 cm2,tentukan panjang QR tersebut!
= 500,
= 700 ,dan panjang b = 12
7. Pada segitiga ABC diketahui
Tentukan panjang sisi a dan c
IV. Rumus-Rumus Fungsi Trigonometri Untuk Jumah dan Selisih Dua Sudut
cos( A + B )
cos( A − B )
sin( A + B )
sin( A − B )
cos A. cos B − sin A. sin B
cos A. cos B + sin A. sin B
sin A. cos B + cos A. sin B
sin A. cos B − cos A. sin B
tan A + tan B
e. tan( A + B ) =
1 − tan A. tan B
tan A − tan B
f. tan( A − B ) =
1 + tan A. tan B
a.
b.
c.
d.
=
=
=
=
Contoh
1. Hitunglah Cos 150 dan Cos 1050 tanpa menggunakan tabel matematika
atau kalkulator.
Jawab :
a.Cos 150
= Cos( 45 – 30)0
= cos 450.cos 300 + sin450 sin300
=(
)(. (
) +(
)( )
+
=
=
0
b. Cos 105
(
)
0
= Cos ( 60 + 450 )
= cos 600cos 450 – sin 600 sin 450
= .(
)-(
)(
)
=
-
= (
-
)
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
2. Buktikan bahwa cos (
Bukti :
Ruas kiri
) + cos (
= cos (
)=
) + cos (
=( cos
cos a – sin
= 2 cos
cos a
= 2(
) cos a
12
cos a
)
sin a ) + ( cos
cos a + sin
sin a )
=
cos a
= Ruas kanan (terbukti)
3. Hitung nilai Sin 750 tanpa menggunakan kalkulator atau tabel matematika
Jawab :
Sin 750
= Sin(450 + 300 )
= sin 450 cos 300 + cos 450sin 300
)(
)+(
)( )
=(
+
=
=
(
+
)
4. Diketahui sin A = ,cos B =
,sudut A dan B lancip.Hitunglah nilai
tan( A – B )!
Jawab :
AP =
=
=
=
RS
=4
=
=
=
=
=5
tan A =
tan B =
Tan (A – B ) =
=
=
=
x
=
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
V.Rumus-Rumus Sudut Rangkap
a. sin 2 A = 2 sin A. cos A
b. cos 2 A = cos 2 A − sin 2 A
= 1− 2 sin 2 A
= 2 cos 2 A − 1
2 tan A
c. tan 2 A =
1 − tan 2 A
Contoh
1.Diketahui Sin A = dan sudut A lancip
Hitunglah sin 2A,cos 2A,tan 2A
Jawab :
Perhatikan gambar disamping
Sin A = maka BC = 4,dan AC = 5
AB =
=
= 3 Sehingga Cos A =
=
=
Tan A =
Dengan demikian :
Sin 2A
= 2 sin A.cos A
= 2( )( )
=
Cos 2A
=
2
=( ) – (
=
Tan 2 A =
2
–
=–
2 tan A
1 − tan 2 A
=
=
=
x - =-
=
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
13
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
14
VI. Rumus Perkalian Cosinus Dan Sinus
a.
b.
c.
d.
2. cos A. cos B
2. sin A. sin B
2. sin A. cos B
2. cos A. sin B
=
=
=
=
cos( A + B ) + cos( A − B )
cos( A + B ) − cos( A − B )
sin( A + B ) + sin( A − B )
sin( A + B ) − sin( A − B )
Contoh
1.Hitunglah nilai dari (cos 750 sin 150),tanpa menggunakan tabel matematika
atau kalkulator.
Jawab :
2 cos A.sin B
= sin(A+B) – sin(A – B)
Cos A.sin B
=
Sehingga :
Cos 750.sin 150 =
= (sin 900 - sin 600 )
=
(1-
=
1 1
−
3
2 4
)
VII. Rumus Jumlah dan Selisih Cosinus dan Sinus
a. cos C + cos D = 2 cos
(C + D ) . cos (C − D )
2
2
(C + D ) . cos (C − D )
b. cos C − cos D = − 2 cos
2
2
(
(
C + D)
C − D)
c. sin C + sin D = 2 sin
. cos
2
2
(
(
C + D)
C − D)
d. sin C − sin D = 2 cos
. sin
2
2
Contoh
1. Nyatakan bentuk perkalian berikut dan sederhanakan jika mungkin
a. Sin 750 + Sin 150
Jawab :
Sin C + Sin D
= 2 sin (C + D).cos (C – D).maka
Sin 750 + Sin 150
= 2 sin (
).cos (
0
0
= 2 sin 45 .cos 30
= 2(
)(
)
=
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
).
