S MAT 1200456 Chapter3

(1)

BAB III

METODE PENELITIAN

Pada bab ini akan dikemukakan metode-metode yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Metode-metode pada bab ini yaitu metode Value at Risk dengan pendekatan distribusi normal maupun pendekatan ekspansi cornish fisher dan metode rantai Markov.

3.1. VALUEATRISK

Pengkajian dalam permasalahan perubahan indeks harga saham dapat terjadi kapan saja dengan waktu yang tidak menentu, hal tersebut mengakibatkan terjadinya ketidakpastian terhadap perubahan indeks harga saham yang menyebabkan timbulnya suatu risiko. Pengkajian dalam permasalahan tersebut ditujukan untuk memperoleh pendekatan terhadap perubahan indeks harga saham untuk meminimumkan risiko yang akan diperoleh.

Salah satu metode yang digunakan untuk melakukan pengukuran risiko adalah metode Value at Risk (VaR) yang diperkenalkan oleh Morgan pada tahun 1994. Menurut Harper (dalam Putri, 2012, hlm. 4) mengemukakan bahwa VaR digunakan untuk mengukur kemungkinan terburuk yang akan dialami pada suatu periode dengan tingkat kepercayaan tertentu dengan kondisi pasar normal dengan selang waktu, tingkat kepercayaan dan besar kerugian. Menurut Jorion (2002) Value at Risk (VaR) adalah suatu metode pengukuran risiko yang menggunakan teknik statistik.

Sedangkan “VaR adalah ukuran statistik risiko yang memperkirakan kerugian maksimum yang mungkin dialami pada portofolio dengan tingkat kepercayaan tertentu” (Angelovska, 2013).

Berdasarkan hal tersebut maka dapat ditarik kesimpulan bahwa VaR merupakan suatu model yang dapat digunakan untuk memperkirakan risiko

(2)

maksimum pada selang waktu tertentu t dengan tingkat kepercayaan tertentu secara teoritis.

Definisi 3.1.1 Value at Risk (VaR)(Candelon, dkk. 2008, hlm. 6). VaR dapat didefinisikan sebagai:

( �< � � − � = − � .

dimana,

: suatu peubah acak yang menyatakan return dari saham tunggal yang memiliki fungsi distribusi � . ;

− � : tingkat kepercayaan.

Oleh karena itu, definisi VaR dapat ditulis dalam bentuk lain yaitu sebagai berikut:

( � < � � − � = − �

 _� ₍_� _{− �} _{= − �}

 _� _� _{− �} = �_��− − � . Berdasarkan persamaan 3.2 diperoleh bahwa VaR sangat bergantung pada suatu fungsi distribusi, sehingga nilai VaR dapat ditentukan melalui sebuah distribusi atau juga dapat diperoleh dari nilai persentil dari suatu distribusinya.

3.1.1.Pendekatan Distribusi Normal (Variance-Covariance)

Perhitungan VaR untuk distribusi normal yang disimbolkan oleh Ψ_normal dengan − � = (Jorion, 1975, hlm. 84 – 88) ditulis sebagai berikut:

Ψnormal= +Φ− � .

dengan Φ�− , dan � secara berurutan didefinisikan sebagai bentuk kuartil dari distribusi return, konstanta drift dan volatility.

Drift (Yuhan, 2013, hlm.13) didefinisikan sebagai perkalian dari periode waktu dengan mean dengan rumus sebagai berikut:

(3)

Volatility (Yuhan, 2013, hlm.13) merupakan ukuran ketidakpastian dari data deret waktu keuangan atau risiko yang mungkin dihadapi investor dengan rumus sebagai berikut:

� =√ × �̂ . Kuantil bawah untuk suatu tingkat kepercayaan q yang disimbolkan dengan Φ− dapat dilihat pada Tabel 3.1.

TABEL 3.1 KUANTIL BAWAH DISTRIBUSI NORMAL BAKU TINGKAT KEPERCAYAAN (%)

− � 99,99 99,9 99 97,72 97,5 95 90 84,13 50

Φ�− -3,715 -3,090 -2,326 -2,000 -1,960 -1,645 -1,282 -1,000 -0,000

Contoh 3.1.1 Misalkan � , � , … , � adalah sampel acak berukuran 100 yang berasal dari distribusi normal umum dengan rataan 5 dan varians 1. Dengan memilih � = , tentukan penaksir dari Ψ_normal.

