Syarat Perlu Mengkonstruksikan Relasi Ekivalensi Pada Ring Tidak Komutatip
SYARAT PERLU MENGKONSTRUKSIKAN RELASI EKIVALENSI
PADA RING TIDAK KOMUTATIP
ELVINA HERAWATY
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Abstrak
Diketengahkan metode memperluas himpunan bilangan bulat Z ke himpunan
bilangan rasional Q dengan metode relasi ekivalensi pada ring yang tidal komutatip.
I. Pengantar
1.1 Latar Belakang
Salah satu metode memperluas himpunan bilangan bulat Z ke himpunan bilangan
rasional Q adalah dengan mendefinisikan relasi ‘~’ pada Z x Z\{O} sebagai berikut:
(a, x) -(b, y) ay = bx untuk setiap (a, x) dan (b, y) E Zx Z \{O}.
Relasi '~' merupakan relasi ekivalensi. Oleh karena itu pada Z x Z\{O} terjadi kosetkoset (klas-klas ekivalensi) yang saling asing, ditulis dengan
a / x = { (b, y) E Z X Z\{O} : (a, x) -(b, y) }
Misalkan Q(Z) merupakan koleksi semua koset yang memuat (a, x) ditulis
Q(z)= {a/x: (a, x) E ZxZ\{O} }
Dan apabila didefinisikan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) sebagai berikut
a/x + b / y= (ay+ bx) / (xy) dan a/x. b /y= (ab) / (xy)
Maka diperoleh (Q(z), +, .) adalah ring. Tetapi Q(Z) bukan hanya ring melainkan
merupakan lapangan bilangan rasional .Dengan kata lain Q(Z) = Q.
Hal
diatas
dapat
kita
perluas
untuk ring
prim
yang
komutatip
dan
memberikan hasil yang isomorphik dengan ring kuosien.
©2004 Digitized by USU digital library
1
1.2
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, untuk ring tidak komutatip, persoalan
menjadi berbeda, relasi '~' menjadi tidak ekivalen.
1.3 Tujuan Penulisan
Adapun maksud dan tujuan penulisan ini adalah membahas teorema Ore,
yang akan memberikan syarat tambah agar relasi '~' pada permasalahan menjadi
relasi ekivalensi.
1.4 Tinjauan Pustaka
Penulisan ini mengangkat pembuktian teorema Ore yang diambil dari
Passman (1990).
1.5 Landasan Teori
Bagian ini memberikan definisi dan teorema yang tidak dibuktikan, sebagai
penunjang teorema yang terdapat dalam pembahasan.
Definisi 1 : Diberikan R suatu ring dan elemen r E R disebut regular jika terdapat r'
E R dengan rr'r = r dan elemen a E R disebut invertibel jika R mempunyai unit dan
terdapat b E R dengan
ab = ba = 1.
Definisi 2 : E suatu R-modul disebut M-injektif jika setiap digram berikut
O
K
M
E
dengan baris eksak dapat diperluas secara komutatip oleh suatu morphisma M
Monomorphisma f : K
E.
M disebut essential, jika Imf essential di M. Dengan kata
lain setiap submodul tak nol L ⊆ M berakibat L ∩ Imf ≠ {0}.
©2004 Digitized by USU digital library
2
Untuk E suatu
R -
modul
injektif,
bersama –
sama
dengan
monomorphisma essential
i:M
E disebut hull infektif dari M, ditulis E = E (M)
Lemma 3 : Diberikan E suatu hull injektif dari M, H = EndR(ER)={f : ER
ER : ER
suatu R – modul kanan} maka (H,+,.) adalah ring dan E = H – modul kiri.
Definisi 4 : Qmax (R ) = EndH (HE) = {f : HE
HE
: HE suatu H- modul kiri} disebut
ring kuosien maksimal dan R ⊆ Qmax (R)
Definisi 5
: Jika I suatu ideal kanan dari R dan
didefenisikan sebagaii
x-1
χ ∈ R maka residual x-11
1 = { r ∈ R : xr ∈ I }
Lemma 6 : jika I suatu ideal kanan dari R dan χ ∈ R maka χ-1 I ideal kanan dari R.
Definisi 7 : Jika A himpunan bagian dari R, maka 1.annR (A) = 1.ann (A) =
{r∈R:rA=0}disebut annihilator kiri dari A, dan elemen r ∈ R regular jika dan hanya
jika 1.annR (r) – r.annR(r) ={0}.