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
b.Sin 3x – sin x
Jawab :
Sin C – sin D = 2 cos (C + D).sin (C – D ) maka
Sin 3x – sin x
= 2 cos (3x+ x).sin (3x – x )
= 2 cos 2x .sin x
Latihan 3
Kerjakan soal-soal berikut dengan jawaban yang tepat!
1. sin 3A =....
2. sin 4A =....
3. 2 sin 500 cos 400 + 2 cos 200 sin 100 =.........
3
π
4. Jika α + β = dan cos α . cos β = , maka cos (α − β ) = ....
6
4
5. Jika tan = a , maka cos 2 = .......
6. sin 4 x. sin 3x − cos 4 x. cos 3x = ....
7. Untuk semua nilai A, bentuk sin (A + 30O) + cos (A + 60O) sama
dengan ....
8. sin 3x + sin 7 x = ....
9. Tan 700 + tan 200 =.....
10. 4 cos (15 + a)0 cos( 15 – a )0 =....
== oOo ==
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
15
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
16
Bagaimana Mendapatkan Modul Ini
Di Internet Secara GRATIS?
Modul ini bersama modul-modul yang lain,
serta semua informasi tentang E-Learning
matematika SMA-SMK dapat kalian manfaatkan secara GRATIS .
Semua modul merupakan hasil karya semua anggota MGMP Matematika SMK Kota Pasuruan.
Mohon maaf apabila ada kesalahan penulisan. Tahun pelajaran 2010/2011 merupakan tahun pertama
kami merintis. Akan kami revisi di tahun pelajaran berikutnya. Kritik dan saran kami terima lewat
E-mail : mgmpmtk_smkpasuruan@yahoo.co.id
Bagaimana caranya memanfaatkannya :
A. Weblog : www.matematika-pas.blogspot.com
(i) Buka browser internet (contoh : Mozilla Firefox, Opera, Internet Explorer, Google Crome, dll)
(ii) Pada Addres (alamat) gantilah dengan : www.matematika-pas.blogspot.com lalu tekan Enter
(iii) Untuk mendapatkan Modul Ini secara GRATIS, pilih menu Modul, lalu pilih Modul yang sesuai & klik
(iv)Terhubung (Link) dengan ziddu.com. Ikuti saja perintahnya. Ulangi beberapa kali jika gagal.
B. Facebook
(i) Masuk akun facebook
(ii) Pada menu Search, ketik : Matematika SMA/SMK lalu tekan Enter
(iii) Klik (Pilih) Matematika SMA/SMK dengan gambar kubus ajaib bertuliskan E-Learning
(iv)Terhubung ke Page (halaman) E-learning Matematika SMA/SMK, Klik Suka (Like)
(v) Semua Informasi E-Learning (Pembelajaran Elektronik) matematika tanpa tatap muka dikelas
secara otomatis akan masuk di Beranda (Home) akun facebook kalian.
(vi) Segera ajak teman-teman facebook kalian untuk bergabung disini.
Tidak semua Internet itu tidak baik, banyak sisi positif yang dapat diambil dari sana. Hanya
keyakinan kita pada ajaran agama masing-masing yang dapat membentenginya. Kami sudah dapat
membuktikannya melalui E-LEARNING MATEMATIKA dengan memanfaatkan Weblog dan Facebook.
Semoga Bermanfaat.
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
E-learning matematika, GRATIS
1
Penyusun : Dra. Nuning Sulistyowati
Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.
Imam Indra Gunawan, S.Si.
I. Pengukuran Sudut
Sebelum membahas satuan pengukuran sudut,kita ulang terlebih dahulu
tentang pengertian sudut. Sudut adalah suatu daerah yang dibatasi oleh dua
sinar(garis) yang bersekutu pada titik pangkalnya. Perhatikan pada gambar dibawah
ini:
B
Garis
dan garis
bersekutu di titik O
A
O
Membentuk sudut AOB ditulis ∠AOB
Sudut satu putaran penuh 3600 atau 2 radian(dalam radian). Dengan demikian besar
sudut satu derajat (1°) didefinisikan sebagai ukuran sudut yang besarnya
putaran
penuh dapat dituliskan :
1° =
1
putaran
360°
Ukuran sudut lainnya adalah radian.
