LogikaP8 Ekivalensi Logis
LOGI K A
Ratna Wardani
Pendidikan Teknik Informatika
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
1
M a t e ri Pe rk ulia ha n
Ekivalensi Logis
Pembuktian ekivalensi dengan Tabel Kebenaran
Hukum-hukum Ekivalensi
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
2
Ek iva le nsi Proposisi
Dua buah proposisi majemuk yang secara
sintaksis (tertulis) berbeda dapat memiliki makna
semantik yang sama. Kedua proposisi tersebut
dikatakan “ekivalen”
Kita akan pelajari:
Aturan dan hukum ekivalensi
Bagaimana membuktikan ekivalensi
menggunakan symbolic derivations.
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
3
Ek iva le nsi Logik a
Proposisi majemuk p ekivalen dengan
proposisi majemuk q, ditulis p⇔q, IFF
proposisi majemuk p ⇔ q adalah tautologi
atau kontradiksi.
Proposisi majemuk p dan q ekivalen satu
sama lain IFF p dan q memiliki nilai
kebenaran yang sama pada semua barisnya
di tabel kebenaran
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
4
M e m buk t ik a n Ek iva le nsi de nga n
T a be l K e be na ra n
Contoh. Buktikan p∨q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q).
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
10/28/2008>
p ∨q
F
T
T
T
¬p
T
T
F
F
¬q ¬p ∧ ¬q ¬(¬p ∧ ¬q)
F
T
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
Pertemuan-1 - 2
5
H uk um Ek iva le nsi
Identity:
p∧T ⇔ p
p∨F ⇔ p
Domination:
p∨T ⇔ T
p∧F ⇔ F
Idempotent:
p∨p ⇔ p
p∧p ⇔ p
Double negation:
¬¬p ⇔ p
Commutative: p∨q ⇔ q∨p
p∧q ⇔ q∧p
Associative:
(p∨q)∨r ⇔ p∨(q∨r)
(p∧q)∧r ⇔ p∧(q∧r)
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
6
H uk um Ek iva le nsi
Distributif:
p∨(q∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)
De Morgan:
¬(p∧q) ⇔ ¬p ∨ ¬q
¬(p∨q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
Trivial tautology/contradiction:
p ∨ ¬p ⇔ T
p ∧ ¬p ⇔ F
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
7
H uk um Ek iva le nsi
Absorption: p∨ (p ∧ q) ⇔ p
p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
Absorption: p∨(¬ p∧ q) ⇔ p ∨ q
p∧(¬ p∨ q) ⇔ p∧ q
Hukum lain:
(p∧ q) ∨ (p∧ ¬ q) ⇔ p
p ⇒ q ⇔ ¬ p∨ q
p ⇒ q ⇔ ¬ (p∧ ¬ q)
(p ⇔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (¬ p∧ ¬ q)
(p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
8
De finisi Ope ra t or de nga n
Ek iva le nsi
Menggunakan ekivalensi, kita dapat
mendefinisikan operator dengan operator
lainnya
Exclusive or: p⊕q ⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)
p⊕q ⇔ (p∧¬q)∨(q∧¬p)
Implikasi:
p→q ⇔ ¬p ∨ q
Biimplikasi: p↔q ⇔ (p→q) ∧ (q→p)
p↔q ⇔ ¬(p⊕q)
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
9
Cont oh (1 )
Buktikan dengan symbolic derivation apakah
(p ∧ ¬q) → (p ⊕ r) ⇔ ¬p ∨ q ∨ ¬r.
(p ∧ ¬q) → (p ⊕ r) ⇔
[Expand definition of →] ¬(p ∧ ¬q) ∨ (p ⊕ r)
[Defn. of ⊕] ⇔ ¬(p ∧ ¬q) ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧
r))
[DeMorgan’s Law]
⇔ (¬p ∨ q) ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧ r))
⇔ [associative law] cont.
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
10
Cont oh (2 )
(¬p ∨ q) ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧ r)) ⇔ [∨ commutes]
⇔ (q ∨ ¬p) ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧ r)) [∨ associative]
⇔ q ∨ (¬p ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧ r))) [distrib. ∨ over
∧]
⇔ q ∨ (((¬p ∨ (p ∨ r)) ∧ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)))
[assoc.] ⇔ q ∨ (((¬p ∨ p) ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)))
[trivial taut.] ⇔ q ∨ ((T ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)))
[domination] ⇔ q ∨ (T ∧ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)))
[identity]
⇔ q ∨ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)) ⇔ cont.
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
11
Cont oh (3 )
q ∨ (¬p ∨ ¬(p ∧ r))
[DeMorgan’s] ⇔ q ∨ (¬p ∨ (¬p ∨ ¬r))
[Assoc.]
⇔ q ∨ ((¬p ∨ ¬p) ∨ ¬r)
[Idempotent] ⇔ q ∨ (¬p ∨ ¬r)
[Assoc.]
⇔ (q ∨ ¬p) ∨ ¬r
[Commut.]