Jika D seberang ideal kaan dari D disebut dense jika dan hanya jika 1.annR (x1
D)=0 untuk setiap χ ∈ R
Lemma 8 : Diberikan D ideal kanan dense dari R dan I ideal kanan R. Jika I ⊇ D
maka ideal I adalah dense.
Lemma 9 : Diberikan D ideal kanan dari R, dan E hull injektif dari R. Maka D adalah
dense dan hanya jika 0 = 1.annE (D)
II. Pembahasan
Pada bagian ini diberikan R suatu ring dan T himpunan bagian dari R yang
tertutup terhadap perkalian, hal ini berarti 1 ∈T dan jika a, b ∈ T maka ab ∈ T. Dari
sini diperoleh definisi berikut
Definisi 10: Diberikan ring R dan T himpunan bagian dari elemen-elemen regular di
R yang tertutup terhadap perkalian, RT-1 disebut ring kuosien kanan dari R jika :
1. RT-1 adalah ring yang memuat R dengan identitas 1
2. Setiap elemen dari Tadalah invertibel di RT
–1
3. Setiap elemen RT-1 berbentuk Rt-1 dengan r ∈ R dan t ∈ T.
©2004 Digitized by USU digital library
3
Tidak seperti situasi untuk ring R komutatip, RtI tidak selalu dapat dibentuk,
untuk itu diperlukan syarat tambahan. Misalkan terdapat RTI dan diberikan sebarang
r ∈ R dan t ∈ T. Maka r, t
-1
∈ RT I . Jadi t
-1
r ∈ RTI. Dari (3) berakibat t
-1
r = rl t
l
–1
untuk suatu rl ∈ R dan ti ∈ T. Apabila masing-masing sisi dikalikan dengan t dan tl,
maka diperoleh rtl = rlt, yaitu suatu persamaan dalam R. Untuk itu diperoleh definisi
berikut
Definisi 11: Diberikan T himpunan elemen-elemen regular dari ring R yang tertutup
terhadap perkalian. T disebut denominator kanan jika setiap r ∈ R dan t ∈ T
terdapat rl ∈ R dan tl ∈T terda
Pat r1 ∈ Rdan t1 ∈ T dengan rtl = tri
Lemma 12 :: Diberikan T himpunan elemen-elemen regular dari ring R yang
tertutup terhadap perkalian. Jika terdapat RT I maka T adalah denominator kanan.
Kebalikan lemma diatas tidak berlaku, agar berlaku diperlukan lemma berikut
Lemma 13 : Diberikan T himpunan denominator kanan dari R. dan misalkan S suatu
ring yang memuat R dengan sifat setiap elemen t ∈ T adalah invertibel di S. Jika RTI
⊆ S didefinisikan sebagai RTI = {rt-1 : r ∈ R dan f ∈ T}, maka :
1. T1 R ⊆ RT1
2. RT1 adalah subring dari S yang memuat R
3. Sebarang jumlah yang berhingga dari elemen-elemen dari RT-I dapat
ditulis dengan denominator bersamaan, yaitu jika r1t1-1 r2t-1, ..., rntn-1 ∈
RT1, maka terdapat Si ∈rIR dan t ∈ T dengan riti -I = Sit-1 untuk setiap i
= 1, 2, ..., n.
Bukti :
(i)
Akan ditunjukkan T1 R ⊆ RT1.
Diberikan r ∈ R dan t
∈ T. Dari diketahui T adalah suatu denominator
kanan di R, maka terdapat r1 ∈ R dan t1 ∈ T.dengan rt1 = r1t. Diperoleh
t-Ir = r1t1-1 ∈ RT1
(ii)
Akan ditunjukkan terdapat denominator bersama.
Misalkan r1t1-1, r2t2-1, ..., rntn-1 ∈ RT1. Akan ditunjukkan dengan induksi
pada n, bahwaterdapat si ∈ ri R dan t ∈T dengan ri ti
Benar untuk i = 1, yaitu jika riti
©2004 Digitized by USU digital library
-1
-1
= si t -l.
∈ RT1 maka ri ti -1 = r1 rt -l.