Satu radian(1 rad) didefinisikan sebagai besarnya sudut pusat suatu lingkaran yang
menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran
tersebut (lihat gambar).
P
Dapat dituliskan besar POR adalah 1 rad.
r
Untuk satu putaran penuh nilainya sama dengan
r
keliling lingkaran yaitu 2 ,oleh karena itu
O 1 rad
2 ⋅π ⋅ r
1 putaran penuh =
= 2 rad
r
r
R
Hubungan derajat dan radian
0
2 rad = 360
rad = 1800
180°
1 rad =
π
1 rad = 57,30
atau
1° =
π
180°
radian
Contoh
1.Ubahlah besar sudut dalam satuan derajat ke dalam satuan radian
30°
1
=
a. 300 =
x
180°
6
90°
1
b. 900 =
=
x
180°
2
2. Ubahlah besar sudut dalam satuan radian ke dalam satuan derajad
1
4
2
b.
3
a.
1 180°
= 45°
π
4
2 180°
= π ⋅
= 120°
3
π
= π ⋅
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
2
II. NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DARI SUATU SUDUT
Trigonometri terdiri dari sinus(sin), cosinus(cos), tangens(tan),
cotangens(cot), secan(sec), dan cosecan(cosec). Trigonometri merupakan nilai
perbandingan yang dapat didefinisikan pada koordinat Cartesius atau segitiga
siku-siku.
Misal lingkaran L berjari-jari r. Titik P(a, b) terletak pada lingkaran L dan
OP = r , OP membentuk sudut α dengan sumbu x positif.
b ⎛ ordinat ⎞
y
⎟
sin α = = ⎜⎜
r ⎝ jari − jari ⎟⎠
P(a, b)
r
cos α =
tan α =
a ⎛ absis ⎞
⎟
=⎜
r ⎜⎝ jari − jari ⎟⎠
α
x
O
y ⎛ ordinat ⎞
=⎜
⎟
x ⎝ absis ⎠
x ⎛ absis ⎞
=⎜
⎟
y ⎝ ordinat ⎠
r ⎛ jari − jari ⎞
sec α = = ⎜
⎟
x ⎝ absis ⎠
r ⎛ jari − jari ⎞
cosec α = = ⎜
⎟
y ⎝ ordinat ⎠
cot α =
Jika trigonometri didefinisikan dalam segitiga siku-siku maka definisinya adalah
sebagai berikut:
b
c
cosec α =
sin a =
c
b
c
a
c
cos α =
sec α =
b
c
a
α
a
a
cotα =
b
b
tan α =
a
Contoh
Jika sin α = 12 dan 0O < α < 90O, tentukan nilai cos α dan tan α
Jawab:
sin α = 12 dapat digambarkan pada segitiga siku-siku.
2
1
cosα =
3
2
=
1
2
3
tan α =
1
3
=
1
3
3
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
3
α
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
3
1. Nilai Trigonometri Untuk Sudut-Sudut Istimewa
Di dalam trigonometri ada 5 sudut yang dikategorikan sudut istimewa. Kelima
sudut tersebut adalah sudut-sudut yang besarnya 0O , 30O, 45O , 60O , 90O. Nilai
trigonometri untuk sudut-sudut istimewa ini disajikan pada tabel berikut:
0°
30°
45°
60°
90°
1
1
1
1
Sin α
0
2
2
2 3
2
Cos α
1
1
2
3
Tan α
0
1
3
3
Cosec α
-
Sec α
1
Cot α
-
1
2
1
2
2
3
2
3
3
2
2
1
3
-
3
2
3
0
1
2
2
1
3
1
-
3
0
A. Rumus-Rumus Identitas Trigonometri
9
9
9
sin α
cos α
cos α
cot α =
sin α
1
sec α =
cos α
tan α =
1
sin α
9
cosec α =
9
9
9
sin 2 α + cos 2 α = 1
tan 2 α + 1 = sec 2 α
cot 2 α + 1 = cosec2 α
B. Perbandingan trigonometri suatu sudut di berbagai kuadran.
1. Sudut pada kuadran
Sumbu-sumbu pada koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat
daerah yang disebut dengan kuadran. Sehingga besar sudut α dapat
dikelompokkan menjadi 4 daerah seperti yang terlihat pada gambar berikut :
Y
Kuadran II
( -x, y)
900 – 1800
Kuadran I
( x, y)
0
0 – 900
X
0
0
180 – 270
Kuadran III
( -x, - y)
0
0
270 - 360
Kuadran IV
( x, - y)
Pembagian sudut pada tiap kuadran :
Kuadran I
= 0o < α < 90o
Kuadran II = 90o < α < 180o
Kuadran III = 180o < α < 270o
Kuadran IV = 270o < α < 360o
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Dari gambar tersebut nilai ( tanda ) perbandingan trignometri
kuadran dapat dilihat pada tabel sebagai berikut :
Perbandingan
Kuadran
Kuadran
Kuadran
Trigonometri
I
II
III
+
+
Sinus α
+
Cosinus α
+
+
Tangen α
Cosecan α
+
+
+
Secan α
Tangen α
+
+
diberbagai
Kuadran
IV
+
+
-
2. Sudut Berelasi
a. Sudut di kuadran I ( 0o < x < 90o )
Perhatikan segitiga OAP di kuadran I dan titik P ( x,y)
P(x,y)
r
90°– a
Sin ao = y/r
Cos ao = x/ r
Tan ao = y/ x
Sin ( 90o - a) = x/r
Cos ( 90o - a) = y/r
Tg ( 90o - a) = x/y
y
a
x
O
A
Dapat disimpulkan bahwa :
Sin (90o – a ) = Cos ao
Cos (90o – a ) = Sin ao
Tan (90o – a ) = Cot a o
b. Sudut di kuadran II ( 90o < x < 180o )
Perhatikan segitiga OAP di kuadran I, titik P (x,y) dan titik p’ ( -x,y)
P(–x,y)
y
P(x,y)
(180°– a)
r
a
–x
r
90°– a
y
a
O
x
A
Sudut di kuadran II
Sudut di kuadran I
o
Sin ( 180o – a) = y/r
Sin a = y/r
o
Cos ( 180o – a) = – x/r
Cos a = x/r
Tan ( 180o – a) = y/–x
Tan ao = y/x
Dari beberapa rumusan diatas dapat disimpulkan :
Sin ( 180o – ao) = Sin a o
Cos ( 180o – ao) = – Cos a o
Tan ( 180o – ao) = – Tan a o
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
4
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
c.
Sudut di kuadran III ( 180o < x < 270o )
P(x,y)
(180°+ a)
r
y
a
–x
a
–y
90°– a
O
x
A
r
P(–x, –y)
Perhatikan segitiga OAP di kuadran I dan titik P ( x,y) dan
titik P’ (–x, –y) di kuadran III. Diperoleh relasi sebagai berikut :
Sudut di kuadran III
Sudut di kuadran I
o
Sin ( 180o + a) = – y/r
Sin a = y/r
Cos ( 180o + a) = – x/r
Cos ao = x/ r
Tan ( 180o + a) = y/x
Tan ao = y/ x
Dari beberapa rumusan diatas, dapat disimpulkan :
Sin ( 180o + ao) = – Sin ao
Cos ( 180o + ao) = – Cos ao
Tan ( 180o + ao) = Tan ao
d.
Sudut di kuadran IV ( 270o < x < 360o )
Dengan cara yang sama didapat hubungan(relasi) sebagai berikut :
Sin (360o– ao) = – Sin ao
Cos (360o– ao) = Cos ao
Tan (360o– ao) = – Tan ao
Contoh :
1. Tentukan nilai trigonometri berikut :
a. Sin 600
b. Sin 1200
c. Cos 2100
d. Tan 2400
e. Sin 3150
f. Cos 3000
Jawab :
a. Sin 600 = Sin (900 – 300) = Cos 300 = 12 3
b.Sin 1200 = Sin (1800 – 600) = Sin 600 = 12 3
c. Cos 2100 = Cos (1800 + 300) = – Cos 300 = – 12 3
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
5
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
d. Tan 2400 = Tan (1800 + 600) = Tan 600 =
0
0
0
e. Sin 315 = Sin (360 – 45 ) = – Sin 45
0
0
0
3
0
=– 1 2
0
= 1
2
f. Cos 300 = Cos (360 – 60 ) = Cos 60
2
C. Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub/Polar.