Penyelesaian:

Diketahui : =

�~ ,

̂ = �̂= � = , .

Karena �~ , dan � = , , maka berdasarkan tabel 3.1 diperoleh Φ�− = − ,

Akan dihitung nilai konstanta drift dan volatility = ×̂

= × =

� =√ × �̂

= √ × =

(4)

Ψnormal= +Φ− �

= + − , × = ,

Sehingga diperoleh Ψ_normal= , .

3.1.2.Pendekatan Ekspansi Cornish Fisher �_��

Pendekatan VaR secara konvensional cenderung lebih tekait dengan asumsi bahwa sampel berasal dari populasi berdistribusi normal. Namun, “data keuangan di Indonesia menunjukan penyimpangan dari normalitas yaitu parameter skewness yang menunjukkan derajat ketaksimetrisan dari distribusi di antara nilai rata-ratanya sehingga hal tersebut dapat memberikan gambaran intuitif ke arah mana kira-kira bentuk asimetri dari ekor gemuk distribusinya” (Situngkir & Surya, 2004). Selain itu, menurut Chatterjee (2014, hlm.73) dua momen yang sangat perlu diperhatikan dalam perhitungan risk management adalah momen ketiga yaitu skewness dan momen keempat yaitu kurtosis. Pendekatan ekspansi Cornish Fisher tidak menggunakan asumsi distribusi normal, dan juga memperhatikan momen ketiga dan keempat untuk menyesuaikan kuantil tertentu yang membentuk kurtosis dan skewness. Suarez, dkk (ditulis dalam Yuhan (2013)) menunjukan bagaimana kuantil tertentu dengan menggunakan skewness dan kurtosis melalui ekspansi Cornish-Fisher dapat dilihat pada Lampiran 4, sehingga diperoleh sebagai berikut:

Φ− = Φ− + Φ

− ₋

+ Φ

− _{− Φ}−

′

− Φ

− _{− Φ}−

. dimana,

: skewness

: kurtosis

′ _{: kelebihan}_kurtosis

Dengan penyesuaian ini maka dapat dihitung Ψ_SK dengan pendekatan ekspansi Cornish Fisher sebagai berikut,

(5)

Contoh 3.1.2 Berdasarkan contoh 3.1.1 jika berikan informasi tambahan bahwa dari sampel acak tersebut memiliki nilai skewness 2 dan nilai kurtosis 5. Dengan memilih � = , tentukan penaksir dari � _� dengan pendekatan ekspansi Cornish Fisher.

Penyelesaian:

Diketahui : =

�~ ,

̂ = �̂= � = ,

: 2

: 5 ′ _{: 2}

Akan dihitung nilai Φ�− ,

Berdasarkan tabel 3.1 diperoleh Φ�− =(− , , sehingga

Φ�− = Φ�− + Φ�

− ₋

+(Φ�− − Φ�− ′ −( Φ�− − Φ�−

= − , + − , − × +( − , − × − , ×

−( × − , − × − , ×

= − ,

Akan dihitung nilai konstanta drift dan volatility = ×̂

= × =

� =√ × �̂

= √ × =

Maka berdasarkan persamaan (3.7) diperoleh Ψ_normal sebagai berikut: ΨSK = +Φ− �

= + − , × = ,

(6)

3.2. RANTAI MARKOV

Selain menggunakan metode Value at Risk dapat juga digunakan metode lainnya yang dapat meninjau permasahan dalam analisis Indeks Harga Saham dari sisi teknik deskriptifnya. Salah satu metode yang merupakan teknik deskriptif yang dapat membantu menyelesaikan masalah tersebut adalah metode rantai Markov, yang dapat digunakan untuk melakukan pengkajian dengan cara mengkalkulasi kemungkinan kondisi indeks harga saham yang akan terjadi berikutnya.