4
Pilih S1 = r1r ∈ r1 R dan t ∈ T dengan ri t
-1
-
= S1t-1
Misalkan benar untuk i = 1,2, ..., n-1, yaitu jika ri ti -1 ∈
RT 1, maka terdapat Si ∈ ri
R dan, t’ ∈ T
dengan ri ti-1 = si ‘ t ’
-1
. Jadi jika i ≤ n-1, maka ri ti -1 = si ‘t’
-1
= si ‘ tt
–1
t’
-1
= (si
-I
‘t) (t’t) .
Karena T1 R ⊆ RT1 maka tn
–1
t’ ∈ RT1 dan terdapat s ∈ R dan t ∈ T dengan tn-1 t’ = st-
1
atau tn-1 = st-1 t’-1. Oleh karena itu rn tn-1 = rn st-1 t-1 = (rns) (t’ t )
kata lain terdapat sn =
(iii)
rn s ∈ rn R. dengan rntn = snt
–1
∈ RT
1
dengan
–1
Akan ditunjukkan RT1 subring dari S yang memuat R.
Ambil r1 t1 –1 ∈ RT 1, maka r1 t1 –1 = s1 t-1 dan r2 t –1 = s2 t-1 bekerja hanya
di R. Oleh karna itu r1 t1-1 + r2 t-1 = (s1 + s2 )t
–1
juga anggota RT
–1
Yang berarti RT-1 tertutup dibawah penjumlahan dan penjumlahan ditetapkan di R..
Karena RT-1 adalah ring maka jika r1t1-1 ∈ RT-1 maka – (r1t1
r1t1
–1
–1
) ∈ RT-1 selanjutnya
= r2t2-1 jika dan hanya jika s1t-1 = s2t-1 .Hal ini jika dan hanya jika s1 = s2.
Terakhir dengan bekerja dalam R dapat diperoleh S3 ∈ R dan r3 ∈T dengan t1-1 r2=
s3t3. Oleh karena itu r1 t1-1 .r2t2-1 =r1s3t31t2-1 = (r1s3) (t2t3)-1 RT1
Dari lemma diatas diperoleh teorema berikut :
Teorema ( Ore) 14: Jika T himpunan denominator kanan maka terdapat ring
kuosien
kanan RT-1
Bukti : Berdasarkan lemma diatas cukup dicari ring S ⊇ R dengan elemen-elemen
dari T adalah invertibel di S. Untuk itu dipilih S = Qmax(R). Misalkan E = E (RR) dan
H = End R(ER). Ingat bahwa Qmax(R) = EndH (HE).
Diberikan t ∈ T. Akan ditunjukkan t invertibel di S. Jika r ∈ R maka terdapat r1 ∈ R
dan t1 ∈ T dengan rt1 = tr1 ∈ tR. Dapat ditunjukkan bahwa tR adalah ideal kanan dari
R dan jika r ∈ R, maka residualnya adalah r-1(tR). Jadi t1 ∈ r-1(tR) dengan r-1(tR)
ideal kanan di R. Karena tl regular maka l.annR(r-l (tR) = O. Oleh karena itu tR adalah
ideal kanan dense dari R. Dari lemma (9), diperoleh l.annE (tR) = O.
Khususnya l.annE(t) = O.
©2004 Digitized by USU digital library
5
Selanjutnya ambil e ∈ E sebarang .Karena r.annR(t) = 0, fungsi σ: tR → E dengan
aturan perkawanan tr→ er adalah well defined R-homomorphisma. Karena E injektif,
σ diperluas ke fungsi p: R→ E dan karena itu e = σ (t) = p(t) = p(1) t ∈ Et.
Dengan kata lain E = Et.
Terakhir karena E = Et dan l.annE(t) = 0 .Bentuk fungsi ϕ : E → E dengan
aturan et → e. Dapat ditunjukkan ϕ well definend dan merupakan endomorphisma
H-modul kiri dari E. Jadi ϕ ∈ Qmax(R). Selanjutnya (et) σ = e untuk setiap e ∈ E dan
(f) σ t = ft = f untuk setiap f ∈ Et = E.. Hal ini berarati tσ =σt = 1. Jadi t-1 = σ ∈ S.