P(x,y)
r
y
ao
x
O
A
a. Merubah Koordinat Cartesius ke Koordinat Kutub
Diketahui koordinat P(x, y) →P(r, ao) = …..?
Lihat ∆OAP siku-siku di A
r = x2 + y2 ;
Tan ao =
y
x
y
ao = arc Tan ⎛⎜ ⎞⎟
x
⎝ ⎠
b. Merubah Koordinat Kutub ke Koordinat Cartesius
Diketahui koordinat P(r, ao) →P(x, y) = …..?
Lihat ∆OAP siku-siku di A
Sin ao =
y
r
;
y = r Sin a°
Cos ao = x
r
x = r Cos a°
Contoh
1.Tentukan koordinat kartecius dari titik A( 2,1350)
Jawab
x = r Cos a°
y = r Sin a°
= 2 cos 1350
= 2 sin 1350
0
0
= 2 cos(180 – 45 )
= 2 sin (1800 – 450)
0
= 2 sin 450
= 2. – cos 45
=2.
=2.–
= –
=
Jadi Koordinat kartecius titik A(– ,
)
2.Tentukan koordinat kutub dari titk B(- 2, 2)
Jawab
r=
=
=2
y 2
tan a° = = = - 1
x -2
a = arc tan(–1) maka a = 1350 ( dikuadran II sin (+) dan cos (-))
Jadi koordinat kutub titik B(2 ,1350 )
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
6
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Latihan 1
1. Nyatakan dalam bentuk derajat :
rad
b.
rad
a
c.
rad
d.
2. Nyatakan dalam bentuk radian :
b. 1750
c. 720
a. 1200
3. Tentukan nilai berikut :
a.Sin 1500
c.tan 3300
e. Cos
b.Cosec 450
d.Sin
7
rad
d. 480
f. Sin
4. Hitunglah nilai dari :
a. Cos 2 π – Cos 5 π + Sin 2 π
3
3
0
3
0
b. Sin 60 .Cos 330 + tan 2250
c. (Cos 3000 – Sin 2100) x ( Cos 3000 + Sin 2100 )
tan150° + cos 60°
d.
tan150° − cos 60°
4
e. Jika Cot ß = , tentukan nilai trigonometri berikut:
3
* Sin ß dan tg ß.
* Sec ß dan Ctg ß.
* Cos ß dan Cosec ß
* ( Sin ß )2 + (Cos ß)2
5. Nyatakan titik –titik berikut dalam koordinat kutub !
a. A( 4
4 )
b. B( 5,6 )
c. C(–5, –5
6. Nyatakan titik-titik berikut dalam koordinat Cartecius
b.( 9,1500 )
c.C( 12,2400 )
a. A( 6,300 )
)
III. Aturan Sinus dan Kosinus
a.Aturan Sinus
Dalam segitiga ABC seperti pada gambar berikut :
b
a
c
Dalam ADC, kita tentukan panjang DC ditinjau dari Sin α
Sin α =
maka DC = AC Sin α → DC = b Sin α ........1
Dalam BDC,kita tentukan panjang DC ditinjau dari Sin β
maka DC = BC Sin β → DC = a Sin β.......2
Sin β =
Dari persamaan 1 dan 2 :
DC = DC
b Sin α = a Sin β
=
...............1
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
d.D(–2,2
d.D( 4,1500)
)
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
8
Sama dengan diatas coba tentukan panjang AE jika ditinjau dari Sin β dan Sin γ.
Sin β = → AE = AB Sin β maka AE = c. Sin β dan
Sin γ =
→AE = AC Sin γ maka AE = b. Sin γ
Dari kedua pernyataan diatas diperoleh :
c. Sin β = b. Sin γ
=
.........2
Sehingga dari pers. 1 dan 2 diperoleh aturan sinus berikut :
a
b
c
=
=
Sinα Sinβ Sinγ
Contoh :
1. Diketahui : PQR dengan sisi p = 10 cm dan q = 10 cm,
Tentukan : a. R ,
b.panjang sisi r
Jawab :
a.