Rantai Markov dikemukakan oleh Andrei A. Markov (1856-1922) sebagai orang pertama yang mempublis hasil penelitiannya pada tahun 1906. Rantai Markov dikenal sebagai stochastic process yang memiliki sifat-sifat khusus yaitu jika state

untuk sekarang diketahui, maka peluang state dari proses pada waktu mendatang hanya dipengaruhi oleh state proses sekarang saja dan tidak dipengaruhi oleh state

pada waktu-waktu yang lampau, dimana proses stokastik merupakan salah satu ilmu yang mempelajari hubungan dinamis dari suatu runtunan pristiwa yang memiliki sifat ketidakpastian. Berdasarkan penjabaran tersebut maka dapat disimpulkan bahwa rantai Markov merupakan rangkaian proses state dimana peluang bersyarat state yang akan datang tergantung pada state sekarang.

Beberapa asumsi dalam penggunaan metode rantai Markov adalah sebagai berikut:

1. Banyaknya keadaan terbatas;

2. Jumlah peluang transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama dengan 1 ; 3. Peluang- peluang tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam sistem; 4. Peluang transisi akan bernilai konstan setelah periode waktu tertentu.

Terdapat tiga prosedur utama yang akan dilakukan yaitu sebagai berikut: 1. Menyusun matriks peluang transisi.

2. Menghitung peluang suatu kejadian di waktu yang akan datang. 3. Menentukan kondisi steady state.

(7)

Definisi 3.2.1 Proses Rantai Markov (Markov Chain Process) (Ching & Ng, 2006, hal. 2). Andaikan terdapat probabilitas bersyarat dari kejadian mendatang dengan kejadian masa lampau dan kejadian saat ini adalah independen terhadap kejadian di waktu lalu dan hanya tergantung pada kejadian saat ini sebagai berikut:

(� �+ _{= |�} � _{= , �} �− ₌

�− , … , � = = , .

dimana , , , , … , _�− ∈ , maka hal tersebut disebut dengan proses rantai Markov.

Berdasarkan ruang keadaan dan ruang parameternya, proses markov dapat dikelompokan sebagai berikut:

TABEL 3.2 KLASIFIKASI PROSES RANTAI MARKOV

RUANG PARAMETER

DISKRIT KONTINU

RUANG KEADAAN

DISKRIT Rantai Markov Parameter Diskrit

Rantai Markov Parameter Kontinu

KONTINU Proses Markov Parameter

Diskrit

Proses Markov Parameter Kontinu

Jadi, rantai markov adalah proses Markov dengan ruang keadaan diskrit. Untuk rantai Markov dengan ruang parameter diskrit biasa juga disebut sebagai rantai Markov.

Definisi 3.2.2 Matriks Transisi Dari Rantai Markov (Anton & Rorres, 2011, hlm. 554). Jika sebuah rantai Markov mempunyai kemungkinan state, yang dinotasikan dengan 1, 2, ..., , maka probabilitas bahwa sistem berada dalam state pada suatu pengamatan setelah mengalami state pada pengamatan sebelumnya, dilambangkan dengan pij, dan disebut dengan transition probability (probabilitas transisi) dari state ke state . Matriks = [ ] disebut dengan matriks transisi dari rantai Markov (matrix transition Markov chain).

Misal {� , = , , , …} didefinisikan sebagai barisan data observasi dan � didefinisikan sebagai jumlah peralihan state ke state dalam satu langkah dimana < , dan merupakan bilangan asli. Maka berdasarkan definisi 3.2.2,

(8)

dapat dikontruksi sebuah matriks � dengan menggunakan {� } sedemikian sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

� =

� � … �

� � _{… �}⋱

)

Misal merupakan peluang transisi dari state ke state dalam satu langkah dimana < , dan merupakan bilangan asli.Berdasarkan matriks � maka dapat diperoleh matriks sebagai berikut:

… … ⋱ …

) dimana,

= { �

∑ ₌ � ; ∑ �₌ > ; ∑ �

Pada sebuah rantai Markov, state sistem pada suatu waktu pengamatan pada umumnya tidak dapat ditentukan secara pasti namun terdapat cara untuk menentukan probabilitas dengan baik secara teoritis untuk setiap state yang mungkin. Sebagai contoh pada sebuah rantai Markov dengan state yang dapat diuraikan kemungkinan

state sistem tersebut pada suatu pengamatan dengan sebuah vektor kolom sebagai berikut:

� = [ ]

dimana merupakan probabilitas bahwa sistem tersebut berada pada state 1, merupakan probabilitas bahwa sistem tersebut berada pada state 2, dan seterusnya hingga yang merupakan probabilitas bahwa sistem tersebut berada pada state . Secara umum hal tersebut didefiniskan sebagai berikut.