Rujukan
1. C. Musili, Introduction to Ring and Modules, Narosa Publishing House, New Delhi,
1992
2. D.S. Passman, A Course in Ring Theory, Mathematics series, 1990
3. R. Wisbauer, Modul and Algebra, University of Dusseldorf, 2000
4. W.A. Adkins and S.H Weintraub, Algebra, Springer-Verlag, New-york, 1992.
©2004 Digitized by USU digital library
6
PADA RING TIDAK KOMUTATIP
ELVINA HERAWATY
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Abstrak
Diketengahkan metode memperluas himpunan bilangan bulat Z ke himpunan
bilangan rasional Q dengan metode relasi ekivalensi pada ring yang tidal komutatip.
I. Pengantar
1.1 Latar Belakang
Salah satu metode memperluas himpunan bilangan bulat Z ke himpunan bilangan
rasional Q adalah dengan mendefinisikan relasi ‘~’ pada Z x Z\{O} sebagai berikut:
(a, x) -(b, y) ay = bx untuk setiap (a, x) dan (b, y) E Zx Z \{O}.
Relasi '~' merupakan relasi ekivalensi. Oleh karena itu pada Z x Z\{O} terjadi kosetkoset (klas-klas ekivalensi) yang saling asing, ditulis dengan
a / x = { (b, y) E Z X Z\{O} : (a, x) -(b, y) }
Misalkan Q(Z) merupakan koleksi semua koset yang memuat (a, x) ditulis
Q(z)= {a/x: (a, x) E ZxZ\{O} }
Dan apabila didefinisikan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) sebagai berikut
a/x + b / y= (ay+ bx) / (xy) dan a/x. b /y= (ab) / (xy)
Maka diperoleh (Q(z), +, .) adalah ring. Tetapi Q(Z) bukan hanya ring melainkan
merupakan lapangan bilangan rasional .Dengan kata lain Q(Z) = Q.
Hal
diatas
dapat
kita
perluas
untuk ring
prim
yang
komutatip
dan
memberikan hasil yang isomorphik dengan ring kuosien.
©2004 Digitized by USU digital library
1
1.2
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, untuk ring tidak komutatip, persoalan
menjadi berbeda, relasi '~' menjadi tidak ekivalen.
1.3 Tujuan Penulisan
Adapun maksud dan tujuan penulisan ini adalah membahas teorema Ore,
yang akan memberikan syarat tambah agar relasi '~' pada permasalahan menjadi
relasi ekivalensi.
1.4 Tinjauan Pustaka
Penulisan ini mengangkat pembuktian teorema Ore yang diambil dari
Passman (1990).
1.5 Landasan Teori
Bagian ini memberikan definisi dan teorema yang tidak dibuktikan, sebagai
penunjang teorema yang terdapat dalam pembahasan.
Definisi 1 : Diberikan R suatu ring dan elemen r E R disebut regular jika terdapat r'
E R dengan rr'r = r dan elemen a E R disebut invertibel jika R mempunyai unit dan
terdapat b E R dengan
ab = ba = 1.
Definisi 2 : E suatu R-modul disebut M-injektif jika setiap digram berikut
O
K
M
E
dengan baris eksak dapat diperluas secara komutatip oleh suatu morphisma M
Monomorphisma f : K
E.
M disebut essential, jika Imf essential di M. Dengan kata
lain setiap submodul tak nol L ⊆ M berakibat L ∩ Imf ≠ {0}.
©2004 Digitized by USU digital library
2
Untuk E suatu
R -
modul
injektif,
bersama –
sama
dengan
monomorphisma essential
i:M
E disebut hull infektif dari M, ditulis E = E (M)
Lemma 3 : Diberikan E suatu hull injektif dari M, H = EndR(ER)={f : ER
ER : ER
suatu R – modul kanan} maka (H,+,.) adalah ring dan E = H – modul kiri.
Definisi 4 : Qmax (R ) = EndH (HE) = {f : HE
HE
: HE suatu H- modul kiri} disebut
ring kuosien maksimal dan R ⊆ Qmax (R)
Definisi 5
: Jika I suatu ideal kanan dari R dan
didefenisikan sebagaii
x-1
χ ∈ R maka residual x-11
1 = { r ∈ R : xr ∈ I }
Lemma 6 : jika I suatu ideal kanan dari R dan χ ∈ R maka χ-1 I ideal kanan dari R.
Definisi 7 : Jika A himpunan bagian dari R, maka 1.annR (A) = 1.ann (A) =
{r∈R:rA=0}disebut annihilator kiri dari A, dan elemen r ∈ R regular jika dan hanya
jika 1.annR (r) – r.annR(r) ={0}.