R = 1800 – ( P + Q)
= 1800 – ( 600 + 300 )
= 900
=
b. Panjang sisi r →
P = 600 dan
Q = 300
=
r
=
r
=
=
20
3 cm
3
b. Aturan Cosinus
Dalam Segitiga ABC sembarang telah diketahui ukuran sebuah sudut dan dua
sisi yang mengapitnya.Bagaimana menentukan panjang sisi lainnya?perhatikan
gambar dibawah ini
Pada gambar diatas ABC segitiga lancip dan CD
Misal AD = x maka BD = (c – x )
Pada ADC ; CD2 =.........( 1)
Pada BDC ; CD2 = a2 – ( c – x)2 =...... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh :
CD2 = CD2
b2 – x2 = a2 – c2 + 2cx– x2
b2 = a2 – c2 + 2cx
atau
a2 = b2 + c2 – 2bc.....(3)
Cos A =
x = b cos A........(4)
Dalam ADC
Dari persamaan( 3) dan( 4)
AB
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
9
Dengan cara yang serupa dapat kita buktikan pula bahwa :
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B dan c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
Aturan Cosinus :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
Contoh :
1. Diketahui segitiga ABC panjang AB = 7 cm,AC = 8 cm,dan BC = 5 cm
besar sudut-sudut segitiga ABC.
Jawab :
Misal AB = c = 7 cm,AC = b = 8 cm, BC = a = 5 cm
= ,
=
,
=
Degan aturan cosinus diperoleh
a2 = b2 + c2 – 2bc cos
=
Jadi
0,7857
α= 38,21°
= arc cos 0,7857
dapat ditentukan dengan cara berikut :
Sudut
2
=
2
b = a + c2 – 2ac cos
=
Cos
=
=
Jadi
=
= arc cos 0,1429
0, 1429
β = 81,790
Dengan demikian, kita dapat menentukan
yaitu :
= 1800 – 38,210 – 81,790 = 600
c. Luas Segitiga
Misal diketahui segitiga ABC sembarang
Jika panjang alas dan tinggi segitiga diketahui maka
kita dapat menentukan luas daerah yaitu:
L=
1
x alas x tinggi
2
Rumus luas segitiga tersebut dapat dikembangkan
menjadi luas segitiga yang lain dengan menggunakan
Unsur trigonometri.
•
L=
x alas x tinggi
L=
xcxt
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Pada segitiga ACP
Sehingga L =
•
t = b.sin A
x c .b.sin A
L=
x alas x tinggi
L=
xcxt
Pada segitiga BPC
Sin B =
t = a.sin B
x c .a.sin B
Sehingga L =
•
Sin A =
10
Pada aturan sinus berlaku :
Sin B =
L=
x a.c.sin B
Sehingga, L =
•
L=
x a.c.
x a.b.sin C
Berdasarkan penjelasan diatas,Luas daerah segitiga ABC dapat ditentukan
apabila panjang dua sisi dan satu sudut apitnya diketahui.
Luas ∆ABC = 12 .a.b. sin C
Luas ∆ABC = 12 .a.c. sin B
Luas ∆ABC = 12 .b.c. sin A
Luas segitiga ABC dapat pula ditentukan apabila panjang ketiga sisinya diketahui
L = s( s − a)(s − b)(s − c)
1
1
Dengan S = keliling = (a+b+c)
2
2
Contoh :
1. Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui a = 3 cm,b = 6 cm,dan
Jawab :
=
cm2
L = a.b. sin C = 3.6.sin 450 = 18
= 450
2. Tentukan luas segitiga ABC bila diketahui panjang sisi- sisinya, masing-masing
AB = 4 cm,AC = 5 cm dan BC = 7 cm!
Jawab :
Keliling segitiga = AB + AC + BC
= 4 + 5 + 7 = 16 cm
Sehingga :
S = x 16 = 8 cm
L=
L =
=
=4
cm2
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
11
Latihan 2.
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar!
1. Dari segitiga ABC , jika diketahui dengan panjang a = 2 cm, panjang b = 2 3
cm, dan besar sudut C = 30O. Tentukan Panjang sisi c = ....
2. Pada segitiga PQR sudut P = 300,p = 4 cm,dan q = 5 cm.Tentukan
dan
panjang sisi r !