(9)

Definisi 3.2.3 State Vector (Anton & Rorres, 2011, hlm. 555). State vector untuk sebuah pengamatan pada suatu rantai Markov yang mempunyai state adalah sebuah vektor kolom x dimana komponen ke-i, yakni xi merupakan probabilitas bahwa sistem berada pada state ke-i pada saat itu.

Contoh 3.2.1 Misal diketahui peluang besok hujan jika hari ini hujan adalah 0,8 dan peluang besok hujan jika hari ini tidak hujan adalah 0,3. Maka tentukan matriks transisi dari permasalahan tersebut.

Penyelesaian:

Karena peluang besok hujan jika hari ini hujan adalah 0,8 maka peluang besok tidak hujan jika hari ini hujan adalah 0,2. Karena peluang besok hujan jika hari ini tidak hujan adalah 0,3 maka peluang besok tidak hujan jika hari ini tidak hujan adalah 0,7. Misal merupakan matriks transisi dari permasalahan tersebut maka,

= [ ,_, ,_{, ]}

Dalam contoh tersebut, matriks transisi rantai Markov memiliki sifat bahwa entri-entri pada masing-masing kolom memiliki jumlah 1, hal tersebut disebabkan karena = [ ] merupakan matriks transisi rantai Markov akibatnya untuk setiap j akan diperoleh + = .

Persamaan Chapman-Kolmogorov (Eunike, 2015, hlm. 5). Persamaan Chapman-Kolmogorov berguna untuk menentukan probabilitas transisi -step, sebagai berikut,

= ∑ −

. , untuk semua , , dan .

Kondisi cuaca hari ini A B

A Kondisi cuaca besok hari B

(10)

Bentuk khusus dari persamaan Chapman-Kolmogorov sebagai berikut: untuk = ,

= ∑ −

. untuk = − ,

=∑ −

. , untuk semua , , .

Oleh karena itu, dapat dihitung dari secara berurutan. Untuk = , maka persamaan Chapman-Kolmogorov menjadi seperti berikut:

= ∑

. , untuk semua , .

Definisi 3.2.4 (Ching & Ng, 2006, hlm. 5). Didefinisikan merupakan matriks

probabilitas dari state i menuju state j setelah n kali transisi. Khususnya = . Teorema 3.2.1 (Ching & Ng, 2006, hlm. 5). = dimana merupakan n-langkah matiks probabilitas transisi dan merupakan matiks probabilitas transisi satu-langkah.

Bukti:

Akan dibuktikan benar untuk = Berdasarkan definisi = Asumsikan benar untuk =

= = … ⏟

Akan ditunjukan benar untuk = +

+ ₌ _∑

∈

= ∑

∈

(11)

Berdasarkan pembuktian dengan menggunakan induksi matematika sehingga terbukti

bahwa = .

Karena merupakan elemen matriks dari matriks maka `dengan

mengalikan matriks probabilitas transisi 1 langkah dengan dirinya sendiri sehingga diperoleh,

= Secara umum maka akan diperoleh,

= �− . Definisi 3.2.5 Reachable (Ching & Ng, 2006, hlm. 7). State dikatakan reachable

dari state jika > untuk . Artinya dengan berawal dari state dapat menuju state dengan transisi.

Definisi 3.2.6 Communicate (Ching & Ng, 2006, hlm. 7). State dan state dikatakan communicate jika state dan state saling reachable.

Definisi 3.2.7 Irreducible (Ching & Ng, 2006, hlm. 8). Rantai markov dikatakan

irreducible jika hanya mempunyai satu kelas saja, jadi semua state saling

communicate.

Definisi 3.2.8 Recurrent dan Transient (Ching & Ng, 2006, hlm. 8). Untuk setiap state pada rantai markov, ambil yang merupakan probabilitas yang diawali dari state , setelah keluar dari state i sistem pasti akan dapat kembali lagi ke state . State

disebut reccurent jika = dan transient jika < .