Jika D seberang ideal kaan dari D disebut dense jika dan hanya jika 1.annR (x1
D)=0 untuk setiap χ ∈ R
Lemma 8 : Diberikan D ideal kanan dense dari R dan I ideal kanan R. Jika I ⊇ D
maka ideal I adalah dense.
Lemma 9 : Diberikan D ideal kanan dari R, dan E hull injektif dari R. Maka D adalah
dense dan hanya jika 0 = 1.annE (D)
II. Pembahasan
Pada bagian ini diberikan R suatu ring dan T himpunan bagian dari R yang
tertutup terhadap perkalian, hal ini berarti 1 ∈T dan jika a, b ∈ T maka ab ∈ T. Dari
sini diperoleh definisi berikut
Definisi 10: Diberikan ring R dan T himpunan bagian dari elemen-elemen regular di
R yang tertutup terhadap perkalian, RT-1 disebut ring kuosien kanan dari R jika :
1. RT-1 adalah ring yang memuat R dengan identitas 1
2. Setiap elemen dari Tadalah invertibel di RT
–1
3. Setiap elemen RT-1 berbentuk Rt-1 dengan r ∈ R dan t ∈ T.
©2004 Digitized by USU digital library
3
Tidak seperti situasi untuk ring R komutatip, RtI tidak selalu dapat dibentuk,
untuk itu diperlukan syarat tambahan. Misalkan terdapat RTI dan diberikan sebarang
r ∈ R dan t ∈ T. Maka r, t
-1
∈ RT I . Jadi t
-1
r ∈ RTI. Dari (3) berakibat t
-1
r = rl t
l
–1
untuk suatu rl ∈ R dan ti ∈ T. Apabila masing-masing sisi dikalikan dengan t dan tl,
maka diperoleh rtl = rlt, yaitu suatu persamaan dalam R. Untuk itu diperoleh definisi
berikut
Definisi 11: Diberikan T himpunan elemen-elemen regular dari ring R yang tertutup
terhadap perkalian. T disebut denominator kanan jika setiap r ∈ R dan t ∈ T
terdapat rl ∈ R dan tl ∈T terda
Pat r1 ∈ Rdan t1 ∈ T dengan rtl = tri
Lemma 12 :: Diberikan T himpunan elemen-elemen regular dari ring R yang
tertutup terhadap perkalian. Jika terdapat RT I maka T adalah denominator kanan.
Kebalikan lemma diatas tidak berlaku, agar berlaku diperlukan lemma berikut
Lemma 13 : Diberikan T himpunan denominator kanan dari R. dan misalkan S suatu
ring yang memuat R dengan sifat setiap elemen t ∈ T adalah invertibel di S. Jika RTI
⊆ S didefinisikan sebagai RTI = {rt-1 : r ∈ R dan f ∈ T}, maka :
1. T1 R ⊆ RT1
2. RT1 adalah subring dari S yang memuat R
3. Sebarang jumlah yang berhingga dari elemen-elemen dari RT-I dapat
ditulis dengan denominator bersamaan, yaitu jika r1t1-1 r2t-1, ..., rntn-1 ∈
RT1, maka terdapat Si ∈rIR dan t ∈ T dengan riti -I = Sit-1 untuk setiap i
= 1, 2, ..., n.
Bukti :
(i)
Akan ditunjukkan T1 R ⊆ RT1.
Diberikan r ∈ R dan t
∈ T. Dari diketahui T adalah suatu denominator
kanan di R, maka terdapat r1 ∈ R dan t1 ∈ T.dengan rt1 = r1t. Diperoleh
t-Ir = r1t1-1 ∈ RT1
(ii)
Akan ditunjukkan terdapat denominator bersama.
Misalkan r1t1-1, r2t2-1, ..., rntn-1 ∈ RT1. Akan ditunjukkan dengan induksi
pada n, bahwaterdapat si ∈ ri R dan t ∈T dengan ri ti
Benar untuk i = 1, yaitu jika riti
©2004 Digitized by USU digital library
-1
-1
= si t -l.
∈ RT1 maka ri ti -1 = r1 rt -l.
4
Pilih S1 = r1r ∈ r1 R dan t ∈ T dengan ri t
-1
-
= S1t-1
Misalkan benar untuk i = 1,2, ..., n-1, yaitu jika ri ti -1 ∈
RT 1, maka terdapat Si ∈ ri
R dan, t’ ∈ T
dengan ri ti-1 = si ‘ t ’
-1
. Jadi jika i ≤ n-1, maka ri ti -1 = si ‘t’
-1
= si ‘ tt
–1
t’
-1
= (si
-I
‘t) (t’t) .
Karena T1 R ⊆ RT1 maka tn
–1
t’ ∈ RT1 dan terdapat s ∈ R dan t ∈ T dengan tn-1 t’ = st-
1
atau tn-1 = st-1 t’-1. Oleh karena itu rn tn-1 = rn st-1 t-1 = (rns) (t’ t )
kata lain terdapat sn =
(iii)
rn s ∈ rn R. dengan rntn = snt
–1
∈ RT
1
dengan
–1
Akan ditunjukkan RT1 subring dari S yang memuat R.
Ambil r1 t1 –1 ∈ RT 1, maka r1 t1 –1 = s1 t-1 dan r2 t –1 = s2 t-1 bekerja hanya
di R. Oleh karna itu r1 t1-1 + r2 t-1 = (s1 + s2 )t
–1
juga anggota RT
–1
Yang berarti RT-1 tertutup dibawah penjumlahan dan penjumlahan ditetapkan di R..
Karena RT-1 adalah ring maka jika r1t1-1 ∈ RT-1 maka – (r1t1
r1t1
–1
–1
) ∈ RT-1 selanjutnya
= r2t2-1 jika dan hanya jika s1t-1 = s2t-1 .Hal ini jika dan hanya jika s1 = s2.
Terakhir dengan bekerja dalam R dapat diperoleh S3 ∈ R dan r3 ∈T dengan t1-1 r2=
s3t3. Oleh karena itu r1 t1-1 .r2t2-1 =r1s3t31t2-1 = (r1s3) (t2t3)-1 RT1
Dari lemma diatas diperoleh teorema berikut :
Teorema ( Ore) 14: Jika T himpunan denominator kanan maka terdapat ring
kuosien
kanan RT-1
Bukti : Berdasarkan lemma diatas cukup dicari ring S ⊇ R dengan elemen-elemen
dari T adalah invertibel di S. Untuk itu dipilih S = Qmax(R). Misalkan E = E (RR) dan
H = End R(ER). Ingat bahwa Qmax(R) = EndH (HE).
Diberikan t ∈ T. Akan ditunjukkan t invertibel di S. Jika r ∈ R maka terdapat r1 ∈ R
dan t1 ∈ T dengan rt1 = tr1 ∈ tR. Dapat ditunjukkan bahwa tR adalah ideal kanan dari
R dan jika r ∈ R, maka residualnya adalah r-1(tR). Jadi t1 ∈ r-1(tR) dengan r-1(tR)
ideal kanan di R. Karena tl regular maka l.annR(r-l (tR) = O. Oleh karena itu tR adalah
ideal kanan dense dari R. Dari lemma (9), diperoleh l.annE (tR) = O.
Khususnya l.annE(t) = O.
©2004 Digitized by USU digital library
5
Selanjutnya ambil e ∈ E sebarang .Karena r.annR(t) = 0, fungsi σ: tR → E dengan
aturan perkawanan tr→ er adalah well defined R-homomorphisma. Karena E injektif,
σ diperluas ke fungsi p: R→ E dan karena itu e = σ (t) = p(t) = p(1) t ∈ Et.
Dengan kata lain E = Et.
Terakhir karena E = Et dan l.annE(t) = 0 .Bentuk fungsi ϕ : E → E dengan
aturan et → e. Dapat ditunjukkan ϕ well definend dan merupakan endomorphisma
H-modul kiri dari E. Jadi ϕ ∈ Qmax(R). Selanjutnya (et) σ = e untuk setiap e ∈ E dan
(f) σ t = ft = f untuk setiap f ∈ Et = E.. Hal ini berarati tσ =σt = 1. Jadi t-1 = σ ∈ S.
Rujukan
1. C. Musili, Introduction to Ring and Modules, Narosa Publishing House, New Delhi,
1992
2. D.S. Passman, A Course in Ring Theory, Mathematics series, 1990
3. R. Wisbauer, Modul and Algebra, University of Dusseldorf, 2000
4. W.A. Adkins and S.H Weintraub, Algebra, Springer-Verlag, New-york, 1992.
©2004 Digitized by USU digital library
6