3. Pada segita ABC,diketahui BC =4 cm,AC = 5cm dan
= 450,Tentukan
panjang AB dan besar sudut B!
4. Suatu segitiga ABC diketahui
= 450,
= 650 jika panjang c = 18
cm.Tentukan luas segitiga tersebut!
5. Tentukan luas segitiga ABC,jika diketahui panjang AB = 10 cm, BC = 8
cm,dan AC = 6 cm.
6. Dalam segitiga PQR diketahui panjang PQ = 6 cm dan PR = 10 cm jika luas
segitiga PQR = 15 cm2,tentukan panjang QR tersebut!
= 500,
= 700 ,dan panjang b = 12
7. Pada segitiga ABC diketahui
Tentukan panjang sisi a dan c
IV. Rumus-Rumus Fungsi Trigonometri Untuk Jumah dan Selisih Dua Sudut
cos( A + B )
cos( A − B )
sin( A + B )
sin( A − B )
cos A. cos B − sin A. sin B
cos A. cos B + sin A. sin B
sin A. cos B + cos A. sin B
sin A. cos B − cos A. sin B
tan A + tan B
e. tan( A + B ) =
1 − tan A. tan B
tan A − tan B
f. tan( A − B ) =
1 + tan A. tan B
a.
b.
c.
d.
=
=
=
=
Contoh
1. Hitunglah Cos 150 dan Cos 1050 tanpa menggunakan tabel matematika
atau kalkulator.
Jawab :
a.Cos 150
= Cos( 45 – 30)0
= cos 450.cos 300 + sin450 sin300
=(
)(. (
) +(
)( )
+
=
=
0
b. Cos 105
(
)
0
= Cos ( 60 + 450 )
= cos 600cos 450 – sin 600 sin 450
= .(
)-(
)(
)
=
-
= (
-
)
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
2. Buktikan bahwa cos (
Bukti :
Ruas kiri
) + cos (
= cos (
)=
) + cos (
=( cos
cos a – sin
= 2 cos
cos a
= 2(
) cos a
12
cos a
)
sin a ) + ( cos
cos a + sin
sin a )
=
cos a
= Ruas kanan (terbukti)
3. Hitung nilai Sin 750 tanpa menggunakan kalkulator atau tabel matematika
Jawab :
Sin 750
= Sin(450 + 300 )
= sin 450 cos 300 + cos 450sin 300
)(
)+(
)( )
=(
+
=
=
(
+
)
4. Diketahui sin A = ,cos B =
,sudut A dan B lancip.Hitunglah nilai
tan( A – B )!
Jawab :
AP =
=
=
=
RS
=4
=
=
=
=
=5
tan A =
tan B =
Tan (A – B ) =
=
=
=
x
=
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
V.Rumus-Rumus Sudut Rangkap
a. sin 2 A = 2 sin A. cos A
b. cos 2 A = cos 2 A − sin 2 A
= 1− 2 sin 2 A
= 2 cos 2 A − 1
2 tan A
c. tan 2 A =
1 − tan 2 A
Contoh
1.Diketahui Sin A = dan sudut A lancip
Hitunglah sin 2A,cos 2A,tan 2A
Jawab :
Perhatikan gambar disamping
Sin A = maka BC = 4,dan AC = 5
AB =
=
= 3 Sehingga Cos A =
=
=
Tan A =
Dengan demikian :
Sin 2A
= 2 sin A.cos A
= 2( )( )
=
Cos 2A
=
2
=( ) – (
=
Tan 2 A =
2
–
=–
2 tan A
1 − tan 2 A
=
=
=
x - =-
=
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
13
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
14
VI. Rumus Perkalian Cosinus Dan Sinus
a.
b.
c.
d.
2. cos A. cos B
2. sin A. sin B
2. sin A. cos B
2. cos A. sin B
=
=
=
=
cos( A + B ) + cos( A − B )
cos( A + B ) − cos( A − B )
sin( A + B ) + sin( A − B )
sin( A + B ) − sin( A − B )
Contoh
1.Hitunglah nilai dari (cos 750 sin 150),tanpa menggunakan tabel matematika
atau kalkulator.