Definisi 3.2.9 Period dan Aperiodic (Ching & Ng, 2006, hlm. 14). State dikatakan memiliki period jika = untuk setiap n yang tidak bisa dibagi d, dan d adalah bilangan bulat terbesar. Jika state tersebut memiliki period 1 maka disebut aperiodic.

(12)

Definisi 3.2.10 Positif Recurrent (Ching & Ng, 2006, hlm. 14). State dikatakan positif recurrent, jika state recurrent dan jika dimulai dari state , waktu harapan sampai proses kembali lagi ke state adalah terbatas.

Definisi 3.2.11Egordic (Ching & Ng, 2006, hlm. 14). Jika suatu state bersifat positif

recurrent dan aperiodik maka state tersebut disebut ergodic.

Teorema 3.2.2 (Anton & Rorres, 2011, hlm. 555). Jika P merupakan matriks transisi dari rantai Markov dan � adalah state vector pada pengamatan ke- , maka � + _{= �} _.

Bukti:

Karena merupakan matriks transisi dari rantai Markov, dan berdasarkan persamaan Chapman-Kolmogorov diperoleh,

+ _{= .}

karena � adalah state vektor pada pengamatan ke-n yang merupakan salah satu kolom dari , maka jelas � + = �

Contoh 3.2.2 Berdasarkan contoh 3.2.1, tentukanlah vektor keadaan pada pengamatan ke-3 jika diketahui bahwa vektor keadaan awalnya adalah [ ]�. Penyelesaian:

Misal � �menyatakan vektor keadaan pada saat i. Dengan menggunakan teorema 3.2.2 maka diperoleh,

� = �� =[ ,_, ,_, ] [ ]=[ ,_, ]

� = �� =[ ,_, ,_, ] [ ,_, ]=[ ,_, ]

Sehingga diperoleh vektor keadaan pada pengamatan ke-3 yaitu � =[ , , ]�_.

Definisi dan teorema tersebut sangatlah penting untuk mengetahui kondisi setelah proses berjalan lama yaitu � untuk → ∞. Dengan kata lain dapat

(13)

dipelajari kelakuan dari suatu rantai Makov. Sebelumnya akan dilakukan pembahasan terlebih dahulu mengenai rantai Markov dengan matriks peluang transisi regular dan bagaimana distribusi limitnya.

Misalkan adalah matriks peluang transisi dari suatu rantai Markov dengan keadaan yaitu , , … , . Matriks disebut dengan maatriks regular jika memenuhi: (i) Untuk setiap pasangan dan , selalu ada keadaan , , … , dimana

… > ;

(ii) Sekurang-kurangnya terdapat satu keadaan dimana > .

Perhatikan syarat (i) untuk matriks regular dimana … > yang merupakan komponen dari elemen-elemen matriks peluang transisi langkah. Berdasarkan hal tersebut dapat disimpulkan bahwa untuk suatu matriks peluang transisi regular terdapat dimana peluang transisi dari satu kedaan menuju keadaan lainnya dalam langkah selalu bernilai positif. Oleh karena itu suatu matriks peluang transisi dikatakan regular jika memiliki sifat yaitu jika dipangkatkan oleh suatu konstanta positif maka matriks seluruh elemen bernilai positif. matriks peluang transisi dari suatu rantai Markov dengan keadaan demikian disebut dengan regular yang ditulis dalam definisi 3.2.12.

Definisi 3.2.12 Matriks Transisi Reguler (Anton & Rorres, 2011, hlm. 558). Sebuah matriks transisi bersifat reguler jika suatu pangkat bulat dari matriks tersebut mempunyai entri-entri positif.

Teorema 3.2.3 (Anton & Rorres, 2011, hlm. 558). Jika adalah sebuah matriks transisi regular, maka ketika → ∞

→

[

… … ⋱

… _]

dimana adalah bilangan-bilangan positif sedemikian rupa sehingga + + + = .

(14)

Karena merupakan matriks regular, maka irreducible, aperiodic, dan sifat Transien sehingga setelah proses berawal dari keadaan i, peluang untuk kembali ke keadaan i setelah suatu selang interval waktu tertentu sama dengan satu. Berdasarkan hal tersebut dapat dilihat bahwa setiap rantai Markov reguler mempunyai sebuah vektor state tetap sedemikian sehingga � mendekati untuk → ∞ pada sebarang pilihan � dimana hal tersebut ditulis pada teorema 3.2.4.

Teorema 3.2.4 (Anton & Rorres, 2011, hlm. 559). Jika P adalah sebuah matriks transisi regular dan x adalah suatu vektor probabilitas, maka Pn_x_ketika _{→ ∞}_atau ditulis sebagai berikut:

� →

[ ]

dimana q adalah sebuah vektor probabilitas tetap, yang tidak tergantung pada n, dan semua entrinya adalah positif.

Bukti:

Misalkan Q adalah sebuah matriks transisi dimana seluruh kolomnya sama dengan vektor probabilitas q yang didefinisikan sebagai berikut:

= [

… … ⋱ …

] dan = [ ]

Berdasarkan teorema 3.2.3 terlihat bahwa → ketika → ∞. Artinya � → �. Q memiliki sifat jika x adalah suatu vektor probabilitas, maka diperoleh hasil sebagai berikut:

� =

[

… … ⋱

… _][ ] =

[

+ + +

(15)

= + + + [ ]

= =

Karena � → � ketika → ∞ dan � = maka terbukti bahwa � → ketika → ∞.

Sehingga untuk sebuah rantai Markov reguler, sistem tersebut pada akhirnya mendekati sebuah vektor state tetap yang disebut dengan Steady-state vector dari suatu rantai Markov reguler. Selain dengan cara tersebut terdapat cara lain untuk memastikan bahwa merupakan vektor Steady-state yaitu mengecek apakah yang diperoleh memenuhi empat syarat pada definisi 3.2.13 dimana keberadaan tunggal yang ditulis padateorema 3.2.5.

Definisi 3.2.13 (Ching & Ng, 2006, hlm. 15) vektor disebut distribusi stasioner (steady-state) jika memenuhi,

(i) = [ ]

(ii) , ∀

(iii) ∑₌ =

(iv) =

Teorema 3.2.5 (Anton & Rorres, 2011, hlm. 559). Vektor Steady-state q dari sebuah matriks transisi regular P merupakan vektor probabilitas yang unik, yang memenuhi persamaan = .

Bukti:

+ ₌ �+

+ ₌ + _{; karena memenuhi sifat assosiatif} � ₌ + _{; karena}_lim

�→∞

� _{= lim}

(16)

= ; misal q adalah vektor probabilitas dari matriks Q yang menyebabkan = . akan ditunjukan bahwa keberadaan q tunggal.

Misal r merupakan vektor probabilitas lain dari matriks Q yang menyebabkan =

kemudian perhatikan juga bahwa = ; ketika → ∞. Berdasarkan teorema 3.2.4 karena → = ketika → ∞, maka = ketika → ∞ sedangkan

= ketika → ∞, artinya dapat disimpulkan bahwa = . Sehingga terbukti bahwa Vektor Steady-state q dari sebuah matriks transisi regular P merupakan vektor probabilitas yang unik, yang memenuhi persamaan =

Perhatikan bahwa teorema 3.2.5 dapat dinyatakan pula sebagai berikut: =

= � ; �merupakan matriks identitas 0 = � −

0 = � − . Sehingga diperoleh bentuk lainnya dari teorema 3.2.5 yaitu � − = dimana q1 + q2 + ... + qk = 1.

Contoh 3.2.3 Berdasarkan contoh 3.2.1, tentukanlah vektor steady state dan buktikanlah.

Penyelesaian:

Misal menyatakan vektorsteady state. Dengan menggunakan persamaan 3.19 maka diperoleh,

= � −

[ ] = ([ ]−[ , ,

, , ]) [ ]

[ ] = [ , − ,

− , , ] [ ] (i)

Persamaan (i) akan menghasilkan persamaan bebas tunggal sebagai berikut, = , − ,

(17)

dengan memisalkan = dimana merupakan konstanta sembarang maka setiap solusi dari (i) akan berbentuk

= [ ]

Untuk membuat menjadi vektor probabilitas maka tetapkan =

+ =5. Akibatnya

= [ ] = ( ) [ ] = [ ] Akan ditunjukan bahwa merupakan vektor steady-state

(i) = [ ] = [5

]

(ii) Akan ditunjukan bahwa , ∀ = , sehingga =

5 dan = , sehingga = 5

(iii) Akan ditunjukan bahwa ∑₌ =

∑

= + = + =

(iv) Akan ditunjukan bahwa =

[ ,_, ,_, ] [ ]=[ ]=[ ]

Berdasarkan (i), (ii), (iii), dan (iv) maka terbukti bahwa = [5

]merupakan vektor

(18)

3.3. PROSEDUR METODE VALUE AT RISK DENGAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN CORNISH FISHER DAN METODE RANTAI MARKOV

Berdasarkan pembahasan diatas maka dapat ditulis prosedur untuk melakukan analisis pada indeks harga saham. Selanjutnya akan ditulis prosedur analisis indeks harga saham baik menggunakan metode Value at Risk dengan menggunakan pendekatan Cornish Fishermaupun menggunakan metode rantai Markov.

Prosedur metode Value at Risk dengan menggunakan pendekatan Cornish Fisheruntuk menentukan besar risiko maksimal yang mungkin terjadi adalah sebagai berikut:

1. Ambil sampel secara berurutan berdasarkan waktu minimal sebanyak 250 data seperti yang dianjurkan oleh Basel II Accord;

2. Transformasi data indeks harga saham menjadi data return;

3. Hitung nilai rataan, simpangan baku, skewness dan kurtosis pada data yang akan dianalisis;

4. Hitung nilai drift dengan persamaan (3.4) pada data return; 5. volality dengan persamaan (3.5) pada data return;

6. Tentukan tingkat kepercayaan − � ;

7. Cari nilai kuantil bawah distribusi normal baku yang sesuai dengan tingkat kepercayaan yang dipilih (lihat pada tabel 3.1);

8. Hitung Value at Risk menggunakan pendekatan ekspansi Cornish Fisher dengan persamaan (3.10);

9. Interpretasikan hasil perhitungan.

Prosedur penggunaan metode rantai Markov untuk mencari vektor Steady-stateadalah sebagai berikut:

1. Ambil sampel secara berurutan berdasarkan waktu minimal sebanyak 250 data seperti yang dianjurkan oleh Basel II Accord;

2. Tentukan jumlah state pada data yang akan dianalisis; 3. Menentukan matriks transisi rantai Markov;

(19)

5. Mengidentifikasi matriks tersebut apakah merupakan matriks transisi regular; 6. Mencari vektor Steady-state;

(1)

Karena merupakan matriks regular, maka irreducible, aperiodic, dan sifat

Transien sehingga setelah proses berawal dari keadaan i, peluang untuk kembali ke

keadaan i setelah suatu selang interval waktu tertentu sama dengan satu. Berdasarkan

hal tersebut dapat dilihat bahwa setiap rantai Markov reguler mempunyai sebuah

vektor

state

tetap sedemikian sehingga

�

mendekati untuk

→ ∞

pada

sebarang pilihan

�

dimana hal tersebut ditulis pada teorema 3.2.4.

Teorema 3.2.4

(Anton & Rorres, 2011, hlm. 559). Jika P adalah sebuah matriks

transisi regular dan

x

adalah suatu vektor probabilitas, maka P

_x

_ketika

_{→ ∞}

_atau

ditulis sebagai berikut:

� →

[ ]

=

dimana

q

adalah sebuah vektor probabilitas tetap, yang tidak tergantung pada n, dan

semua entrinya adalah positif.

Bukti:

Misalkan

Q

adalah sebuah matriks transisi dimana seluruh kolomnya sama dengan

vektor probabilitas

q

yang didefinisikan sebagai berikut:

= [

…

⋱

…

]

dan

= [ ]

Berdasarkan teorema 3.2.3 terlihat bahwa

→

ketika

→ ∞

. Artinya

� → �

. Q memiliki sifat jika

x

adalah suatu vektor probabilitas, maka diperoleh

hasil sebagai berikut:

�

=

[

…

⋱

…

_][ ]

=

[

+

+ +

+

+ +

(2)

=

+

+ +

[ ]

=

Karena

� → �

ketika

→ ∞

dan

� =

maka terbukti bahwa

� →

ketika

→ ∞

.

Sehingga untuk sebuah rantai Markov reguler, sistem tersebut pada akhirnya

mendekati sebuah vektor

state

tetap yang disebut dengan

Steady-state vector

dari

suatu

rantai Markov reguler. Selain dengan cara tersebut terdapat cara lain untuk

memastikan bahwa

merupakan vektor

Steady-state

yaitu mengecek apakah

yang

diperoleh memenuhi empat syarat pada definisi 3.2.13 dimana keberadaan

tunggal

yang ditulis pada

teorema 3.2.5.

Definisi 3.2.13

(Ching & Ng, 2006, hlm. 15) vektor

disebut distribusi stasioner

(

steady-state

) jika memenuhi,

(i)

= [ ]

(ii)

, ∀

(iii)

∑₌

=

(iv)

=

Teorema 3.2.5

(Anton & Rorres, 2011, hlm. 559). Vektor

Steady-state

q

dari sebuah

matriks transisi regular P merupakan vektor probabilitas yang unik, yang memenuhi

persamaan

=

.

Bukti:

₌

�+

₌

_{; karena memenuhi sifat assosiatif}

�

₌

_{; karena}

_lim

�→∞

�

_{= lim}

(3)

=

; misal

q

adalah vektor probabilitas dari matriks Q yang menyebabkan

=

.

akan ditunjukan bahwa keberadaan

q

tunggal.

Misal

r

merupakan vektor probabilitas lain dari matriks Q yang menyebabkan

=

kemudian perhatikan juga bahwa

=

;

ketika

→ ∞

. Berdasarkan teorema

3.2.4 karena

→

=

ketika

→ ∞

,

maka

=

ketika

→ ∞

sedangkan

=

ketika

→ ∞

, artinya dapat disimpulkan bahwa

=

. Sehingga terbukti

bahwa Vektor

Steady-state

q

dari sebuah matriks transisi regular P merupakan vektor

probabilitas yang unik, yang memenuhi persamaan

=

Perhatikan bahwa teorema 3.2.5 dapat dinyatakan pula sebagai berikut:

=

�

;

�

merupakan matriks identitas

0 =

� −

0 =

� −

.

Sehingga diperoleh bentuk lainnya dari teorema 3.2.5 yaitu

� −

=

dimana q

+

q

+ ... + q

= 1.

Contoh 3.2.3

Berdasarkan contoh 3.2.1, tentukanlah vektor

steady state

dan

buktikanlah.

Penyelesaian:

Misal

menyatakan vektor

steady state

. Dengan menggunakan persamaan 3.19 maka

diperoleh,

=

� −

[ ]

=

([ ]

−

[

,

]) [ ]

[ ]

=

[

,

− ,

,

] [ ]

(i)

Persamaan (i) akan menghasilkan persamaan bebas tunggal sebagai berikut,

=

,

− ,

(4)

dengan memisalkan

=

dimana merupakan konstanta sembarang maka setiap

solusi dari (i) akan berbentuk

= [ ]

Untuk membuat

menjadi vektor probabilitas maka tetapkan

=

. Akibatnya

= [ ] = ( ) [ ] = [ ]

Akan ditunjukan bahwa

merupakan vektor

steady-state

(i)

= [ ] = [

]

(ii)

Akan ditunjukan bahwa

, ∀

=

, sehingga

=

dan

=

, sehingga

=

(iii)

Akan ditunjukan bahwa

∑₌

=

∑

=

+

= + =

(iv)

Akan ditunjukan bahwa

=

[

,

_,

,

_,

] [ ]

=

[ ]

=

[ ]

Berdasarkan (i), (ii), (iii), dan (iv) maka terbukti bahwa

= [

5 5

]

merupakan vektor

steady-state

.

(5)

3.3. PROSEDUR

METODE

VALUE

AT

RISK

DENGAN

MENGGUNAKAN PENDEKATAN CORNISH FISHER DAN

METODE RANTAI MARKOV

Berdasarkan pembahasan diatas maka dapat ditulis prosedur untuk melakukan

analisis pada indeks harga saham. Selanjutnya akan ditulis prosedur analisis indeks