⇔ ¬p ∨ q ∨ ¬r
Q.E.D. (quod erat demonstrandum)
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
12
Ratna Wardani
Pendidikan Teknik Informatika
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
1
M a t e ri Pe rk ulia ha n
Ekivalensi Logis
Pembuktian ekivalensi dengan Tabel Kebenaran
Hukum-hukum Ekivalensi
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
2
Ek iva le nsi Proposisi
Dua buah proposisi majemuk yang secara
sintaksis (tertulis) berbeda dapat memiliki makna
semantik yang sama. Kedua proposisi tersebut
dikatakan “ekivalen”
Kita akan pelajari:
Aturan dan hukum ekivalensi
Bagaimana membuktikan ekivalensi
menggunakan symbolic derivations.
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
3
Ek iva le nsi Logik a
Proposisi majemuk p ekivalen dengan
proposisi majemuk q, ditulis p⇔q, IFF
proposisi majemuk p ⇔ q adalah tautologi
atau kontradiksi.
Proposisi majemuk p dan q ekivalen satu
sama lain IFF p dan q memiliki nilai
kebenaran yang sama pada semua barisnya
di tabel kebenaran
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
4
M e m buk t ik a n Ek iva le nsi de nga n
T a be l K e be na ra n
Contoh. Buktikan p∨q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q).
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
10/28/2008>
p ∨q
F
T
T
T
¬p
T
T
F
F
¬q ¬p ∧ ¬q ¬(¬p ∧ ¬q)
F
T
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
Pertemuan-1 - 2
5
H uk um Ek iva le nsi
Identity:
p∧T ⇔ p
p∨F ⇔ p
Domination:
p∨T ⇔ T
p∧F ⇔ F
Idempotent:
p∨p ⇔ p
p∧p ⇔ p
Double negation:
¬¬p ⇔ p
Commutative: p∨q ⇔ q∨p
p∧q ⇔ q∧p
Associative:
(p∨q)∨r ⇔ p∨(q∨r)
(p∧q)∧r ⇔ p∧(q∧r)
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
6
H uk um Ek iva le nsi
Distributif:
p∨(q∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)
De Morgan:
¬(p∧q) ⇔ ¬p ∨ ¬q
¬(p∨q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
Trivial tautology/contradiction:
p ∨ ¬p ⇔ T
p ∧ ¬p ⇔ F
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
7
H uk um Ek iva le nsi
Absorption: p∨ (p ∧ q) ⇔ p
p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
Absorption: p∨(¬ p∧ q) ⇔ p ∨ q
p∧(¬ p∨ q) ⇔ p∧ q
Hukum lain:
(p∧ q) ∨ (p∧ ¬ q) ⇔ p
p ⇒ q ⇔ ¬ p∨ q
p ⇒ q ⇔ ¬ (p∧ ¬ q)
(p ⇔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (¬ p∧ ¬ q)
(p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
8
De finisi Ope ra t or de nga n
Ek iva le nsi
Menggunakan ekivalensi, kita dapat
mendefinisikan operator dengan operator
lainnya
Exclusive or: p⊕q ⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)
p⊕q ⇔ (p∧¬q)∨(q∧¬p)
Implikasi:
p→q ⇔ ¬p ∨ q
Biimplikasi: p↔q ⇔ (p→q) ∧ (q→p)
p↔q ⇔ ¬(p⊕q)
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
9
Cont oh (1 )
Buktikan dengan symbolic derivation apakah
(p ∧ ¬q) → (p ⊕ r) ⇔ ¬p ∨ q ∨ ¬r.
(p ∧ ¬q) → (p ⊕ r) ⇔
[Expand definition of →] ¬(p ∧ ¬q) ∨ (p ⊕ r)
[Defn. of ⊕] ⇔ ¬(p ∧ ¬q) ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧
r))
[DeMorgan’s Law]
⇔ (¬p ∨ q) ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧ r))
⇔ [associative law] cont.
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
10
Cont oh (2 )
(¬p ∨ q) ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧ r)) ⇔ [∨ commutes]
⇔ (q ∨ ¬p) ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧ r)) [∨ associative]
⇔ q ∨ (¬p ∨ ((p ∨ r) ∧ ¬(p ∧ r))) [distrib. ∨ over
∧]
⇔ q ∨ (((¬p ∨ (p ∨ r)) ∧ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)))
[assoc.] ⇔ q ∨ (((¬p ∨ p) ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)))
[trivial taut.] ⇔ q ∨ ((T ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)))
[domination] ⇔ q ∨ (T ∧ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)))
[identity]
⇔ q ∨ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)) ⇔ cont.
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
11
Cont oh (3 )
q ∨ (¬p ∨ ¬(p ∧ r))
[DeMorgan’s] ⇔ q ∨ (¬p ∨ (¬p ∨ ¬r))
[Assoc.]
⇔ q ∨ ((¬p ∨ ¬p) ∨ ¬r)
[Idempotent] ⇔ q ∨ (¬p ∨ ¬r)
[Assoc.]
⇔ (q ∨ ¬p) ∨ ¬r
[Commut.]
⇔ ¬p ∨ q ∨ ¬r
Q.E.D. (quod erat demonstrandum)
10/28/2008>
Pertemuan-1 - 2
12