Jawab :
2 cos A.sin B
= sin(A+B) – sin(A – B)
Cos A.sin B
=
Sehingga :
Cos 750.sin 150 =
= (sin 900 - sin 600 )
=
(1-
=
1 1
−
3
2 4
)
VII. Rumus Jumlah dan Selisih Cosinus dan Sinus
a. cos C + cos D = 2 cos
(C + D ) . cos (C − D )
2
2
(C + D ) . cos (C − D )
b. cos C − cos D = − 2 cos
2
2
(
(
C + D)
C − D)
c. sin C + sin D = 2 sin
. cos
2
2
(
(
C + D)
C − D)
d. sin C − sin D = 2 cos
. sin
2
2
Contoh
1. Nyatakan bentuk perkalian berikut dan sederhanakan jika mungkin
a. Sin 750 + Sin 150
Jawab :
Sin C + Sin D
= 2 sin (C + D).cos (C – D).maka
Sin 750 + Sin 150
= 2 sin (
).cos (
0
0
= 2 sin 45 .cos 30
= 2(
)(
)
=
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
).
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
b.Sin 3x – sin x
Jawab :
Sin C – sin D = 2 cos (C + D).sin (C – D ) maka
Sin 3x – sin x
= 2 cos (3x+ x).sin (3x – x )
= 2 cos 2x .sin x
Latihan 3
Kerjakan soal-soal berikut dengan jawaban yang tepat!
1. sin 3A =....
2. sin 4A =....
3. 2 sin 500 cos 400 + 2 cos 200 sin 100 =.........
3
π
4. Jika α + β = dan cos α . cos β = , maka cos (α − β ) = ....
6
4
5. Jika tan = a , maka cos 2 = .......
6. sin 4 x. sin 3x − cos 4 x. cos 3x = ....
7. Untuk semua nilai A, bentuk sin (A + 30O) + cos (A + 60O) sama
dengan ....
8. sin 3x + sin 7 x = ....
9. Tan 700 + tan 200 =.....
10. 4 cos (15 + a)0 cos( 15 – a )0 =....
== oOo ==
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
15
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
16
Bagaimana Mendapatkan Modul Ini
Di Internet Secara GRATIS?
Modul ini bersama modul-modul yang lain,
serta semua informasi tentang E-Learning
matematika SMA-SMK dapat kalian manfaatkan secara GRATIS .
Semua modul merupakan hasil karya semua anggota MGMP Matematika SMK Kota Pasuruan.
Mohon maaf apabila ada kesalahan penulisan. Tahun pelajaran 2010/2011 merupakan tahun pertama
kami merintis. Akan kami revisi di tahun pelajaran berikutnya. Kritik dan saran kami terima lewat
E-mail : mgmpmtk_smkpasuruan@yahoo.co.id
Bagaimana caranya memanfaatkannya :
A. Weblog : www.matematika-pas.blogspot.com
(i) Buka browser internet (contoh : Mozilla Firefox, Opera, Internet Explorer, Google Crome, dll)
(ii) Pada Addres (alamat) gantilah dengan : www.matematika-pas.blogspot.com lalu tekan Enter
(iii) Untuk mendapatkan Modul Ini secara GRATIS, pilih menu Modul, lalu pilih Modul yang sesuai & klik
(iv)Terhubung (Link) dengan ziddu.com. Ikuti saja perintahnya. Ulangi beberapa kali jika gagal.
B. Facebook
(i) Masuk akun facebook
(ii) Pada menu Search, ketik : Matematika SMA/SMK lalu tekan Enter
(iii) Klik (Pilih) Matematika SMA/SMK dengan gambar kubus ajaib bertuliskan E-Learning
(iv)Terhubung ke Page (halaman) E-learning Matematika SMA/SMK, Klik Suka (Like)
(v) Semua Informasi E-Learning (Pembelajaran Elektronik) matematika tanpa tatap muka dikelas
secara otomatis akan masuk di Beranda (Home) akun facebook kalian.
(vi) Segera ajak teman-teman facebook kalian untuk bergabung disini.
Tidak semua Internet itu tidak baik, banyak sisi positif yang dapat diambil dari sana. Hanya
keyakinan kita pada ajaran agama masing-masing yang dapat membentenginya. Kami sudah dapat
membuktikannya melalui E-LEARNING MATEMATIKA dengan memanfaatkan Weblog dan Facebook.
Semoga Bermanfaat.
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan